Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы

Рассмотрены 2D кристаллы ограниченных размеров, образованные атомами с центрально-симметричным взаимодействием между ними (потенциал Леннарда–Джонса). Методами молекулярной динамики установлена атомная структура кластеров приблизительно круговой формы с радиусами нанометрового масштаба. Исследованы...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Нацик, В.Д., Смирнов, С.Н., Белан, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Динамика нелинейных упругих сред
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176199
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 877-886. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-176199
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1761992021-02-05T01:30:31Z Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Белан, В.И. Динамика нелинейных упругих сред Рассмотрены 2D кристаллы ограниченных размеров, образованные атомами с центрально-симметричным взаимодействием между ними (потенциал Леннарда–Джонса). Методами молекулярной динамики установлена атомная структура кластеров приблизительно круговой формы с радиусами нанометрового масштаба. Исследованы отклонения атомных конфигураций от идеальной решетки 2D кристалла, обусловленные как свободной границей кластера, так и внедренными в его центр дефектами — дислокацией и краудионом. Вычислены значения собственных энергий этих дефектов, проанализированы их зависимости от радиуса кластера и параметров потенциала межатомного взаимодействия. Методами континуальной механики кристаллов описаны особенности однородной упругой деформации 2D кристаллических круга и полосы по сравнению с деформацией 3D кристаллических шара и стержня. Об-суждены двумерные аналоги основных характеристик упругости — коэффициента сжатия, модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона, а также их связь с коэффициентами Ламэ. Установлены зависимости всех перечисленных параметров упругости от параметров потенциала межатомного взаимодействия, а также получены оценки для эффективных размеров ядер дислокации и краудиона. Розглянуто 2D кристали обмежених розмірів, які утворені атомами з центрально-симетричною взаємодією (потенціал Леннарда–Джонса). Методами молекулярної динаміки встановлено атомну структуру кластерів приблизно кругової форми з радіусами нанометрового масштабу. Досліджено відхилення атомних конфігурацій від ідеальної гратки 2D кристала, котрі обумовлені як вільною границею кластера, так і впровадженими у його центр дефектами — дислокацією та краудіоном. Обчислено значення власних енергій цих дефектів, проаналізовано їх залежність від радіуса кластера та параметрів потенціалу міжатомної взаємодії. Методами континуальної механіки кристалів описано особливості однорідної пружної деформації 2D кристалічних круга та полоси у порівнянні з деформацією 3D кристалічних сфери та стрижня. Обговорено двовимірні аналоги основних характеристик пружності — коефіцієнта стискання, модуля Юнга, модуля зсуву та коефіцієнта Пуассона, а також їх зв’язок з коефіцієнтами Ламе. Встановлено залежність всіх перерахованих параметрів пружності від параметрів потенціалу міжатомної взаємодії, а також одержано оцінки для ефективних розмірів ядер дислокації та краудіона. 2D limited in size crystals being generated of atoms with centrally symmetric interatomic interaction (the Lennard-Jones potential) were discussed. The atomic structure of approximately circular clusters of nanometer scale radius was established by molecular dynamics methods. The deviations of the atomic configurations from the perfect lattice of 2D crystal caused by both free boundary of cluster and interstitial defects in its centre (dislocation and crowdion) were investigated. The self energy of these defects was evaluated; their dependences on the cluster radius and the parameters of the interatomic interaction potential were analyzed. The features of homogeneous elastic deformation of 2D crystalline circle and band as compared to the deformation of 3D crystalline sphere and rod were described by continual mechanics methods. The two-dimensional analogues of fundamental elastic characteristics (modulus of compression, Young modulus, shear modulus, Poisson's ratio and their relationship with Lamé coefficients) were discussed. The dependences of the listed parameters of elasticity on the parameters of the interatomic interaction potential were established as well as the estimates of the effective core sizes of dislocation and crowdion were obtained. 2018 Article Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 877-886. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 02.70.Ns, 07.05.Tp, 61.72.Bb, 61.72.J− http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176199 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика нелинейных упругих сред Динамика нелинейных упругих сред
spellingShingle	Динамика нелинейных упругих сред Динамика нелинейных упругих сред Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Белан, В.И. Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы Физика низких температур
description	Рассмотрены 2D кристаллы ограниченных размеров, образованные атомами с центрально-симметричным взаимодействием между ними (потенциал Леннарда–Джонса). Методами молекулярной динамики установлена атомная структура кластеров приблизительно круговой формы с радиусами нанометрового масштаба. Исследованы отклонения атомных конфигураций от идеальной решетки 2D кристалла, обусловленные как свободной границей кластера, так и внедренными в его центр дефектами — дислокацией и краудионом. Вычислены значения собственных энергий этих дефектов, проанализированы их зависимости от радиуса кластера и параметров потенциала межатомного взаимодействия. Методами континуальной механики кристаллов описаны особенности однородной упругой деформации 2D кристаллических круга и полосы по сравнению с деформацией 3D кристаллических шара и стержня. Об-суждены двумерные аналоги основных характеристик упругости — коэффициента сжатия, модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона, а также их связь с коэффициентами Ламэ. Установлены зависимости всех перечисленных параметров упругости от параметров потенциала межатомного взаимодействия, а также получены оценки для эффективных размеров ядер дислокации и краудиона.
format	Article
author	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Белан, В.И.
author_facet	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Белан, В.И.
author_sort	Нацик, В.Д.
