Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі
Наведено умови обмеженостi та перiодичностi розв’язкiв систем Вольтерри з матричними коефiцiєнтами, якi формулюються в термiнах коефiцiєнтiв цих систем.
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176159 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі / М.Ф. Городній // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176159 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761592021-02-04T01:29:48Z Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі Городній, М.Ф. Наведено умови обмеженостi та перiодичностi розв’язкiв систем Вольтерри з матричними коефiцiєнтами, якi формулюються в термiнах коефiцiєнтiв цих систем. We find conditions for solutions of Volterra systems with matrix coefficients to be bounded and periodic. The conditions are formulated in terms of the coefficients 2003 Article Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі / М.Ф. Городній // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176159 531.36 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Наведено умови обмеженостi та перiодичностi розв’язкiв систем Вольтерри з матричними
коефiцiєнтами, якi формулюються в термiнах коефiцiєнтiв цих систем. |
| format |
Article |
| author |
Городній, М.Ф. |
| spellingShingle |
Городній, М.Ф. Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городній, М.Ф. |
| author_sort |
Городній, М.Ф. |
| title |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі |
| title_short |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі |
| title_full |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі |
| title_fullStr |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі |
| title_full_unstemmed |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі |
| title_sort |
обмеженість розв'язків деяких систем вольтерри у скінченновимірному просторі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176159 |
| citation_txt |
Обмеженість розв'язків деяких систем Вольтерри у скінченновимірному просторі / М.Ф. Городній // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 34-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodníjmf obmeženístʹrozvâzkívdeâkihsistemvolʹterriuskínčennovimírnomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-15T13:49:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:49:09Z |
| _version_ |
1837721051436417024 |
| fulltext |
УДК 531.36
ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРИ
У СКIНЧЕННОВИМIРНОМУ ПРОСТОРI
М. Ф. Городнiй
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. акад. Глушкова 2, корп.6
e-mail: gorod@hotbox.ru
We find conditions for solutions of Volterra systems with matrix coefficients to be bounded and periodic.
The conditions are formulated in terms of the coefficients.
Наведено умови обмеженостi та перiодичностi розв’язкiв систем Вольтерри з матричними
коефiцiєнтами, якi формулюються в термiнах коефiцiєнтiв цих систем.
Нехай H — p-вимiрний комплексний евклiдiв простiр iз скалярним добутком (., .) та по-
родженою ним нормою ‖.‖; {An, n ≥ 0}— фiксована послiдовнiсть лiнiйних операторiв,
що дiють iз H в H ; I — одиничний, O — нульовий оператори в H . Норму лiнiйного опе-
ратора An будемо позначати, як звичайно, ‖An‖.
Мета даної роботи — отримати критерiй обмеженостi розв’язку x := {xn, n ≥ 0}
лiнiйної системи Вольтерри
x0 = y0, xn+1 = −
n∑
k=0
An−kxk + yn+1, n ≥ 0, (1)
для довiльної обмеженої послiдовностi y := {yn, n ≥ 0} елементiв H та застосувати цей
критерiй для дослiдження питання про обмеженiсть розв’язкiв однiєї нелiнiйної системи
Вольтерри у просторi H .
Достатнi умови обмеженостi розв’язкiв системи (1) отримано в [1] у випадку, коли
послiдовнiсть y додатково перiодична, а оператори An, n ≥ 0, самоспряженi. (Про за-
стосування систем Вольтерри також див. [1] та наведену там бiблiографiю.)
1. Критерiй обмеженостi розв’язкiв системи (1). Нехай {v1, v2, . . . , vp} – фiксований
базис у H . Матрицю, що вiдповiдає оператору An у цьому базисi, у подальшому також
будемо позначати символом An. Оскiльки всi норми у скiнченновимiрному просторi еквi-
валентнi, то у цьому пунктi додатково будемо використовувати
‖u‖∗ := max
1≤k≤p
|u(k)|, u = u(1)v1 + u(2)v2 + . . .+ u(p)vp ∈ H,
‖An‖∗ := max
1≤j≤p
p∑
k=1
|an(j; k)|, An =
{
an(j; k)
}p
j,k=1
, n ≥ 0.
