Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов
Исследованы связанные многочастичные состояния в бозе-газе со сложным парным межчастичным взаимодействием. Показано, что комбинация притяжения и отталкивания между частицами приводит к появлению возможности существования связанных состояний с необычными физическими свойствами. В пределе большого чис...
Gespeichert in:
Datum: | 1998 |
---|---|
Hauptverfasser: | , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1998
|
Schriftenreihe: | Физика низких температур |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176585 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов / А.С. Ковалев, М.В. Гвоздикова // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 7. — С. 641-646. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-176585 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1765852021-02-06T01:26:53Z Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов Ковалев, А.С. Гвоздикова, М.В. Низкотемпеpатуpный магнетизм Исследованы связанные многочастичные состояния в бозе-газе со сложным парным межчастичным взаимодействием. Показано, что комбинация притяжения и отталкивания между частицами приводит к появлению возможности существования связанных состояний с необычными физическими свойствами. В пределе большого числа связанных частиц в приближении Хартри эти состояния близки по структуре и свойствам к экзотическим солитонам (компактонам и пиконам) в классических системах со слабой пространственной дисперсией. Рассмотрены примеры экзотических солитонов разных типов в магнитоупорядоченных средах. Досліджено зв’язані багаточастинкові стани в бозе-газі із складною парною міжчастинковою взаємодією. Показано, що комбінація притягання та відштовхування між частинками приводить до виникнення можливості існування зв’язаних станів з незвичайними фізичними властивостями. При найбільшій кількості зв’язаних частинок у наближенні Хартрі ці стани близькі по структурі та властивостям до екзотичних солітонів (компактонів та піконів) в класичних системах з слабкою просторовою дисперсією. Розглянуто приклади екзотичних солітонів різних типів в магнітовпорядкованих середовищах. Many-particle bound states in a Bose gas with a complex pair interaction between particles are considered. It is shown that the combination of attraction and repulsion between particles leads to the emergence of bound states with peculiar physical properties. In the limit of a large number of bound states in the Hartree approximation, these states are close in the structure and properties to exotic solitons (compactons and peakons) in classical systems with weak spatial dispersion. Examples of exotic solitons of various types in magnetically ordered media are considered. 1998 Article Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов / А.С. Ковалев, М.В. Гвоздикова // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 7. — С. 641-646. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 03.40.Kf http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176585 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм |
spellingShingle |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Ковалев, А.С. Гвоздикова, М.В. Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов Физика низких температур |
description |
Исследованы связанные многочастичные состояния в бозе-газе со сложным парным межчастичным взаимодействием. Показано, что комбинация притяжения и отталкивания между частицами приводит к появлению возможности существования связанных состояний с необычными физическими свойствами. В пределе большого числа связанных частиц в приближении Хартри эти состояния близки по структуре и свойствам к экзотическим солитонам (компактонам и пиконам) в классических системах со слабой пространственной дисперсией. Рассмотрены примеры экзотических солитонов разных типов в магнитоупорядоченных средах. |
format |
Article |
author |
Ковалев, А.С. Гвоздикова, М.В. |
author_facet |
Ковалев, А.С. Гвоздикова, М.В. |
author_sort |
Ковалев, А.С. |
title |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
title_short |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
title_full |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
title_fullStr |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
title_full_unstemmed |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
title_sort |
бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
