Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами

Рассеяние магнитных вихрей и вихревых пар магнитным дефектом в двумерных легкоплоскостных ферромагнетиках теоретически исследовано в рамках классических уравнений динамики намагниченности и приближения коллективных переменных для координат вихрей. Предложена модель дефекта как локальной области магн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Ковалев, А.С., Прилепский, Я.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176195
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 847-856. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-176195
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1761952021-02-05T01:30:43Z Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны Рассеяние магнитных вихрей и вихревых пар магнитным дефектом в двумерных легкоплоскостных ферромагнетиках теоретически исследовано в рамках классических уравнений динамики намагниченности и приближения коллективных переменных для координат вихрей. Предложена модель дефекта как локальной области магнетика, отличающейся от остальной части обменным взаимодействием. Рассмотрено вращение магнитного вихря вокруг дефекта и рассеяние им вихревых пар (связанных состояний вихря и антивихря). В пределе малоуглового рассеяния получены аналитические выражения для дифференциального сечения рассеяния и зависимости угла рассеяния от параметров вихревой пары, дефекта и прицельного расстояния. Рассеяние вихревых пар дефектом исследовано численно и качественно во всей области параметров рассеяния. Указано на существование критических значений прицельного параметра, при которых характер рассеяния качественно меняется, и продемонстрирована возможность существования локализованных у дефекта вращательных состояний вихревых пар. Розсіяння магнітних вихорів та вихрових пар магнітним дефектом в двовимірних легкоплощинних феромагнетиках теоретично розглянуто в межах класичних рівнянь динаміки намагніченості та наближенні колективних змінних для координат вихорів. Запропоновано модель дефекту як локальної частини магнетика, що відрізняється від іншої частини обмінною взаємодією. Розглянуто обертання магнітного моменту вихора навколо дефекту і розсіювання ним вихрових пар (зв’язаних станів вихора та антивихора). Для малокутового розсіяння отримано аналітичний вираз для диференційного перерізу розсіяння та залежність кута розсіяння від параметрів вихрових пар, дефекту та прицільної відстані. Розсіяння вихрових пар дефектом досліджено чисельно та якісно в усій області параметрів розсіяння. Вказано на існування критичних значень прицільної відстані, при яких характер розсіяння якісно змінюється, та продемонстровано можливість існування локалізованих біля дефекту обертальних станів вихрових пар. Magnetic vortices and vortex pairs scattering by magnetic defects in 2D easy-plane ferromagnetic is investigated in the frame of classical equations of magnetization dynamics and in the collective variables approach for the vortices coordinates. The model for defect as the magnetic domain with exchange interaction differing from the same for the main matrix was suggested. The magnetic vortex rotation about the defect and the vortex pair scattering by defect was considered. The analytical expression for differential scattering cross-section and the dependence of the scattering angle on the parameters of vortex pair, defect and impact parameter were obtained in the limit of small-angle scattering. Vortex pairs scattering by defect was investigated numerically and by qualitative analysis in the wide region of the scattering parameters. The character of the scattering changes qualitatively at the critical value of impact parameter. It was demonstrated the possibility for existence of vortex pairs rotary states localized near defects. 2018 Article Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 847-856. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10.–b, 75.10.Hk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176195 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны
spellingShingle	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами Физика низких температур
description	Рассеяние магнитных вихрей и вихревых пар магнитным дефектом в двумерных легкоплоскостных ферромагнетиках теоретически исследовано в рамках классических уравнений динамики намагниченности и приближения коллективных переменных для координат вихрей. Предложена модель дефекта как локальной области магнетика, отличающейся от остальной части обменным взаимодействием. Рассмотрено вращение магнитного вихря вокруг дефекта и рассеяние им вихревых пар (связанных состояний вихря и антивихря). В пределе малоуглового рассеяния получены аналитические выражения для дифференциального сечения рассеяния и зависимости угла рассеяния от параметров вихревой пары, дефекта и прицельного расстояния. Рассеяние вихревых пар дефектом исследовано численно и качественно во всей области параметров рассеяния. Указано на существование критических значений прицельного параметра, при которых характер рассеяния качественно меняется, и продемонстрирована возможность существования локализованных у дефекта вращательных состояний вихревых пар.
format	Article
author	Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е.
author_facet	Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е.
author_sort	Ковалев, А.С.
