Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра
Рассмотрена (τ, β)-обобщенная (по Райту) функция Лежандра, сформулированы и доказаны теоремы о композиционных соотношениях и формулах дифференцирования для этой функции...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176022 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра / Г.О. Южакова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 556-573. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176022 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1760222021-02-04T01:31:06Z Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра Южакова, Г.О. Рассмотрена (τ, β)-обобщенная (по Райту) функция Лежандра, сформулированы и доказаны теоремы о композиционных соотношениях и формулах дифференцирования для этой функции We consider the (τ, β)-generalized Legendre function, formulate and prove a theorem on composition identities and differentiation formulas for this function. 2012 Article Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра / Г.О. Южакова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 556-573. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176022 517.581 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассмотрена (τ, β)-обобщенная (по Райту) функция Лежандра, сформулированы и доказаны теоремы о композиционных соотношениях и формулах дифференцирования для этой
функции |
| format |
Article |
| author |
Южакова, Г.О. |
| spellingShingle |
Южакова, Г.О. Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра Нелінійні коливання |
| author_facet |
Южакова, Г.О. |
| author_sort |
Южакова, Г.О. |
| title |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра |
| title_short |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра |
| title_full |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра |
| title_fullStr |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра |
| title_full_unstemmed |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра |
| title_sort |
деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій лежандра |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176022 |
| citation_txt |
Деякі властивості та застосування (τ, β)-узагальнених функцій Лежандра / Г.О. Южакова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 556-573. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ûžakovago deâkívlastivostítazastosuvannâtbuzagalʹnenihfunkcíjležandra |
| first_indexed |
2025-07-15T13:38:18Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:38:18Z |
| _version_ |
1837720351438536704 |
| fulltext |
УДК 517.581
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ
(τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z)
Г. О. Южакова
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03056, Київ, пр. Перемоги, 37
We consider the (τ, β)-generalized Legendre function τ,βPµν (z), formulate and prove a theorem on composi-
tion identities and differentiation formulas for this function. In the proof, we use known and new properti-
es of the Wright (τ, β)-generalized Gaussian hypergeometric function 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) and the relation
between the functions τ,βPµν and 2F
τ,β
1 .
Рассмотрена (τ, β)-обобщенная (по Райту) функция Лежандра τ,βPµν (z), сформулированы и до-
казаны теоремы о композиционных соотношениях и формулах дифференцирования для этой
функции. При доказательстве использованы известные и новые свойства (τ, β)-обобщенной
(по Райту) гипергеометрической функции Гаусса 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) и связь функций τ,βPµν и 2F
τ,β
1 .
Вступ. У зв’язку з широкими потребами практичного застосування диференцiальних та
iнтегральних рiвнянь у рiзноманiтних областях теоретичних i прикладних наук за останнє
пiвстолiття рiзко зрiс iнтерес до спецiальних функцiй рiзної природи та складностi (див.,
наприклад, [1 – 3]). Особливо важливим є використання спецiальних функцiй при розв’я-
заннi крайових задач у багатьох галузях прикладної математики та фiзики, дослiдженнi
рядiв та iн. Спецiальнi функцiї мiстяться в ядрах рiзноманiтних iнтегральних перетво-
рень, якi є ефективним iнструментом розв’язання як теоретичних, так i практичних задач,
зокрема, у теорiї ймовiрностi та математичнiй статистицi, теорiї моделювання, астрофi-
зицi, квантовiй механiцi, бiомедицинi та iн.
Iз великої низки спецiальних функцiй особливо важливу роль вiдiграють гiпергеомет-
рична функцiя Гаусса та її частиннi випадки (функцiї Бесселя, Лежандра, класичнi орто-
гональнi многочлени та iн.).
Одним iз найпоширенiших частинних випадкiв гiпергеометричної функцiї є функцiї
Лежандра, що виникають при розв’язаннi граничних задач у сферичних, тороїдальних та
iнших координатах.
У ХХ ст. значно розширилось вивчення, дослiдження та узагальнення гiпергеометрич-
них функцiй, а також функцiй, що через них виражаються. Зокрема, за останнi десятилiт-
тя активiзувалося вивчення та використання узагальнених спецiальних функцiй за Рай-
том (див., наприклад, [2, 4 – 6]) з метою подальшого їх застосування в теорiї та на прак-
тицi.
У данiй роботi розглянуто деякi властивостi та застосування (τ, β)-узагальнених при-
єднаних функцiй Лежандра першого роду.
