Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь
Введено поняття стiйкостi розв’язкiв системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено необхiднi i достатнi умови стiйкостi даних систем. На системи даного типу з перiодичними коефiцiєнтами узагальнено теорiю Флоке – Ляпунова....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176107 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь / А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 438-445. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176107 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761072021-02-04T01:28:04Z Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь Акименко, А.М. Введено поняття стiйкостi розв’язкiв системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено необхiднi i достатнi умови стiйкостi даних систем. На системи даного типу з перiодичними коефiцiєнтами узагальнено теорiю Флоке – Ляпунова. The concept of stability of solutions of a system of linear differential equations with an identically degenerated matrix at the derivative is introduced. We find necessary and sufficient conditions for such systems to be stable. For this type of systems with periodic coefficients, the Floquet – Lyapunov theory is generalized. 2002 Article Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь / А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 438-445. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176107 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Введено поняття стiйкостi розв’язкiв системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з тотожно
виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено необхiднi i достатнi умови стiйкостi даних
систем. На системи даного типу з перiодичними коефiцiєнтами узагальнено теорiю Флоке –
Ляпунова. |
| format |
Article |
| author |
Акименко, А.М. |
| spellingShingle |
Акименко, А.М. Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Акименко, А.М. |
| author_sort |
Акименко, А.М. |
| title |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| title_short |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| title_full |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| title_sort |
стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176107 |
| citation_txt |
Стійкість розв'язків виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь / А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 438-445. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT akimenkoam stíjkístʹrozvâzkívvirodženoílíníjnoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T13:43:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:43:57Z |
| _version_ |
1837720705777532928 |
| fulltext |
УДК 517 .9
СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНОЇ
ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
А .М. Акименко
Нiжин. пед. ун-т
Україна, 16600, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Кропив’янського, 2
The concept of stability of solutions of a system of linear differential equations with an identically degene-
rated matrix at the derivative is introduced. We find necessary and sufficient conditions for such systems to
be stable. For this type of systems with periodic coefficients, the Floquet – Lyapunov theory is generalized.
Введено поняття стiйкостi розв’язкiв системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з тотожно
виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено необхiднi i достатнi умови стiйкостi даних
систем. На системи даного типу з перiодичними коефiцiєнтами узагальнено теорiю Флоке –
Ляпунова.
1. Розглянемо систему рiвнянь
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), (1)
задану на промiжку R = (a; +∞) , де a — число або символ−∞, в якiй x, f(t) — n-вимiрнi
вектори , A(t), B(t) — квадратнi матрицi n-порядку, елементи яких є дiйсними функцiями
змiнної t. При цьому матриця B(t) тотожно вироджена на промiжку R:
detB(t) = 0, t ∈ R.
Будемо вважати, що система (1) на будь-якому вiдрiзку [α;β] ⊂ R задовольняє умови
теореми iз [1] про звiднiсть до центральної канонiчної форми, а саме:
1) A(t), B(t) ∈ C2m[α;β];
2) rangB(t) = n− r;
3) матриця B(t) має на вiдрiзку [α;β] повний жорданiв набiр векторiв вiдносно опе-
ратора L(t) = A(t) − B(t)
d
dt
, який складається з r ланцюжкiв завдовжки s1, s2, ..., sr, де
max
i
si = m.
Як показано в [1 – 3], за цих умов система (1) має загальний розв’язок типу Кошi, який
можна подати у виглядi
x(t) = Xn−s(t)c+ x̃(t), (2)
де Xn−s(t) — прямокутна матриця розмiру n × (n − s), стовпцями якої є n − s лiнiйно
незалежних розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системи
B(t)
dx
dt
= A(t)x, (3)
c© А .М. Акименко, 2002
438 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 439
c — (n − s)-вимiрний вектор довiльних сталих, x̃(t) — довiльний розв’язок неоднорiдної
системи (1), s = s1 + . . .+ sr.
