К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях

Полученные ранее нелинейные интегральные уравнения для компонент параметра порядка (ПП) плотной сверхтекучей нейтронной материи (СНМ) с анизотропным триплетным p-спариванием (подобным ³He-A) и с учетом воздействия магнитного поля и конечной температуры сведены к уравнениям для двух компонент ПП в пр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Тарасов, А.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175983
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях / А.Н. Тарасов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 4. — С. 368-378. — Бібліогр.: 46 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175983
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1759832021-02-05T01:26:22Z К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях Тарасов, А.Н. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Полученные ранее нелинейные интегральные уравнения для компонент параметра порядка (ПП) плотной сверхтекучей нейтронной материи (СНМ) с анизотропным триплетным p-спариванием (подобным ³He-A) и с учетом воздействия магнитного поля и конечной температуры сведены к уравнениям для двух компонент ПП в пределе нулевой температуры. Здесь эти уравнения (которые справедливы для произвольной параметризации эффективного взаимодействия Скирма в нейтронной материи) конкретизированы и решены численно для обобщенной BSk21 параметризации сил Скирма (с дополнительными слагаемыми, зависящими от плотности n) в нейтронной материи. Главным результатом является вычисленное расщепление щели в энергетическом спектре нейтронов в СНМ (нелинейно растущее в умеренно сильном магнитном поле H), которое нелинейным образом зависит от плотности n в предельном случае нулевой температуры. Малая асимметрия (нелинейно возрастающая в магнитном поле) величины расщепления энергетической щели также получена для умеренно сильных полей, изменяющихся в интервале значений 10¹⁶ Гс ≤ H ≤ 10¹⁷ Гс. Фазовые переходы в нейтронной материи в сверхтекучие состояния такого типа и столь сильные магнитные поля могут возникать (и существовать) при субъядерных и сверхъядерных плотностях, как и в нейтронной жидкости внешней части ядра (сердцевины) магнетаров (сильно намагниченных нейтронных звезд). Отримані раніше нелінійні інтегральні рівняння для компонент параметра порядку (ПП) густої надплинної нейтронної матерії (ННМ) з анізотропним триплетним p-спарюванням (подібним до ³He-A) і з урахуванням впливу магнітного поля та скінченної температури зведено до рівнянь для двох компонент ПП у випадку нульової температури. Тут ці рівняння (що правдиві для довільної параметризації ефективної взаємодії Скірма в нейтронній матерії) конкретизовано та розв’язано числовим методом для узагальненої BSk21 параметризації сил Скірма (з додатковими доданками, що залежать від густини n) у нейтронній матерії. Головним результатом є обчислене розщеплення щілини в енергетичному спектрі нейтронів в ННМ (нелінійно зростаюче у помірно сильному магнітному полі H), яке нелінійним чином залежить від густини n у граничному випадку нульової температури. Малу асиметрію (нелінійно зростаючу у магнітному полі) розщеплення енергетичної щілини також отримано для помірно сильних полів, що змінюються в інтервалі значень 10¹⁶ Гс ≤ H ≤ 10¹⁷ Гс. Фазові переходи в нейтронній матерії у надплинні стани такого типу та настільки сильні магнітні поля можуть виникати (та існувати) при суб’ядерних та над’ядерних густинах, як і у нейтронній рідині зовнішньої частини ядра (серцевини) магнетарів (сильно намагнічених нейтронних зірок). The previously derived nonlinear integral equations for the components of the order parameter (OP) of dense superfluid neutron matter (SNM) with anisotropic spin-triplet p-wave pairing (similar to ³He-A) and with taking into account the effects of magnetic field and finite temperatures are reduced here to the equations for the two components of OP in the limit of zero temperature. These equations (which are valid for arbitrary parametrization of the effective Skyrme interaction in neutron matter) are specified and solved numerically for the generalized BSk21 parametrization of the effective Skyrme forces (with additional terms dependent on density n) in neutron matter. As the main result the splitting (nonlinearly growing due to the effect of moderately strong magnetic field H) of the energy gap (in the energy spectrum of neutrons in SNM) is calculated as nonlinear function of density n in the limiting case of zero temperature. A small asymmetry (nonlinearly growing with magnetic field) of the energy gap splitting is also obtained in the range of moderately strong magnetic fields 10¹⁶ G ≤ H ≤ 10¹⁷ G. Phase transitions in neutron matter to superfluid states of such type and so strong magnetic fields might occur (and exist) at subnuclear and supranuclear densities as in liquid outer core of magnetars (strongly magnetized neutron stars). 2018 Article К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях / А.Н. Тарасов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 4. — С. 368-378. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 0132-6414 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175983 PACS: 21.65.Cd, 26.60.Dd, 67.10.Fj, 67.30.H– Tarasov ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
spellingShingle	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Тарасов, А.Н. К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях Физика низких температур
description	Полученные ранее нелинейные интегральные уравнения для компонент параметра порядка (ПП) плотной сверхтекучей нейтронной материи (СНМ) с анизотропным триплетным p-спариванием (подобным ³He-A) и с учетом воздействия магнитного поля и конечной температуры сведены к уравнениям для двух компонент ПП в пределе нулевой температуры. Здесь эти уравнения (которые справедливы для произвольной параметризации эффективного взаимодействия Скирма в нейтронной материи) конкретизированы и решены численно для обобщенной BSk21 параметризации сил Скирма (с дополнительными слагаемыми, зависящими от плотности n) в нейтронной материи. Главным результатом является вычисленное расщепление щели в энергетическом спектре нейтронов в СНМ (нелинейно растущее в умеренно сильном магнитном поле H), которое нелинейным образом зависит от плотности n в предельном случае нулевой температуры. Малая асимметрия (нелинейно возрастающая в магнитном поле) величины расщепления энергетической щели также получена для умеренно сильных полей, изменяющихся в интервале значений 10¹⁶ Гс ≤ H ≤ 10¹⁷ Гс. Фазовые переходы в нейтронной материи в сверхтекучие состояния такого типа и столь сильные магнитные поля могут возникать (и существовать) при субъядерных и сверхъядерных плотностях, как и в нейтронной жидкости внешней части ядра (сердцевины) магнетаров (сильно намагниченных нейтронных звезд).
format	Article
author	Тарасов, А.Н.
author_facet	Тарасов, А.Н.
author_sort	Тарасов, А.Н.
