Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях

Рассчитан электронный спектр анизотропного вейлевского полуметалла (ВП) в скрещенных магнитном и электрическом полях. Показано, что электрическое поле приводит к кардинальной перестройке зон Ландау. При некотором значении электрического поля происходит полный коллапс уровней Ландау, однако движение...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Алисултанов, З.З., Мусаев, Г.М., Арсланбекова, М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Электронные свойства проводящих систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176278
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях / З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1733-1739. — Бібліогр.: 52 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-176278
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1762782021-02-05T01:26:26Z Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях Алисултанов, З.З. Мусаев, Г.М. Арсланбекова, М.М. Электронные свойства проводящих систем Рассчитан электронный спектр анизотропного вейлевского полуметалла (ВП) в скрещенных магнитном и электрическом полях. Показано, что электрическое поле приводит к кардинальной перестройке зон Ландау. При некотором значении электрического поля происходит полный коллапс уровней Ландау, однако движение вдоль магнитного поля не исчезает в отличие от изотропного случая. Получены аналитические выражения для квантовой электроемкости в случаях слабого и сильного электрического полей. Предсказан новый фазовый переход между фазами ВП I и II типов, индуцированный электрическим полем. При значении электрического поля, соответствующего такому переходу, плотность состояний имеет особенность, как это и должно быть для фазовых переходов типа Лифшица. Используя подход Фальковского, показано, что фаза Берри для анизотропного ВП с наклонным спектром вблизи вейлевской точки равна π. Тогда квазиклассический подход приводит точно к такому же спектру, что и микроскопический. Розраховано електронний спектр анізотропного вейлівського напівметалу (ВН) у схрещених магнітному та електричному полях. Показано, що електричне поле призводить до кардинальної перебудови зон Ландау. При деякому значенні електричного поля відбувається повний колапс рівнів Ландау, однак рух уздовж магнітного поля не зникає на відміну від ізотропного випадку. Отримано аналітичні вирази для квантової електроємності у випадках слабкого та сильного електричного полів. При значенні електричного поля, яке відповідне такому переходу, щільність станів має особливість, як це і повинно бути для фазових переходів типу Ліфшиця. Використовуючи підхід Фальковського, показано, що фаза Беррі для анізотропного ВН з похилим спектром поблизу вейлівської точки дорівнює π. Тоді квазікласичний підхід призводить точно до такого ж спектру, що й мікроскопічний. We calculated the electron spectrum of an anisotropic Weyl semimetal (WSM) in crossed magnetic and electric fields. We have shown that the electric field leads to a cardinal rearrangement of the Landau bands. At a some value of the electric field, a complete collapse of the Landau levels occurs, but the motion along the magnetic field does not vanish, in contrast to the isotropic case. We obtained analytical expressions for the quantum electric capacity in cases of weak and strong electric fields. We predicted a new phase transition between the phases of type I and type II of WSMs induced by an electric field. When the value of the electric field corresponds to such a transition, the density of states has a singularity, as it should be for phase transitions of the Lifshitz type. Using Falkowsky approach, we showed that the Berry phase for an anisotropic VP with an inclined spectrum near the Weyl point is equal to π. Then the quasiclassical approach leads exactly to the same spectrum as the microscopic one. 2018 Article Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях / З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1733-1739. — Бібліогр.: 52 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.10.Ca, 71.70.Di, 71.10.Hf http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176278 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем
spellingShingle	Электронные свойства проводящих систем Электронные свойства проводящих систем Алисултанов, З.З. Мусаев, Г.М. Арсланбекова, М.М. Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях Физика низких температур
description	Рассчитан электронный спектр анизотропного вейлевского полуметалла (ВП) в скрещенных магнитном и электрическом полях. Показано, что электрическое поле приводит к кардинальной перестройке зон Ландау. При некотором значении электрического поля происходит полный коллапс уровней Ландау, однако движение вдоль магнитного поля не исчезает в отличие от изотропного случая. Получены аналитические выражения для квантовой электроемкости в случаях слабого и сильного электрического полей. Предсказан новый фазовый переход между фазами ВП I и II типов, индуцированный электрическим полем. При значении электрического поля, соответствующего такому переходу, плотность состояний имеет особенность, как это и должно быть для фазовых переходов типа Лифшица. Используя подход Фальковского, показано, что фаза Берри для анизотропного ВП с наклонным спектром вблизи вейлевской точки равна π. Тогда квазиклассический подход приводит точно к такому же спектру, что и микроскопический.
format	Article
author	Алисултанов, З.З. Мусаев, Г.М. Арсланбекова, М.М.
author_facet	Алисултанов, З.З. Мусаев, Г.М. Арсланбекова, М.М.
author_sort	Алисултанов, З.З.