1998 |
topic_facet |
Низкотемпеpатуpный магнетизм |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176585 |
citation_txt |
Бозе-газ с нетривиальным межчастичным взаимодействием и квазиклассическая трактовка экзотических солитонов / А.С. Ковалев, М.В. Гвоздикова // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 7. — С. 641-646. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT kovalevas bozegazsnetrivialʹnymmežčastičnymvzaimodejstviemikvaziklassičeskaâtraktovkaékzotičeskihsolitonov AT gvozdikovamv bozegazsnetrivialʹnymmežčastičnymvzaimodejstviemikvaziklassičeskaâtraktovkaékzotičeskihsolitonov |
first_indexed |
2025-07-15T13:25:02Z |
last_indexed |
2025-07-15T13:25:02Z |
_version_ |
1837719515387920384 |
fulltext |
��������� ��
���������
����������������������������� !�"��#�$�%&��')(&� *�# +,%-��.�+,%/+
021436587:9<;43>=@?�5BADCFEHG4EI;�JFKL?4MON NP56Q)RI;H=SATEHR4?4MUN
GI3V;2E8NP1�W45YXV=SATGHEB5YN E[Z6GV;43\E8Z]JB;H=L=HE�RB58=�Z�;�^_AVCT;YZ�A]1`G8Za;
b Z�3L1�ATEHRB58=�ZTELc)=V1\JFEdAa1e?I1`G
f�g�h8g�iajlk�m�n/opk
q]rtsurwvyxyz|{:}�~���r �y}u��v�rt�pr"����{�rw{��"{4��r s�vyr�~d{�}����y}�� � {<�t�]r������/��������}u�"v�r"�y�&�����2��v�� �trw�t����/v��"�yrw�y�t������������ t��¡¢��£��y�"¤�vyx�¥y���y�w� ¦!}��yrw�y�t�, §¨�©«ª�¬�¯®�°�± ²y³t¬y®µ´u³�¶�«®¯·�¸ ±t¹ ¬�º¢±�²t³�¸ »�¬
¼½g¿¾Lg�À-k�j-Á,ÂÄÃ!Å�jlk�m
£¿��Æ"¤�vyx�¥y��vyr �p¡Çx����wÈ���� ��{�¥y}����t���&�w�trt¥y}�Æ �urw{�}�{:���/v�� �tr ���t�����¢�t��§t§u��¡¢��£¿���"¤�vyxy¥�����É"�,Ê�¥yx�Ë�x�È �Ì��
Í�ÎuÏ�ÎuÐ�ÑpÒ�Ó�ÔuÎ�Õ�Ò Öt×�Ï-Ø-Ù�Ú�Û Ï�ÜtÝ Ö�ÞYß�àlá�ÚuØ�Ù�Ï�×�ÑDߢâ�â�ã&äy¸�åwÒtÓtÔu×�Ú/Ò�ÚuÙ�ÚuÙ Ï�ætÓyÎuÜtÖDß�ç!è�Ï�Ù�ÎuÏ]ß�âtâyã&ä�¸
é-Ô�Ô�×�Ú�Û"Ó�ØtÏyêwë Ô�ØyÑwì�Ïyêwê�ë/Úíè�êwÓtäuÓ�îtÏyÔ�Î�Öwîtêwë�ÚïÔ�ÓtÔ�Î�Ó�Ñ êwÖ�ÑðØñæ�Ótì�Ú�©òäuÏyì�ÚïÔ�ÓóÔ�×wÓtô�êwë�è ÒwÏyõwê ë�è
è�Úyô¿î�Ï�Ô�Î�Öwîtêwë�èöØ�ì�ÏyÖwè�ÓyÛwÚ�÷wÔ�Î�ØtÖwÚ�è<¸DøùÓtÜ Ïyì�Ï�êwÓ�åaîtÎ�Ó`Ü Ótè,ætÖwê Ï�ÝwÖtѽÒwõwÖwÎuÑ ô�Úyê Ö�ѽֽÓtÎ�Î�Ït× Ü�ÖwØtÏyêwÖ�Ñ2è�Ú�ô/Û�Õ
îtÏyÔyÎ�Ö�ÝwÏtè�ÖTÒwõwÖwØyÓtÛwÖ ÎaÜLÒwÓyÑwØt×wÚ�êwÖ�Þ½ØtÓtì�è,Ótô�êwÓtÔ�Î�ÖTÔ�Õ�ú-Ú�ÔyÎ�ØyÓ�ØyÏtê Ö�ÑTÔyØ�Ñ"ì�Ï�êwêwë�ûTÔ�Ó Ô�Î�ÓyÑwêwÖ�÷TÔ�êwÚ�Ótætë�îtêwë�è�Ö
á/Öwì�ÖwîtÚ�ÔyÜ�Ö è,ÖTÔ�ØtÓt÷wÔ�Î�ØtÏyè�Ö�¸�üFÒwõ Ú�ÛwÚ�×wÚ�ætÓt×wÐtý�Ó�äuÓDîtÖwÔ�×wÏaÔ�ØyÑ"ì�Ïyêwêwë�ûTîtÏyÔ�Î�ÖwÝTØaÒwõwÖwæt×wÖ�ô�Úyê ÖwÖBþ�ÏyõwÎ�õwÖLÿ�Î�Ö
Ô�Ó�Ô�Î�ÓyÑwê Ö�ÑTæt×wÖwì�Ü�ÖLÒwÓDÔyÎ�õ�Õ"Ü�ÎuÕwõwÚ]ÖTÔ�ØtÓt÷wÔ�Î�ØtÏyèHÜVÿyÜ�ì�ÓtÎ�ÖwîtÚ�Ô�Ü Öwè4Ô�Ót×wÖwÎ�Ó�êwÏ�è��uÜ�Ótè�Ò�ÏtÜ Î�ÓtêwÏyèHÖTÒ ÖwÜ�ÓtêwÏyè��lØ
Ü�×wÏ�Ô�Ô�ÖwîtÚyÔ�Ü Öwû�Ô�Ö�ÔyÎ�Ú�è�Ï�û]ÔyÓpÔ�×wÏyætÓ�÷]ÒwõwÓtÔ�Î�õwÏyêwÔ�Î�ØtÚ�êwêwÓ�÷]ÛwÖwÔ�ÒwÚ�õwÔ�ÖwÚ�÷�¸���ÏyÔ�Ô�è�ÓtÎ�õwÚ�êwëHÒwõ�Öwè�Ú�õwëHÿ�Ü�ì�Ó�Î�ÖwîtÚ�Ô�Ü�Ö�û
Ô�Ó�×wÖwÎ�ÓtêwÓtØpõwÏyì�êwë�ûDÎ�Ö�ÒwÓtØ]Øpè�Ïtäuê�ÖwÎ�Ó�Õ"ÒwÓtõ�Ñ�ÛwÓtîtÚ�êwêwë�ûaÔyõ�Ú�ÛwÏyû�¸
�/Ó�Ô�×� Ûwô�Úyê ²Fì�Ø�� Ñ ì�Ïtêw]æ�Ï�äuÏyÎ�Ó îtÏyÔ�Î�ÖwêwÜ�ÓtØ pÔ�Î�Ïtê�ÖYØ4ætÓ�ì�Úy©òäuÏ�ìy] ìBÔyÜ ×�ÏyÛwê Ó�ÞPÒwÏyõwê�Ó Þ è�¯ô�î ÏyÔ�Î�ÖwêwÜ�ÓtØtÓtÞ
Øtì�Ï
yè�ÓyÛ�� �Þp¸�ø�Ó�Ü Ïyì�Ï�ê Ó�å�ú-ÓSÜ Ótè,æ ¯êwÏyÝ� ÑTÒ�õwÖwÎuÑwäuÏ�êwê�ÑTÎ�Ï]Ø� Ûwý-Î�ÓtØ�û�Õ"ØyÏtê�ê�ÑVè� ô îtÏtÔ�Î�Öwê�Ü Ï�è�ÖLÒwõwÖ�ØtÓyÛwÖwÎ�Ð�Û"Ó
ØtÖ�êwÖwÜ êwÚ�êwêtÑTè�Ó ô�×�ÖwØtÓtÔ�Î�/«Ô�ê�Õ ØtÏyêwê�ÑVì�Ø�� Ñwì�ÏyêwÖwûLÔ�Î�Ïtê"«ØaìpêwÚ�ì�ØtÖwîtÏy÷wêwÖwè�ÖVá- ì�ÖwîtêwÖwè�ÖLØt×wÏyÔ�Î�ÖwØ�ÓtÔ�Î�Ñ"è�Ö�¸�ø�Ù�Ö
êwÏy÷wæ ¯×wÐyý�
÷YÜ" ×wÐyÜ Ó�Ô�Îypì�Ø�� Ñwì�ÏyêwÖ�ûYîtÏyÔyÎ�Ö�êwÓtÜ4ÕFêwÏ�æ�×wÖwô¿Ú�êwê�pþ�ÏyõwÎ�õwpÝ��Ô�Î�ÏyêwÖFæ ×�Öwì�Ð�Ü"&ÒwÓ4Ô�Î�õ�ÕwÜ Î�Õ õ�pÎ�Ï
Øt×�ÏtÔ�Î�ÖwØyÓ Ô�ÎuÑwèYÛwÓ8Ú�Ü ì�ÓtÎ�Öwî�êwÖwû4ÔyÓt×�¯Î�Ótê�¯Ø��¢Ü�Ó�è�ÒwÏyÜ�Î�Ótê� ØHÎ�ÏBÒw«Ü Ó�ê�¯Ø��DØ�Ü ×wÏyÔ�Öwî�êwÖwû4Ô�ÖwÔ�Î�Úyè�Ï�ûFìLÔ�×wÏyæ Ü�ÓtÞ
Òwõ�Ó Ô�Î�ÓtõwÓtØ�ÓtÞ ÛwÖwÔ�ÒwÚ�õwÔy� �Þp¸��ÌÓtì�äu×�ÑwêtÕwÎ�² ÒwõwÖwÜ�×�ÏyÛ"Ö ÚyÜ ì�ÓtÎ�ÖwîtêwÖ�û Ô�Ót×� Î�Ó�ê"«Ø õ�¯ì�êwÖwû Î�ÖwÒ� Ø Ø
è�ÏtäuêwµÎ�ÓtØtÒ�Ó õ�Ñ�Û"Ü�ÓtØtÏyêwÖwûaÔ�Úyõ�Ú�ÛwÓtØtÖ�ú-Ïyû�¸
��������°��yà�¸ ����¸����
���� "!$#�%'&� �(*)�!"+-,�.�/$.�&"0�1")�2�3435!76*89&$(:+
.�8�)�2�3;/� :&-.�3<�$=�!">�(:+
/$.�!"3
?A@�B�C�DFEHG�I�JLKNM7B�O�B�PRQ$S9T$UVBWT�@�S7X<T$U<Y�CFZ\[^]`_<a�B�@�B�E
_�Q$Q$U<E$O�BbP�T�C<_bE^Q$B�U<_FS-B�C�C�B�cdOb_VC�Te[f_V@�_gC�E$U�_�C�E�c�CVZ*K
h P�B�U5ijD<_�B�C�CVZ*KkQ9_FQ�S7E�[jlnmoa�T�@bS9_�p�E$Q9@F_qPrS-BtsuE
P�a�E�[wv CVT$p�T$U�B�Q9Y _�x$X�p�E�C�_FE h S$B�c y<abB�z�U�E$[{Z P
|}T�aFY�@�B�P�EF~o_�B�O<C�_F[�_bx^yV_�B�C�E9aFB�P�P h S-B�c�B�z�UVT$Q�S�_z�Z*U�y�a�B��jE�Q$Q�B�a��ul^��lA�\B�Q$E9P�_�p�lA? ������I�M�l^P
C�T�yV_�Q�T�C�CFB�[n_�[gQ�Q�B�T�P�S$B��FT�[f_�B�z�x�B���E��$����P�y�E�a�P�Z�E
z�Z*U�yVa�E$O�U�B�s}E9C�CFB�P�Z\c;S�_�y4Q$B�UV_�S-B�C�B�Pw�N[�T�M-C<_bS9C�Z�E
@�B�[�y�T�@�S$B�CVZ`lA�uQ�Q$U<E$O�B�P�T�CV_�i @�B�[{yFT�@�S�B�C�B�P�_�_�K
