Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t) = ax(t) + bx(qt) + cx'(qt).
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176018 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 466-493. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176018 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1760182021-02-04T01:26:47Z Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t) = ax(t) + bx(qt) + cx'(qt). We find new properties of solutions of the differential-functional equation x'(t) = ax(t) + bx(qt) + cx'(qt). 2012 Article Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 466-493. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176018 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x'(t) = ax(t) + bx(qt) + cx'(qt). |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176018 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 466-493. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijlinejnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniânejtralʹnogotipaspostoânnymikoéfficientamiilinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijlinejnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniânejtralʹnogotipaspostoânnymikoéfficientamiilinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T13:38:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:38:02Z |
| _version_ |
1837720333439729664 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of solutions of the differential-functional equation x′(t) = ax(t)+bx(qt)+cx′(qt).
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x′(t) =
= ax(t) + bx(qt) + cx′(qt).
В данной работе рассматривается уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt), (1)
где {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1, его частные случаи исследовались многими математиками.
Так, в [1] изучены асимптотические свойства решений уравнения y′(x) = ay(λx) + by(x),
в [2] найдены новые свойства решений уравнения y′(x) = ay(λx), в [3] установлены
условия существования аналитических почти периодических решений уравнения y′(x) =
= ay(λx) + by(x), в [4] построено представление общего решения уравнения (1) при
|c| > 1, в [5] получен ряд результатов о существовании ограниченных и финитных ре-
шений уравнений с линейно преобразованным аргументом, в [6] исследовано поведение
решений уравнения (1) в окрестности точки t = 0, в [7] доказано существование реше-
ний уравнения x′(t) = F (x(2t)) с периодическим модулем. Несмотря на это и на широкие
приложения, которые находят такие уравнения в различных областях науки и техники
(см. [8] и приведенную в ней библиографию), многие вопросы теории дифференциально-
функционального уравнения (1) изучены мало. Это прежде всего касается асимптотиче-
ских свойств решений этого уравнения в окрестности особой точки t = +∞.
С помощью методов, примененных Т. Като и Дж. Б. МкЛеодом в статье [1], а также
использовав [9], докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть:
1) a < 0, bc 6= 0, величина v1 определяется из равенства a+ bqv1 = 0;
2) параметры {m, j} ⊂ N
⋃
{0} удовлетворяют неравенствам
q−Re v1+m
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) < 1,
(∣∣c−1∣∣+ 2
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣) q−Re v1+m < 1
и (∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ba +
c
q
∣∣∣∣) qRe v1+j < 1.
Тогда в случае bc < 0 справедливы утверждения:
c© Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, 2012
466 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 467
1) для произвольной m+ 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функ-
ции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+
+∞∑
n=1
zn(t), t > 0,
где fp(u), 1 ≤ p ≤ m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррент-
ной формулой
fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1;
z1(t) =
(
bc−2q−v1+m+1−bc−1
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
[
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
−tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)]
ebc
−1u du,
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
zn
(
q−1u
)
ebc
−1u du, n = 1, 2, 3, . . . ;
функциональный ряд
∑+∞
n=1 zn(t) непрерывно дифференцируем и имеет асимптотиче-
ское свойство
∑+∞
n=1 zn(t) = O
(
tv1−m−1
)
, t → +∞;
2) каждое m + j + 3 раза непрерывно дифференцируемое решение x(t) уравнения (1)
тождественно равно решению из предыдущего пункта, построенному на основе неко-
торой m + 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с перио-
дом 1;
в случае bc > 0 имеют место утверждения:
1) для произвольной m+ 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функ-
ции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+
+∞∑
n=1
zn(t) + γ x∗(t),
t ≥ ρ > 0,
где ρ — достаточно большая и не зависящая от функции f0(u) постоянная; fp(u), 1 ≤
≤ p ≤ m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррентной форму-
лой
fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1;
z1(t) =
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) [
e−bc
−1(t−ρ)tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
−
−bc−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)
{
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)}
du
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
468 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
−
(
qbc−2 + ac−1
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)zn
(
q−1u
)
du, n = 1, 2, 3, . . . ;
функциональный ряд
∑+∞
n=1 zn(t) непрерывно дифференцируем и имеет асимптотиче-
ское свойство
∑+∞
n=1 zn(t) = O
(
tv1−m−1
)
, t → +∞; функция x∗(t) является частным
решением уравнения (1) и определяется формулой x∗(t) =
∑+∞
k=0 xke
− b
c
q−kt, где xk =
=
ac+ bq−k+1
bc(q−k − 1)
xk−1, k ≥ 1, x0 = 1; γ — произвольная постоянная;
2) каждое m + j + 3 раза непрерывно дифференцируемое решение x(t) уравнения (1)
тождественно равно решению из предыдущего пункта, построенному на основе неко-
торой m + 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с перио-
дом 1 и с некоторой постоянной γ.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде
x′(t) = −bc−1x(t)− ac−1x
(
q−1t
)
+ c−1x′
(
q−1t
)
.
Рассмотрим случай, когда −bc−1 > 0.
Предположим сначала, что непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
имеет асимптотическое свойство x(t) = o (tv1−m) , t → +∞, и определим для краткости
параметр v df
= v1−m. Чтобы исследовать такие решения, запишем последнее уравнение в
интегральной форме. Для этого проинтегрируем вытекающее из него тождество
d
dt
(
x(t)ebc
−1t
)
= −ac−1x
(
q−1t
)
ebc
−1t + c−1x′
(
q−1t
)
ebc
−1t
на бесконечном отрезке [t,+∞). Это можно сделать, так как x(t) = o (tv) , t → +∞ :
x(t) = c−1qx
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
x
(
q−1u
)
ebc
−1udu. (2)
Определим функцию
K(R)
df
=sup
t≥R
t−Re v|x(t)|,
согласно предположениюK(R) стремится к нулю приR → +∞.Использовав интеграль-
ное уравнение (2), оценим с помощью этой функции решение при t ≥ R ≥ 1 :
|x(t)| ≤
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1t)∣∣+ ∣∣aq−vc−1 + bq−v+1c−2
∣∣ e−bc−1tK
(
q−1R
) +∞∫
t
uRe vebc
−1u du. (3)
Чтобы продолжить неравенство, исследуем интеграл
∫ +∞
t
uαe−β u du, α ∈ R, β > 0, на
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 469
отрезке t ≥ 1 с помощью интегрирования по частям:
+∞∫
t
uαe−β u du =
1
β
tαe−β t +
α
β2
tα−1e−β t +
α(α− 1)
β3
tα−2e−β t + . . .
. . .+
α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
βn+1
tα−ne−β t +
α(α− 1) . . . (α− n)
βn+1
+∞∫
t
uα−n−1e−β u du, n ≥ 0.
Если α > 0, α− n ≥ 0 и α− n− 1 < 0, то
+∞∫
t
uα−n−1e−β u du ≤ tα−n−1
+∞∫
t
e−β u du = tα−n−1
e−β t
β
и
+∞∫
t
uαe−βu du ≤ 1
β
tαe−β t +
α
β2
tα−1e−β t +
α(α− 1)
β3
tα−2e−β t + . . .