title	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
title_short	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
title_full	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
title_fullStr	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
title_full_unstemmed	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
title_sort	к теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175983
citation_txt	К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях / А.Н. Тарасов // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 4. — С. 368-378. — Бібліогр.: 46 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT tarasovan kteoriisverhtekučestiplotnojnejtronnojmateriisanizotropnymtripletnympsparivaniemvsilʹnyhmagnitnyhpolâh
first_indexed	2025-07-15T13:36:15Z
last_indexed	2025-07-15T13:36:15Z
_version_	1837720221661528064
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4, c. 368–378 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях А.Н. Тарасов Институт теоретической физики им. А.И. Ахиезера, Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», г. Харьков, 61108, Украина E-mail: antarasov@kipt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 5 июня 2017 г., опубликована онлайн 26 февраля 2018 г. Полученные ранее нелинейные интегральные уравнения для компонент параметра порядка (ПП) плотной сверхтекучей нейтронной материи (СНМ) с анизотропным триплетным p-спариванием (подоб- ным 3He-A) и с учетом воздействия магнитного поля и конечной температуры сведены к уравнениям для двух компонент ПП в пределе нулевой температуры. Здесь эти уравнения (которые справедливы для произвольной параметризации эффективного взаимодействия Скирма в нейтронной материи) конкрети- зированы и решены численно для обобщенной BSk21 параметризации сил Скирма (с дополнительными слагаемыми, зависящими от плотности n) в нейтронной материи. Главным результатом является вычис- ленное расщепление щели в энергетическом спектре нейтронов в СНМ (нелинейно растущее в умеренно сильном магнитном поле H), которое нелинейным образом зависит от плотности n в предельном случае нулевой температуры. Малая асимметрия (нелинейно возрастающая в магнитном поле) величины расщеп- ления энергетической щели также получена для умеренно сильных полей, изменяющихся в интервале значений 1016 Гс ≤ H ≤ 1017 Гс. Фазовые переходы в нейтронной материи в сверхтекучие состояния такого типа и столь сильные магнитные поля могут возникать (и существовать) при субъядерных и сверхъядер- ных плотностях, как и в нейтронной жидкости внешней части ядра (сердцевины) магнетаров (сильно на- магниченных нейтронных звезд). Отримані раніше нелінійні інтегральні рівняння для компонент параметра порядку (ПП) густої над- плинної нейтронної матерії (ННМ) з анізотропним триплетним p-спарюванням (подібним до 3He-A) і з урахуванням впливу магнітного поля та скінченної температури зведено до рівнянь для двох компо- нент ПП у випадку нульової температури. Тут ці рівняння (що правдиві для довільної параметризації ефективної взаємодії Скірма в нейтронній матерії) конкретизовано та розв’язано числовим методом для узагальненої BSk21 параметризації сил Скірма (з додатковими доданками, що залежать від густини n) у нейтронній матерії. Головним результатом є обчислене розщеплення щілини в енергетичному спектрі нейтронів в ННМ (нелінійно зростаюче у помірно сильному магнітному полі H), яке нелінійним чином залежить від густини n у граничному випадку нульової температури. Малу асиметрію (нелінійно зроста- ючу у магнітному полі) розщеплення енергетичної щілини також отримано для помірно сильних полів, що змінюються в інтервалі значень 1016 Гс ≤ H ≤ 1017 Гс. Фазові переходи в нейтронній матерії у над- плинні стани такого типу та настільки сильні магнітні поля можуть виникати (та існувати) при суб’ядерних та над’ядерних густинах, як і у нейтронній рідині зовнішньої частини ядра (серцевини) маг- нетарів (сильно намагнічених нейтронних зірок). PACS: 21.65.Cd Асимметричная материя, нейтронная материя; 26.60.Dd Ядро нейтронной звезды; 67.10.Fj Квантовая статистическая теория; 67.30.H– Сверхтекучая фаза 3He. Ключевые слова: сверхтекучая ферми-жидкость, спин-триплетное спаривание, плотная нейтронная мате- рия, обобщенные силы Скирма, сильные магнитные поля. © А.Н. Тарасов, 2018 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием 1. Введение Эта статья является продолжением наших преды- дущих работ [1–4], посвященных теоретическому изу- чению свойств сверхтекучей плотной нейтронной ма- терии (СНМ) в сильном постоянном однородном магнитном поле H. СНМ при субъядерных ( 0<n n , где 3 0 = 0,17 фмn − — ядерная плотность) и сверхъядерных плотностях ( 0>n n ) может находиться в состояниях подобных сверхтекучим фазам жидкого 3He [5] с ани- зотропным триплетным p-спариванием (типа 3He-A) в магнитном поле. Ранее в работах [1–4] мы уже отме- чали, что эти исследования важны в связи с изучением сверхтекучих свойств нейтронов во внешнем слое ядра (сердцевины) особой разновидности одиночных (изо- лированных) медленно вращающихся нейтронных звезд (НЗ), обладающих сильным магнитным полем (которое внутри таких НЗ может превышать значение 1710 Гc). Эти НЗ получили название «магнетары» (magnetars) (см. подробнее в [6–17]). В качестве взаимодействия между нейтронами мы здесь используем (как и в [1–4]) так называемые обобщенные силы Скирма [18–21], которые содержат три слагаемых, зависящих от плот- ности числа частиц n нейтронной материи. Введение сразу трех (вместо одного) слагаемых, зависящих от плотности, позволяет более адекватно описывать взаи- модействие в плотном ядерном веществе и, в част- ности, учитывать многочастичные взаимодействия ну- клонов. В отличие от этого в жидком 3 He роль многочастичных (в частности, трехчастичных) взаимо- действий между атомами 3He является менее сущест- венной и обычно не учитывается. Отметим, что в [1] использована BSk18 параметри- зация сил Скирма, т.