Постановка задачi. Розглянемо (τ, β)-узагальнену (за Райтом) приєднану функцiю Ле-
c© Г. О. Южакова, 2012
556 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 557
жандра першого роду у виглядi
τ,βPµν (z) =
1
Γ(1− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ
2
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
, (1)
де |1−z| < 2, µ 6= 1, 2, . . . , 2F
τ,β
1 — (τ, β)-узагальнена гiпергеометрична функцiя Гаусса [6]
2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)Γ(c− b)
1∫
0
tb−1(1− t)c−b−12Ψ1
[
(a, 1), (c, τ);
(c, β);
∣∣∣ξ tτ] dt. (2)
В (2) Re c > Re b > 0; τ ∈ R, τ > 0; β ∈ R, β > 0; τ − β ≤ 1; a, b, c ∈ C, Γ(c) — класична
гамма-функцiя [7]; 2Ψ1 — функцiя Фокса – Райта [2]. Якщо в (1) i (2) покласти β = τ,
то одержимо функцiю τPµν (z) [8]; при β = τ = 1 маємо класичну приєднану функцiю
Лежандра першого роду Pµν (z) [1].
Використовуючи властивостi (τ, β)-узагальненої функцiї Гаусса, будемо вивчати ком-
позицiйнi спiввiдношення для (τ, β)-узагальнених приєднаних функцiй Лежандра τ,βPµν (z).
Серед вiдомих [6] властивостей (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функцiї Гаусса
2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) вiдзначимо її зображення у виглядi ряду
2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
n!
(3)
та спiввiдношення
(c− aβ − 1) 2F
τ,β
1 = (c− 1) 2F
τ,β
1 (c− 1)− aβ 2F
τ,β
1 (a+ 1), (4)
(b− aτ) 2F
τ,β
1 = b 2F
τ,β
1 (b+ 1)− aτ 2F
τ,β
1 (a+ 1), (5)
Γ(b)Γ(c+ β) 2F
τ,β
1 = Γ(b)Γ(c+ β) 2F
τ,β
1 (a+ 1)−
− ξΓ(c)Γ(b+ τ) 2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ β; ξ), (6)
де
2F
τ,β
1 = 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ),
2F
τ,β
1 (a+ 1) = 2F
τ,β
1 (a+ 1, b; c; ξ),
2F
τ,β
1 (b+ 1) = 2F
τ,β
1 (a, b+ 1; c; ξ),
2F
τ,β
1 (c− 1) = 2F
τ,β
1 (a, b; c− 1; ξ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
558 Г. О. ЮЖАКОВА
Крiм того, справедливою є така лема.
Лема. При умовах iснування функцiї 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) мають мiсце такi спiввiдношен-
ня:
c 2F
τ,β
1 = (c− b+ a(τ − β)) 2F
τ,β
1 (c+ 1)+
+ b 2F
τ,β
1 (b+ 1, c+ 1)− a(τ − β) 2F
τ,β
1 (a+ 1, c+ 1), (7)
(c− b− 1 + a(τ − β)) 2F
τ,β
1 = (c− 1) 2F
τ,β
1 (c− 1)−
− b 2F τ,β1 (b+ 1) + a(τ − β) 2F
τ,β
1 (a+ 1), (8)
де
2F
τ,β
1 (a+ 1, c+ 1) = 2F
τ,β
1 (a+ 1, b; c+ 1; ξ),
2F
τ,β
1 (b+ 1, c+ 1) = 2F
τ,β
1 (a, b+ 1; c+ 1; ξ).
Доведення. Формули (7) i (8) встановимо за допомогою використання зображення (3)
функцiї 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) у виглядi ряду та властивостi (6).
Так, для спiввiдношення (7) виконаємо низку перетворень суми (c − b) 2F
τ,β
1 (c + 1) +
+b 2F
τ,β
1 (b+ 1, c+ 1):
(c− b) 2F
τ,β
1 (c+ 1) + b 2F
τ,β
1 (b+ 1, c+ 1) =
= (c− b) Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ 1 + nβ)
ξn
n!
+
+ b
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b+ 1)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ 1 + nτ)
Γ(c+ 1 + nβ)
ξn
n!
=
=
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
Γ(c+ 1 + nβ)
ξn
n!
[(c− b)Γ(b+ nτ) + Γ(b+ 1 + nτ)] =
=
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
Γ(c+ 1 + nβ)
ξn
n!
[(c− b)Γ(b+ nτ) + (b+ nτ)Γ(b+ nτ)] =
=
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ 1 + nβ)
(c+ nτ)
ξn
n!
=
=
cΓ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
(c+ nβ)Γ(c+ nβ)
(c+ nτ)
ξn
n!
=
=
cΓ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
(
1 +
n(τ − β)
c+ nβ
)
ξn
n!
