Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь
Асимптотичнi методи, розробленi у працях С.Ф. Фещенка, М.I. Шкiля та їхнiх учнiв i послiдовникiв для iнтегрування диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєнтами, застосовуються до розв’язування деяких нелiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176105 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь / Ю.П. Підченко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 504-516. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176105 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761052021-02-04T01:27:36Z Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь Підченко, Ю.П. Асимптотичнi методи, розробленi у працях С.Ф. Фещенка, М.I. Шкiля та їхнiх учнiв i послiдовникiв для iнтегрування диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєнтами, застосовуються до розв’язування деяких нелiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь. Asymptotic methods developed in works of S. F. Feshchenko, M. I. Shkil’, and their collaborators for integrating differential equations with slowly changing coefficients are applied to solving certain nonlinear differential-difference equations 2002 Article Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь / Ю.П. Підченко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 504-516. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176105 517.91/943 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Асимптотичнi методи, розробленi у працях С.Ф. Фещенка, М.I. Шкiля та їхнiх учнiв i послiдовникiв для iнтегрування диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєнтами, застосовуються до розв’язування деяких нелiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Підченко, Ю.П. |
| spellingShingle |
Підченко, Ю.П. Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Підченко, Ю.П. |
| author_sort |
Підченко, Ю.П. |
| title |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| title_short |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| title_full |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| title_fullStr |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| title_sort |
знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176105 |
| citation_txt |
Знаходження асимптотичних розв'язків деяких нелінійних диференціально-різницевих систем рівнянь / Ю.П. Підченко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 504-516. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pídčenkoûp znahodžennâasimptotičnihrozvâzkívdeâkihnelíníjnihdiferencíalʹnoríznicevihsistemrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T13:43:49Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:43:49Z |
| _version_ |
1837720697838764032 |
| fulltext |
УДК 517 .91/943
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ РIВНЯНЬ
Ю. П. Пiдченко
Нац. пед. ун-т
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
Asymptotic methods developed in works of S. F. Feshchenko, M. I. Shkil’, and their collaborators for
integrating differential equations with slowly changing coefficients are applied to solving certain nonlinear
differential-difference equations.
Асимптотичнi методи, розробленi у працях С.Ф. Фещенка, М.I. Шкiля та їхнiх учнiв i послiдов-
никiв для iнтегрування диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєнтами, застосо-
вуються до розв’язування деяких нелiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь.
Розглянемо систему
dx(τ, ε)
dt
= A(τ, ε)x(τ, ε) +B(τ, x(τ −∆, ε))+
+ C(τ, x′(τ −∆, ε)) + f(τ, ε)e
i
ε
θ(τ), (1)
де x(τ, ε), f(τ, ε), B i C — n-вимiрнi вектори, A(τ, ε) — квадратна матриця, ∆ > 0 — стале
вiдхилення, i =
√
−1.
При цьому матриця A(τ, ε) i вектор f(τ, ε) зображуються у виглядi збiжних рядiв за
степенями малого дiйсного параметра ε(ε > 0):
A(τ, ε) =
∞∑
s=0
εsA(s)(τ), f(τ, ε) =
∞∑
s=0
εsf (s)(τ), 0 ≤ τ = εt ≤ L < +∞, (2)
а компоненти Bi(τ, x1, x2, . . . , xn), Ci(τ, x
′
1, x
′
2, . . . , x
′
n), i = 1, n, вектор-функцiй B i C —
нескiнченно диференцiйовнi функцiї змiнних x1, x2, . . . , xn i x′1, x
′
2, . . . , x
′
n вiдповiдно для
τ ∈ [0;L].