е. самая первая из обобщенных BSk параметризаций (введенная впервые в [18]). В [2,3] ис- пользовали также BSk19, BSk20 и BSk21 обобщенные параметризации Скирма (см. [19]), а в [4] мы учли обоб- щенные параметризации BSk21 и BSk24 (см. [20,21]). Выбор в [4] именно BSk21 и BSk24 параметризаций не случаен, а обусловлен тем, что эти две параметризации приводят к более «жестким» уравнениям состояния ве- щества в нейтронных звездах, которые допускают су- ществование достаточно массивных нейтронных звезд (устойчивых по отношению к коллапсу в черную ды- ру), их масса Sun2M M , где SunM — масса Солнца. Это согласуется с недавними наблюдаемыми астроно- мическими данными, полученными достаточно точно для наиболее тяжелых из известных в настоящее время пульсаров, а именно, для PSR J1614–2230 [22] (с мас- сой Sun(1,97 0,04)M M≈ ± ) и для PSR J0348–0432 [23] (с массой Sun(2,01 0,04)M M≈ ± ). Кроме того, отметим, что в [1–3] изучали сверхте- кучие свойства плотной нейтронной материи (НМ) с анизотропным триплетным p-спариванием (типа 3He-A) в сильном магнитном поле вблизи температуры фазо- вого перехода при 0 ( )cT T n (где 0 ( )cT n — темпера- тура фазового перехода НМ из нормального в сверхте- кучее состояние при = 0H ), а в [4] исследовали более подробно сверхтекучие свойства СНМ с триплетным спариванием при конечных температурах из интервала 00 < ( )cT T n , но в отсутствие магнитного поля, т.е. при = 0H . В настоящей статье изучен предельный слу- чай = 0T , но при наличии «умеренно» сильных маг- нитных полей, изменяющихся в интервале значений 16 1710 Гc 10 ГcH≤ ≤ . Отметим также, что, как и в наших работах [1–4], мы используем здесь ферми-жидкостной подход, обоб- щенный на сверхтекучие системы. Впервые этот под- ход (метод) в обобщенной для сверхтекучих систем форме был предложен С.В. Пелетминским (см. обзоры [24,25], а также гл. 2 в монографии [26] и ссылки при- веденные там). В работе [27] этот же теоретический метод применен к описанию свойств симметричной ядерной материи (без учета магнитного поля) и с ис- пользованием в качестве взаимодействия обыкновен- ных («традиционных») сил Скирма, которые содержат лишь одно слагаемое, зависящее от плотности (см., например, [28], а также монографии [29,30], обзорную статью [31] и ссылки там). Использование обыкновенных сил Скирма приводит к некоторым известным трудностям в описании свойств плотной нейтронной материи и, в частности, к ферро- магнитной неустойчивости НМ при ядерных и сверхъ- ядерных плотностях (см., например, [32], а также наши статьи [33–35] и многочисленные ссылки там). Исполь- зование же обобщенных сил Скирма (типа BSk21, BSk24 и др. упомянутых выше) устраняет эту ферромагнит- ную неустойчивость не только в нормальной плотной НМ [19–21], но и в СНМ с триплетным p-спариванием (см. подробнее [2,3] и ссылки там). В дальнейшем мы рассмотрим только предельный случай нулевой температуры ( = 0T ) и для определен- ности ограничимся здесь изучением СНМ только с BSk21 обобщенной параметризацией сил Скирма (для параметризации BSk24, упомянутой выше, результаты будут качественно подобны и близки в количествен- ном выражении, что ясно из сравнения между собой графиков для энергий Ферми , 21( )F BSk nε и , 24 ( )F BSk nε , см. рис. 1 из [4], а также графиков для температур фа- зового перехода НМ в триплетное сверхтекучее состоя- ние 0, 21( )c BSkT n и 0, 24 ( )c BSkT n (см. рис. 2, 3 там же в [4]). Сначала преобразуем нелинейные интегральные урав- нения (9) из [3] для компонент анизотропного пара- метра порядка СНМ (типа 3He-A) в магнитном поле к другому более удобному для численного решения виду. Далее, так как нахождение с достаточной точностью приближенных решений нелинейных интегральных урав- нений в аналитическом виде представляет собой до- вольно значительные трудности с математической точки зрения, мы здесь численно решим эти нелинейные ин- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 369 А.Н. Тарасов тегральные уравнения при трех фиксированных значе- ниях плотности НМ, а именно, при 0= 0,3n n , 0= 0,6n n и 0=n n (т.е. при субъядерных и ядерной плотностях нейтронной материи). Будут вычислены величины рас- щепления компонент анизотропного параметра по- рядка (ПП) для каждой из этих плотностей при трех значениях умеренно сильного магнитного поля из ин- тервала изменения 16 1710 Гc 10 ГcH≤ ≤ (а именно, при 16= 10 ГcH , 16= 5 10 ГcH ⋅ и 17= 10 ГcH ) и пред- ставлены результаты для наглядности в виде графиков и таблиц. В заключение будут сформулированы выво- ды из полученных результатов расчетов. 2. Общие уравнения для компонент ПП и эффективного магнитного поля в СНМ с обобщенным взаимодействием Скирма и анизотропным спин-триплетным спариванием нейтронов в пределе T = 0 Ранее в [3] была выписана общая система уравне- ний (9) для компонент ( ) ( , , )T n↑ ↓∆ ξ параметра порядка в СНМ с анизотропным триплетным p-спариванием (ти- па 3 He-A) в магнитном поле H . Эти компоненты ПП зависят от температуры T (где 00 < < ( )cT T n ), плотно- сти n числа нейтронов и величины эффективного маг- нитного поля, eff( ) \| \| ( )np H pξ ≡ µ , где < 0nµ — маг- нитный дипольный момент нейтрона [36], eff ( )H p — эффективное магнитное поле, которое перенормирует- ся в плотной НМ за счет ферми-жидкостных эффектов (см. уравнение (2) в [3]) и действует на нейтрон с им- пульсом p. В пределе нулевой температуры эта сис- тема уравнений для определения искомых функций ( ) ( = 0, , ) 0T n↑ ↓∆ ξ ≠ приобретает следующий вид: 2 3 ( ) 3 8 = ( ; = 0, , ). ( ) J a T n c n ± π − ξ  (1) Функции ( ) ( ; = 0, , )J a T n± ξ представляют собой двой- ные интегралы: 1max 2 4 ( ) 2 ( )0min (1 )( ; = 0, , ) = . ( , ; ) p p xJ a T n dqq dx E q x ± ± − ξ ξ∫ ∫ (2) Здесь max = 1Fp p a+ , min = 1Fp p a− с параметром обрезания 0 < < 1a , = / ( )c Fa E nε ; где cE — энергия обрезания, 2( ) = / 2F F nn p m∗ε и ( )Fp n — энергия и им- пульс Ферми соответственно; nm∗ — эффективная масса нейтрона, которая зависит от плотности n числа ней- тронов в СНМ и от обобщенных параметров 1( )t n′ и 2 ( )t n′ Скирма [18–21] согласно общей формуле (см. (10) в [3] и (29) в [4]): 0 1 2* 2= 1 [ ( ) 3 ( )], 4n mynm t n t n m ′ ′+ +  (3) где = ( ) / 2p nm m m+ — среднее значение массы сво- бодного нуклона [36]. Обобщенные параметры 1 1 1 4 4( ) = (1 ) (1 ) ,t n t x t x nβ′ − + − (4) 2 2 2 5 5( ) = (1 ) (1 )t n t x t x nγ′ + + + (5) имеют конкретный явный вид для каждой обобщенной параметризации сил Скирма. Например, для «лучших» (для астрофизических приложений, как уже отмеча- лось во Введении) BSk21 и BSk24 обобщенных пара- метризаций сил Скирма [19,20] явный вид функций , 21( )n BSkm y∗ и , 24 ( )n BSkm y∗ (см. (3)–(5)) был уже выписан в [4] в виде формул (31) и (32) (см. в [4] также явные формулы (33) и (34) для энергии Ферми , 21( )F BSk yε и , 24 ( )F BSk yε , где 0/y n n≡ — приведенная плотность нейтронной материи и 0 = 0,17 фмn ). Однако в этом разделе статьи для большей общности не будем пока конкретизировать параметризацию сил Скирма. Важно отметить, что фигурирующая в уравнении (1) функция 2 3 2( ) ( ) / < 0c n t n′≡  является зависящей от плотности n «константой взаимодействия», которая приводит к спин- триплетному p-спариванию нейтронов в СНМ. В общую формулу (2) также входит энергия 2 ( ) ( , ; )E q x± ξ квазичастиц (нейтронов) в СНМ с анизо- тропным спин-триплетным p-спариванием (типа 3He-A) в магнитном поле (с двумя противоположными значе- ниями проекции спина = 1S куперовской пары нейтро- нов вдоль и против магнитного поля; как и в 3He-A в магнитном поле, где для суммарного спина ядер ато- мов 3 He, образующих куперовские пары, проекции рав- ны 1± в отличие от квазиизотропной сверхтекучей фа- зы 3He-B, где кроме 1± есть еще проекция спина пары, равная нулю): Рис. 1. Функция 21( )BSkS y (см. (27)), зависящая от приве- денной плотности 0/y n n≡ , для плотной НМ с обобщенны- ми BSk21 силами Скирма. 