. . .+
α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
βn+1
tα−ne−β t +
α(α− 1) . . . (α− n)
βn+1
tα−n−1
e−β t
β
=
=
1
β
[
1 + t−1
(
α
β
+
α(α− 1)
β2
t−1 + . . .+
α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
βn
t−n+1 +
+
α(α− 1) . . . (α− n)
βn+1
t−n
)]
tαe−β t ≤ 1
β
[
1 +
M
t
]
tαe−β t, t ≥ 1,
где M = M(α, β) ≥ 0 — некоторая постоянная. Итак,
+∞∫
t
uαe−β u du ≤ 1
β
(
1 +
M
t
)
tαe−β t, t ≥ 1. (4)
При α ≤ 0 эта оценка, очевидно, тоже справедлива. Таким образом, последнее неравен-
ство выполняется для всех параметров α ∈ R, β > 0 с постоянной M, зависящей от
величин α, β.
Продолжим теперь оценку (3) с помощью неравенства (4):
|x(t)| ≤
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1t)∣∣+ ∣∣aq−vc−1 + bq−v+1c−2
∣∣K (q−1R) 1
|bc−1|
(
1 +
M
t
)
tRe v.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
470 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Отсюда получаем
|x(t)|t−Re v ≤
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1t)∣∣ (q−1t)−Re v
q−Re v+
+
∣∣aq−vc−1 + bq−v+1c−2
∣∣K (q−1R) 1
|bc−1|
(
1 +
M
t
)
≤
≤
∣∣c−1∣∣ qK (q−1R) q−Re v +
∣∣aq−vc−1 + bq−v+1c−2
∣∣K (q−1R) 1
|bc−1|
(
1 +
M
R
)
=
=
q−Re v
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣)+
∣∣∣aq−vb + q−v+1c−1
∣∣∣M
R
K
(
q−1R
)
.
Из последнего неравенства следует оценка
K(R) ≤
q−Re v
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣)+
∣∣∣aq−vb + q−v+1c−1
∣∣∣M
R
K
(
q−1R
)
.
Учитывая первое неравенство второго условия теоремы, последнюю оценку можно про-
должить:
K(R) ≤
1 +
∣∣∣aq−vb + q−v+1c−1
∣∣∣M
R
K
(
q−1R
) df
=
(
1 +
M1
R
)
K
(
q−1R
)
.
Применяя это неравенство несколько раз, получаем
K(R) ≤ K
(
q−nR
) n−1∏
k=0
(
1 +
M1
q−kR
)
, n ≥ 1.
Поскольку произведение
∏+∞
k=0
(
1 +
M1
q−kR
)
сходится и K (q−nR) → 0, n → +∞, устрем-
ляя n → +∞ в последнем неравенстве, получаем K(R) = 0, т. е. x(t) ≡ 0.
Итак, непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1), имеющее свойство
x(t) = o (tv1−m) , t → +∞, тождественно равно нулю.
Чтобы построить решение из первого пункта утверждения теоремы, выполним в урав-
нении (1) замену переменных
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+ z(t), t ≥ 1, (5)
где fp(u), 0 ≤ p ≤ m, — непрерывные периодические функции с периодом 1 такие, что
f0(u) ∈ Cm+1(−∞,+∞) и
fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p) fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 471
Для новой искомой функции z(t) получаем равенство
d
dt
(
z(t)ebc
−1t
)
= −ac−1z
(
q−1t
)
ebc
−1t + c−1z′
(
q−1t
)
ebc
−1t+
+
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) d
dt
(
tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
))
ebc
−1t. (6)
Предположим, что функция z(t) помимо непрерывной дифференцируемости имеет свой-
ство z(t) = O (tη) , t → +∞, η ∈ R. Тогда полученное уравнение (6) можно проинтегри-
ровать на бесконечном отрезке [t,+∞) :
z(t) = z1(t) + c−1qz
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
z
(
q−1u
)
ebc
−1 u du, (7)
где
z1(t)
df
=
(
bc−2q−v1+m+1 − bc−1
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
[
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)]
ebc
−1u du.
Оценим функцию z1(t). Для этого распишем разность
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
=
=
(
uv1−m − tv1−m
)
fm
(
ln t
ln q−1
)
+ uv1−m
[
fm
(
lnu
ln q−1
)
− fm
(
ln t
ln q−1
)]
. (8)
Оценим с помощью интегрирования по частям вклад в z1(t) первого слагаемого послед-
ней суммы
(
bc−2q−v1+m+1 − bc−1
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
(
uv1−m − tv1−m
)
fm
(
ln t
ln q−1
)
ebc
−1udu =
= −(v1 −m)
(
c−1q−v1+m+1 − 1
)
fm
(
ln t
ln q−1
) +∞∫
t
uv1−m−1ebc
−1(u−t) du.
Из неравенства (4) для последней формулы получаем оценку∣∣∣∣∣∣(v1 −m)
(
c−1q−v1+m+1 − 1
)
fm
(
ln t
ln q−1
) +∞∫
t
uv1−m−1ebc
−1(u−t) du
∣∣∣∣∣∣ ≤ L1t
Re v1−m−1, t ≥ 1,
где L1 — некоторая постоянная.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
472 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Учитывая непрерывную дифференцируемость периодической функции fm(u), оце-
ним вклад в функцию z1(t) второго слагаемого из правой части равенства (8):∣∣∣∣∣∣(bc−2q−v1+m+1 − bc−1
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
uv1−m
[
fm
(
lnu
ln q−1
)
− fm
(
ln t
ln q−1
)]
ebc
−1udu
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣bc−2q−v1+m+1 − bc−1
∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
uRe v1−mL2
∣∣∣∣ lnu
ln q−1
− ln t
ln q−1
∣∣∣∣ ebc−1u du =
=
∣∣bc−2q−v1+m+1 − bc−1
∣∣ L2
ln q−1
e−bc
−1t
+∞∫
t
uRe v1−m ln
(
1 +
u− t
t
)
ebc
−1u du ≤
≤
∣∣bc−2q−v1+m+1 − bc−1
∣∣ L2
ln q−1
e−bc
−1t
+∞∫
t
uRe v1−mu− t
t
ebc
−1u du,
где L2 — некоторая постоянная. Интегрируя по частям, записываем последнее выраже-
ние следующим образом:
−
∣∣c−1q−v1+m+1 − 1
∣∣ L2
ln q−1
e−bc
−1t 1
t
×
×
+∞∫
t
(
(Re v1 −m+ 1)uRe v1−m − t (Re v1 −m)uRe v1−m−1) ebc−1u du.
Из неравенства (4) следует, что данная функция ограничена сверху функциейL3t
Re v1−m−1
при всех t ≥ 1, где L3 — некоторая постоянная.
На основании изложенного заключаем, что для функции z1(t) справедлива оценка
|z1(t)| ≤ L4t
Re v1−m−1, t ≥ 1,
где L4 — некоторая постоянная.
Построим решение уравнения (7) в виде ряда z(t) =
∑+∞
n=1 zn(t), где
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
zn
(
q−1u
)
ebc
−1u du, n = 1, 2, 3, . . . .