Крiм того, вважаємо, що мають мiсце розвинення
Bi(τ, x1, x2, . . . , xn) =
n∑
k=1
∑
k1+...+kn=k
k1,...,kn≥0
bik1k2...kn(τ)xk11 x
k2
2 . . . xknn ,
(3)
Ci(τ, x
′
1, x
′
2, . . . , x
′
n) =
n∑
k=1
∑
k1+...+kn=k
k1,...,kn≥0
cik1k2...kn(τ)(x′1)k1(x′2)k2 . . . (x′n)kn
c© Ю. П. Пiдченко, 2002
504 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 505
i коефiцiєнти bik1k2...kn i cik1k2...kn для всiх τ ∈ [0;L] задовольняють нерiвностi
|bik1k2...kn | <
M
Rk1+...+kn
, |cik1k2...kn | <
N
Sk1+...+kn
,
M,N,R, S — деякi дiйснi сталi, що не залежать вiд τ, i, k1, k2, . . . , kn.
Отже, якщо 0 < α < min{R,S}, то на множинi Q = [0 ≤ τ ≤ L, ||x|| < α] збiгається
перший iз рядiв (3), а на множинi Q1 = [0 ≤ τ ≤ L, ||x|| < α] — другий.
Розглянемо для системи (1) основну початкову задачу, тобто шукатимемо неперервнi
або кусково-неперервнi розв’язки цiєї системи для τ ∈ [0;L], що задовольняють початко-
вi умови
x(τ, ε) = ϕ(τ, ε), −∆ ≤ τ ≤ 0; x′(τ, ε) = ϕ′(τ, ε), −∆ ≤ τ ≤ 0,
де ϕ(τ, ε) — вектор-функцiя, що виражається збiжним рядом вигляду (2).
Лiнiйнi системи вигляду (1) дослiджено в [1, 2], а в [3] дану задачу розглянуто для ви-
падку простих коренiв характеристичного рiвняння
|A(0)(τ)− λE| = 0. (4)
У данiй статтi розглянемо випадок кратних коренiв. Отже, нехай рiвняння (4) має
p, 1 ≤ p ≤ n, кратних коренiв λ(0)
1 (τ), . . . , λ
(0)
p (τ), що задовольняють для τ ∈ [0;L] та-
кi умови:
1) матриця A(τ, ε), вектори f(τ, ε), ϕ(τ, ε) i функцiя ν(τ) =
dθ(τ)
dτ
мають похiднi до
m-го порядку включно (m — натуральне число) вiдповiдно на сегментах [0;L] i [−∆; 0];
2) коренi λ(0)
1 (τ), . . . , λ
(0)
p (τ):
a) для τ ∈ [0;L] не перетворюються в нуль:
λ
(0)
j (τ) 6= 0, j = 1, p;
б) дiйснi частини цих коренiв для τ ∈ [0;L] недодатнi:
Re (λ
(0)
j (τ)) ≤ 0, j = 1, p;
в) для будь-яких τ1 < τ2, τ1, τ2 ∈ [0;L],
λ
(0)
i (τ) 6= λ
(0)
j (τ), i 6= j, i, j = 1, p;
3) коренi λ(0)
1 (τ), . . . , λ
(0)
p (τ) зберiгають постiйну кратнiсть l1, . . . , lp (l1 + . . . + lp =
= n), причому вони занумерованi так, що виконується спiввiдношення l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥
≥ lp ≥ 2.
Кратним кореням можуть вiдповiдати простi або кратнi елементарнi дiльники. Роз-
глянемо, як бiльш складний, випадок кратних елементарних дiльникiв. При цьому вважа-
тимемо, що кореневi λ(0)
j (τ) кратностi lj вiдповiдає один елементарний дiльник такої ж
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
506 Ю. П. ПIДЧЕНКО
кратностi. Тодi, як вiдомо, для матрицi A(0)(τ) iснує невироджена матриця V (τ) така, що
матриця W (τ) = V −1(τ)A(0)(τ)V (τ) має квазiдiагональну структуру:
W (τ) = {W1(τ),W2(τ), . . . ,Wp(τ)},
де Wj(τ) — клiтина Жордана довжини lj , що вiдповiдає кореневi λ(0)
j (τ).