370 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием 2 2 ( ) ( )( , ; ) = ( , ; = 0, ) =E q x E q x T± ±ξ ξ 2 2 2 2 ( )= ( = 0, , )(1 ) ( ( ) ( , )) ,q T n x z q q H↑ ↓∆ ξ − + ± ξ (6) где 2( , = 0) = / 2 ( = 0) ( ) ( )Fz q T q m T q z q∗ −µ ≈ ε − ε ≡ . Для функции ( , )q Hξ , связанной с эффективным магнитным полем в СНМ, справедливо уравнение (2) из [3], которое имеет вид 2 2 4( , ) = ( ) ( ) ( ).np H H r sp K sKξ −µ + + ξ + ξ (7) Здесь ( )r n и ( )s n — функции, зависящие от плотности числа нейтронов ( 0n yn≡ ): 2 0 3 1 2( ) ( / 6) , ( ) ( ( ) ( )) / (4 ),r n t t n s n t n t nα′ ′ ′ ′≡ + ≡ −  (8) 0 0 0 3 3 3= (1 ), = (1 ),t t x t t x′ ′− − (9) а для обобщенных параметров Скирма 1( )t n′ и 2 ( )t n′ см. (4) и (5) выше. Принципиально важно, что теперь коэффициент ( )s n в уравнении (7) зависит от плотно- сти n в отличие от обыкновенных (традиционных) сил Скирма (см. Введение выше и [34]). Это обстоятельст- во приводит к качественным различиям в результатах по сравнению со случаем обыкновенных сил Скирма, для которых только коэффициент ( )r n зависел от плотности (см. (8)). Функционалы 2 ( )K ξ и 4 ( )K ξ в уравнении (7) при конечных температурах из интервала 00 < < ( )cT T n были уже ранее выписаны в [3] (см. (6), (7) там). Те- перь в пределе = 0T функционалы 2 ( )K ξ и 4 ( )K ξ при- обретают следующий вид: 1max 2 3 0min 1( ) = ( , ; ) 8 p p K dqq dx q xσ σ ξ κ ξ π ∫ ∫  , (10) где 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( , ; ) = . ( , ; ) ( , ; ) z q q z q qq x E q x E q x+ − + ξ − ξ κ ξ − ξ ξ (11) В результате решения уравнения (7), с учетом (10), (11) был получен следующий результат при = 0T (см. формулу (10) в [35] для обобщенных сил Скирма; ср. также с формулой (7) в [33] для обыкновенных сил Скирма в нейтронной материи): eff , \| \| ( , ) ( , ) ( ) n F BSk F BSk H p H y H y µ γ ≡ = ε ext, 0 ( , ) 1 ( / ), 1 ( ) 2 ( ) BSk BSk BSk h y H y n n R y S y = ≡ − −  (12) где ext, , \| \| ( , ) < 1. ( ) n BSk F BSk H h y H a y µ ≡ ε  (13) Здесь ext, ( , )BSkh y H — приведенная (безразмерная) энер- гия Зеемана нейтрона в магнитном поле H . Введенная в (12) функция ( , )BSk y Hγ представляет собой приве- денную (безразмерную) энергию Зеемана нейтрона в эффективном магнитном поле eff ( , )FH p H в нейтрон- ной материи. Индексы «BSk» обозначают обобщенные силы Скирма (см. [18–21]), которые мы пока не кон- кретизируем. Функции ( )BSkR y и ( )BSkS y в (12) выражаются че- рез ( )r n и ( )s n (см. (8)) следующими формулами (ин- дексы «BSk» здесь опустим для упрощения записи формул): 2( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), 2 2 F F F n nR y r n S y s n p nν ν ≡ ≡ (14) где * 2 3 3( ) = = 2 ( ) F F F m pnn n ν ε π  (15) представляет собой плотность состояний на поверхно- сти Ферми в нейтронной материи с плотностью числа нейтронов 0=n yn . Величина 3 0 = 0,17 фмn − — харак- терная ядерная плотность, которая играет здесь лишь роль «единицы измерения» удобной при больших плотностях, свойственных нейтронным звездам (НЗ) в их глубинных областях (в ядре НЗ). Теперь преобразуем два нелинейных интегральных уравнения (1) к виду более удобному для нахожде- ния их решений относительно искомых функций ( ) ( = 0, , )T n↑ ↓∆ ξ . Для этого введем по определению новые величины: ( ) ( ) ( = 0, , ) ( = 0, , ) ( ) F F G T n T n p n ↑ ↓ ↑ ↓ ξ ∆ ξ ≡ ≡ ( ) 1,(2)( ) ( = 0, , ) . ( ) F F F F n g T n gx p n p ↑ ↓ε ξ ε ≡ ≡ (16) Введенные здесь обозначения 1,(2)( ) ( = 0, , ) ( = 0, ) ( , )g T y g T y x y H↑ ↓ ξ ≡ , (17) ср. с аналогичными обозначениями, которые использо- ваны при = 0H и 00 < < ( )cT T n в предыдущей статье [4]. А именно, после формулы (7) в [4] мы отмечали, что при = 0H функция ( ) ( , ) ( , )F Fp n T n G T n∆ ≡ — это мак- симальная величина щели в анизотропном энергетиче- ском спектре нейтронов в СНМ. А функция ( , ) ( , ) / ( )F Fg T n G T n n≡ ε — редуцированная (приве- денная) энергетическая щель при = 0H . При = 0H и = 0T функция ( ; = 0, )g a T y , которая зависит еще и от параметра обрезания 0 < < 1a , связана с приведенной температурой 0 0 ( ; ) ( ; ) < 1 ( ) c c F T a y t a y a y ≡ ε  фазового перехода НМ из нормального в сверхтекучее состояние с триплетным анизотропным p-спариванием Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 371 А.Н. Тарасов типа 3 He-A (при = 0H ) следующей формулой (см. (23) в [4]): 0 5( ; = 0, ) = exp ( ; ), 2 6 cg a T y C t a yπ  −    (18) где = 0,5772156649...C — постоянная Эйлера [37]. При- чем, отношение функций ( ; = 0, )g a T y и 0 ( ; )ct a y явля- ется универсальной величиной, т.е. не зависит ни от параметра обрезания 0 < < 1a , ни от природы взаимо- действия в сверхтекучей ферми-жидкости с анизотроп- ным триплетным p-спариванием (в частности, форму- ла (18) справедлива для произвольной параметризации сил Скирма в СНМ) и в точности совпадает с анало- гичным соотношением для сверхтекучей 3 He-A фазы (см., например, [5]). Соотношение (18) зависит только от симметрии ПП сверхтекучей системы. В формулах (16), (17) учтено наличие магнитного по- ля (в пределе нулевой температуры) и две проекции спина ( = 1S ) на направление поля триплетной купе- ровской пары нейтронов в СНМ типа 3He-A (о чем подробнее уже упоминали перед (6)). Таким образом, необходимо решить два нелинейных интегральных урав- нения (1) относительно двух новых неизвестных функ- ций 1,(2) ( , )x n H , которые не равны между собой, и это свидетельствует о «расщеплении» энергетической ще- ли в СНМ в магнитном поле. Очевидно, что 1 2( , = 0) = ( , = 0) = 1.x n H x n H (19) Подставляя (16) в формулу (6) для 2 ( ) ( , ; )E q x± ξ и затем в (2), получим для двойных интегралов ( ) ( ; = 0, , )J a T n± ξ следующие выражения: 15 4 ( ) 1 ( ) ( ; = 0, , ) = ( ) a F F a p nJ a T n duu n + ± − ξ × ε ∫ 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1,(2) 1 . (1 ) [ (1 ( )) 1 (1 ( ))] xdx u g x x u S y S y − × − + ± γ − ± γ − ∫ (20) Эти выражения для функций ( ) ( ; = 0, , )J a T n± ξ можно привести к виду, содержащему лишь однократные ин- тегралы: ___________________________________________________ 5 ( ) 1,(2) ( ) 1( ; = 0, , ) = ( ) F F p nJ a T n n gx± γ × ε ( ) 1 3 2 2 2 1,(2)1 1 1 ( )(1 ( )) (1 2 ( )) 1 2 a a du u S y S y S y g x + −     × − γ − ± γ − − −     ∫ 2 2 1,(2)5 2 2 2 2 21,(2) 1,(2) (1 ( )) ( (1 ( )) 1) arctg 2 2 (1 ( )) 1 1 ( ) ugxS y S yu u g x g x S y u S y    ± γ ±γ − −  − − +   γ ± γ − ±  ± γ  2 2 1,(2) 1 ( ) 1 . 