title	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
title_short	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
title_full	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
title_fullStr	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
title_full_unstemmed	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
title_sort	квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Электронные свойства проводящих систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176278
citation_txt	Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях / З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 12. — С. 1733-1739. — Бібліогр.: 52 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT alisultanovzz kvantovyeoscillâciivanizotropnomvejlevskompolumetallevskreŝennyhmagnitnomiélektričeskompolâh AT musaevgm kvantovyeoscillâciivanizotropnomvejlevskompolumetallevskreŝennyhmagnitnomiélektričeskompolâh AT arslanbekovamm kvantovyeoscillâciivanizotropnomvejlevskompolumetallevskreŝennyhmagnitnomiélektričeskompolâh
first_indexed	2025-07-15T14:02:22Z
last_indexed	2025-07-15T14:02:22Z
_version_	1837721866163191808
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12, c. 1733–1739 Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях З.З. Алисултанов1,2, Г.М. Мусаев2, М.М. Арсланбекова2 1Институт физики им. Х.И. Амирханова ДНЦ РАН, Махачкала 2Дагестанский государственный университет, Махачкала E-mail: zaur0102@gmail.com Статья поступила в редакцию 22 апреля 2017 г., после переработки 1 июня 2017 г., опубликована онлайн 25 октября 2017 г. Рассчитан электронный спектр анизотропного вейлевского полуметалла (ВП) в скрещенных магнит- ном и электрическом полях. Показано, что электрическое поле приводит к кардинальной перестройке зон Ландау. При некотором значении электрического поля происходит полный коллапс уровней Ландау, од- нако движение вдоль магнитного поля не исчезает в отличие от изотропного случая. Получены аналити- ческие выражения для квантовой электроемкости в случаях слабого и сильного электрического полей. Предсказан новый фазовый переход между фазами ВП I и II типов, индуцированный электрическим по- лем. При значении электрического поля, соответствующего такому переходу, плотность состояний имеет особенность, как это и должно быть для фазовых переходов типа Лифшица. Используя подход Фальков- ского, показано, что фаза Берри для анизотропного ВП с наклонным спектром вблизи вейлевской точки равна π. Тогда квазиклассический подход приводит точно к такому же спектру, что и микроскопический. Розраховано електронний спектр анізотропного вейлівського напівметалу (ВН) у схрещених магніт- ному та електричному полях. Показано, що електричне поле призводить до кардинальної перебудови зон Ландау. При деякому значенні електричного поля відбувається повний колапс рівнів Ландау, однак рух уздовж магнітного поля не зникає на відміну від ізотропного випадку. Отримано аналітичні вирази для квантової електроємності у випадках слабкого та сильного електричного полів. При значенні електрич- ного поля, яке відповідне такому переходу, щільність станів має особливість, як це і повинно бути для фазових переходів типу Ліфшиця. Використовуючи підхід Фальковського, показано, що фаза Беррі для анізотропного ВН з похилим спектром поблизу вейлівської точки дорівнює π. Тоді квазікласичний підхід призводить точно до такого ж спектру, що й мікроскопічний. PACS: 71.10.Ca Электронный газ, газ Ферми; 71.70.Di Уровни Ландау; 71.10.Hf Не ферми-жидкостные основные состояния, электронные фазовые диаграммы и фазо- вые переходы в модельных системах. Ключевые слова: квантовые осцилляции, анизотропный вейлевский полуметалл, уровни Ландау, фаза Берри. 