(9)
Для этого докажем методом математической индукции оценку
|zn(t)| ≤ L4q
n−1tRe v1−m−1e
q−1M
(q−1−1) t , t ≥ 1, n = 1, 2, 3, . . . . (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 473
При n = 1 это неравенство, очевидно, выполняется. Предположим, что оно выполня-
ется для некоторого n ≥ 1, и оценим zn+1(t), исходя из его определения (9) и учитывая
неравенство (4):
|zn+1(t)| ≤
∣∣c−1∣∣ q ∣∣zn (q−1t)∣∣+ ∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
∣∣zn (q−1u)∣∣ ebc−1u du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qL4q
n−1q−Re v1+m+1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
L4q
n−1q−Re v1+m+1uRe v1−m−1e
M
(q−1−1)u ebc
−1u du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qq−Re v1+m+1L4q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1L4q
n−1e
M
(q−1−1) t e−bc
−1t
+∞∫
t
uRe v1−m−1ebc
−1u du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qq−Re v1+m+1L4q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t +
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1×
× L4q
n−1e
M
(q−1−1) t e−bc
−1t 1
|bc−1|
(
1 +
M
t
)
tRe v1−m−1ebc
−1t ≤
≤
∣∣∣q
c
∣∣∣ q−Re v1+m+1L4q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t+
+
∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ q−Re v1+m+1L4q
n−1e
q−1M
(q−1−1) t tRe v1−m−1 ≤
≤
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v1+m+1L4q
n−1tRe v1−m−1e
q−1M
(q−1−1) t .
С учетом первого неравенства второго условия теоремы оценку zn+1(t) можно продол-
жить:
|zn+1(t)| ≤ L4q
ntRe v1−m−1e
q−1M
(q−1−1) t , t ≥ 1.
Таким образом, неравенство (10) доказано.
Из теоремы о почленном интегрировании функционального ряда на бесконечном
отрезке [10, с. 727] и неравенства (10) следует, что ряд z(t) =
∑+∞
n=1 zn(t) является не-
прерывным решением уравнения (7).
Продифференцируем функцию z1(t):
z′1(t) = −
(
bc−2q−v1+m+1 − bc−1
)
bc−1e−bc
−1t×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
474 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
×
+∞∫
t
ebc
−1u
[
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)]
du+
+
(
q−v1+m+1
c
− 1
)[
(v1 −m)tv1−m−1fm
(
ln t
ln q−1
)
+
tv1−m−1
ln q−1
f ′m
(
ln t
ln q−1
)]
.
Для производной z′1(t) с помощью рассуждений, аналогичных изложенным выше для пер-
вообразной z1(t), получаем оценку∣∣z′1(t)∣∣ ≤ L5t
Re v1−m−1, t ≥ 1,
где L5 — некоторая постоянная. Из непрерывной дифференцируемости функции z1(t)
и рекуррентной формулы (9) следует непрерывная дифференцируемость всех функций
zn(t), n ≥ 1. Определим коэффициент L6
df
=max{L4, L5} и докажем методом математиче-
ской индукции неравенство
∣∣z′n(t)∣∣ ≤ L6q
n−1tRe v1−m−1e
q−1M
(q−1−1) t , t ≥ 1, n = 1, 2, 3, . . . . (11)
При n = 1 это неравенство выполняется. Предположим, что оно выполняется для не-
которого n ≥ 1, и оценим z′n+1(t), продифференцировав тождество (9) с учетом нера-
венств (4), (10):
z′n+1(t) = c−1z′n
(
q−1t
)
−
(
ac−1 + qbc−2
)
bc−1e−bc
−1t
+∞∫
t
zn
(
q−1u
)
ebc
−1u du−
−
(
ac−1 + qbc−2
)
zn
(
q−1t
)
, n = 1, 2, 3, . . . ,
∣∣z′n+1(t)
∣∣ ≤ ∣∣c−1∣∣ ∣∣z′n (q−1t)∣∣+ ∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ ∣∣bc−1∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
∣∣zn (q−1u)∣∣ ebc−1u du+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ ∣∣zn (q−1t)∣∣ ≤ ∣∣c−1∣∣L6q
n−1q−Re v1+m+1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ ∣∣bc−1∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
L6q
n−1q−Re v1+m+1uRe v1−m−1e
M
(q−1−1)u ebc
−1udu+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣L6q
n−1q−Re v1+m+1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t ≤
≤
∣∣c−1∣∣ q−Re v1+m+1L6q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t +
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1×
× L6q
n−1e
M
(q−1−1) t
∣∣bc−1∣∣ e−bc−1t
+∞∫
t
uRe v1−m−1ebc
−1u du+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 475
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1L6q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t ≤
≤
∣∣c−1∣∣ q−Re v1+m+1L6q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1L6q
n−1e
M
(q−1−1) t
(
1 +
M
t
)
tRe v1−m−1+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ q−Re v1+m+1L6q
n−1tRe v1−m−1e
M
(q−1−1) t ≤
≤
(∣∣c−1∣∣+ 2
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣) q−Re v1+m+1L6q
n−1tRe v1−m−1e
q−1
M (q−1−1) t.
Учитывая второе неравенство второго условия теоремы, оценку z′n+1(t) можно продол-
жить: ∣∣z′n+1(t)
∣∣ ≤ L6q
ntRe v1−m−1e
q−1M
(q−1−1) t , t ≥ 1.
Таким образом, неравенство (11) доказано.
Эта оценка позволяет утверждать абсолютную и равномерную на конечном отрез-
ке сходимость ряда
∑+∞
n=1 z
′
n(t), а следовательно, z(t) является непрерывно дифференци-
руемой функцией и справедливо равенство z′(t) =
∑+∞
n=1 z
′
n(t). Дифференцируя уравне-
ние (7), можно непосредственно убедиться, что сумма функций (5) является решением
уравнения (1), где функция z(t) согласно построению имеет свойство z(t) = O(tv1−m−1),
t → +∞. Первый пункт теоремы доказан.
Из теоремы 5 второго параграфа [9] следует, что для m+ j + 3 раза непрерывно диф-
ференцируемого решения x(t) уравнения (1) имеет место представление
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−2f2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−m+1fm−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−m−1dm+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ 1,
(12)
где fp(u), 0 ≤ p ≤ m, — непрерывные периодические функции с периодом 1 такие, что
f0(u) ∈ Cm+1(R) и fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p) fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1;
dm+1(u) — непрерывно дифференцируемая ограниченная функция. Согласно изложен-
ному выше методу для данной функции f0(u) строится непрерывно дифференцируемое
решение уравнения (1):
x1(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+ z(t), t ≥ 1,
где функция z(t) является функциональным рядом и имеет свойство z(t) = O
(
tv1−m−1
)
,
t → +∞. Разность двух решений x(t)− x1(t) линейного уравнения также является реше-
нием и имеет асимптотическое поведение
x(t)− x1(t) = tv1−m−1
[
dm+1
(
ln t
ln q−1
)
− t−v1+m+1z(t)
]
= o
(
tv1−m
)
, t → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
476 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Отсюда непосредственно следует тождество x(t) ≡ x1(t). Второй пункт теоремы до-
казан.
Рассмотрим случай −bc−1 > 0.
Сначала для действительных постоянных α, β > 0 докажем неравенство
t∫
1
uαeβ u du ≤ 1
β
(
1 +
M
t
)
tαeβ t ∀t ≥ 1, (13)
где M = M(α, β) — некоторая постоянная, необходимое нам в дальнейшем. Для этого
продифференцируем функцию в правой части неравенства:
d
dt
(
1
β
(
1 +
M
t
)
tαeβ t
)
=
[
1 +
M
t
(
1 +
α
βM
+ (α− 1)
1
β t
)]
tαeβ t.
