Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы
Исследована эволюция пpоизвольного начального неpавновесного pаспpеделения электpонов и электpических полей в стpуктуpе, состоящей из полуогpаниченных сpед - плазмы и диэлектpика (вакуума). Получен полный спектp потенциальных колебаний электpических полей. Показано, что набоp собственных частот опpе...
Gespeichert in:
Datum: | 1998 |
---|---|
Hauptverfasser: | , , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1998
|
Schriftenreihe: | Физика низких температур |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176570 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы / В.Л. Фалько, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 6. — С. 549-558. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-176570 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1765702021-02-06T01:26:32Z Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы Фалько, В.Л. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. Электpонные свойства металлов и сплавов Исследована эволюция пpоизвольного начального неpавновесного pаспpеделения электpонов и электpических полей в стpуктуpе, состоящей из полуогpаниченных сpед - плазмы и диэлектpика (вакуума). Получен полный спектp потенциальных колебаний электpических полей. Показано, что набоp собственных частот опpеделяется свойствами функций pаспpеделения электpонов в pавновесном и возмущенном состояниях. В холодной плазме наpяду с повеpхностными плазмонами pаспpостpаняются объемные и повеpхностные колебания с ленгмюpовской частотой, в то вpемя как в диэлектpике существует поле только повеpхностного плазмона. Пpи наличии пpостpанственной диспеpсии все виды объемных и повеpхностных колебаний, возникающих в плазме, излучаются в диэлектpик. В плазме кpоме поля собственных колебаний существует также поле аномального пpоникновения, котоpое обусловлено эффектами баллистического тpанспоpта электpонов пpоводимости пpи низких темпеpатуpах. В случае холодной плазмы учтены эффекты запаздывания и найдено пpостpанственное и вpеменное pаспpеделение полей в диэлектpике. Досліджено еволюцію довільного початкового нерівноважного розподілу електронів та електричних полів у структурі, яка складається з напівобмежених середовищ — плазми та діелектрика (вакуума). Одержано повний спектр потенційних коливань електричних полів. Доведено, що набір власних частот визначається особливостями функцій розподілу електронів у рівноважному та збуреному становищах. У холодній плазмі поряд з поверхневими плазмонами поширюються об’ємні та поверхневі коливання з ленгмюрівською частотою, в той час як у діелектрику існує поле тільки поверхневого плазмона. При наявності просторової дисперсії усі типи об’ємних та поверхневих коливань, що виникають у плазмі, випромінюються до діелектрика. У плазмі поруч з полем власних коливань існує також поле аномального проникнення, яке обумовлено ефектами балістичного транспорту електронів провідності при низьких температурах. У випадку холодної плазми ураховуються ефекти запізнення і знайдено просторовий і часовий розподіл полів у діелектрику. The evolution of an arbitrary initial nonequilibrium distribution of electrons and electric fields is investigated in a structure consisting of semiconfined media, viz., plasma and insulator (vacuum). The comprehensive spectrum of potential oscillations of electric fields is obtained. It is shown that the set of frequency eigenvalues is determined by the properties of the electron distribution function in equilibrium and perturbed states. In a cold plasma, volume and surface oscillations with the Langmuir frequency can propagate along with surface plasmons, while only a surface plasmon field exists in the insulator. In the presence of spatial dispersion, all types of volume and surface oscillations emerging in the plasma are emitted to the insulator. In addition to the field of intrinsic oscillations, an electric field of anomalous penetration associated with the effects of ballistic transport of conduction electrons at low temperatures also exists in the plasma. For a cold plasma, delay effects are taken into account, and the spatial and time distributions of the fields in the insulator are found. 1998 Article Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы / В.Л. Фалько, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 6. — С. 549-558. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.10.-d, 73.20.Mf http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176570 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Электpонные свойства металлов и сплавов Электpонные свойства металлов и сплавов |
spellingShingle |
Электpонные свойства металлов и сплавов Электpонные свойства металлов и сплавов Фалько, В.Л. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы Физика низких температур |
description |
Исследована эволюция пpоизвольного начального неpавновесного pаспpеделения электpонов и электpических полей в стpуктуpе, состоящей из полуогpаниченных сpед - плазмы и диэлектpика (вакуума). Получен полный спектp потенциальных колебаний электpических полей. Показано, что набоp собственных частот опpеделяется свойствами функций pаспpеделения электpонов в pавновесном и возмущенном состояниях. В холодной плазме наpяду с повеpхностными плазмонами pаспpостpаняются объемные и повеpхностные колебания с ленгмюpовской частотой, в то вpемя как в диэлектpике существует поле только повеpхностного плазмона. Пpи наличии пpостpанственной диспеpсии все виды объемных и повеpхностных колебаний, возникающих в плазме, излучаются в диэлектpик. В плазме кpоме поля собственных колебаний существует также поле аномального пpоникновения, котоpое обусловлено эффектами баллистического тpанспоpта электpонов пpоводимости пpи низких темпеpатуpах. В случае холодной плазмы учтены эффекты запаздывания и найдено пpостpанственное и вpеменное pаспpеделение полей в диэлектpике. |
format |
Article |
author |
Фалько, В.Л. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. |
author_facet |
Фалько, В.Л. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. |
author_sort |
Фалько, В.Л. |
title |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
title_short |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
title_full |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
title_fullStr |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
title_full_unstemmed |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
title_sort |
эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
1998 |
topic_facet |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176570 |
citation_txt |
Эволюция колeбаний полуограниченной электронной плазмы / В.Л. Фалько, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 6. — С. 549-558. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT falʹkovl évolûciâkolebanijpoluograničennojélektronnojplazmy AT hankinasi évolûciâkolebanijpoluograničennojélektronnojplazmy AT âkovenkovm évolûciâkolebanijpoluograničennojélektronnojplazmy |
first_indexed |
2025-07-15T13:24:47Z |
last_indexed |
2025-07-15T13:24:47Z |
_version_ |
1837719499790352384 |
fulltext |
��������� ��
���������
����������������������������� !�"��#�$�%&��')(!� *�# +,%-��.�+�+�
/10325476985:<;>=?2545@BA5CEDF:�GIH3254KJK2ELNMKCED�:FOKPQDFDR2SG
T 45PU=�V3MK2ED�DR2SGIHW4<CFX5Y[Z
\^]`_<]badcfehg�i�j&k�lB]�m�]�n3cpoqi�r�obcskN\W]�tu]bv5i�jpw�xpoqi�j
y{z}|�~���~���~K�����������b�}���"���p����� ����~-�"��z�� ���&�N�����b��� ��� z�����b���"����z������������������� ¢¡�£����"¤¥����¦���� ��¡���������¡�§q� ��|��¥���"���f�©¨ª�«¬N®�¯±°³²�´�µ�°¶µ�·¹¸¹º�¯ »s¯¶¼¹µ�½ º�¾�®�¼¹º�¿�À�½ Á�®
Â�Ã�Ä�Ã�Å�Æ�Ç}È�É�ÃËÊ Ç�Ì�Í Ä!ÎqÏ ÐËÑ�Ä�Ò�Ó�Ì Ô5Õ&Ö�Ð�Î�Ï Ä¥Í�Æ^×�Ø�Ø�Ù&Ú�½
ÛqÉ¥É�Í�Ð¥Ñ"È}Î�Ä�Ü�ÄKÝ�Î�È�Í�Ô�Ó�Ì�ÆBÇ�Ï�È�Ì�Þ¥Î�È Í�Å�Ü�È�Ú�È�Ü Ä�ß}Ä�Í�Å�Ü�È�Ú�È�Ü�Ð�Ï�Ä�Î�Ü�È�Î}Ð�É�Ü�È}Ú�È<Ï�Ä�É�Ç�Ï�ÐàÑ"Ð¥Í�Ð�Ü�Ì�ÆBÝ¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�È�Ü�È}ÎKÌ
Ý�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�ß�Ð�É¥Ò Ì�á�Ç�È�Í�Ð�â�Î3É¥Ã�Ï�Ê Ò�Ã�Ê�Ï�Ð ã`É�È}É�Ã�È�Æ"äqÐ¥â<Ì�Þ?Ç�È Í}Ê"È}Ú�Ï�Ä�Ü�Ì�ß}Ð�Ü�Ü�å�á<É¥Ï�Ð�ÑdæçÇ�Í�Ä�Þ�è�åuÌWÑ"Ì�Ý¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�Ò�Ä