title	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
title_short	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
title_full	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
title_fullStr	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
title_full_unstemmed	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
title_sort	компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Динамика нелинейных упругих сред
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176199
citation_txt	Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 7. — С. 877-886. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT nacikvd kompʹûternoemodelirovanieianalitičeskoeopisaniedefektovstrukturyvdvumernyhkristallahograničennyhrazmerovsvobodnaâgranicadislokaciikraudiony AT smirnovsn kompʹûternoemodelirovanieianalitičeskoeopisaniedefektovstrukturyvdvumernyhkristallahograničennyhrazmerovsvobodnaâgranicadislokaciikraudiony AT belanvi kompʹûternoemodelirovanieianalitičeskoeopisaniedefektovstrukturyvdvumernyhkristallahograničennyhrazmerovsvobodnaâgranicadislokaciikraudiony
first_indexed	2025-07-15T13:52:38Z
last_indexed	2025-07-15T13:52:38Z
_version_	1837721253094359040
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7, c. 877–886 Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы В.Д. Нацик1,2, С.Н. Смирнов1, В.И. Белан1 1Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина 2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 2 марта 2018 г., опубликована онлайн 28 мая 2018 г. Рассмотрены 2D кристаллы ограниченных размеров, образованные атомами с центрально- симметричным взаимодействием между ними (потенциал Леннарда–Джонса). Методами молекулярной динамики установлена атомная структура кластеров приблизительно круговой формы с радиусами нано- метрового масштаба. Исследованы отклонения атомных конфигураций от идеальной решетки 2D кри- сталла, обусловленные как свободной границей кластера, так и внедренными в его центр дефектами — дислокацией и краудионом. Вычислены значения собственных энергий этих дефектов, проанализирова- ны их зависимости от радиуса кластера и параметров потенциала межатомного взаимодействия. Мето- дами континуальной механики кристаллов описаны особенности однородной упругой деформации 2D кристаллических круга и полосы по сравнению с деформацией 3D кристаллических шара и стержня. Об- суждены двумерные аналоги основных характеристик упругости — коэффициента сжатия, модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона, а также их связь с коэффициентами Ламэ. Установлены зави- симости всех перечисленных параметров упругости от параметров потенциала межатомного взаимодей- ствия, а также получены оценки для эффективных размеров ядер дислокации и краудиона. Розглянуто 2D кристали обмежених розмірів, які утворені атомами з центрально-симетричною взає- модією (потенціал Леннарда–Джонса). Методами молекулярної динаміки встановлено атомну структуру кластерів приблизно кругової форми з радіусами нанометрового масштабу. Досліджено відхилення атомних конфігурацій від ідеальної гратки 2D кристала, котрі обумовлені як вільною границею кластера, так і впровадженими у його центр дефектами — дислокацією та краудіоном. Обчислено значення влас- них енергій цих дефектів, проаналізовано їх залежність від радіуса кластера та параметрів потенціалу міжатомної взаємодії. Методами континуальної механіки кристалів описано особливості однорідної пружної деформації 2D кристалічних круга та полоси у порівнянні з деформацією 3D кристалічних сфе- ри та стрижня. Обговорено двовимірні аналоги основних характеристик пружності — коефіцієнта стис- кання, модуля Юнга, модуля зсуву та коефіцієнта Пуассона, а також їх зв’язок з коефіцієнтами Ламе. Встановлено залежність всіх перерахованих параметрів пружності від параметрів потенціалу міжатомної взаємодії, а також одержано оцінки для ефективних розмірів ядер дислокації та краудіона. PACS: 02.70.Ns Методы молекулярной динамики; 07.05.Tp Компьютерное моделирование и симулирование; 61.72.Bb Теории и модели дефектов в кристалле; 61.72.J− Точечные дефекты и кластеры дефектов. Ключевые слова: компьютерное моделирование, двумерные кристаллы, модули упругости, дислокации, краудионы, микроскопические модели дефектов, топологический заряд дефекта, собственная энергия дефектов. © В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан, 2018 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан 1. Введение В данной статье продолжена разработка различных аспектов механики двумерных (2D) кристаллов и теории структурных дефектов в них, начатая в серии публика- ций [1–4]. Посвящая статью памяти А.М. Косевича, мы стремились реализовать в ней характерный для его науч- ной школы комплексный подход к описанию механиче- ских свойств кристаллических систем [5,6]: оптимальное сочетание методов атомно-решеточной механики и меха- ники упругого континуума; повышенное внимание к то- пологическим аспектам механики кристаллов в целом, а также обсуждение общности и различий топологических свойств как совершенных 3D, 2D и 1D кристаллов, так и присущих им разнообразных структурных искажений; стремление на каждом этапе исследования акцентировать внимание на тех особенностях обсуждаемых свойств, которые имеют общефизическое значение. Конкретная цель работы — описание ряда особенно- стей атомной структуры, энергетики и упругих свойств плоских фрагментов 2D кристаллов трех типов: класте- ров с размерами нанометрового масштаба; макроско- пического упругого круга; упругой полосы, ограни- ченной двумя прямолинейными параллельными границами. Эти задачи рассмотрены на примере 2D кристалла, образованного атомами одного типа с цен- трально-симметричным потенциалом парного взаимо- действия между ними. Такой кристалл имеет плотноупа- кованную атомную структуру и изотропные упругие свойства. Решения перечисленных выше задач получены методами теории упругости 2D изотропного континуума и численными методами молекулярной динамики. 