Если постоянная M > 0 достаточно велика, то сумма 1 +
α
βM
> 0, и, следовательно,
при достаточно большом t ≥ T имеем 1 +
α
βM
+ (α− 1)
1
β t
> 0. Последнее неравенство
означает, что
d
dt
t∫
T
uαeβ u du
= tαeβ t <
[
1 +
M
t
(
1 +
α
βM
+ (α− 1)
1
β t
)]
tαeβ t =
=
d
dt
(
1
β
(
1 +
M
t
)
tαeβ t
)
, t ≥ T,
и
t∫
T
uαeβ u du
∣∣∣∣∣∣
t=T
= 0 <
1
β
(
1 +
M
T
)
Tα eβ T .
Из двух последних неравенств следует оценка
t∫
T
uαeβ u du <
1
β
(
1 +
M
t
)
tαeβ t, t ≥ T.
Поскольку при достаточно большом M0 выполняется неравенство
T∫
1
uαeβ u du ≤ 1
β
(
1 +
M0
t
)
tαeβ t, t ≥ 1,
при 1 ≤ t ≤ T получаем
t∫
1
uαeβ u du ≤
T∫
1
uαeβ u du ≤ 1
β
(
1 +
M0 +M
t
)
tα eβ t,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 477
и, следовательно, при t ≥ T имеем
t∫
1
uαeβ u du =
T∫
1
uαeβ u du+
t∫
T
uαeβ u du ≤ 1
β
(
1 +
M0 +M
t
)
tαeβ t.
Таким образом, имеет место оценка
∫ t
1
uαeβ u du ≤ 1
β
(
1 +
M0 +M
t
)
tαeβ t для любого
t ≥ 1. Переходя к первоначальным обозначениям, получаем искомое неравенство (13).
Предположим теперь, что непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
имеет асимптотическое свойство x(t) = o (tv1−m) , t → +∞, и определим для краткости
параметр v df
= v1 −m. Чтобы исследовать такие решения, запишем уравнение
x′(t) = −bc−1x(t)− ac−1x
(
q−1t
)
+ c−1x′
(
q−1t
)
с помощью формулы вариации произвольных постоянных в интегральной форме
x(t) =
(
x(ρ)− c−1qx
(
q−1ρ
))
e−bc
−1(t−ρ)+
+ c−1qx
(
q−1t
)
−
(
ac−1 + bc−2q
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)x
(
q−1u
)
du, t ≥ ρ ≥ 1. (14)
Снова определим функциюK(R)
df
=supt≥R |t−vx(t)| .Согласно предположениюK(R) стре-
мится к нулю приR → +∞.С помощью этой функции, тождества (14) и неравенства (13)
оценим решение при t ≥ ρ :
|x(t)| ≤
(
|x(ρ)|+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1ρ)∣∣) e−bc−1(t−ρ)+
+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1t)∣∣+ ∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ t∫
ρ
e−bc
−1(t−u) ∣∣x (q−1u)∣∣ du ≤
≤
(
K(ρ)ρRe v +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1ρRe v
)
e−bc
−1(t−ρ) +
∣∣c−1∣∣ qK (q−1t) q−Re vtRe v+
+
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)K
(
q−1u
)
q−Re vuRe v du ≤
≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe ve−bc
−1(t−ρ) +
∣∣c−1∣∣ q−Re v+1K
(
q−1ρ
)
tRe v+
+
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ q−Re vK
(
q−1ρ
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v du ≤
≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe ve−bc
−1(t−ρ)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
478 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+
∣∣c−1∣∣ q−Re v+1K
(
q−1ρ
)
tRe v +
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ q−Re vK
(
q−1ρ
) 1
bc−1
(
1 +
M
t
)
tRe v =
=
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe ve−bc
−1(t−ρ)+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
t
)
K
(
q−1ρ
)
tRe v.
Отсюда получаем
|x(t)|t−Re v ≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe vt−Re ve−bc
−1tebc
−1ρ+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
t
)
K
(
q−1ρ
)
.
С помощью соотношения t−Re ve−bc
−1t ≤ L7e
−b1t ∀t ≥ 1, где b1 < bc−1 и сколь угодно
близко к bc−1, а L7 — некоторая постоянная, продолжим последнее неравенство:
|x(t)|t−Re v ≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe vL7e
−b1t+bc−1ρ+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
t
)
K
(
q−1ρ
)
.
Предположим, что t ≥ σ ≥ ρ, тогда
|x(t)|t−Re v ≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe vL7e
−b1σ+bc−1ρ+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
σ
)
K
(
q−1ρ
)
.
Переходя к максимуму по t ≥ σ в левой части, получаем
K(σ) ≤
(
K(ρ) +
∣∣c−1∣∣K (q−1ρ) q−Re v+1
)
ρRe vL7e
−b1σ+bc−1ρ+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
σ
)
K
(
q−1ρ
)
.
Полагая 1 ≤ ρ = σ q
1
2 ≤ σ, получаем
K(σ) ≤
(
K
(
σ q
1
2
)
+
∣∣c−1∣∣K (σ q− 1
2
)
q−Re v+1
)
q
1
2
Re vσRe vL7e
−
(
b1−bc−1q
1
2
)
σ
+
+
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
σ
)
K
(
σ q−
1
2
)
, σ ≥ q−
1
2 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 479
Выбирая b1 достаточно близким к bc−1, можем считать, что −(b1 − bc−1q
1
2 ) = −2ε < 0.
Тогда первое слагаемое в правой части последнего неравенства можно оценить следую-
щим образом:(
K
(
σ q
1
2
)
+
∣∣c−1∣∣K (σ q− 1
2
)
q−Re v+1
)
q
1
2
Re vσRe vL7e
−
(
b1−bc−1q
1
2
)
σ
=
=
(
K
(
σ q
1
2
)
+
∣∣c−1∣∣K (σ q− 1
2
)
q−Re v+1
)
q
1
2
Re vσRe vL7e
−2εσ ≤ L8e
−εσ, σ ≥ q−
1
2 ,
где L8 — некоторая постоянная. Тогда оценку K(σ) можно продолжить:
K(σ) ≤ L8e
−εσ +
((∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) q−Re v +
∣∣a
b +
q
c
∣∣ q−Re vM
σ
)
K
(
σ q−
1
2
)
, σ ≥ q−
1
2 .
В силу второго условия теоремы из последней оценки получаем
K(σ) ≤ L8e
−εσ +
(
1 +
M1
σ
)
K
(
σ q−
1
2
)
, σ ≥ q−
1
2 , (15)
где M1
df
=
∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ q−Re vM.
Докажем методом математической индукции неравенство
K(σ)≤ exp
{
q−
1
2
q−
1
2 − 1
M1
σ
}[
L8
l−1∑
n=0
e−ε q
−n2 σ +K
(
q−
l
2σ
)]
, σ≥ q−
1
2 , l= 1, 2, . . . . (16)
Из оценки (15) следует выполнение данного неравенства при l = 1. Предположим, что
неравенство (16) выполняется для некоторого l ≥ 1, и заменим в нем аргумент σ на про-
изведение q−
1
2σ:
K
(
q−
1
2σ
)
≤ exp
{
1
q−
1
2 − 1
M1
σ
}[
L8
l∑
n=1
e−ε q
−n2 σ +K
(
q−
l+1
2 σ
)]
.