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 559
=
cΓ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
n!
+
+
cΓ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
(c+ nβ)Γ(c+ nβ)
(τ − β)
ξn
n!
n =
= c 2F
τ,β
1 + (τ − β)
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=1
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ 1 + nβ)
ξn
n!
=
= c 2F
τ,β
1 + (τ − β)
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
k=0
Γ(a+ 1 + k)Γ(b+ (k + 1)τ)
Γ(c+ 1 + (k + 1)β)
ξk+1
k!
=
= c 2F
τ,β
1 + (τ − β)ξ
Γ(c+ 1)
Γ(a)Γ(b)
Γ(a+ 1)Γ(b+ τ)
Γ(c+ 1 + β)
Γ(c+ 1 + β)
Γ(a+ 1)Γ(b+ τ)
×
×
∞∑
n=0
Γ(a+ 1 + n)Γ(b+ τ + nτ)
Γ(c+ 1 + β + nβ)
ξn
n!
=
= c 2F
τ,β
1 + (τ − β)ξ
Γ(a+ 1)
Γ(a)
Γ(b+ τ)
Γ(b)
Γ(c+ 1)
Γ(c+ 1 + β)
×
× 2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ 1 + β; ξ) =
= c 2F
τ,β
1 + aξ(τ − β)
Γ(b+ τ)Γ(c+ 1)
Γ(b)Γ(c+ 1 + β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ 1 + β; ξ).
Тут при перетвореннях виразiв було використано властивiсть гамма-функцiї Γ(a + 1) =
= aΓ(a) [7]. Отже, маємо
(c− b) 2F
τ,β
1 (c+ 1) + b 2F
τ,β
1 (b+ 1, c+ 1) =
= c 2F
τ,β
1 + aξ(τ − β)
Γ(b+ τ)Γ(c+ 1)
Γ(b)Γ(c+ 1 + β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ 1 + β; ξ). (9)
З властивостi (6) знаходимо
ξ
Γ(b+ τ)Γ(c+ 1)
Γ(b)Γ(c+ 1 + β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ 1 + β; ξ) = 2F
τ,β
1 (a+ 1, c+ 1)− 2F
τ,β
1 (c+ 1).
(10)
Пiдставивши (10) у вираз (9), пiсля спрощення отримаємо формулу (7).
Для доведення спiввiдношення (8) розглянемо рiзницю (c−1) 2F
τ,β
1 (c−1)−b 2F
τ,β
1 (b+
+1):
(c− 1) 2F
τ,β
1 (c− 1)− b 2F
τ,β
1 (b+ 1) =
=
(c− 1)Γ(c− 1)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c− 1 + nβ)
ξn
n!
− bΓ(c)
Γ(a)Γ(b+ 1)
×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
560 Г. О. ЮЖАКОВА
×
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ 1 + nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
n!
=
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
ξn
n!
[
Γ(b+ nτ)
Γ(c− 1 + nβ)
− Γ(b+ 1 + nτ)
Γ(c+ nβ)
]
=
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)
ξn
n!
[
(c− 1 + nβ)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
− (b+ nτ)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
]
=
=
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
(c− b− 1 + n(β − τ))
ξn
n!
=
=
(c− b− 1)Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
n!
+
+
(β − τ)Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=0
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
n!
n =
= (c− b− 1) 2F
τ,β
1 + (β − τ)
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
∞∑
n=1
Γ(a+ n)Γ(b+ nτ)
Γ(c+ nβ)
ξn
(n− 1)!
=
= (c− b− 1) 2F
τ,β
1 + (β − τ)
Γ(c)
Γ(a)Γ(b)
×
×
∞∑
k=0
Γ(a+ 1 + k)Γ(b+ (k + 1)τ)
Γ(c+ (k + 1)β)
ξk+1
k!
=
= (c− b− 1) 2F
τ,β
1 + (β − τ)ξ
Γ(a+ 1)
Γ(a)
Γ(b+ τ)
Γ(b)
Γ(c)
Γ(c+ β)
Γ(c+ β)
Γ(a+ 1)Γ(b+ τ)
×
×
∞∑
k=0
Γ(a+ 1 + k)Γ(b+ τ + kτ)
Γ(c+ β + kβ)
ξk
k!
=
= (c− b− 1) 2F
τ,β
1 + (β − τ)ξa
Γ(b+ τ)Γ(c)
Γ(b)Γ(c+ β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ β; ξ).