2. Равновесная структура бесконечного идеального 2D кристалла и атомные конфигурации нанокластеров со свободными границами Одним из интересных для современной нанофизики объектов исследований являются 2D кристаллические кластеры с размерами нанометрового масштаба, напри- мер образцы графена, которые образуются в процессе фрагментации графита [7]. При изучении кристалличе- ских кластеров прежде всего следует проанализировать размерные структурные эффекты — влияние свободной границы на равновесные атомные конфигурации в ее окрестности и внутри кластера. В общем случае слож- ных кристаллов типа графена это довольно трудная задача атомно-решеточной механики 2D кристалла. Поэтому ее решение целесообразно начать с рассмот- рения наиболее простой модели кристалла, который образован набором однотипных атомов с центрально- симметричным взаимодействием между ними. Для описания потенциальной энергии взаимодействия двух атомов на расстоянии r между их центрами использу- ем потенциал Леннарда–Джонса [8] 12 6 0 0 0( ) 2 r r r r r      φ = ε −         (1) с энергетическим 0ε и пространственным 0r парамет- рами. 2.1. Геометрические и энергетические параметры бесконечного кристалла Минимуму потенциальной энергии бесконечного кристалла с центрально-симметричным межатомным взаимодействием соответствует плотноупакованная атомная структура с двумерной гексагональной (пра- вильной треугольной) решеткой узлов (рис. 1), которая имеет двумерную пространственную группу симмет- рии p6mm [9–11]. Геометрия кристалла определяется двумя базисными векторами трансляций 1a и 2a одина- ковой длины ( 1 2 a= =a a ) и углом межу ними / 3π , а также системой решеточных векторов 1 1 2 2n n= +nR a a , 1 2{ , }n n=n , 1 2, 0, 1, 2,...n n = ± ± . Равновесные значения параметра a, площади эле- ментарной ячейки 2 1 2[ ] 3 / 2S a= × =a a и энергии связи на один атом ε бесконечного кристалла с потен- циалом парного межатомного взаимодействия (1), можно вычислить хорошо известными аналитическими методами теории кристаллических решеток [8,12]. Эти значения находятся из условия минимума потенциаль- ной энергии на один атом ( )aε относительно измене- ния параметра решетки a: ( ) 12 6 0 0 0 0 0 1( ) 2 2 2 r r a R R R≠ ≠  ε     ε = φ = − =         ∑ ∑n n n n n 12 6 0 0 0 12 62 2 r r A A a a  ε     = −         , (2) R =n n R . Рис. 1. Решетка узлов бесконечного идеального 2D кристал- ла, а также начальная конфигурация атомов (•) в кластере, расположенном в области круга с радиусом R. 878 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах Здесь kA — решеточные суммы, которые являются геометрическими инвариантами относительно измене- ний параметра a, они определяются совокупностью безразмерных кристаллогеометрических параметров /R an и показателями степени k в формуле (1): 0 , k k aA R≠   =     ∑ n n 6 6,376A ≈ , 12 6,010A ≈ . Необходимое условие равновесия ( ) / 0d a daε = и формула (2) определяют зависимости параметров ре- шетки , , a S ε от параметров 0r и 0ε потенциала меж- атомного взаимодействия (1): 1/6 12 0 0 6 0,990 Aa r r A   = ≈    , 1/3 2 212 0 0 6 3 0,849 2 AS r r A   = ≈    , 2 6 0 0 12 3,382 . 2 A A ε = − ε ≈ − ε (3) Отметим, что для 2D и 3D кристаллических структур с плотной упаковкой атомов численные значения реше- точных сумм 6A и 12A существенно отличаются (см., например, [8]), что также приводит к различным значе- ниям коэффициентов пропорциональности в соотноше- ниях 0a r∝ и 0ε ∝ ε . Для центрально-симметричного потенциала более общего вида равновесные значения параметров 2D решетки получены в [13]. В континуальной механике кристаллов важную роль играет тензор модулей упругости iknmλ , компоненты ко- торого также связаны с их атомно-решеточными характе- ристиками [1,5]. В частности, модуль сдвига 1212µ = λ для 2D кристалла с межатомным взаимодействием (1) в кристаллографической системе координат (рис. 1) мож- но представить в виде ряда [1] 12 6 2 20 0 0 1212 0 12 7 4 sin cos , r r S R R≠  ε     µ = λ = − ϕ ϕ         ∑ n n n n n где ϕn — полярный угол вектора ( )R ,= ϕn n nR . Если ввести решеточные суммы 2 2 0 sin cos , k k aA R≠   = ϕ ϕ    ∑ n n n n  6 0,797A ≈ , 12 0,751A ≈ и воспользоваться соотношениями (3), то в результате получим 4/3 0 6 6 0 12 62 2 12 120 0 24 7 4 35,848 3 r A A A A A A r    ε ε µ = − ≈          . (4) 2.2. Методы и результаты моделирования равновесной атомной структуры в кластере Появление в кристаллической среде свободной грани- цы нарушает баланс сил межатомного взаимодействия, который обеспечивает равновесный атомный порядок в бесконечном кристалле. Поэтому равновесная струк- тура кластера ограниченных размеров будет деформи- рована относительно структуры бесконечного идеаль- ного кристалла. Это позволяет рассматривать границу как специфический дефект кристаллической структуры и считать ее источником деформаций на границе и внутри кластера. Согласно геометрической классифи- кации структурных дефектов [10,14–17], дислокацию и краудион в 2D кристалле следует рассматривать как точечные (нульмерные) дефекты, а его границу как линейный (одномерный) дефект. Моделирование равновесной атомной структуры плоских кластеров проведено методами молекулярной динамики. На первом этапе моделирования задавалась начальная неравновесная атомная конфигурация кла- стера как фрагмента идеальной бездефектной решетки, вписанной в круг заданного радиуса R с центром в одном из узлов (рис. 1). Этот кластер имеет ось сим- метрии 6-го порядка, перпендикулярную его плоско- сти. Значение R задавалось кратным величине пара- метра решетки a: RR n a= , где Rn — целое число, которое варьировалась от 16 до 198. Каждый из трех центральных рядов (диаметральные плотноупакован- ные ряды, проходящие через центр кластера) содержал 2 1Rn + атомов (на рис. 1 для ряда вдоль оси 1x число 4Rn = ). Второй этап моделирования — расчет структурной релаксации к равновесной атомной конфигурации пу- тем численного решения уравнений движения атомов в плоскости кластера, при этом учитывалось взаимодей- ствие каждого отдельного атома со всеми остальными. Атомы в кластере нумеровались целыми числами 1,2,...,p N= , а их