Критерiй обмеженостi розв’язкiв лiнiйної системи Вольтерри (1) мiстить така теорема.
c© М. Ф. Городнiй, 2003
34 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРИ У СКIНЧЕННОВИМIРНОМУ ПРОСТОРI 35
Теорема 1. Нехай
∞∑
n=0
‖An‖ < +∞. (2)
Тодi еквiвалентними є такi твердження:
a1) система (1) для довiльної обмеженої в H послiдовностi y має єдиний обмежений
розв’язок x;
a2) для будь-якого z з одиничного круга K := {z ∈ C, |z| ≤ 1} оператор
F (z) := I +
∞∑
n=1
An−1z
n
має обернений F−1(z).
Доведення. Визначимо послiдовнiсть лiнiйних операторiв {Qn, n ≥ 0} у просторi H
спiввiдношеннями
Q0 = −A0, Qn+1 = −
n∑
k=0
An−kQk −An+1, n ≥ 0. (3)
Неважко перевiрити, що вiдповiдний y єдиний розв’язок x системи Вольтерри (1) зобра-
жується у виглядi
x0 = y0, xn+1 =
n∑
k=0
Qn−kyk + yn+1, n ≥ 0. (4)
Покажемо, що a1) ⇒ a2). Оскiльки для довiльного u ∈ H вiдповiдний послiдовностi
y0 = u, yn = ~0, n ≥ 1, обмежений розв’язок системи (1) має вигляд x0 = u, xn =
= Qn−1u, n ≥ 1, то внаслiдок теореми Банаха – Штейнгауза [2, c. 116] та еквiвалентностi
норм у скiнченновимiрному просторi числова послiдовнiсть {‖Qn‖∗, n ≥ 0} є обмеже-
ною, а отже, ряд
Q(z) := I +
∞∑
n=1
Qn−1z
n
збiгається за нормою при |z| < 1.
Таким чином, при |z| < 1 матричнi функцiї F (z) та Q(z) визначаються за допомогою
збiжних за нормою рядiв. Тому внаслiдок рiвностей (3) та означення добутку рядiв за
Кошi маємо
∀z, |z| < 1 : F (z)Q(z) = I. (5)
Доведемо, що
∞∑
n=0
‖Qn‖∗ < +∞. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
36 М. Ф. ГОРОДНIЙ
Зафiксуємо iндекси j та k, 1 ≤ j, k ≤ p, i розглянемо таку обмежену в H послiдовнiсть y,
що yn = yn(k)vk, n ≥ 0. Внаслiдок твердження a1), (4) та означення ‖.‖∗ j-тi компоненти
вiдповiдного y розв’язку {xn, n ≥ 0} задають обмежену послiдовнiсть комплексних чисел
i визначаються таким чином:
x0(j) = δjky0(k),
(7)
xn+1(j) =
n∑
ν=0
qn−ν(j, k)yν(k) + δjkyn+1(k), n ≥ 0.
Тут δjk — символ Кронекера,Qn = {qn(j, k)}pj,k=1, n ≥ 0. Оскiльки для довiльної обмеже-
ної послiдовностi {yn(k), n ≥ 0} ⊂ C побудована згiдно з (7) послiдовнiсть {xn(j), n ≥ 0}
є обмеженою, то на пiдставi тих же мiркувань, що й при доведеннi леми 1 з [3], робимо
висновок, що
∀1 ≤ j, k ≤ p :
∞∑
n=0
|qn(j, k)| < +∞. (8)
Залишилось зауважити, що з (8) випливає збiжнiсть ряду (6), а отже, з урахуванням
(3) рiвностi (5) виконуються при z ∈ K. Тому для довiльного z ∈ K detF (z) 6= 0, чого
досить для iснування F−1(z). Отже, iмплiкацiю a1) ⇒ a2) доведено.
Покажемо, що a2) ⇒ a1). Внаслiдок твердження a2) та (2) числова функцiя ϕ(z) :=
:= detF (z) визначається за допомогою збiжного ряду та не має нулiв у одиничному кру-
зi K. Звiдси випливає (див., наприклад, задачу 3 з [4, c. 486]), що ϕ−1(z) розвивається в
абсолютно збiжний в K ряд Тейлора. Оскiльки елементи матрицi F (z) також є абсолют-
но збiжними в K рядами Тейлора, то на пiдставi правила Крамера визначення оберне-
ної матрицi робимо висновок, що функцiя F−1(z) розвивається у збiжний за нормою у
крузi K ряд Тейлора. Тому з урахуванням (3) для кожного z ∈ K виконується рiвнiсть
F−1(z) = Q(z), а отже,
∑∞
n=0 ‖Qn‖∗ < +∞. Таким чином, згiдно з (4) можна стверджува-
ти, що кожнiй обмеженiй послiдовностi y вiдповiдає обмежений розв’язок x системи (1),
тобто виконується твердження a1).
