Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами
Запропоновано алгоритм зведення сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь у випадку кратного кореня характеристичного рiвняння до системи з простими коренями....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176110 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 549-559. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176110 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761102021-02-04T01:27:37Z Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами Шкіль, М.І. Запропоновано алгоритм зведення сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь у випадку кратного кореня характеристичного рiвняння до системи з простими коренями. We propose an algorithm for reducing a singularly perturbed system of differential equations in the case where the characteristic equation of the system has a multiple root to a system with simple roots. 2002 Article Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 549-559. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176110 517.91/943 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано алгоритм зведення сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь у випадку кратного кореня характеристичного рiвняння до системи з простими коренями. |
| format |
Article |
| author |
Шкіль, М.І. |
| spellingShingle |
Шкіль, М.І. Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Шкіль, М.І. |
| author_sort |
Шкіль, М.І. |
| title |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| title_short |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| title_full |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| title_sort |
про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176110 |
| citation_txt |
Про асимптотичні розвинення розв'язків систем диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 549-559. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT škílʹmí proasimptotičnírozvinennârozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzpovílʹnozmínnimikoefícíêntami |
| first_indexed |
2025-07-15T13:44:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:44:09Z |
| _version_ |
1837720718754709504 |
| fulltext |
УДК 517 .91/943
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ПОВIЛЬНО ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
М. I. Шкiль
Нац. пед. ун-т
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
We propose an algorithm for reducing a singularly perturbed system of differential equations in the case
where the characteristic equation of the system has a multiple root to a system with simple roots.
Запропоновано алгоритм зведення сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь у ви-
падку кратного кореня характеристичного рiвняння до системи з простими коренями.
Широкий клас лiнiйних диференцiальних рiвнянь, якi мiстять малий або великий пара-
метр (в тому числi i рiвняння з малим параметром при похiдних), можна звести до так
званих систем диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєнтами вигляду
dx
dt
= A(τ, ε)x, A(τ, ε) =
∑
k>0
εkAk(τ), (1)
де x— n-вимiрний вектор,A(τ, ε) — матриця розмiру n×n, τ = εt ∈ [0;L], ε > 0 — малий
параметр.
1. Класичнi результати. Дослiдження систем вигляду (1) розпочато у працях Лiувiлля,
Шлезiнгера, Бiркгофа, Тамаркiна, Пугачова, Фещенка (аналiз отриманих ними результа-
тiв наведено в монографiї [1]). Цi автори дослiдили той випадок, коли коренi характери-
стичного рiвняння
det ‖A0(τ)− λE‖ = 0 (2)
(E — одинична матриця) є простими на вiдрiзку [0;L]. Отриманi ними результати увiйшли
в наукову та навчальну лiтературу як класичнi.
2. Метод асимптотичного розщеплення. У 1950 – 1955 роках С.Ф. Фещенко отримав
досить важливi результати стосовно асимптотичного розщеплення системи (1) на пiдси-
стеми нижчого порядку. Наведемо цi результати у виглядi теорем.
Теорема 1. Нехай коренi рiвняння (2) утворюють двi iзольованi групи λ1(τ), . . . , λr(τ)
i λr+1(τ), . . . , λn(τ) так, що жоден корiнь першої групи при будь-якому τ ∈ [0;L] не до-
рiвнює кореням другої групи. Тодi якщо матриця A(τ, ε) на вiдрiзку [0;L] має похiднi
по τ всiх порядкiв, то система диференцiальних рiвнянь (1) має формальний розв’язок
вигляду
x = U1(τ, ε)ξ1 + U2(τ, ε)ξ2,
c© М. I. Шкiль, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4 549
550 М. I. ШКIЛЬ
де U1(τ, ε), U2(τ, ε) — прямокутнi матрицi розмiрiв вiдповiдно n × r i n × n − r, ξ1 —
r-вимiрний вектор, ξ2 — (n − r)-вимiрний вектор, якi визначаються системами дифе-
ренцiальних рiвнянь
dξ1
dt
= W1(τ, ε)ξ1,
dξ2
dt
= W2(τ, ε)ξ2.