положение в момент времени t опре- делялось в декартовой прямоугольной системе коор- динат (рис. 1) совокупностью радиусов-векторов ( )p tr . Перемещения атомов описывались классическими уравнениями движения в форме Ньютона для системы взаимодействующих материальных точек, которые были записаны в безразмерной форме с помощью сис- темы основных единиц: 0r — единица длины, масса атома m — единица массы, 0ε — единица энергии. Ди- намическая устойчивость процесса релаксации и полу- чение статической равновесной структуры кластера обеспечивалось введением в уравнения движения силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости движения атома с одинаковыми для всех атомов зна- чениями коэффициента вязкости. Таким образом, зависимость безразмерных коорди- нат атомов 1 0( )p pr−τ =q r от безразмерного времени Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 879 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан 0 0 t m r ε τ = определялась системой дифференциальных уравнений второго порядка и указанными выше на- чальными условиями: 2 2 1 2 p p p d d dd ∂ + γ + × ττ ∂ q q q ( ) ( )12 6 2 0p s p s s p − − ≠   × − − − =    ∑ q q q q , , 1, 2,...p s N= , (5) 1 0(0)p r−= nq R , 0 0 pd d τ= = τ q , R≤nR , где γ — безразмерный коэффициент вязкости. Для численного решения системы уравнений (5) ис- пользовался скоростной алгоритм Верле [18], модифици- рованный в [19] на случай наличия сил трения. Увеличе- ние точности вычислений сумм большого множества чисел с плавающей точкой, которые существенно отли- чаются по величине, достигалось применением алго- ритма Кэхэна (компенсационное суммирование) [20]. Уменьшить длительность расчетов позволило использо- вание параллельных вычислений, которые выполнялись с помощью технологии MPI [21]. После завершения релаксации конфигурации атомов в кластерах соответствовали неоднородно деформирован- ной решетке, но ось симметрии 6-го порядка при этом сохранялась. Анализ смещений атомов выявил нетриви- альный характер деформаций в кластерах относительно идеальной решетки. Будем нумеровать интервалы между соседними атомами в центральном ряду целыми числами 1,2,..., Rn n= , начиная от границы кластера по направле- нию к его центру, а расстояния между соседними атома- ми обозначим символом ( )d n . Установлено, что расстоя- ние d немонотонно изменяется от границы к центру: убывает от максимального значения max (1)d d= , дости- гает минимума при некотором значении minn min(d = min( )),d n= а затем возрастает до значения ( )Rd n (рис. 2). Расстояние max (1)d d= заметно отличается от ( )Rd n и незначительно изменяется при увеличении R : относи- тельная разность max( / ( ) 1)Rd d n − не выходит за преде- лы 3(6,00 5,77) 10−− ⋅ при возрастании Rn от 16 до 198. На рис. 2 видно, что при увеличении размера кластера минимумы на зависимости ( )d n становятся менее выра- женными, но регистрируются даже в кластере с макси- мальным размером 198R a= , который содержал 142189 атомов. В центре кластера относительное отклонение ( )Rd n от параметра решетки a не превышает 10–5 при 16 21Rn≤ ≤ и уменьшается с увеличением R . С этой точностью можно принять ( )Rd n a= и опре- делить заданную на дискретном множестве точек 1,2,..., Rn n= вдоль центральных рядов деформацию относительно идеальной решетки формулой ( ) ( ( ) / 1)R n d n aε = − . В целом образование свободной границы увеличивает площадь кластера, а количественные значения основных параметров зависимостей ( )d n и ( )R nε и влияние на них размеров кластера показаны на рис. 3. Зависимость minn от Rn может быть аппроксимирована относительно про- стой аналитической функцией, график которой приве- ден на рис. 3(а): min 1 2/ ( ) p R Rn n B B n −= + , (6) 1 0,28B ≈ , 2 5,76B ≈ , 1,32p = , 16 198Rn≤ ≤ . Масштаб деформаций на границе кластера порядка 310− вполне доступен для регистрации современными рентгеновскими, электронно-графическими и другими методами структурного анализа. Неоднородность атом- ной структуры вблизи границы может оказывать также существенное влияние на спектр граничных упругих волн — типа волн Рэлея в 3D кристаллах. 3. Моделирование атомных конфигураций 2D кластеров с дислокациями и краудионами Дислокации и краудионы — собственные дефекты кристаллической структуры, которые появляются в ре- зультате незавершенных пластических сдвигов вдоль направлений плотной упаковки атомов на элементарный вектор трансляций b в этом направлении. Атомно- решеточные схемы образования таких дефектов в 2D кристаллах детально описаны в статьях [2–4], где также получено континуальное описание обусловленных ими упругих и пластических деформаций кристаллической структуры. Структурные дефекты в 2D кристаллах так- же изучались аналитическими методами теории упру- гости [22,23] и численными методами молекулярной Рис. 2. Изменение расстояния d(n) между соседними атомами в центральных рядах кластера от его границы к центру. 880 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах динамики в графене [24]. Задача о моделировании крау- диона в простой скалярной модели 2D кристалла рас- смотрена в работе [25]. В данном исследовании дефекты вводились в цен- тры 2D кластеров: пластические сдвиги выполнялись в положительном направлении оси 1x (рис. 1), а роль вектора Бюргерса играл базисный вектор 1=b a . Неза- вершенные пластические сдвиги существенно нару- шают баланс сил межатомного взаимодействия, по- этому для обеспечения стабильности процесса релаксации к равновесной структуре кластера целесо- образно создать начальную атомную конфигурацию, которая приблизительно отражает структуру равновес- ного поля деформаций дефекта, вычисленного в кон- тинуальном приближении [3]. Дислокация вводилась смещениями атомов в верх- ней части кластера согласно формуле 1 2 1 1 2 1 2 1 , при ( 2), 1 ( ) , при ( 1) 0 3 0, при 1. d b n n nu b n n n n  ≤ − +  −= − + ≤ ≤ +  ≥ nR , 2 1n ≥ , Краудион создавался незавершенным сдвигом ато- мов центрального плотноупакованного ряда с началь- ными координатами 1( ,0)an=nR , а смещения 1 ( )cu nR задавались формулой 1 1 2( ) [exp( / 