2 1 ( ) S yu u gx S y ± γ γ + − ±  ± γ  (21) Сюда входят известные уже нам функции: 0 < ( ) = / ( ) < 1c Fa n E nε (где энергия обрезания = constcE не зависит от плотности n); ( , ) ( , ) / ( ) 1F Fy H p H nγ ≡ ξ ε  вида (12), а также ( )S y вида (14) (см. (8) и (15)) и ( ; = 0, )g a T y (см. (18)). Введем теперь по определению следующие интегралы (k = 1, 3, 5): 1 1,(2) 1,(2) 21 ( ; , , ) arctg . (1 ( )) 1 1 ( ) a k k a ugx I a x y duu S y u S y + −      ±γ ≡  γ ± γ − ±  ± γ  ∫ (22) Используя это определение интегралов 1,(2)( ; , , )kI a x y ±γ и формулу (21) для ( ) ( ; = 0, , )J a T n± γ , запишем нели- нейные интегральные уравнения (1) относительно искомых неизвестных функций 1,(2) ( , )x y H в следующем общем виде (в котором обобщенная параметризация сил Скирма BSk пока не конкретизирована): 372 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием 2 02 2 2 2 1,(2) 1,(2) 3 ( )( ) 1 ( )(1 ( )) (1 2 ( )) 11 = 4 2 nn ym yt n S y S y S y gx g x ∗  ′ γ − ± γ − − − − ×    2 3 1,(2) 5 1,(2)2 2 1,(2) 1( ; , , ) (1 ( )) ( ; , , ) 2 I a x y S y I a x y g x × ±γ − ± γ ±γ + ( ) ( )2 5/2 5/2 1 1,(2) 1,(2) 1 ( ) 11 (1 ( )) ( ; , , ) (1 ) (1 ) 2 5 S yS y I a x y a a gx ± γ+ γ − ±γ + + + − +  3/2 3/2 3/2 1,(2) 1 ( ( ) 1) 1 4 1 (1 ) (1 ) . 2 3 5 1 ( ) S y a a gx S y   ± γ − γ  + − + − −  ± γ      (23) ______________________________________________ Чтобы решить приближенно (с достаточной точно- стью) два нелинейных интегральных уравнения (23) относительно неизвестных функций 1 2( , ) ( , )x y H x y H≠ , определяющих расщепление компонент ПП в маг- нитном поле (см. (16)), ограничимся рассмотрением конкретной обобщенной параметризации BSk21 сил Скирма в СНМ [19]. Нахождению этих решений по- священ следующий раздел. 3. Численное решение интегральных уравнений для компонент ПП в СНМ с обобщенными BSk21 силами Скирма и анизотропным триплетным p-спариванием в умеренно сильных магнитных полях при T = 0 Для случая обобщенной BSk21 параметризации сил Скирма [19] имеем из общей формулы (3) следующее явное выражение для эффективной массы нейтрона в плотной нейтронной материи (см. (31) в [4]): *, 21( )n BSkm y ≈ 1/121 (3,97930 0,0422618 3,89571) m y y y ≈ + + − , (24) где 2= ( ) / 2 938,9187 MэB / cp nm m m+ ≈ — среднее значение массы свободного нуклона [36]. С учетом (24) получим уточненное выражение для энергии Ферми в НМ с BSk21 силами Скирма (ср. с (33) в [4], где общий множитель был округлен с точностью лишь до 5 зна- чащих цифр): 2/3 1/12 , 21( ) [1 (3,97930F BSk y y y yε ≈ + + 0,0422618 3,89571)]60,90152 (МэВ).y+ − (25) Здесь в общем множителе 60,90152 (МэВ) специально сохранено 7 значащих цифр. Повышенная точность вы- числений (по ср. с [4]) связана с тем, что точность ре- зультата приближенного решения двух нелинейных ин- тегральных уравнений (23), как оказалось, очень сильно зависит от точности вычисления всех величин, кото- рые входят в (23). Приведем для удобства уточненное значение фун- даментальной величины 2( )c (см. [36]), которая вхо- дит в знаменатель общего множителя перед {...} в уравнениях (23) и учтена при выводе уточненного об- щего множителя в (25), а именно: 2 2 2( ) 38937,9304 (МэВ ·фм ).c ≈ (26) Теперь, используя уточненные выражения (24)–(26), получим из формул (14), (15) с учетом (8), что функция 21( )BSkS y (которая входит в (23) и является, как легко убедиться, безразмерной величиной) имеет следующий явный вид: 21( )BSkS y ≈ 1/12 1/12 0,001537217 [1760,82 41,2311 1294,08 ] . 1 (3,97930 0,0422618 3,89571) y y y y y y + − ≈ + + − (27) См. также график (рис. 1) этой монотонной функ- ции 21( )BSkS y на интервале изменения приведенной плотности 0,1 1,7y≤ ≤ (т.е. при субъядерных и сверхъ- ядерных плотностях НМ). Выражение для плотности состояний , 21( )F BSk yν нейтронов на поверхности Ферми в НМ с обобщенной BSk21 параметризацией сил Скирма имеет, согласно формулам (15), (25), вид 0 , 21 , 21 3 ( ) = 2 ( )F BSk F BSk n y y y ν ≈ ε 1/3 1/12 3 0,004187088 1 . 1 (3,97930 0,0422618 3,89571) ( МэВ·фм ) y y y y ≈ + + − (28) С учетом этого выражения для , 21( )F BSk yν , а также формул (14), (8) и (9), получим для немонотонной функции 21( )BSkR y (которая, как и 21( )BSkS y , является Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 373 А.Н. Тарасов безразмерной величиной и входит в формулу (12) для функции 21( , )BSk y Hγ ) следующую формулу: 1/3 1/12 21 1/12 0,002093544 [454,645 127,577 ]( ) . 1 (3,97930 0,0422618 3,89571) BSk y yR y y y y + ≈ − + + − (29) Теперь из формулы (12) с учетом (13), (25), а также (27) и (29) для 21( )BSkS y и 21( )BSkR y можно получить явное выражение для функции 21( , )BSk y Hγ (которая линейным образом зависит от H , нелинейно зависит от 0/y n n≡ и входит в уравнения (23), которые ниже решены численно). Учтем при этом также уточненное значение магнитного дипольного момента нейтрона: 170,603077 10n −µ ≈ − ⋅ МэВ/Гс (см. [36]). Не будем здесь выписывать нелинейную по y функцию 21( , )BSk y Hγ из-за ее громоздкого явного вида, но приведем график функции 16 21( , = 10 Гc)BSk y Hγ (см. рис. 2). Отметим также, что обобщенный параметр Скирма 2, 21( )BSkt y′ (см. общий множитель в уравнениях (23) перед {...