Теорему 1 доведено.
2. Наслiдки. Наведенi нижче твердження узагальнюють вiдповiднi результати ро-
боти [1].
Наслiдок 1. Нехай {Aj , j ≥ −1} — послiдовнiсть додатних самоспряжених опера-
торiв в H , що задовольняє такi умови:
b1) O ≤ A−1 < I;
b2) ∀j ≥ −1 : Aj −Aj+1 ≥ Aj+1 −Aj+2;
b3)
∑∞
n=0 ‖An‖ < +∞.
Тодi виконується твердження a1) теореми 1.
Зауваження. Про властивостi додатних самоспряжених операторiв див., наприклад, [5,
c. 280 – 285]. Домовимося, що для самоспряжених операторiв T i S будемо писати T > S,
якщо
∀u ∈ H, u 6= ~0 : (Tu, u) > (Su, u).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРИ У СКIНЧЕННОВИМIРНОМУ ПРОСТОРI 37
Доведення наслiдку 1. Досить переконатися, що з умов b1)− b3) випливає твердження
a2) теореми 1.
Якщо, вiд супротивного, для фiксованого z ∈ K оператор F (z) не має оберненого, то
внаслiдок скiнченновимiрностi H обов’язково знайдеться такий елемент u ∈ H, ‖u‖ =
= 1, що
F (z)u = ~0. (9)
Покладемо ak := (Aku, u), k ≥ −1. Згiдно з умовами b1) − b3) послiдовнiсть не-
вiд’ємних чисел {ak, k ≥ −1} задовольняє такi умови:
c1) 0 ≤ a−1 < 1;
c2) ∀j ≥ −1 : aj − aj+1 ≥ aj+1 − aj+2;
c3)
∑∞
n=0 an < +∞.
Доведемо, що
ψ(z) := 1 +
∞∑
n=1
an−1z
n 6= 0. (10)
Справдi, якщо для деякого m ≥ −1 виконується нерiвнiсть am − am+1 ≤ 0, то внаслiдок
умов c2), c3) маємо ak = 0, k ≥ m. Тому при a−1 = 0 або a0 = 0 отримуємо ψ(z) = 1,
при a0 > 0 виконуються нерiвностi 1 − a0 > 0, a0 − a1 > 0, а отже, правильнiсть
спiввiдношення (10) випливає з доведення леми 2 роботи [3].
Залишилось зауважити, що (10) суперечить рiвностi (9).
Наслiдок 1 доведено.
Нехай y — перiодична з перiодом m ∈ N послiдовнiсть елементiв простору H , тобто
∀n ≥ 0 : yn+m = yn.
Продовжимо її до перiодичної на Z послiдовностi ỹ := {yn, n ∈ Z}. Справедливим є
такий наслiдок.
Наслiдок 2. Припустимо, що виконується умова (2) та твердження a2) теореми 1.
Тодi система
un+1 = −
∞∑
k=0
Akun−k + yn+1, n ∈ Z, (11)
має єдиний перiодичний розв’язок ũ = {un, n ∈ Z} i для вiдповiдного y єдиного обме-
женого розв’язку x системи Вольтерри (1) справджується спiввiдношення
‖xn − un‖ → 0, n → ∞. (12)
Доведення. Якщо виконуються умови наслiдку 2, то, узагальнюючи доведення теоре-
ми 1 з роботи [6], робимо висновок, що система (11) має єдиний перiодичний розв’язок ũ
з компонентами
un+1 =
∞∑
k=0
Qkyn−k + yn+1, n ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
38 М. Ф. ГОРОДНIЙ
Оскiльки
∑∞
n=0 ‖Qn‖ < +∞, то, скориставшись рiвностями (4), отримаємо
‖xn+1 − un+1‖ = ‖
∞∑
k=n+1
Qkyn−k‖ ≤ max
1≤j≤m
‖yj‖
∞∑
k=n+1
‖Qk‖ → 0, n → ∞.
Наслiдок 2 доведено.