2)]c bu arctg n= − π nR , 1R Rn n n− ≤ ≤ , /Rn R a= . Процесс релаксации описывался системой уравнений движения (5) с начальными смещениями вдоль орта линии скольжения e (рис. 4): 1 , 0 1(0) [ ( ) ]p d cr u−= +n nq R R e , 0 0 pd d τ= = τ q , R≤nR . Уравнения движения с этими начальными условия- ми решались методами, описанными в разд. 2.2. После завершения релаксации получены атомные конфигу- рации кластеров с дефектами (рис. 4) и значения соб- ственных энергий дислокаций dε и краудионов cε в Рис. 3. Влияние размеров кластеров Rn = R/a на характери- стики их атомной структуры: (а) — зависимость от Rn рас- стояния минимума minn от границы кластера, сплошная ли- ния — график аналитической аппроксимации (6); (б) — зависимость от Rn минимальной (○) и максимальной (●) де- формаций центральных атомных рядов. Рис. 4. Равновесная атомная структура вблизи центров дислока- ции (а) и краудиона (б): сплошными линиями выделены элемен- тарная ячейка с площадью S и гексагон в идеальном кристалле, а также условные ядра дефектов с существенно искаженной кон- фигурацией атомов, пунктиром обозначены линии скольжения, b и e — вектор Бюргерса и орт линии скольжения. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 881 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан кластерах различных размеров: энергия ,d cε определя- лась как разность энергий межатомного взаимодейст- вия бездефектного кластера и кластера с соответст- вующим дефектом. Зависимости энергии дефектов ,d cε от размера кла- стера иллюстрирует рис. 5. В разд. 5 будет показано, что главные особенности этих зависимостей, получен- ные здесь методами молекулярной динамики, связаны с характером пространственного распределения упру- гих деформаций вокруг центров дефектов и влиянием границы кристалла на это распределение. 4. Континуальное описание деформации 2D кристаллов ограниченных размеров Обсудим некоторые особенности упругой деформа- ции и деформационные характеристики двумерных кристаллических тел макроскопических размеров, ис- пользуя для их описания методы континуальной меха- ники [1]. Рассмотрим деформации растяжения-сжатия плоских тел двух типов: упругого круга под действием приложенного к его границе однородного радиального напряжения (рис. 6(а)) длинной упругой полосы со свободными боковыми границами под действием од- нородных продольных сил на ее концах (рис. 6(б)). В континуальной механике 3D кристаллов анало- гичные задачи рассмотрены для упругих тел, имеющих форму шара и стержня. С их обсуждения обычно на- чинается изложение базовых положений теории упру- гости и термодинамики деформирования [27]. Оказа- лось, что при решении этих простых задач переход от трехмерной к двумерной геометрии кристаллического пространства приводит к нескольким существенным различиям конечных результатов, на которые целесо- образно обратить внимание и учитывать их при даль- нейшем развитии и уточнениях континуальной меха- ники 2D кристаллов в целом. 4.1. Базовые уравнения теории упругости 2D кристаллов Упругие деформации в плоскости 2D кристалла можно описывать двумерным векторным полем смеще- ний 1 2( ) ( , )u u=u r или четырехкомпонентными тензор- ными полями дисторсий ( )iku r и деформаций ( ) :ikε r ( )ik i ku u= ∇r , ( )1 2ik ik kiu uε = + , i ix ∂ ∇ = ∂ , , 1, 2i k = . В теории краудионов важным является вопрос об их устойчивости по отношению к трансформациям в другие более ста- бильные конфигурации межузельного или гантельного типа, но этот вопрос будет предметом отдельного исследования. ** Мы рассматриваем здесь только макроскопические деформации вдали от границы 2D кристалла без учета относительно сла- бых искажений атомной структуры самой границы, которые описаны в разд. 2.2. Континуальное описание этих искажений в принципе возможно в терминах граничной энергии и граничного натяжения, но оно выходит за рамки данной статьи. Рис. 5. Зависимость собственной энергии дислокации εd (•) и краудиона εc (○) от размера кластера /Rn R a= (результаты компьютерного моделирования [26]). Сплошные линии — графики аналитических аппроксимаций (21) и (22). Рис. 6. Схематическое изображение однородной деформации растяжения упругого круга (а) и упругой полосы (б): P — линейная плотность деформирующих сил (напряжение) на границе плоских тел L; x10x2 — система прямоугольных ко- ординат; r = (x1, x2) — радиус-вектор точек тела; Ln — орт внешней нормали к границе L. 882 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах Обусловленные деформацией внутренние напряже- ния описываются симметричным тензорным полем ( ) ( )ik kiσ = σr r [сила/длина]. В приближении линейной теории упругости статическое состояние деформиро- ванного тела, ограниченного некоторым контуром L , определяется уравнениями механического равновесия, законом Гука и заданием на границе и внутри тела распределения деформирующих сил [1]: ( ) ( )k ik iF∇ σ = −r r , (7) ( ) ( )ik iknm nmσ = λ εr r , (8) ( ) ( )L L L ik k in Pσ =r r . (9) Здесь Lr и Ln — соответственно радиус-вектор то- чек границы L и орт внешней нормали к ней, ( )F r [си- ла/длина2] и ( )LP r [сила/длина] — соответственно двумерная плотность внешних сил внутри тела и од- номерная плотность таких сил на границе, iknmλ — тензор модулей упругости, а по повторяющимся коор- динатным индексам подразумевается суммирование. Значения компонент тензора iknmλ [сила/длина] зави- сят от симметрии и геометрических параметров неде- формированной кристаллической решетки ( ),nR а также от характеристик потенциала межатомного взаимодей- ствия [1]. Для 2D кристаллов с изотропными упругими свойствами этот тензор имеет две независимые компо- ненты. Используя двумерные аналоги коэффициентов Ламэ λ и µ, можно представить тензор iknmλ в виде ( )iknm ik nm in km im knλ = λδ δ +µ δ δ + δ δ , (10) где ikδ — символ Кронекера ( 11 22 2nnδ = δ + δ = ). В кристаллографической системе координат (рис. 1) 1122λ = λ и 1212λ = µ. При решении ряда задач теории упругости целесо- образно полную деформацию разделять на деформа- цию всестороннего растяжения (сжатия) и чистого сдвига [27]. В теории упругости изотропных 2D кри- сталлов в некоторых случаях удобно использовать в качестве модулей упругости параметры µ и K = λ +µ , а закон Гука (8) представить в виде двух эквивалент- ных соотношений: 12 ( ) 2ik nn ik ik nn ikKσ = ε δ + µ ε − ε δ , (11) 1 1 1( ) 4 2 2ik nn ik ik nn ikK ε = σ δ + σ − σ δ µ . (12) Приведем также формулы, которые определяют связь двумерной плотности энергии упругой деформа- ции (упругой составляющей свободной энергии) с ло- кальными значениями тензора деформации и тензора напряжений: 2 21 1 1 2 2 2ik ik iknm ik nm nn ikU = σ ε = λ ε ε = λε +µε = 2 21 1( ) 2 2nn ik nn ikK= ε +µ ε − ε δ = 2 21 1 1( ) 8 4 2nn ik nn ikK = σ + σ − σ δ µ . (13) С помощью соотношений (11) и (12) легко получить решение интересующих нас задач о деформации круга и полосы (рис. 6). 