Тут при перетвореннях виразiв також було використано вже згадувану властивiсть гам-
ма-функцiї Γ(a+ 1) = aΓ(a) [7]. Таким чином,
(c− 1) 2F
τ,β
1 (c− 1)− b 2F
τ,β
1 (b+ 1) = (c− b− 1) 2F
τ,β
1 +
+ aξ(β − τ)
Γ(b+ τ)Γ(c)
Γ(b)Γ(c+ β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ β; ξ). (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 561
На пiдставi властивостi (6) можна записати
ξ
Γ(b+ τ)Γ(c)
Γ(b)Γ(c+ β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ β; ξ) = 2F
τ,β
1 (a+ 1)− 2F
τ,β
1 . (12)
Переписавши (11) з урахуванням (12), пiсля спрощення дiстанемо формулу (8).
Зауважимо, що при β = τ спiввiдношення (7) i (8) збiгаються з вiдомими властивостя-
ми функцiї 2F
τ
1 (a, b; c; ξ) [9].
Розглянемо тепер композицiйнi спiввiдношення для (τ, β)-узагальненої (за Райтом)
приєднаної функцiї Лежандра першого роду τ,βPµν (z).
Теорема 1. При умовах iснування (τ, β)-узагальненої (за Райтом) приєднаної функцiї
Лежандра першого роду τ,βPµν (z) мають мiсце такi спiввiдношення:(
z − 1
z + 1
) 1
2
τ,βPµν (z) = −(µ+ ν + ν(τ − β)) τ,βPµ−1ν (z)−
− 1
β
(
z − 1
z + 1
) 1
2
τ,βPµν+1(z) +
(
ν + 1 +
1− µ
β
)
τ,βPµ−1ν+1 (z)+
+ (τ − β)
[(
ν +
(µ− 1)τ
β
)
τ,βPµ−1ν−1 (z) +
τ
β
(
z − 1
z + 1
) 1
2
τ,βPµν−1(z)
]
, (13)
(µ+ ν + 1 + ν(τ − β))
(
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν (z) = −τ,βPµ+1
ν (z)−
− 1
β
τ,βPµ+1
ν+1 (z) +
(
ν + 1− µ
β
) (
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν+1(z)+
+ (τ − β)
[
τ
β
τ,βPµ+1
ν−1 (z) +
(
ν +
µτ
β
) (
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν−1(z)
]
, (14)
(ν + 1 + ντ)
(
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν (z) = − 1
β
τ,βPµ+1
ν+1 (z)+
(
ν + 1− µ
β
)(
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν+1(z)+
+ τ
(
ν +
µτ
β
) (
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν−1(z) +
τ2
β
τ,βPµ+1
ν−1 (z), (15)
(νβ − µ)
(
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν (z) = τ,βPµ+1
ν (z)+
+ (νβ + µτ)
(
z + 1
z − 1
) 1
2
τ,βPµν−1(z) + τ τ,βPµ+1
ν−1 (z). (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
562 Г. О. ЮЖАКОВА
Доведення. 1. Використаємо властивiсть (7) (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функ-
цiї Гаусса 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) при a = −ν, b = ν + 1, c = 1− µ та ξ =
1− z
2
. Дiстанемо
(1− µ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= (−µ− ν − ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
+
+ (ν + 1) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
+
+ ν(τ − β) 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
. (17)
Спiввiдношення (4) запишемо у виглядi
2F
τ,β
1 (a+ 1) =
c− 1
aβ
2F
τ,β
1 (c− 1)− c− aβ − 1
aβ
2F
τ,β
1 (18)
i скористаємось формулою (18) для функцiї 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
iз (17) при
a = −ν − 1, b = ν + 2, c = 2− µ, ξ =
1− z
2
:
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
=
1− µ
−(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+
1− µ+ (ν + 1)β
(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
. (19)
Зi спiввiдношення (5) дiстанемо
2F
τ,β
1 (b+ 1) =
b− aτ
b
2F
τ,β
1 +
aτ
β
2F
τ,β
1 (a+ 1). (20)
Тодi, поклавши у (20) a = −ν + 1, b = ν, c = 2− µ, ξ =
1− z
2
, функцiю
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
iз (17) можемо записати так:
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
=
ν + (ν − 1)τ
ν
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 2− µ;
1− z
2
)
−
− (ν − 1)τ
ν
2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 2− µ;
1− z
2
)
. (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 563
Пiдставимо вирази (19) та (21) у (17) i пiсля спрощення отримаємо
(1− µ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= (−µ− ν − ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
−
− 1− µ
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+
1− µ+ (ν + 1)β
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
+
+ (τ − β)(ν + (ν − 1)τ) 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 2− µ;
1− z
2
)
−
− (τ − β)(ν − 1)τ 2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 2− µ;
1− z
2
)
. (22)
Iз (18) при a = −ν + 1, b = ν, c = 2 − µ, ξ =
1− z
2
одержимо зображення функцiї
2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 2− µ;
1− z
2
)
iз (22) у виглядi
2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 2− µ;
1− z
2
)
=
=
1− µ
(−ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− 1− µ− (−ν + 1)β
(−ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 2− µ;
1− z
2
)
. (23)
Пiдставивши (23) у (22) i спростивши одержаний вираз, дiстанемо
(1− µ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= −(µ+ ν + ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 2− µ;
1− z
2
)
−
− 1− µ
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+
(
ν + 1 +
1− µ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 2− µ;
1− z
2
)
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
564 Г. О. ЮЖАКОВА
+ (τ − β)
(
ν +
(µ− 1)τ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 2− µ;
1− z
2
)
+
+ (τ − β)
(1− µ)τ
β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
. (24)
Помножимо обидвi частини рiвностi (24) на вираз
1
Γ(2− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ−1
2
i врахуємо, що
Γ(2 − µ) = (1 − µ)Γ(1 − µ) [7]. Тодi, використовуючи зв’язок (1) функцiй 2F
τ,β
1 i τ,βPµν ,
пiсля перетворень отримаємо композицiйне спiввiдношення (13).