}) имеет согласно формуле (5) следующий вид (см. также [19]): 1/12 5 2, 21( ) = ( 1390,38 1294,08 ) (МэВ·фм ).BSkt y y′ − + (30) Причем в интервале изменения приведенной плотно- сти НМ 0,1 2,0y≤ ≤ , который здесь исследуется, функция 2, 21( ) < 0BSkt y′ принимает отрицательные зна- чения. Это приводит к притяжению нейтронов и к их триплетному p-спариванию (см. выше общее замеча- ние после формулы (5)). Заметим, что параметр обрезания 210 < ( ) =BSka y , 21= / ( ) < 1c F BSkE yε является нелинейной функцией от приведенной плотности 0/y n n≡ (см. (25) для , 21( ))F BSk yε и чтобы его конкретизировать выберем энергию обре- зания = 10 МэВcE , как и в статьях [1–4]. Наконец, приведем выражение для функции 21( ; = 0, )BSk cg E T y (см. (17), (18) и см. ее график (рис. 3) при = 10 МэВcE ): 21( ; = 0, )BSk cg E T y ≈ 5/6 , 21( ) c F BSk E e y ≈ × ε 2 4 , 21 , 21 3 3exp 16 ( ) 512 ( ) c c F BSk F BSk E E y y      × + ×       ε ε     1/12 1/12 1 (3,97930 0,0422618 3,89571) exp (2,65286 2,85028) y y y y y  + + − ×   −   (31) (ср. с формулой (35) в [4] для функции 0, 21( ; )c BSk cT E y ). Таким образом, для случая СНМ с BSk21 силами Скирма приведены выше выражения для всех величин и функций, которые входят в интегральные уравнения (23). Заметим, что уравнения (23) можно свести к ре- шению системы двух трансцендентных уравнений. Однако это не приводит к заметному упрощению зада- чи из-за громоздкого вида этих уравнений, а при удер- жании в трансцендентных уравнениях лишь главных по порядку величины слагаемых (и пренебрежении ос- тальными слагаемыми) теряется точность полученных решений настолько, что существенно искажает иско- мые решения и приводит к неправильным результатам. Так как решение этих двух нелинейных интегральных уравнений (23) в общем аналитическом виде для иско- мых функций 1,(2) ( , )x y H получить математически слож- но, то ограничимся здесь нахождением 1,(2) ( , )x y H при трех фиксированных значениях приведенной плотно- сти: = 0,3y , = 0,6y и = 1,0y , а также при трех значе- ниях умеренно сильного магнитного поля: 16= 10 ГcH , Рис. 2. Функция 16 21( , = 10 Гc)BSk y Hγ (см. (12)) при 16= 10 ГcH для плотной НМ с обобщенными BSk21 силами Рис. 3. 21(10; = 0, )BSkg T y — редуцированная щель (как функ- ция приведенной плотности 0/y n n≡ при = 0H , см. (17), (19) и (31)) в энергетическом спектре СНМ с BSk21 силами Скир- ма при = 10 МэВcE в пределе = 0T . 374 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием 16= 5 10 ГcH ⋅ и 17= 10 ГcH . Сначала найдем графиче- ским способом приближенные решения 1,(2) ( , )x y H при этих фиксированных значениях плотности и маг- нитного поля (см., например, рис. 4, 5, на которых пред- ставлены результаты графического решения уравне- ний (23) при = 0,3y и при = 1,0y , т.е. при субъядерной и ядерной плотностях, и при трех выбранных выше значениях магнитного поля H ), а затем прямой под- становкой в уравнения (23) уточним численные значения полученных решений и представим их в виде таблицы (см. табл. 2). Полученные таким способом результаты расчетов иллюстрируют основные особенности реше- ний нелинейных уравнений (23), которые мы проана- лизируем в Заключении. Результаты численных расчетов по формулам (25) для энергии Ферми , 21( )F BSk yε , (27) для функции 21( )BSkS y (см. также рис. 1), (31) для 21(10; = 0, )BSkg T y (при Рис. 4. (Онлайн в цвете) Решения 1,(2)( = 0,3, )x y H (см. (17)) в пределе = 0T системы двух нелинейных интегральных уравнений (23) (с верхними (нижними) знаками соответст- венно) при = 10 МэВcE для СНМ (с BSk21 силами Скирма) субъядерной плотности 0= 0,3n n при трех значениях уме- ренно сильного магнитного поля. Решения 1,(2)( = 0,3, )x y H определяются точками пересечения оси абсцисс сплошными линиями (линиями из точек), соответствующими трем значе- ниям поля: для 16= 10 ГcH — 3 (4), 16= 5 10 ГcH ⋅ — 2 (5) и 17= 10 ГcH — 1 (6). Рис. 5. (Онлайн в цвете) Аналогичные (как на рис. 4) реше- ния 1,(2)( = 1,0, )x y H (см. (17)) в пределе = 0T системы двух нелинейных интегральных уравнений (23) при = 10 МэВcE для СНМ (с BSk21 силами Скирма) ядерной плотности 3 0 = 0,17 фмn − при трех значениях умеренно сильного магнит- ного поля: для 16= 10 ГcH — 3 (4), 16= 5 10 ГcH ⋅ — 2 (5) и 17= 10 ГcH — 1 (6). Таблица 1. Значения функций, которые входят в нелинейные уравнения (23) (при = 0T ), при фиксированных значениях приведенной плотности 0= /y n n для СНМ с BSk21 силами Скирма (см. [19]) и при = 10 МэВcE y , 21( )F BSk yε , МэВ 21( )BSkS y 21(10; = 0, )BSkg T y 21( , )BSk y Hγ , ([ ] = Гc)H 0,3 25,0561 0,3078548 0,001064179 0,01918614·10–17H 0,6 42,0370 0,5252933 0,002900552 0,01435668·10–17H 1,0 68,5661 0,6935742 0,001124166 0,01264630·10–17H Таблица 2. Результаты численного решения нелинейных уравнений (23) (при = 0T и наличии умеренно сильных магнит- ных полей, 16 1710 Гc 10 ГcH≤ ≤ ) для СНМ с BSk21 силами Скирма и при = 10 МэВcE y 16= 10 ГcH 1( , )x y H 16= 10 ГcH 2( , )x y H 16= 5 10 ГcH ⋅ 1( , )x y H 16= 5 10 ГcH ⋅ 2( , )x y H 17= 10 ГcH 1( , )x y H 17= 10 ГcH 2( , )x y H 0,3 0,975 1,025 0,906 1,100 0,828 1,202 0,6 0,987 1,012 0,942 1,058 0,885 1,119 1,0 0,981 1,015 0,937 1,060 0,875 1,122 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 375 А.Н. Тарасов c = 10 МэВE — см. рис. 3), а также значения, которые принимает функция 21( , )BSk y Hγ (см. (12) и рис. 2, где 16= 10 ГcH ) при = 0,3y , 0,6, 1,0 приведены в табл. 1. Эти значения подставляем затем в уравнения (23) и по- лученные уточненные решения для 1 2( , ) ( , )x y H x y H≠ при трех выбранных значениях умеренно сильного маг- нитного поля (см. табл. 2). 4. Заключение Проанализируем результаты расчетов, иллюстриру- ющих основные особенности решений нелинейных урав- нений (23). Отметим, что из математической структуры интегральных уравнений (23) (справедливых в пре- деле = 0T для произвольных обобщенных BSk па- раметризаций сил Скирма) для компонент ПП сле- дует, что расщепление решений в магнитном поле, ( , ) ( , )y H y H↑ ↓∆ ≠ ∆ (см. (16), (17)), имеет, очевидно, место при всех субъядерных и сверхъядерных значе- ниях плотности, при которых в СНМ может существо- вать анизотропное триплетное p-спаривание типа 3He-A (см., например, для BSk21 рис. 3 для функции 21(10; = 0,BSkg T y)). Величина этого расщепления опре- деляется значениями функций 1 2( , ) < 1,0 < ( , )x y H x y H (см. (16), (17), (19)), которые мало отличаются от 1,0 (см., например, для BSk21 обобщенных сил Скирма табл. 2) даже в умеренно сильных магнитных полях 16 1710 Гc 10 ГcH≤ ≤ . Более сильные магнитные поля 17> 10 ГcH специально здесь не рассматривали, так как в используемом в этой работе ферми-жидкостном подходе предполагаем, что справедливы неравенства вида ,\| \| < ( )n c F BSkH E nµ ε . Аналогичное рассмот- рение в принципе можно провести и для более сложно- го случая любого фиксированного значения темпе- ратуры из интервала 0,0 < < ( )c BSkT T n существования СНМ при наличии магнитного поля. Главное, что это расщепление решений 1 2( , ) ( , )x y H x y H≠ интеграль- ных уравнений для компонент ПП свидетельствует о возникновении в магнитном поле «новой» фазы сверх- текучей нейтронной материи с анизотропным триплет- ным p-спариванием (аналог фазы 3 1He-A , возникаю- щей в сверхтекучем 3 He в магнитном поле). Вблизи 0, ( )c BSkT n при 0H ≠ мы уже провели аналогичное ис- следование в работе [3]. Но вблизи 0, ( )c BSkT n (при 0, ( )c BSkT T n ) компоненты ПП становятся малыми по величине и интегральные уравнения (9) из [3] можно упростить (линеаризовать) в отличие