4.2. Растяжение упругого круга и полосы При деформации круга однородными радиальными напряжениями на его границе ( ) L ik ikPσ = δr и в от- сутствие внешних сил внутри круга ( ) 0≡F r (рис. 6(а)) решением уравнения равновесия (7) является однородное распределение деформаций и напряжений ( ) 2 ( ) ik ik ikK Pσ = ε = δr r , 1( ) nn K P−ε =r . (14) При продольном растяжении 2D кристаллической полосы (рис. 6(б)) отсутствие сил на боковых границах, где (0, 1)L = ±n , эквивалентно равенству нулю компо- нент тензора напряжений 12 ( ) 0Lσ =r и 22 ( ) 0Lσ =r на этих границах. На торцевых границах, где ( 1,0)L = ±n , отлична от нуля только компонента 11( )L Pσ =r . Со- гласно соотношениям (11) и (12), этим условиям и уравнению равновесия (7) удовлетворяют однородные поля деформаций и напряжений: 11( ) Pσ =r , 22 ( ) 0σ =r , 12 ( ) 0σ =r , (15) 11( ) 4 K P K +µ ε = µ r , 22 ( ) 4 K P K −µ ε = − µ r , 12 ( ) 0ε =r . 4.3. Соотношения между коэффициентами упругости для изотропных 2D кристаллов Полученные выше решения двух простых задач о де- формации плоских кристаллических тел позволяют вы- яснить физический смысл нескольких характеристик уп- ругих свойств 2D кристаллов и получить соотношения между ними, полезные при решении множества других более сложных задач. Формулы (14) описывают дефор- мацию всестороннего растяжения ( 0)P > или сжатия ( 0)P < 2D кристалла, следовательно, параметр K имеет смысл двумерного аналога коэффициента всестороннего расширения-сжатия. Очевидно, что при деформации чис- того сдвига, когда 0nnσ ≡ и 0nnε ≡ , отличные от нуля недиагональные компоненты деформаций и напряжений связаны соотношением 12 122σ = µε , т.е. параметр µ имеет смысл двумерного аналога модуля сдвига. Формулы (15), описывающие продольное растяже- ние ( 0)P > или сжатие ( 0)P < упругой полосы, позво- ляют обсудить еще две важные характеристики упруго- сти 2D кристаллов — двумерные аналоги коэффициента Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 883 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан продольного растяжения-сжатия (модуля Юнга) E и коэффициента Пуассона ν, который характеризует со- отношение между продольным растяжением 11ε и попе- речным сжатием 22ε . В результате получаем 11 11 4 4 ( ) 2 KE K σ µ µ λ +µ = = = ε +µ λ + µ , 22 11 , 2 K K ε −µ λ ν = − = = ε +µ λ + µ . 4nn P EK E µ = = = λ +µ ε µ − (16) Отсюда также следуют соотношения: 21 Eν λ = − ν , 2(1 ) E µ = + ν , 1 2(1 ) 1 EK + ν = = µ −ν − ν . (17) Для термодинамически устойчивых кристалличе- ских структур 0K ≥ и 0µ ≥ , поэтому коэффициент Пуассона 2D кристалла может изменяться в пределах* 1 1.− ≤ ν ≤ Для 2D кристаллов с центрально-симметричным взаимодействием атомов λ = µ [1,3], а коэффициент Пуассона, модуль Юнга и коэффициент всестороннего растяжения имеют значения 1 3 ν = , 8 3 E = µ, 2K = µ. (18) Сравнение формул (11)–(18), описывающих упругие свойства 2D кристаллов, с соответствующими формула- ми для 3D кристаллов [15,27] показывает, что «двумер- ные» коэффициенты упругости , , ,K Eλ µ (размерность [сила/длина]) отличаются от их «трехмерных» аналогов (размерность [сила/длина2]) не только размерностью, но и видом этих формул. Что же касается безразмерного коэффициента Пуассона ν, то переход от двумерного к трехмерному кристаллическому пространству сущест- венно изменяет интервал его возможных значений (в 3D кристаллах 1 1/ 2− ≤ ν ≤ ) и значение, соответствующее центрально-симметричному взаимодействию (для таких 3D кристаллов 1/ 4ν = [12]). 5. Континуальное описание дислокации и краудиона в упругом круге В континуальной механике 2D кристалла статиче- ские упругие деформации, обусловленные дислокация- ми и краудионами, описываются системой уравнений и граничных условий (7)–(9) вместе с еще одним уравне- нием, которое определяет связь тензора упругих дис- торсий iku с топологическими зарядами дефектов [2–4]: ,( ) ( )d c nk k ni iu∈ ∇ = αr r , (19) ( ) ( )d d= δr b r - rα , n( ) ( )c с i kn kiSα =∈ ∇ δr r - r , qb=b e, ik i kS qSe e= . (20) Здесь nk∈ — единичный антисимметричный тензор ( 11 22 0∈ =∈ = , 12 1∈ = , 21 1∈ = − ), b и S — вектор Бюргерса и площадь элементарной ячейки, e — орт линии сколь- жения, 1q = ± — знак дефекта, ,d cr — радиус-векторы центров дефектов. Векторный b и тензорный ikS пара- метры играют роль многокомпонентных топологиче- ских зарядов дислокации и краудиона соответственно, а , ( )d c rα — векторные поля двумерных плотностей этих зарядов. Связь топологических зарядов дефектов с кри- сталлогеометрическими характеристиками иллюстриру- ет рис. 4. Решения уравнений (7)–(9) и (19), а также поля уп- ругих деформаций , ( )d c ikε r и напряжений , ( )d c ikσ r во- круг центров отдельных дефектов в бесконечном изо- тропном 2D кристалле получены в работе [3]. В ней также отмечены и обсуждены специфические трудно- сти, возникающие в континуальной теории при вычис- лении собственной энергии таких дефектов ,d cε путем подстановки полей , ( )d c ikε r в формулы (13) и интегри- ровании плотности упругой энергии по площади 2D кристалла: для дефектов обоих типов возникает нефи- зическая расходимость интеграла энергии при ,d c=r r и необходимость вводить в теорию эффективные ра- диусы ядер дефектов ,d cr для ее устранения. В