По аналогiї з нормальною лiнiйною системою прямокутну матрицю Xn−s(t) назива-
тимемо фундаментальною матрицею однорiдної системи (3). Поряд з системою (3) роз-
глянемо спряжену з нею систему
d
dt
B′(t)y = −A′(t)y, (4)
деA′(t), B′(t) — матрицi, транспонованi з матрицямиA(t) таB(t) вiдповiдно. Якщо Yn−s(t)
— фундаментальна матриця системи (4), а Y ∗n−s(t) — спряжена з нею, то, як показано в
[2, 3], матрицю Xn−s(t) завжди можна визначити так, щоб виконувалась рiвнiсть
Y ∗n−s(t)B(t)Xn−s(t) = E, (5)
де E — одинична матриця (n− s)-го порядку.
Розглянемо задачу Кошi для системи (1)
x(t0) = x0.
Як показано в [3. с. 67], для того щоб ця задача мала розв’язок, необхiдно i достатньо,
щоб початковий вектор x0 задовольняв умови
k−1∑
i=0
di
dti
(A(t0)x0 + f(t0), ψk−ij (t0)) = 0, j = 1, r, k = 1, sj ,
де ψji (t), i = 1, r, j = 1, si, — вектори, якi утворюють жорданiв набiр матрицi B∗(t) вiдно-
сно оператораL∗(t) = A∗(t)+
d
dt
B∗(t) . Цей розв’язок єдиний i визначається за формулою
x(t) = Xn−s(t)Y
∗
n−s(t0)B(t0)x0 +
t∫
t0
Xn−s(t)Y
∗
n−s(τ)f(τ)dτ−
− Φ(t)
m−1∑
k=0
Jk
dk
dtk
[Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)f(t), (6)
де Φ(t), Ψ(t) — матрицi розмiру n × s, складенi з векторiв, якi утворюють жордановi
набори матрицi B(t) вiдносно оператора L(t) i матрицi B∗(t) вiдносно L∗(t).
2. Користуючись цими результатами (зокрема, властивiстю єдиностi розв’язку задачi
Кошi), по аналогiї з теорiєю стiйкостi для нормальних лiнiйних систем [4] введемо поня-
ття стiйкостi розв’язкiв виродженої лiнiйної системи (1).
Означення 1. Розв’язок η = η(t), визначений на промiжку R, будемо називати стiй-
ким при t → +∞, якщо для довiльних ε > 0 та t0 ∈ R iснує δ = δ(ε, t0) > 0 таке, що
для всiх розв’язкiв y = y(t) системи (1), якi задовольняють умову
‖y(t0)− η(t0)‖ < δ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
440 А.М. АКИМЕНКО
виконується нерiвнiсть
‖y(t)− η(t)‖ < ε ∀t ∈ [t0; +∞).
Означення 2. Розв’язок η = η(t), визначений на промiжку R, називатимемо нестiй-
ким, якщо для довiльного ε > 0, t0 ∈ R i будь-якого δ > 0 iснують принаймнi один
розв’язок yδ(t) i момент t1 = t1(δ) > t0 такi, що
‖yδ(t)− η(t0)‖ < δ, ‖yδ(t1)− η(t1)‖ ≥ ε.
Означення 3. Розв’язок η = η(t) системи (1) називатимемо асимптотично стiйким
при t → +∞, якщо:
1) цей розв’язок стiйкий;
2) для будь-якого t0 ∈ R iснує таке число δ(t0) > 0, що для всiх розв’язкiв y = y(t)
системи (1), якi задовольняють умову
‖y(t0)− η(t0)‖ < δ,
виконується рiвнiсть
lim
t→∞
‖y(t)− η(t)‖ = 0.
З лiнiйностi системи (1) випливає, що рiзниця будь-яких двох її розв’язкiв є розв’язком
вiдповiдної однорiдної системи (3), i будь-який розв’язок однорiдної системи можна пода-
ти у виглядi рiзницi деяких розв’язкiв неоднорiдної системи. Виходячи з цього, доведемо
таку теорему.
Теорема 1. Для того щоб розв’язок системи (1) був стiйким, необхiдно i достатньо,
щоб був стiйким нульовий розв’язок x0 ≡ 0 вiдповiдної однорiдної системи (3).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай η = η(t), t0 ≤ t < ∞, — стiйкий розв’язок системи
(1). Тодi згiдно з означенням 1 для довiльного ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для будь-якого
розв’язку системи (1), який задовольняє умову
‖y(t0)− η(t0)‖ < δ,
при всiх t0 ≤ t < ∞ виконується нерiвнiсть
‖y(t)− η(t)‖ < ε.