С помощью этого неравенства продолжим оценку (15):
K(σ) ≤ L8e
−εσ +
(
1 +
M1
σ
)
K
(
q−
1
2σ
)
≤
≤ L8e
−εσ +
(
1 +
M1
σ
)
exp
{
1
q−
1
2 − 1
M1
σ
}[
L8
l∑
n=1
e−ε q
−n2 σ +K
(
q−
l+1
2 σ
)]
≤
≤ L8e
−εσ + exp
{
q−
1
2
q−
1
2 − 1
M1
σ
}[
L8
l∑
n=1
e−ε q
−n2 σ +K
(
q−
l+1
2 σ
)]
≤
≤ exp
{
q−
1
2
q−
1
2 − 1
M1
σ
}[
L8
l∑
n=0
e−ε q
−n2 σ +K
(
q−
l+1
2 σ
)]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
480 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Неравенство (16) доказано.
Устремляя в (16) l → +∞ и учитывая, чтоK(R) → 0 приR → +∞, в пределе находим
K(σ) ≤ exp
{
q−
1
2
q−
1
2 − 1
M1
σ
}
L8
+∞∑
n=0
e−ε q
−n2 σ, σ ≥ q−
1
2 .
Таким образом, K(σ) = O (e−εσ) , σ → +∞.
Отсюда получаем, что x(t) = O
(
e−
ε
2
t
)
, t → +∞. Для простоты обозначений запи-
шем x(t) = O
(
e−ε t
)
, t → +∞.
Подставим полученную оценку в интегральное уравнение (14):
|x(t)| ≤
(
|x(ρ)|+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1ρ)∣∣) e−bc−1(t−ρ)+
+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1t)∣∣+ ∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ t∫
ρ
e−bc
−1(t−u) ∣∣x (q−1u)∣∣ du ≤
≤
(
|x(ρ)|+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1ρ)∣∣) e−bc−1(t−ρ)+
+
∣∣c−1∣∣ qL9e
−ε q−1t +
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣ t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)L9e
−ε q−1u du =
=
(
|x(ρ)|+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1ρ)∣∣) e−bc−1tebc
−1ρ+
+
∣∣c−1∣∣ qL9e
−ε q−1t +
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣L9e
−ε q−1t 1− e
−(bc−1−ε q−1)(t−ρ)
bc−1 − ε q−1
,
где L9 — некоторая постоянная. Предполагая, что bc−1 > ε q−1, последнее неравенство
можно продолжить:
|x(t)| ≤
[(
|x(ρ)|+
∣∣c−1∣∣ q ∣∣x (q−1ρ)∣∣) ebc−1ρ +
∣∣c−1∣∣ qL9 +
∣∣ac−1 + bc−2q
∣∣L9
bc−1 − ε q−1
]
e−ε q
−1t.
Таким образом, из неравенства |x(t)| ≤ L9e
−ε t и предположения bc−1 > ε q−1 следует
оценка |x(t)| ≤ L10e
−ε q−1t, где L10 — некоторая постоянная. Повторяя эти рассуждения
конечное число раз, убеждаемся, что из условия bc−1 > ε q−n следует неравенство |x(t)| ≤
≤ L11e
−ε q−n t, t ≥ ρ, где L11 — некоторая постоянная. Выберем ε и n так, что ε q−n <
< bc−1, в то время как ε q−(n+1) > bc−1.
Итак, выполняются неравенства
ε q−n < bc−1, |x(t)| ≤ L11e
−ε q−n t, t ≥ ρ, ε q−(n+1) > bc−1. (17)
Проинтегрируем тождество
d
dt
(
x(t)ebc
−1t
)
= −ac−1x
(
q−1t
)
ebc
−1t + c−1x′
(
q−1t
)
ebc
−1t
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 481
на конечном отрезке [1, T ]:
x(T )ebc
−1T =
[
x(1)− c−1qx
(
q−1
)]
ebc
−1
+ c−1qebc
−1Tx
(
q−1T
)
−
−
(
qbc−2 + ac−1
) T∫
1
ebc
−1ux
(
q−1u
)
du.
С учетом неравенства (17) оценим подынтегральное выражение:∣∣∣ebc−1ux
(
q−1u
)∣∣∣ ≤ ebc
−1uL11e
−ε q−n q−1u =
= L11e
bc−1ue−ε q
−(n+1)u = L11e
−(ε q−(n+1)−bc−1)u.
Поскольку ε q−(n+1)−bc−1 > 0,функция от T в правой части последнего равенства имеет
предел при T → +∞:
lim
T→+∞
(
x(T )ebc
−1T
)
=
[
x(1)− c−1qx
(
q−1
)]
ebc
−1−
−
(
qbc−2 + ac−1
) +∞∫
1
ebc
−1ux
(
q−1u
)
du
df
= γ.
Обозначим z(t)
df
=x(t) − γ x∗(t). Функция z(t) является решением уравнения (1) и имеет
свойство z(t) = o
(
e−bc
−1t
)
, t → +∞. Интегрируя на отрезке [t, T ] тождество
d
dt
(
z(t)ebc
−1t
)
= −ac−1z
(
q−1t
)
ebc
−1t + c−1z′
(
q−1t
)
ebc
−1t,
имеем
z(T )ebc
−1T − c−1qe−bc−1(q−1−1)T ebc
−1q−1T z
(
q−1T
)
− z(t)ebc−1t =
= −c−1qebc−1tz
(
q−1t
)
−
(
ac−1 + qbc−2
) T∫
t
z
(
q−1u
)
ebc
−1u du.
Устремляя T → +∞ в последнем выражении, получаем равенство
z(t)ebc
−1t = c−1qebc
−1tz
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
) +∞∫
t
z
(
q−1u
)
ebc
−1u du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
482 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Определим функцию K1(R)
df
=sup
t≥R
(
ebc
−1t |z(t)|
)
и заметим, что K1(R) стремится к нулю
при R → +∞. Из последнего равенства для t ≥ R получаем оценку
|z(t)|ebc−1t ≤
∣∣c−1∣∣ qebc−1t
∣∣z (q−1t)∣∣+ ∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ +∞∫
t
∣∣z (q−1u)∣∣ ebc−1u du =
=
∣∣c−1∣∣ qe−bc−1(q−1−1)tebc
−1q−1t
∣∣z (q−1t)∣∣+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣ +∞∫
t
∣∣z (q−1u)∣∣ ebc−1q−1ue−bc
−1(q−1−1)u du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qe−bc−1(q−1−1)RK1
(
q−1R
)
+
+
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣K1
(
q−1R
) +∞∫
R
e−bc
−1(q−1−1)u du =
=
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ 1
(q−1 − 1)
)
e−bc
−1(q−1−1)RK1
(
q−1R
)
.
Переходя к максимуму по t ≥ R в левой части неравенства, находим
K1(R) ≤
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ 1
(q−1 − 1)
)
ebc
−1R−bc−1q−1RK1
(
q−1R
)
.
Отсюда следует неравенство
K1(R) ≤
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ 1
(q−1 − 1)
)n
ebc
−1R−bc−1q−nRK1
(
q−nR
)
, n ≥ 1.
Устремляя в нем n → +∞, получаем K1(R) = 0, т. е. z(t) ≡ 0 или x(t) = γ x∗(t).
Итак, непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1), имеющее свойство
x(t) = o (tv1−m) , t → +∞, тождественно равно произведению γ x∗(t) с некоторой по-
стоянной γ.