Побудуємо асимптотичне розвинення розв’язку для „резонансного” випадку, тобто
коли
iν(τ) ≡ λ
(0)
1 (τ), але iν(τ) 6= λ
(0)
j (τ), j = 2, p, ∀τ ∈ [0; l]
(
ν(τ) =
dθ(τ)
dτ
)
.
Для цього в системi (1) виконаємо на першому кроцi 0 ≤ τ ≤ ∆ замiну змiнних
x(τ, ε) =
p∑
j=1
Ujm,1(τ, µj)yj(τ, ε) + pm,1(τ, ε) + hm,1(τ, ε)e
i
ε
θ(τ), (5)
де матриця Ujm,1(τ, µj) розмiрiв n× kj має вигляд
Ujm,1(τ, µj) =
ljm−1∑
s=0
µsju
(s)
j1 (τ), µj = lj
√
ε, j = 1, p, (6)
а n-вимiрнi вектори pm,1(τ, ε) i hm,1(τ, ε) такi:
pm,1(τ, ε) =
m−1∑
s=0
εsp
(s)
1 (τ), hm,1(τ, ε) =
m−1∑
s=−1
εsh
(s)
1 (τ). (7)
Тодi система (1) набирає вигляду
p∑
j=1
Ujm,1 (τ, µj)
dyj(τ, ε)
dt
=
p∑
j=1
[
A(τ, ε)Ujm,1(τ, µj)− εUjm,1(τ, µj)
′] yj+
+ B(τ, ϕ(τ −∆, ε) + C(τ, ϕ′(τ −∆, ε)) +A(τ, ε)pm,1(τ, ε)− εp′m,1(τ, ε)+
+
[
A(τ, ε)hm,1(τ, ε) + f(τ, ε)− iν(τ)hm,1(τ, ε)− εh′m,1(τ, ε)
]
e
i
ε
θ(τ). (8)
Iз обмежень, яким пiдпорядковуються вектори B, C i ϕ, випливає, що B(τ, ϕ(τ − ∆, ε)) i
C(τ, ϕ′(τ −∆, ε)) виражаються збiжними рядами за параметром ε.
Далi потрiбно побудувати шуканi матрицi i вектори, що входять до сум (6) i (7), так,
щоб для вектора yj , j = 1, . . . , p, одержати систему, яка з точнiстю до величин поряд-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 507
ку O(εm) iнтегрується в замкненiй формi. Для цього матрицi Ujm,1(τ, µj), j = 1, . . . , p,
визначимо iз спiввiдношень
A(τ, ε)Ujm,1(τ, µj) − εU ′jm,1(τ, µj) =
= Ujm,1(τ, µj)
[
Wj(τ) + λjm,1(τ, µj) + µ
ljm
j Djjm,1(τ, ε)
]
+
+ εm
p∑
i=1
i 6=j
Uim,1(τ, µj)Dijm,1(τ, ε), (9)
а вектори pm,1(τ, ε) i hm,1(τ, ε) — вiдповiдно iз спiввiдношень
A(τ, ε)pm,1(τ, ε)− εp′m,1(τ, ε) + ϕ1(τ, ε) = εmqm,1(τ, ε) (10)
i
(A(τ, ε)− iν(τ, ε)E)hm,1(τ, ε)− εh′m,1(τ, ε) + f(τ, ε) = εmΠm,1(τ, ε), (11)
Λjm,1(τ, µj) — дiагональна матриця вигляду
Λjm,1(τ, µj) =
lj(m−1)∑
s=1
µsΛ
(s)
j1 (τ),
ϕ1(τ, ε) = B(τ, ϕ(τ −∆, ε)) +C(τ, ϕ′(τ −∆, ε)), а матриця Dijm,1(τ, ε), i, j = 1, p, розмiрiв
li × lj i n-вимiрнi вектори qm,1(τ, ε), Πm,1(τ, ε) рiвномiрно обмеженi в околi точки ε = 0.