@�P�Tex�_V@�U<T$Q$Q9_Fp�E�Q�@�Bbc S�aVT�@�S-B�P�@bE y�B�Q�P$v<�}E�C�T
C�T$Q$S$B�v<�uT7vNQ$S�T�S$Y$v�l
��T�@ _�x9PeE�Q$S�C�Bw~ yVa�_�p�_<CbBbc Q�X��}E$Q$S9PeB�P�T�C�_bv
O�_VC�T�[�_�p�E$Q9@�_FK�yFa�B�Q�S�a�T�CFQ�S�P�E�C�CFB�UVB�@�T$U�_�x$B�P�T�C�CVZ*K
PeB�x$z�X�s}O�E�C�_VcgCFE�U<_VC�E�c<CFZ\K h P�B�U5ijD<_FB�CVC�Z*KnQ�_�Q�S$E$[� O�_VC�T�[�_�p�E$Q9@�_FK Q�B�U5_�S$B�CFB�P � v<P�UFv�E�S$Q7v
PeB�x$O�E9cbQ�S�P�_�E _ Pex9T�_F[�C�T7v @�B�CV@�X<a�E�C�D<_bv OVP�X�K
�}_Fx�_�p�E$Q9@�_FKN��T�@bS�B�a�B�P �¡C�E$U5_�CFE�c�C�B�Q�S�_�Q�_�Q$S�E$[�Z¢_
E$EAy�a�B�Q�S�a�T�CFQ�S�P�E�C�CFB�c£O<_�Q�y�E�a�Q�_<_¤�¦¥V�7l§?�_bO�x9T�@�B�C�T
O<_FQ�y�E9abQ9_V_ U5_�CFE�c�C<Z*K PeB�UVC
ω( ¨ ) B�@�T$x�Z\P�TeE�S
z�B�U�Y�]`B�E P�U<_bv<C�_FE CVT Q�P�B�c�Q$S�P�T Q$B�U�_�S$BbCFC<Z*K
Q$B�Q�S$B�v<CV_�c�l �uK Q�S�a�X�@�S$X�a�T Q�X��}E$Q$S9PeE9C�CFB
aVT$x�UV_�p�T�E$S-Q-v©P¤Q�_�Q�S$E$[{T$KªQnQ9_�U�Y�CFB�c«OV_�Q�y�E�a�Q9_FE�cw~
@�B�M"O<TuPeE�UV_�p�_�CVT}O�_�Q�y�E�a�Q�_�_H¬
= = ∂ ω® ∂ ¨� B�Q$S�T�E$S-Q7v@�B�C�E$p�C�B�c¢P¯O�U�_�CVC�B�P�B�U5C�B�PeB�[�y�aFE$O�E$UVE ¨ →
IV~�_°P
Q$U5T$z�B�O<_�Q�y�E�a�Q�C<Z*K�Q�a�E$O<T$K�~�M"O�E�¬
→
IAyVa�_ ¨ →
I�l
±*E9cFp�TeQ©Q$S�T$U�B�B�p�E�P�_FO<C�Z*[j~Ap�S$B�O<T$suE¡P¡Q$U�X�p�T$E
yFB�U�C�B�M"B²B�S$Q�X�S$Q�S�P�_�v�O<_�Q�yFE9a�Q�_V_�U5_�CFE�c�C<Z*KtP�B�U5C
Q$B�K<a<T�C�vbE$S$Q-v PeB�x-[�B�suCFB�Q$S9Y Q�XV�}E�Q$S�P�B�P�T�C<_�v
Q$B�U<_�S$B�CVC�Z*Kqa�E�]uE�C�_Vc�x�T�Q$p�E$S�S9T�@rC�T$x�Z\P�T�E$[³B�c
´ C�E$U<_VC�E�c<C�B�c O<_�Q�y�E�a�Q�_�_wµ�~ B�O<C�T�@�B Q$B�U�_�S�B�C�Z
yVa�_VC�_�[�T�i�S C�E�B�z�Z*pbCVZ\cw~ ´�h @bx�B�S9_�p�E$Q9@F_�c³µ P�_FO�l
?�yFE9aFP�Z*E�C�T h S-Btz�Z*U�BtB�z�a�T��}E�C�BqP�CV_�[�T�C<_�E�P
¶ ·�¸
¹w¸-º�»�¼"½7¾�¿9¼�À7Á�¸7Â5¸7Ã
¼"»�Ä"Å�Æ�Ç'»�¼7½�ÀeÈÊÉ�É�Ë
B�z�x7BbabE �-��� yVa�_ B�y<_bQ9T�CV_�_ _�x�_VC�M-B�P�Q�@�B�M"B
��E9aVa�B�[�T$M�CbE�S�_<@�T5l
? Q$U�X�p�T$E B�O<CbB�[wE9aVC�B�M"B M-E�c�x$E9CFz�E�a�M-B�P�Q�@�B�M"B
��E9aVa�B�[�T$M�CbE�S�_<@�T Q B�O�C�B�B�Q9C�B�c B�z�[�E9C�CFB�c _
B�O<C�B�_�B�C�CFB�c T�CF_�x-B�S�a�B�yV_�E�c h CFE�a�M-_�v Q�_FQ�S-E$[�Zn_�[�E�E$SP�_�O
�
= α¥
∂�
∂ �
+
α ߥ
∂ ���
∂�
− β� � � ~
���
M"O�E�
� PeE9@�S$B�arC<T$[�T$M�CF_�p�E9CVC�B�Q�S�_��
β >
I O�UFv
U�E$M�@�B�B�Q�C�B�M-B ��E�a�a�B�[�T�M-C�E$S�_V@�TFl���Q$U<_ _Fx-[�E9a�vbS�Y
P�a�E�[wv�PNE$O<_�CV_�DVT$Kd� ® ω � ~{M"O�E4p�T$Q�S$B�S�T�B�O�C�B�a�B�O�C�B�M"B��E�a�a�B�[�T-M-C�_�S�C�B�M"B a�E-x-B�CFT�C�Q$T
ω � =
¥
βµ ���������− ~¡_
P�P�E$Q�S�_�O<_�CVT$[�_�p�E�Q�@�_�E yFE9a�E$[�E9CFC<Z*E
ψ = ��� + ����� _� = � � = = (
�
− �ψ � )
ß �"! ~�S�B X�a�T�P�C�E�C�_bv�O<_�CVT$[{_F@�_
C�T$[�T$M�CF_�p�E�C�C�B�Q�S�_
X�aVT�P�C�E�CV_�v$#uT�C�O�T�X&%'#u_��}]u_VD<T(�
y�aF_�[�X�SuQ$U<E$O�X<i��}XVig�\B�a�[�X �7���*)
� ∂ψ
∂ + − , � ∂ ψ
∂ � + - ψ ∂ �
∂� ! + � ψ =
I
¥.�
M"O�E¢P�P�E$O�E�C�Z�B�z�B�x�CVT$p�E�C�_bv O�Ubv O<PeX�K ´ [�T$M�C�_FS�CVZ*KO�U�_�C³µ , = (α® β)
ß/� _ - =
�
(α + α ß )® β
� ß/� l?«y�a�B�Q$S�E�c�]}E$[ Q$U<X�p�T$E�C�E�y�B�O<P�_FsuC�B�M-B Q�B�U<_FS-B�C�T
B�M�_�z�T�i��`E9ckQ
ψ = ( 0 − � !
( � ))
ß � 2143 � ( � ω + ) y�B�Q�UVE
y�E�a�PeB�M"B�_�CFS$E�M-a�_Va�B�P�T�C�_bv�y�aFE�O�Q$S9T�P�_�[kX<a�T�P�C�E�C�_FE
¥'��P4P�_�O�E
∂ 5
∂ �
= 5 (
�
− ω) − 5 !
6
(- − , ! ) 5 + , ® (
�
− 5 )
~
*7 �
M"O�E§P�P�E$O�E�C<TRC�B�P�T9v�yFE9a�E$[�E9CFC<T7v98
=
�
( 0 − � ) ®
�.: ß � l? y�aFE$O�E$UVE�_Fx�_<CbM-B�PeQ9@�B�M"B �\E�a<a�B�[�T$M�C�E$S9_V@�TtQ;
=
I Q�B�U5_bS�B�C�CFB�E�abE9]}E�CV_�E X�a�T�P�C�E�C<_�v
�7 �
�F_�QFl
��~=<>�}_�[�E$E�SuQ$UVE�O�X�ij�uX�ig�jB�a�[�X?)
8
= √
�
− ω @"A?B (�F®
�
- )
~ � � � < π- ~
*C �
5 =
I�~ � � � > π- l
mjB�Q�@�B�U5Y�@�XgP�O�T�C�CFB�[«Q$U�X�p�T$EAy�B�U�E B�S$U5_�p�C�B°B�S
C�X�UFv�U<_V]uYNP�@�B�CFE�p�C�B�c¯B�z�U<T$Q$S9_¯y<a�B�Q�S�a�T�C�Q�S�P�TF~�S�T�J
@�_FEHaFE9]oE9C�_bv y�B�x�s`E§z�Z*U<_�C<T$x�P�T�CVZ�@�B�[{yVT�@�S-B�C�Te[f_{lD\UFvWC�_�K4x9T�P�_�Q�_�[�B�Q$S�YuT$[�y�U<_FS-X�O�Z B�SjpbT$Q$S$B�S�Z S�T�@�T9v
s}EF~o@�T�@°_�P¯B�z�Z*p�C<Z*K�Q$B�U�_�S$B�CVT$K�B�M�_�z�T�i}�}E�cw~oCbB
B
z
U
T
Q
S
Y
U
B
@
T
U�_�x�T�D<_V_«C�EgQ�P$v�x�T�C�TdQ�p�T$Q�S$B�S$B�c�_ B�y�a�E$O�E$U�v�E$S-Q7v
U�_�]RY [�T$S�E�a�_VT$U<Y�CFZ\[f_ @bB�CFQ�S�T�C�S�T$[{_fl ?�T$soCFB
B�S$[³E$S9_FS�YV~ p�S�B P _�x�_<CbM-B�PeQ9@�B�[ yVa�E$O�E$U�E
U�_�CFE9T�a�_Fx$B�P�T�CVC�B�E y�B
ψ
XVa�T�P�CFE9CF_�E
¥.�FE�z�U<T�O�TeE�S
CFX�U<E�P�B�c OV_�Q�y�E�a�Q9_FE�cw~
ω( ¨ ) ≡
��l«? [fTeM CFE$S�_<@FT$K�~
z�U<_Fx9@�_FKN@W_Fx�_VC�M-B�P�Q�@�_�[ Q , << - ~5P�yVa�E$O�E�UFEu[�T$U5Z*KTe[fyFU<_�S$X�O
�
− ω <<
�G��X�a�T�P�CFE�C�_�E
*7 ��Q�P�B�O�_FS�Q7v¢@
z�B�UVE$E§y<abB�Q$S-B�[�X;X<aFT�P�CFE9C�_ViH)
∂ 5
∂�
= 5 (
�
− ω) − 5 !