Теорема 2. Якщо A(τ, ε) задовольняє умови теореми 1 i власнi числа матриць
∆i(τ) =
1
2
(Wi(τ) +W ∗i (τ)) , i = 1, 2,
де W1(τ), W2(τ) — дiагональнi клiтини матрицi T−1(τ)A0(τ)T (τ) (T (τ) — матриця пе-
ретворення подiбностi, T−1(τ) — обернена до T (τ)), W ∗1 (τ), W ∗2 (τ) — матрицi, спряже-
нi доW1(τ), W2(τ), недодатнi, то для будь-якогоL > 0 i 0 < ε 6 ε0 можна знайти таку
сталу c > 0, не залежну вiд ε, що як тiльки x|t=0 = xm|t=0 (xm — m-те наближення), то
‖x− xm‖ 6 εmc.
Зауважимо, що з допомогою теорем 1, 2 (теорем С.Ф. Фещенка) можна асимптоти-
чно понизити порядок системи (1). Зокрема, якщо всi коренi рiвняння (2) є простими на
вiдрiзку [0;L], то цi теореми визначають асимптотичний розв’язок системи (1), i, отже, ми
отримуємо класичнi результати.
3. Випадок кратних коренiв. Як згадувалося вище, теореми про асимптотичне розще-
плення дають можливiсть лише наближено понизити порядок вихiдної системи. У загаль-
ному випадку, наприклад, для кратних коренiв характеристичного рiвняння з допомогою
цих теорем отримати асимптотичний розв’язок системи (1) неможливо. I в той же час
цей випадок досить часто зустрiчається як при дослiдженнi теоретичних питань, так i
при розв’язаннi задач практики. Цей випадок має мiсце при розглядi рiвняння Штурма
— Лiувiлля, при дослiдженнi систем диференцiальних рiвнянь з малим параметром при
частинi похiдних, в задачах оптимального керування. Зауважимо, що випадок кратних
коренiв, особливо той варiант, коли кратним кореням вiдповiдають кратнi елементар-
нi дiльники, досить складний. Це обумовлено тим, що вихiдна система диференцiальних
рiвнянь, взагалi кажучи, не має розв’язкiв, якi б мали розвинення за цiлими степенями
параметра ε. Такi розв’язки, на вiдмiну вiд випадку простих коренiв, зображаються фор-
мальними рядами за дробовими степенями цього параметра, причому показники степеня
залежать не тiльки вiд кратностi кореня, але i вiд кратностi вiдповiдних елементарних
дiльникiв та певних спiввiдношень мiж коефiцiєнтами розглядуваної системи диференцi-
альних рiвнянь. Випадок кратних коренiв характеристичного рiвняння всебiчно дослiдив
автор даної статтi у 1960 – 1970 роках. Нижче наведено деякi з отриманих ним результатiв
(теореми 3, 4).
Припустимо, що характеристичне рiвняння (2) має хоча б один корiнь λ = λ0(τ) по-
стiйної кратностi k, 2 6 k < n, якому вiдповiдає елементарний дiльник тiєї ж кратностi.
Теорема 3. Якщо A(τ, ε) має на вiдрiзку [0;L] похiднi по τ всiх порядкiв i матриця
C(τ) = T−1(τ)
(
dT (τ)
dτ
−A1(τ)T (τ)
)
, (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 551
де T (τ) — матриця, яка приводить A0(τ) до жорданової форми, T−1(τ) — обернена ма-
триця до T (τ) така, що для будь-якого τ ∈ [0;L] її елемент
ck1(τ) 6= 0, (4)
то система диференцiальних рiвнянь (1) має формальний розв’язок вигляду
x = u(τ, µ) exp
t∫
0
λ(τ, µ)dt
, (5)
де n-вимiрний вектор u(τ, µ) та скалярна функцiя λ(τ, µ) мають розвинення
u(τ, µ) =
∞∑
s=0
µsus(τ),
(6)
λ(τ, µ) = λ0(τ) +
∞∑
s=1
µsλs(τ),
в яких
µ = ε
1
k . (7)
Можна довести, що умова (4) є i необхiдною для того, щоб система (1) мала формаль-
ний розв’язок вигляду (6), (7).