é Î�Ä�Ò�Ê}Ê"è�Ä�ê�½�ëfÈ�Í�Ê"ß}Ð�ÜKÇ�È�Í�Ü�åbâWÉ�Ç�Ð¥Ò Ã¥ÏKÇ�È�Ã�Ð¥Ü�Ó�Ì�Ä�Í�Å�Ü�å�áKÒ�È�Í�Ð�ì}Ä�Ü�Ì�âWÝ�Í Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�ß�Ð�É�Ò�Ì�á3Ç�È}Í�Ð�â�½�ëfÈ�Ò Ä}Þ�Ä�Ü�È�ã�ß�Ã�È
Ü�Ä�ì�È�ÏQÉ¥È�ì�É�Ã�Î�Ð�Ü Ü�å�áQß}Ä�É¥Ã�È�ÃKÈ�Ç�Ï�Ð�Ñ�Ð�Í�Æ�Ð�Ã¥É�ÆQÉ�Î�È}â�É�Ã�Î}Ä�è�ÌQÖ`Ê"Ü�Ò�Ó�Ì â7Ï�Ä�É�Ç Ï�ÐàÑ"Ð�Í�Ð�Ü�Ì�ÆíÝ¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�È�Ü�È�Î5Î5Ï�Ä�Î�Ü�È�«
Î�Ð¥É�Ü�È�èîÌïÎ�È�Þ¥è�Ê�äqÐ¥Ü�Ü�È�èðÉ¥È�É�Ã¥È�Æ Ü�Ì�Æ�á�½3ñçá�È Í�È}Ñ"Ü�È âòÇ Í�Ä�Þ�è,ÐíÜ�Ä�Ï�Æ�Ñ ÊïÉ7Ç�È�Î�Ð�Ï�á�Ü�È}É�Ã�Ü�å�è,Ì�Ç�Í�Ä�Þ¥è�È�Ü�Ä�è�Ì
Ï�Ä�É�Ç�Ï�È�É¥Ã�Ï�Ä�Ü�Æ�ÔbÃ�ÉàÆ3È�ì�ó�Ð�è�Ü�å�Ð�ÌôÇ�È�Î�Ð�Ï�á�Ü�È}É�Ã�Ü�å�ÐpÒ�È�Í Ð�ì�Ä�Ü�Ì�Æ^ÉpÍ�Ð�Ü�Ú�è�Ô�Ï�È�Î�É¥Ò È�âWß�Ä�É�Ã¥È Ã¥È�â�ã�Î�Ã�È?Î�Ï�Ð¥è�ÆWÒ Ä�Ò
ÎKÑ�Ì�Ý�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�Ò ÐWÉ¥Ê äqÐ¥É�åΥÊ"Ð¥ÃKÇ�È�Í�Ð3Ã¥È Í�Å�Ò�È5Ç È�Î�Ð�Ï�á�Ü�È�É¥Ã�Ü�È�Ú�È5Ç�Í�Ä�Þ�è�È�Ü�Ä�½hë�Ï�ÌFÜ�Ä�Í�Ì�ß�Ì�Ì�Ç Ï�È�É�Ã¥Ï Ä�Ü�É�Ã�Î�Ð�Ü Ü�È}â
Ñ�Ì�É�Ç�Ð�Ï�É¥Ì�Ì<Î�É¥Ð^Î�Ì�Ñ"åuÈ�ì}ó�Ð�è�Ü�å�á5Ì<Ç�È}Î�Ð�Ï�á�Ü�È�É�Ã�Ü�åbá�Ò È�Í�Ð¥ì�Ä�Ü�Ì�â�ãbÎ�È�Þ�Ü�Ì�Ò Ä�Ô�ä�Ì�á<ÎKÇ�Í�Ä�Þ�è�Ð�ãbÌ�Þ¥Í�Ê�ß�Ä�Ô�Ã�É�Æ<Î
Ñ�Ì�Ý�Í�Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�Ò�½^ñðÇ�Í�Ä�Þ¥è�Ð7Ò�Ï�È�è�ÐFÇ�È�Í�ÆuÉ�È�ì�É�Ã¥Î�Ð�Ü�Ü�å�áuÒ�È Í�Ð�ì�Ä�Ü�Ì�âuÉ�Ê�äqÐ�É¥Ã�Î�Ê�Ð�ÃFÃ¥Ä�Ò�õNÐ�Ç�È�Í�ÐíÄ�Ü�È�è�Ä�Í�Å�Ü�È�Ú�È
Ç�Ï�È Ü�Ì�Ò Ü�È}Î�Ð�Ü�Ì�Æ�ãöÒ È}Ã�È�Ï�È�Ð÷È}ì�Ê"É¥Í�È�Î�Í�Ð¥Ü�ÈøÝ�ÖbÖ�Ð�Ò�Ã�Ä�è�Ì ì�Ä�Í�Í�Ì É�Ã�Ì�ß�Ð�É�Ò�È�Ú�ÈùÃ�Ï�Ä�Ü�É¥Ç�È�Ï�Ã�Ä÷Ý¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�È�Ü�È�Î
Ç�Ï�È Î�È}Ñ"Ì�è�È�É¥Ã�ÌWÇ�Ï ÌWÜ�Ì Þ¥Ò Ì�áWÃ�Ð¥è�Ç�Ð�Ï�Ä�Ã�Ê�Ï�Ä�á�½�ñ5É¥Í�Ê"ß�Ä�Ðpá�È�Í�È�Ñ"Ü�È�âôÇ�Í�Ä�Þ¥è�å5Ê�ß�Ã�Ð�Ü�åíÝ¥Ö�ÖbÐ�Ò Ã¥åFÞ�Ä}Ç Ä�ÞàÑ"å�Î}Ä�Ü�Ì}Æ
Ì?Ü�Ä�â�Ñ"Ð¥Ü�È�Ç�Ï�È�É�Ã�Ï�Ä�Ü É�Ã¥Î�Ð�Ü�Ü�È�Ð&Ì�Î}Ï�Ð�è�Ð¥Ü�Ü È�ÐqÏ�Ä�É�Ç Ï�ÐàÑ"Ð�Í�Ð�Ü�Ì�Ð&Ç�È�Í�Ð�â?Î&Ñ�Ì�Ý�Í�Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�Ò�Ð ½
úbÈ}É�Í�¯ Ñ�õ�Ð�Ü ÈûÐ¥Î�È�Í�ÔbÓ�¯¶ÔüÑ"È�Î�¯ýÍ�Å�Ü�È�Ú�ÈþÇ�È�ß�Ä}Ã�Ò�È�Î�È�Ú�ÈþÜ�Ð�Ï�¯¶Î�Ü�È�Î�Ä�õ�Ü�È�Ú�ÈþÏ�È�Þ�Ç�È�Ñ�¯±Í�ÊÿÐ¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�È�Ü�¯¶Î Ã¥Ä
Ð�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�ß�Ü�Ì�á Ç�È}Í�¯±ÎòÊ É�Ã¥Ï�Ê"Ò�Ã�Ê�Ï�¯¹ã Æ"Ò�Ä É¥Ò Í�Ä¥Ñ�Ä � Ã¥Å�É�ÆçÞuÜ�Ä�Ç�¯¶Î�È�ì�è�Ð�õ�Ð�Ü Ì�áîÉ�Ð¥Ï�Ð�Ñ�È�Î�Ì�ä æ Ç�Í�Ä�Þ¥è�ÌðÃ¥Ä
Ñ�¯±Ð�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�Ò Ä é Î�Ä�Ò}Ê Ê�è�Ä�ê�½���Ñ�Ð�Ï�õ�Ä�Ü�È Ç�È Î�Ü�Ì�â É¥Ç�Ð�Ò�Ã�Ï9Ç�È�Ã�Ð�Ü�Ó�¯¶â�Ü Ì�á Ò�È�Í Ì�Î�Ä�Ü�ŠХÍ�Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�ß�Ü�Ì�á Ç�È�Í�¯¶Î�½
ú�È�Î�ÐàÑ"Ð¥Ü�È�ãqäqÈ5Ü�Ä�ì ¯ÏFÎ�Í�Ä�É¥Ü�Ì á7ß�Ä�É�Ã¥È ÃWÎ�Ì�Þ�Ü�Ä�ß�Ä � Ã�Å�É¥ÆFÈ�É�È�ì�Í�Ì�Î�È�É�Ã�Æ�è�ÌFÖ�Ê Ü�Ò�Ó�¯±â7Ï È�Þ�Ç�È�Ñ�¯±Í�ÊFÐ¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�È�Ü�¯¶ÎKÊÏ�¯±Î}Ü È�Î�Ä�õ�Ü È�è�ÊdÃ�Ä7Þ�ì�Ê�Ï Ð�Ü�È è�ÊdÉ¥Ã�Ä�Ü�È Î�Ì�äqÄ�á�½��îá�È�Í�È�Ñ�Ü�¯±âdÇ�Í�Ä�Þ¥è�¯�Ç�È�Ï�Æ ÑdÞ5Ç�È�Î}Ð�Ï�á�Ü�Ð�Î�Ì�è�ÌQÇ�Í�Ä�Þ¥è�È�Ü�Ä�è�Ì
Ç�È��qÌ�Ï�ÔbÔ�Ã¥Å�ÉàÆðÈ�ì � � è�Ü�¯�Ã�ÄïÇ�È�Î�Ð�Ï�á�Ü�Ð�Î ¯�Ò�È�Í�Ì�Î�Ä�Ü�Ü�ÆðÞdÍ�Ð�Ü�Ú�è,ÔbÏ�¯±Î}É�Å�Ò È�Ô ß�Ä�É�Ã¥È Ã¥È�ÔhãKÎ Ã�È}â ß Ä�ÉEÆ"ÒòÊ
Ñ�¯±Ð�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�Ò�Ê^¯±É¥Ü�Ê � Ç�È�Í�ÐqÃ�¯±Í�Å�Ò�Ì?Ç È�Î�Ð�Ï�á�Ü�Ð�Î}È�Ú�È�Ç�Í�Ä�Þ�è�È�Ü�Ä�½�ë�Ï�Ì?Ü Ä�Æ Î�Ü�È�É¥Ã�¯,Ç Ï�È�É�Ã¥È�Ï�È�Î�È�
Ñ"Ì�É¥Ç�Ð�Ï�É�¯�
�Ê�É�¯ Ã�Ì�Ç�ÌÈ�ì � � è�Ü�Ì�áQÃ�Ä�Ç�È�Î�Ð�Ï�á�Ü�Ð�Î�Ì�áíÒ�È�Í�Ì�Î�Ä�Ü�Å�ã&äNÈ�Î�Ì Ü�Ì�Ò�Ä�ÔbÃ¥Å<Ê7Ç�Í�Ä�Þ¥è�¯¢ã!Î�Ì�Ç�Ï�È�è�¯±Ü�Ô�ÔbÃ¥Å�É�ÆFÑ�È5Ñ�¯±Ð¥Í�Ð�Ò�Ã�Ï�Ì�Ò�Ä"½��Ç�Í�Ä�Þ�è�¯�Ç�È�Ï�Ê�ßpÞ�Ç�È�Í�Ð�èKÎ�Í�Ä�É�Ü Ì�á�Ò È�Í�Ì�Î�Ä�Ü�Å{¯¶É�Ü�Ê � Ã�Ä�Ò�È õFÇ�È}Í�ÐqÄ�Ü�È�è�Ä�Í Å}Ü�È�Ú�ÈpÇ Ï�È}Ü�Ì�Ò Ü�Ð¥Ü�Ü�Æ�ã�Æ�Ò�ÐNÈ�ì�Ê�è�È�Î�Í�Ð�Ü�È
Ð�Ö�Ð¥Ò Ã¥Ä�è,ÌFì Ä�Í�¯¶É�Ã�Ì�ß}Ü�È�Ú�È5Ã�Ï�Ä�Ü�É�Ç�È�Ï�ÃàÊíÐ�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�È�Ü�¯±Î5Ç�Ï�È Î�¯¶Ñ�Ü È�É�Ã�¯&Ç�Ï Ì7Ü�Ì Þ¥Å�Ò�Ì�áFÃ�Ð¥è�Ç�Ð�Ï�Ä�Ã�Ê�Ï�Ä�á�½�� Î�Ì�Ç�Ä¥Ñ"Ò}Ê
á�È�Í�È�Ñ�Ü�È�
�Ç�Í�Ä�Þ�è�ÌsÊ Ï�Ä�á�È�Î�Ê�ÔbÃ¥Å�É�Æ�Ð¥ÖNÐ¥Ò Ã¥Ì�Þ¥Ä�Ç�¯¶Þ�Ü�Ð¥Ü�Ü�Æ�¯�Þ¥Ü�Ä�â�Ñ"Ð¥Ü�ÈhÇ�Ï�È�É¥Ã�È�Ï È�Î�Ì�â�¯�ß}Ä�É¥È Î�Ì�â�Ï�È�Þ�Ç�È�Ñ�¯±Í�Ç�È�Í�¯±Î!Ê
Ñ�¯±Ð�Í�Ð¥Ò Ã¥Ï�Ì�Ò�Ê�½
������,²���������� ��� ��ã�!#"�½ $&%�½('*)
+-,�.�/0.21�30.
46587 90:�;=<�>?50@&@ A8>8509B> C�> ;�D&D&5�@FEB>�G :?9�;=7
H 5�@�I8JLK=> MN:&CF9�;BJL9BO-P I8> 5 @&<�:�9 ;�Q GR> C&K�:�90;=S�@�9�9 O-P
A85T:&U&MV>�A8>8E�> <�9�O-P D�K8@&E0:&P 98@&>8< P > E0;8MW> K=@LX*:&J�Y
>?<=Z\[=] UL:&E :&S�[^>^K0:&U�G ;8J�;�;_G`9�;BPa9�:�S8:�50Y?98>8C#>
G2> U&Mb[�Z�@�9 ;?7Wcd4e5�7^< @&UFC�K :�9�;�S�98>�Q^A85T:&UFMNO JF: I8:L7
UF:2E�:�S�: <�O�50: D�fe>�K8MW[85�;BK8>�G :�9 : ; K�@�X�@�9�:
g�: 98E0:&[ih�j2k�lmG2>dG�D&@FMn>8<?o0@&MW@pAB50:2U�MNOqU�:&E0:�G :&5 > D�Y
98@�K�:?G 98>�G�@&D�98>8@ KB:&DLA K8@&E�@F5B@L9 ;8@ H 5�@�I8JLK=>�9B>�G G
9�:&S�:&5TY�90OeQ MV>8MW@�98J G?K8@&Mb@�9�; ; >�A K8@&E�@&587�5�;8D�Y
f�[09�I�r ;?7 K�:&DLA K8@&E�@&5�@L9 ;?7 H 5B@LI8J�K8>�98>�G ;
H 5�@�I8JLKB;8S8@FD�I8> @sA=>�5B@mG2>tG2DF@uAB> D&50@&E�[�]vZw;8@wMb>?MW@L9BJFO
G?K8@FMW@�9�;yxaUL:�G?;�D�;8MW>8DFJ&; S8:�D&J�>8J ; E8@�I�K8@&MW@L9BJF:
I8>85�@&<�:�9�; Q > JzG�>?5�9=>=G2> C�> G2@LI8J&>�K :Bcq{e> 5 @F<8:�90;�7
AB> 5 [8>�C�K�:?98;8S @F9B98>�Q A850:�U�MbO K8:&D�D�Mb:&J&K�;BG�:&50;?DLY G
K�:�< >?JF:�Pzh}|?~T��k#xd>?E09�:?I >_9 :&S�:&50Y 9�O�@�[8D&50>8G ;=7a98@
A K�; 9�;�MW:�50;BD�Y�G2>�G 9B;�MW: 9�;B@�x�G�K8@FU&[850Y�J�:&J&@qS @&C�>
AB> 5 [8S�@�9�9 OeQ^D�A8@LI=JLK^I8>?50@&<�:�9 ;�Q_98@&5TY&U�7^DFS�;8J�:&JLY
AB> 5T9�OeM�c
��A�KB@FE85T:&CF:&@FMW>8Q�K�:2< >8J�@�;8D&D&50@&E8[�@FJ�D�7 H G�>?5�]6r0;�7
A K8>�;8U�G�> 5TY�9B> C�>q9 :&S=:&5 Y 98>8C#>�G�>?UFMW[�Z�@�90;�7�A8>8587�;
K :&DLABK�@&E8@F5 @L9B;87 H 5 @LI?J�K8>�98>�G G D&JLK=[=I=JF[�K8@Bx
D&>8DFJ&>�70Z�@�Q ;8U A=>�5B[�>8C�K :�9�;�S8@�9�9 O-P AB50:&U&MNO ;
E0; H 5�@LI=JLK�;BI�:B�N>�A K8@FEB@F5�@�9�PT:�K�:�I8J&@�K�A0K8>�9�; I89�>8G�@�90;�7
AB> 5B7tG�>8< @*D�K8@&E0O�x�;BU�[�S @�9�A�K=>=rB@&DFD*G�U�:�;BMV>8E�@�Q8DFJ�G ;�7
AB>�G2@LKBP09B> D&JL9�O�P ; >8<?o0@&MN9�OeP I8>?50@&<�:�9 ;�Q 9�:
CFKB:�90;�rB@B� 9�:�QBE�@�9�O DF>?<�D&J�G�@�9�90O-@ S�:&D&JF>8JFO ;
� �T�������-���2�������#�V���V���8�L�&�#���&� ������ v��¡8��� ¢¤£L�������2¥§¦�¦ ¨
E8@�I�K8@&Mb@�9BJFO I8> 5 @&<�:�9 ;�QWc � 9 :&5�;=UL;��B[8@FJ&D�7
<8:&5050;BD&JL;8S8@&DLIB;�Q��8@�� ;8M6x�I8>8J�>���OeQ��8@�:�5 ;�U�[B@FJ�D�7 G
JFG2@��BE8>8JF@&50Y 9=>=Q A85�:&U&MV@uA�� ;�9�;BUFI�;BP�J�@&MNA�@���:&J&[��B:�PWc
�
����� 1�
=,�������� /����83����-3����L.���� ��!��8, 10.21�3�"��#$���%�'&�( 1�)v.w3+*,!��?1�3��81�)v.$���%&�
=, 3
-
.W:&DFD&MW> J�K�;�Mi9�@&> E09=>=K=>�E�9B[�] DFJ�K8[�I8J&[�K8[WxvD&> D&JF>?7�/
Z�[�]n;BU E0G�[8P�A8>85�[8>8C�K0:�9B;�S8@�9�90O-P�D�K8@&E10_A85T:&U&MbO2 JLG2@LK=E�>8J�@F5TY�9B>�Q�;B50; C�:&UF>�G�>8Q�3�;�9=@LAB> C�5B>=Z�:�] Z\@LQyx
98@&E0;8D�AB@LK8C&;�K8[0]6Z�@LQ DLKB@&E=O 2 E0; H 50@�I?JLK�; I ;B50;
G?:�I8[8[�M43?c � 9�:&S�:&5�Y�9 OeQ MV>8MW@L98J�G K=@FMW@�9�;65
= 7UF:2E�: 9�O 98@�K�: G?98>�G�@&DL9�:�7_fe[09BI�r0;�7�K�:�D�A�K8@&E�@&50@�9�;=7
H 5�@�I8JLK=>�9B>�G98 ( % )( : x<; ) ; H 5 @LI?J�K8>8My:&C�9 ;8J�90O-@qAB> 5B7
= (
%
)( : ) x?> (
%
)( : ) cA@*DFD&5 @FE�[8@&M H G2> 5T]vr ;�] fe[ 9�I�r ;�;
K�:&D�A K8@FEB@F5�@�9 ;?7 8
(
5&x :%B�C ) ; AB> 5 @LQ >
(
5�x : ) G2> G�D&@
A8>8D&5�@&E�[�] Z�;8@ MW> MW@�98JLO G K=@FMW@�9�; G JL:�I8>8Q
D&JFKB[=I=J�[0K8@Bc
D6>�5 90:�7 DL;BD&JF@&Mb: [�K�:?G 98@�9 ;�Q E�:?I D�G�@&5 50: G
A85T:&U&MV@ 2 DLK8@&E0:tj8x�FHG 7 3*;=Mb@&@&J G ;BE
IKJ'L = =
M
πN O +
j
N ∂ P
∂
5 � P = ε % > � 2 j�3
IQJRL > = −
j
N ∂
=
∂
5 �TS�UWV P =
M
πρ
�TS�UXV =
= 7 x
C#E�@
ε % 0 E0; H 5B@LI8J�K�;8S8@&DLIB:�7 A8>8DFJ&>�709 9�:�7 K8@�X*@&JFI�;y�
A85 > J�98>8D&JL; U&: K?7�E0:
ρ
; J�>�I�: O K�:�G?90O
ρ = Y ∫ 8 ( 5�x�Z B ; ) [\C x O ( 5�x : ) = Y ∫ ] 8 ( 5�x<Z�x ; ) [ ; c
2 |�3
^*@�K�:�G 9B>�G2@FD�9 :�7 f6[�9�I�r ;?7 K�:�D�A�K8@&E�@&50@�9�;=7
H 5�@�I8JLK=>�9B>�G A�K�>8G�>8E�;�MW>?DFJ�; 8
(
5&x : x ; ) [BE�>�G25�@FJ�G�>�K?7�@&J50; 98@�:�K0;=UF>8G : 9B9�>?Mb[�I8; 98@FJ�;BS @&DLI8>8M�[ [�K :�G 98@�9 ;�]
∂
8
∂
5 + ] ∇
8
+ Y > ∂
8`_
(
;
)
∂
; = −ν a c 2cb 3
dTE�@&DLY Y x ]
x ; x 8 % (; )
;
ν
0 UL:�K?7�EWx�D�I8>�K8> D&JLY�x
;8MNA8[B50Y�DBx�KB: G 9=>=G2@FD�9�:�7 f�[09�I�r ;?7�K :&DLA�KB@&E�@&5 @L9�;=7�;
>?<=KB:&JL98>8@ G K=@FM�7 K8@&5�:�I=DL:�r ;�; H 5B@LI8J�K8>�98>�G
A�K=>=G2> E0;BMV>8D&JL;bc
D6>�5B@ G E�; H 5�@�I8J�K�; I @ 2 DLK8@&E0: | x Ffe 7 3>8A0;8D�OeG :2@FJ�D�7�[�K�: G?98@�90;?7�MN;
IKJ'L = =
j
N ∂ P
∂
5 � P = ε $ > � 2 M�3
IKJ'L > = −
j
N ∂
=
∂
5 �TS�UXV P = 7 �TS
UgV+= = 7 c
h�KB:�90;8S�9 O-MN;q[�D&5�>�G ;�7=MN;�I [�K�:�G 9B@L9B;87�M 2 j�3�~ 2 M�3
70G�5=7B]6J�D�7�[�D&5�>�G ;�7 98@�A K8@LKBOeG 9B> D&JL; JF:?98C�@�9�r ;�:�50Y%/