Чтобы построить решение из первого пункта теоремы, снова выполним в уравнении
(1) замену переменных (5):
z′(t) = −bc−1z(t)− ac−1z
(
q−1t
)
+ c−1z′
(
q−1t
)
+
+
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) d
dt
(
tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
))
.
Запишем это уравнение в интегральной форме с помощью формулы вариации произволь-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 483
ных постоянных:
z(t) =
[
z(ρ)− c−1qz
(
q−1ρ
)
−
(
c−1q−v1+m+1 − 1
)
ρv1−mfm
(
ln ρ
ln q−1
)]
e−bc
−1(t−ρ)+
+ c−1qz
(
q−1t
)
−
(
qbc−2 + ac−1
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)z
(
q−1u
)
du+
+
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) [
e−bc
−1(t−ρ)tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
−
− bc−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)
{
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)}
du
]
.
Предположим, что
z(ρ)− c−1qz
(
q−1ρ
)
−
(
c−1q−v1+m+1 − 1
)
ρv1−mfm
(
ln ρ
ln q−1
)
= 0,
и решим уравнение
z(t) = z1(t) + c−1qz
(
q−1t
)
−
(
qbc−2 + ac−1
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)z
(
q−1u
)
du, t ≥ ρ, (18)
где
z1(t)
df
=
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) [
e−bc
−1(t−ρ)tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
−
− bc−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)
{
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)}
du
]
.
Запишем подынтегральную разность в формуле z1(t) следующим образом:
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
=
(
uv1−m − tv1−m
)
fm
(
ln t
ln q−1
)
+
+ uv1−m
[
fm
(
lnu
ln q−1
)
− fm
(
ln t
ln q−1
)]
. (19)
Оценим вклад в функцию z1(t) первого слагаемого из правой части последнего равенст-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
484 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
ва. Для этого проинтегрируем по частям интеграл
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u) (uv1−m − tv1−m) fm( ln t
ln q−1
)
du =
= fm
(
ln t
ln q−1
)(tv1−m − ρv1−m)(e−bc−1(t−ρ)
bc−1
)
− v1 −m
bc−1
t∫
ρ
uv1−m−1e−bc
−1(t−u) du
.
Из неравенств (13), −bc−1 < 0 и последнего выражения следует оценка
∣∣∣∣∣∣
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u) (uv1−m − tv1−m) fm( ln t
ln q−1
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ L12t
Re v1−m−1, t ≥ ρ ≥ 1,
где L12 — некоторая постоянная.
Теперь оценим вклад в функцию z1(t) второго слагаемого из правой части равенства
(19), т. е. интеграл
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uv1−m
{
fm
(
lnu
ln q−1
)
− fm
(
ln t
ln q−1
)}
du.
Поскольку функция fm(u) периодическая и непрерывно дифференцируемая, выполня-
ется неравенство |fm(u)− fm(s)| ≤ L13|u− s| для {u, s} ⊂ R и некоторой постоянной L13.
Отсюда получаем
∣∣∣∣∣∣
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uv1−m
{
fm
(
lnu
ln q−1
)
− fm
(
ln t
ln q−1
)}
du
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v1−mL13
∣∣∣∣ lnu
ln q−1
− ln t
ln q−1
∣∣∣∣ du =
=
L13
ln q−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v1−m
∣∣∣∣ln(1 + t− u
u
)∣∣∣∣ du ≤
≤ L13
ln q−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v1−m t− u
u
du =
L13
ln q−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v1−m−1(t− u) du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 485
Интегрируя по частям формулу в правой части этого неравенства, получаем выражение
L13
ln q−1
−ρRe v1−m−1(t− ρ)e
−bc−1(t−ρ)
bc−1
− (Re v1 −m− 1) t
bc−1
t∫
ρ
uRe v1−m−2e−bc
−1(t−u) du+
+
Re v1 −m
bc−1
t∫
ρ
uRe v1−m−1e−bc
−1(t−u) du
.
В силу неравенств (13) и −bc−1 < 0 данная функция ограничена сверху произведением
L14t
v1−m−1 на отрезке t ≥ ρ, где L14 — некоторая постоянная.
Суммируя изложенное выше и учитывая неравенство −bc−1 < 0, заключаем, что для
функции z1(t) справедлива оценка
|z1(t)| ≤ L15t
Re v1−m−1, t ≥ ρ,
где L15 — некоторая постоянная.
Определим функции
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
−
(
qbc−2 + ac−1
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)zn
(
q−1u
)
du, n = 1, 2, 3, . . . , (20)
и докажем методом математической индукции неравенство
|zn(t)| ≤ L15q
n−1tRe v1−m−1, n = 1, 2, 3, . . . . (21)
При n = 1 это неравенство выполняется. Предположим, что оно выполняется для неко-
торого n ≥ 1, и оценим функцию zn+1(t), исходя из ее определения и учитывая неравен-
ство (13):
|zn+1(t)| ≤
∣∣c−1∣∣ q ∣∣zn (q−1t)∣∣+ ∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ t∫
ρ
e−bc
−1(t−u) ∣∣zn (q−1u)∣∣ du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qq−Re v1+m+1L15q
n−1tRe v1−m−1+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L15q
n−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)uRe v1−m−1 du ≤
≤
∣∣c−1∣∣ qq−Re v1+m+1L15q
n−1tRe v1−m−1+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L15q
n−1 1
bc−1
(
1 +
M
ρ
)
tRe v1−m−1 =
=
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ (1 + M
ρ
))
q−Re v1+m+1L15q
n−1tRe v1−m−1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
486 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Поскольку из второго условия теоремы следует, что при достаточно большом ρ выпол-
няется неравенство (∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ (1 + M
ρ
))
q−Re v1+m+1 < q,
для функции zn+1(t) получаем оценку
|zn+1(t)| ≤ L15q
ntRe v1−m−1, t ≥ ρ.
Неравенство (21) доказано.
Из неравенства (21) следует, что ряд z(t) =
∑+∞
n=1 zn(t) является непрерывным реше-
нием уравнения (18).
Продифференцируем z1(t):
z′1(t) =
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) [
(v1 −m) tv1−m−1fm
(
ln t
ln q−1
)
+
tv1−m−1
ln q−1
f ′m
(
ln t
ln q−1
)
+
+ b2c−2
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)
{
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)}
du−
− bc−1e−bc−1(t−ρ)tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)]
.
С помощью рассуждений, аналогичных изложенным выше для функции z1(t), для про-
изводной z′1(t) получаем оценку∣∣z′1(t)∣∣ ≤ L16t
Re v1−m−1, t ≥ ρ,
где L16 — некоторая постоянная. Из непрерывной дифференцируемости функции z1(t)
и рекуррентной формулы (20) следует непрерывная дифференцируемость всех функций
zn(t), n ≥ 1. Определим коэффициент L17
df
=max {L15, L16} и докажем методом матема-
тической индукции неравенство∣∣z′n(t)∣∣ ≤ L17q
n−1tRe v1−m−1, t ≥ ρ, n = 1, 2, 3, . . . . (22)
При n = 1 это неравенство выполняется. Предположим, что оно выполняется для не-
которого n ≥ 1, и оценим z′n+1(t), продифференцировав тождество (20), с учетом нера-
венств (13), (21):
z′n+1(t) = c−1z′n
(
q−1t
)
+
(
qbc−2 + ac−1
)
bc−1e−bc
−1t
t∫
ρ
ebc
−1uzn
(
q−1u
)
du−
−
(
qbc−2 + ac−1
)
zn
(
q−1t
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 487
∣∣z′n+1(t)
∣∣ ≤ ∣∣c−1∣∣ ∣∣z′n (q−1t)∣∣+ ∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ bc−1e−bc−1t
t∫
ρ
ebc
−1u
∣∣zn (q−1u)∣∣ du+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ ∣∣zn (q−1t)∣∣ ≤ ∣∣c−1∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1tRe v1−m−1+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1bc−1e−bc
−1t
t∫
ρ
ebc
−1uuRe v1−m−1du+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1tRe v1−m−1 ≤
≤
∣∣c−1∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1tRe v1−m−1+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1
(
1 +
M
ρ
)
tRe v1−m−1+
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ q−Re v1+m+1L17q
n−1tRe v1−m−1 =
=
[∣∣c−1∣∣+ ∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ (1 + M
ρ
)
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣] q−Re v1+m+1L17q
n−1tRe v1−m−1.