Прирiвнюючи в (9) коефiцiєнти при µsj , s = 0, nlj , одержуємо рiвняння
A(0)(τ)U
(0)
j1 (τ)− U (0)
j1 (τ)Wj(τ) = 0, (12)
A(0)(τ)U
(s)
j1 (τ) − U (s)
j1 (τ)Wj(τ) = F
(s)
j1 (τ)+
+
s−1∑
k=0
U
(k)
j1 (τ)Λ
(s−k)
j1 (τ), 1 ≤ s ≤ lj(m− 1), (13)
A(0)(τ)U
(s)
j1 (τ) − U (s)
j1 (τ)Wj(τ) = F
(s)
j1 (τ)+
+
lj(m−1)∑
k=0
U
(s−k)
j1 (τ)Λ
(k)
j1 (τ), (m− 1)lj ≤ mlj − 1, (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
508 Ю. П. ПIДЧЕНКО
Ujm,1(τ, µj)Djjm,1(τ, ε) +
p∑
i=1
i 6=j
Uim,1(τ, µj)Dijm,1(τ, ε) =
= −
lj−1∑
i=1
µij
dU
(m−1)lj+i
j1 (τ)
dτ
−
(m−1)lj−1∑
i=1
(m−1)lj−1∑
r=1
µijU
(mlj+r)
j1 Λ
(i+r)
j1 (τ)+
+
∞∑
i≥[m− s
lj
]
mlj−1∑
s=0
µ
ilj+s
j A(i)(τ)U
(s)
j1 (τ), (15)
де
F
(s)
j1 =
dU
(s−lj)
j1 (τ)
dτ
−
[ s
lj
]∑
i=1
A(i)(τ)U
(s−ilj)
j1 (τ)
([x] означає цiлу частину вiд x).
Для того щоб системи (12) – (14) можна було розв’язати, вимагатимемо вiд матрицi
Ω = V −1(τ)[V ′(τ)−A(1)(τ)V (τ)],
щоб її елементи
{ω(τ)}rj ,rj−1+1
(
rj =
j∑
i=1
li, j = 1, p
)
для всiх r ∈ [0;L] задовольняли умову
{ω(τ)}rj ,rj−1+1 6= 0. (16)
Системи (12) – (14) при обмеженнях (16) розв’язнi (див. [5]). Визначивши з них матрицi
Ujm,1(τ, µj) i Λjm,1(τ, µj), j = 1, p, можна визначити i матрицi Dijm,1(τ, ε), i, j = 1, p.
Для цього спочатку запишемо рiвнiсть (15) у виглядi
Ujm,1(τ, µj)Dijm,1(τ, ε) +
p∑
i=1
i 6=j
Uim,1(τ, µj)Dijm,1(τ, ε) = Φj1(τ, ε), j = 1, p, (17)
де Φj1(τ, ε) — вiдома матриця.
Введемо до розгляду квадратну матрицю n-го порядку, утворену iз матрицьUjm,1(τ, µj),
j = 1, p:
Um(τ, ε) = ||U1m,1(τ, µ1), U2m,1(τ, µ2), . . . , Upm,1(τ, µp)||.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 509
Тодi кожну з матриць Ujm,1(τ, µj) можна записати у виглядi
Ujm,1(τ, µj) = Um(τ, ε)Ej , j = 1, p, (18)
де Ej — матриця вигляду
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0
rj−1
1 0 . . . 0 0
0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 1
lj
0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0
n− rj
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
, j = 1, p.
На пiдставi (18) систему (17) запишемо так:
Um(τ, ε)
EjDjjm,1(τ, ε) +
∑
i=1
i 6=j
EjDijm,1(τ, ε)
= Φj1(τ, ε), j = 1, p. (19)
Оскiльки матрицi Ujm,1(τ, µj) такi, що для малих ε ∈ [0; ε0] i будь-яких τ ∈ [0;L]
detUm(τ, ε) 6= 0,
з (19) знаходимо
Dijm,1(τ, ε) = Φ̄ijm,1(τ, ε), i, j = 1, p,
де Φ̄ijm,1(τ, ε) — матриця розмiрiв li × lj , що утворена iз вiдповiдних елементiв матрицi
Φ̄j1(τ, ε) = U−1
m (τ, ε)Φj1(τ, ε), j = 1, p.