Але оскiльки вектор-функцiя x(t) = y(t)−η(t) є розв’язком однорiдної системи (3) i будь-
який розв’язок цiєї системи можна подати у такому виглядi, то з останньої нерiвностi
випливає, що ‖x(t)‖ < ε при всiх t0 ≤ t < ∞, якщо ‖x(t0)‖ < δ, де x(t) — розв’язок
однорiдної системи (3). А це означає, що нульовий розв’язок однорiдної системи стiйкий.
Достатнiсть. Припустимо, що нульовий розв’язок однорiдної системи (3) стiйкий
при t → +∞. Тодi якщо x(t), t0 ≤ t < ∞, — довiльний розв’язок цiєї системи такий, що
‖x(t0)‖ < δ(ε, t0),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 441
то
‖x(t)‖ < ε при t0 ≤ t < ∞.
Тому якщо η(t) — деякий розв’язок неоднорiдної системи (1), а y(t) — довiльний розв’язок
цiєї системи, то з нерiвностi
‖y(t0)− η(t0)‖ < δ(ε, t0)
випливатиме нерiвнiсть
‖y(t)− η(t)‖ < ε при t0 ≤ t < ∞.
А це означає, що розв’язок η(t) стiйкий.
Аналогiчно доводиться наступне твердження.
Теорема 2. Для того щоб розв’язок системи (1) був асимптотично стiйким при t →
→ +∞, необхiдно i достатньо, щоб асимптотично стiйким при t → +∞ був нульовий
розв’язок вiдповiдної однорiдної системи (3).
Безпосередньо з цих теорем випливає, що всi розв’язки лiнiйної системи (1) є стйки-
ми, асимптотично стiйкими або нестiйкими одночасно. У зв’язку з цим коректним є таке
означення.
Означення 4. Лiнiйну систему (1) будемо називати стiйкою, асимптотично стiй-
кою при t → +∞ або нестiйкою, якщо всi її розв’язки вiдповiдно стiйкi, асимптотично
стiйкi при t → +∞ або нестiйкi.
Як наслiдок, з теорем 1, 2 випливає таке твердження.
Теорема 3. Неоднорiдна система (1) стiйка (асимптотично стiйка) тодi i тiльки
тодi, коли стiйка (асимптотично стiйка) вiдповiдна однорiдна система.
Таким чином, вивчення стiйкостi розв’язкiв неоднорiдної системи (1), як i у випадку
нормальних систем, зводиться до вивчення стiйкостi вiдповiдної однорiдної системи (3).
3. Розглянемо однорiдну систему (3). Покажемо, що при виконаннi всiх умов, сформу-
льованих у п. 1, її стiйкiсть еквiвалентна обмеженостi всiх її розв’язкiв.
Теорема 4. Однорiдна система (3) стiйка тодi i тiльки тодi, коли кожний розв’язок
цiєї системи x = x(t), t0 ≤ t < ∞, обмежений на [t0;∞).
Доведення. Достатнiсть. Припустимо, що будь-який розв’язок системи (3) обмеже-
ний на [t0;∞) ⊂ R.
Розглянемо фундаментальну матрицю Xn−s(t) цiєї системи, таку, що виконується рiв-
нiсть (5). Оскiльки за припущенням ця матриця складається з обмежених функцiй, то
‖Xn−s(t)‖ ≤ M при t0 ≤ t < ∞,
де M — деяка стала, яка залежить вiд t0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
442 А.М. АКИМЕНКО
Згiдно з (6) довiльний розв’язок x = x(t) системи (3) можна подати у виглядi
x(t) = Xn−s(t)Y
∗
n−s(t0)B(t0)x(t0),
звiдки маємо
‖x(t)‖ ≤ ‖Xn−s(t)‖‖Y ∗n−s(t0)B(t0)‖‖x(t0)‖ ≤ MN‖x(t0)‖ < ε,
де
N = ‖Y ∗n−s(t0)B(t0)‖.
Отже, якщо
‖x(t0)‖ < ε
MN
,
то
‖x(t)‖ < ε ∀t ∈ [t0;∞).
