Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням
Розглядається виконання необхiдної умови абсолютної експоненцiальної стiйкостi систем лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь з одним загаюванням.
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176164 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням / В.П. Кушнір // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 52-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176164 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761642021-02-04T01:29:54Z Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням Кушнір, В.П. Розглядається виконання необхiдної умови абсолютної експоненцiальної стiйкостi систем лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь з одним загаюванням. We consider a necessary condition for absolute exponential stability of a system of linear parabolic differential equations with one deley. 2003 Article Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням / В.П. Кушнір // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 52-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176164 517.94 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглядається виконання необхiдної умови абсолютної експоненцiальної стiйкостi систем лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь з одним загаюванням. |
| format |
Article |
| author |
Кушнір, В.П. |
| spellingShingle |
Кушнір, В.П. Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кушнір, В.П. |
| author_sort |
Кушнір, В.П. |
| title |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| title_short |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| title_full |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| title_fullStr |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| title_full_unstemmed |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| title_sort |
про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176164 |
| citation_txt |
Про абсолютну експоненційну стійкість розв'язків систем лінійних параболічних диференціальних рівнянь з одним загаюванням / В.П. Кушнір // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 52-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kušnírvp proabsolûtnueksponencíjnustíjkístʹrozvâzkívsistemlíníjnihparabolíčnihdiferencíalʹnihrívnânʹzodnimzagaûvannâm |
| first_indexed |
2025-07-15T13:50:04Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:50:04Z |
| _version_ |
1837721098258481152 |
| fulltext |
УДК 517.94
ПРО АБСОЛЮТНУ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ОДНИМ ЗАГАЮВАННЯМ
В. П. Кушнiр
Укр. ун-т водн. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
We consider a necessary condition for absolute exponential stability of a system of linear parabolic di-
fferential equations with one deley.
Розглядається виконання необхiдної умови абсолютної експоненцiальної стiйкостi систем лi-
нiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь з одним загаюванням.
Стiйкiсть розв’язкiв звичайних диференцiальних рiвнянь i систем рiвнянь iз загаювання-
ми вивчена достатньо повно (див., наприклад, [1 – 10]). Аналогiчне питання для рiвнянь
з частинними похiдними вивчено в меншiй мiрi. Це обумовлено труднощами технiчного
характеру, висвiтленими в [10].
У роботах [11, 12] отримано необхiднi i достатнi умови абсолютної експоненцiальної
стiйкостi за рiзними парами норм розв’язкiв лiнiйних параболiчних рiвнянь iз загаювання-
ми. Метою даної статтi є дослiдження абсолютної експоненцiальної стiйкостi розв’язкiв
лiнiйних параболiчних систем диференцiальних рiвнянь з одним загаюванням.
Розглянемо мiшану задачу для рiвняння теплопровiдностi iз загаюванням
∂U(x, t)
∂t
= A
∂2U(x, t)
∂x2
+B
∂2U(x, t− τ)
∂x2
, t > 0, x ∈ [0, π],
U(x, t) = Φ(x, t), (x, t) ∈ [0, π]× [−τ, 0],
U(0, t) = U(π, t) = O, t ≥ −τ,
(1)
де A i B — сталi дiйснi квадратнi матрицi n-го порядку, причому A — додатно визначена,
U(x, t), Φ(x, t) — вектори-стовпцi n-го порядку, O — нульовий вектор, τ = const ≥ 0. Для
Φ(x, t) припускається iснування неперервних частинних похiдних Φ′′xx та Φ′′′xxt.
Нехай розв’язок задачi (1) iснує i при кожному t є вектором з елементами iз L2(0, π).
Його можна шукати методом Фур’є у виглядi
U(x, t) =
∞∑
k=1
sin kxTk(t), (2)
де вектори Tk(t) — розв’язки звичайних диференцiальних рiвнянь iз загаюванням
T ′k(t) + k2ATk(t) + k2B Tk(t− τ) = O, t > 0, k ∈ N, (3)
c© В. П. Кушнiр, 2003
52 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ПРО АБСОЛЮТНУ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 53
якi задовольняють початковi умови
Tk(t) = Ψk(t) =
2
π
π∫
0
sin kxΦ(x, t)dx, t ∈ [−τ, 0].
Рiвнянням (3) вiдповiдають характеристичнi квазiполiноми
hk(s) = det
(
sI + k2A+ k2e−τsB
)
, s ∈ C, k ∈ N.
Зауважимо, що для абсолютної експоненцiальної стiйкостi розв’язкiв задачi (1) необ-
хiдно, щоб iснувало таке ε > 0, що при всiх k ∈ N
{s, hk(s) = 0} ⊂ {λ,Reλ < −ε} . (4)
Нижче наводиться достатня умова виконання (4).
Теорема. Якщо ⋃
|z|=1
σ(A+ zB) ⊂ {λ,Reλ > 0}, (5)
то iснує таке ε > 0, що {s : hk(s) = 0} ⊂ {λ : Reλ < −ε} при k ∈ N.
Доведення. Нехай виконується (5). Оскiльки при |z| = 1 множина σ(A + zB) ком-
пактна i вiдображення z → σ(A + zB) є неперервним, то
⋃
|z|=1
σ(A + zB) є компактною
множиною, зокрема замкненою. Тому з (5) випливає⋃
|z|=1
σ(A+ zB) ⊂ {λ,Reλ > 0}. (6)
У статтi [7] доведено, що якщо виконується (6), то⋃
|z|≤1
σ(A+ zB) ⊂ {λ,Reλ > 0}.