Перейдемо до знаходження векторiв pm,1(τ, ε) i pm,1(τ, ε). Прирiвнюючи в (10) коефi-
цiєнти при εs, s = 0,m, одержуємо системи рiвнянь
A(0)(τ)p
(0)
1 (τ) + ϕ
(0)
1 (τ) = 0, (20)
A(0)(τ)p
(s)
1 (τ) + ϕ
(0)
1 (τ)− dp
(s−1)
1 (τ, ε)
dτ
+
s−1∑
k=0
A(n−k)(τ)p
(k)
1 (τ) = 0, s = 1,m− 1, (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
510 Ю. П. ПIДЧЕНКО
qmi(τ, ε) =
∞∑
i=1
εiϕ
(m+i)
1 (τ)− (p
(m−1)
1 (τ))′ +
∞∑
i=1
m−1∑
k=0
εiA(m−k+i)(τ)p
(k)
1 (τ). (22)
Iз того, що коренi характеристичного рiвняння для матрицi A(0) вiдмiннi вiд нуля, випли-
ває
detA(0)(τ) 6= 0 ∀τ ∈ [0;L]. (23)
Отже, системи (20) – (23) розв’язнi:
p
(0)
1 (τ) = −[A(0)(τ)]−1ϕ
(0)
1 (τ),
p
(s)
1 (τ) = [A(0)]−1
{
p
′(s−1)
1 (τ)− ϕ(s)
1 (τ)−
s−1∑
k=0
A(s−k)(τ)p
(k)
1 (τ)
}
s = 1,m− 1.
Пiсля визначення векторiв p(s)
1 (τ), s = 0,m− 1, вектор qm,1(τ, ε) теж буде визначено.
Знайдемо тепер вектор hm,1(τ, ε). Покладаючи
hm,1(τ, ε = V (τ)ξm(τ, ε), (24)
де ξm(τ, ε) — новий n-вимiрний вектор, iз рiвностi (11) маємо
[W (τ)− iν(τ)E]ξm(τ, ε) + f1(τ, ε) + εA1(τ, ε)− εξ′m(τ, ε) = εmΠ̄m,1(τ, ε), (25)
де
A1(τ, ε) = V −1(τ)
[
V (τ)−
( ∞∑
s=1
εs−1A(s)(τ)
)
V (τ)
]
,
f1(τ, ε) = V −1(τ)f(τ, ε), Π̄m,1(τ, ε) = V −1(τ)Πm,1(τ, ε).
Прирiвнюючи в (25) коефiцiєнти при εs, s = −1, 0, 1, . . . ,m, одержуємо
(W (τ)− iν(τ)E)ξ(−1)(τ) = 0, (26)
(W (τ)− iν(τ)E)ξ(s)(τ) = η(s)(τ), s = 0,m− 1, (27)
Π̄(τ, ε) =
∞∑
j=m
εj−mf
(j)
1 (τ)− dξ(m−1)(τ)
dτ
+
+
∞∑
i=0
εi
m−1∑
j=−1
A
(m+i−j)
1 (τ)ξ(j)(τ), (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 511
де
η(s)(τ) =
dξ(s−1)(τ)
dτ
− f (s)
1 (τ)−
s−1∑
j=−1
A
(s−1−j)
1 (τ)ξ(j)(τ).
Оскiльки матриця W (τ) квазiдiагональна, кожне з рiвнянь (26) i (27) розпадеться на p
рiвнянь вигляду
(Wj(τ)− iν(τ)E)ξ
(−1)
j (τ) = 0, (29)
(Wj(τ)− iν(τ)E)ξ
(s)
j (τ) = η
(s)
j (τ), s = 0,m− 1, j = 1, p, (30)
де ξ(s)
j i η(s)
j — вектори розмiрностi lj . Для j 6= 1 матриця [Wj(τ)− iν(τ)E] невироджена, а
отже, iз (29), (30) знаходимо
ξ
(−1)
j (τ) = 0, ξ
(s)
j (τ) = [Wj(τ)− iν(τ)E]−1η
(s)
j (τ), j = 2, p, s = 0,m− 1.