; +
C - 5
l
JI �
�§C�S$E9a�E$Q @ @�B�[�yVT�@�S-B�C�T�[ PeB�x$C<_�@ y�B�Q$U�E
yFX�z�UV_<@�T�DF_<_ a�T$z�B�S KwB�x7E9CVT$X � 7 ~ C �9~ @�B�S�B�a<Z\c
yVa�E$O�U�B�su_�U¢CbBbP�Z\cAP�T�aV_�T�CFS _�x�P�E$Q�S�C�B�M"B�X�aVT�P�C�E�C<_�v
�\B�a�S$E9PeE�M-TG%VOFE L aV_�x9T
�\O'LM� Q CFE�U<_VC�E�c<CFZ\[
O<_FQ�y�E9abQ9_FB�CVC�Z\[ Q�U�T$M-T�E$[fZ\[�_«y�B�@�T$x9T$U{~Wp�S-B h S�B�SP�T���_�T�C�S B�z�UVT�O�T�E$S @�B�[�yVT�@�S�CVZ*[ Q$B�U�_�S�B�C<CFZ\[
aFE9]oE9C�_FE$[ Q�S�T�D<_bBbCFT�a�C�B�M"B yVa�B��}_FU�v Q
yVa�B�y�B�a�DV_�B�C�T$U5Y�CFB�c Q9@�B�a�B�Q�S�_ T$[�y�U�_�S$X�OFB�c _nQ°C�E
x�T�P�_FQ-v<�}E�c�B�SuQ�@�B�abB�Q$S�_�B�z�U<T$Q$S9Y�i�U�B�@�T�UV_�x�T�D�_V_wl
? S-B�[ s�E M"B�O�X P aFT�z�B�S�TeK � I ~ GV� z�Z*U5_
aVT$Q�Q$[�B�S�a�E�C<Z @�B�[{yVT�@�S�CVZ*E Q$B�U<_FS�B�C<Z B�M$_�z�T�i��oE9c
O�UFv¢y<abB�S�_<PeB��}T$x9CFZ\K�P�Z*Q$B�@�B�p�TeQ�S7B�S�C�Z*K�@�B�U�E$zbT�CF_<c
PuT�C�M�T�a�[�B�C<_�p�E$Q9@bB�c;DFE�y�B�p�@�E}y<a�_RX�p�E$S�E}C�E�U�_�CFE9cFC<Z*K
O<_FQ�y�E9abQ9_FB�CVC�Z\K Q�U�T$M-T�E$[fZ�K�l ? h S7B�[ Q$U�X�p�T$E
O<_VC�T$[�_Fp�E$Q9@�B�E X�a�T�P�C�E�C<_bE O�U�v�TeS-B�[{CFZ*K�Q�[�E��}E9CF_<c
N (O )
_�[�E�E$SuQ$U<E$O�X�i��R_�cNP�_�O�)
∂QP
∂ + + ε
∂ 4P
∂ O + P + PGR + λ P ∂ ( P� )
∂� =
I�l
G'�
m�a�_
λ >
I�Pªa�E$x-B�C�T�CbQ9CFB�[qyVa�_�z�U5_bsuE9CF_<_ P ≈
≈ S (� ) BUTWV (ω X ) _�P¡y�a�E�CFE�z�a�E$s}E9CV_�_�U<_VC�E�c<C�B�c
O<_FQ�y�E9abQ9_FE9c
ε =
I'��aFE9]}E�C�_FE�XbaFT�P�CbE9CV_�v
G'��_�[�E$E�S
�jB�a�[�Xg@�B�[�yVT�@�S-B�C�T5~oz�U5_bx9@�X�i�@dP�Z\a�T$suE�C�_Vi
*C ��l
m}B�x$suEg|}B�U<[²_ª��T$[�T$Q$Q9T
�7��� C M�lY�¢y�aFE�O�UVB�s§_bU5_
Q�P�B�i�[wB�O<_��}_�@�T�DV_<i°XVa�T�P�CFE9CF_�v�� O'L�~5@�B�S$B�a�T7v�yVa�_
B�y�aFE�O�E$U<E�C�CFB�[ x�CVT$p�E9CF_<_ Q9@�B�a�B�Q�S�_ O�B�y�X�Q�@�T�U<T
Q$X<�}E$Q�S�P�B�P�T�CV_�E UVB�@FT$U5_�x$B�P�T�C�CFB�c P�B�U5C�Z
Q$S9T�DV_FB�CVT�a�C�B�M-B^yFa�B���_bU�vAP�_FO<T[Z 143 � (−\ � � − ] � +̂ � )QuB�y<abE�O�E$U�E�C<CFZ*[{_4x�C�T$p�E9CV_�v�[�_�@�B�C�Q$S�T�C�S_Zg_ \
Q�[jl
aV_�Q���~=̀���l�a�S�B�SuC�B�P�Z\c�S$_<y h @�x�B�S9_bp�E$Q�@�_�KNQ$B�U�_�S$B�CFB�Pz�Z*U CFT�x�P�T�C�yV_�@�B�C�B�[\lRm�B�T�C�T�UFB�M-_V_°QAC�_�[ [³B�M"X�S
z�Z*S�Y CVT�c�O�E�C<Z _̄ Q�B�U<_FS-B�C�Z¤B�M _Fz�T�i��}E�cAy�_V@�B�C�C�B�M-B
S�_<yFTF~ @�B�S�B�a<Z*E S9T�@�s̀ EqQ�X��̀ E�Q$S�PeX<i\SqU�_�]uY yVa�_
B�y�aFE�O�E$U<E�C�CFB�[j~�@�aF_�S9_Fp�E$Q�@�B�[ x9C�T$p�E�C<_F_ p�T$Q$S�B�S9Z
aFE9]oE9C�_bv�l�³Q$U5_ P4B�z�Q$X�suO<T�P�]oE9cFQ-v P�Z\]̀ E;T�C�M-T�aF[³B�C�_Fp�E$Q�@�B�c
DFE9yFB�p�@�E X�p�E$Q�S�YkQ$U<T$z�Xbi U<_VC�E9cVC�X<i OV_�Q�y�E�a�Q9_Vi
ε ≠
I&� _ _�x7[fE�CV_�S9Y x9C�T�@ C�E$U5_�CFE�c�C�B�M-B
O<_FQ�y�E9abQ9_FB�CVC�B�M"B Q�U�T$M-T�E$[³B�M"B
λ <
I"��~ S�B P
aFE�x7BbCFT�C�Q�C�B�[ yFa<_�z�U<_Fs}E9CV_�_ Te[fyFU<_�S$X�O<T P�B�U5C�Zb
( � )
X�O�B�P�U�E$S�P�B�a�v�E�S̀ XbaVT�P�CbE9CV_�ic<rt���¿� ¸ ø�õtÓyá�Öt×tÖpÜyÓyè�Ò�Ï�ÜyÎuÓyêtêtÓyä�Ó\� d ��ÖlÒ�Ö ÜyÓyêtêtÓyä�Ó�� Ë ��õ�Úuý/ÚuêtÖt÷�¸
eQfhg i\Æ$Ä-Æ�Ç:½kj�Æ7Ä-Ç
Æml'n
¿Qo.p7¿hq$½mn^rsq�À9ȦÉ$É9Ë�Àtn�¸ug*f�Àmvxw
∂ S
∂O
!
= S (ω −
�
) −
7 b ®��
ε − � �λ � b � ¥
l
�� �
#}E$M-@�B¢P�_FO�E$S�YV~}p�S-B�yFa�_g@�aV_�S9_bp�E$Q�@�B�[ x9CFT$p�E�CV_�_
p�T�Q$S-B�S9Z
ω = (
�
+ ε ® C �λ � )
�� a�E�]`E9C�_FE�X<a�T�P�C�E�C�_bv
�� ��_F[�E�E$S§P�_bO y�_V@�B�C�T )
b
=
¥
ε
� �λ �
ß � !
���
(− � O �9® (
�
√λ))
l
� �
�³Te[³E$S9_F[\~³p�S-B�O�UFv a�E9]`E�C�_<c�X�a�T�P�CFE�C�_�v
G'�}S�_Vy�T
Q$S-B�v�pb_bKgP�B�U<C P = S������ ( ¨Q� ) ����� (ω + ) C�E$U�_�C�E�c�CVZ\cx�T�@�BbC O<_�Q�yFE9a�Q�_�_ _�[�E$E�S P�_bO
ω =
�
− ε ¨ +
+
� S^ ® ��G +
7 �λ ��¨9 b "®
� l���T�@�_�[ B�z�aVT$x�B�[j~oyVa�_
P�Z*O�E�UFE9CVC�B�c T$[�y�U5_bS�X�O�E b
= (
¥
ε� 7 �λ � )
ß � ~Q$B�P�y<T$O<T�ij�uE�c Q T$[�yFU<_�S7X�O�Bbc y<_F@�B�C�T
� ��~
O�_FQ9y�E�aFQ9_�v�¬
= = ∂ ω® ∂ ¨ B�z�a�T��`T�E$S-Q-v P�CFX�U5YFl�}a�T�P�CFE9CF_�v
JI �H_
�� �§K�T�a�T�@�S$E�a�C<Z O�UFv x9T$O<T$pw~�P
@�B�S�B�a�Z\K P�B�x9C�_V@�T�i�S Q$B�UV_�S$B�CVZ`~ z�U<_Fx�@�_FE @
@�B�[�y�T�@�S$B�CVT$[©_ y�_V@�B�C<T$[jl;? Q�P$v�x�_nQ¢C�E$B�z�Z*p�CVZ*[
K<T�aVT�@�S-E�aFB�[©aFT�Q�y�a�E$O�E�UVE�C�_�v y�B�U�v�P h @bx-B�S9_�p�E$Q9@F_�KQ$B�U�_�S$B�CVT$K yFa�E$O�Q�S�T�P�UFv�E�Sq_�CFS�E�a�E$Qqa�T$Q�Q$[�B�S�a�E�C�_FE
PeB�yVa�B�Q�T B @�P�T�C�S$B�P�Z*K Q�_�Q$S�E$[fTeK�~�P @�B�S$B�a�Z*K
PeB�x$[fB�s§C�B Q$Xb�oE�Q$S9PeB�P�T�C�_FE Q$B�Q�S7B�v<C�_Vc Q T�C�TeU�B�J
M-_Fp�CVZ*[{_4Q�P�B�c�Q$S9P�T$[�_wl���T�@;_�x�P�E$Q$S9C�Bw~<@�U<T$Q$Q�_�p�E$Q9@�_F[
C�E$U�_�C�E�c�CVZ*[ h P�B�U5ijD<_�B�C�CVZ*[�X�a�T�P�C�E�CV_�v�[�[�B�s§CbB
Q$B�yFB�Q$S9T�P�_�S$YqB�y<a�E$O�E$U�E�C<C�Z�Eq@�P�T�C�S$B�P�Z\ErQ9_FQ�S$E$[fZ
Pex�T�_�[�B�O�E9cFQ$S�P�X<ij�u_FK p�T$Q�S�_�D � � %*�-¥<�7l ��T�@w~
C�T�yVa�_F[³E�a�~ Q�B�U5_bS�B�C<C�Z�E P�B�x$z�X�suO�E�C�_bv
Q$U<T$z�B�CFE�UV_<C�E�cVC�Z\K�Q�_�Q$S-E$[�B�z�Z*pbCbB¢B�y<_�Q�Z\P�T�i\S$Q-vgP
a�T$[�@�T$K C�E$U<_VC�E9cVC�B�M"B X<aFT�P�CFE9C�_bv �na�E�OV_�C�M"E�a�T
�� ��� �R�7�e�
� ∂ψ
∂ + − ∂
!