9�O-P D&> D&JL:�G25�70]vZ�;�P H 5 @LI?J�K�;�S8@&DLI?>8C#> ;�MN:&CF9B;�J�98>8C#>
AB> 5 @LQ 9�: CFK�:�9 ;�rB@ K�:2U�E�@&5�: D�K8@FEiF
= 7 x [�D&5�>�G ;�7
;BUF5B[�S8@�90;�7bl�A�K ;jF
→ ±∞
G 50]6< >�Q�MW> MW@�9�J G�D&@
G2@F5T;8S�;09BO�x G�P�>8E?70Z ;=@tG [�K�:�G?9�@�9�;=7Wxy>8<8K�: Z*:�]6J�D�7 G
9B[85�YBciDk��@&E�A�>?5�:&C&:&@FJ&D�7Wx S J&> A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�Y F
= 7A K8@&E�DFJ�:�G�5=7=@&J D&> <8>�Q ;BE�@�:&50Y 98> >8J�K�:�� :�]6Z*[�]
D&JF@�9 I [yx 9 : I=> J&>=K=>�Q H 5 @LI?J�K8>�9�O K�:&D&DF@�; G :�]6J�D�7
U&@LKBI�:&5�Y�9B>Tx�J�c @�c G 5 ]v<?>�QqMW>8MV@�9�J G?K8@&Mb@�9�; E�5=7
f6[�90IBr�;0; K�:&D�A K8@FEB@F5�@�9 ;?7 G O6A8>850987�@&J�D�7
D&>8> J�9�>8X�@L9 ;8@
8
( l�m G 7 x\n ) =
8
( o�prq?s B 5 ) t m = % c 2vu 3
we;�D&J�@&My:�I?>8>�KBE�;09B:�J�G?O-<�K :�9�: JF: I x�S8J&>�>8DLYjx�y
9 :�A0KB:�G�5 @L9�: G�E8>850Y_K�:2DLA�K=>�D&J�K�:�9�@�9�;=7 G2> 5T9�O 9�:
AB>�G2@LKBP09B> D&JL; F
= 7 xvD&>�>?JLG2@FJ&D&JFG�@�909=>�G�[���:�G 9B@�9�;87�P2 j�3�~ 2 M�3�U�:�G ;BD�;8MW>�D&JFY G�D&@FP�G�@&50;BS=;B9�>?JmI8>8>8K8E0; 9�:&JLO
y A K8>�A8>�K�r ;8>�9�:&5�Y�9 :{zv|
�
( }�~%� y )
c 4v5=7 K8@�X�@�90;�7
U�:&E0:&S�; Dt9 :&S�:&5�Y�9 O-MN;�[�D&5�>�G ;�7=MN;�G�D&@�f6[=9BI�r0;B;�>8J
G?K�@&MV@�90; 5 G 2 j�3�~ 2 M<3 9B[R�\9B> K�:�U�50>%� ;8J�Y G
; 98J&@FCFKB:&5�O�� [�K Y&@mA�KB;�5�G 7 l
�
(
5&x�F
) =
j
�
π ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
�
ω
�
ω(� )
z − � ω � �
�
ω(
F
) = ∫%
∞
[ 5
� (
n B F ) � � ω � c
2 �
3
@u98JF@&C�K0;BK8>�G :�9 ;8@zA0K=>�;BULG2> E0;8J&D�7 G I8> MNAB5�@LI=DL98>�Q
AB5�>8DLI=> D&JL;
ω
AB> A0K�7=MW>8QWx AB:�K0:&5�5 @&50Y 98>�Q
E�@�QBDFJFG?;�J&@&50Y 98>�Q >?DL;`;�A�K8>8P�>8E870Z�@�Q�G OeX�@ G�D&@FP
>8D&> <8@L9B9�>?DFJ&@LQ A8>8E�Ov98J&@&C¤K :&50Y?98>�Q f6[=9 I8r0; ;�c �
KB@FU�[�50Y�J&:�J�@ D�;�D&JF@&Mb: [�K�:�G 9B@�9�;0Q G�� [�K0Y&@�/}A K8@&E�D&Jv/
:?G�5�@�90;B;zD&>8E8@LK��*;�J^U�9�:&S8@L9 ;?7 H 50@�I8JFK ;8S8@FD�I�;8P ;
MN:&CF9�;BJ�9�O-P A8>85�@LQ ; 9B@LKB:�G 9B>�G�@&D�9�>8Q f6[�90I�rB;0;
K :&DLABK�@&E8@F5 @L9B;87�Gs9�:2S�:�5 Y 9�OeQ MW>8MV@�9BJ G K8@&MW@L9 ;�c
�eDF5 >�G?;�@�U�@�K I�:250Y 9=>�D&JF;i>?JLK�:���@L9�;=7 H 5�@�I8JLK=>�9B>�G
>8JwCFK�:�9 ;�r0O 2`u 3*AB> U�G�>8587�@&JmA K8>8E8>�5�� ;8J�YsAB> 5B7�>
ω( : );iJ&>�I�; O ω( : ) ;BU�>8<?5�:&D&JL;�Ff� 7 G > <850:2DFJFY�FHe 7J�:�I�;BM >8<8K0:&U&> M6xVS8J�>8<�O ;8P�y�/ I?>8MyA=>=9=@L9BJFO 70G25�7�50;BDLY
S8@&JL9�O�Mb; fv[�9 I8r0;=7�Mb; F x :�F�/ I?>8MyA=>=9=@L9BJFO 0
9B@FS8@&JF9 O-My; h§| k�cf��>8C#E0:nG OeK�:���@L9 ;8@iE�5B7 J&>�IB: O ωMW>R�*9�> U�:�A�;BDL:&J�Y EB587 G2DF@&C#> A0K8>8D&JFK :�98DFJ�G :
−∞ q F q ∞
l
�
ω � ( F ) = ∫
−∞
∞
� � ′ σ �g� ( t F −
F
′ t)� ω� ( F ′) + � �(
%
)(
F
)
x 2v� 3
C�EB@ O ( % )( F )
>�A�KB@&E�@&5B7=@&J&D�7 9�:�S8:�50Y?98>�Q f6[�9 I�r�;B@LQ
K :&DLABK�@&E8@F5 @L9B;87�8 ( % )( : x<; )
ck��@L98U&>�K
� ( t F t) G���[0K�Y&@�/
A K8@&E�DFJ�:�G�5B@L9 ;�;yxpI�:�I`;8ULG2@FD&J�98>�h�| k�x DF>8G A :&E0:&@FJ D
� v¡ �e��¢��F���W�F�£¢����`¤
¥�£�¦�§�£�¨&�`¥Q©£¨8�L¥§¦&¦L¨8�ª¥F�¬«c��`®�¯
J�@�9BUF>8K8>8MpA K8>�G�>?E0;8MW>8DFJ&;�<8@&UFC�K�:?9�;�S89�>8Q ;BU&> J�K8>�A�9�>8Q
A85T:&U&MbOwl
σ �W� (ω x��
) = − }QY $ ∫
[ ; l � (∂ 8 _�� ∂� � )
ω −
�
] + } ν
2 } =
yNx
F�3 x 2 �
= ( ~�� B ~ m ) 3 x
2�� 3
: � [�K Y&@�/ >8<�K�:2U*JF>8I�: O ( % )( : ) ;8MW@&@FJwG ;BE
O ( % )( � ) = } Y
" ∫
−∞
∞
[ ] ]
8 ( % )(
� x
] )
ω −
�
] + } ν
2�� 3
2 0 H f�f6@LI=JF;0G?9�:&7_MW:�D&DL: H 5�@�I8JLK=>=9B:R3?c1dTE�@&DLY
;BDLA=>�5 Y�U&>�G :�9B> A�KB@&E=AB> 5 >���@L9�;B@ > G2>�U�Mb>R�*9B> D&JL;
K :&UF5B>'��@�90;�7 9�:&S�:&5TY�9�>8Q f6[�9 I�r�; ; 8 ( % )( : x ; )
G
; 98J&@FCFKB:&5 � [�K�Y2@ A�> I8> >�K8E ;�90:&J�:&M6c
�b5T:&C#>8E0:�K?7zD�;�MWMV@&J�K�;0; J�@�9BUF>8K�: 2�� 3�D�;�D&J�@&My:
[0KB:�G 9B@L9�; Q 2 j�3�~ 2 M�3 K :&D�A�:�E�:�@&J�D�7 9�: E=G2@
9B@FU�:�G ;=DL;BMNO-@ AB> E�D�;8D&JF@&MNO�l�
� x�
m x���� 2�� / G�>?5�9�:�3
;�
� x�� � x�� m 2�� / G�>8509 :R3?c�^ ;���@�K :&DFD&MN:&JLK�;BG :�@&M
� / G�>?5�98[yx J�:�I I�:�I >�9 : E�>�A8[8DLIB:&@FJ�K8@�X�@�90;=@�G�G ;BE8@
AB>�G2@LKBP09B> D&JL9�O�P AB50:�U�MW@�909BO-P G2>�5 9 G 98@F>8E�9B>�KB> E098>�Q
D&JLK=[0I?JF[�KB@�c
�b>8D�A8>850Y�U&>�G?:�G Xw;8D�Y CFK�:�9 ;8S�9�O�Mb; [�DF5B>=G?;?7�MN;�x
AB> 5 [8S=;=M G?OeK�:���@�90;�7 EB587�A8>85�@LQiG >8< @�;�P DLK8@&E0:&P2 A K�;�G2@FE�@&M fe>�K8MW[85TO J�>850Y I=>aE85B7 y�/}I?>8MNA8>�98@�9�J
H 50@�I8JFK ;8S8@&DLI8>?C�> A=>�5=7�3?l
� × ( 5�x
F ) =
j
(
�
π) � ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
[ ω
z − � ω �
ω ∫
−∞
∞
[<~ m z ����� m
���( % )(
�
)
� � ε (ω x�! )
+
��"( _ )( � )
~ $ − (ω
$ � N $ )ε � (ω x#�
)
+
+
j
π∆(ω)
$
(
_
)(
�
)
� � ε (ω B � )
+
$ �(
%
)(
�
)
~ $ − (ω
$ � N $ )ε � (ω B ! )
−
% (
%
)(
!
)
~ � − (ω
$ �'& � )ε $
×
× ∫
−∞
∞ [ ~ m′ � �)(��′ m
~ ′ $
~*� $
ε
�
(ω B � )
− ω
$
N $
� m �
~ ′ $ − (ω � � N $ )ε � (ω x+�
′)
x FfG 7 � 2 j 7 3
� $ ( 5�x�F ) =
,
(
|
π)
$ ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ�
ω
z − � ω �
ω ∫
−∞
∞
[\~ m z � ( � p
% (
_
)(
�
)
~ $ − (ω
$ � N $ )ε �
−
−
√� � $ − (ω
$ � N $ )ε $
πε $ ∆(ω)
z − - m -√(/.0 − (ω 0214350 )ε 6
$��( % )(� )
~ $ ε (ω x+�
)
+
$�"( % )( ! )
~ $ − (ω
$ � N $ )ε � (ω x��
)
−
% (
_
)(
�
)
~ $ − (ω
$ � N $ )ε $
c 2 j8j�3
dTE�@&D�Y*;�9BE�@LI?D�O87 j:9w;;7�|<9wK�:�U�5T;8S�:�]6JvE�G�@6DLKB@&E=Om�
ε x ε � 0 A K8> E�>850Y?9�:�7 ; AB>�AB@LK=@FS�9�:L7
E�; H 5�@�I8J�K�;BS @&DLI�;B@ A K8>�9 ;�r :&@FMW>8D&JF;Wl
ε (ω x+�
) = ε % +
M
π }
ω
~ � � �
~ $ σ�2= (ω x#�
)
� 2 jF|�3
ε � (ω x��
) = ε % +
|
π }
ω
δ � � −
~ � ~ �
~ $
σ �W� (ω x+�
)
�
∆(ω
x ~>� ) =
j
ε $ √~ � $ − (ω
$�? N $ )ε $ +
+
j
π ∫
−∞
∞ � � m
~ $
~ � $
ε (ω B � )
− ω
$
& $
� m $
~ $ − (ω� � N $ )ε � (ω x �
)
c
2 j b 3
� [=9 I�r�; ; $
ã �(
%
)(
!
)
; % (
%
)(
�
)
>8A0K=@FE�@&5870]6J�D�7 ��[0K�Y&@�/
>8<�K :&U�:&My; H 50@�I?JLKB;�S8@&DLI8;BP ; My:&C�9 ;8J�90O-PqAB> 5 @LQ G
MW>8MV@�9�J 5
= 7 l
$
(
%
)(
�
) = ~>� ( � P (
%
)(
�
))
� 2 jcM<3
�e��¢¤�&���b�&�c¢��#�`¤�¥#£�¦
§�£�¨&� ¥Q©v¨8�&¥�¦F¦�¨8��¥F�¬«£�� ®�¯ � =¥
$ �(
%
)(
�
) = ωN � m
� � ×(
%
)(
�
) + ω&
� ��� p( % )( � ) − ~ m � �( % )( � )
� �
�
P (
%
)(
�
) = ε % > ×( % )( � ) −
M
π� (
%
)(
�
)
�
% (
%
)(
�
) = ~ � ( � > $( % )( � )) + ωN
~ m � � $(
_
)(
!
) − ω
$
N $ ε $
� $(
%
)(
!
)
c
2 j u 3
^ :&S�:&5TY�90O-@nA�>?5�7�G >�<?@L;BPqD�K�@&E�:�P�; 9 :&S=:&5 Y 9�:L7
f�[09�I�r ;?7pK :&D�A�K�@&E8@F5 @�9�;87 8 ( % )( � x C ) DLGL7=U&: 9�O MW@v�*E8[
D&> <8>�Q [�K�: G?98@�90;?7�MN; E :�I8DLG2@F5 50:�; C�K0:�9�;BS�9�O-MN;
[8D&5�>�G ;?7�MN;�9 : AB>�G2@LKBP09B> D&JL; F
= 7 A0KB;�5 = 7 c��f6>�K8MW[850:�P 2 j 7 3 ; 2 j?j�3 A8@�K�G O�@ D&5�:&C&:&@FMNO-@�G
I8G :2E��0:&J�9�O-P DLI8>?<�I�:2P 2 A�KB>�AB>�K�r ;B>�9 :&50Y 9�O�@
z�|��
( } ~ p F )
3 D&> >8JFG2@FJ&DFJ�G�[�]6J A0K=>�D&JFK :�98D&JLG2@L9 98>�/
G?K8@FMW@�9�9 O-MqCF:�K8MW>�9 ;�I�:&M A�>?5�7 G <8@&UFC�K�:?9�;�S89�>8Qn;
>?E098>�K8>8E�9�>8Q D�K8@&E�@ 2 G A=5�:&U&MV@ 2 j 7 3 ;B50; G
E�; H 5�@�I8J�K�; I @ 2 j j�3�3?xaD&>8U�E0:�G?:�@&MV>8C#> 9 :&S=:&5TY�9 O-M
G2> U&Mb[�Z�@�9 ;8@FM6cs�NJ�>=KBO-@�D&50:&CF:&@&MNO-@�G 2 j 7 3�; 2 j8j�3
>8A0;8D�OeG :?]eJ G KB@FM�@L9 9�O�@ CF:�K=Mb>890;BI�; AB> 5B7Wx
G2> U�9�;0IB:�]vZw;8@�G�D&50@&E�D&JFG ;B@ H f f6@�I?JF>�G > J�K�:���@�90;�7 ;
A�K=@F5 > MW5 @L9�;=7 A K8>8DFJ&K0:�98D&J�G�@�909�O-P C&:�K8MW>=9B;0I 9�:
C�K�:?9�;0r=@6F
= 7 cq� ;�E�9B>Tx S�J�> H G2>850]�r0;?7 A8>85�@�Q
>8A0K8@&E�@&587�@FJ&D�7 >8DF>?<8@L9�9B> D&J�7=MN; f6[�90I�rB;0Q
∆(ω)
x
ε (ω x �
)
x
ε � (ω x �
)
G A=50>?DLI8>8D&JF; I8>?MNA850@�I8D�98>8C#>
A8@�K8@&MW@L9 98>8C#>
ω
c 2 {v:�Iu; G*K :&< >8JF@wh�j2kNABK�@&E�A�>?5�:&CF:&@&M6x
S?JF>u9�:�S8:�50Y?9�:�7 fe[ 9�I�r ;?7 I=>�MWA�5B@LI8D�9 O-PsA�@�K8@&Mb@�9�9 O-P
; @&DFJ�Yur�@&50:L7tf6[�90I8r ;87 >�J ;Wx :w; 98JF@&CFK�:&5
∫
−∞
∞
[ ; a ( % )(� x
; )
ω −
�
] +
,
ν
x 2 jF��3
:�9�:250;BJF;�S8@&DLI8;�ABK�>?E�> 5
��@L9 9�OvQ Gu9�;��*90]6]�A�>?50[�AB5�>�/
D�I?>�D&J�Y
ω
x070G2587�@FJ&D�7�r�@&5 >�Q�f6[�90I8r ;�@�Q
ω
c 3
� > <�Z�@&M�G ;BE8@�x�I?>�C#E0: [�S�;BJ�OeG :�]6J�D�7 H f�f6@�I8JFO
UF:?A�:&U&E0OeG :�9 ;?7 ;�J&@�A850>8G�>8@sE G ;R�*@�9�;B@ H 50@�I8JFKB>�9B>�G G
A85T:&U&MV@Bx�:�90:&5 ;�U*f6>�KBMV[�5 2 j 7 3�~ 2 j��
3e>8S�@�9�Y�DF5B>'�*9 OeQ; CFK=> MW>8U�E0I�;�Qyc D6> H J�>8MW[�MWO K0:&D&DFMW>?JLK�;BM S�:&D&JL9�O�@
D&5�[8S�:�;Wl
A=>�J&@�9�r0;B:�50Y?9�O-@mI=> 5 @F<8:�90;?7 2 N → ∞
x l�� ≠ 7 3?�PB>�5B>�E 9�:�7 AB50:2U�MN: 2 l � = 7 x N 0 I=>=9=@FS�9�:L7
G2@F50;BS�; 9�:�3�c
!�
����!�� 1��%��,�.21�1�
�� ,%!�.��y.�1B1�
�. !��'���R!�.2/0.�&0.21�3T.