Для j = 1 iз (29) i (30) одержуємо
Hξ
(−1)
1 (τ) = 0, (31)
Hξ
(s)
1 (τ) = η
(s)
1 (τ), s = 0,m− 1, (32)
де H — нiльпотентна матриця вигляду
H =
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
0 1 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 1
0 0 0 0 0 0
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
,
що має порядок l1.
Iз властивостей нiльпотентної матрицi випливає, що {ξ(−1)
1 (τ)}j = 0, j = 2, l1, тобто
всi компоненти вектора ξ(−1)
1 (τ), крiм першої, повиннi бути нульовими. Перша компонен-
та вектора ξ(−1)
1 (τ) визначається з рiвняння (32), якщо покласти s = 0:
Hξ
(0)
1 = η
(0)
1 (τ). (33)
Дiйсно, останнє скалярне рiвняння в (33) має вигляд
{f (0)
1 (τ)}l1 + {Ω(τ)}l11{ξ
(−1)
1 (τ)}1 = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
512 Ю. П. ПIДЧЕНКО
звiдки на пiдставi умови (16) маємо
{ξ(−1)
1 (τ)}1 = −{Ω(τ)}−1
l11{f
(0)
1 (τ)}l1 .
Тепер iз (33) визначаються всi компоненти вектора ξ(0)
1 (τ), крiм першої. Щоб визначити
першу компоненту {ξ(0)
1 (τ)}1, потрiбно в (32) покласти s = 1:
Hξ
(1)
1 = η
(1)
1 (τ). (34)
Випишемо iз (34) останнє скалярне рiвняння
{f (1)
1 (τ)}l1 + {A(1)
1 (τ)}l11{ξ
(−1)
1 (τ)}1 + {Ω(τ)}l11{ξ
(0)
1 (τ)}1+
+
l1∑
j=2
{Ω(τ)}l1j{ξ
(0)
1 (τ)}j −
d
dτ
{ξ(0)
1 (τ)}l1 = 0,
звiдки
{ξ(0)
1 (τ)}1 = − {Ω(τ)}−1
l11
[
{f (1)
1 (τ)}l1 + {A(1)
1 (τ)}l11{ξ
(−1)
1 (τ)}1+
+
l1∑
j=2
{Ω(τ)}l1j{ξ
(0)
1 (τ)}j −
d
dτ
{ξ(0)
1 (τ)}l1
]
.
Iз решти l1−1 скалярних рiвнянь системи (34) визначаються всi компоненти вектора ξ(1)
1 ,
крiм першої. Для визначення цiєї компоненти потрiбно в (32) покласти s = 2.
Продовживши цей процес для s = 2, 3, . . . ,m−1, визначимо компоненти всiх векторiв
ξ
(i)
1 , причому для s = m − 1 першу компоненту, внаслiдок довiльностi, можна вибрати
нульовою, тобто
{ξ(m−1)
1 }1 = 0.
Тодi рiвнiстю (28) вектор Π̄m,1(τ, ε) також буде визначено, а отже, на пiдставi (24) i (25)
вектори hm,1(τ, ε) i Πm,1(τ, ε) визначено.
Повернемось тепер до системи (8). Врахувавши (9) – (11), запишемо її у виглядi
dyj(τ, ε)
dt
= [Wj(τ) + Λjm,1(τ, µj)] yj(τ, ε)+
+ µ
mlj
j
p∑
i=1
Dijm,1(τ, ε)yj(τ, ε) + µml11 gj1(τ, ε), j = 1, p,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 513
де
qj,1(τ, ε) = qmj,1(τ, ε) + Πmj,1(τ, ε)e
i
ε
θ(τ),
qmj,1(τ, ε) =
{qm,1(τ, ε)}rj−1+1
{qm,1(τ, ε)}rj−1+2
...