title	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
title_short	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
title_full	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
title_fullStr	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
title_full_unstemmed	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
title_sort	взаимодействие магнитных вихрей с дефектами
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Современные проблемы нелинейной физики магнетизма. II. Топологические солитоны
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176195
citation_txt	Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 847-856. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kovalevas vzaimodejstviemagnitnyhvihrejsdefektami AT prilepskijâe vzaimodejstviemagnitnyhvihrejsdefektami
first_indexed	2025-07-15T13:52:25Z
last_indexed	2025-07-15T13:52:25Z
_version_	1837721240687607808
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7, c. 847–856 Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами А.С. Ковалев Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина Харьковский национальный университет им. В.И. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 610022, Украина E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua Я.Е. Прилепский Aston University, Birmingham, UK Статья поступила в редакцию 2 марта 2018 г., опубликована онлайн 28 мая 2018 г. Рассеяние магнитных вихрей и вихревых пар магнитным дефектом в двумерных легкоплоскостных ферромагнетиках теоретически исследовано в рамках классических уравнений динамики намагниченно- сти и приближения коллективных переменных для координат вихрей. Предложена модель дефекта как локальной области магнетика, отличающейся от остальной части обменным взаимодействием. Рассмот- рено вращение магнитного вихря вокруг дефекта и рассеяние им вихревых пар (связанных состояний вихря и антивихря). В пределе малоуглового рассеяния получены аналитические выражения для диффе- ренциального сечения рассеяния и зависимости угла рассеяния от параметров вихревой пары, дефекта и прицельного расстояния. Рассеяние вихревых пар дефектом исследовано численно и качественно во всей области параметров рассеяния. Указано на существование критических значений прицельного парамет- ра, при которых характер рассеяния качественно меняется, и продемонстрирована возможность сущест- вования локализованных у дефекта вращательных состояний вихревых пар. Розсіяння магнітних вихорів та вихрових пар магнітним дефектом в двовимірних легкоплощинних феромагнетиках теоретично розглянуто в межах класичних рівнянь динаміки намагніченості та набли- женні колективних змінних для координат вихорів. Запропоновано модель дефекту як локальної частини магнетика, що відрізняється від іншої частини обмінною взаємодією. Розглянуто обертання магнітного моменту вихора навколо дефекту і розсіювання ним вихрових пар (зв’язаних станів вихора та антивихо- ра). Для малокутового розсіяння отримано аналітичний вираз для диференційного перерізу розсіяння та залежність кута розсіяння від параметрів вихрових пар, дефекту та прицільної відстані. Розсіяння вихро- вих пар дефектом досліджено чисельно та якісно в усій області параметрів розсіяння. Вказано на існу- вання критичних значень прицільної відстані, при яких характер розсіяння якісно змінюється, та проде- монстровано можливість існування локалізованих біля дефекту обертальних станів вихрових пар. PACS: 75.10.–b Общая теория и модели магнитного упорядочения; 75.10.Hk Классические спиновые модели.. Ключевые слова: легкоплоскостной ферромагнетик, магнитные дефекты, магнитный вихрь, вихревая па- ра, уравнение Тиле, рассеяние вихрей, сечение рассеяния. Введение Важными объектами изучения нелинейной динами- ки магнетиков являются солитоны разного типа, в ча- стности топологические [1,2], представленные, напри- мер вихрями в легкоплоскостных ферромагнетиках [3,4]. Исследование вихревых возбуждений в конден- сированных системах является традиционной обла- стью гидродинамики, динамики сверхтекучей жидко- сти [5] и в последнее время — исследования БЭК [6]. Интерес к магнитным вихрям в последнее время воз- ник в связи с возможностью их использования в спин- тронике [7]. Негативным при этом является низкая скорость перемещения вихрей и сильное их взаимо- действие с примесями. Поэтому перспективными представляются вихревые пары, которые могут рас- пространяться со скоростями порядка скорости магно- © А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский, 2018 А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский нов и возбуждаться различными методами [8]. При этом возникает важная проблема взаимодействия вих- ревых пар с дефектами магнитной структуры. Динами- ка и взаимодействие магнитных вихревых пар широко обсуждается теоретически [9,10]. Меньше известно о взаимодействии даже изолированных вихрей с дефек- тами, для которого получены противоречивые резуль- таты [11,12]. Динамика вихревых пар в поле дефекта еще сложнее, о чем можно судить по данным числен- ного рассмотрения такой задачи в БЭК [13]. В данной работе рассмотрено взаимодействие магнитных вихрей и вихревых пар с дефектом в рамках сформулирован- ной модели такого дефекта. 