��
R& .�" ��
��L.21�
�3��R&�(?1�)�����
R&T.�
R�?1�3�"���! 3+�%&���
R"
��!�
�����!��81����&,�.21�1�
R"�/B3����=.�!��23�3
��A�KB@&E�@&5TY�9�>?M D&50[8S�:&@ N → ∞
G�D&@*fv[�9�IBr0;�; 2 jcM�3#~2 j u 3 Mb>%� 98>�G?OeK�:&UL;BJFY S8@LK8@&U�9�:&S�:&5�Y�9B[�]nfe[09BI�r0;B]
K�:&D�A K8@FEB@F5�@�9 ;?7 H 5�@LI=JLK8>�98>�G A0K8>8G�>8E0;8MW>?DFJ�;
8 ( % )( �Wx C )
c��V>?C�E�:uA�>?5�7 2 j 7 3*; 2 j8j�3�;BMV@�]vJwG ;BEVlGuAB50:2U�MW@ 2 FfG s 3
× � ( 5Fx�F ) =
�
|
π ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
�
ω
z − � ω �
| Y ∫
−∞
∞ [<~ m ~ � z � ( � m
~ $ ε (ω x+�
)
×
×∫
−∞
∞
[<C a (
%
)(
�Nx ;
)
ω−
�
] + } ν
+ ε �
� (ω B�~�� x s )
j
π∫
−∞
∞
[�~ m ~ � z � (�� m
~ $ ε (ω x<�
)
2 } =
y B F�3 2 j � 3
;�G E0; H 50@�I?J��B;0I8@ 2 F q?7 3
$ � ( 5�x � ) =
� ��� p|
π ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
[ ω
z − � ω �
� (ω x ~ � x s ) �
2 j � 3
$ m ( 5�x � ) = − }
$ � ( 5�x
F )
c
dVEB@FD�Y ; E0:&5�@&@ A0K=@FE0A=>�5 :�C�:&@FJ&D�7 ~ � G 7 c�-5�@LI=JLK�;BS @&D�I8>8@ AB> 5 @t9B:�A�>8G�@�K8PT98>8DFJ�;
� (ω x ~ � x 7 )K :�G 98>
� (ω x ~ � x 7 ) =
| Y�~>�
∆(ω) ∫
−∞
∞
∫
−∞
∞ � � m [ ; 8 ( % )(
� x C )
~ $ ε (ω x �
)(ω −
�
] + } ν)
x
2 j � 3
∆(ω) =
j
+
~R� ε�
π ∫
−∞
∞ [\~ m
~ $ ε (ω x�!
)
c 2 | 7 3
gv@&CFI8> [�G ;BE8@FJ�Y x S8JF> G�D&@ >�D&> <8@�9�9B> D&JL;
AB> E0Oe9BJ&@FC�K�:250Y 9�O-P�f6[�9�I�r ;�Q G 2 j � 3�~ 2 | 7 3eD�G&7�UL:�9BO�D
A K8>8E8>�5 Y 98>�Q E�; H 5�@�I8J�K�;BS @&DLI8>�Q A K8>�9 ;�r :&@FMW>8DFJ&Y ]
ε (ω x �
)
x�I8> J&>�K�:�7qDF[�Z�@FD&JFG�@�9 98> UL:�G?;8DL;BJi> JnG ;8E0:
K :�G 98>�G2@FD�98>�Q fv[�9�IBr0;�; 8 % ( ; )
; [8DF5 >�G?;0Q
A K8>8DFJ&K0:�98D&J�G�@�9098>�Q E�;BDLA=@LKBDL;B;Wc
������������ "!$#��� �%�&'
.b:&D&DFMW> J�K�;BM DL9B:�S�:250: A�K�>?DFJ&@�Q�X ;BQ D&5 [�S�:�Q
P > 5 > E09B>�Q AB50:&UFMNO�x I8>8C#E0: >8JFD&[8JFD&JFG�[B@FJ
A K8>8DFJ&K0:�98D&J�G�@�909�:�7�E0;=DLAB@LK=DL;?7 ;
8 % ( ; ) = ( % δ( C ) � 8 ( % )(
F-x C ) = ) ( % )(
F
) δ(
;
)
x 2 | j�3
C�EB@ ( % ; ( (
%
)(
F
)
0 K�:�G 9B>�G2@FD�90:�7 ; G�>?UFMW[�Z�@�909B:�7pG
MW>8MV@�9�J 5
= 7 I8>�9�rB@L9=JLK�:?r�; ; H 5�@�I8JLK=>�9B>�G
D&>8> J�G�@&JFD&JLG2@L9B9�> c�D\KB; H J&> M
� v« �e��¢��F���W�F�£¢����`¤
¥�£�¦�§�£�¨&�`¥Q©£¨8�L¥§¦&¦L¨8�ª¥F�¬«c��`®�¯
ε (ω x+�
) ≡ ε(ω) = ε % −
ω %
$
ω(ω + } ν)
x
ω %
$
=
M
π Y $ ( _�
;�A=>�5=7 ;=Mb@�]eJuG ;=E
× � (
5�x ~*� x � ) =
Y�~ �
π ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
[ ω
z − � ω "
ωε(ω)
×
×∫
−∞
∞
[<~ m (
(
%
)( � m )
~ $
z � ( � m −
ε �
ε � + ε(ω)
� − (�. m
2 FfG 7 3 �
2 |8|�3
$ � ( 5Fx ~�� x�F
) =
Y�~ �
π ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
[ ω
z − � ω �
ω
h
ε � + ε(ω)
k ∫
−∞
∞
[�~ p (
(
%
)( � m )
� $ z ( � m
2 Ffe 7 3uc 2 | b 3
� AB5�>8DLI?>8DFJ�; I=> MNA85 @LI8D�98>8C#> AB@�K8@FMW@�9�9B> C�>
ω>?DF>8< @�9 98>8DFJF; A8>8E0Oe9=JF@&CFK�:&5TY�90O-P f6[=9 I�r�; Q 2 |8|
3�;2 | b 3�>�A K8@&E�@F5=7B]6J�D�7 I8>�K�9�7=MN; [�K�:�G?9�@�9�; Q
ε(ω) = s ;
ε � + ε(ω) = 7 x I8>?JF>8K0O-@ >8A0;8D�OvG?:�]eJ >8< o @FMN9�O�@2 50@�98C�MN]6K8>�G�D�I�;8@R3�;iA8>�G�@�K8P�9=>�D&JF9 O-@dI?>�5B@F<�:�9 ;?7 G
K�:&D&D&My:&J�K�; G :&@&MW>�Q DFJ�K8[0I?J&[�K�@Bc D >?DF5 @
;�9BJ�@&CFK�; K8>�G?: 9�;=7tAB>
ω
A8>85�[8S=;BM
× � ( 5�x ~ � x�F
) =
= −
| } Y
~ �
ε %
�vJ�� ω � n z −(ν� $ ) � ∫
−∞
∞
[<~ m ( (
%
)(
�
)
~ $ (
z � ( � p − z − ( . m ) −
−
| }QYv~ �
ε % + ε �
��� � ω
5 z −(ν 1 $ ) � − ( . m ∫
−∞
∞
( (
%
)(
�
)
~ $ [ ~ m
2 FfG 7 3u�
2 |%M�3
$ � ( 5�x ~�� B � ) =
= −
| }QY�~ �
ε % + ε �
��� � ω
5 z −(ν1 $ )
"
+ ( . m ∫
−∞
∞
( (
%
)(
!
)
~ $
� � m
2 F q 7 3uc
2 | u 3
@*U*f6>�KBMV[�5 O 2 |�M�3�DF5 @FEB[�@&JBx=S8J�>sGwAB50:�U�MW@Bx090:�K?7�E�[ D
>?<�o @&Mb9 O-My; 5�@�9�C#MN]vKB>�G2DLI�;=My; I8> 5 @&<�:�9 ;?7�My; �
S8:�D&J�>8JF>8Q
ω� = ω
_ �
√ε % x D&[�Z�@&DFJ�G�[�]6JaE�G?: JF; A�:
A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�90O-P I8> 5 @&<�: 9B;0Q D KB:&UF50;BS�9�O-MN;
S8:�D&J�>8JL:&MN;�l
ω � ;
ω
=
ω %
√ε % + ε �
x 2 |8�
3
ω
0 S�:2DFJ�>8J�:�AB>�G2@LK8PT98>8D&JL98>8C#>�A85T:&U&Mb>890:Bc*�N<?5�;=UL;
CFKB:�90;�r O F
= 7 ABK�>8;�D&P�>8E�;�J I=> MNA8@�9�D�:�r0;�7
H 50@�I8JFK ;8S8@&DLI�;=P A8>85�@�Q�>?<�o @&Mb9 O-P�;�A8>�G�@�K8P09B> D&J�90O-P
I8>85�@&<�:�9�; Q 9 : S�:�D&J�>8J&@
ω = ω� c���K8@&U&[�5TY&J�:&JF@ G
E0; H 5�@LI=JLK�;BI8@ f6>=K=My;BK8[�@&J�D�7 JF>850Y?I > A8>85�@
AB>�G2@LKBP09B> D&JL98>8C#> A�50:2U�MW>�9�:^D S�:&D&JF>8J�>�Q
ω
2 |��
3?cdb:&J&[8P�:�9B;�@�A8>85�@LQ 2 |�M
3N; 2 | u 3W>�A�K?@�E8@&5?7�z�J�D#7*S�:&D�J�> J�>8Q
D&J�>�50I898>8G&@F9�;�Q
ν
c
� �
���������� ������
� �!$#��� �%�&
�eS�@&J A�KB> D&J�K�:�9�D&J�G�@�9�9�>8Q E0;�D�A8@�K8D�;0;
E0; H 5�@LI=JLK�;=S�@&D�I8>�Q�A K8>�9�; r�:�@&MV>8D&JL;�A�KB;0G2> E0;BJ8xpI8:?I
;BULG2@FD&JF9B>Tx I G�>?UL9 ;�I�98>�G2@L9�; ] E�>�AB> 5T9�;BJF@&50Y?9�O-P 2 AB>
D�K0:�G?98@�90;�] D PB>�5B>�E 98>�Q�A85T:&UFM�>=Q�3*G�> 5T9�c
4e5�7 9B@LG?OeK8>R� EB@L9�9B> C�> H 50@�I8JFKB>�9 98>8C#> C�:&U�:RD
MN:�I8D�G�@&505B>=G2DLI8;BM K�:&DLA K8@&E�@&5�@L9 ;8@&M K0:�G?98>�G�@&DL98>�Q
f6[�90IBr�;0; 8 % ( ; ) :�9�:250;�J&;�S8@&DLI8;B@ f6>�K8MW[850O E�5=7
f6[�90IBr�;0Q
ε (ω x+� )
2�2/� 3?x 2 jF|�3�3 2 D&Mvc x 9 :�A0KB;8MW@LK�xNh�|Bkc3
;
∆(ω B ~ � ) 2 | 7 3�[8E0:&@&J&D�7dA8>85�[8S�;�JFY J&> 5TY�I8>�G�G ;BE8@
:2DL;8MNA8J&>8JF;BS�@&D�I�;BP KB:�U�5 >��*@�9�; Q�c �
<8@&DFD&JF>?5�I89B>�G?;�J&@F5 Y 98>8M ABK�@&E8@F5 @ 2
ν → 7 3
� z
ε (ω x+�
) = ε %
j
−
ω� $
ω
$
�
+
� ~ $ l �$
ω
$
x
ω
G � ~ l � �
2 | � 3
� z
ε (ω x �
) = ε %
j
+
�
~ $�� �$
x
ω q e ~ l � 2 | � 3
2 l�� = √
� � � 0_J�@�AB5�>�G :�7 DLI?>�K8>8D&JFY H 5 @�I J�K8>�98>�G ���
0 J�@&MyAB@�K�:&JF[�K�: H 5�@�I8J�K8>�9�9�>?C�>uCF:&U�:B� � � = l � � ω � 0E�@&<�:&@LG2DLIB;�Q�K�:2E=;B[8D�� ~ $ = ~ � $ + ~ m $ 3
���
ε = √π� | ε
_
ω� $ ω
~ " l �"
z�|��
− ω
$
| ~ $ l �$
x 2 | � 3
t ��� ε t�q4q t � z ε � c
� E0:&5 Y 98@�Q0X\@FM < [8E�@&M A�K8@&E0AB> 5T:&C¤:2JFY x S�J&>
G?OvA8>8509=70]eJ&D�7n[8DF5 >�G?;87nDF5T:&< >�Q A�K8>8DFJ�K�:�9BDFJ&G�@�9098>�Q
E0;BD�A8@LK=DL; ;
ω� G4G ~ � l"! G4G ν
c
��>8C#E0:uf6[=9BI�r0;�7
∆(ω)
2 | 7 3�;�M�@F@&JmG?;8E�h � k
∆(ω
x ~ � ) =
ε % + ε �
ε % (ω
$
− ω� $ ) (ω
$
− ω
$ ) +
ε �
ε % ~ �
� � −
−
| } √
| �
π
ε #
ε _
ω� "
ω
" � � � � x ~ � � # q4q � c 2cb 7 3
�e��¢¤�&���b�&�c¢��#�`¤�¥#£�¦
§�£�¨&� ¥Q©v¨8�&¥�¦F¦�¨8��¥F�¬«£�� ®�¯ � %$
^*@&JLK=[�E 98> [�G?;�E8@&JLY�x S J&> G K8@&UF[850Y2JL:&J&@
;�9BJ�@&CFK�; K8>�G?: 9�;=7 A�>
ω
Gsf6>�KBMV[B50:&P 2 j � 3#~ 2 j � 3*AB> 5 @
70G�5=7=@&J&D�7�DF[�AB@LKBA8>8UL;�r ;8@�Q I8>?50@&<�:�9 ;�Q D K0:&U�9�O-MN;
S8:�D&J�>8JL:&MN;�l
ω� ( ! )
2 I?>�K�9 ; [=KB: G 9=@L9 ;?7
ε (ω � x �
) = 7 3;
Ω
2 I8>8K8@L9 Yw[�K�: G?98@�90;?7 ∆(Ω
x ~ � ) = 7 2 b 7 3�32l
� z
ω � = ω �
j
+
b
� ~ $�� # �
�
���
ω � = − ω� √π
� � z − × 1 ( $ ( 0����0 )
~4� � � �
�
2 b j�3
� z
Ω
= ω
�
+
ε �$
|
ε _ (ε % + ε � ) ~��
� �
�
� �
Ω
= − γ
= − √
� ?