Пiзнiше теорему 3 довiв М. М. Моiсєєв iншим методом [2].
Випадок, коли у спiввiдношеннi (4) ck1(τ) ≡ 0, дослiдив автор даної статтi. Але якщо
при цьому ck−1,1(τ) + ck2(τ) 6= 0, то система (1) має формальний розв’язок вигляду (5), де
u(τ, µ), λ(τ, µ) зображаються формальними рядами за степенями параметра
µ = ε
1
k−1 ,
а один розв’язок — за цiлими степенями параметра ε. В. К. Григоренко [3] узагальнив
попереднiй результат на iншi випадки спiввiдношень елементiв, якi знаходяться нижче
головної дiагоналi матрицi (3).
Г. С. Жукова [4] для знаходження показника малого параметра, за яким здiйснюється
розвинення формальних рядiв, використала метод дiаграм Ньютона i частково отримала
наведенi вище результати. Метод дiаграм Ньютона застосовував В. П. Яковець [5] при
дослiдженнi систем диференцiальних рiвнянь з виродженнями.
Наведемо найбiльш загальний результат автора стосовно дослiдження системи (1) для
випадку кратних коренiв характеристичного рiвняння (2).
Нехай виконуються такi умови:
1) матриця A(τ, ε) на вiдрiзку [0;L] має похiднi по τ всiх порядкiв;
2) характеристичне рiвняння (2) має один корiнь λ = λ0(τ) постiйної кратностi n;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
552 М. I. ШКIЛЬ
3) кореню λ0(τ) вiдповiдає r > 1 елементарних дiльникiв вигляду
(λ− λ0(τ))k1 , . . . , (λ− λ0(τ))kr ;
4) виконується одне iз спiввiдношень:
а) k1 = k2 = . . . = kr = k;
б) k1 > k2 > . . . > kr.
Тодi для випадку а) справедлива така теорема.
Теорема 4. Якщо виконуються умови 1 – 3 i випадок а), то для того щоб вектор
x = u(τ, µ) exp
t∫
0
λ(τ, µ)dt
,
де n-вимiрний вектор u(τ, µ) i скалярна функцiя λ(τ, µ) зображаються формальними ря-
дами
u(τ, µ) =
∞∑
s=0
µsus(τ), λ(τ, µ) =
∞∑
s=0
µsλs(τ), (8)
в яких µ = ε
1
k , був формальним вектор-розв’язком системи (1), необхiдно i достатньо,
щоб функцiя (λ1(τ))k при будь-якому τ ∈ [0;L] була коренем рiвняння
det
∥∥∥∥∥∥∥∥
ρ+ ck1(τ), ck k+1(τ), . . . , cklr−1+1(τ)
c2k1(τ), ρ+ c2kk+1(τ), . . . , c2klr−1+1(τ)
. . . . . . . . . . . .
cn1(τ), cn k+1(τ), . . . , ρ+ cnlr−1+1(τ)
∥∥∥∥∥∥∥∥ = 0, (9)
де ck1(τ), . . . , cnlr−1+1(τ), lr−1 = (r − 1)k — елементи матрицi (3).
Доведення достатньої умови теореми 4 дає i метод побудови коефiцiєнтiв формальних
рядiв (8).
Аналогiчна теорема справедлива i для випадку б). Доведено також, що для обох ви-
падкiв формальнi розв’язки є асимптотичними розвиненнями за параметром ε в розумiн-
нi А. Пуанкаре [6] точних розв’язкiв системи (1). Зауважимо, що теорема 3 є частинним
випадком теореми 4. Умова (9) для r = 1 набирає вигляду
ρ+ cn1(τ) = 0.