Так как из второго условия теоремы следует, что при достаточно большом ρ выполняется
неравенство[∣∣c−1∣∣+ ∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣ (1 + M
ρ
)
+
∣∣qbc−2 + ac−1
∣∣] q−Re v1+m+1 < q,
для производной z′n+1(t) получаем оценку∣∣z′n+1(t)
∣∣ ≤ L17q
ntRe v1−m−1, t ≥ ρ.
Неравенство (22) доказано.
Отсюда получаем непрерывную дифференцируемость решения z(t) =
∑+∞
n=1 zn(t)
уравнения (18) и равенство z′(t) =
∑+∞
n=1 z
′
n(t). Дифференцируя уравнение (18), непосред-
ственной проверкой убеждаемся, что сумма функций (5) является решением уравнения
(1), где функция z(t) согласно построению имеет свойство z(t) = O(tv1−m−1), t → +∞.
Первый пункт теоремы доказан.
Из теоремы 5 второго параграфа [9] следует, что для m+ j + 3 раза непрерывно диф-
ференцируемого решения x(t) уравнения (1) имеет место представление (12). Согласно
изложенному методу для функции f0(u) из формулы (12) строится непрерывно диффе-
ренцируемое решение уравнения (1):
x1(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+ z(t), t ≥ ρ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
488 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
где функция z(t) является функциональным рядом и имеет свойство z(t) = O(tv1−m−1),
t → +∞. Разность двух решений x(t)− x1(t) линейного уравнения также является реше-
нием и имеет следующее асимптотическое поведение:
x(t)− x1(t) = tv1−m−1
[
dm+1
(
ln t
ln q−1
)
− t−v1+m+1z(t)
]
= o
(
tv1−m
)
, t → +∞.
Отсюда, согласно полученному для случая −bc−1 > 0 результату, следует тождество
x(t) ≡ x1(t) + γ x∗(t) с некоторой постоянной γ. Второй пункт утверждения теоремы
доказан.
Теорема доказана.
В заключение рассмотрим уравнение
x(t) = a1x (t− r1) + . . .+ an0x (t− rn0) + bx(qt), (23)
где {ak, bk} ⊂ R, rk > 0, 0 < q < 1, которое изучалось в [9]. Следующая лемма является
необходимым логическим завершением полученных там результатов.
Лемма. Пусть:
1) sup
{
Reλ
∣∣1− a1e−λr1 − . . .− ane−λrn0 = 0
}
< 0, r(t0)
df
=min{t0 − rk, qt0} > 0, b 6= 0,
величина v1 определяется из равенства
bqv1
1− a1 − . . .− an0
= 1;
2) параметры {M, j} ⊂ N
⋃
{0} удовлетворяют неравенствам
(∣∣b−1∣∣+ ∣∣a1b−1∣∣+ . . .+
∣∣an0b
−1∣∣) q−Re v1+M < 1 и
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) ∣∣bqj+Re v1
∣∣ < 1.
Тогда для M + j+1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (23)
из условия x(t) = o(tv1), t → +∞, следует тождество x(t) ≡ 0.
Доказательство. Из условия данной теоремы и теоремы 3 первого параграфа [9] сле-
дует, что для M + j+1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (23)
выполняются неравенства∣∣∣∣t−(v1−k)x(k)(t)− fk,0( ln t
ln q−1
)∣∣∣∣ ≤ K(t0)
1
t
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k)(s)∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k+j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ r(t0), 0 ≤ k ≤ M, (24)
где K(t0) — некоторая постоянная, fk,0(u) — непрерывные периодические функции с
периодом 1.
Изучим свойства предельных функций fk,0(u), 0 ≤ k ≤ M. С этой целью для про-
изводных x(k)(t) выполним замену переменных
x(k)(t) = tv1−kzk
(
ln t
ln q−1
)
, 0 ≤ k ≤ M.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 489
Тогда получим тождества
z′k
(
ln t
ln q−1
)
= ln
(
q−1
)(
−(v1 − k)zk
(
ln t
ln q−1
)
+ zk+1
(
ln t
ln q−1
))
, 0 ≤ k ≤ M − 1,
или
z′k(u) = ln
(
q−1
)
(−(v1 − k)zk(u) + zk+1(u)) .
Из этой формулы и неравенства (24) следует
z′k(u+ n) → ln
(
q−1
)
(−(v1 − k)fk,0(u) + fk+1,0(u))
df
=ψk(u) ∈ C(R), n ∈ N, n → +∞.
Отметим, что функция ψk(u) периодическая с периодом 1. С помощью теоремы Лагран-
жа запишем тождество
Re zk(u2 + n)− Re zk(u1 + n) = Re z′k(u1 + θ(n)(u2 − u1) + n)(u2 − u1), 0 < θ(n) < 1.
(25)
Из ограниченной последовательности θ(n) выберем сходящуюся подпоследовательность
θ(n(m)) → θ∗ ∈ [0, 1], m → +∞, и запишем равенство
Rez′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))− Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)) =
= Re z′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))−
− Reψk(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))+
+ Reψk(u1 + θ(n(m))(u2 − u1))− Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)).
Поскольку согласно неравенству (24) имеет место оценка∣∣Re z′k(u)− Reψk(u)
∣∣ ≤ ∣∣z′k(u)− ψk(u)∣∣ =
=
∣∣ln (q−1) (−(v1 − k) (zk(u)−fk,0(u))+(zk+1(u)−fk+1,0(u)))
∣∣≤ quLk,
где Lk — некоторая постоянная, и ψk(u) ∈ C(R), из последнего равенства следует
Re z′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m)) → Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)), m → +∞.
Переходя к пределу в формуле (25) при n(m) → +∞, получаем
Re fk,0(u2)− Re fk,0(u1) = Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1))(u2 − u1),
т. е.
d
du
Re fk,0(u) = Reψk(u). Аналогично показываем, что
d
du
Im fk,0(u) = Imψk(u).
Отсюда следует, что
f ′k,0(u) = ψk(u) = ln(q−1)(−(v1 − k)fk,0(u) + fk+1,0(u))
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
490 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
или
fk+1,0(u) = (v1 − k)fk,0(u) +
1
ln q−1
f ′k,0(u), 0 ≤ k ≤ M − 1. (26)
При k = M −1 из последнего равенства следует, что fM−1,0(u) ∈ C1(R), поэтому при k =
= M−2 эта же формула позволяет утверждать, что fM−2,0(u) ∈ C2(R), и через конечное
число шагов получаем fM−k,0(u) ∈ Ck(R), 0 ≤ k ≤ M.