π
ε�$
ε %
$ ~�� l � c
2 b |�3
wN5 @FEB[�@&J >�J�Mb@&J�;8JLY�xmS8J&> D�S�:&D&JF>?JF>�Q
ω� ( ! )
2cb j�3 G
A85T:&U&MV@RDF[�Z�@&DFJ�G�[�]6JaI8>?50@&<�:?9�;=7 I�:�I >8< o @FMN9�O�@2 A�@�K�G2>�@ DF5T:&CF:&@&MW> @�G 2 j � 3�3?xWJL:�I ;�A8>�G�@�K8P09B> D&J�90O-@Bc
�e90:&5T;8J�;8S8@FD�I8>?@ G O6K�:��*@�9�;�@ E�5B7 >?<8o0@&Mb9 O-P
I?>85�@&<=:�9 ;�Q MW>R�\9B>sA8>85�[�S8;�J�YBx0U�9�:�7tI=>�9 I�K8@&JL9�OeQ G?;�E
9�:&S�:&5TY�9�>8Q fv[�9 I8r0; ; 8 ( _ )(�Nx ; ) c D�> 5 @
A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�90O-P I8> 5 @F<8:�90;BQ D S�:&D&JF>?JF>8Q
ω � K�:�G 9B>
× �( � )(
5�x ~�� x � ) =
=
| } Y
~/� � �
ε %
z − (�. m ∫
− �
×
[ ξ
��J"� h ω� 5 + "
⁄ $ ω� n ξ � k z − ¬ ω
(ξ) �
ξ
$
+ ~ � � � �$ ×
× ∫� � C
8 ( _ )(ξ x C )�
− ξ( l�p � l � )
2 bRb 3
2
∫
� > U�90:&S�:&@&J ; 98JF@&Cv��:&5 G*D&MbO�DF5B@ C#5T:�G 98>8C#>wUL9 :&S8@L9�;=7W�
ξ = ~ m � � 3?c .b:�D&DFM�>8JLK�;=MdA8>�G�@�K8P09B> D&JL9 O-@ I8>?50@&<�:?9�;=7
D S=:&D&J&> J&>=Q
Ω
2 b |
3?c?wN>8> J�G�@&J&DFJ�G�[�]vZ�@&@ A8>85�@qG
A85T:&U&MV@wMb>%� 98> UL:�A ;8D�:&JLY
× �(
)( 5�x ~�� x
F
) =
(
)( 5�x ~�� ) � (Ω
B�~ � x
F )
� 2 b M�3
(
)( 5�x ~>� ) =
| } Y
~ � ��J � Ω
n z −γ�
� ×
×
ε � Ω
ε % + ε # ∫
−∞
∞ [�~ m
~ $ ε
�
(Ω
B � ) ∫ [ ;
8 ( % )(
� B ; )
Ω
−
�
]
c 2 b�u 3
��[09BI�r0;�7 h�K0;B90: � (ω
x ~ � x�F
)
>�A ;8DLO6G :&@&J
A�K=>�D&J�K�:�9�D&JFG2@L9 98>8@ K :&DLA�KB@&E�@&5 @L9�;B@ AB> 5B7
� (ω
x ~ � x F
) =
~��
π ∫
−∞
∞ � � m � �)( � m
~ $ ε (ω x �
)
c 2cb �
3
D*K�; 9�;�MW:&7dG�>�G?9�;BMy:�9B;�@Bx S?JF>�A K�;
ν → 7 G?I85�:&E�G
ε (ω x �
)
2 DFM6c 2/� 3?x 2 j�|�3�3->�J�K8@&UF>890:�98D�9 O-PsS�:&DFJ�;�ryx�E�5=7
I8>8J�>�K�O-P �
] = ω
2 U�:&J&[�PT:�9�;B@�g*:�9BE�:�[<3?x MN:&5aAB>
D�K0:�G?98@�90;�] D G?I850:2E�>8M >�J 98@LKB@&U�>�9�: 98D�9 O-PWx
�
(ω
x ~ � x
F
)
MW>'�*9B> A�KB@FE8D&JL:�G?;�J�Y G G ;BE8@
K :&UF5B>'��@�90;�7 A8> MN:&5�>8MW[ A0:�K�:&MW@&JLK=[
t � � ε (ω x<�
)
��� � ε
�
(ω
x !
) � c6� K�@&U�[�5 Y�JF:2J�@�E�587�DF5T:&< >�Q
A K8>8DFJ&K0:�98D&J�G�@�9098>�Q E�;BDLA=@LKBDL;B;�A�>?50[8S�;8M
� (Ω
x ~ � x�F ) =
j
ε(Ω
) � − ( .
m
+
~ � � �
ε
_ � −m ��� � −
−
} ω %$ ~ �
√
|
π ε
$
(Ω
) o �� Ω
" ∫
−∞
∞
[ l m�t l�m�t " z − � � 0 1 $����0 + � (Ω � 1�� � ) m c
2cb�� 3
D�@LKBG�>8@�D&5T:&C¤:2@FM�>8@�G 2cb'� 3qA K8@&E�DFJ�:�G�5=7=@&J DF>8< >�Q
G?I85�:&E G�;�9BJ�@&CFK�:&5 2 b �
3 AB> 5T]eD�: ~ $ = 7 ;WxvI8: I�; G
P > 5 > E09B>�Q A85T:&UFMW@Bx >8A0;=DLOeG?:�@&J A0K=>=9B;0I89B>�G�@�9 ;8@
A K8>8E8>�5 Y 98>�/ A8>�A8@LKB@&S�9B> C�> A�>?5�7Wx I8>?JF>�K8>?@
>8< [BDF5�>�G25�@L9B> I?>85�5 @LI=JF;0G?9�OeM A8>�G�@&E�@�9�;�@&M
H 50@�I8JFKB>�9B>�G�cn�NJF>8K8>8@�D&5T:&C¤:2@FM�>8@�@&D&JLY_KB@&U�[�50Y2JF:�J
[�S?@FJ�:sAB> 5T]eD�:
ε (ω x !
) = 7 A0KB;�<?>�5 Y X*;BP U&90:&S8@�9�;87�P
~ m G G � � � � 2 DFM�c :&DL;BMNA8J&> J�;�S?@FD�I8>8@zK�:&U&5�>R� @�9 ;8@2 | � 3v3?c �WK8@&JL;�Q S85�@�9 � " PT:�K�:�I8J&@LKB;�U�[B@FJ
<�:&5 50;�D&JF;BS8@FD�I8;0Q AB@�K8@L9B> D AB> 5B7 G�EB>�5 Y >�D�; F
U�:�K87���@�909�O-MN; S�:&D&JL;�r :&MN; 2 G�>?5�9�O � :�9
{4z&MyAB@�9�: h � k 3?c��WC�> Mb>%� 98> >8r�@�9 ;8JLY�A�KB; <�>?5�Y�X�;�P
U�90:&S8@�9�;=7=P F
F � G j � ~ � G4G � � x 2cb4� 3
;BDLA=>�5 Y�U&[ 7 MW@FJ&> E A=@LK8@�G :250:
� " (Ω
x ~ � x F
) =
, ω %
$ ~�� F
√
b
Ω
$ ε � (Ω
)
z − " 1�� (Ω� m 1�� � ) 6"!$# ×
× �����
b
√
b
M
Ω
F
l �
$ 1 "
−
�
πb
c 2cb4� 3
{v: I G ;8E 9�>�;8U 2cb4� 3�x H 5�@�I8J�K8>�9�Oifv>8K8MN;0K=[=]6J�A8>85�@Bx
I8>8J�>�K8>8@ 9 :�<�>?5�Y�Xw;8P KB:�D&DFJ�>?709�;=7�P 2cb*� 36[�<�OeG?:&@FJ AB>
H I8D�A�>89�@�9�r ;�:�50Y?98>8MV[�U�:�I8>�98[�D F $ 1 " G�AB>�I�:&U�:&J&@F5�@�;
D&>8E�@LK��\;BJBx=9�:�K=7�E�[uDeU�:&J&[�PT:�]�Z*;8M6x�>?DLr ;B5�5�;BK8[0]vZ�;0Q
MW98>��*;?J�@&5=YBc ^*:�K�:�D�DFJ�>&7098;?78P Ff�
(
� ?&%
)
�
Ω
� ? ( ~ � " l !� )H JF> A8>85�@ A�K8@�G�>8DFPB>�E ;8J G�@&50;BS�;�9�[ A8>8587Wx
>�A�;BDLOeG?:&@FMW>8C#> A8@LK G O-M D&50:�C�:&@&MNO-M G 2 b�� 3?xs; @&C�>
<8[8E�@&M 9 :&ULOeG?:&JLY A�>?50@&M :�9B> MN:&5TY�9�>?C�>
A K8>�9�; I�9B>�G2@L9 ;?7 9B: S�:&DFJ&> J&@ A8>�G�@�K8P09B> D&J�90O-P
� c �e��¢��F���W�F�£¢����`¤
¥�£�¦�§�£�¨&�`¥Q©£¨8�L¥§¦&¦L¨8�ª¥F�¬«c��`®�¯
A85T:&U&MV>�98>�G
Ω
c�E :&50>?DFJ�Yu@&C�>�:&MNA85T;8JF[8E0O DLGL7�UF: 9�: D
E�G�[BMT7 f�:�I8J�>�K�:&MN;yc �N>R/}AB@�K�G O-P xm>�98> >?<�[8D&50>8G�5 @L9=>
MW:�5�>�Q G�@&50;BS�;�9�>8Q E0;BDFD�;�A :&JL;�G?9�>8Q S�:&DFJ�;
E�; H 5�@�I8J�K�;BS @&DLI8>�Q ABK�>890;�r :&@&Mb>?DFJ�; ���
ε
� c �N>�/
G2J�>�K�O-PNx0G�<�:&5 50;BDFJF;BS8@FD�I?>8M AB@LK=@L9B> D&@�[�S�:&D&JLG2[�]eJ*G�D&@
H 5�@�I8JLK=>�9 O DF> D�I8>�K8> D&J�7�MN; 7 q l m q ∞
x
G2UF: ;8MW>?E�@LQBD&JFG�[87 KB@&U�>�9�: 98D�9 O-M�>�<8K0:&U&> M D�K0:&U�9�O-MN;
A�K=>�D&J�K�:�9�D&JFG2@L9 9�OeMW;�C�:�KBMV>�9�; I�:&MN;�A8>�G�@�K8P�9=>�D&JF9 O-P
A85T:&U&MV>�98>�G�; DF>8U&E=:?G :�7 GpC�5 [8<�; 98@ A=5�:&U&MbO A8>8587�D
K�:&U&50;BS�9�O-MN; f6:�UF:2Mb;yc �yO6K�:��*@�9�;�@ 2 b4� 3 @&DFJ�Y
K8@&U&[�5 Y�J�:&J ;09=JF@�K�f6@LK=@L9 r�; ; H J�;8P AB> 5 @�Q�c
weK�:�G 9B@�9�;�@ G?OvK�:���@L9�; Q E�587 A8>85�@�Q ;
E8@�I�K8@&Mb@�9BJ�>�GwUL:&J&[8P�:�9�;=7tA=>=G2@LK=P�98>8D&JF9 O-P I?>�5B@F<�:�9 ;�Q
D�K�:&U�9�OeMW; S�:&D&JF>?JL:&MN;
ω � 2cbRb 3�;
Ω
2cb M<3�~ 2cb�� 3 2 D>?E098>�Q ; J&>�Q���@uC�5B[�<�;�9B>�Q�ABK�>890;�IB98>�G�@�9�;87WxbK�:�G?9�>8Q
j � ~ � 3�AB>�I�:&U�OeG :2@FJ8x S8J�>�:�MWA�5 ;�J&[8E0:
× �( � ) MV@�9 Y�X*@Bx
S?@FM :&MNA85T;8JF[8E0:
× �(
) x0>8E09�:�I=> I8>?50@&<�:?9�;87 D S8:�D&J�>8JF>8Q
ω � DF[�Z�@&DFJ�G�[�]6J*E�>?5�Y�X�@BcD6>�5B@sA�>8G�@�K8P�9=>�D&J�9�O-P�I?>�5B@F<�:�9 ;�Q G E0; H 5 @LI?J�K�; I8@F e 7 >8A0;=DLO6G :&@&JFD�7tf6>�KBMV[B5�>�Q
$ � ( 5 x ~ � x F
) =
� } Y�~�� � �
ε �
z (�. p ×
×∫
−
×
×
[ ξ ��J � (ω � n +
b
| ω � 5 ξ $ ) z − ¬ ω
(ξ) � ∫? [�C 8 (
_
)(ξ
x ;
)j
− ( o p � l � )ξ
+
+
(
)( n�x ~ � ) � ( . m c 2 M 7 3
D6>�5B@ 7BG25�7�@&J�D�7aDF[�AB@LKBA�>?UL;�r ;B@LQRI8> 5 @&<�:�9 ;�QRD
K�:&U�9�O�Mb;iS�:&DFJ&> J�:&MN;
ω � ;
Ω
x UF:�J�[BP0:�]�Z*;�MW;n9�:
C#5 [�<8;09=@�j � ~ � G�E8>850Yw>8DL; F c
����� ��� �������� �!$#��� �%�&
� DF5B[�S�:&@sG?OeK�>%�*E8@L9 98>�Q AB50:&U&MNO�Dsfe@�KBMb;B@LG2DLI8>8Q
f�[09�I�r ;8@�Q K�:2DLABK8@FEB@F5 @L9B;87 E0; H 5 @LI?J�K�;�S8@&DLI8:L7
A�K=>=9B;0r :&@FMW>?DFJ�YuK�:�G 9 : h u k
� z
ε = ε %
j
+
b
ω� $
~ � l�� $
j
−
j
| ω~ l �
�� ω + ~ l �
ω − ~ l
�
�
2 M�j�3
� �
ε =
ε %
b
π|
ω� � ω
� " l
� "
x
7 x
− ~ l � e ω
e � o�� �
tω t � � o �
2 M�|�3
2 l � 0 f6@�K8MN;�@�G�D�I8:&7 DLI8>�K8>?DFJ�Y H 50@�I8JFKB>�9B>�G�3?c��[09BI�r0;�7
∆(ω)
>8JF5 ;�S8:�@&J�D�7�> J G?OeK0:���@�90;�7 2 b 7 3J�>850Y?I8>sMW90;=Mb>�Q S8:�D&JFY ] ; >�A K8@&E�@&5�@L9 ;8@&M � �
���
∆(ω) = −
b
M ω� �
ε _ ω� ~�� o � � � � =
l
�
√
b
ω �
c 2 M b 3
� f6>8K�M�[�5�@ E�587 AB> 5B7 G A=5�:&U&MW@ 2 j � 3 A K�;
; 98J&@FCFKB;�K�>8G :�9 ;�;sAB>
ω
x=G�E8>=A=>�5 9�@�9�;B@ I8>uG I?5T:&E0:&M >8J
AB> 5T]eD&>�G 2cb j�3q; 2cb |�3?xd9�@&> <8P�>8E0;8MW>`[�S�;BJLOeG?:&JLY
G?I85�:&E�>8J�J&>8S @�I G�@&JLG25�@�90;?7�f6[�9�I�r ;�;
ε (ω x��
)
2 MVj�3?c
� K8@&U&[�5 Y�J�:&JF@ AB> 5 @ G AB50:&U&Mb@ 7BG25�7�@&J�D�7
D&[0A8@�K�AB> U�;0r�;B@�Q�A8>85�@�Q
× � (
5�x ~ � B F ) =
× �( � )(