А це означає, що нульовий розв’язок системи (3) стiйкий при t → +∞, звiдки в силу
теореми 1 випливає, що система (3) стiйка.
Необхiднiсть. Припустимо, що система (3) має необмежений на [t0; +∞) розв’язок
z(t). Тодi, не змiнюючи загальностi, можна вважати, що z(t0) 6= 0. Зафiксуємо числа ε >
> 0, δ > 0 i розглянемо розв’язок
x(t) =
z(t)
‖z(t0)‖
δ
2
,
для якого
‖x(t0)‖ =
δ
2
< δ.
Але з необмеженостi розв’язку z(t) для деякого моменту часу t1 > t0 матимемо
‖x(t1)‖ =
‖z(t1)‖
‖z(t0)‖
δ
2
> ε.
Отже, нульовий розв’язок системи (3) нестiйкий, звiдки в силу теореми 1 випливає, що
нестiйкою є й система (1), тобто вона не може бути стiйкою за наявностi хоча б одного
необмеженого розв’язку. Теорему доведено.
Аналогiчно до теореми 2 iз [4] (гл. 2, §7) можна довести таке твердження.
Теорема 5. Однорiдна система (3) асимптотично стiйка тодi i тiльки тодi, коли
всi її розв’язки x = x(t) прямують до нуля при t → +∞:
lim
t→+∞
x(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 443
4. Таким чином, для вирiшення питання про стiйкiсть системи (1) необхiдно з’ясувати
питання про обмеженiсть розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системи (3). Як i у випадку
невироджених систем, найбiльш повну вiдповiдь на це питання можна дати, розглядаючи
системи з перiодичними коефiцiєнтами.
Припустимо, що матрицi A(t), B(t) ω-перiодичнi з перiодом ω > 0. Нехай Xn−s(t) —
фундаментальна матриця цiєї системи. Тодi матриця Xn−s(t + ω) також буде фундамен-
тальною матрицею, оскiльки вона задовольняє систему (1):
B(t)
dXn−s(t+ ω)
dt
= B(t+ ω)
dXn−s(t+ ω)
d(t+ ω)
=
= A(t+ ω)Xn−s(t+ ω) = A(t)Xn−s(t+ ω),
а її вектор-стовпцi лiнiйно незалежнi. Тому
Xn−s(t+ ω) = Xn−s(t)C, (7)
де C — деяка стала матриця розмiру (n− s)× (n− s). Помноживши цю рiвнiсть злiва на
матрицю Y ∗n−s(0)B(0) i поклавши в нiй t = 0, дiстанемо
Y ∗n−s(0)B(0)Xn−s(ω) = Y ∗n−s(0)B(0)Xn−s(0)C.
Оскiльки згiдно з (5)
Y ∗n−s(0)B(0)Xn−s(0) = E,
то звiдси випливає
C = Y ∗n−s(0)B(0)Xn−s(ω) = Ω(ω), (8)
де Ω(ω) — матриця монодромiї системи (3), введена в [3, с. 76]. Пiдставивши (8) у (7),
матимемо
Xn−s(t+ ω) = Xn−s(t)Ω(ω). (9)
Позначимо
1
ω
Ln Ω(ω) = Λ, (10)
звiдки
Ω(ω) = eΛω. (11)
Запишемо рiвнiсть
Xn−s(t) ≡ Xn−s(t)e
−ΛteΛt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
444 А.М. АКИМЕНКО
Звiдси
Xn−s(t) ≡ Φ(t)eΛt, (12)
де
Φ(t) = Xn−s(t)e
−Λt.
Покажемо, що матриця Φ(t) ω-перiодична. Дiйсно, беручи до уваги рiвностi (9), (11),
маємо
Φ(t+ ω) = Xn−s(t+ ω)e−Λ(t+ω) = Xn−s(t)Ω(ω)e−Λωe−Λt =
= Xn−s(t)e
Λωe−Λωe−Λt = Xn−s(t)e
−Λt = Φ(t).
В результатi одержуємо теорему, аналогiчну до теореми Флоке – Ляпунова.