случае дислокации в бесконечном кристалле возникает также расходимость на больших расстояниях от ее центра. В кристалле конечных размеров необходимо учитывать при вычислении полей деформаций и напряжений наличие границы. Обсудим указанные трудности более детально и сравним результаты вычислений энергии дефектов в 2D кристалле конечных размеров как методами атомно- решеточной механики (моделирование в разд. 3), так и аналитическими методами континуальной механики. Рассмотрим изотропный кристаллический круг ра- диуса R со свободной границей L и предположим, что в нем созданы дислокация или краудион, а центры этих дефектов совмещены с центром круга. Будем использо- вать систему прямоугольных декартовых координат 1 20x x и обозначим символом Ln орт внешней нормали к его границе ( LR=R n ). Создаваемые дефектами уп- ругие поля описываются решениями системы уравне- ний (7) и (19) в отсутствие сторонних сил ( ( ) 0≡F r и ( ) 0)≡P r и должны удовлетворять граничным услови- ям ( ) 0L ik knσ =R . Анализ этих уравнений показывает, что они формаль- но совпадают с уравнениями, описывающими плоское деформированное состояние в теории упругости 3D изотропной среды [15,17]. В частности, выражения для * Возможность реализации как 3D, так и 2D упругих систем с отрицательными значениями 0ν < (или 0λ < ) вызывает со- мнения [27]. 884 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах упругих полей дислокации в 2D среде формально сов- падают с выражениями для упругих полей прямоли- нейной бесконечной краевой дислокации в 3D среде в плоскости, которая перпендикулярна линии дислока- ции, если совпадают их векторы Бюргерса b и для обе- их сред тензор модулей упругости iknmλ определяется формулой (10). Кроме того, в теории упругости изотропных 3D кристаллов решена задача о распределении поля на- пряжений вокруг линии прямолинейной краевой дис- локации, расположенной на оси бесконечно протяжен- ного цилиндра с конечным радиусом R и свободной боковой поверхностью [17]. Это решение — конкрет- ный пример плоского деформированного состояния, который можно использовать и для решения интере- сующей нас задачи о дислокации в упругом изотроп- ном круге, если рассматривать этот круг как попереч- ное сечение цилиндра, а точку дислокации в центре круга как след дислокационной линии в цилиндре. Ис- пользуя изложенные выше соображения и приведен- ные в [17] формулы, можно установить вид асимпто- тики энергии дислокации в круге по параметру / ,dr R где dr — эффективный радиус ядра дислокации: 22( ) ln 2 ( 2 ) d d d d rb R r R   µ λ +µ   ε = + γ   π λ + µ      , dR r>> . (21) В этой формуле dr и dγ — феноменологические па- раметры континуальной теории. Параметр dr вводится в теорию как расстояние от центра дислокации, на ко- тором описание создаваемого ею сингулярного поля деформаций нельзя считать корректным (по порядку величины ).dr b≈ Для дислокации в 2D кристалле плотность упругой энергии 2 2( ) /U r b r∝ , и ее интег- рирование по площади круга дает логарифмический вклад в dε . Безразмерный параметр dγ характеризует добавку по малому параметру 2( / )dr R (при )dR r>> к энергии дислокации. Краудион в 2D кристалле как источник упругой де- формации эквивалентен дислокационному диполю с топологическим зарядом 2S b≈ [2,3], и для него плот- ность упругой энергии 2 4( ) /U r S r∝ . Поэтому глав- ный вклад в энергию краудиона cε дает интегрирова- ние в области его ядра на расстояниях cr b≈ от центра, а остальная область кристаллического круга дает ма- лую поправку порядка 2/S R : 2 2 2 2 ( )(4 5 ) 1 4 ( 2 ) c c c S r R  γµ λ +µ λ + µ ε = −  π λ + µ    , R S b>> ≈ . (22) Здесь, как и в формуле (21), эффективный размер ядра дефекта cr b≈ и безразмерный коэффициент cγ являются феноменологическими параметрами конти- нуальной теории. Количественную неопределенность параметров континуальной теории ,d cr и ,d cγ можно устранить, сопоставляя формулы (21) и (22) и результаты компь- ютерного моделирования дефектов в 2D кристаллах ограниченных размеров, полученные в разд. 3. Для рассмотренного там кристалла с центрально- симметричным взаимодействием атомов коэффициен- ты Ламэ λ = µ и согласно (4) связаны с параметрами потенциала (1) соотношениями 0 2 0 35,848 r ε λ = µ ≈ , (23) а параметры b a= и 23 / 2S a= определяются соот- ношениями (3). В результате для коэффициентов перед квадратными скобками в формулах (21) и (22) получа- ем численные значения: 2 0 ( ) 3,73 2 ( 2 ) bµ λ +µ ≈ ε π λ + µ , 2 2 0 02 ( )(4 5 ) 4,11 4 ( 2 ) S rµ λ +µ λ + µ ≈ ε π λ + µ . (24) Аппроксимация по методу наименьших квадратов результатов моделирования, приведенных на рис. 5, формулами (21) и (22) позволила получить следующие значения феноменологических параметров: 01,52 1,52rdr a≈ ≈ , 0, 27dγ ≈ , 00,6 0,6rcr a≈ ≈ , 7, 4.cγ ≈ (25) Заключение В заключение еще раз уместно вспомнить о разнооб- разном и весьма значительном вкладе А.М. Косевича в исследование физико-механических свойств кристалли- ческих систем и о том, какое внимание он постоянно уделял в этих исследованиях выявлению и анализу свя- зи свойств кристаллов с размерностью и геометрией кристаллического пространства. В данной публикации мы попытались продемонстрировать эффективность такого подхода на примере изучения нескольких про- стых задач механики двумерного кристалла. Данная работа была выполнена с использованием вычислительных ресурсов грид-кластера ILTPE — Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина Национальной академии наук Ук- раины, Харьков. Авторы искренне признательны А.С. Ковалеву за интерес к работе и полезные дискуссии. ________ 1. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 39, 690 (2013) [Low Temp. Phys. 39, 534 (2013)]. 2. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 40, 1366 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 1063 (2014)]. 3. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 41, 271 (2015) [Low Temp. Phys. 41, 207 (2015)]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 885 https://doi.org/10.1063/1.4811257 https://doi.org/10.1063/1.4811257 https://doi.org/10.1063/1.4903999 https://doi.org/10.1063/1.4903999 https://doi.org/10.1063/1.4916387 https://doi.org/10.1063/1.4916387 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, В.