от предельного случая = 0T , рассмотренного в настоящей работе. Подчеркнем, что хотя некоторая аналогия со сверх- текучими фазами 3 1,2He-A имеет место, но конкрет- ный характер зависимости поверхностей на фазовой диаграмме, которые разграничивают разные фазы для случая СНМ с анизотропным триплетным p-спарива- нием, имеет качественно и количественно другую за- висимость и от плотности (немонотонную), и от маг- нитного поля. Отметим также, что, как следует из структуры общих интегральных уравнений (23) (при = 0T ), само расщепление 1 21,0 ( , ) ( , ) 1,0x y H x y H− ≠ − является слабо асимметричным (как и в сверхтекучем 3He, см. [5], [38] и ссылки там) из-за разной величины интегралов ( ; , , ) ( ; , , )k kI a x y I a x yγ ≠ −γ (где k = 1, 3, 5; см. определение (22)), хотя различие их мало (для значе- ний x близких к = 1x ). Малое различие этих интегралов, как функций от x, может быть наглядно продемонстри- ровано, если построить их графики при фиксированных значениях плотности и умеренно сильного магнитного поля. Для этого нужно предварительно вычислить зна- чения функций, которые входят в формулы (22) (см., например, табл. 1). Причем, малая асимметрия расще- пления решений уравнений (23) слабо нелинейно воз- растает с ростом магнитного поля. Смотри численные результаты в табл. 2 для найденных решений 1( , )x y H и 1( , )x y H (а также рис. 4, 5), которые иллюстрируют наглядно эти утверждения и о малой асимметрии реше- ний относительно 1 2( , = 0) = ( , ) = 1,0x y H x y H (см. (19)), и о слабо нелинейной зависимости этой асимметрии от H (которая проявляется уже в умеренно сильных магнитных полях из интервала 16 1710 Гc 10 ГcH≤ ≤ ). Отметим также, что величина расщепления реше- ний при = 0,3y больше по величине, чем при = 1,0y (ср. между собой рис. 4 и 5, а также уточненные резуль- таты численных расчетов в табл. 2). Это объясняется тем, что энергия Ферми в НМ (25) монотонно возрас- тает с плотностью и по сравнению с ней энергия Зее- мана в эффективном магнитном поле играет более за- метную роль при меньших плотностях (см. (12) и рис. 2, например, для монотонно убывающей функции 21( , )BSk y Hγ при 16= 10 ГcH ). Заметим здесь еще, что особенностью уравнений (23) является то, что завися- щие от магнитного поля слагаемые (1 2 ( )S y±γ − ) в чис- лителе дроби внутри множителя вида [...] перед инте- гралом 3 1,(2)( ; , , )I a x y ±γ в уравнениях (23) становятся малыми по величине вблизи максимума функции 21(10; = 0, )BSkg T y (см. (31) и рис. 3). Это объясняется тем, что функция 21( ) 0,500002BSkS y ≈ при = 0,558y (см. (27) и рис. 1). Поэтому расщепление решений уравнений (23) (для случая BSk21 параметризации сил Скирма в НМ) при = 0,6y оказалось меньше по вели- чине не только по сравнению с расщеплением решений при = 0,3y , но и по сравнению с = 1,0y (см. табл. 2). Наконец отметим, что открытый еще в 1948 году английскими астрономами М. Райлом (M. Ryle) и Ф.Г. Смитом (F.G. Smith) в созвездии Кассиопеи самый яр- кий источник радиоизлучения в нашей Галактике «Млечный путь», названный ими «Кассиопея А» (или кратко Cas A), оказался связанным с нейтронной звез- дой (НЗ), которая излучает также в рентгеновском диапазоне. Это излучение было обнаружено в августе 1999 г. с помощью рентгеновского космического теле- скопа НАСА названного «Чандра» (“Chandra”). Осо- бенностью этой самой молодой НЗ (возраст ее около 376 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием 340 лет) в нашей Галактике среди известных в настоя- щее время многочисленных нейтронных звезд является ее необычно быстрое остывание, зафиксированное впервые в режиме реального времени. А именно, с авгу- ста 1999 г. по настоящее время ее температура снизи- лась на несколько процентов (см. в [39–41] подробнее). Ряд авторов [42–46] объясняют столь быстрое осты- вание НЗ в Cas A существованием именно триплетной сверхтекучести нейтронов в жидком плотном внешнем слое ядра (толщиной несколько километров) внутри этой нейтронной звезды. Таким образом, эта молодая НЗ является реальным примером (одним из многих по- добных компактных сверхплотных объектов во Все- ленной), где может существовать триплетное спаривание нейтронов. В магнетарах же (о которых было отмечено во Введении и к которым имеет отношение данное ис- следование), кроме такого типа сверхтекучести ней- тронов присутствует сильное магнитное поле, которое в сердцевине этих НЗ может превышать 1710 Гc. _______ 1. A.N. Tarasov, J. Phys.: Conf. Ser. 400, 032101 (2012) [LT26]; arXiv:nucl-th/1301.5528. 2. A.N. Tarasov, Plenary talk in: Proceedings of the Int. School-Seminar “New Physics and Quantum Chromodyna- mics at External Conditions” (NPQCD-2013), Dnipropet- rovsk, Ukraine (2013), p. 25. 3. A.N. Tarasov, EPL (Europhys. Lett.) 105, 52001 (2014). 4. A.N. Tarasov, Fiz. Nizk. Temp. 42, 222 (2016) [Low Temp. Phys. 42, 169 (2016)]. 5. D. Vollhardt and P. Wölfle, The Superfluid Phases of Helium 3, Taylor and Francis, London (1990). 6. R.C. Duncan and C. Thompson, Astrophys. J. 392, L9 (1992). 7. C. Thompson and R.C. Duncan, Astrophys. J. 408, 194 (1993). 8. C. Thompson and R.C. Duncan, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 275, 255 (1995). 9. C. Thompson and R.C. Duncan, Astrophys. J. 473, 322 (1996). 10. P.M. Woods and C. Thompson, in: Compact Stellar X-ray Sources, W.H.G. Lewin and M. van der Klis (eds.), Cam- bridge Astrophysics Series, No. 39, Cambridge University Press, New York (2006), p. 547. 11. P.M. Woods, AIP Conf. Proc. 983, 227 (2008). 12. P. Haensel, A.Y. Potekhin, and D.G. Yakovlev, Neutron Stars 1. Equation of State and Structure, Springer, New York (2007). 13. И.Ф. Малов, Г.З. Мачабели, Аномальные пульсары, Наука, Москва (2009). 14. S. Mereghetti, J.A. Pons, and A. Melatos, Magnetars: Pro- perties, Origin and Evolution, arXiv:astro-ph.HE/1503.06313. 15. M. Sinha and A. Sedrakian, Phys. Rev. C 91, 035805 (2015). 16. M. Stein, A. Sedrakian, X.-G. Huang, and J.W. Clark, Phys. Rev. C 93, 015802 (2016). 17. A. Sedrakian, X.-G. Huang, M. Sinha, and J.W. Clark, From Microphysics to Dynamics of Magnetars, arXiv:astro-ph.HE/ 1701.00895. 18. N. Chamel, S. Goriely, and J.M. Pearson, Phys. Rev. C 80, 065804 (2009). 19. S. Goriely, N. Chamel, and J.M. Pearson, Phys. Rev. C 82, 035804 (2010). 20. S. Goriely, N. Chamel, and J.M. Pearson, Phys. Rev. C 88, 024308 (2013). 21. A.F. Fantina, N. Chamel, J.M. Pearson, and S. Goriely, AIP Conf. Proc. 1645, 92 (2015). 22. P.B. Demorest, T. Pennucci, S.M. Ransom, M.S.E. Roberts, and J.W.T. Hessels, Nature 467, 1081 (2010). 