Если x(t) = o(tv1), t → +∞, т. е. f0,0(u) ≡ 0, то из формулы (26) следуют тождества
fk,0(u) ≡ 0, 0 ≤ k ≤ M. Отсюда с учетом оценки (24) получаем∣∣∣x(M)(t)
∣∣∣ ≤ LM t
Re v1−M−1, t ≥ r(t0),
где LM — некоторая постоянная. Предположим, что для k-й, 1 ≤ k ≤ M, производной
выполняется аналогичное неравенство∣∣∣x(k)(t)∣∣∣ ≤ Lkt
Re v1−M−1, t ≥ r(t0), (27)
где Lk — некоторая постоянная. Оценим производную x(k−1)(t). Для этого, продиффе-
ренцировав уравнение (23) k − 1 раз, запишем уравнение производной x(k−1)(t) следую-
щим образом:
x(k−1)(t) =
bqk−1x(k−1)(qt)
1− a1 − . . .− an0
+
+
a1
(
x(k−1)(t− r1)− x(k−1)(t)
)
+ . . .+ an0
(
x(k−1)(t− rn0)− x(k−1)(t)
)
1− a1 − . . .− an0
.
Вводя обозначение
f(t)
df
=
a1
(
x(k−1) (t− r1)− x(k−1)(t)
)
+ . . .+ an0
(
x(k−1) (t− rn0)− x(k−1)(t)
)
1− a1 − . . .− an0
,
получаем
x(k−1)(t) =
bqk−1x(k−1)(qt)
1− a1 − . . .− an0
+ f(t). (28)
Для последующей оценки функции f(t) представим ее с помощью теоремы Лагранжа в
виде
f(t) =
−a1x(k)(t− θ1(t)r1) r1 − . . .− an0x
(k)(t− θn0(t)rn0) rn0
1− a1 − . . .− an0
,
где 0 < θl(t) < 1, l = 1, n0. Выполняя в уравнении (28) замену переменных x(k−1)(t) =
= tv1−k+1z
(
ln t
ln q−1
)
, получаем уравнение
z
(
ln t
ln q−1
)
= z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
+ t−v1+k−1f(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 491
Из предположения (27) следует оценка
|t−v1+k−1f(t)| ≤ Dtk−M−2, t ≥ r(t0), (29)
где D — некоторая постоянная. Выполним в последнем уравнении замену независимой
переменной u =
ln t
ln q−1
:
z(u) = z(u− 1) + qu(v1−k+1)f(q−u).
Для краткости обозначим g(u)
df
= qu(v1−k+1)f(q−u). Из оценки (29) следует неравенство
|g(u)| ≤ Dqu(M+2−k), u ≥ ln r(t0)
ln q−1
.
Из тождества fk−1,0(u) ≡ 0, уравнения для функции z(u) и оценки функции g(u) получаем
z(u) = z(u)− fk−1,0(u) =
= z(u)− z(u+ 1) + z(u+ 1)− z(u+ 2) + z(u+ 2) + . . .
. . .+ z(u+ n− 1)− z(u+ n) + z(u+ n)− fk−1,0(u) =
= z(u)− z(u+ 1) + z(u+ 1)− z(u+ 2) + z(u+ 2) + . . .
. . .+ z(u+ n− 1)− z(u+ n) + z(u+ n)− z(u+ n+ 1) + . . . =
= −g(u+ 1)− g(u+ 2)− . . .− g(u+ n)− g(u+ n+ 1)− . . .
и
|z(u)| ≤ |g(u+ 1)|+ |g(u+ 2)|+ . . .+ |g(u+ n)|+ |g(u+ n+ 1)|+ . . . ≤
≤ Dq(u+1)(M+2−k) +Dq(u+2)(M+2−k) + . . .+Dq(u+n)(M+2−k) + . . . =
=
(
1 + qM+2−k + . . .+ q(M+2−k)n + . . .
)
Dq(u+1)(M+2−k) df=Lk−1q
u(M+2−k).
Следовательно, ∣∣∣x(k−1)(t)∣∣∣ = ∣∣∣∣tv1−k+1z
(
ln t
ln q−1
)∣∣∣∣ ≤
≤ Lk−1t
Re v1−M−1, t ≥ r(t0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
492 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Повторяя эти рассуждения конечное число раз, находим
|x(t)| ≤ L0t
Re v1−M−1, t ≥ r(t0), (30)
где L0 — некоторая постоянная.
Заменив в уравнении (23) аргумент t на произведение q−1t, перейдем к уравнению
x(t) = b−1x(q−1t)− a1b−1x(q−1t− r1)− . . .− an0b
−1x(q−1t− rn0).
Определим функциюK(R)
df
= supt≥R |x(t)|t−v2 , где v2
df
=Re v1−M, которая в силу неравен-
ства (30) стремится к нулю при R → +∞, и оценим с ее помощью решения для t ≥ R:
|x(t)| ≤ |b−1|
∣∣x(q−1t)∣∣+ |a1b−1| ∣∣x(q−1t− r1)∣∣+ . . .+ |an0b
−1|
∣∣x(q−1t− rn0)
∣∣ ≤
≤
∣∣b−1∣∣K (q−1R) q−v2tv2 + ∣∣a1b−1∣∣K (q−1R− r1)(1− r1
q−1t
)v2
q−v2tv2 + . . .
. . .+
∣∣an0b
−1∣∣K (q−1R− rn0
)(
1− rn0
q−1t
)v2
q−v2tv2 .
Выберем число d из интервала (q, 1). Тогда для достаточно больших R выполняются не-
равенства R ≤ dq−1R ≤ q−1R− rk, k = 1, n0, и оценку x(t) можно продолжить:
|x(t)| ≤
[
|b−1|+ |a1b−1|
(
1− r1
q−1t
)v2
+ . . .+
∣∣an0b
−1∣∣ (1− rn0
q−1t
)v2]
q−v2K
(
dq−1R
)
tv2 .
Из первого неравенства второго условия леммы следует, что при достаточно больших R
выполняется неравенство[∣∣b−1∣∣+ ∣∣a1b−1∣∣ (1− r1
q−1t
)v2
+ . . .+
∣∣an0b
−1∣∣ (1− rn0
q−1t
)v2]
q−v2 ≤ 1
и |x(t)| ≤ K(dq−1R)tv2 , |x(t)|t−v2 ≤ K(dq−1R). Переходя к максимуму по t ≥ R в левой
части последнего неравенства, получаем K(R) ≤ K(dq−1R), откуда следует оценка
K(R) ≤ K((dq−1)nR) → 0, n → +∞,
т. е. K(R) = 0 и x(t) ≡ 0.
Лемма доказана.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x − 1) I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56-Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes. Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 493
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 120 с.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — С. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
7. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal.
and Appl. — 1971. — 33. — P. 355 – 358.
8. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes. Math. — 1980. — 809. —
267 p.
9. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений функциональных и дифференциаль-
но-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом. — Киев, 2011. — 94 с. —
(Препринт / НАН Украины; Ин-та математики).
10. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций: В 2 т. — М.: Изд-во иностр. лит., 1949. — Т. 1. — 787 с.
Получено 18.05.11,
после доработки — 25.07.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
|