1. Введение В настоящее время благодаря своим уникальным свойствам топологические материалы считаются пер- спективными для будущей электроники. Особый инте- рес представляют системы с точками Дирака [1–5], Вей- ля [6–10], а также с более вырожденными точками [11] и даже целыми линиями вырождения [12–16] в зоне Бриллюэна. Майорановские частицы в топологических материалах предсказаны в работах [17,18]. Безмассовые фермионы в таких системах обладают топологической защитой [19], что приводит к квантово-электродина- мическим эффектам, многие из которых известны из фи- зики высоких энергий [20]. Однако есть и принципиально новые эффекты. Недавно были предложены вейлевские полуметал- лы нового типа [21–24] (II типа ВП) с сильным нару- шением лоренц-инвариантности, которые долго игно- © З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова, 2017 mailto:zaur0102@gmail.com З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова рировались квантовой теорией поля. Теоретически было показано, что WTe2 также является системой фермио- нов нового типа. Такие материалы уже открыты экспе- риментально [25]. А совсем недавно были предложены ВП III и IV типов [26], которые относятся к взаимодей- ствующим системам. В настоящей работе исследованы зоны Ландау и квантовые осцилляции в анизотропных ВП в скре- щенных магнитном и электрическом полях. Такое ис- следование в полупроводнике, описываемом урав- нением Дирака, проведено в [27], а в графене — в работах [28–33]. В скрещенных полях дираковские ма- териалы проявляют интересные особенности, связан- ные с неквадратичностью спектра. В нерелятивистских материалах, где энергетический спектр является пара- болическим, циклотронная масса не зависит от энер- гии. Действительно, в рамках квазиклассической тео- рии, циклотронная масса определяется как 1( ) (2 )сm d d−ε = π εS , где ( )εS — площадь сечения поверхности, заключен- ной внутри изоэнергетической траектории ( )pε = ε в импульсном пространстве. Для спектра 2 ( ) 2p p mε = получаем сm m= . Следовательно, в этом случае прило- женное электрическое поле не будет влиять на цикло- тронную частоту, а соответственно, и на уровни Лан- дау. В дираковских материалах энергетический спектр линейный, что приводит к зависимости циклотронной массы от энергии. Это означает, что циклотронная масса, а следовательно, и уровни Ландау будут зависеть от элек- трического поля. Например, для графена ( )p pε  , сле- довательно, сm ε . Такая зависимость приводит к воз- можности управления диамагнетизмом дираковских систем с помощью электрического поля. В работах [34–36] исследовались уровни Ландау в ВП I и II типов в скрещенных магнитном и электриче- ском полях. К этим работам мы отсылаем читателя для получения более подробной информации о подходе, используемом здесь, и анализе некоторых особенно- стей рассматриваемой системы. В настоящей работе будем руководствоваться двумя подходами: микроско- пическим, основанным на преобразованиях Лоренца, и квазиклассическим. Будет показано, что оба подхода дают абсолютно одинаковый результат. Кроме того, в работе подробно исследованы осцилляции плотности состояний. 2. Уровни Ландау в скрещенных полях В ВП II типа дираковский конус образуется при пе- рекрытии электронных и дырочных ферми-карманов. В этом случае спектр становится наклонным. Такие на- клонные спектры в случае графена рассматривались в работе [37]. Будем использовать модель из [37], чтобы описать спектр анизотропного ВП ˆ z z zp p⊥ ⊥ ⊥ ⊥= υ σ + υ σ +ω +ωp p   H , (1) где p — импульс вблизи вейлевских точек: =p ( )= −k k + и ( )−= −p k k . При 2 2υ > ω гамильтониан (1) описывает анизотропный ВП с наклонным спектром, который и рассматривается в настоящей работе. Наобо- рот, ситуация, когда 2 2υ < ω соответствует случаю ВП I типа, гамильтониан (1) дает следующее выражение для энергетического спектра: 2 2 2 2 2( )z z x yp p p p⊥ ⊥ ⊥ε = ω +ω ± υ + υ +p   . (2) Такой гамильтониан защищен от появления щели, т.