5�x ~ � x
F
) + � � �(
)( 5�x � � x�F ) +
+
× �(
�
)(
5�x ~ � x
F
)
x
C�EB@
× �( � ) x
× �(
) >�A ;8D�OvG :�]�JFD�7sfv>8K8MW[85�:&MN; 2cbRb 3e; 2 b�u 3?c
� I8> MNA8>�98@�9BJF@
× �(
) MN9�;BMb:&7sS�:&D&JLY � (ω
x � � x
F
)
2cb �
32x
I8>8J�>�K�:�7s>�A�K=@FE�@&5B7=@&J�D�7 ���
ε (ω x+�
)
x=;BMb@&@&J ; 98>�Q�x�S�@&M
G f6>�K8MW[85 @ 2cb�� 3?xsG ;BE�; E85�7 <8> 5TY�X*;BP�UF9 :&S8@L9B;0Q
F G4G � � A�K8@�9�@&<�KB@v�*;BMV> MN:&5�:Bc��W:�I�;8M�>8<�K :&UF>?M6x�E�5=7
G?OvK8>%�*E�@�9�9�>?C�>sC�:&U�:
� (Ω
x � � x � ) −�
j
ε(Ω
) �
− (�� m +
~ � � �
ε �
z −p ��� � c
4e5�7dG O�S�;BDF5�@�9 ;?7 A8>8587
× �(
�
)(
5�x ~ � x
F
)
G I8>�98JF[�K
; 98J&@FCFKB;�K�>8G :�9 ;?7 AB>
ω
G 2 j � 3�D&50@&E�[8@&J G?I850]6S�;8JLY
; 98J&@FCFKB;�K�>8G :�9 ;8@ A8> <?@LKB@FC�:&M K0:&U�K8@&UL: G�E�>?5�Y
E�@�QBDFJFG?;�J&@&50Y 98>�Qw>8D�;
( ~ l � x
∞)
;
(− ~ l � x
−∞)
c � I850:2E
>8J J&> S8@LI G�@&J�G�5 @L9�;=7 E0; H 5 @LI?J�K�;BS�@&D�I >�Q
A K8>�9�; r�:�@&MV>8D&JL; 2 M�j�3 G AB@LK�G?O-@�<�O-5�K :&D&DFMW> J�K8@�9 G
K :&< >8J&@ h � k&xsA�>?DLGL7BZ�@�9�9�>8Q�9 :&S�:&50Y 9=>=Q U�:&E0:&S8@�E�5=7
A K8>8E8>�5 Y 98>8C#>�AB> 5B7 G <�@&U�CFKB:�90;8S�9B> M�G?OeK8>R��E�@L9 98>8M
H 50@�I8JFKB>�9 98>8MzC�:2U�@�c��*E�90:�I=>�G�K :&DFD&MN:&JLK�;BG :�@&MV>�Q
>8C�K0:�9B;�S8@�9�9�>8Q̀ DFJ�K8[0I?J&[=KB@q;09=JF@&CFK�;�KB>�G?:�90;=@�G�E�>?5�Y
<8@�K8@FC�>�G K :&ULK=@FU�: DF[�Z�@FD&JFG�@�9 98> >8J�5T;8S�:&@&JFD�7 >8J
>8E098>8M�@LK 98>8C#> D&50[8S�:�7 G h � k G�>?UFMW>%� 98>8DFJ&Y ]
G?OeS�;BD&5�@L9 ;?7�K�:2DLA�K=@FE�@&5 @L9�;=7pAB> 5B7pG A�KB> D&JLK�:�9BD&JLG2@�c
4 G2[8Mb@�K�9B> D&JLYuG2>8509�>8G�>8C#> G2@LI8J&>�KB:uA0K�;BG�>8E0;8J I J&> MW[�x
S8J&> G�; 98J&@FC&K�:&5�:&P A�> � p G 2 j � 3 A�>?E0Oe9�J&@&C¤KB:�50Y?9�O-@
G?OvK�:��*@�9�;=7 DF>8E�@�KR�*:�J D&5�:&C�:2@FMWOe@ D
>8D�r0;85 50; K8[�]�Z*;8MN; MN98>R�*;�J&@F5=7=MN;
����� ± } h ~ m F − l
� n √~ � $ + ~ m $ k\� 2 MRM<3
����� ± } h ~ m F + l�� n √~ � $ + ~ m $ k�c 2 M u 3
� A�>?50@ � × �(
�
) >8D�98>�G 98>�Q G I85T:&E E0:�]eJ S�5 @�9�O�x
A K8>�A8>�K�r ;8>�9�:&5�Y�9 O-@ H I?DLAB>�9B@L9=JL:&M 2 MRM<3?x�JL:�I I�:�IuE�5=7
9 ;8PzA K�;�M�@L9 ;8M MV@&JF>8ERDFJ�:�r ;8>�9�:�K09BO-Pzf :&U A K�;
<8> 5TY�Xw;8P�U�9�:�S?@L9 ;?7�P A :�K�:�M�@FJ�K8>�G
n o
� ~ � G4G j 2 M��
3
2 >8D&JF:�50Y?9�O-@iDF50:2C�:&@FMNO-@nG
√
5 l � ~ � K0:&U MW@�9�Y X\@'3?c
��>8S�I�:wD&J�:�r0;8>�9�:?K�98>�Q�f�:&U�O�K :�G 9�:
�e��¢¤�&���b�&�c¢��#�`¤�¥#£�¦
§�£�¨&� ¥Q©v¨8�&¥�¦F¦�¨8��¥F�¬«£�� ®�¯ � �
~ m × = ~>� �
√5 $ l�� � −
F $ c 2 M � 3
^ :�K�:&D&DFJ&>�709 ;?7�P$FsMW@L9 Y�X*;BPWx�S8@&M A�[8J�Y H 5�@�I8J�K8>�9 :6UF:
G?K8@FM�7 5
5 l�� G F G4G
j
� �
x 2 M � 3
A8>85�@
× �( � ) ;8MW@F@&J*>8DLr ;85 50; K8[�] Z�;�Q PT:�K�: I?J&@LK�l
× �( � )(
5�x � � x
F ) = }
%
√
|
� " 1�� π√π
√~ % � � ×
×
ω(
% )
� (ω
_ x ~ � x 7 )
(ω� 5 ) " 1 $
�vJ��
~ � √5 $ l � � −
F $
+ πM
x 2 M � 3
ω(
_
) = ~ % ( n�x�F ) o � q e ω � x
~ % ( 5&x�F ) = ~*�
5 l �
√5 $ l � $ −
F $ c
D KB;�G OeAB> 5T98@L9 ;�;�98@�K :�G�@�98DFJ�G :Bxv>8<8K0:&J�98>8C#> 5�@�G�>8MV[
98@�K�:?G�@�98DFJ�G�[�G 2 M � 32xpA=>�5B@
× �(
�
)(
5&x ~ � x�F
) H I8D�A8>�/
98@�9 r�;0:&5TY�9B> U�:&JF[8P0:2@FJ 2
× �(
�
) � zv|�� h
− ~ � √
F $
−
5 $ l � $ k 3?cw-5�@&E�[8@FJ >?JFMW@&JF;�J�YBx S8J�> A�>?50@ : 9=>�MW:�50Y?98>8C#>
A�K=>=9B;0I�9=>=G2@L9B;87 2 M � 3�;BMV@&@&J�;�9B[�] f�;8UL;=S�@&D�I8[�]
A�KB;0K8>8E8[Wx S8@&M >?DLr ;85 50;0K=[=]�Z�@&@ A=>�5B@ G
MW: I?DLG2@F5 5�>�G�D�I8>8Q A=5�:&U&MV@ 2cb4� 3?x*J�:�I�I�:�I�D�G&7�U�:�98>�D
98@&E0;8D&D�;0A�:2JF; G 98>�Q S=:&D&J�Y ] E0; H 50@�I8JFK ;8S8@&DLI8>8Q
A�K=>=9B;0r :&@FMW>?DFJ�; � z
ε (ω x<�
)
c �N:&5050;BD&JL;8S8@&DLIB;�Q
A8@�K8@�9�>?D H 98@�K�C�; ; A8>8587 >?DF[�Z�@FD&JFG25�70]eJ G�D&@
H 5�@�I8JLK=>�9 O�x E0K8@�Q�f6[�] Z�;�@ >8J�A�>8G�@�K�P09B> D&J�; G C�5�[B<�Y
A85T:&U&MbOwxnG�U�:�;�MW> EB@LQ8D&J�G�[?7 D_<8> 5TY�X ;8M 90:&<8>8K8>8M
A�K=>�D&J�K�:�9�D&JFG2@L9 98>�/}G?K8@&Mb@�9�9 O-P C¤:�KBMV>�9�; IdA=>�5=7bc @*U�/
UF: K8@&ULI?>�Q CFK�:�9 ;�r O�Gsf6@�K8MN;�@�G�D�I?>�M K�:&D�A K8@FEB@F5�@�9 ;�;
H 5�@�I8JLK=>�9B>�GwA8> D�I8>8K8>8DFJ�7�M G?O-E�@F5B@L9 98>�Qw>�I�:2UFOvG?:&@FJ&D�7
C�K8[0ABA0:iS�:&D&JL;�r G�<?5�;=UL; Mb:?I D�;BMy:&5 Y 9�O�PqUL9B:&S�@�9 ;�Q
l m −� l � 2 G I=5�:&E >8D&JF:�50Y?9�O-P S�:&D&JL;Br G�U�:�;BMy9=>
I?>8MNA8@L9BD�;�K8[�@&J�D�7�3?ckE :&50>?DFJ�Y�G�@&50;BS=;B90O :&MyAB50;BJ�[�E�O
A8>8587
× �(
�
) ;8MW@F@&J D&J&@LA8@�9 98>�Q P�:�K�:�I=JF@�K ;
>8A0K8@&E�@&587�@FJ&D�7 My:&5 > S�;8D&5 @L9�9B> D&J�Y ] H J&>�Q CFK8[�A A�O
H 5�@�I8JLK=>�9B>�G c
46> D�;8P�A8>�K�A K8@&E0A8>850:2C¤:&5 > D�Y xTS8JF>�;�9BJ&@FC�K�:25 2 jF��3
G*f6>8K�M�[�50:&P 2 j � 3#~ 2 j � 3->�A�;BDLOeG?:&@FJ�r�@&50[�] fe[09BI�r0;B]
I?>8MNA850@�I?DL9B> C�>�A�@�K8@&Mb@�9�9B> C�>
ω
G�9 ;R� 98@�Q�A�>?50[�AB5�>�/
D�I?>�D&J�;�c��N>�>?<�Z�@ C�>�G2>=K�7bx�f6[�90I8r ;87 2 j��
3nMW>��*@&J
;8MW@&JLY�K?7�E >8DF>?<�@�9�9B> D&JF@�Q�A�K ;
ω = ω � x AB> 5 >��*@�9�;B@I?>8JF>8K�OeP G�A=50>?DLI8>?DFJ�;
ω
UL:�G?;�D�;8J JF>850Y?I > >8J G?;�E�:
9�:&S�:&5TY�9�>?C�>�G2> U&Mb[�Z�@�9 ;?7 ;�9=@�D�G&7�UL:�9=> DF> DLG2>�QBDFJ�/
G?:&My;�KB:�G 9B>�G�@&D�9�>8Q�A�50:&U&MNO�c�D >?50@Bxv>8< [�D&5�>�G�5B@L9 98>8@
>?DF>8< @�9 98>8DFJ#7�MN; fe[09BI�r0;B; 2 jF�
3?x D&>�EB@LKR�*;BJ
D&50:&CF:&@&MNO-@nJF;0AB:
� (F x � � ) z − ¬ ω �
� − � ��µ ω ��� x ;q@&C#>
M�>'�*9B>aK�:2DFD&Mb:2JFK0;BG :&J�Y�IB:�IaAB> 5 @ G�>8U&MV[0Z�@�9�9 O-P
I?>85�@&<=:�9 ;�Qyc
!<
�����!��81����&,�.21�1�
�� ,%!�.��y.21�1���-�����!���������!
����
R&T.�"
,u/ 3���&0.�����!�3��0. �$���8.���
%��������.�����
=,�������'��/�)e,��81�3�-
@*DFD&5�@&E�[8@FM H G2> 5T]vr ;0] ; K�:&D�A K8@FEB@F5�@�9 ;8@
H 50@�I8JFKB> MN:&CF9B;�JF9 O-P AB> 5 @LQ G E�; H 5�@�I8J�K�;0I?@Bx
[�S8;�J�OeG :�7 H f f6@�I8JFO U�:�A�:2U�E0OeG :?9�;=7 ;
A K8>�9�; I�9B>�G2@L9 ;?7aA8>8587_;�UqPB>�5B>�E�9B>�Q_A=5�:&U&MNO�cd�
D&50[8S�:&@ P�>85�>8E=9B>�Q A�50:2U�MNOnG�G O6K�:��*@�9�;0; E�5B7pA=>�5=72 j8j�3
ε � (ω x ! ) = ε (ω B � ) = ε(ω)
c 4e5�7 :?9�:&5T;8UL:
f6[�90IBr�;0]
$ � ( 5�x
F )
2 j8j�3 [�E8>8<�9B>�A K8@&E�DFJ�:�G ;=JLY I8:?I
D&[�MVMW[ JFK�@&PsD&5T:&CF:&@FMNO-P
$ � = Σ � = ×}ã $�ã " � �( � )( 5�x ~ � x�F
)
c
D�@LKBG OeQ S85 @L9
�( × ) @FD&JLY�A=>�5B@�>?<�o @&My9=>=Q G2>�5 90O D
S�:&D&JF>8J�>�Q
ω � ( ~ ) =
N ~
√ε $
x 2vu 7 3
D&>8UFE�: G?:&@FMW>?@ 9 :&S=:&5TY�9 O-M G2> U&Mb[�Z�@�9 ;8@FM G
E0; H 5�@LI=JLK�;BI8@ 2 AB@LKBG�> @ D&50:&CF:&@&MW> @�G�f6>�K8MW[85 @ 2 j j�3�3?c
� OeK :���@L9 ;8@�
�( $ )(
5�x ~R� x
F )
>�A�;BDLOeG?:&@FJ&D�7 AB> D&50@&E09�;BM
S85 @L98>8M�G IBG :&E0K�:&J�9�O�PsD�I8> <�I8:�P G 2 j8j�3e; >=ABK8@FEB@F5B7�@FJ
AB> 5 @ G�>?5�9BO�x0DLGL7�UL:�9 98>8@�D 90:&S�:&50Y?9�OeM�G2>8U�MW[=Z�@�9�;�@&M
GwE8; H 5�@&I J�K8;8I?@ 2 j u 3Lc���K?@�J&Y�@�D�5�:�C�:�@�MV>�@
�( " )(
5�x ~R� x
F )
x
>8< [BDF5�>�G25�@L9 98>8@uA0K8>890;BI�9�>8G�@�90;=@FM G�>8509 Od;=UmAB50:�U�MyO
G E0; H 50@�I?JLK�; I ;�;BMV@�] Z\@F@uG ;8E
�( " )(
5�x ~ � x�F ) =
}
(
|
π)
$
ε $ ×
× ∫
−∞+ � σ
∞+ � σ
[ ω
√~�� $ − (ω � � N $ )ε $
ωε(ω)∆(ω)
z − � ω � − - m - √(�� 0 − (ω
6 1 � 0 )ε 0 ×
× ∫
−∞
∞
[<~%p
� (
%
)(
!