1. Формулировка модели Ферромагнетик с магнитной анизотропией типа изотропная плоскость легкого намагничивания в клас- сическом подходе характеризуется энергией [1,2] ( )( )22 2 0 /2 /2zE dxdy Ja M dxdy= ε = ∇ +β∫ ∫ M , (1) где M — магнитный момент, J , β — константы об- менного взаимодействия и одноионной анизотропии ( 0)β > , связанной с осью Z, перпендикулярной легкой плоскости XY. Динамику вектора M можно описывать уравнением Ландау–Лифшица (УЛЛ) [14] 0/ (2 / )[ , / ]t∂ ∂ = µ δε δM M M , (2) где 0µ — магнетон Бора. В качестве переменных удобно выбрать Z-компоненту момента 0/zm M M= и азимутальный угол его поворота в плоскости XY arctg ( / )y xM Mϕ = , которые играют роль канонически сопряженных величин, в терминах которых гамильто- новы уравнения и энергия (1) имеют вид ( ) ( )0 0 0 02 / / , 2 / /M m m Mϕ = − µ ∂ε ∂ = µ ∂ε ∂ϕ    , (3) ( ) ( )(2 2 2 2 2 2 0 0/2 ( ) /(1 ) (1 ) ( )E M Ja m m m= ∇ − + − ∇ϕ +∫ )2m dxdy+ β . (4) Поскольку ниже будут рассматриваться дефекты с аксиальной симметрией, то кроме энергии сохраняется и Z-проекция углового момента K [1,2]: ( ) ( ) ( )( )0 0/2 / /z M m x y y x dxdy= µ ∂ϕ ∂ − ∂ϕ ∂∫K n  . (5) Статическое решение УЛЛ (3) для магнитного вих- ря в точке ( , )x X y Y= = имеет вид arctg arctgy Y y Yq x X x X − − ϕ = = ± − − , ( ) ( ) ( )2 2m m r p f x X y Y f = = − + − = ±    (6) где параметр 1q = ± определяет топологический заряд «вихря» с 1q = и «антивихря» с 1q = − , параметр 1p = ± — его поляризацию, а намагниченность вихря ( )m r локализована в его коре с размером 0d порядка вели- чины «магнитной длины» 0 0 /l a J= β [3,4]. Тополо- гические свойства вихря определяют его динамику и характеризуются величиной гировектора ( )0 02 /2 zp q M= − π µG n . Если расстояния между вихрями и до границ магне- тика существенно больше магнитной длины, а скоро- сти вихрей намного меньше скорости магнонов 0 0(2 / )c M J= µ β , то вихревая динамика может при- ближенно описываться в терминах координат центров вихрей ( )i tR и уравнений Тиле [15] для них: , / 0i i iE  + ∂ ∂ = R G R , (7) а энергия системы сводится [15] к сумме 2 02 lni j i j i j E JM p p < = − π −∑ R R . (8) В этом же приближении угловой момент системы вихрей равен ( ) 2 0 0/2 i i i i K M p q= π µ ∑ R . (9) Уравнению (7) можно придать несколько иную, иногда более удобную форму [4]: ( )( )ex 0 02 /i i ip J M= − ϕ = µR r R ∇ , (10) где exϕ — распределение поля намагниченности в лег- кой плоскости в точке расположения i-го вихря, вызван- ное всеми остальными вихрями. Вихрь обладает энерги- ей 2 0 0 0ln ( / )E JM l d= π , где l — расстояние до ближайшей границы магнетика, и собственным угловым моментом 0 0/2K Mpq= µ , где 2 0 0~M M d — его намаг- ниченность. Динамика вихревых пар и их взаимодей- ствие подробно исследованы в работах [9,10]. Вихревая пара может двигаться со скоростями V c< , а ее энергия и импульс зависят от расстояния между вихрями в ней L и определяются при V c<< формулами ( )2 0 02 ln /E JM L d= π , ( )0 0/P M L= π µ , ( )0 0/ 2 / /V dE dP J M L= = µ  . (11) Рассмотрим динамику вихревой пары в неодно- родном бесконечном двумерном ферромагнетике с магнитным дефектом, представляющим радиально- симметричную область радиуса a с обменным взаимо- действием 2J , отличным от обмена 1J в объеме. Вели- чины магнитного момента и магнитной анизотропии в дефекте не изменяются. Предполагается, что дефект и окружающая матрица связаны «жестким» магнитным 848 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами взаимодействием с бесконечным обменом через гра- ницу sJ = ∞ . Таким образом, условия на границе (ок- ружности S радиуса a) представляются в виде 1 2S S=M M и 1 1 2 2/ /S SJ d d J d d=M n M n , где ниже все величины с индексом 1 будут относиться к матрице, а с индексом 2 — к области дефекта. Из условия приме- нимости уравнений (7), (10) следует, что вихри нахо- дятся на достаточно большом расстоянии от границы, и на ней 1m << . При этом граничные условия сводятся к условиям для угловой переменной ϕ: 1 2S Sϕ = ϕ , 1 1 2 2/ / ,S SJ d dn J d dnϕ = ϕ (12) а статические поля 1,2 ( )ϕ r системы вихрей вне и в де- фекте определяются уравнениями 1 1 0J ∆ϕ = при a>r и 2 2 0J ∆ϕ = при a<r . (13) Распределение поля вихря, расположенного на рас- стоянии R вне круглой области с измененными свой- ствами и граничными условиями (12), хорошо извест- но [17]. Для вихря с топологическим зарядом q надо поместить внутри дефектной области на расстоянии 2 /b a R= от центра фиктивный вихрь с нецелочислен- ным топологическим зарядом ( ) ( )in 2 1 2 1/q q J J J J q= − + = σ , (14) а в центре дефекта — антивихрь с зарядом inq− . (Учет конечности обмена через границу ( SJ ≠ ∞) приводит к замене in eff in(1 ( ) )Sq q f J q→ = − − , где функция ( )Sf J с ростом SJ быстро меняется от нуля до единицы [17].) Поле внутри дефекта определяется фиктивным вихрем с зарядом out in (1 )q q q q= − = −σ в точке R . Таким об- разом, для вихря с 1q = в точке ( ,0)RR поля 1ϕ и 2ϕ вне и внутри дефекта определяются выражениями ( )( ) ( )( )1 arctg / arctg /y x R y x bϕ = − + σ − − ( )arctg /y x−σ , (15) ( ) ( )( )2 1 arctg /y x Rϕ = −σ − + σπ. (16) Для описания рассеяния вихревой пары вне дефекта (вихря с зарядом 1q = в точке 1 1 1( , )X YR и антивихря с зарядом 1q = − в точке 2 2 2( , )X YR ) поместим фиктив- ные вихри в точки 1 1 1( , )x yb и 2 2 2( , )x yb внутри облас- ти дефекта (см. рис. 1). Все вихри предполагаем имеющими одну поляризацию 1ip = . Фиктивные вих- ри в начале координат компенсируются, и задача сво- дится к нахождению поля двух реальных и двух фик- тивных вихрей. Интегралы движения E и K позволяют решить задачу о динамике вихревой пары. Положения и заряды виртуальных вихрей определя- ются выражениями 2 /i ib a R= , 2 2 i /i ix a X R= , 2 2/i i iy a Y R= , 1q = σ , 2q = −σ. (17) Соответственно, при определении поля внутри де- фекта необходимо в точках расположения реальных вихрей 1R и 2R поместить виртуальные вихри с заря- дами 1 1q = −σ и 2 1q = σ − . Таким образом, поля вне и внутри дефекта определяются формулами 1 2 out 1 2 arctg arctg y Y y Y x X x X − − ϕ = − + − − 1 2 1 2 arctg arctg y y y y x x x x − − + σ −σ − − , (18) ( ) ( )1 2 1 2 1 arcyg 1 arctgin y Y y Y x X x X − − ϕ = −σ − −σ − − . (19) «Внешние поля» , extiϕ , действующие на вихрь па- ры, определяются фиктивными вихрями и полем «комплиментарного» вихря пары из суммы (18). Зна- ние этих полей достаточно для построения динамики исходной вихревой пары в рамках уравнений (10). 