е. вейлевские точки устойчивы. Действительно, воз- мущение в виде единичной матрицы (например, элек- трическое поле) приводит лишь к смещению энергии точки Вейля: 0 0 ˆ ˆ IU E E U= + ⇒ = +H H . С другой сто- роны, возмущение в виде матрицы Паули приводит к смещению энергии и компонент импульсов, соответст- вующих точке Вейля: ˆ ˆ , .zz z UU U UU E E p⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ω ω = +σ ⇒ = + + − −  υ υ υ υ  p    H H Ни в одном из перечисленных случаев в спектре не открывается щель. В присутствии магнитного и электрического полей ( )e c A⊥ ⊥→ +p p и ˆ ˆ eEy→ +H H , где мы выбрали сле- дующие направления полей: = (0, 0, )HH , =E = (0, , 0)E . Используя калибровку Ландау, запишем гамильтониан в виде ˆ x x y y z z ep Hy p p c⊥ ⊥  = υ σ − + υ σ + υ σ +     H x z ep E H y p c⊥ ⊥  + ω + −ω +ω     , (3) где мы для простоты расчетов используем приближение ( , 0, )⊥ω = ω ω  . Тогда стационарное волновое уравне- ние может быть записано следующим образом: ˆ ( )x zp p⊥ψ = ε −ω −ω ψ  H , (4) где ˆ x x y y ep Hy p c⊥ ⊥  = υ σ − +υ σ +    H z z Hp e E y c⊥  + υ σ + −ω     (5) есть аналог гамильтониана для ВП I типа в скрещен- ных магнитном H и электрическом HE E c⊥= −ω по- лях. Чтобы решить волновое уравнение с гамильто- нианом (5), перейдем в движущуюся со скоростью cE H систему отсчета. Этот переход осуществляется с помощью следующих преобразований Лоренца [28,34]: 1734 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях p g pν νµ µ=  , (6) ch sh 0 0 sh ch 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 gνµ θ θ   θ θ =       (7) где , , ,t x y zν = , 0th cE H⊥ ⊥θ = υ = υ υ ≡ β  . В новых переменных (6) волновое уравнение для гамильтониа- на (5) запишется в виде ˆ ˆ ˆ 0.x x y y z z ep Hy p p c⊥ ⊥   −ε + υ σ − + υ σ + υ σ ψ =            (8) где 21H H= −β , а ε — собственное значение га- мильтониана (5). Решение уравнения (8) дает следую- щий спектр: 2 2 2 2 2 2 , sgn( ) 2 1 . zn p H zn l n p− ⊥ε = υ −β + υ      (9) Применяя обратные преобразования Лоренца (7), окончательно получаем ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 2 2 2 , , sgn 2 1 1 . x zn p p H z x z n l n p Ec p p H − ⊥ε = υ −β + υ −β + + +ω    (10) Рассмотрим некоторые специальные случаи. Для нулевого уровня Ландау мы имеем 2 0, , 1 , x z z x zp p Ep c p p H ±ε = ±υ −β + +ω   (11) где знаки ± соответствуют различным точкам Вейля. Если электрическое поле равно 2 21 ,HE c ⊥ ⊥  ω = υ − +ω  υ     (12) то получаем, что 0, , 2 x z x zp p Ec p p H +ε = + ω  и 0, ,x zp p x Ec p H −ε = . Таким образом, для первой точки Вейля движение вдоль магнитного поля сохраняется, а для второй точки это движение исчезает. Это вызовет разрыв замкнутых орбит, обусловленных поверхност- ными состояниями, называемыми ферми-дугами и, следовательно, приведет к исчезновению соответст- вующих квантовых осцилляций. При ( )HE c ⊥ ⊥= ω ± υ происходит полный коллапс уровней Ландау и энерге- тический спектр становится полностью непрерывным , ,x zn p p x z Ec p p H ε = +ω  . (13) Заметим, что движение вдоль магнитного поля со- храняется, несмотря на исчезновение уровней Ландау. Это обусловлено наклоном спектра. В изотропном слу- чае этот эффект отсутствует. Кроме того, величина ( )H с⊥ ⊥ω − υ по модулю меньше, чем соответствую- щее поле, необходимое для коллапса уровней Ландау в изотропном ВП (это поле равно H с⊥υ ). В этом смысле анизотропный ВП с наклонным спектром является бо- лее подходящей системой для экспериментальной про- верки эффекта коллапса уровней Ландау. В отсутствие электрического поля выражение (10) переходит в ре- зультат работы [38]. 