ψ
∂ � + ψ − � �ψ � ψ =
I�~
�.�
a�E�]}E�C<_bEg@�B�S$B�aFB�M-BnO�Ubv�O�_<C�Te[f_Fp�E�Q�@�_�K Q�B�U5_bS�B�C�B�P
K�B�a�B�]uB�_�x�P�E$Q�S�C�BW_�_�[wE�E$S§Q$S�T�C�O<T�a�S�C<Z\c�P�_�Ok)
ψ = √
�
® � ε �^1� "! (ε� )
��#
(− � ω + ) ~ ε = √0 − ω
l
��I.�
±\P�B�c�Q$S�P�T h S�_�K�Q�B�U<_FS$B�CFB�P�P�B�[fCFB�M7B�[ T�C�TeU�B�J
M-_Fp�CVZ Q9PeB�c�Q�S�P�T$[ Q�P$v�x�T�C<CFZ*K [�C�B�M"B�z�B�x-B�C�CVZ*K
Q$S�T�DF_�B�C<T�a�CVZ*K�Q�B�Q�S$B�v<CV_�c�P§@FP�T�C�S$B�P�B�[ B�O<C�B�[�E9aFC�B�[
z�B�x7E9J M�T$x$E Q
δ
JLB�z�a<T$x�C�Z*[ y<aF_�S-v�suE�C�_FE�[d[�E�suO�XAp�T�Q�J
S�_�D�T$[�_N�7�9� l�?fB�U<CbB�P�T vW�\X�CF@�DF_�v
Φ( � ß ~ O
~�lLl l O%$ )
S�T�J
@�_FK Q$B�Q$S�B�v<C�_Vc X�O�B�PeU<E$S�PeBba�vbE$S Q$UVE�O�X�ij�uE$[³X
X�a�T�P�C�E�C�_Vi&�ga�E$O<_<CbM-E9aFT")
−∑'
( Φ( � ' + ) Φ + ∑*
<+
, ' + Φ =
�
Φ
~
, ' + = − � δ ( � ' − � + ) l
�����
��Z y�B�U�B�su_�[ �− =
�W_ � =
� ® ¥VlY��?gS$B�P�abE�[wv^@�T�@@�U�T$Q�Q�_�p�E�Q�@�B�E CFE�UV_<C�E�cVC�B�ENX�a�T�P�C�E9CV_�E-�na�E�OV_�C�M"E�a�T
yFB�U�C�B�Q�S�Y�i _�C�S7E�M�aF_<a�X�E$S�Q7v [fE$S-B�O�B�[ B�zbaFT$S9C�B�c
x�T$O<T$p�_ a�T$Q$Q$E-v<CV_�v�~ @�P�T�C�S-B�PeB�E X�aVT�P�C�E�CV_�E� abE�O<_FC�M"E�a�T Q
δ
JLB�zbaFT$x9C�Z�[ Pex9T�_F[�B�O�E�c�Q$S9P�_�E$[
yFB�U�C�B�Q�S�Y�i _FC�S$E�M-a�_Va�X�E$S�Q7v©[�E$S�B�O�B�[�T�C�x�T�D<T/.�E$S-E
�$� 7 ~ � C �7l ±�y�E�@�S�a h C�E�a�M�_�c Q�P$v�x�T�C�C�B�M-B
[�CFB�M-B�z�B�x�B�C<CbB�M"B @bB�[�y�UFE9@�Q�T _F[³E$E$S P�_FO�
= ) −
ß
⁄ �yã � ) () −
�
)
_ Q�B�P�y�T$O<T$E$S aFE�x7X�U<Y�S$T�S-B�[ @�P�T$x�_�@�U<TeQ�Q�_�p�E$Q9@�B�M-B @�P�T�C�S$B�P�T�C<_�v
Q$B�U<_�S$B�CVC�B�M"B^a�E�]`E9C�_bv
�"�WyVa�_ X�p�E$S�ENx�T�P�_bQ9_F[�B�Q$S9_
ε(0 ) = = �%) ® C l KfT$Q�y�aFE�O�E$U<E�C�_FEHyFU�B�S9CbB�Q$S�_�z�B�x$B�CFB�P
P¤Q9P9v�x9T�C�CFB�[�Q$B�Q$S$B�v<C<_F_«Q$BbP�y�T�O�TeE�SdQgB�M$_�z�T�i��oE9c
�jX�C<@FD�_<_ �ψ � O�UFv Q�B�U<_FS-B�C�T
�'� P yVa�E$O�E$U�E
z�B�U�Y�]`B�M-B4p�_FQ�U<TRp�T$Q$S9_FD ) >>
��l1uO�C<T�@�B B�y�_FQ9T�CF_�E Q$B�U�_�S$B�CVC�B�c O<_FC<T$[�_�@�_ P
aVT$[�@�TeK � ��� B�yVa�T�PeO<T�C<CbB U<_V]uY P
[�T$UVB�T�[�y�UV_�S$X�O<C�B�[Ay<a�E$O�E$U�E
[�T$U5Z*E ) ��~³yVa�_<PeB�O�v @
@�B�U�U�T�y�Q$X Q$B�U<_�S$B�CFB�P P yFa�E�OFE�UVE ) → ∞
l1uM�aFT�C<_�p�E�C<_bE�aFB�Q$S9T�Te[fyFU<_FS�X�O<Z�yVa�_¤z�B�U<Y�]`_�K )B�z�Z�p�CFB X�pb_bS9Z\P�T�i�SF~²P�PeB�O�v P X�a�T�P�C�E9CV_�E
�'�
O�B�y�B�U<CV_�S$E�UVY�C�Z�E Q$U5T$M�T$E$[�Z*E Q z�B�U�E$E P�Z*Q$B�@�B�c
Q$S�E�yFE9C�Y�i C�E$U<_VC�E�c<C�B�Q$S9_
´ C�T�Q�Z\�}E�C<CFT7vCFE�UV_<C�E�cVC�B�Q�S�Y�µ.��l mua�_ h S�B�[ � �2�
[�B�O�E9aVC�_Fx�_<abX�E$S$Q-vNQ$U�E�OFXbi}�u_b[^B�z�a�T$x�B�[��-��~ � I �s)
� ∂ψ
∂ + − ∂ ψ
∂� + ψ − � �ψ � ψ + δ �ψ � � ψ =
I�l
��¥'�
±�B�U<_�S$B�CVC�B�E�aFE9]oE9C�_FE h S-B�M"B�X�a�T�P�CFE9CF_�v¡_�[�E$E�S
P�_�O ��X�CV@�D�_V_¯Q ´ ybU5T$S$B<µ�_¯Q$B�B�S�PeE�S$Q�S�P�X�E$S ´ @�T�yFU�E�µ@�B�C�OFE9C�Q�_Va�B�P�T�C�CFB�M-B Q$B�Q$B�S$B�v<C�_�v�l
��P�Tex�_V@�U<T$Q$Q9_Fp�E�Q�@�_�[ T�C�T$UVB�M-B�[ ´ � �3� Q
CVT$Q9Z\�`E�C�_�E$[�µ
��¥'�jv<P�UFv�E�S$Q-v�B�O<C�B�[�E�a�C�Z�c�z�B�x$E9J M-T�x
Q yVT�a�CVZ*[ _ S$a�E$K�p�T$Q�S�_�p�CVZ*[
δ
JLB�z�a�T$x9CFZ\[
Pex9T�_F[�B�O�E�c�Q$S9P�_�E$[ �-� I �7~ P�@�B�S�B�a�B�[qy�T�a�T$[�E$S9a ¥
δK�T�a�T�@�S$E9aF_�x$X�E�S PeE�UV_�p�_�CFX S�a�E$K�p�T$Q�S�_�p�C�B�M-B
Pex9T�_F[�B�O�E�c�Q$S9P�_�v�l� B _bx;Q$B�UV_�S-B�C�CFB�M7B a�E�]}E�C<_�v
¥�I&��P�_�O�CFB�~fp�S$B P
B�Q�C�B�P�C�B�[�y�a<_bz�UV_�s}E�C<_�_¯T$[�y�U5_bS�X�O<T�Q$B�U�_�S$B�CVT �ψ � _yVa�B�Q�S$a<T�C�Q$S�P�E�C<C�T7v¢yVa�B�_Fx�P�B�OVC�T$v
∂ ® ∂ � _b[fE�ijSNB�O�_<CyFB�abv�O�B�@ [�T$U�B�Q$S9_
�ψ � ~ ∂® ∂�54 ε
��l�m�B h S$B�[�X P
X<aFT�P�CFE9C�_V_
��¥&� CVT�a�v�O�X Q C�E$U5_�CFE�c�C<Z*[�_
Q$U5T$M$T$E�[�Z*[�_76
ψ 8 ~¢P�B�B�z��}E�M
B�PeB�a�v�~�CFE$B�z�K�B�O<_�[�B
X�p�_�S�Z\P�T$S�Y�@bX�z�_�p�E$Q9@F_�E�Q�U�T$M-T�E$[fZ�E�~�Q�B�O�E�a�suT��`_�E
O<PeE y�a�B�Q�S�a�T�CFQ�S$P�E�C<C�Z�E yVa�B�_Fx�P�B�OVC�Z\EFl � T�yVa�_�[�E�aw~
X<aFT�P�CFE9C�_FE #uT�CFO<T$X�JY#u_��}]u_VD<T
¥'��~ x�T�y<_�Q�T�CVC�B�E Q
S$B�p�CFB�Q$S9Y�i�O�B
ε 8 P�@�U5i�p�_�S-E$U�Y�C�B�~�_�[�E$E�SRP�_FO
� ∂ψ
∂ + − , ∂ ψ
∂� ! + ψ −
�
¥ �ψ � ψ =
=
�
� �ψ� � ψ −
; � �ψ � ∂ ψ
∂ � +
- !