Множина
⋃
|z|≤1
σ(A+ zB) — компактна, як i
⋃
|z|=1
σ(A+ zB). Тому iснує спрямлюваний
контур L, що охоплює множину
⋃
|z|≤1
σ(−A− zB), але не перетинається з нею, i повнiстю
лежить у лiвiй пiвплощинi {λ,Reλ < 0}.
Позначимо через G область, яку обмежує контур L, Gc = C \G — її доповнення у C.
Доведемо, що оператор-функцiя (λI +A+ zB)−1 обмежена при λ ∈ Gc, |z| ≤ 1.
Справдi, оператор-функцiя (λI + A + zB)−1 неперервна за сукупнiстю змiнних (λ, z)
на замкненiй множинi L×K, де K = {z ∈ C, |z| ≤ 1}. Тому вона обмежена на нiй:
sup
λ∈L, z∈K
‖(λI +A+ zB)−1‖ = M1 < +∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
54 В. П. КУШНIР
де ‖A‖ — операторна норма матрицi A у просторi квадратних матриць n-го порядку.
Аналогiчно (λI + A + zB)−1 обмежена на множинi {(λ, z) ∈ Gc × K, ρ(λ,G) ≤ 1}, де
ρ(λ,G) = inf
µ∈G
|λ− µ|.
Якщо ж ρ(λ,G) > 1, то при |z| ≤ 1
∥∥(λI +A+ zB)−1
∥∥ =
∥∥∥∥∥∥
∫
L
1
λ− µ
(µI +A+ zB)−1dµ
∥∥∥∥∥∥ ≤ M1
∫
L
|dµ|.
Отже, iснує таке M > 0, що для всiх λ ∈ Gc, z ∈ K
‖(λI +A+ zB)−1‖ ≤ M.
Тепер доведемо, що при δ = 1/M для будь-якого оператора X , який вiддалений за
нормою вiд множини операторiв {−A − zB, z ∈ K} менше, нiж на δ, σ(X) ⊂ G. При
таких X , z i λ ∈ Gc
λI −X = λI +A+ zB − (A+ zB +X) =
= (λI +A+ zB)(I − (λI +A+ zB)−1(A+ zB +X)).
Але λI +A+ zB — оборотний i I − (λI +A+ zB)−1(A+ zB +X) також, тому що
‖(λI +A+ zB)−1(A+ zB +X)‖ < δM = 1.
Отже, σ(X) ⊂ G.
Позначимо ε = min
{
1
τ
ln
(
δ
‖B‖
+ 1
)
, inf
µ∈L
(−Reµ)
}
.
Якщо s ∈ {λ, Reλ > −ε}, то знайдеться таке z ∈ K, що оператор −A − e−τsB вiд-
далений вiд −A − zB менше, нiж на δ, i його спектр, згiдно з доведеним вище, лежить в
областi G. Тому s не є власним числом матрицi −A− e−τsB i det (sI +A+ e−τsB) 6= 0.
Але для s ∈ {λ, Reλ > −ε} при всiх k ∈ N також i
s
k2
∈ {λ, Reλ > −ε}, тому анало-
гiчно det
( s
k2
I +A+ e−τsB
)
6= 0.
Теорему доведено.
Зауваження 1. В одновимiрному випадку умова (4) еквiвалентна спiввiдношенню |B| <
< A, що є необхiдним i достатнiм для абсолютної експоненцiальної стiйкостi розв’язкiв
задачi (1).
Зауваження 2. В задачi (1) вiдрiзок [0, π] лiнiйною замiною можна перетворити у будь-
який iнший вiдрiзок.
1. Белман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.— 548 с.
2. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
ПРО АБСОЛЮТНУ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 55
3. Животовский Л. А. Абсолютная устойчивость решений дифференциальных уравнений с нескольки-
ми запаздываниями // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. —
1969. — № 7. — С. 219 – 292.
4. Репин Ю. М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых
запаздываниях // Уч. зап. Урал. ун-та. — 1960. — 23. — С. 31 – 34.
5. Слюсарчук В. Е. Абсолютная экспоненциальная устойчивость линейных дифференциальных уравне-
ний нейтрального типа в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. — 1980. — 16, № 3. — С.
462 – 469.
6. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия абсолютной экспоненциальной устойчивости
решений линейных скалярных дифференциальных уравнений нейтрального типа // Проблемы совре-
менной теории периодических движений. — 1982. — № 6. — С. 19 – 24.
7. Слюсарчук В. Е. Достаточные условия абсолютной асимптотической устойчивости линейных диффе-
ренциальных уравнений в банаховом пространстве с несколькими запаздываниями // Мат. заметки. —
1975. — 17, № 6. — С. 919 – 923.
8. Слюсарчук В. Е. Абсолютная асимптотическая устойчивость линейных дифференциальных уравне-
ний с бесконечным числом запаздываний в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. — 1976.
— 12, № 5. — С. 840 – 847.
9. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия абсолютной экспоненциальной устойчивости
решений дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов // Докл. АН УССР.
Сер. А. — 1983. — № 12. — С. 17 – 19.
10. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
11. Кушнiр В. П. Про стабiлiзацiю розв’язкiв лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь iз зага-
юваннями // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач. — 1997. — Вип. 15. —
С. 111 – 119.
12. Кушнiр В. П. Про стабiлiзацiю розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними з загаю-
ваннями // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь. — 1998. — Вип. 1. — С. 116 – 125.
Одержано 08.07.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 1
|