3. Осцилляции квантовой электроемкости Получим теперь аналитическое выражение для кван- товой электроемкости при низких температурах. На из- мерениях электроемкости, а также ее осцилляций в кван- тующем магнитном поле [39,40] основан один из экспериментальных методов изучения плотности состоя- ний. В [41] были исследованы квантовые осцилляции электроемкости многослойного графена. Квантовая элек- троемкость определяется как 2 0 ( )fC e d ∞ ∂ = − ρ ε ε ∂ε∫ , (14) где 1( ) (exp(( ) ) 1)Bf k T −ε = ε −µ + — функция распре- деления Ферми–Дирака, µ — химический потенциал. Плотность состояний в нашем случае определяется так ( ) max 2 0 ( ) 2 xp x z x z L L dp dpρ ε = × π ∫ ∫  ( ){ 2 2 2 0 0( ) ( )x x zp p p× ε − υ δ ε − υ − υ γ +ω +   0 , 1, ( ) . zx n p n p E ∞ = α=± + δ ε − υ −α   ∑ (15) Величину maxxp находим из условия вырожденно- сти уровней Ландау. Используя результат микроскопи- ческого подхода, имеем 0 x y cy p L eH < ∆ = ∆ < , (16) откуда получаем maxx yp eHL c∆ = . Применив форму- лу Пуассона 2 1 10 0 1 (0) ( ) ( ) 2Re ( )e 2 ikx n k f f n f x dx f x dx ∞ ∞∞ π = = + = +∑ ∑∫ ∫ (17) к формуле (15), получим: 0 oscρ = ρ +ρ , (18) где Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 1735 З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова ( ) 3 3 3 0 max 0 2 22 2 2 ( ) , 3(2 ) x z xL L p eE ⊥ υ ε − ε − υ ρ = π υ υ −ω         (19) ( ) 3 osc 2 2 2 2 22 2 1 (2 ) x z H L L l−⊥ υ ρ = × π υυ −ω         max 1 2 2 2 10 0 cos (1 ), xp x H k dydp k l y y ∞ = × ε π ε −∑∫ ∫  (20) где 2 2 2 2 2 2 2 1 H H l l ⊥ υ = υ υ −ω         . Чтобы рассчитать интеграл по y, воспользуемся результатом работы [42]. Тогда оконча- тельно получим osc 2 2 2 0 2 2 2 2 0 max2 1 (2 ) 2 1 cos ( ) cos . 4 4 x z H x H H k L L l k p l k l k ⊥ ∞ = υ ρ = × π πυ υ −ω  π π    × π ε−υ + − π ε +          ∑         (21) Из формул для плотности состояний видно, что при 2 21HE c ⊥ ⊥  ω = υ − +ω   υ     , когда 2 2υ = ω    , в плотности состояний имеется сингулярность. Это связано с тем, что при этом значении электрического поля происходит фазовый переход между фазами I и II вейлевского по- луметалла. Действительно, при наличии электрического поля скорость вдоль магнитного поля равна υ   , а не υ  . При условии, указанном выше, эта эффективная ско- рость становится равной ω  , что соответствует переходу к режиму вейлевского полуметалла II типа. Такой пере- ход представляет собой фазовый переход типа Лифшица [43], для которого характерно наличие особенности в плотности состояний в точке перехода. Далее, заметим, что при 0 Fυ = υ получаем osc 0ρ = . Это связано с тем, что при этом условии происходит коллапс уровней Лан- дау, исчезает орбитальное движение, а соответственно, и соответствующие квантовые осцилляции. Воспользуемся тригонометрическим соотношением: ( ) ( )2 0 max 0 max cos cos 4 4 2sin 2 4 sin ( 2) ,x x H k k k k p p l ε ε ε ε π π   π ξ + − π ξ + =        π π = ξ + ξ + ×    × π υ ε − υ  где для удобства введены обозначения 2 2 0 max( )x Hp lεξ = ε − υ  и 2 2 Hlεξ = ε  . Для слабых элек- трических полей, когда yeELµ > , cos cos 4 4 k kε ε π π   π ξ + − π ξ + ≈        ( )2 2 2 0 max2sin sin 4H x Hk l k p lπ ≈ π ε + π ευ      . (22) Таким образом, помимо осцилляций де Гааза–ван Альфена, имеется некоторая модуляция этих осцилля- ций с частотой 1 0 max(1 ) ( )xH p −∆ ∝ ευ , которая стре- мится к бесконечности при отсутствии электрического поля. Если yeELµ , то получаем 1 1cos cos 4 4 k kε ε    π ξ + − π ξ + ≈        2 2 2 0 max 1 1cos 4 2x Hk p l ≈ π υ + −     (23) Следовательно, в случае сильных электрических полей характерной энергией, определяющей период квантовых осцилляций, является величина 0 maxxpυ . При отсутствии электрического поля формула (21) да- ет результат работы [42]. Подставим теперь плотность состояний в формулу (14). При низких температурах подынтегральное вы- ражение в (14) существенно отлично от нуля лишь в окрестности точки химического потенциала. Поэтому запишем 2 2 2 ( ),ε ≈ µ + µ ε −µ (24) 2 2 0 max 0 max 0 max( ) ( ) 2( )( )x x xp p pε−υ ≈ µ−υ + µ−υ ε−µ . (25) Тогда для осциллирующей части квантовой элек- троемкости получим: 2 osc 2 22 2 10 1e (2 ) 2 x z kH L L C kl ⊥ = υ = × π π υ υ −ω ∑      cos cos sh 4 sh 4 k k k k k kµ µ  χ χπ π   × π ξ + − π ξ +    χ χ     , (26) где k Bk k Tµχ = π ξ , k Bk k Tµχ = π ξ . При получении (26) использована формула ( )22 e e e sh4ch e 1 2 i z z i z z dz dz z ∞ ∞α α −∞ −∞ πα = = πα+ ∫ ∫ . (27) Измерение квантовой электроемкости позволит не- посредственно проверить предсказанные в настоящей работе эффекты. Работа поддержана грантами: президента РФ МК- МК-2130.2017.2, РФФИ № 15-02-03311a, главы РД (грант за 2016 г.). А.