2. Динамика изолированного вихря в поле магнитного дефекта Рассмотрим динамику изолированного вихря с 1q p= = в поле дефекта в предложенной модели. Рас- пределение намагниченности определяется формулами (15), (16). Из (7) следует, что вихрь вращается вокруг дефекта по круговой орбите с радиусом R , который определяет энергию и момент системы ( ) ( )2 2 2 2 1 0 0 1 0ln / ln 1 /VE J M l d J M a R= π − π σ − , (20) ( ) 2 0 0/2VK M R= µ π . (21) Второе слагаемое в (20) описывает взаимодействие вихря с дефектом, качественно совпадающее с приве- денным в работе Pereira и др. [12]. При R a>> энергия взаимодействия 2 2 2 2 2 int 1 0 1 0/ /E J M a R J M R≈ π σ = δ , Рис. 1. Распределение реальных и фиктивных вихрей в зада- че о вихревой паре в системе с магнитным дефектом. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 849 А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский где характеристика дефекта 2aδ = σπ пропорциональна его площади и меняется от 2a−π для немагнитного де- фекта до 2aπ для «магнитожесткого». Первый предел особенно интересен, поскольку описывает также ситуа- цию со сверхтекучей жидкостью с непроницаемой обла- стью. В случае большой дефектной области при движе- нии вихря вдоль границы на расстоянии ∆ от нее при 0a l>> ∆ >> из (20) следует 2 int 1 0 ln ( / )E J M a≈ −π σ ∆ , что соответствует движению вдоль границы полупростран- ства со скоростью 1 0 0 /V J M= µ σ ∆ . При конечном ра- диусе дефекта из (7) следует выражение для скорости вращения вихря 2 0 1 0 2 2 2 ( ) aV J M R R a µ = − σ − . (22) Вихрь «захватывается» дефектом и вращается во- круг него со скоростью 31/R∝ на больших расстояниях. Направление вращения зависит от свойств дефекта. При понижении обмена по сравнению с матричным (в частности, для немагнитного дефекта) вихрь вращается против часовой стрелки, а при большем обмене в де- фекта — по часовой стрелке. 3. Движение вихревой пары при наличии магнитного дефекта Перейдем к исследованию динамики вихревой пары при наличии дефекта (рис. 2). (В предложенной модели в отсутствие вихрей дефект не создает своего поля.) Вихревая пара до рассеяния (t = −∞) имеет размер 0L и «прицельное расстояние» ρ. Найдем зависимость угла рассеяния пары 0( , )Lχ = χ ρ от прицельного расстояния и размера пары 0L . Размер 0L определяет энергию сис- темы, а вместе с ρ — угловой момент, т.е. два интегра- ла движения. Ниже 1 1 1( , )X YR — координата вихря с зарядом 1q = и 2 2 2( , )X YR — координата антивихря с зарядом 1q = − .Угол между векторами 1R и 2R обозна- чен как ϕ . Положения фиктивных вихрей определяют- ся положением вихрей пары, и задача сводится к дви- жению только этих двух квазичастиц. Таким образом, динамическая система с двумя степенями свободы и двумя независимыми интегралами движения интегриру- ется в квадратурах. Знание поля намагниченности (18) вне дефекта позволяет с помощью (10) написать урав- нения движения вихрей пары. Введем новую времен- ную переменную 1 0 0(2 / )J M tτ = µ  , в терминах которой уравнения (10) перепишутся в виде exτ = − ϕR ∇ или ( ) 1,2 1,22 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1,2 2 2 1,2 2,1 2,1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 , 2 dX YY Y d R R R a Y R Y a R R a a − = ± σ τ − + − − σ − + R R R R   (23) ( ) 1,2 1,21 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1,2 2 2 1,2 2,1 2,1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 , 2 dY XX X d R R R a X R X a R R a a − = σ ± τ − + − − ± σ − + R R R R  (24) где 2 2 2 i i iR X Y= + и 1 2 1 2 1 2X X Y Y= +R R . Эти уравнения допускают аналитическое решение в приближении малоуглового рассеяния, изучение методами качест- венной теории динамических систем и численное ис- следование в широком интервале значений параметров 0L , ρ и σ . Уравнения (23), (24) совпадают с получен- ными в подходе Тиле из формул (7) при знании полной энергии системы. Ее легко получить, воспользовав- шись формулами (18), (19) и выражением для энергии (4) в основном приближении с 0m = : ( )( ) 2 12 1 0 0 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 1 2 2 ln 2 cos ln , RE J M d R R R R a aJ M R a R a = π +   − ϕ+ + π σ  − −    (25) где 2 2 12 1 2 1 1 2 2( ) 2 cosR t R R R R= − = − ϕ+R R — рас- стояние между вихрями пары, которое отлично от на- чального значения 0L и зависит от времени. Первое слагаемое в (25) отвечает собственной энергии пары (11), а множители 2 2 1( )R a− и 2 2 2( )R a− во втором — взаимодействию с дефектом каждого вихря пары (см. (20)). Полная энергия включает дополнительное сла- гаемое, связанное с взаимодействием вихрей пары «через дефект». Аргумент логарифма во втором члене в (25) больше единицы, и при 0σ < слабомагнитный дефект притягивает пару, а при 0σ > магнитожесткий дефект отталкивает ее. Рис. 2. Рассеяние пары «вихрь–антивихрь» на круглом фер- ромагнитном дефекте в случае слабомагнитного дефекта с 2 1J J< . Траектории вихрей пары (а) и соответствующий «фа- зовый портрет» (б). 