4. „Збурене” характеристичне рiвняння. Проблеми. Побудова формальних розви-
нень розв’язкiв системи (1) у випадку кратних коренiв значно складнiша, нiж у випадку
простих коренiв характеристичного рiвняння. Тому природно виникає питання: чи не мо-
жна за допомогою певних перетворень над матрицею коефiцiєнтiв системи (2) випадок
кратних коренiв звести до простих? Так, Г. Туррiтiн [7], I. I. Старун [8] намагалися з допо-
могою низки зрiзуючих перетворень позбутися випадку кратних коренiв. Але повнiстю
уникнути формальних розвинень за дробовими степенями параметра ε їм так i не вдалося.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 553
В останнi роки автором [9, 10] запропоновано новий пiдхiд до побудови формальних
розв’язкiв системи (1), який пов’язаний з введенням до розгляду так званого збуреного
характеристичного рiвняння. З’ясуємо цей метод для окремого випадку системи (1). А
саме, будемо розглядати систему диференцiальних рiвнянь вигляду
dx
dt
= A(τ)x. (10)
Припустимо, що матриця A(τ) достатнє число раз диференцiйовна на вiдрiзку [0;L],
рiвняння (2) при будь-якому τ ∈ [0;L] має один тотожно n-кратний корiнь λ = λ0(τ) i йо-
му вiдповiдає один елементарний дiльник тiєї ж кратностi. Тодi з допомогою пiдстановки
x = V (τ)y,
де V (τ) — матриця перетворення подiбностi, систему (10) можна звести до системи ви-
гляду
dy
dt
= B(τ, ε)y, (11)
де
B(τ, ε) = W (τ)− εV −1(τ) · V ′(τ),
W (τ) — клiтина Жордана, V −1(τ) — матриця, обернена до V (τ), V ′(τ) — похiдна.
Побудуємо рiвняння
det ‖B(τ, ε)− ρE‖ = 0 (12)
i назвемо його „збуреним” характеристичним рiвнянням.
Припустимо, що коренi ρi(τ, ε), i = 1, n рiвняння (12) простi для будь-якого τ ∈ [0;L]
i ε ∈ (0; ε0]. Тодi, пiдставляючи в систему (11)
y = Um(τ, ε, ε)z, Um(τ, ε, ε) =
m∑
s=0
εsUs(τ, ε) (13)
(m > 1 — натуральне число), отримуємо систему
Um(τ, ε, ε)
dz
dt
=
(
B(τ, ε)Um(τ, ε, ε)− εU ′m(τ, ε, ε)
)
z (14)
(U ′m(τ, ε, ε) — похiдна по τ).
Матрицю Um(τ, ε, ε) будемо визначати iз матричної рiвностi
B(τ, ε)Um(τ, ε, ε)− εU ′m(τ, ε, ε) =
= Um(τ, ε, ε)
(
Λm(τ, ε, ε) + εm+1Cm(τ, ε)
)
, (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
554 М. I. ШКIЛЬ
в якiй
Λm(τ, ε, ε) =
m∑
s=0
εsΛs(τ, ε)
— дiагональна матриця, а Cm(τ, ε) — матриця розмiрiв n× n.
Зрiвняємо в рiвностi (15) коефiцiєнти при зовнiшнiх степенях εk, k = 0, 1, . . . ,m, i
εm+1. Отримаємо систему рiвнянь
B(τ, ε)U0(τ, ε)− U0(τ, ε)Λ0(τ, ε) = 0,
B(τ, ε)Ur(τ, ε)− Ur(τ, ε)Λ0(τ, ε) = Hr(τ, ε), r = 1,m,
Um(τ, ε, ε)Cm(τ, ε) = Rm(τ, ε),
де
Hr(τ, ε) = U ′r−1(τ, ε) +
r∑
i=0
Ui(τ, ε)Λr−i(τ, ε), r = 1,m,
Rm(τ, ε) = U ′m(τ, ε) +
m∑
k=1
m∑
j=k
εk−1Uk+j−1(τ, ε)Λm+2−k−j(τ, ε).
Невiдомi матрицi Us(τ, ε), Λs(τ, ε), s = 0,m, визначаються методом, наведеним у [1].