З.З. искренне благодарен фонду «Династия». 1736 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях Приложение Следуя работам Лифшица и Каганова [44,45] и на- шим работам [30–33,46], применен квазиклассический подход, основанный на использовании обобщенных условий квантования Лифшица–Онсагера [47,48], в сле- дующем виде: 2 2( ) 2 ( )HA l n−ε = π + γ , (П.1) где ( )A ε — площадь сечения поверхности 0( )p pε − υ ε= , где [ ] 2 0 c EH Hυ = — средняя ско- рость дрейфа электрона перпендикулярно плоскости, в которой лежат E и H , 1 2 2γ = − χ π, где χ есть фаза Берри. Такое обобщение связано с тем, что в скрещен- ных полях сохраняется не энергия, а величина ( )ε p . Следует отметить, что в общем случае квазиклассиче- ское условие квантования (П.1) должно содержать еще зеемановское расщепление, которое при наличии спин- орбитального взаимодействия будет перенормирован- ным за счет g-фактора (см., например, [49]). Однако этими эффектами мы здесь пренебрегаем. В нашем случае E H⊥ , а 0 xc E Hυ = e , где xe есть единичный вектор вдоль оси X. Тогда 0 0 xp pυ υ= . Для спектра вблизи вейлевской точки имеем ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2* 0 * 2 2 2 0 ( ) / ( ) ( , ) . ( ) z x z z x p p A p ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ε −ω υ − υ −ω υ −υ ε = π υ − υ −ω υ   (П.2) Тогда ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 2 2 22 1 1H z zl n p p− ⊥ε = υ −β + γ + υ −β +ω    . (П.3) Покажем, что для гамильтониана (1) фаза Берри равна π, т.е. 0γ = . Для этого воспользуемся методом Фальковского из работы [50], которая была написана, кстати, задолго до опубликования известной работы Берри [51]. В [52] для ( )χ ε было получено следующее выражение: * 0 0* 0 0 ( ) Im ,x y xy dk d V dk ϕ χ ε = ϕ ϕ ϕ υ∫ (П.4) где y yV H k= ∂ ∂ — оператор скорости, 0ϕ — собст- венные функции гамильтониана. Далее воспользуемся следующим упрощением. Очевидно, что фаза Берри не должна зависеть от системы отсчета. От скорости дви- жения системы отсчета зависит только форма изоэнер- гетического контура, но не соответствующий контур- ный интеграл. Это существенно упрощает нашу задачу и позволяет сделать аналитические расчеты. В свете сказанного, в волновом уравнении с гамильтонианом (1) перейдем в движущуюся со скоростью V систему отсчета, используя преобразования Лоренца (6). Тогда, если положить V ⊥= ω , получим 0Ĥ ψ = εψ   . (П.5) 0 2 ˆ x x y y z z zH p p p p⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ω ε = υ σ + + υ σ + υ σ +ω  υ          , (П.6) где введена перенормированная скорость ⊥υ = 2 2(1 )⊥ ⊥ ⊥= υ −ω υ . Таким образом, теперь можно вме- сто гамильтониана (1) рассматривать гамильтониан 0Ĥ с собственными значениями ε 2 2 2 2 2 2 2z x y zp p p p⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ω ε ε = ω + υ + + υ + υ  υ          . (П.7) Представим собственные функции гамильтониана (П.6) в виде 2 0 x y z z p i p p p ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ω ε υ + − υ  ϕ =  υ    ε −ω − υ          . (П.8) Тогда 2 2 2 2 20 0 2 ( ) .x y z zp p p p⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ω ε ϕ ϕ = υ + +υ + ε−ω −υ  υ          (П.9) В нашем случае оператор yV дается матрицей y yV ⊥= υ σ . (П.10) 00Im ( )y z z x d V p p dp ⊥ ⊥ ϕ ϕ = υ υ ε −ω − υ       . (П.11) Функции (П.9) и (П.11) не зависят от xk . Далее имеем x ydk dA dυ = ε∫ . Действительно, по определению x yA dk dk= ∫ . С другой стороны, ( )y ydk d k= ε ∂ε ∂ = yd= ε υ . Тогда x yA d dk= ε υ∫ . Для спектра (П.7) по- лучаем 2 2 2( ) ( , ) z z z p p A p ⊥ ⊥ ε −ω − υ ε = π υ υ         . (П.12) Используя формулы (П.9)–(П.12), нетрудно показать, что χ = π. Тогда квазиклассическое выражение (П.3) превращается в точное решение. 