2. Покладемо у формулi (8) a = −ν, b = ν + 1, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
i пiсля спрощення
будемо мати
(µ+ ν + 1 + ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= µ 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ;
1− z
2
)
+
+ (ν + 1) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+ ν(τ − β) 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
. (25)
Запишемо функцiю 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
iз (25) у виглядi
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
= 2F
τ,β
1
(
−ν − 1 + 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
, (26)
тодi згiдно з (18) для a = −ν − 1, b = ν + 2, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
iз (26) одержимо
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
=
=
µ
(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; −µ;
1− z
2
)
+
+
−µ+ (ν + 1)β
(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
. (27)
Функцiю 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
iз (25) подамо за формулою (20), поклавши
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 565
в нiй a = −ν + 1, b = ν, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
:
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
=
ν + (ν − 1)τ
ν
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− (ν − 1)τ
ν
2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 1− µ;
1− z
2
)
. (28)
Перепишемо спiввiдношення (25) з урахуванням виразiв (27) i (28):
(µ+ ν + 1 + ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= µ 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ;
1− z
2
)
+
+
µ
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; −µ;
1− z
2
)
+
+
−µ+ (ν + 1)β
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+ (τ − β)(ν + (ν − 1)τ) 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− (τ − β)(ν − 1)τ 2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 1− µ;
1− z
2
)
. (29)
Функцiю 2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 1− µ;
1− z
2
)
iз (29) за допомогою формули (18) при a =
= −ν + 1, b = ν, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
запишемо у виглядi
2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 1− µ;
1− z
2
)
=
−µ
(−ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
+
+
−µ+ (ν − 1)β
(ν − 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
. (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
566 Г. О. ЮЖАКОВА
Пiдставимо вираз (30) у спiввiдношення (29) i пiсля спрощень дiстанемо
(µ+ ν + 1 + ν(τ − β)) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= µ 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ;
1− z
2
)
+
+
µ
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; −µ;
1− z
2
)
+
+
(
ν + 1− µ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
−
− (τ − β)
τµ
β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
+
+ (τ − β)
(
ν +
τµ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
. (31)
Помноживши вираз (31) на
1
Γ(1− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ+1
2
i врахувавши властивiсть гамма-функцiї
Γ(1 − µ) = −µΓ(−µ) [7] та зв’язок (1) функцiй 2F
τ,β
1 i τ,βPµν , пiсля спрощень отримаємо
композицiйне спiввiдношення (14).