{qm,1(τ, ε)}rj
,
Πmj,1(τ, ε) =
{Πm,1(τ, ε)}rj−1+1
{Πm,1(τ, ε)}rj−1+2
...
{Πm,1(τ, ε)}rj
,
причому матрицiDjim,1(τ, ε) розмiрiв lj×li i lj-вимiрний вектор gj,1(τ, ε) мають неперервнi
елементи для τ ∈ [0;L] i ε ∈ (0; ε0].
Далi запишемо
Wj(τ) = Λj0(τ) +Hj ,
де Λj0(τ) = diag (λ
(0)
j (τ), . . . , λ
(0)
j (τ)) — дiагональна матриця, Hj — нiльпотентна матриця
розмiрiв lj × lj . Поклавши
yj(τ, ε) = Ej1zj(τ, ε), (35)
де Ej1 — числова дiагональна матриця:
Ej1(τ) = diag (1, µm1 , . . . , µ
m(lj−1)
1 ),
одержимо систему
dzj(τ, ε)
dτ
= Λ̄jm,1(τ, ε)zj(τ, ε)+
+ µm1
[
Hjzj(τ, ε) +
p∑
i=1
Ēj1Djim,1(τ, ε)E1izj(τ, ε)
]
+ Ēj1gi1(τ, ε), (36)
де
Λ̄jm,1(τ, ε) = Λj0(τ) + Λjm,1(τ, µj),
Ēj1 = diag
(
µ
m(l1−1)
1 , µ
m(l1−2)
1 , . . . , µ
m(l1−lj)
1
)
, j = 1, p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
514 Ю. П. ПIДЧЕНКО
Щоб звести систему (36) до бiльш зручного вигляду, введемо до розгляду вектори
z(τ, ε) =
z1(τ, ε)
...
zp(τ, ε)
, g(τ, ε)
g11(τ, ε)
...
gp1(τ, ε)
(37)
i квадратнi матрицi n-го порядку
H = {H1, H2, . . . ,Hp}, Λm,1(τ, ε) =
{
Λ̄1m,1(τ, ε), . . . , Λ̄pm,1(τ, ε)
}
,
Dm,1(τ, ε) =
Ē11D11m,1(τ, ε)E11 . . . Ē11D1pm,1(τ, ε)Ep1
. . . . . . . . .
Ēp1Dp1m,1(τ, ε)E11 . . . Ēp1Dppm,1(τ, ε)Ep1
. (38)
Тодi з (36), враховуючи (37) i (38), одержуємо
dz(τ, ε)
dτ
=
1
ε
Λm,1(τ, ε) + µm−l11 [H +Dm,1(τ, ε)] z(τ, ε) + µm−l11 β̄m,1(τ, ε), (39)
де β̄m,1(τ, ε) — вектор, рiвномiрно обмежений в околi точки ε = 0 для τ ∈ [0;L].
Сиcтема (39) при виконаннi умови
Re
lj−1∑
s=0
µsjΛ
(s)
j,1(τ)
≤ 0 (40)
з вiдомою точнiстю iнтегрується [1] у замкненiй формi. В результатi одержимо розв’язок
(39) у виглядi
z(τ, ε) = exp
1
ε
τ∫
0
Λ̄m,1(τ, ε)dτ
c1 + µm−l11 βm,1(τ, ε), (41)
де c1 — сталий вектор, а βm,1(τ, ε) — вектор, що має неперервнi компоненти для τ ∈
∈ [0;L], ε ∈ (0; ε0].