1. Zh. Wang, Y. Sun, X.-Q. Chen, C. Franchini, G. Xu, H. Weng, X. Dai, and Zh. Fang, Phys. Rev. B 85, 195320 (2012). 2. Z.K. Liu, B. Zhou, Y. Zhang, Z.J. Wang, H.M. Weng, D. Prabhakaran, S.-K. Mo, Z.X. Shen, Z. Fang , X. Dai, Z. Hussain, and Y.L. Chen, Science 343, 864 (2014). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 1737 З.З. Алисултанов, Г.М. Мусаев, М.М. Арсланбекова 3. S. Borisenko, Q. Gibson, D. Evtushinsky, V. Zabolotnyy, B. Büchner, and R.J. Cava, Phys. Rev. Lett. 113, 027603 (2014). 4. B.-J. Yang and N. Nagaosa, Nat. Commun. 5, 4898 (2014). 5. Su-Yang Xu, Ch. Liu, S.K. Kushwaha, R. Sankar, J.W. Krizan, I. Belopolski, M. Neupane, G. Bian, N. Alidoust, T.-R. Chang, H.-T. Jeng, Ch.-Y. Huang, W.-F. Tsai, H. Lin, P.P. Shibayev, F.-C. Chou, R.J. Cava, and M. Zahid Hasan, Science 347, 294 (2015). 6. O. Vafek and A. Vishwanath, Ann. Rev. of Condens. Matter Phys. 5, 83 (2014). 7. H. Weng, C. Fang, Z. Fang, B.A. Bernevig, and Xi Dai, Phys. Rev. X 5, 011029 (2015). 8. S.-M. Huang, S.-Y. Xu, I. Belopolski, C.-Cheng Lee, G. Chang, B. Wang, N. Alidoust, G. Bian, M. Neupane, C. Zhang, S. Jia, A. Bansil, H. Lin, and M. Zahid Hasan, Nature Commun. 6, 7373 (2015). 9. S.-Y. Xu, I. Belopolski, N. Alidoust, M. Neupane, G. Bian, C. Zhang, R. Sankar, G. Chang, Z. Yuan, C.-C. Lee, S.-M. Huang, H. Zheng, J. Ma, D.S. Sanchez, B. Wang, A. Bansil, F. Chou, P.P. Shibayev, H. Lin, S. Jia, and M. Zahid Hasan, Science 349, 613 (2015). 10. B. Q. Lv, H. M. Weng, B. B. Fu, X. P. Wang, H. Miao, J. Ma, P. Richard, X. C. Huang, L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian, and H. Ding, Phys. Rev. X 5, 031013 (2015). 11. B. Bradlyn, J. Cano, Z. Wang, M.G. Vergniory, C. Felser, R.J. Cava, and B. Andrei Bernevig, Science 353, 5037 (2016). 12. T. Bzdusek, Q. Wu, A. Ruegg, M. Sigrist, and A.A. Soluyanov, Nature 538, 75 (2016). 13. C.-K. Chiu and A.P. Schnyder, Phys. Rev. B 90, 205136 (2014). 14. L.S. Xie, L.M. Schoop, E.M. Seibel, Q.D. Gibson, W. Xie, and R.J. Cava, arXiv:1504.01731. 15. R. Yu, H. Weng, Z. Fang, X. Dai, and X. Hu, Phys. Rev. Lett. 115, 036807 (2015). 16. G. Bian, T.-R. Chang, R. Sankar, S.-Y. Xu, H. Zheng, T. Neupert, Ch.-K. Chiu, S.-M. Huang, G. Chang, I. Belopolski, D.S. Sanchez, M. Neupane, N. Alidoust, C. Liu, B. Wang, C.-C. Lee, H.-T. Jeng, C. Zhang, Z. Yuan, S. Jia, A. Bansil, F. Chou, H. Lin, and M. Zahid Hasan, Nature Commun. 7, 10556 (2016). 17. R. Schaffer, E.K.-H. Lee, Y.-M. Lu, and Y.B. Kim, Phys. Rev. Lett. 114, 116803 (2015). 18. M. Hermanns, K. O’Brien, and S. Trebst, Phys. Rev. Lett. 114, 157202 (2015). 19. P.G. Grinevich and G.E. Volovik, J. Low Temp. Phys. 72, 371 (1988). 20. G.E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet, Clarendon Press, Oxford (2003). 21. T.-R. Chang, S-Y. Xu, G. Chang, C-C. Lee, S-M. Huang, B. Wang, G. Bian, H. Zheng, D.S. Sanchez, I. Belopolski, N. Alidoust, M. Neupane, A. Bansil, H.-T. Jeng, H. Lin, and M. Zahid Hasan, Nat. Commun. 7, 10639 (2016). 22. A.A. Soluyanov, D. Gresch, Z. Wang, Q. Wu, M. Troyer, Xi Dai, and B. Andrei Bernevig, Nature 527, 495 (2015). 23. Z.J. Wang, D. Gresch, A.A. Soluyanov, W. Xie, S. Kushwaha, X. Dai, M. Troyer, R.J. Cava, and B. Andrei Bernevig, Phys. Rev. Lett. 117, 056805 (2016). 24. Y. Sun, S.-C. Wu, M.N. Ali, C. Felser, and B. Yan Phys. Rev. B 92, 161107 (2015). 25. I. Belopolski, D.S. Sanchez, Y. Ishida, X. Pan, P. Yu, S-Y. Xu, G. Chang, T.-R. Chang, H. Zheng, N. Alidoust, G. Bian, M. Neupane, S.-M. Huang, C.-C. Lee, Y. Song, H. Bu, G. Wang, S. Li, G. Eda, Horng-Tay Jeng, T. Kondo, H. Lin, Zh. Liu, F. Song, S. Shin, and M. Zahid Hasan, Nature Commun. 7, 13643 (2016). 26. J. Nissinen and G.E. Volovik, Pis’ma v ZhETF 105, 442 (2017). 27. А.Г. Аронов, Г.Е. Пикус, ЖЭТФ 51, 505 (1966). 28. V. Lukose, R. Shankar, and G. Baskaran, Phys. Rev. Lett. 98, 116802 (2007). 