)
~ $ − (ω
$ ? N � )ε(ω)
x 2vu j�3
� (
%
)(
�
) = ωN ε(ω)
~%m � � × ( s )( � ) − ωN ε _ � � �(
%
)(
�
)
+
+ ~ � ε % ( � > �(
%
)(
�
))
x
@&DFJ�Y I8> MW<8;09�:?r�;=7 f6[=9 I8r0; Q 2 j`M<32x G I8>?JF>8K0O-P
� (
%
)(
�
) = 7 c ��;�9BJ�@&CFK�:&5TY�9�>?M�A�KB@FE8D&JL:�G250@�9�; ;�A=>�5=7
�( × ) D&[0Z�@&DFJ�G�[8@&J J�>�5 Y I8> >8E=9 : >8D&> <8@L9B9�>?DFJ�Y G
A K8>8DFJ&K0:�98D&J�G�@ I8> MNA85 @�I8DL9=>=Q A8@�K8@FMW@�909=>=Q
ω
0
AB> 5T]eD 2cu 7 3?c Dv>8E=O698J&@FC�K :&50Y 98>8@ G OeK�:�� @�9 ;8@ E�5=7
AB> 5B7
�( $ ) G�A=50>?DLI8>?DFJ�;
ω
I8K�>?Mb@ A�>?5�]�DL: 2vu 7 3D&>8E�@LK��\;BJnA8>850]6DL:n; J&>8S�I�; G�@&JLG250@�9�;=7 f6[�90I�rB;0;
∆(ω)
cV4v5=7tPB>�5B>�E�9B>�Q�AB50:2U�MNO
∆(ω) = √~�� $ − (ω � ? & � )ε $ +
ε $
ε(ω)
√~�� $ − (ω
$ � N $ )ε(ω)
c
� c¯ �e��¢��F���W�F�£¢����`¤
¥�£�¦�§�£�¨&�`¥Q©£¨8�L¥§¦&¦L¨8�ª¥F�¬«c��`®�¯
2cu |�3
Dv>850]6D�:
∆(ω � � ) = s 2cu%b 3
A8>?70G�5=7B]6J�D�7 A�K ; [8D&5�>�G ;�;
ε(ω � � ) q 7 x :
ω � �>8A0;8D�OeG :2@FJ=x I�:�Iq;BUFG�@&DFJ�9B>Tx�S�:2DFJ�>�J&[q;qU�:&J&[�P : 9�;B@
A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�9�>?C�> AB> 5B70K�;8J&>=9B:Bc�� OeK�:��*@�9�;B@ 2cu |�3
;8MW@&@FJ E0G?: J�;�A0: JF>?S8@LI G2@FJ�G�5 @�9�;87Wl 9�:
E8@�Q�D&JLG?;8J&@F50Y?98>�Q > D�; J&>8S�I�;
ω ×}ã $ = ±
N ~>�
√ε $
2cu M�3
;�I?>8MNA85 @LI?D�90O-@wJ�>8S�I�; G�@&JLG250@�9�;=7
ω = ω""ã �� z
ω ��� � = ± √ω� � +
& � � � � � ε
_ �
� �
ω ��� � = −
νω � $
|
(
� z
ω " )
$ c
2cuRu 3
��G8OvK :���@ 90; ; EB5 7
�( $ ) A @LKB@ Q�E @�M G�AB50> � IB>8D�JL; ω>8J ;�9BJF@&C�K�;0K=>=G?:�9�;=7 G A K8@&E�@&50:�P
(−∞+ } σ x ∞+ } σ)
I
UF:2MbI�9B[8JF>?MW[ I?>=9=JF[�KB[VxnD&>�D&J&>�70Z�@&Mb[ ;8Ua>8J�K8@&ULI8:
(−� + } σ x � + } σ)
xyAB> 5 [8>�I�K=[��*9�>?DFJ�;�K�:&E ;8[�D&> M � → ∞G 90;R�w98@LQ AB> 5 [=A=50>?DLI8>8D&JF; ; A K?7�MW> 5T;�9�@�Q�9 O-P
>?JLK8@&U�I8>�G G2E�>850Y 50; 9�; ; K�:�U&K�@&UF:
(− N ~ � ? √ε $ x N ~ � � √ε � )
x
(ω " B ∞+ ��� ω " ) ;
(−∞+ } ���
ω�
x
ω � )
ce��JLK=@FJ�Y�@&M�D&5T:&C¤:2@FM�>8M AB> 5B7 � �( " )
>?DF>8< @�9 98>8DFJ#7�MN; A8>8E0Oe9=JF@&CFK�:&5TY�9�>8Q fe[ 9�I�r ;�;
70G�5=7B]6J�D�7 A8>850]6DL: 0 I8>�K�9 ; [�K�:?G 98@�90;�7
ω
$
ε(ω ) = N $ ~4� x 2cu ��3
A8>850]6D�:
ω = ω � � ; J�>8S�I8;�G�@&JLG25�@�90;?7 2cu M<3w; 2vuRu 3?cN�
H J�>8M D&50[8S�:&@zI8>�98J&[=K ;B9�J&@FC�K�; K8>�G :�9B;87 [8E�>8<89�@&@
G?O-<�K :&JLY J�:�I�x S8J�>8<�O >�9 G?I?5�]�S=:&5 G D&@F<27 5T;�9 ;�;
K�:&U�K8@&UL:
(∞
x N ~ � � √ε$ )
x
(−∞
x
− N ~ � � √ε $ )
;
(ω " B ω � )
c
� D&5T:&C¤:2@FMWOeP
�( $ ) ;
�( " ) ;�9BJ�@&CFK�:&5TO�A=>
ω
G2E�>850Y
50; 9�; ; K�:&ULK=@FU�: [8E0:&@&J&D�7 G O-S�;8D&5�;8J�Y
:&D�;8MNA�J�>�J�;8S8@&DLI�;bx ;8D�AB> 5TY&UF[?7 MV@&JF>8E D&JF: r�;B>�9 :�K�9 O-P
f6:�U*A0KB;s<8>?5�Y�X*;BP UL9B:&S�@�9 ;?7�PtA :�K�:&MW@&JLK�: ~ � N 5 � √ε �
c
��K8@FU&[85�Y&J�:&J&@sA�>?50[8S�;8M6xVS8JF>�G E�; H 5�@�I8J�K�; I @ 9�:�K=7=E8[
Dq;BUFG�@&DFJ�9 O-My;̀ M�>�E :&My; 0 >�<?o0@&MN9�>8Q̂ G�> 5T98>�Q̀ D
S8:�D&J�>8JF>8Q
ω� ( � )
2cu 7 3 ; A=>=G2@LK=P09�>?DFJ�9 O-M
A8>85870K�;BJ&>�9B> M D S�:&D&JF>?JF>8Q
ω� � 2vu�b 3�0_D&[�Z�@&DFJ�G�[�]6J
I?>85�@&<=:�9 ;?7 ;�9B>�Q A�KB;0K8>8E�Owc �*E098>d;8U�90;=P A K8@FEBDFJ�/
:�G2587�@FJuD&> <8>�Q�G?I?5�:&E�Gs; 98J&@FCFKB:&5�O A8>
ω
>8JuA�>?5�]�DF>�G2cu ��3u; DLGL7=U�:�9B>�D�A�K8>�9�; I�98>�G�@�9�;B@FM�A8>8587�>�<?o0@&MN9�>8Q
G2> 5T9�O
ω
;8U A=>�5B[0A�K8>�G�>?E09 ;�I�: G E0; H 50@�I8JFK ;�I�c�� 9=>
UF:?A�;BDLOeG?:&@FJ&D�7�GsG?;8E�@u;�9�J�@FCFKB:&5�:uA8> ~ m l
� � = � �(+) +
�(−) x 2cuR� 3
� �(±) = −
j
M
πε
_
ε $ ∫
−∞
∞
[<~Rp √� � $ − (ω
$ � N $ )ε $
~ $ ∆(±ω )
� (
%
) ×
× � � �
± } ω ( ~ m )
5
−
, t F tN √ω
�$
ε � − ~ � $ N $
c
D�> 5 @ G�J&>=K=> C�> J�;�A : 70G�5B7=@&J&D�7 K8@&U&[�5TY&J�:&JF>8M
G?OeS�;BD&5�@L9 ;?7�;�9BJ�@&CFK�:&5 >�G�A=>
ω
; ~ m G�EB>�5 Y < @�K8@FC�>�G
K :&ULK=@FU�: G AB5�>8DLI8>?DFJ�;�I8> MNAB5�@�I8DL9=>=Q�AB@LK=@FMW@�9�9�>8Q
ω
c
�-JF>�A�>?50@�>?<=KB:&UF>8G : 9=>dI >85�@&<�:�90;�7=MN;�x G2>�U�9�; I8X ;8MN;
I�:�I G�E ; H 5�@�I8JLKB;�I8@BxyJ�:�I�; A0K=>=X\@FE0X�;8MN; G 98@&C�>�;�U
AB50:�U�MyO�c 4v5=7 <�>?5�Y�Xw;8P UF9 :&S8@L9�; Q A :�K�:&MW@&JLK�:
N 5 � √ε$ G FfG j � ~ � H J&> A8>85�@u;8MW@F@&J G?;�E
� � ( 5 B F ) =
Θ( N 5 � √ε $ −
F
)
√~�� N 5 ? ε $
h��
(
� (
%
) x 5 B�� ) +
+ (
(
%
) x�5�x � )
k �����
� � √N $ 5 $ � ε $ −
F $
+
b
πM
2vu>� 3
2
Θ(
y
)
0 f6[�90I8r ;87 ��@�G ;BDL:�Q=E0:Bl
Θ(
y G 7 ) =
j?�
Θ(
y q 7 ) = 7 3?c
� ����&�
��.�1B3�.
�W:�I�;8M >8<�K�:2U�>8MvxdG KB:�< >8J�@ A=>�5B[�S8@�9aA=>�5 90OeQ
D�A�@�I8JFK D&> <8DFJ&G�@�909�O�PaI8>?50@&<�:�9 ;�Q H 5�@�I8J�K�;8S8@&DLI8>?C�>
AB> 5B7�G A=5�:&U&MW@ ; C�K0:�9�;BS�:�Z�@�Q D�9�@�Q 9B@FE ;8DFD�; A�:�/
J�;0G?98>�Q�; 9B@&E=;BD�A8@LKBC�;0K=[=]�Z�@�Q DLK=@FE�@ 2 G?:�I8[8[�MV@ ;=5�;
E0; H 5�@LI=JLK�;BI8@'3?c�^m:&<?>�K D&> <8D&JLG2@L9�9 O-PiS=:&D&J&> J�JF:?I >�Q
D�;�D&J&@FMWO >�A K8@FEB@F587�@&JFD�7�>?DF>8<?@L9 98>8DFJ¤7=MN;^f6[�90I�rB;0Q
K :&DLABK�@&E8@F5 @L9B;87 H 5�@�I8J�K8>�9B>�G G K�:�G 9B>�G2@FD�9B> M ;
G2>�U&MV[ Z�@L9B9�>?MnDF>8D&JF>27B9 ;?7�P cm�nP > 5 > E09B>�Q A85T:&U&MV@�D
G2>�U&MV[ Z�@L9B9�>8Q 9 :&S=:&5 Y 98>�Q I8>�9�rB@L9=JLK�:?r�;B@LQ
H 50@�I8JFKB>�9B>�G�x I=>�J�>=KB:�7 K�:&D�A0K8@&E�@&5�@�90: G2> G2DF@&M
AB> 5 [�A0K8>?DFJ�K�:?98DFJ�G�@Bx 90:�K?7�E�[ D A8>�G2@LK8PT98>8D&JF90O-MN;
I8>85�@&<�:�9�;=7=MN; 9�:`S�:&D&JF>8J�@
ω
2 |8��3 DF[�Z�@&D&JLG2[=]6J
AB>�G2@LKBP09B> D&JL9�O�@ ; >8< o @FMN9�O�@ I8> 5 @F<8:�90;�7 9�:
5 @L9=C�MN]vK8>�G�D�I8>8Q S�:&D&JF>?JF@
ω � c^�b>8U&5�@ CFK�:�9 ;�r0O
K :&UFE8@&5�: DLK8@&E :&MNAB50;BJ�[�E�Oa; f�:&ULO_AB:�K0r�; :&5TY�90O-P
AB> 5 @LQ DwS�:�D&J�>8J&>�Q
ω� G�U�:�;BMy9=>tI?>8MNA8@�9�D�;�K8[0]�JFD�7 ;�G
E0; H 5�@LI=JLK�;BIuA�>?50@6DvJF:?I >�QwS�:&D&JF>8J�>�Qu9B@ A�KB>�9 ;�I�:&@&J�c �
G?: I?[�[8MW@ I >85�@&<�:�90;�7�A8>8587�A K8>�;BD&P�>8E87�J�J&> 5TY�I8> D
S�:&D&JF>8J�>�Q
ω
c ��DF5T;�G�90:&S�:&50Y?9�OvQ MW> MW@�9�J�G KB@&MV@�90;
G2>�U&MV[ Z�@L9B90:�7 I=>�9 r�@�98J�K�:�r0;=7 H 5�@�I8JLK=>�9B>�G
5 >�I�:&5T;8U&>�G :�9�:i90: CFK�:�9 ;�r�@Bx�JF> I J 5�@&<�:�90;?7 IB:�I G
E0; H 5�@LI=JLK�;BI8@�xeJ�:�I ; G�AB50:2U�MW@ D&[�Z*@&DFJ&G�[0]�J J&> 5TY�I8>
9 :wS�:2DFJ�>8J&@ AB>�G�@�K8PT98>8DFJ�98>8C#> AB50:&U&Mb>890:
ω
c� MN:�I8D�G�@&5�50>8G�D�I8>�Q A85�:&U&MV@ D f6[�9 I�r�;B@LQ
K :&DLABK�@&E8@F5 @L9B;87 H 5 @LI=JFK�>89�>8G x G�>?UFMW[�Z�@�9098>�Q G
9 :&S�:&5�Y�9 OeQ Mb>8M�@L9BJ G K=@FMW@�9�; G�> G2DF@&M
AB> 5 [�A0K8>?DFJ�K�:?98DFJ�G�@Bx ;8U�/�U�: E0;�D�A8@�K8D�;0;
5 @L9=C�MN]vK8>�G�D�I�;8P I >85�@&<�:�90;BQ�G�UF:?;8MN98>�Q I8>8MbAB@L98D�: rB;0;
A :�K�r ;0:&50Y?9�OePiA�>?50@�Q 9 : C¤K :�9�; r�@�98@�A�KB>�;BDFP�>8E�;BJ�c
�e��¢¤�&���b�&�c¢��#�`¤�¥#£�¦
§�£�¨&� ¥Q©v¨8�&¥�¦F¦�¨8��¥F�¬«£�� ®�¯ � ��
Dv> H J�>8MW[ G E ; H 5�@�I8JLKB;�I8@ ; G AB50:�U�MW@ G�>8UF9 ;�I�:�]6J
A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�90O-@�I8>?50@&<�:�9 ;?7�9�@ J&> 5TY�I8> 9 : S�:2DFJ�>8J&@
ω
x�9�>u;s9�:\S=:&D&J&> J&@ ω � 2cb j�3?cT4v@�I�K8@&MW@L98J�U�:&JF[8P0:?9�;=7H JF;BP I8> 5 @&<�:�9 ;�Q ;BMb@&@&J JL:�I=>�Q �*@ G ;BEVx I�:�I