¥ ψ
∂ ( �ψ � )
∂O
l
� 7 �
m�B�Q9@�B�U<Y�@�X P�B�Q�CFB�P�CFB�[¡y�aF_�z�U5_�s`E9C�_V_
ψ 4 ε
_
∂ ® ∂ �59 ε ® , ~ O�UFv �jE9a�aFB�[�T$M�CbE�S�_�@�B�PV~ z�U<_Fx�@�_FK @
i\Æ$Ä Æ$Ç:½ j$Æ-Ä-Ç"Æml.n"¿ho'p-¿Qq$½Un^rJq�À$È'É�É�Ë�À/n�¸ugsf�ÀUvxw e4f�:
_�x�_�CFM"BbPeQ9@F_�[ Q - >> , ~5_�xRP�Q$E�K�Q$U<T$M�T$E$[{Z*KNP�y�aFT�P�B�cp�T�Q$S�_
� 7 �RC�E$B�z�K�B�O<_b[fB�B�Q$S9T�P�_�S�Y4U<_<]`YWybB�Q$U�E$O<CFE�EF~
y�E�a�E�y<_bQ9T�PRE�M-B�PRz�B�UVE�E§yVa�B�Q�S$B�[^P�_bO�E&)
� ∂ψ
∂ + − , ∂ ψ
∂� + ψ −
0¥ �ψ � ψ −
- ¥ ψ
∂ ( �ψ � )
∂ � =
I�l
� C ��}a�T�P�CFE9CF_�E
� C �¤Q�B�O�E�a�su_FS«U<_<]`Y©@�X�z�_�p�E�Q�@�_FE
C�E$U�_�C�E�c�CVZ*E Q�U�T$M�T$E$[�Z*E�~ yFB h S�B�[wX h S�B�c@�U�T$Q�Q�_�p�E�Q�@�B�c Q�_�Q$S�E$[�EqO�B�UVsuC<T Q$B�B�S9PeE�S$Q$S9PeB�P�T$S�Y
@�P�T�C�S$B�P�T9v Q�_FQ�S-E$[�T�QWyVT�a�CVZ*[j~{CFB z�B�UFE�E�Q$U�B�soCVZ*[j~
p�E�[AP
���h��~�[³E$sup�T$Q�S�_�p�C�Z�[^P�x�T�_�[�B�O�E9cFQ�S�P�_bE�[jl
?�Z*z�E9aFE$[�P«@�T$p�E$Q�S�P�E�yFB�S$E�C�D<_VT$U<T , ' + P
�����
z�B�UFE�E Q�U�B�suCFXbi ��X�CV@�D�_ViR~¡P�@�U<ijp�T�i��`X�i @�T�@
y�aF_�S7v�s�E�CV_�E�~ S9T�@ _ B�S-S�T$U5@F_�P�T�CV_�E CVT aFT�x�CVZ*K
a�T$Q$Q$S�BevFCV_�v�K l;�§Q�y�B�U<Y�x7BbP�T�C<_bE¢S�T�@�_�K�ybB�S$E�C�D<_FT�U�B�P
B�zbZ*p�C�B O�U�v Q$S9T$S�_�Q$S�_Fp�E�Q�@�Bbc ��_Fx9_F@�_w~ M7O�E
X�p�_�S�Z\P�T�ijS B�S-S�T$U5@�_FP�T�i}�u_Vc @�Bba CVT [�T$U�Z*K
a�T$Q$Q$S�BevFCV_�v�K�_�Q�U�T$z�B�E;yVa�_�S7vbs`E9C�_FE;C�T z�B�U5Y�]`_�K�l�?
C�T�]`E$[ Q$U�X�p�T$E O�U�v Q$Xb�oE�Q$S9PeB�P�T�C�_bv Q9P9vbx�T�C�CVZ*K
Q$B�Q$S�Bev<C<_�c Q�B�U<_FS-B�C�CFB�M-BdS�_<yFT�C�E�B�z�K<B�O<_�[wBw~§p�S-B�z�Z
Q$X�[f[�T�a�CFZ�c y�B�S-E9CVDV_�T$U _F[�E�U K<T�aVT�@�S-E�a
y�aF_�S7v�s�E�CV_�v�l D�U�v yFa�B�Q�S$B�S�Zªz�X�O�E$[ [�B�O�E�U�_�aFB�P�T$S�Y
y�B�S-E�CVD<_�T$U Q9_FQ$S�E$[³B�c
δ
J �jX�C<@�DV_<cwl moaF_ h S-B�[PeB�x$[fB�s§C�ZªO<P�T�P�T�a�_�T�C�S9T P�Z*z�B�a�T
a�_�QFl�¥�~�<¢_ `>�
y�B�O�B�z�CFB�M-B�y�B�S�E�C�DV_�T�UVT
, ' + =
�
] δ( � * − � + ) −
−
¥ ,H�
δ(� ' − � + + � ) + δ( � ' − O + − � )
�7~
� I �
M"O�E;P�yFE9a�PeB�[AQ�UFX�p�T$E
<>� ] >
I�~ ,
>
IN_ ] −
¥ ,
=
= − S >
� ~ TtPeB PeS�B<abB<[
`>� ] <
IV~ ,
<
Ik_
] −
¥ ,
= −
b
<
I�l ��aVT�P�C�E�CV_�E
���G�*Q�yFB�S$E9C�DV_VT$U�B�[
� I �j_<C�S$E$M�a�_�aFX�E�S$Q-v;[�E$S�B�O�B�[�T�C�x�T�DVT .�E�S$EF~5C�B;_Fx9J x�T
M-a�B�[�B�x$O<@�B�Q�S�_ªQ�B�B�S�P�E$S$Q�S�P�X�i��R_�K²P�Z*p�_�Q�UVE�C�_<c�[fZ
X�y�aFB�Q$S9_b[ x9T$O<T$p�Xw~ x9T$[�E�C�_VP y�B�S-E�CVD<_�T$U
� I �
S-B�p�E$p�CVZ*[^yFB�S$E9CVD�_VT$U<B�[
, ' + = −
¥ b
δ(� ' − � + ) −
¥ , � ∂
∂ � '! δ(O ' − � + ) l
��G.�
� _�s}E�[�Z X�z�E$O<_F[³Q7vf~�p�S�Bt_<CbS�E�a�E$Q�X<ij�u_FE C�TeQ
h @�x�B�S�_�p�E-Q�@�_�E«Q-B�U�_�S-B�CFZkQ-B�B�S�P$E-S-Q$S�P$X�i�S�yFa�E7O�E$U�Y�C�B
z
B
U
Y
]
_
[
p
_
Q$U5T$[ ) ~^y<a�_�@�B�S-B�a�Z*K�[wB�suCFB¡P�B�Q9ybB�UVY�x-B�P�T$S�Y$Q7v
yVa�_Fz�U�_�suE�C�_�E$[ |`T�a�S�aV_wl D\U�v B�yV_�Q�T�C<_�v
CFE�Q$S�T�D<_�B�C�T�aVC�Z*K Q$B�Q$S-B�v<C�_Vc^CbE9_FO�E9TeU<Y�C�B�M"B z�B�x$E9J M-T�J
x�T B�z�Z*p�C�B©_FQ�y�B�U<Y�x$X�i\S«y�a�E$O�U<B�suE�C�C�B�E D�_Va�T�@�B�[
x�T�P�_FQ-v<�}E$E B�S P�a�E$[fE�C�_ yVa�_�z�U<_Fs�E�CV_�E |}T�a�S�a�_
���� ��
�e~F@bB�S7BbabB�Euy�aF_<PeB�O<_FS�CVT$Qu@�X�a�T�P�C�E�C<_�i�S�_<y�T
� C � O�U�v K<T�abS9a�_bE9PeQ9@�B�c �\XVC�@�DV_�_�l � B O�Ubv
_FQ�Q$U�E$O�B�P�T�C�_bv Q�S�T�D<_FB�CVT�a�CVZ*K Q$B�U�_�S$BbCFC<Z*K
Q$B�Q�S$B�v<CV_�cnO�B�Q$S�T�S-B�p�C�BnP�B�Q9ybB�UVY�x-B�P�T$S�Y$Q7v B�z�Z*pbCFZ\[
yVa�_Fz�U�_�suE�C�_�E$[\~ Pt@�B�S$B�a�B�[ PeB�U<C�B�P�T9v �jXbCF@�D<_�v
Φ( � ß ~ � ! ~�lLl l � $ )
P
���G��y<abE�O�Q$S�T�P�U�E�C<TkP P�_FO�E
yVa�B�_�x�P�E$O�E9CF_�v B�O<C�B�p�TeQ�S�_Fp�C�Z*K �\X<CF@�D<_Fck)
Φ = Πϕ(O * ) ~ M"O�E
ϕ(� )
� C�B�a�[�_�abBbP�T�C<CFT7v
K�T�a�S�a�_�E�P�Q�@�T7v��\XVC�@�DV_�v
( ∫ �ϕ � ( � =
�
)
l;m}B�O�Q$S9T�P�_�P