Теорема 6. Якщо виконуються умови 1 – 3, то фундаментальна матриця розв’язкiв
виродженої однорiдної системи (3) з ω-перiодичними коефiцiєнтами має вигляд
Xn−s(t) = Φ(t)eΛt, (13)
де Φ(t) — ω-перiодична прямокутна матриця розмiру n×(n−s), а Λ — стала квадратна
матриця (n− s)-го порядку.
Власнi значення ρj матрицi монодромiї
Ω(ω) = Y ∗n−s(0)B(0)Xn−s(ω)
називатимемо мультиплiкаторами системи (3) [3, с. 76] , а власнi значення λj матрицi Λ —
характеристичними показниками цiєї системи. З формули (10) отримаємо такi спiввiдно-
шення мiж характеристичними показниками i мультиплiкаторами:
λj =
1
ω
Ln ρj =
1
ω
[ln |ρj |+ i(arg ρj + 2kπ)], j = 1, n− s, k = 0,±1,±2, . . . . (14)
5. Виходячи з формули (13), з’ясуємо питання про обмеженiсть, а отже, i стiйкiсть
розв’язкiв системи (3). Нехай λ1, λ2, . . . , λk, k ≤ n − s, — характеристичнi показники
системи (3). Зведемо матрицю Λ до канонiчної форми Жордана:
Λ = S−1diag {J1(λ1), . . . , Jk(λk)}S,
де S — перетворююча матриця розмiру s× s i Ji(λi) — вiдповiднi клiтки Жордана. Тодi з
формули (13) дiстанемо
Xn−s(t) = Φ(t)S−1diag {etJ1(λ1), . . . , etJk(λk)}S.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ВИРОДЖЕНОЇ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 445
Оскiльки матриця Un−s(t) = Xn−s(t)S
−1 також є фундаментальною для системи (3), то
ця система має фундаментальну матрицю вигляду
Un−s(t) = Ψ(t)diag {etJ1(λ1), . . . , etJk(λk)},
де Ψ(t) = Φ(t)S−1 — ω-перiодична прямокутна матриця розмiру n× (n− s).
Беручи до уваги, що [5]
etJi(λi) =
eλit
t
1!
eλit . . .
tki−1
(ki − 1)!
eλit
0 eλit . . .
tki−2
(ki − 2)!
eλit
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . eλit
,
де ki — кратнiсть вiдповiдного елементарного дiльника для характеристичного показни-
ка λi, а також обмеженiсть елементiв матрицi Ψ(t), приходимо до висновку, що фунда-
ментальна матриця розв’язкiв системи (3) буде обмеженою на промiжку [t0; +∞) тодi i
тiльки тодi, коли
Reλj ≤ 0, j = 1, k,
причому характеристичним показникам з нульовою дiйсною частиною вiдповiдають тiль-
ки простi елементарнi дiльники, якщо їх розглядати як власнi елементи матрицi Λ. Згiдно
iз спiввiдношенням (14) ця умова виконується тодi i тiльки тодi, коли всi мультиплiкатори
системи (3) задовольняють умову |ρj | ≤ 1, причому мультиплiкаторам, для яких |ρj | = 1,
вiдповiдають простi елементарнi дiльники, якщо їх розглядати як власнi значення матрицi
монодромiї.
Поєднуючи цей результат з теоремами 4, 5, одержуємо таке твердження.
Теорема 7. Якщо виконуються умови 1 – 3, то однорiдна перiодична система (3) стiй-
ка тодi i тiльки тодi, коли всi її мультиплiкатори розмiщенi всерединi замкнутого оди-
ничного круга |ρ| ≤ 1 комплексної площини, причому мультиплiкаторам, якi лежать на
колi |ρ| = 1, вiдповiдають простi елементарнi дiльники матрицi монодромiї.
Для асимптотичної стiйкостi перiодичної системи (3) необхiдно i достатньо, щоб усi її
мультиплiкатори знаходились усерединi одиничного круга |ρ| < 1.
1. Самойленко А.М., Яковець В.П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной ка-
нонической форме // Докл. НАН Украины. — 1993. — № 4. — С. 10 – 15.
2. Яковець В.П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 9. —
С. 1248 – 1296 .
3. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 548 с.
Одержано 30.05.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|