Далi вимагатимемо виконання умови
1◦) матриця Um(τ, ε, ε) неособлива при будь-якому τ ∈ [0;L] i ε ∈ (0; ε0].
Тодi систему (14) згiдно з (15) можна записати у виглядi
dz
dt
=
(
Λm(τ, ε, ε) + εm+1Cm(τ, ε)
)
z, (16)
де
Cm(τ, ε) = U−1m (τ, ε, ε)Rm(τ, ε).
Нехай виконується умова
2◦) для будь-якого τ ∈ [0;L] i ε ∈ (0; ε0]
Re (ρj(τ, ε)) 6 0, j = 1, n,
Cm(τ, ε) = O(ε−α), ε → 0, 0 < α < m.
Тодi систему (16) можна проiнтегрувати методом послiдовних наближень, внаслiдок чого
для вектора z отримаємо асимптотичну формулу
z = exp
1
ε
τ∫
0
m∑
s=0
εsΛs(σ, ε)dσ
a+O(εm−α), ε → 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 555
де a — сталий вектор.
Накладемо ще одну умову
3◦) матриця Um(τ, ε, ε) для будь-якого τ ∈ [0;L] i ε ∈ (0; ε0] обмежена за нормою.
Тодi для вектора x отримаємо асимптотичну формулу
x = V (τ, ε)Um(τ, ε, ε) exp
1
ε
τ∫
0
m∑
s=0
εsΛs(σ, ε)dσ
a+
+ O(εm−α), ε → 0. (17)
Зауважимо, що формула (17) отримана при виконаннi умов 1◦ – 3◦, в яких явно не фi-
гурують коефiцiєнти системи (10). Виникає питання: яким вимогам повинна вiдповiдати
матриця A(τ) (матриця A(τ, ε)), щоб виконувались умови 1◦ – 3◦?
Вiдповiдi на це питання i складають тi проблеми, якi згадуються в п. 4.
Приклад. Розглянемо скалярне рiвняння
d2x
dt2
+ εp(τ)x = 0, (18)
де p(τ) 6= 0 ∀τ ∈ [0;L] i має неперервнi похiднi до другого порядку включно.
Тодi рiвняння (18) можна записати у виглядi системи (11), де y = (y1; y2) (y1 = x,
y2 = dx/dt) — двовимiрний вектор, B(τ, ε) — матриця розмiрiв 2× 2 вигляду
B(τ, ε) =
∥∥∥∥ 0 1
−εp(τ) 0
∥∥∥∥ .
Рiвняння (12) має коренi
ρ1(τ, ε) =
√
−εp(τ), ρ2(τ, ε) = −
√
−εp(τ).
Нехай у пiдстановцi (13) m = 1. Тодi, повторивши попереднi викладки та наклавши
умову p(τ) > 0 ∀ τ ∈ [0; L] (при цьому припущеннi умови 1◦ – 3◦ виконуються), для
вектора z отримаємо асимптотичну формулу
z = exp
1
ε
τ∫
0
Λ̃1(σ, ε)dσ
+O
(
ε
1
2
)
, ε → 0,
де
Λ̃1(σ, ε) = diag
(
p′(τ)
4p(τ)
;
p′(τ)
4p(τ)
)
.
5. Перiодичнi розв’язки систем диференцiальних рфвнянь. Використовуючи розро-
бленi методи асимптотичного iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiаль-
них рiвнянь, знайдемо перiодичний розв’язок системи диференцiальних рiвнянь
εh =
dy
dt
= B(t)y + q(t, y, ε), (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
556 М. I. ШКIЛЬ
де y, q — n-вимiрнi вектори, B(t) — матриця розмiрiв n × n, ε > 0 — малий параметр,
h ≥ 1 — натуральне число. Системи вигляду (19) у випадку, коли n = 1 i B(t) — стала
матриця, дослiджувалися в [11]. У вказанiй роботi наведено також бiблiографiю робiт,
присвячених питанням, якi розглядаються у данiй статтi.