850 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами Угловой момент пары выражается через начальные данные и равен ( )( ) ( )( )2 2 0 0 1 2 0 0 0/2 /K M R R M L= π µ − = π µ ρ  . (26) Знание интегралов движения E и K позволяет изу- чить динамику вихревой пары с помощью качествен- ного анализа на «фазовой плоскости», в качестве кото- рой удобно выбрать расстояние антивихря (близко расположенного к дефекту) до центра 2R и угол ϕ . В приближении малоуглового рассеяния при 0,a Lρ >> из (25,26) следует соотношение: ( ) ( )( ) ( )22 0 2 2 0 2 0 2/ /2 /L R R L R a L Rϕ ≈ −ρ+ +ρ + , (27) которое дает представление о динамике системы на плоскости 2, Rϕ . Соответствующая фазовая траектория приведена на рис. 2(б), где пунктиром изображена тра- ектория для прямолинейного движения вихревой пары в случае отсутствия дефекта ( 0a = ), а точка c соответ- ствует ближайшей к дефекту точке траектории (линия c на рис. 2(а)). 4. Малоугловое рассеяние вихревых пар Малоугловое рассеяние легко исследовать аналити- чески. В качестве переменных введем координаты цен- тра вихревой пары ( , )x y=r и величину вектора «вих- ревого диполя» 2=d b, определяющего размер пары 12 ( ) ( ) 2R t L t b= = : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 /2, /2, /2, /2.x y x X X y Y Y u b X X v b Y Y = + = + = = − = = − (28) Новые переменные приведены на рис. 3, где через χ обозначен угол рассеяния. В новых переменных дина- мические уравнения (23), (24) принимают вид [ ] ( )2, /2b f s hτ = + − +r n b b n , (29) [ ], s hτ = − +b n r b , (30) где n — единичный вектор, перпендикулярный плос- кости системы, а коэффициенты уравнений зависят только от модулей векторов ( )τr и ( )τb : ( )2 2 08 /h a b L PQ= σ ρ , ( )2 2/f a Q= σ , ( ) ( )2 2 2 2 24 /s a b r b a PQ= σ + − , ( ) ( ) 2 22 2 2 0P r b a L= + − − ρ , 2 24Q P a b= + . При малоугловом рассеянии можно воспользоваться разделением временных масштабов: «быстрого» дви- жения центра пары (координат ( , )x y ) со скоростью ~ 1/V L и «медленного» изменения ее формы и направ- ления движения (координат ( , )u v ). Все слагаемые в уравнениях, кроме первого в правой части (29), имеют множители 2 ~aσ δ , характеризующие «мощность» дефекта. Слагаемые в правой части (29) имеют слева направо такие порядки величин: 1/b, 2 4( ) /a bσ ρ , 2 3 6( ) /a bσ ρ , 2 3 6( ) /a bσ ρ , а в правой части (30) — 2 2 5( ) /a bσ ρ и 2 4 7( ) /a bσ ρ . Поэтому отклонение траек- тории пары от прямолинейной мало при 0~ab aLρ >> . В основном приближении из (29) получаем решение для свободного движения пары размера 0L : 0 0 1 0 0 0( , / ) ( , (2 / ))L t J M L= ρ τ = ρ µr  и 2 2 2 0 0/r L= ρ + τ , что согласуется с решением (11) (пунктиры на рис. 3), и в этом приближении 0 0 0 /2b b u L= = = , 0 0v = . Для пары малого размера с L r<< , т.е. при b << ρ , уравне- ние (30) принимает вид [ , ] sτ = −b n r , или при учете вида основного приближения: v sτ = − ρ и 0/u s Lτ = τ , где 2 2 2 2 2 3 0 0/( / )s a L L≈ σ ρ + τ . Интегрирование дает асимптотики разворота вихревой пары при τ → ±∞: 2 3 4 0( ) ( )3 /16v a L±∞ = π σ ρ . Угол ее поворота за полови- ну времени рассеяния равен 02 /v L∆ ≈ (рис. 3), а пол- ный угол рассеяния 2χ = ∆. Поэтому зависимость ( )χ = χ ρ определяется формулой ( ) 2 4 0 0, 3 /4L Lχ ρ = δ ρ . (31) Из второго уравнения для диполя пары находится изменение ее размера в процессе рассеяния 2 2 4 0 0(1 / )L L a L= −σ ρ : при отталкивании пары от де- фекта ( 0σ > ) она сжимается в области взаимодействия и растягивается при притяжении к дефекту ( 0σ < ). Полученный результат следует и из формулы мало- амплитудного рассеяния обычных частиц [18], если переписать ее в виде ( ) 2 2 0 0(2 / ) / /P V dr dU dr r ∞ ρ χ = − ρ ρ −∫ , Рис. 3. Малоамплитудное рассеяние вихревой пары (случай магнитожесткой примеси). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 851 А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский где импульс и скорость вихревой пары на бесконечно- сти (11) равны 0 0 0 0/P M L= π µ и 0 1 0 0 02 /V J M L= µ  , а потенциальная энергия равна полной энергии вихревой пары в поле дефекта (25), сводящаяся в рассмотренном пределе к 2 2 2 4 1 0 0( ) /E a J M L r≈ σπ . В последнее время разрабатываются методики генерации вихрей и вихре- вых пар в БЭК, а также вихрей и скирмионов в магне- тиках под действием высокочастотного поля и при лазерном и температурном воздействии [13,19]. По- скольку при этом генерируется большое число вихре- вых возбуждений и формируется их направленное движение, возникают проблемы усреднения результа- тов [20], и представляет интерес вычисление диффе- ренциального сечения рассеяния вихрей и вихревых пар на ансамбле дефектов. Вычисляемая обычным об- разом [18] для двумерного случая эта величина равна 1/4 5/4 0( ) / (3 ) /32d d d a L d−Σ ρ = ρ χ χ = πσ χ χ . 5. Процесс рассеяния при произвольных параметрах вихревых пар и дефектов Хотя в дифференциальное сечение рассеяния ос- новной вклад вносит малоугловое рассеяние, пред- ставляет интерес исследование этого процесса при произвольных соотношениях параметров задачи: a, σ , 0L и ρ. Рассеяние в общем случае было рассмотрено численно в рамках уравнений (23), (24) в программе MAPLE. Угол рассеяния χ определяется только без- размерными комбинациями параметров 0L , a и ρ. Ме- тод коллективных переменных подразумевает выпол- нение неравенства 0 ,L 0l∆ >> , где ∆ — наименьшее расстояние от вихрей до границы дефекта. Несмотря на то, что при критических соотношениях параметров, когда вихри достаточно близко приближаются к гра- ницам дефекта ( 0l∆ << ), условия применимости урав- нений (23), (24) нарушаются, полученные результаты качественно дают общую характеристику динамики системы «вихревая пара–дефект». Характер рассеяния различен в случаях отталкивающего (при 0σ > ) и при- тягивающего (при 0σ < ) дефектов. Параметр σ меня- ется в интервале 1 1− < σ < . Мы приведем результаты для наиболее характерных случаев 1σ = и 1σ = − . По- следний особенно интересен, поскольку при этом дан- ные для магнитной системы переносятся на важную проблему взаимодействия вихревых пар с твердым включением в сверхтекучей жидкости. 