UF:2J�[�P0:�9 ;8@ g*:�9�E�:2[ G < @&UFC&K�:�90;=S=9=>=Q A85T:&UFMW@Bc$�NJ&>
@&DFJ�@FD&JLG2@L9 98>�x�JL:�I_IB:�IaG2@FD�Y 9�:&<8>8KaAB50:&U&Mb@�9�9 O-P
I?>85�@&<=:�9 ;�Q D S�:2DFJ�>8J�:&MN;
ω � ( ~ ) ;=UF5�[BS�:�@&J�D�7 G
E�; H 5�@�I8J�K�; I 9B:wCFK�:�9 ;�r�@Bc
D�K0; 9 :&5T;8S�;�; J&@�A850>8G�>8C#>�E0G ;R��@L9�;=7 H 5B@LI8J�K8>�98>�G
A85T:&U&Mb:�D&J�:�9�>8G ;BJFD�7aA0K8>?ULKB:�S�9B>�QR9 :�S�:2DFJ�>�J&@
ω
2
ω
q ω� 3d<850:&C�>?E0:�K=7 <=:&5 50;BDFJ&;�S8@&DLI?>8MW[ A8@�K8@�9�>?DF[
UF:?K?7�E0:&MN; H 9B@LK8C�; ;�AB>�G2@LK=P�98>8D&JL9BO-P A85�:&U&MV>�98>�G G
C#5 [�<8;09=[�AB50:&UFMNO�cA@m9B:&S�@ C�>8G�>�K?7Wx�G�K8@&UF[850Y2JL:&J&@
S?@LKB@L9BI8>�G2DLI8>8C#> K8@&UF>890:�9=DL: MV@��*E�[ H 5�@�I8JLK=>�9 :&My; ;
A�K=>�D&J�K�:�9�D&JFG2@L9 9�OeMW;�C�:�KBMV>�9�; I�:&MN;�A8>�G�@�K8P�9=>�D&JF9 O-P
A85T:&U&MV>�98>�G*G�>?UF<?[���E0:�]6J�D�7m>?<�o @&My9BO-@ G�>?5�9BO 2 G2> 5T9�O
�N: 9 {4z&MNA8@L9 :R3?x f�:&U&>=G?O-@ D�I8>�K8> D&JL; I8> J&>�K�O-P
D&>�G?A0:&E0:�]�J DF> DLI?>�K8>8D&JFY ] S�:&DFJ�;�r�G2E�>850Y�9B>�K8MN:&5T;�I
A8>�G2@LK8P 9�>?DFJ�;Wc ^ : CFK�:�9 ;�r�@ A�KB>�;BDFPB>�E�;BJ
A�K=@F>8<�K :&U&>�G :�9 ;8@ AB> 5B7pA=>=G2@LK=P09�>?DFJ�9B> C�>�A85T:&U&Mb>890: G
A8>85�@�>�<?o0@&MN9�OeP�G2>�5 9Wc<@m9=JF@�K�f6@LK=@L9 r�;=7 H JL;8P�G2>�5 9 D
K�:&U�9�O�Mb; ~ m A K�;0G2> E0;=J I H f f6@�I8J�[q: 9=>�MW:�50Y?98>8C#>
A�K=>=9B;0I�9=>=G2@L9B;87Wx I?>8JF>8K�OvQ U�:�I850]6S�:2@FJ�D�7 G JF>?Mvx-S J&>
D&[8MbMW: K�9=>�@ AB> 5 @ A K8>�9�; I�:2@FJ G AB50:2U�MW[ 9�:
K�:&D&D&JF>27B9 ;8@BxsUL9 :&S�;8J&@F50Y?98>�A�K=@LG?OvX*:�]�Z�@&@�C#50[8<�; 98[
A�K=>=9B;0I�9=>=G2@L9B;87 A�>8G�@�K�P 9�>?DFJ�9�OeP A85T:&UFMW>�9B>�G G
P�>85�>8E�9B>�Q�A=5�:&U&MW@�c��eMNA85T;8J&[�E : AB> 5B7�G H J&> M D&5�[�S�:2@
0 >?DLr ;B5�5�;BK8[0]vZ�:&7tf6[�9 I�r ;=7tI8>?>=K=E0;�9 :&JLO�FNc
�v9=>�MW:�50Y?98>8@ A�KB>�9 ;�I�98>�G2@L9�;B@ H 5�@�I8JLKB;�S?@FD�I8>8C#>
A8>8587�G2> U�90;�IB:&@FJ JF: I%�*@�; G�G?OvK8>%�*E�@�9�9�>8Q AB50:&UFMW@Bc
�*E�9 :�I8> fv;BU�;8S8@FD�I�:�7 A�K ;�K8>8E0: H J&> C�> 70G250@�9�;=7
D&>�G2@LK�X�@�9�9�>�; 9�:&7Wx*S8@FM G DF5B[�S�:2@ MW: I?D�G�@&505�>�G2DLI8>8Q
A85T:&U&MbOwc �N>�/ A8@�K�G O�PWx H f�f6@LI?J DLGL7�UL:�9 D
98@&E0;8D&D�;0A�:2JF; G 98>�Q S=:&D&J�Y ] E0; H 50@�I8JFK ;8S8@&DLI8>8Q
A�K=>=9B;0r :&@FMW>?DFJ�; � z
ε
x :�9B@ D E0;BDFD�;�A :&JL;�G?9�>8QWxWE�5B7
I?>8JF>8K8>�Q G <?@FD&D&JF>?5�I�9=>=G?;8J&@F50Y?98>8M ABK8@FEB@F5 @
G?OeA8>8509�@�98> [8DF5 >�G?;�@ t ��� ε
� t�q e t � z ε t
c @*MW@�909=>
A8> H J�>8MW[�:&MNA85�;=JF[8E0: A8>8587 G�G?OeK�>%�*E8@L9 98>�Q A85�:&U&MW@
<?>�5 Y X�@Bx S8@FM G MN:�I8D�G�@&5�5 >�G�D�I8>�Q�c_�N>R/}G2JF>�K�O-P x
H 5�@�I8JLK=>�9 O G2UF: ;=Mb>?E�@�Q�D&JFG�[ ]eJ�D�<?>850Y X*;=M�90:&<8>8K8>8M
A�K=>�D&J�K�:�9�D&JFG2@L9 98>�/}G?K8@&Mb@�9�9 O-P�CF:�K8MW>�9 ;�I�A8>8587�; 9�@&J
M�@FPT:�90;=UFMN: >?JF<8>8K�: S�:�D&J�>8J�O�x�G�D&5�@FEBDFJ�G ;8@ S8@&C#>
A8@�K�;B> E�>8D�r�;�5B5�70r ;�Q�UF:?G ;8D�;BJ�>�J E�G�[�PdA :�K�:&MW@FJ�K8>�G
0`I8> >�K8E0;B90:&J�O Fp; G K8@&MW@L9 ; 5�ce� 9=@LG?OvK8>%�*E�@�9�9�>8Q
A85T:&U&MV@ U�:�G ;BDL;8MW>8D&JF; > J A�:?K�:&MW@FJ�K8>8G F ; 5
K�:&U&E�@&5�@�90O�c
�VD&5�; [�S8@&DFJ&Y�G�D&JFKB[�I8J�[0K8@ P0>?50>?E09�:L7 A85T:&U&My:�~ E ;�/
H 50@�I8JFK ;�I H f f6@�I8JFO U�:�A�:�U�E0OeG :?9�;87Wx J&> G
E0; H 5�@LI=JLK�;BI8@ AB> 5 @ 70G�587�@&JFD�7 D&[�A8@LK A8>8UF; r0;=@LQ�AB> 5 @LQ
AB>�G2@LKBP09B> D&JL98>8C#> A�>?5�70K�;8J&>�9�: 2vu%b 32x >8<?o0@&MN90O-P
I8>85�@&<�:�9�; Q D^S�:&DFJ&> J�:&MN;
ω =
2vu 7 3 ;
ω
� 2vu �
3�;
>8D�r0;85 50; K8[�]�Z�@FC#> A�>?5�7 2vu*� 32c
×�½��q½�úq½��bÄ¥Ü�Ñ ÄàÊ�ã������ ����
�ã�ÕF! � é ×�Ø �
� ê�½$�½dñ�½Që&½dÂ�Ì�Í�Ì�Ü�ã��N½���½�� Ê á�Ä�Ñ�Þ�Ð�ã ������� ~-� ������ ¢z}� ~�z ���
|�¦�����|�~�¦������ �����-�7����� ����������������� z����<|Ë� ����ã �}È�É�Ä�Ã�È�è�Ì ÞËÑ�Ä�Ã�ã
!?È�É�Ò�봀 é ×ËØ � ×�ê�½"�½"�N½&Ûp½#��á Ì}Ð�Þ�Ð�$�ãhÛp½"�b½#��á Ì}Ð�Þ�Ð�$�ã%��½hñ�½&ë�È�Í�È�Î�Ì Ü�ã"�N½&��½
Â�Ì Ã�Ð�Ü�Ò�È�ã('!½()p½ Â�Ã�Ð�Ç Ä¥Ü È�Î�ã*�,� ����~�� �¥����z������ �}�+��� ��������ã
)�Ä¥Ê�Ò�Ä�ã,! È�É¥Ò�Î�Ä é ×ËØF! � ê�½
� ½.-S½
��½���È�è�Ä�Ü�È�Î�ã yp��¦�¡ /��10���¦���2-���������������"��� ��ã2$ � $ é ×�Ø ��� ê�½Õ�½3��½54^½3��Í�Ð�Ò}É�Ä�Ü}Ñ
$ È�Î�ã1�h½�Âb½�6�È}Ú¹Ñ Ä¥Ü Ò}Ð�Î�Ì}ß�ã1�N½3��½�� Ê á ÄàÑ Þ�Ð�ã
7b�à� ������z���8W�3¦�����z��F¦9�¥� ��������z�z��:�3|Ë�"���}����ã3!9����ã;!?È�É�Ò�Î�Äé ×�Ø�ØF%}ê�½
� ½.6�½.6�½�'�Ä�Ñ�È�è�Ó Ð¥Î ã�7�����������~���¦�z����<8 ¦¥� ��z}��8�¦%�¥� �}������ã�)�Ä�Ê Ò}Ä ã!?È�É�Ò�봀 é ×ËØF! � ê�½!�½�ñ�½��&½ 4pÄ�Í�Å�Ò}È"ã Âb½�Ûp½.=`Ä�Ü}Ò�Ì Ü�Ä ã�ñb½.! ½�>�Ò}È�Î�Ð¥Ü�Ò�È�ã �&�?� ����ã
×�× � ! é ×ËØ�Ø � ê�½Ù�½�@�½.Aq½�Bb®DC?E�®¥¬NÏ�µ�C�ã�F G m
� 3�H �&� ã�Ø � Ø é ×�Ø�Õ�Õ�ê�½Ø�½�ñ�½�ë&½�Â�Ì�Í�Ì�Ü�ã:������¡�����~����"¡��#����~��¥��� �¥¦�����½8����ã�Ø � $ é ×�Ø � %}ê�½
IKJ.L1M N�O�P L;QRL.STL U�V P M M W�O�P L1Q.UXL:SYU.ZK[(P V�L3Q�S�P Q.Z�\
ZKM Z�V�O�]^L1Q`_ M W U [`W
a?bKc b1dTWeMgf
L�h i?b1jkbTl"m.W�QKfYP Q W�h.W<Q.\na?bTo�b�p#W<f
L J;Z1Q1f
L
q�¾�µWµ�À�¿�°±Á�·¢¯ ¿�CB¿�)&®�C<®�¼¹´�¯ ·¹¼¹®¥¼krU¯ C�¯ ·¢¯ ®�°#C�¿�C µ�s�Á"¯±°¯±«
´�¼¢¯ Á�¬ut ¯¶¸¹· ¼�¯ ´�Á�·¢¯ ¿�CW¿�)�µ�°±µ�v¥· ¼¢¿�C�¸q®�C�t3µ�°¶µ�v�·¹¼Ë¯ v ) ¯ µ�°gt�¸h¯±¸
¯ C�À�µ�¸¹·Ë¯ w�®�·¹µ�t5¯gC�®^¸¹·¹¼¹Á�v�·¹Á�¼¹µ9v�¿�C�¸¢¯ ¸¹·¢¯ C�w3¿&)q®^¸³µ�¬f¯ v¥¿�C «
) ¯ C�µ�t<Ï °®¥¸¹¬�®^®�C�txt"¯ µ�°¶µ�v�·¹¼Ë¯ v é À�®�v�Á�Á�¬hê�½eq�¾�µ`v�¿�¬�Ï�¼¹µ�«
¾�µ�C�¸¢¯ À�µp¸¹Ï�µ�v�·¹¼¹Á�¬u¿¤)�Ï�¿}·©µDC�·¢¯ ®�°�¿�¸�v�¯±°°®�·¢¯ ¿�C�¸N¿&)�µ�°µ�v�·¹¼¢¯ v
) ¯ µ�°gt�¸<¯ ¸K¿�´�·¹®�¯ C µ�t�½ ·K¯±¸W¸¹¾�¿zy<Cd·¹¾}®�·W®F¸¹µ�·K¿�)ô·¹¾�µ)¼¹µDs�Á�µ�C
v{r<µ�¯ w�µ�C À}®�°±Á�µ�¸�¯±¸Xt�µ�·¹µ�¼¹¬q¯ C�µ�t<´|r<·¹¾�µ�Ï�¼¹¿�Ï�µ�¼¢«
·Ë¯ µ�¸N¿&)�·¹¾ µ&µ�°±µDv�·¹¼¹¿�C*t ¯¶¸¹· ¼�¯ ´�Á�·¢¯ ¿|C\)Á�C
v�·Ë¯ ¿zC�¸q¯ C?µ�s�Á�¯±° ¯ ´ «
¼Ë¯±Á�¬7®�C�t?t�¯ ¸¹·¹Á�¼¹´�µ�t�¸¹· ®�· µ�¸�½ C�®#v�¿�°}tpÏ"°¶®�¸¹¬�®q·¹¾�µ¥¼¹µ�®�¼¹µÀ}¿�°Á�¬�µW®�C�t<¸¹Á�¼})®�v�µ^¿�¸�v�¯±°°±®�·¹¯±¿�C�¸?yN¯ ·³¾<·¹¾�µ(~�®�C�w�¬NÁ�¯ ¼
)¼¹µDs�Á�µ�C
v{r^®�°¿�C�w?yN¯¶· ¾^·¹¾�µh¸¹Á�¼})®�v�µ&Ï�°±®�¸¹¬�¿�C ¸�ã�´}Á ·q¯ C?®
t�¯ µ�°µ�v�·¹¼¢¯ v?¿�C"° r<¸¹Á�¼�)®�v�µ?Ï"°¶®�¸¹¬�¿�C�¸p¿zv�v�Á�¼�½ CK·¹¾ µ�Ï ¼³µ�¸¹«µ�C�v�µ�¿&)b®?¸¹Ï�®�·Ë¯ ®�°<t ¯¶¸¹Ï�µ¥¼¹¸¢¯ ¿�CK®�°°b·³¾ µp·kr�Ï µ�¸q¿&)bÀ}¿�°Á�¬�µ
®DC
t7¸¹Á�¼�)®�v�µK¿�¸�v�¯±°ý°±®�·¹¯±¿�C�¸?Ï ¼¹¿�Ï�®�w�®¥·¢¯ C�wU¯�CF·¹¾�µKÏ�°±®¥¸¹¬�®
®¥¼¢µ!¼¢®Dt"¯ ®¥·¹µ�t*)ý¼Ë¿�¬d¯±·�·¹¿p·¹¾�µ%t ¯¶µ�°±µ�v¥·©¼�¯ v�½ C?·¹¾�µ&Ï�°±®�¸³¬N®�ã´�µ�¸¢¯ t�µ�¸K·¹¾�µt) ¯ µ�°gtd¿�)ô·¹¾�µ¥¸¹µ5¿�¸�v�¯ý°ý°¶®�·¢¯ ¿|C�¸�ãp®�CQµ�°µ�v�·¹¼¢¯ v
) ¯ µ�°gt�¿�),®�C�¿�¬�®�°¶¿�Á�¸�Ï�µ�C µ�·¹¼³®�·¹¯¶¿zC�µ��"¯ ¸³·¹¸3yb¾�¯ v�¾�¯¶¸3t Á�µ!·©¿
·³¾ µ�µ�) )µ�v¥·©¸&¿F)�´�®�° °ý¯ ¸¹·Ë¯ v�·¹¼¹®DC ¸³Ï ¿�¼¹·&¿�)5v�¿�C
t�Á
v�·Ë¯ ¿zCKµ�°¶µ�v�«
·³¼¹¿�C ¸&®�·p°±¿�yu· µ�¬�Ï�µ¥¼¹®�·³Á ¼¹µ�½3��¿�¼h·³¾ µRv�¿ °gtWÏ"°¶®�¸¹¬�® ã�·¹¾�µ
t�µ�°±®DrQµ�) )ýµ�v�·³¸3®�¼¹µ�·¹®�º�µ�Cd¯ C ·³¿F®�vDv�¿�Á�C�·�ãs®�C�t )¿�¼W·¹¾�µ
t�¯ µ�°µ�v�·¹¼¢¯ v�ã�·¹¾ µ&·¢¯ ¬�µp®�C�t^¸¹Ï�®�·Ë¯ ®�°3t�¯±¸¹· ¼�¯ ´ Á�·Ë¯ ¿�C^¿�)V) ¯ µ�°�t ¸
®¥¼¢µW)¿�Á�C�tp¿�Á�·�½
� F¨ �e��¢��F���W�F�£¢����`¤
¥�£�¦�§�£�¨&�`¥Q©£¨8�L¥§¦&¦L¨8�ª¥F�¬«c��`®�¯
|