Пiсля знаходження вектора z(τ, ε) iз (5), (35) i (41) визначається вектор x(τ, ε). Отже,
доведено таку теорему.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 (для m > l1), 2, 3, (16) i (40), то система (1)
у „резонансному” випадку на першому кроцi (0 ≤ τ ≤ ∆) має розв’язок, який можна
подати у виглядi
x(τ, ε) =
p∑
j=1
Ujm,1(τ, µj) exp
1
ε
τ∫
0
Λ̄jm,1(τ, µj)dτ
cj1+
+ pm,1(τ, ε) + h(τ, ε)e
i
ε
θ(τ) + ε
m−l1
l1 α(τ, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ЗНАХОДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ . . . 515
де cj1 — сталi вектори розмiрностi lj , j = 1, p, а α(τ, ε) — вектор, рiвномiрно обмеже-
ний в околi точки ε = 0.
Далi, маючи розв’язок системи (1) на першому кроцi, можна побудувати розв’язок на
другому кроцi, потiм на третьому i т. д. Для довiльного r-го (r ≥ 1) кроку справедлива
теорема, яку наведемо без доведення.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1 (для m >
r∑
i=1
li1 ), 2, 3, (16) i (40), то система
(1) у „резонансному” випадку на r-му кроцi ((r − 1)∆ ≤ τ ≤ r∆) має розв’язок вигляду
x(τ, ε) =
p∑
j=1
Ujm,r(τ, µj) exp
1
ε
τ∫
(r−1)∆
Λ̄jm,r(s, µj)ds
cjr+
+
r−1∑
l=1
Rjm,l(τ, µj) exp
1
ε
r−∆l∫
(r−1−l)∆
Λ̄jm,l(s, µj)ds
cjl
+
+
r−1∑
l=1
gmr,le
1
ε
θ(τ−∆l) + pm,r(τ, ε) + hm,r(τ, ε)e
i
ε
θ(τ) + ε
1
lr1
(m−
r∑
l=1
ll1)
αm,r(τ, ε),
де
Ujm,r(τ, ε) =
R̄−1∑
s=0
µsjU
(s)
jr (τ), Rjm,l(τ, µj) =
R̄−1∑
s=−llj
µsjR
(s)
jl (τ),
Λ̄jm,r(τ, µj) = Λj0(τ) + Λjm,r(τ, µj), Λjm,r(τ, µj) =
R̄−lj∑
s=0
µsjΛ
(s)
jr (τ),
gmr,i(τ, ε) =
Q̄∑
s=−l−1
εsg
(s)
rl (τ), pm,r(τ, ε) =
Q̄∑
s=0
εsp(s)
r (τ),
hm,r(τ, ε) =
Q̄∑
s=−1
εsh(s)
r (τ), Q̄ =
1
lr1
(
m−
r∑
l=1
ll1 − 1
)
,
R̄ =
1
lr−1
1
(
m−
r∑
l=1
ll1
)
,
cjr, cjl — сталi вектори, αmr(τ, ε) — вектор, рiвномiрно обмежений в околi точки ε = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
516 Ю. П. ПIДЧЕНКО
Зауважимо, що вектори cjr, cjl можна вибрати такими, щоб розв’язок у точцi τ =
= (r − 1)∆ мав достатньо малий розрив.
1. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П., Сотниченко Н.А. Аcимптотические методы в теории
линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наук. думка, 1981.
— 294 с.
2. Пидченко Ю.П., Мейлиев Т.К. Асимптотическое решение некоторых систем дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старшей производной // Лаврентьевские чтения по математике, меха-
нике, физике: Тез. докл. II Всесоюз. конф. — Киев: Наук. думка, 1986.— С. 25 – 36.
3. Пидченко Ю.П. Решение нелинейных систем дифференциально-разностных уравнений с медленно
меняющимися коэффициентами // Методы исследования алгебраических и топологических структур.
— Киев: Киев. пед. ин-т, 1989. — С. 88 – 95.
4. Пидченко Ю.П. Асимптотическое решение некоторых нелинейных дифференциально-разностных
уравнений // Дифференциально-функциональные уравнения: Сб. науч. тр. — Киев, 1991. — С. 63 – 69.
5. Шкиль Н.И. Асимптотическое решение системы дифференциальных уравнений с запаздывающим
аргументом // Вопросы теории и истории дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1968.
— С. 166 – 182.
Одержано 10.10.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|