Припустимо, що виконуються умови:
1◦) B(t), q(t, y, ε) перiодичнi по t з перiодом T , B(t) має неперервнi похiднi до порядку
h включно для будь-якого t ∈ [0;T ] а q(t, y, ε) — неперервна вектор-функцiя по t, y, ε, яка
задовольняє умову Лiпшиця по y при −∞ < t < +∞, ‖y‖ ≤ R, 0 < ε ≤ ε0;
2◦) система диференцiальних рiвнянь
εh
dy
dt
= B(t)y (20)
є некритичною вiдносно перiоду T ;
3◦) характеристичне рiвняння
det ‖B(t)− λE‖ = 0 (21)
(E — одинична матриця) при будь-якому t ∈ [0;T ] має простi коренi, якi ми позначимо
через λ1(t), . . . , λn(t), причому λi(t), i = 1, n, — перiодичнi функцiї з перiодом T [12]. Вi-
домо [13], що iснує неособлива перiодична з перiодом T матриця V (t), h разiв неперервно
диференцiйовна на вiдрiзку [0;T ] i така, що правильною є рiвнiсть
V −1(t)B(t)V (t) = W (t),
де
W (t) = diag (λ1(t), . . . , λn(t)). (22)
Виконавши у системi (19) лiнiйну пiдстановку
y = U(t, ε)z, U(t, ε) =
h−1∑
s=0
εsUs(t),
отримаємо систему
εhU(t, ε)
dz
dt
=
(
B(t)U(t, ε)− εhU ′(t, ε)
)
= q̃(t, z, ε), (23)
де U ′(t, ε) — похiдна по t, а
q̃(t, z, ε) = q
(
t, U(t, ε)z, ε
)
.
Для знаходження матрицi U(t, ε) скористаємося методом iз [14]. Згiдно з цим методом
матрицю U(t, ε) шукатимемо, виходячи з матричної рiвностi
B(t)U(t, ε)− εhU ′(t, ε) = U(t, ε)
(
Λ(t, ε) + εhC(t, ε)
)
, (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 557
де Λ(t, ε) — дiагональна матриця вигляду
Λ(t, ε) =
h−1∑
s=0
εsΛs(t),
а C(t, ε) — матриця розмiрiв n × n з неперервними елементами в областi 0 ≤ t ≤ T ,
0 < ε ≤ ε0.
Прирiвнявши в матричнiй рiвностi (24) коефiцiєнти при степенях εk, k = 0, 1 . . . , h,
одержимо систему матричних рiвнянь
B(t)U0(t)− U0(t)Λ0(t) = 0,
B(t)Us(t)− Us(t)Λ0(t) = Ds(t), s = 1, . . . , h− 1, (25)
U(t, ε)C(t, ε) = G(t, ε),
де
Ds(t)U
′
s−h(t) +
s−1∑
i=1
Ui(t)Λs+1−i(t), s = 1, h− 1,
G(t, ε) = −U ′(t, ε)−
h−2∑
k=0
εk
h−1∑
j=k+1
Uj(t)Λh+k−j(t).
У роботi [14] доводиться, що матрична система рiвнянь (25) сумiсна, i дається її розв’я-
зання, причому матриця U(t, ε) ∀ t ∈ (−∞;∞) i малих ε > 0 є неособливою.
Тодi згiдно з (24) систему диференцiальних рiвнянь (23) можна записати у виглядi
dz
dt
= ε−hΛ(t, ε)z + ε−hg(t, z, ε), (26)
де
g(t, z, ε) = U−1(t, ε)q̃(t, z, ε)− εhC(t, ε)z,
U−1(t, ε) — обернена матриця до U(t, ε).
Вiдносно системи диференцiальних рiвнянь (26) можна довести таку теорему.