И. Белан 4. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 42, 268 (2016) [Low Temp. Phys. 42, 207 (2016)]. 5. А.М. Косевич, Физическая механика реальных кристаллов, Наукова думка, Киев (1981). 6. А.М. Косевич, Теория кристаллической решетки (физическая механика кристаллов), Вища шк., Изд-во при ХГУ, Харьков (1988). 7. К.С. Новоселов, УФН 181, 1299 (2011). 8. Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, Мир, Москва (1990), т. 2. 9. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская, Основы кристаллофизики, Наука, Москва (1979). 10. А. Келли, Г. Гровс, Кристаллография и дефекты в кристаллах, Мир, Москва (1974). 11. Р.В. Галиулин, Кристаллографическая геометрия, Наука, Москва (1984). 12. Г. Лейбфрид, Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов, Гос. изд.-во физ.-мат. лит., Москва (1963). 13. С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко, Збірник наукових праць міжнародної науково-практичної конференції «Структурна релаксацiя у твердих тiлах», ТОВ «Планер», Вiнниця, (2006), c. 261. 14. Дж. Эшелби, Континуальная теория дислокаций, Изд-во ин. лит., Москва (1963). 15. Дж. Хирт, И. Лоте, Теория дислокаций, Атомиздат, Москва (1972). 16. А.М. Косевич, Дислокации в теории упругости, Наукова Думка, Киев (1978). 17. К. Теодосиу, Упругие модели дефектов в кристаллах, Мир, Москва (1985). 18. H. Gould, J. Tobochnik, and W. Christian, An Introduction to Computer Simulation Methods: Applications to Physical Systems, Addison–Wesley, San Francisco (2007). 19. В.И. Белан, А.И. Ландау, ФНТ 36, 456 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 360 (2010)]. 20. W. Kahan, Communications of the ACM 8, 40 (1965). 21. А.С. Антонов, Параллельное программирование с использованием технологии MPI, МГУ, Москва (2004). 22. A.L. Kolesnikova, T.S. Orlova, I. Hussainova, and A.E. Romanov, Physics of the Solid State 56(12), 2573 (2014). 23. A.L. Kolesnikova, M.Yu. Gutkin, and A.E. Romanov, Rev. Adv. Mater. Science 51, 130 (2017). 24. М.А. Rozhkov, А.L. Kolesnikova, I.S. Yasnikov, and А.Е. Romanov, Fiz. Nizk. Temp. (2018), to be published. 25. A.I. Landau, A.S. Kovalev, and A.D. Kondratyuk, Phys. Status Solidi B 179, 373 (1993). 26. V.I. Belan, L.F. Belous, G.E. Grechnev, E.S. Zarudnev, V.G. Zobnina, A.Yu. Ivanov, V.A. Karachevtsev, M.V. Kosevich, Yu.V. Rubin, V.V. Slavin, S.N. Smirnov, S.G. Stepanian, and V.V. Chagovets, Collection of Scientific Papers International Conference “Parallel and Distributed Computing Systems” (PDCS 2013), Kharkiv, Ukraine (2013), p. 32. 27. Л.Д. Ландау, И.М. Лифшиц, Теория упругости, Наука, Москва (1965). ___________________________ Computer simulation and analytic description of the structural defects in two-dimensional limited in size crystals: free boundary, dislocations, crowdions V.D. Natsik, S.N. Smirnov, and V.I. Belan 2D limited in size crystals being generated of atoms with centrally symmetric interatomic interaction (the Lennard-Jones potential) were discussed. The atomic structure of approximately circular clusters of na- nometer scale radius was established by molecular dy- namics methods. The deviations of the atomic config- urations from the perfect lattice of 2D crystal caused by both free boundary of cluster and interstitial defects in its centre (dislocation and crowdion) were investi- gated. The self energy of these defects was evaluated; their dependences on the cluster radius and the param- eters of the interatomic interaction potential were ana- lyzed. The features of homogeneous elastic defor- mation of 2D crystalline circle and band as compared to the deformation of 3D crystalline sphere and rod were described by continual mechanics methods. The two-dimensional analogues of fundamental elastic characteristics (modulus of compression, Young mod- ulus, shear modulus, Poisson's ratio and their relation- ship with Lamé coefficients) were discussed. The de- pendences of the listed parameters of elasticity on the parameters of the interatomic interaction potential were established as well as the estimates of the effec- tive core sizes of dislocation and crowdion were ob- tained. PACS: 02.70.Ns Molecular dynamics and particle methods; 07.05.Tp Computer modeling and simulation; 61.72.Bb Theories and models of crystal de- fects; 61.72.J– Point defects and defect clusters. Keywords: molecular dynamics computer simulation, two-dimensional crystals, moduli of elasticity, disloca- tions, crowdions, microscopic defect models, topolog- ical charge of defect, self energy of defects. 886 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 7 https://doi.org/10.1063/1.4945583 https://doi.org/10.1063/1.4945583 https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201112f.1299 https://doi.org/10.1063/1.3388846 https://doi.org/10.1063/1.3388846 https://doi.org/10.1145/363707.363723 https://doi.org/10.1134/S1063783414120166 https://doi.org/10.1002/pssb.2221790212 https://doi.org/10.1002/pssb.2221790212 1. Введение 2. Равновесная структура бесконечного идеального 2D кристалла и атомные конфигурации нанокластеров со свободными границами 2.1. Геометрические и энергетические параметры бесконечного кристалла 2.2. Методы и результаты моделирования равновесной атомной структуры в кластере 3. Моделирование атомных конфигураций 2D кластеров с дислокациями и краудионами 4. Континуальное описание деформации 2D кристаллов ограниченных размеров 4.1. Базовые уравнения теории упругости 2D кристаллов 4.2. Растяжение упругого круга и полосы 4.3. Соотношения между коэффициентами упругости для изотропных 2D кристаллов 5. Континуальное описание дислокации и краудиона в упругом круге Заключение

Компьютерное моделирование и аналитическое описание дефектов структуры в двумерных кристаллах ограниченных размеров: свободная граница, дислокации, краудионы

Репозитарії

Схожі ресурси