3. Скористаємось вiдомою [6] властивiстю (5) функцiї 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) для a = −ν,
b = ν + 1, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
:
(ν + 1 + ντ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= (ν + 1) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+ ντ 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
. (32)
Функцiю 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
iз (32) подамо за формулою (28) з ураху-
ванням виразу (30) для функцiї 2F
τ,β
1
(
−ν + 2, ν; 1− µ;
1− z
2
)
iз (28). В результатi пiсля
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 567
спрощень дiстанемо
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
=
(
1 +
µτ
νβ
)
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− µτ
νβ
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
. (33)
Використавши спiввiдношення (18) для a = −ν − 1, b = ν + 2, c = 1 − µ, ξ =
1− z
2
,
отримаємо
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
=
=
µ
(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; −µ;
1− z
2
)
+
+
−µ+ (ν + 1)β
(ν + 1)β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
. (34)
Пiдставимо вирази (33) i (34) в (32):
(ν + 1 + ντ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
=
µ
β
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; −µ;
1− z
2
)
+
+
(
ν + 1− µ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν − 1, ν + 2; 1− µ;
1− z
2
)
+
+ τ
(
ν +
µτ
β
)
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− µτ2
β
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
. (35)
Помноживши одержану рiвнiсть (35) на
1
Γ(1− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ+1
2
, пiсля врахування власти-
востi Γ(1 − µ) = −µΓ(−µ) гамма-функцiї [7] i зв’язку (1) мiж функцiями 2F
τ,β
1 i τ,βPµν ,
отримаємо композицiйне спiввiдношення (15).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
568 Г. О. ЮЖАКОВА
4. Використаємо вiдому [6] властивiсть (4) функцiї 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) при a = −ν,
b = ν + 1, c = 1− µ, ξ =
1− z
2
. Дiстанемо
(νβ − µ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
= −µ 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ;
1− z
2
)
+
+ νβ 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
. (36)
Пiдставимо в (36) вираз (33) для функцiї 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
:
(νβ − µ) 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=−µ 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ;
1− z
2
)
+
+ (νβ + µτ) 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− µτ 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
. (37)
Тепер, помноживши рiвнiсть (37) на вираз
1
Γ(1− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ+1
2
,
врахувавши властивiсть Γ(1 − µ) = −µΓ(−µ) [7] гамма-функцiї i зображення (1) (τ, β)-
узагальненої функцiї Лежандра τ,βPµν (z) через (τ, β)-узагальнену гiпергеометричну фун-
кцiю Гаусса 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ), дiстанемо композицiйне спiввiдношення (16).
Зазначимо, що при β = τ формули (13) – (16) збiгаються з композицiйними спiввiд-
ношеннями (8) – (11) [8] для τ -узагальненої (за Райтом) функцiї Лежандра τPµν (z), яка є
окремим випадком (τ, β)-узагальненої функцiї Лежандра для β = τ.
Теорема 2. Для (τ, β)-узагальненої функцiї Лежандра τ,βPµν (z) при умовах |1 − z| < 2,
µ 6= 1, 2, . . . , µ, ν ∈ C, Re (1− µ) > Re (1 + ν) > 0, τ ∈ R, τ > 0, β ∈ R, β > 0, τ − β ≤ 1,
мають мiсце диференцiальнi формули
(z − 1)
d
dz
τ,βPµν (z) = −
(
µ
z + 1
+ ν
)
τ,βPµν (z)+
+
(
µτ
β
+ ν
)
τ,βPµν−1(z) +
τ
β
(
z − 1
z + 1
) 1
2
τ,βPµ+1
ν−1 (z), (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 569
d
dz
[
(z − 1)
µ
2
−ν
(z + 1)
µ
2
τ,βPµν (z)
]
=
= −(z − 1)
µ
2
−ν−1
(z + 1)
µ
2
[(
ν +
µτ
β
)
τ,βPµν−1(z) +
τ
β
(
z − 1
z + 1
) 1
2
τ,βPµ+1
ν−1 (z)
]
. (39)
Доведення. 1. Використовуючи зображення (3) (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної
функцiї Гаусса 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) у виглядi ряду, нескладно пересвiдчитись, що для довiль-
них p, q ∈ R справджуються формули диференцiювання
d
dξ
2F
τ,β
1 (a, b; c; pξ + q) = pa
Γ(c)Γ(b+ τ)
Γ(b)Γ(c+ β)
2F
τ,β
1 (a+ 1, b+ τ ; c+ β; pξ + q), (40)
d
dξ
[(pξ + q)a 2F
τ,β
1 (a, b; c; pξ + q)] = ap(pξ + q)a−1 2F
τ,β
1 (a+ 1, b; c; pξ + q). (41)
Зокрема, для ξ = z, p = −1
2
, q =
1
2
формула (40) набирає вигляду
d
dz
2F
τ,β
1
(
a, b; c;
1− z
2
)
= −a
2
Γ(c)Γ(b+ τ)
Γ(b)Γ(c+ β)
2F
τ,β
1
(
a+ 1, b+ τ ; c+ β;
1− z
2
)
. (42)
З урахуванням властивостi (6) (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функцiї спiввiд-
ношення (42) запишемо у формi
d
dz
2F
τ,β
1
(
a, b; c;
1− z
2
)
=
a
z − 1
[
2F
τ,β
1
(
a+ 1, b; c;
1− z
2
)
−2F
τ,β
1
(
a, b; c;
1− z
2
)]
.