Теорема 5. Нехай виконуються умови 1◦ – 3◦, а також умови:
4◦) iснує функцiя η(ε, ρ), неперервна i неспадна по ε i ρ при 0 < ε ≤ ε0, 0 ≤ ρ ≤ R,
η(0, 0) = 0, i така, що
‖g(t, z1, ε)− g(t, z2, ε)‖ ≤ η(ε, ρ)‖z1 − z2‖, (27)
причому g(t, 0, 0) = 0 i нерiвнiсть (27) виконується для всiх −∞ < t < +∞, ‖z1‖ ≤ ρ,
‖z2‖ ≤ ρ, 0 < ε ≤ ε0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
558 М. I. ШКIЛЬ
5◦) дiйснi частини елементiв λi(t, ε), i = 1, n, дiагональної матрицi Λ(t, ε) при будь-
якому t ∈ [0;T ] i 0 < ε ≤ ε0 не дорiвнюють нулю:
Re (λi(t, ε)) 6= 0, i = 1, n.
Тодi iснують числа ε1 > 0 i σ > 0 такi, що система диференцiальних рiвнянь (26) має
перiодичний розв’язок z∗(t, ε) з перiодом T , вектор-функцiя z∗(t, ε) є неперервною по t i
ε при 0 < ε ≤ ε1, z∗(t, 0) = 0, i розв’язок z∗(t, ε) єдиний в областi 0 ≤ ‖z‖ ≤ σ.
Доведення даної теореми тут не наводимо. Вона може бути доведена тим же методом,
що i теореми 5.1, 5.2 iз [11].
Зауважимо, що при доведеннi зазначених теорем суттєву роль вiдiграє нормальна
фундаментальна матриця розв’язкiв однорiдної лiнiйної системи (20). З допомогою цiєї
матрицi нелiнiйна система диференцiальних рiвнянь (19) зводиться до iнтегральної систе-
ми рiвнянь i методом послiдовних наближень доводиться, що вона має розв’язок, який i
є шуканим. Однак, оскiльки система (20) є системою iз змiнними коефiцiєнтами, то, як
правило, шукану фундаментальну матрицю не можна побудувати. Що ж до системи ди-
ференцiальних рiвнянь (26), то вiдповiдною однорiдною системою є система
dz
dt
= ε−hΛ(t, ε)z
i однiєю з нормальних фундаментальних матриць цiєї системи є матриця
Z(t, ε) = exp
ε−h t∫
0
Λ(τ, ε)dτ
.
На завершення зауважимо, що отриманi в данiй роботi результати можна узагальни-
ти за допомогою методiв iз [1] i на той випадок, коли серед коренiв характеристичного
рiвняння (21) є кратнi.
1. Шкиль Н. И. Об асимптотических методах в теории линейных дифференциальных уравнений и их
применении. — Киев: КСУ, 1996. — Ч. 1. — 198 с.; 1997. — Ч. 2. — 226 с.
2. Моисеев Н. Н. Асимптотическое представление решения линейных дифференциальных уравнений в
случае кратных элементарных делителей // Докл. АН СССР. — 1966. — 170, N◦ 4. — С. 37 – 43.
3. Григоренко В. К. Об асимптотическом разложении решений систем линейных дифференциальных
уравнений: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1972. — 12 с.
4. Жукова Г. С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных линейных дифференциальных урав-
нений. — Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1988. — 200 с.
5. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
нями. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
6. Poincare H. Sur les equations de la physique et mathematique // Rend. Pal. — 1894. — P. 10 – 11, 57 – 156.
7. Turritin H. L. Asymptotic expansions of solutions of systems of ordinary lineary, differential eguations
containing a parameter. // Mathematica. — 1957. — 1, N◦ 2. — P. 29 – 59.
8. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диф-
ференциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Выща шк., 1991. — 207 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 559
9. Шкиль Н. И. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка //
Arch. math. (Brno). — 1987. — 23, N◦ 1. — P. 53 – 62.
10. Шкиль Н. И. Об асимптотических разложениях решений систем дифференциальных уравнений в слу-
чае кратных корней характеристического уравнения // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, N◦ 2. —
С. 285 – 289.
11. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. — М.: Мир, 1966. — 300 с.
12. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. —
Киев: Изд-во АН Украины, 1954. — 286 с.
13. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных диффе-
ренциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1966. — 252 с.
14. Шкiль М. I. Асимптотичнi методи в диференцiальних рiвняннях. — Київ: Вища шк., 1971. — 225 с.
Одержано 10.10.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|