29. N. Peres and E.V. Castro, J. Phys.: Condens. Matter 19, 406231 (2007). 30. З.З. Алисултанов, Письма в ЖЭТФ 99, 813 (2014). 31. З.З. Алисултанов, Письма в ЖЭТФ 99, 258 (2014). 32. Z.Z. Alisultanov and M.S. Reis, Europhys. Lett. 113, 28004 (2016). 33. Z.Z. Alisultanov and M.S. Reis, Solid State Commun. 234– 235, 26 (2016). 34. З.З. Алисултанов, Письма в ЖЭТФ 105, 437 (2017). 35. Z.-M. Yu, Y. Yao, and S.A. Yang, Phys. Rev. Lett. 117, 077202 (2016). 36. S. Tchoumakov, M. Civelli, and M.O. Goerbig, Phys. Rev. Lett. 117, 086402 (2016). 37. M.O. Goerbig, J.-N. Fuchs, G. Montambaux, and F. Piéchon, Phys. Rev. B 78, 045415 (2008). 38. Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай, ФНТ 22, 762 (1996) [Low Temp. Phys. 22, 585 (1996)]. 39. L.A. Ponomarenko, R. Yang, R.V. Gorbachev, P. Blake, A.S. Mayorov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson, and A.K. Geim, Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010). 40. G.L. Yu, R. Jalil, B. Belle, A.S. Mayorov, P. Blake, F. Schedin, S.V. Morozov, L.A. Ponomarenko, F. Chiappini, S. Wiedmann, U. Zeitler, M.I. Katsnelson, A.K. Geim, K.S. Novoselov, and D.C. Elias, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 3281 (2013). 41. V.P. Gusynin, V.M. Loktev, I.A. Luk’yanchuk, S.G. Sharapov, and A.A.Varlamov, ФНТ 40, 355 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 270 (2014)]. 42. P.E.C. Ashby, and J.P. Carbotte, Eur. Phys. J. B 87, 92 (2014). 43. G.E. Volovik, ФНТ 43, 57 (2017) [Low Temp. Phys. 43, 47 (2017)]. 44. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов, УФН 69, 419 (1959). 45. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов. Электронная теория металлов, Наука, Москва (1971). 46. Z.Z. Alisultanov, Physica B 438, 41 (2014). 47. И.М. Лифшиц, А.М. Косевич, ЖЭТФ 29, 730 (1955). 48. L. Onsager, Philos. Mag. 43, 1006 (1952). 49. G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai, Phys. Rev. B 85, 033301 (2012). 50. L.A. Falkovsky, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 49, 609 (1965). 51. M.V. Berry, Proc. R. Soc. London A 392, 45 (1984). 52. A.Yu. Ozerin and L.A. Falkovsky, Phys. Rev. B 85, 205143 (2012). 1738 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях Quantum oscillations in an anisotropic Weyl semimetal in crossed magnetic and electric fields Z.Z. Alisultanov, G.M. Musaev, and M.M. Arslanbekova We calculated the electron spectrum of an aniso- tropic Weyl semimetal (WSM) in crossed magnetic and electric fields. We have shown that the electric field leads to a cardinal rearrangement of the Landau bands. At a some value of the electric field, a complete collapse of the Landau levels occurs, but the motion along the magnetic field does not vanish, in contrast to the iso- tropic case. We obtained analytical expressions for the quantum electric capacity in cases of weak and strong electric fields. We predicted a new phase transition be- tween the phases of type I and type II of WSMs induced by an electric field. When the value of the electric field corresponds to such a transition, the density of states has a singularity, as it should be for phase transitions of the Lifshitz type. Using Falkowsky approach, we showed that the Berry phase for an anisotropic VP with an in- clined spectrum near the Weyl point is equal to π. Then the quasiclassical approach leads exactly to the same spectrum as the microscopic one. PACS: 71.10.Ca Electron gas, Fermi gas; 71.70.Di Landau levels; 71.10.Hf Non-Fermi-liquid ground states, electron phase diagrams and phase transitions in model systems. Keywords: quantum oscillations, anisotropic Weyl semimetal, Landau levels, Berry phase. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 12 1739 1. Введение 2. Уровни Ландау в скрещенных полях 3. Осцилляции квантовой электроемкости Приложение

Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенных магнитном и электрическом полях

Institution

Ähnliche Einträge