P�Z�a�T$suE�C�_FE;O�Ubv
Φ
P
���Q��~fX�[�C�B�s§_�P�B�z�E;E$M"B p�T$Q$S9_
CVT
ϕ∗(� ! ) l l l ϕ∗( �%$ )
_ yVa�B�_�CFS-E�M$a�_<abB�P�T�P yFB
�
~ � à ~ l l l � $ ~ U�E$M�@�B y�B�U�X�p�_�S�Y X<a�T�P�C�E�C�_FE O�Ubv
�jX�C<@FD�_<_
ϕ(� )
P�Q$U�X�pbT$E�y�B�S$E9C�DV_�TeU<T
� G'� )
( ϕ( � − εϕ +
¥
( ) −
�
)
b
ϕ
à
+
¥
(0 −
�
)
, � ϕ
( (ϕ )( � =
�
�
� � �
M-OFE K<T�a�S$a<_�E�P�Q�@�T7v h CFE9a�M-_bv ε
_¢yFB�U�C�T$v h C�E�a�M�_�vx�
P�Z�a�T$s§T�i�S�Q7v p�E�a�E$x a�E�]}E�C<_�v X�a�T�P�C�E�CV_�v
� � �
Q$U<E$O�X�i��R_�[«B�z�aVT$x$B�[�)
ε = ∫ ( �
−
(
ϕ( �
+
¥
() −
�
) S ϕ
�
−
−
�
() −
�
)
, � ϕ !
(
ϕ( �
~
� � �
�
= ) + ) ∫ ( �
(
ϕ( �
− () − 0 ) b ϕ
�
+
+ () −
�
)
, � ! ϕ
�
ϕ� O
l
���'�
D\U�v�Q�S�T$D�_�B�C�T�a�CFZ*K�Q-B�Q-S7B�vbCF_�c��\X�C�@�D�_�v
ϕ
[³B�s}E-S
z�Z*S�Y P�Z\z�a�T�C�T PeE9�`E�Q$S�PeE9CVC�B�cwl � ��T�@ P�_bO<_�[�~
X<aFT�P�CFE9C�_FE
� � ��_�[wE�E$SnS�X suEdQ�S�a�X<@�S$XbaFXw~Wp�S$B�_
X<aFT�P�CFE9C�_FE
� C � O�U�v _�x�_<CbM-B�PeQ9@�B�M-B
�jE�a�a�B�[�T$M�C�E$S9_�@FTFl
K³E�]}E9CF_�E4XbaFT�P�CbE9CV_�v
� � �Rx9T�P�_�Q�_�S;B�S
ε
_ ) @�T�@
B�S²y�T�a�T$[�E�S�a�B�PV~�_qybB�OFQ�S�T�C�B�P�@�T�E$M
BtP�X�Q�U�B�P�_�E
CFB�aF[f_Va�B�P�@�_ x9T$O<T$E$Skx9T�P�_�Q�_�[�B�Q�S�Y K5T�abS9a�_FE�P�Q�@�B�cc<rt����� ¸pø/Ï�õ ê�ë�÷ è�Úuô�îtÏ�ÔuÎuÖ�îyê ë�÷ Ò�ÓtÎuÚuê Ý�ÖtÏy×YØyìuÏ�Ö�è�ÓyÛ�Úu÷ ÔuÎuØyÖyÑ�å
Ò õ�Ö Ø�ÓyÛtÑtú�Ö ÷pÜpÜ�Ó�è�Ò Ï�ÜtÎuÓtêtê�ë�è�� � ��ÖpÒ�Ö Ü�Ó�ê�ê�ë�è�� Ë ��Ô�Óy×�ÖtÎuÓtêtÏyè�¸
eQfJf i\Æ$Ä-Æ�Ç:½kj�Æ7Ä-Ç
Æml'n
¿Qo.p7¿hq$½mn^rsq�À9ȦÉ$É9Ë�Àtn�¸ug*f�Àmvxw
h C�E�a�M�_�_ B�S;p�_�Q$U�T;p�T$Q$S9_FD ε = ε() )
l�m}B�Q$U<E h S�B�M"B _FxX�a�T�P�C�E�C�_bv
���'��C�TeK�B�O�_�S$Q-v�x9T�P�_�Q�_�[�B�Q$S�Y �
() )
l
�uQ�yFB�U�Y$x�B�P�T�CF_�E�O�_<�}��E9aFE9CFD<_�TeU<Y�CFZ*K^X�a�T�P�C�E�CV_�c
y�abE�O<yFB�U�T$M-T�E$S [fTeU�B�Q�S$Y y<a�B�Q�S�a�T�C�Q�S�P�E�C�CVZ*K
y�abBb_bx9PeB�O�CVZ*K ( ® ( � l mua�_ h S-B�[ y�B�Q$U�E�OVC�E$E
Q$U<T$M�T$E$[�B�E�P
� � �^_F[³E$E�S°Q$[{Z*Q$U X�p�_�S$Z�P�T$S�Y°U<_V]uY
y�aF_ X�Q$U�B�P�_�_ , � � b
>>
��~ SFl EFl Q$X�[�[�T�a�CVZ\c
y�B�S-E�CVD<_�T$U O�B�U�suE�C z�Z*S�Y [�T$U U�_�z�B O�B�UFs§C�T
Q$X��}E�Q$S�P�E�C�C�B y�a�B�v<P�UbvbS�Y�Q7v @�B�CFE�p�C�B�Q�S�Y B�z�UVT$Q�S�_
y�T�aVC�B�M"B^Pex�T�_�[�B�O�E9cFQ$S�P�_bv � l2�³Q$U�_�s`E _�Q$K<B�O<_�S�Y _Fx
y�B�S-E�CVD<_�T$U�Y�CFB�c h C�E�a�M-_V_
� I ��~fS$BN[�B�sRC�B yFB�@�T$x�T$S9Y5~
p�S�B�y�E�a�E$K<B�O�@�X�yVa�B��`E9CFC�B�[fX�ybB�S7E9CVD<_FT$U<X
��G.�
PeB�x$[fB�suE�C y<aF_ P�Zjy�B�U<C�E�C�_V_ O�B�y�B�U5C�_FS$E�U<Y�C�B�M"B
C�E�a�T�P�E�C�Q�S�P�T b , � <<
��l ?�Z�ybB�UVC�E�C�_FE B�z�B�_�K
C�E�a�T�P�E�C�Q�S�P b <<
b , � <<
�©S�a�E�z�X�E$S¡[�T$U<B�Q�S�_
Q$X�[f[�T�a�CbB�M"B�y�B�S�E�C<DF_<T$U�T b
<<
��l
mjB�Q$U�E;yFE9aFP�B�M"B _�CFS-E�M$a�_<abB�P�T�C�_bv X���T�P�CFE9CF_�E
� � �
Q�P�B�O<_�S$Q-v @ P�_FO�Xw~©O�B�y�X�Q�@�T�i}�}E$[fX T�CVT$U5_�x C�T
�jT�x-B�P�B�cNyFU�B�Q9@�B�Q�S�_
(ϕ
~ �
ϕ® � O )
)
(
ϕ( �
= ϕ
! ε − ) S ϕ�
+
6 )�� � ϕ
~
¥�I.�
M"O�Eu[�Z°X�p�U<_{~<p�S�B 0 >>
��l
? Q$U<X�p�T$E
< �\X�a�T�P�CFE9CF_�E
¥�I'��_b[fE$E$So@�Tep�E$Q�S�P�E�C<CbB
S-B�S4suEWP�_�Ow~�p�S-B _ X<a�T�P�C�E�C�_FE
JI ��~�O�B�y�X�Q�@�T�i��oE�ENP
y�abE�O�E$U�Y�C�B�[�P�T��<_�T�CFS$E^@�B�[{yFT�@�S�B�C<CFZ\E^abE9]}E�CV_�v�l§±
O�aFX�M"B�ctQ$S�B�a�B�C<Z`~gP�Q$UVX�p�T$E
`>��~g@�B�M"O<T � <
� ~
X<aFT�P�C�E�CF_�E
¥�I'� @FT�p�E�Q�S9PeE�C�C�B Q�BVP�y�TeO<T�E�S Q
�� ��~
_�[wE�iu�R_F[ y�aV_¢@Fa�_�S�_�p�E�Q�@bB�[nx�C�Tep�E�CF_�_¢yFT�aVT�[³E�S9aFT
y�_V@�B�C�C�BFEfaFE�]jE�C�_FE�l��aVT�P�C�E�C�_FE
¥�I"� _VC�S-E�M-a�_Va�X�E�S�Qev�~²KVB�S7v E�M:B
Q�B�U<_FS-B5CFC�Z*E abE�]}E�C�_�v _ y�BVU�X�p�T�i}S7Q�v U�_�]uY P
C�Eev<P�CbB<c��oB<��[�E�l
? Q�UFX<p�T�E
<.��y��F_ � >
� h S�BNa�E�]}E�CF_�E;P�Z*M:U�v�O�_�SQ�U�E�O�X�iu�R_�[«B�z<�VT�x�B�[ )
0
√
Z � � √� − �
√
Z
+ � − ��� �� ���
� !