(43)
Запишемо похiдну
d
dz
τ,βPµν (z), використавши зв’язок (1) (τ, β)-узагальненої функцiї
Лежандра τ,βPµν (z) i (τ, β)-узагальненої гiпергеометричної функцiї Гаусса 2F
τ,β
1 :
d
dz
τ,βPµν (z) =
1
Γ(1− µ)
[
d
dz
(
z + 1
z − 1
)µ
2
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
+
+
(
z + 1
z − 1
)µ
2 d
dz
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)]
. (44)
Для похiдної
d
dz
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
скористаємось формулою (43) при a =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
570 Г. О. ЮЖАКОВА
= −ν, b = ν + 1, c = 1− µ, тодi (44) набере вигляду
d
dz
τ,βPµν (z) = − 1
Γ(1− µ)
µ
(z − 1)2
(
z + 1
z − 1
)µ
2
−1
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
+
+
ν
(z − 1)Γ(1− µ)
(
z + 1
z − 1
)µ
2
[
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
−
− 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)]
. (45)
Пiсля використання формул (1), (33) i нескладних перетворень iз (45) отримаємо спiввiд-
ношення (30).
2. Формула (41) для ξ = z, p = −1
2
, q =
1
2
, a = −ν, b = ν + 1, c = 1− µ матиме вигляд
d
dz
[
(1− z)−ν 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)]
=
=
ν
(1− z)ν+1 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
. (46)
Iз формули (1) зв’язку функцiй τ,βPµν i 2F
τ,β
1 дiстанемо
(1− z)−ν 2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
=
Γ(1− µ)(−1)ν
(z + 1)
µ
2
(z − 1)
µ
2
−ν τ,βPµν (z). (47)
Функцiю 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν + 1; 1− µ;
1− z
2
)
iз (46) подамо за формулою (33) i пiд-
ставимо (47) i (33) у спiввiдношення (46):
d
dz
[
(−1)νΓ(1− µ)
(z − 1)
µ
2
−ν
(z + 1)
µ
2
τ,βPµν (z)
]
=
=
ν
(1− z)ν+1
(
1 +
µτ
νβ
)
2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; 1− µ;
1− z
2
)
−
− µτ
β(1− z)ν+1 2F
τ,β
1
(
−ν + 1, ν; −µ;
1− z
2
)
. (48)
Спрощуючи вираз (48) з урахуванням зв’язку (1) функцiй τ,βPµν i 2F
τ,β
1 та властивостi
−µ
Γ(1− µ)
=
1
Γ(−µ)
гамма-функцiї [7], отримуємо формулу (39).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 571
Як приклад практичного застосування функцiї τ,βPµν (z) розглянемо iнтеграл
∫ 1
0
xσ(1−
−x2)−
µ
2
τ,βPµν (1− (1−x)β) dx. Для його обчислення виконаємо деякi перетворення, вико-
риставши зображення функцiї τ,βPµν (z) через (τ, β)-узагальнену гiпергеометричну функ-
цiю Гаусса при z = x, x ∈ (−1; 1):
τ,βPµν (x) =
1
Γ(1− µ)
(
1 + x
1− x
)µ
2
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− x
2
)
та подання (3) функцiї 2F
τ,β
1 (a, b; c; ξ) у виглядi ряду. В результатi отримаємо
1∫
0
xσ(1− x2)−
µ
2
τ,βPµν (1− (1− x)β) dx =
=
1∫
0
xσ(1− x)−µ
1
Γ(1− µ)
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
(1− x)β
2
)
dx =
=
1∫
0
xσ(1− x)−µ
1
Γ(−ν)Γ(ν + 1)
∞∑
n=0
Γ(−ν + n)Γ(ν + 1 + nτ)
Γ(1− µ+ nβ)
(1− x)nβ
2nn!
dx =
=
1
Γ(−ν)Γ(ν + 1)
∞∑
n=0
Γ(−ν + n)Γ(ν + 1 + nτ)
Γ(1− µ+ nβ) 2nn!
1∫
0
xσ(1− x)−µ+nβ dx =
=
1
Γ(−ν)Γ(ν + 1)
∞∑
n=0
Γ(−ν + n)Γ(ν + 1 + nτ)
Γ(1− µ+ nβ) 2nn!
B(σ + 1, −µ+ nβ + 1),
де B(α, β) =
∫ 1
0
xα−1(1 − x)β−1 dx — бета-функцiя Ейлера [7]. Врахувавши властивiсть
B(α, β) =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α+ β)
бета-функцiї, дiстанемо
1∫
0
xσ(1− x2)−
µ
2
τ,βPµν (1− (1− x)β) dx =
=
1
Γ(−ν)Γ(ν + 1)
∞∑
n=0
Γ(−ν + n)Γ(ν + 1 + nτ)
Γ(σ − µ+ 2 + nβ) 2nn!