23. J. Antoniadis, P.C.C. Freire, N. Wex, T.M. Tauris, R.S. Lynch, M.H. van Kerkwijk, M. Kramer, C. Bassa, V.S. Dhillon, T. Driebe, J.W.T. Hessels, V.M. Kaspi, V.I. Kondratiev, N. Langer, T.R. Marsh, M.A. McLaughlin, T.T. Pennucci, S.M. Ransom, I.H. Stairs, J. van Leeuwen, J.P.W. Verbiest, and D.G. Whelan, Science 340, 448 (2013) arXiv:astro- ph.HE/1304.6875. 24. А.И. Ахиезер, В.В. Красильников, С.В. Пелетминский, А.А. Яценко, УФН 163, 1 (1993). 25. A.I. Akhiezer, V.V. Krasil’nikov, S.V. Peletminskii, and A.A. Yatsenko, Phys. Rep. 245, 1 (1994). 26. М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский, Статистиче- ская механика квантовых жидкостей и кристаллов, Физматлит, Москва (2006). 27. А.И. Ахиезер, А.А. Исаев, С.В. Пелетминский, А.П. Рекало, А.А. Яценко, ЖЭТФ 112, 3 (1997) [JETP 85, 1 (1997)]. 28. M. Rayet, M. Arnould, F. Tondeur, and G. Paulus, Astron. Astrophys. 116, 183 (1982). 29. Б.И. Барц, Ю.Л. Болотин, Е.В. Инопин, В.Ю. Гончар, Метод Хартри–Фока в теории ядра, Наукова Думка, Киев (1982). 30. В.М. Коломиец, Ядерная ферми-жидкость, Наукова Думка, Киев (2009). 31. С.Н. Шульга, Ю.В. Слюсаренко, ФНТ 39, 1123 (2013) [Low Temp. Phys. 39, 874 (2013)]. 32. A. Vidaurre, J. Navarro, and J. Bernabéu, Astron. Astrophys. 135, 361 (1984). 33. A.N. Tarasov, Ukr. J. Phys. 55, 644 (2010). 34. A.N. Tarasov, Cent. Eur. J. Phys. 9, 1057 (2011). 35. A.N. Tarasov, Ukr. J. Phys. 58, 611 (2013). 36. K. Nakamura et al. (Particle Data Group), J. Phys. G 37, 075021 (2010). 37. Справочник по специальным функциям с формулами, гра- фиками и математическими таблицами, М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Наука, Москва (1979). 38. В.П. Минеев, УФН 139, 303 (1983). 39. W.C.G. Ho and C.O. Heinke, Nature 462, 71 (2009). 40. C.O. Heinke and W.C.G. Ho, Astrophys. J. 719, L167 (2010). 41. K.G. Elshamouty, C.O. Heinke, G.R. Sivakoff, W.C.G. Ho, P.S. Shternin, D.G. Yakovlev, D.J. Patnaude, and L. David, Astrophys. J. 777, 22 (2013). 42. D. Page, M. Prakash, J.M. Lattimer, and A.W. Steiner, Phys. Rev. Lett. 106, 081101 (2011). 43. P.S. Shternin, D.G. Yakovlev, C.O. Heinke, W.C.G. Ho, and D.J. Patnaude, Mon. Not. R. Astron. Soc. 412, L108 (2011). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 377 https://doi.org/10.1088/1742-6596/400/3/032101 https://doi.org/10.1209/0295-5075/105/52001 https://doi.org/10.1063/1.4942757 https://doi.org/10.1063/1.4942757 https://doi.org/10.1086/186413 https://doi.org/10.1086/172580 https://doi.org/10.1093/mnras/275.2.255 https://doi.org/10.1086/178147 https://doi.org/10.1063/1.2900149 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.91.035805 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.93.015802 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.93.015802 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.80.065804 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.82.035804 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.88.024308 https://doi.org/10.1063/1.4909563 https://doi.org/10.1063/1.4909563 https://doi.org/10.1038/nature09466 https://doi.org/10.1126/science.1233232 https://doi.org/10.3367/UFNr.0163.199302a.0001 https://doi.org/10.1016/0370-1573(94)90060-4 https://doi.org/10.1134/1.558307 https://doi.org/10.1063/1.4825363 https://doi.org/10.1088/0954-3899/37/7A/075021 https://doi.org/10.3367/UFNr.0139.198302d.0303 https://doi.org/10.1038/nature08525 https://doi.org/10.1088/2041-8205/719/2/L167 https://doi.org/10.1088/0004-637X/777/1/22 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.081101 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.081101 https://doi.org/10.1111/j.1745-3933.2011.01015.x А.Н. Тарасов 44. П.С. Штернин, Д.Г. Яковлев, УФН 182, 1006 (2012) [Phys.-Usp. 55, 935 (2012)]. 45. D. Page, M. Prakash, J.M. Lattimer, and A.W. Steiner, Stellar Superfluids, in: Novel Superfluids 2, K.H. Bennemann and J.B. Ketterson (eds.), Oxford University Press, Oxford, 505 (2014) [arXiv:astro-ph.HE/1302.6626]. 46. W.C.G. Ho, K.G. Elshamouty, C.O. Heinke, and A. Potekhin, Phys. Rev. C 91, 015806 (2015). ___________________________ On the theory of superfluidity of dense neutron matter with anisotropic spin-triplet p-wave pairing in strong magnetic fields A.N. Tarasov The previously derived nonlinear integral equations for the components of the order parameter (OP) of dense superfluid neutron matter (SNM) with aniso- tropic spin-triplet p-wave pairing (similar to 3He-A) and with taking into account the effects of magnetic field and finite temperatures are reduced here to the equations for the two components of OP in the limit of zero temperature. These equations (which are valid for arbitrary parametrization of the effective Skyrme in- teraction in neutron matter) are specified and solved numerically for the generalized BSk21 parametrization of the effective Skyrme forces (with additional terms dependent on density n) in neutron matter. As the main result the splitting (nonlinearly growing due to the ef- fect of moderately strong magnetic field H) of the en- ergy gap (in the energy spectrum of neutrons in SNM) is calculated as nonlinear function of density n in the limiting case of zero temperature. A small asymmetry (nonlinearly growing with magnetic field) of the ener- gy gap splitting is also obtained in the range of mode- rately strong magnetic fields 16 1710 G 10 GH≤ ≤ . Phase transitions in neutron matter to superfluid states of such type and so strong magnetic fields might occur (and exist) at subnuclear and supranuclear densities as in liquid outer core of magnetars (strongly magnetized neutron stars). PACS: 21.65.Cd Asymmetric matter, neutron matter; 26.60.Dd Neutron star core; 67.10.Fj Quantum statistical theory; 67.30.H– Superfluid phase of 3He. Keywords: superfluid Fermi liquid, spin-triplet pair- ing, dense neutron matter, generalized Skyrme forces, strong magnetic fields. 378 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 4 https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198719267.003.0010 https://doi.org/10.1103/PhysRevC.91.015806 1. Введение 2. Общие уравнения для компонент ПП и эффективного магнитного поля в СНМ с обобщенным взаимодействием Скирма и анизотропным спин-триплетным спариванием нейтронов в пределе T = 0 3. Численное решение интегральных уравнений для компонент ПП в СНМ с обобщенными BSk21 силами Скирма и анизотропным триплетным p-спариванием в умеренно сильных магнитных полях при T = 0 4. Заключение

К теории сверхтекучести плотной нейтронной материи с анизотропным триплетным p-спариванием в сильных магнитных полях

Institution

Ähnliche Einträge