5.1. Рассеяние пар притягивающим (немагнитным) дефектом В качестве примера на рис. 4(а) приведены числен- ные результаты для зависимости угла рассеяния χ от прицельного расстояния ρ в пределе 1σ = − для фикси- рованных значений радиуса дефекта 2a = и размера пары 0 1L = . Она существенно меняется при критиче- ском значении прицельного расстояния 3,4cρ = ρ ≈ . Пределу cρ >> ρ соответствует рассмотренное выше малоугловое рассеяние, но при cρ = ρ сценарий рассея- ния меняется. При cρ > ρ оба вихря пары огибают де- фект с одной стороны (рис. 2(а)), а при cρ < ρ в про- цессе рассеяния она распадается на два вихря, которые обходят препятствие с разных сторон, и после прохож- дения дефекта пара снова восстанавливается как еди- ный объект (рис. 5(а)). При cρ < ρ и cρ→ ρ траектория антивихря, двигающегося вблизи поверхности дефек- та, резко меняется (рис. 5(б)): часть траектории он Рис. 4. Зависимость ( )χ = χ ρ при 0 1L = и 2a = (а), «фазо- вый портрет» рассеяния вихревой пары на плоскости 2, Rϕ при разных значениях ρ (б), зависимость ( )c c Lρ = ρ (в). 852 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами проходит в направлении, обратном вращению вихря пары. При изменении знака cρ−ρ разность углов на- правления векторов 1R и 2R скачком меняется на 2π. При 0ρ→ расстояние вихрей до границы дефекта стремится к величине 0 /2L∆ ≈ , поскольку энергия вихревой пары распределяется почти поровну между двумя парами вихрей с их изображениями (рис. 5(а)). Эти результаты качественно согласуются с приведен- ными в [13] для отталкивающей примеси в БЭК. (От- талкивающая примесь в БЭК соответствует притяги- вающему магнитному дефекту.) Наглядное представление о характере рассеяния да- ет его анализ на «фазовой плоскости» 2, Rϕ . При 1σ = − из выражения (25) следуют зависимости 2( )Rϕ = ϕ для разных прицельных расстояний ρ и энергий вихревой пары 2 0 0 02 ln ( / )E M L d= π : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( )( ) sin . 2 4 ( )( ) L R R a R R R a R a R R R a R a a L − − − − −ϕ  =    − − − (32) Поскольку 2 1 2 02R R L= + ρ , то выражение (32) задает зависимость 2 0( , , )R Lϕ = ϕ ρ . Качественно она приве- дена на рис. 4(б), где заштрихованная часть с 2R a< соответствует области дефекта. При приближении ко- ординаты 2R антивихря на малое расстояние к этой границе условия применимости рассмотрения нару- шаются, но мы будем пользоваться полученными ре- зультатами для качественного понимания процесса рассеяния. Области cρ > ρ на рис. 4(б) отвечают «траектории» типа (b), для которых до и после рассеяния угол между радиус-векторами вихрей равен нулю. При cρ < ρ про- цессу рассеяния отвечает заштрихованная область тра- екторий типа (d), для которых угол между радиус- векторами меняется в процессе рассеяния на 2π (т.е. один из вихрей пары «огибает» дефект). При «лобо- вом» столкновении с 0ρ = (граничная линия q на ри- сунке) вихри обходят дефект с разных сторон с мини- мальным расстоянием до его границы 0R , которое зависит от соотношения 0 /2l L a= и для 0 /z R a= опре- деляется уравнением 3 2 0z l z z l− − − = : 0 0 /2R L≈ при 0L a>> и 0 0 /2R a L≈ + при 0L a<< . «Фазовым траек- ториям» типа (d), близким к сепаратрисе (g), отвечают реальные траектории типа изображенной на рис. 4(в). В некотором временном интервале вихри пары враща- ются в противоположном направлении, и этот интер- вал растет в пределе cρ→ ρ . Значению cρ = ρ отвечает «седловая точка» s фазового портрета. Из уравнений (23), (24) следует, что ей отвечает синфазное вращение вихревой пары вокруг дефекта. Однако такое движе- ние, как обычно в седловых точках, неустойчиво, а вихри (см. ниже) начинают вращаться в противопо- ложных направлениях. Из уравнения (32) при 0ϕ = следует, что в критической точке при больших разме- рах пары ( 0L a> ) имеем 2/3 1/3 0 0/2 3c L a Lρ ≈ + (рис. 4(в)). В этом пределе 2/3 1/3 2 0R a L a≈ >> и выполняется усло- вие применимости уравнений. На рис. 4(в) приведена зависимость 0( )c c Lρ = ρ , полученная численно для значения 2a = . Заштрихована область прицельных расстояний, при которых пара не распадается вблизи дефекта. Точкой B отмечена особенность на рис. 4(а), а вертикальной штриховой линией — развертка по оси прицельных расстояний на нем. Зависимость 0( )c c Lρ = ρ практически линейна во всем интервале изменений прицельного расстояния за исключением области малых прицельных параметров порядка вели- чин 0L и a. Для сравнения приведена также зависи- Рис. 5. Зависимость характера рассеяния вихревой пары с cρ < ρ при различном соотношении размеров пары и дефекта: 0 2,L = 0,5,a = cρ << ρ (а) и 0 1,L = 0,5,a = cρ ≈ ρ (б). Характер вращения вихревой пары вокруг дефекта при 2,a = 7,2,M = 2,L ≈ 0/2 1,8M Lρ = ≈ (в). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 853 А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский мость 0( )c c Lρ = ρ для 0,5a = . Из проведенного анализа следует, что при 1σ = − критическое значение cρ суще- ствует при любых значениях размеров пары и дефекта. Анализ фазового портрета указывает на наличие при значениях величин 2R , меньших сепаратрисных (g), об- ласти совершенно другой динамики (линии (f) на рис. 4(б)). Ей отвечает вращение вихревой пары вблизи дефекта. Параметр 0L уже не имеет смысла размера пары при ее уходе на бесконечность, но остается ха- рактеристикой энергии системы. При этом вихрь и ан- тивихрь вращаются в противоположном направлении с различными скоростями. Их движение является двух- частотным и происходит с двумя несоизмеримыми в общем случае частотами. Характерный вид такого вра- щения, полученный численно, представлен на рис. 5(в) для следующих начальных условий: 1( 0) 2,8R t = = , 2 ( 0) 0,8R t = = , 2 2 1 2( 0) 7,2.M t R R= = − = 5.2. Рассеяние пар отталкивающим дефектом При 0σ > («магнитожесткий» дефект) вихревая па- ра отталкивается от него, и ее рассеяние существенно меняется. Исследуем предел 1σ = ( 2J →∞) и рассмот- рим процесс рассеяния на «фазовой плоскости» 2, Rϕ . В данном случае вместо соотношения (32) имеем связь 2( )Rϕ вида 2 2 2 2 1 22 1 2 1cos ( )( ) 4 R a R a a R R ϕ = + + −  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0( )( ) ( )( ) 4R a R a R a R a a L − − − − − +   (33) с 2 1 2 02R R L= + ρ . Она описывает процесс рассеяния при разных значениях ρ, 0L , a и приведена на рис. 6(б). Численное решение уравнений (23), (24) для пары большого размера с 0 6 0,5L a= >> = дает зависимость угла рассеяния от прицельного расстояния, приведен- ную на рис. 6(a). Она напоминает зависимость в случае притягивающего дефекта при изменении знака ( ).cρ−ρ Также имеется критическое значение cρ прицельного расстояния, при котором меняется характер рассеяния, но теперь оно существует только при размере пары большем критического (1 5) 2 5 6,66,cL a a= + + ≈ ⋅ зависящего от размера дефекта (рис. 6(в)). При фикси- рованном размере пары ( )cL L a> с изменением при- цельного расстояния процесс рассеяния меняется. При ( , )c L aρ > ρ оба вихря пары в течение всего процесса остаются по одну сторону от дефекта, чему соответст- вуют линии типа (b) на рис. 6(б). При cρ = ρ (линия (g) на рис. 4(б)) происходит бифуркация, и пара распада- ется на два вихря, обходящих дефект с разных сторон. При дальнейшем уменьшении ρ вихри огибают дефект и в процессе рассеяния относительный угол между ними меняется на 2π (линии типа (d)). При лобовом столкновении ( 0ρ = и линия q на рисунке) минималь- ное расстояние от вихрей до поверхности дефекта зави- сит от размера пары. При 0L a>> имеем min 2 0 /2,R L≈ а при 0L a<< минимальное сближение с дефектом min 2 0 /2R a L− ≈ . Из фазового портрета видна также возможность двухчастотного вращения вихревой пары вокруг дефекта (заштрихованная область f вблизи поверхности дефекта). Рис. 6. Зависимость ( )χ = χ ρ при 0 6L = и 0,5a = для от- талкивающего дефекта (а), «фазовый портрет» динамики рассеяния пары (б) и зависимость критического прицельного расстояния от размеров вихревой пары и дефекта (в). На вставках (а) приведены качественно траектории вихрей в процессе рассеяния. 854 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами Ситуация меняется для вихревых пар малого разме- ра с 0 ( )cL L a< (левая вертикальная штриховая линия на рис. 6(в)). Они не проходят через дефект, а отража- ются от него. С уменьшением прицельного расстояния угол рассеяния увеличивается от нуля до π, и при 0ρ→ минимальные расстояния вихрей до поверхно- сти дефекта стремятся к нулю: min 2 2 2 0 / 2R a L a≈ +ρ и min 1 0 /R a L a≈ +ρ . (Но напомним, что при этом теряет- ся справедливость применяемого метода коллективных переменных, поскольку скорости вихрей неограничен- но возрастают, превышая скорость спиновых волн в ферромагнетике.) Заключение В приближении метода коллективных переменных аналитически, численно и качественно рассмотрен процесс рассеяния магнитных вихревых пар магнит- ным дефектом в двумерном легкоплоскостном фер- ромагнетике. Предложена модель дефекта, представ- ляющего круглую область магнетика с обменным взаимодействием, отличным от такового в основном объеме магнетика, и изменяющееся от нуля до беско- нечности. Исследовано движение одиночных вихрей и вихревых пар в окрестности дефекта. Для малоуг- лового рассеяния аналитически получена зависимость угла рассеяния вихревой пары от прицельного рас- стояния и вычислено дифференциальное сечение рас- сеяния. При произвольном соотношении параметров вихревой пары и дефекта зависимость угла рассеяния от прицельного расстояния получена численно и ис- следована качественными методами на фазовой плос- кости. В случае немагнитной примеси результаты качественно согласуются с данными численного ана- лиза взаимодействия вихревых пар с дефектами в БЭК. Указано на возможность существования связан- ных состояний вихревой пары с дефектом в виде двухчастотного встречного вращения вихря и анти- вихря вокруг дефекта. В частном случае результаты описывают движение вихрей и вихревых пар при на- личии круглой непроницаемой области в сверхтеку- чей жидкости и БЭК. Работа поддержана научным проектом НАН Украи- ны №4/17-Н и научной программой 1.4.10.26/Ф-26-4. _______ 1. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев, Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны, Наукова думка, Киев (1988). 2. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev, Phys. Rep. 194, 117 (1990). 3. А.М. Косевич, В.П. Воронов, И.М. Манжос, ЖЭТФ 84, 148 (1983). 4. А.В. Никифоров, Э.Б. Сонин, ЖЭТФ 58, 373 (1983). 5. L. Onsager, Suppl. Nuovo Cimento 6, 249 (1949); R.P. Feynman, Phys. Suppl. 24, 18 (1958). 