Γ(σ + 1) =
=
Γ(σ + 1)
Γ(σ − µ+ 2)
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; σ − µ+ 2;
1
2
)
.
Використавши формулу подвiйного аргументу [7] для гамма-функцiї
Γ(2x) =
22x−1√
π
Γ(x)Γ
(
1
2
+ x
)
при 2x = σ + 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
572 Г. О. ЮЖАКОВА
одержимо значення розглянутого iнтеграла:
1∫
0
xσ(1− x2)−
µ
2
τ,βPµν (1− (1− x)β) dx =
=
2σ√
π
Γ
(
1+σ
2
)
Γ
(
1 + σ
2
)
Γ(−µ+ σ + 2)
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; −µ+ σ + 2;
1
2
)
. (49)
Зауважимо, що спiввiдношення (49) є узагальненням вiдомого iнтеграла для класич-
ної функцiї Pµν (x) [7]:
1∫
0
xσ(1− x2)−
µ
2 Pµν (x) dx = 2µ−1
Γ
(
1+σ
2
)
Γ
(
1 + σ
2
)
Γ
(
1 + σ
2 −
µ
2 −
ν
2
)
Γ
(
σ
2 + ν
2 −
µ
2 + 3
2
) . (50)
Дiйсно, при β = τ = 1 (τ, β)-узагальненi функцiї τ,βPµν i 2F
τ,β
1 збiгаються iз класичними
функцiями Pµν i 2F1 вiдповiдно, причому для класичної гiпергеометричної функцiї Гаусса
є вiдомим частинне значення [7]:
2F1
(
a, 1− a; b;
1
2
)
= 21−b
Γ(b) Γ
(
1
2
)
Γ
(
a
2 + b
2
)
Γ
(
b
2 −
a
2 + 1
2
) . (51)
Зокрема, при a = −ν, b = σ − µ+ 2 вираз (51) набирає вигляду
2F
τ,β
1
(
−ν, ν + 1; σ − µ+ 2;
1
2
)
= 2µ−σ−1
Γ(σ − µ+ 2) Γ
(
1
2
)
Γ
(
−ν
2 + σ
2 −
µ
2 + 1
)
Γ
(
σ
2 −
µ
2 + ν
2 + 3
2
) . (52)
Остаточно, врахувавши, що Γ
(
1
2
)
=
√
π, при β = τ = 1 iз (49) i (52) дiстанемо форму-
лу (50).
Висновки. Теореми 1 та 2 доведено за умов iснування (τ, β)-узагальненої (за Райтом)
приєднаної функцiї Лежандра першого роду τ,βPµν . При доведеннi використано вiдомi [6]
та новi властивостi (τ, β)-узагальненої (за Райтом) гiпергеометричної функцiї Гаусса 2F
τ,β
1
i зв’язок мiж функцiями τ,βPµν та 2F
τ,β
1 . Одержанi результати є узагальненням спiввiдно-
шень, отриманих автором у [8] для функцiї τPµν (z), яка є частинним випадком розглянутої
функцiї τ,βPµν (z) при β = τ. Як приклад практичного застосування знайдено значення iн-
теграла, що мiстить функцiю τ,βPµν .
1. Virchenko N., Fedotova I. Generalized associated Legendre functions and their applications. — Singapore:
World Sci., 2001. — 195 p.
2. Kilbas A. A., Saigo M. H-transforms. — Charman and Hall, CRC., 2004. — 390 p.
3. Andrews L. C., Askey R., Roy R. Special functions. — New York: Cambridge Univ. Press, 1999.
4. Wright E. M. On the coefficient of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. —
1933. — 8. — P. 71 – 79.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ТА ЗАСТОСУВАННЯ (τ, β)-УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ЛЕЖАНДРА τ,βPµν (z) 573
5. Вiрченко Н. О. Про гiпергеометричнi функцiї, їх узагальнення та застосування // Наук. зап. АН ВШ
України. — 2006. — 1. — С. 20 – 25.
6. Вiрченко Н. О., Рум’янцева О. В. Про узагальнену гiпергеометричну функцiю Гаусса та її застосуван-
ня // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 12 – 19.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1965. — 293 с.
8. Южакова Г. О. Рекурентнi спiввiдношення з узагальненими функцiями Лежандра // Наук. вiстi НТУУ
„КПI”. — 2009. — № 6. — С. 148 – 153.
9. Virchenko N., Kalla S. L., Al-Zamel A. Some results on a generalized hypergeometric function // Integr. and
Special Functions. — 2001. — 12, № 1. — P. 89 – 100.
Отримано 25.10.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
|