3. Обмеженi розв’язки нелiнiйної системи Вольтерри. Дослiдимо питання про обме-
женiсть розв’язку x нелiнiйної системи Вольтерри
x0 = y0, xn+1 = −
n∑
n=0
An−kg(xk) + yn+1, n ≥ 0, (13)
у якiй g : H → H — деяке вiдображення, y — обмежена послiдовнiсть елементiв H . У
подальшому використовуються такi умови:
d1) g(~0) = ~0, а також iснує така стала c > 0, що функцiя h(x) := x − 1
c
g(x), x ∈ H,
задовольняє умову Лiпшиця
∃µ ∈ (0; 1) ∀x, u ∈ H : ‖h(x)− h(u)‖ ≤ µ
√
p
‖x− u‖;
d2) оператори An, n ≥ 0, попарно комутують та є самоспряженими;
d3) ∀j ≥ 0 : I > Aj ≥ Aj+1 > O;
d4) ∀l ≥ j ≥ 0 ∀m ≥ 0 : AjA−1
j+m ≥ AlA
−1
l+m;
d5)
∑∞
n=0 ‖An‖ < +∞.
Покладемо
`∞(H) :=
{
x := {xn, n ≥ 0} ⊂ H
∣∣∣ |x|∞ := sup
n≥0
‖xn‖ < +∞
}
,
(`∞(H), |.|∞) — комплексний банахiв простiр iз покоординатними додаванням елементiв
та множенням на комплексне число.
Далi буде необхiдною така лема.
Лема 1. Припустимо, що виконуються умови d2)−d5). Тодi для довiльного y ∈ `∞(H)
лiнiйна система Вольтерри
x0 = y0, xn+1 = −
n∑
k=0
cAn−kxk + yn+1, n ≥ 0, (14)
має єдиний розв’язок x у просторi `∞(H). Для цього розв’язку справджується така
оцiнка:
|x− y|∞ ≤
√
p|y|∞. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРИ У СКIНЧЕННОВИМIРНОМУ ПРОСТОРI 39
Доведення. З умови d2) випливає [7, c. 145], що знайдеться ортогональний базис {e1,
e2, . . . , ep} у просторi H , в якому матрицi операторiв An, n ≥ 0, одночасно мають дi-
агональний вигляд. Нехай матриця An має у цьому базисi на головнiй дiагоналi числа
{λn(1), λn(2), . . . , λn(p)}. Якщо, як звичайно, yn = yn(1)e1 + yn(2)e2 + . . . + yn(p)ep —
розклад елемента yn ∈ H за розглядуваним базисом, то система Вольтерри (13) еквiва-
лентна p числовим системам Вольтерри вигляду
x0(ν) = y0(ν), xn+1(ν) = −
n∑
k=0
cλn−k(ν)xk(ν) + yn+1(ν), n ≥ 0, (16)
де 1 ≤ ν ≤ p.
Зафiксуємо ν, 1 ≤ ν ≤ p. З умов d2) − d5) випливає, що числова послiдовнiсть
{λn(ν), n ≥ 0} задовольняє умови леми 4 роботи [3], а отже, система (16) має єдиний
обмежений розв’язок x(ν), причому
‖x(ν)− y(ν)‖∞ ≤ γc,ν‖y(ν)‖∞, (17)
де γc,ν := 1− (1 + c
∑∞
n=0 λn(ν))−1, ‖ · ‖∞ позначає норму в просторi `∞.
Якщо покласти γc := max{γc,ν , 1 ≤ ν ≤ p}, то з урахуванням нерiвностей (17) неваж-
ко перевiрити, що єдиний розв’язок x = {xn = xn(1)e1 + xn(2)e2 + . . . + xn(p)ep, n ≥ 0}
системи Вольтерри (14) є обмеженим i задовольняє нерiвнiсть
|x− y|∞ ≤ γc
√
p|y|∞, (18)
а отже, виконується нерiвнiсть (15).
Лему 1 доведено.
Вiдповiдь на питання про обмеженiсть розв’язкiв системи (13) мiстить така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови d1) − d5). Тодi для довiльного y ∈ `∞(H) нелi-
нiйна система (13) має єдиний розв’язок x у просторi `∞(H).Цей розв’язок задовольняє
нерiвнiсть
|x− y|∞ ≤
µ+
√
p
1− µ
|y|∞. (19)
Доведення. Визначимо оператор A : `∞(H) → `∞(H), який довiльному u ∈ `∞(H)
ставить у вiдповiднiсть елемент Au з такими компонентами:
(Au)0 = ~0, (Au)k+1 =
k∑
j=0
Ak−juj , k ≥ 0.