6. M.H. Anderson, J.B. Ensher, M.R. Mattheus, C.E. Wieman, and E.A. Conell, Science 269, 198 (1995); K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.I. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995). 7. J. Raabe, R. Pulwey, R. Sattler, T. Schweinbock, J. Zweek, and D. Weiss, J. Appl. Phys. 88, 4437 (2000). 8. Woo Jin Kwon, Joon Hyun Kim, Sang Won Seo, and Y. Shin, Phys. Rev. Lett. 117, 245301 (2016); S. Higashitani, H. Takeuchi, S. Matsuo, Y. Nagato, and K. Nagai, Phys. Rev. Lett. 110, 175301 (2013). 9. N. Papanicolaou and P.N. Spathis, Nonlinearity 12, 285 (1999); S. Komineas and N. Papanicolaou, arXiv:0712,3684v1, condmat.mes-hall (2008); S. Komineas, Phys. Rev. Lett. 99, 117202 (2007). 10. A.S. Kovalev, S. Komineas, and F.G. Mertens, Eur. Phys. J. B 25, 89 (2002); А.С. Ковалев, ФНТ 43, 334 (2017) [Low Temp. Phys. 43, 274 (2017)]. 11. M.M. Богдан, ФНТ 31, 968 (2005) [Low Temp. Phys. 31, 735 (2005)]; M.M. Bogdan and C.E. Zaspel, Phys. Status Solidi A 189, 983 (2002); G.M. Wysin, Phys. Rev. B 68, 184411 (2003); L.A.S. Mol, A.R. Pereira, and A.S.T. Pires, Phys. Rev. B 66, 052415 (2003); S.A. Leonel, Pablo Zimmermann Coura, A.R. Pereira, L.A.S. Mól, and B.V. Costa, Phys. Rev. B 67, 104426 (2003); A.R. Pereira, L.A.S. Mól, S.A. Leonel, P.Z. Coura, and B.V. Costa, Phys. Rev. B 68, 132409 (2003). 12. A.R. Pereira, L.A.S. Mól, S.A. Leonel, P.Z. Coura, and B.V. Costa, Phys. Rev. B 68, 132409 (2003). 13. A. Griffin, G.W. Stagg, N.P. Pronkakis, and C.F. Barenghi, arXiv:1609.06226v1, cond-mat. quant-gas (2016). 14. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Phys. Z. Sowiet. 8, 153 (1935). 15. A.A. Tiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973). 16. H.J. Lagt, Introduction to Vortex Theory, Vortex Flow Press, Potomac, Merylend (1961). 17. H. Fan and G.F. Wang, Mechanics of Material 35, 943 (2003), см. также Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электро- динамика сплошных сред, Наука, Москва (1982). 18. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика, Наука, Москва (1965). 19. E.C. Samson, K.E. Wilson, Z.L. Newman, and B.P. Anderson, Phys. Rev. A 93, 023603 (2016). 20. D. Pinna, F.A. Arauja, J.-V. Kim, V. Cros, D. Querlioz, P. Bessiere, J. Droulez, and J. Grollier, arXiv:1701.07750v1, cond-mat.,mes-hall (2017). ___________________________ Magnetic vortices interaction with defects A.S. Kovalev and J.E. Prilepskii Magnetic vortices and vortex pairs scattering by mag- netic defects in 2D easy-plane ferromagnetic is investi- gated in the frame of classical equations of magnetization dynamics and in the collective variables approach for the Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 855 https://doi.org/10.1016/0370-1573(90)90130-T https://doi.org/10.1007/BF02780991 https://doi.org/10.1126/science.269.5221.198 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.75.3969 https://doi.org/10.1063/1.1289216 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.245301 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.175301 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.175301 https://doi.org/10.1088/0951-7715/12/2/008 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.117202 https://doi.org/10.1140/e10051-002-0010-1 https://doi.org/10.1140/e10051-002-0010-1 https://doi.org/10.1063/1.4978455 https://doi.org/10.1063/1.4978455 https://doi.org/10.1063/1.2008133 https://doi.org/10.1002/1521-396X(200202)189:3%3c983::AID-PSSA983%3e3.0.CO;2-O https://doi.org/10.1002/1521-396X(200202)189:3%3c983::AID-PSSA983%3e3.0.CO;2-O https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.184411 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.66.052415 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.104426 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.132409 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.132409 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.30.230 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.93.023603 А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский vortices coordinates. The model for defect as the magnet- ic domain with exchange interaction differing from the same for the main matrix was suggested. The magnetic vortex rotation about the defect and the vortex pair scat- tering by defect was considered. The analytical expres- sion for differential scattering cross-section and the de- pendence of the scattering angle on the parameters of vortex pair, defect and impact parameter were obtained in the limit of small-angle scattering. Vortex pairs scattering by defect was investigated numerically and by qualitative analysis in the wide region of the scattering parameters. The character of the scattering changes qualitatively at the critical value of impact parameter. It was demonstrated the possibility for existence of vortex pairs rotary states localized near defects. PACS: 75.10.–b General theory and models of magnetic ordering; 75.10.Hk Classical spin models. Keywords: easy-plane ferromagnet, magnetic defects, magnetic vortex, vortex pair, Thiele equation, vortex scattering, scattering cross section. 856 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Введение 1. Формулировка модели 2. Динамика изолированного вихря в поле магнитного дефекта 3. Движение вихревой пары при наличии магнитного дефекта 4. Малоугловое рассеяние вихревых пар 5. Процесс рассеяния при произвольных параметрах вихревых пар и дефектов 5.1. Рассеяние пар притягивающим (немагнитным) дефектом 5.2. Рассеяние пар отталкивающим дефектом Заключение

Взаимодействие магнитных вихрей с дефектами

Репозитарії

Схожі ресурси