Зауважимо, що A — лiнiйний неперервний оператор i система (14) еквiвалентна опера-
торному рiвнянню (I + cA)x = y, що розглядається у просторi `∞(H). Тут I — одиничний
оператор в `∞(H).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
40 М. Ф. ГОРОДНIЙ
Внаслiдок леми 1 оператор (I + cA) має неперервний обернений оператор (I + cA)−1,
причому згiдно з (18)
∀y ∈ `∞(H) : |(I + cA)−1y − y|∞ ≤ γc
√
p|y|∞. (20)
Використовуючи умову d1) при u = ~0, робимо висновок, що
∀x ∈ H :
∥∥∥∥1
c
g(x)
∥∥∥∥ ≤ ( µ
√
p
+ 1
)
‖x‖.
Тому є коректно визначеним вiдображення G : `∞(H) → `∞(H), що задається таким
чином:
Gu := {(Gu)k = g(uk), k ≥ 0}, u ∈ `∞(H).
За допомогою A та G система Вольтерри (13) записується у просторi `∞(H) у виглядi
x = −AGx + y. При фiксованому y ∈ `∞(H) це рiвняння еквiвалентне рiвнянню x =
= Ty(x), де
Ty(x) := (I + cA)−1A(cx−Gx) + (I + cA)−1y, x ∈ `∞(H). (21)
Перевiримо, що Ty — стискаюче вiдображення в `∞(H). Справдi, для будь-яких x, u з
простору `∞(H) з урахуванням (18) та умови d1) маємо
|Ty(x)− Ty(u)|∞ =
∣∣∣∣x− u− 1
c
(Gx−Gu)−
− (I + cA)−1
(
x− u− 1
c
(Gx−Gu)
)∣∣∣∣
∞
≤
≤ γc
√
p
∣∣∣∣x− u− 1
c
(Gx−Gu)
∣∣∣∣
∞
=
= γc
√
p sup
n≥0
‖h(xn)− h(un)‖ ≤ γcµ|x− u|∞. (22)
ПокладемоBy :=
{
u ∈ `∞(H)
∣∣ |u−y|∞ ≤ R|y|∞
}
, деR := (µ+
√
p)(1−µ)−1, i перевiримо,
що Ty(By) ⊂ By. Справдi, внаслiдок d1), (20) – (22), для кожного u ∈ By справджується
ланцюг нерiвностей
|Ty(u)− y|∞ ≤ |Ty(u)− Ty(y)|∞ +
∣∣∣∣(y − 1
c
Gy
)
− (I + cA)−1
(
y − 1
c
Gy
)∣∣∣∣
∞
+
+ |(I + cA)−1y − y|∞ ≤ γc(µR+ µ+
√
p)|y|∞ ≤ R|y|∞,
оскiльки числа µ та γc належать (0; 1), а отже, виконується нерiвнiсть R ≥ γc(µ+
√
p)(1−
−γcµ)−1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРИ У СКIНЧЕННОВИМIРНОМУ ПРОСТОРI 41
Таким чином, до вiдображень Ty : `∞(H) → `∞(H) та Ty : By → By можна засто-
сувати принцип стискаючих вiдображень Банаха, згiдно з яким рiвняння x = Ty(x) має
єдиний розв’язок у просторi `∞(H), причому цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть (19).
Теорему 2 доведено.
1. Колмановский В. Б. О предельной периодичности решений некоторых систем Вольтерра // Автома-
тика и телемеханика. — 2001. — № 5. — C. 36 – 43.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высш. шк., 1982. —
271 с.
3. Городнiй М. Ф. Про обмеженi розв’язки нелiнiйної системи Вольтерри // Нелiнiйнi коливання. — 2002.
— 5, № 2. — C. 149 – 155.
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1972. — 496 с.
5. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 587 с.
6. Городний М. Ф. Ограниченные и периодические решения одного разностного уравнения и его стоха-
стического аналога в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. — 1991. — 43, № 1. — C. 41 – 46.
7. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971. — 272 с.
Одержано 20.09.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
|