− 0� +
� =
�
� √ε
√
Z ~
¥����
M"O�E � =
C , � ε� b _ �
=
�
(
6 , � � b
) ×
× (ε − S ) ϕ ) ® (
�
+
6 ��� ! ) ϕ
!
)
� ß/�.! l
? Q$U�X�p�T$E
` �qy<a�_ ,
<
I a�E�]uE�C�_FEqS9T�@bsuE
x�T�y�_FQ9Z\PeE�S$Q-vNP;C�E7v<P�CFB�[ P�_FO�E&)
�
√\ � �
− √\
+ √\ −
¥�
V � ( 0 −
)√�
−
C � , � ) � ϕ ! �
=
=
b
6 � , � �
ßY� � ~
¥�¥.�
M"O�E \ =
C � , � � ε� S _
=
�
(
C � � � � � S ) ×
× (ε −
b 0 ϕ
!
) ® (
�
−
C � , � � ! ) ϕ ) � ß/� lKwE9]}E�CV_�v
¥5����~
¥�¥'�«Q$B�O�E�a�suT$S²ybB�O�UVE�suT��}X�i
B�y<a�E$O�E$U�E�C<_�i x�T�P�_�Q9_F[³B�Q$S9Y
ε = ε() )
l ��E�[�B�s§CbB
C
T
c
S
_
~
P
B
Q
y
B
U
Y
x
B
P
T
P
]
_FQ9YRX�Q$U<B�P�_FE�[ C�B�a�[�_�aFB�P�@F_N_�X�a�T�P�C�E�C<_�E$[
¥�I'�el
�³Q$U5_ P�PeE�Q$S�_ K�T�a�T�@�S$E�a�C�X�i PeE�U�_�p�_<CbX
K�T�a�S�a�_�E�P�Q�@�B�c h CFE9abM _V_ ε∗ =
b ® C � � _
K�T�a�T�@�S$E9aFC�B�E p�_�Q�UVB«p�TeQ�S$_<D ) ∗ =
� ® √
6 S � � ~�S$Bx�T�P�_FQ9_b[fB�Q$S�Y ) = ) (ε)
P Q�UFX�p�TeE
<'��_F[�E�E$S§P�_bO
)) ∗
=
ε
ε∗
� �
+
�
+ ε
ε∗
�� @&BQT^V
ε
ε + ε∗
ß/� l
¥ 7 �
��T�@�_�[ B�z�a<T$x$B�[j~�yVa�_ [�T�U<Z*K x�C�Tep�E�C<_�v�K )
(0 << ) ∗)
K<T�aFS�a<_bE9PeQ9@�T7v h C�E�a�M�_�vyV��B�y�B���DV_�B�C�T$U5Y�CVT�@�P�T$OVa�T$S�X ) ~ ε ≈ () b ® ¥ ) ~^TyVa�_ ) >> ) ∗
h S�T x-T�P�_�Q�_�[wB�Q-S-Y y�E-a�E-K�B�O�_�S P
U<_�C�E�c�C�X�iH~
ε ≈ () b ® ¥ π) × × (
C b ® , � ) ß �
a�_FQ�l 7 ~
@�aF_<P�T7v��H��l
?�Q$U�X�pbT$E
` �\x�T�P�_�Q�_�[wB�Q�S�Y ) = ) (ε)
_Fx�[wE9Cbv�E�S$Q-vk)
)) ∗
=
ε
ε∗
� �
+
�
− ε
ε∗
� �
√ε∗ + √ε
√ε∗ − √ε
ß � ~
¥ C �
M-OFE�P�B�y�aFE$O�E$UVE9C�_V_
ε∗
_ ) ∗
Q$O�E$U5T�C�Trx�T$[�E9C�T,
→ � , � l m}a<_t[�T$U<Z�K ) x�T�P�_�Q�_�[�B�Q�S�Y
ε = ε() )Q$B�P�y�TeObTeE�S Q$B°Q�U�XFp�T�E$[
� ��l�1uOVC�T�@�B¢P Q$UVX�p�T$E
`��
p�_FQ�U�B�p�T$Q$S9_FD ) B�M�a�T�CV_�p�E9CbB;Q�P�E�a�K�XWPeE�U�_�p�_VC�B�c ) ∗
~
yVa�_ @�B�S-B�a�B�c
ε
y�aV_�CV_�[�T$E�S�[�T�@�Q�_�[�T�U<Y�C�B�E�x9CFT�p�E�CV_�E
ε∗
a<_bQ�l 7 ~³@�a<_�P�T7v�� �el
m�a�_ [�T�U�B�[�p�_�Q$U<E�Q�P$v�x�T�C<C�Z�K z�B�x-B�C�B�P ) << ) ∗aFE9]oE9C�_bv�O�U�vtQ�UFX�p�T$E�P
� � _
` �«yVa�T�@�S�_�p�E�Q�@�_
Q$B�P�y�TeObT�i\S§_�_�[�E�i\SuQ$S9T�CFO<T�a�S�C�ZjcNP�_�O )
ϕ = √) b� �^1� "!
) b
¥ �
l
¥ I �
�³T$[fE$S�_�[j~ p�S$B _�x B�z�Q$X�suO<T�P�]`_�K�Q7v P�Z\]}E
CFE9aFT�P�E�C�Q$S9P Q�UVE�OFX�E$SF~ p�S�B ) ∗ >>
��l m}B h S�B�[�X
c�r���� �"� � Ï�Ø�Ö�Ô¢Ö�è�Ó�ÔuÎuÐ_û Ïuõ�΢õ�Ö Ú�ØyÔ¢ÜtÓy÷óÿ�ê�Ú¢õ�ä�ÖtÖóÔuØ�ÑtìuÏ�êtêtÓyä�Ó
è�ê�Ó�ä�Ó�æyÓyì�Ó�ê�ê Ó�ä¢Ó�ÜtÓyè�Òt×tÚuÜyÔuÏ�Ó�Îpî�Ö�Ô�× ÏpÔuØ�Ñ�ìuÏ�êtêtë�ûDØpê�Ú¢è�î�ÏuÔuÎuÖ�ÝDØ
Ôu×yÕtîyÏ�Ú�ÒtÓyÎ�ÚuêtÝ Ö�Ï�×tÏ\� � ���½Üyõ�ÖtØ�Ï�Ñ � ÖpÒtÓyÎuÚ�ê Ý�ÖtÏ�×tÏ���æ����½Üyõ Ö�Ø�ÏuÑ
� ¸
i\Æ$Ä Æ$Ç:½ j$Æ-Ä-Ç"Æml.n"¿ho'p-¿Qq$½Un^rJq�À$È'É�É�Ë�À/n�¸ugsf�ÀUvxw e4f��
a�E�]}E�C<_bE
¥ I � Q$Xb�oE�Q$S9PeX�E�S _ y�a<_ z�B�U�Y�]R_�K
x�CVT$p�E9CF_�v�K ) (
�
<< ) << 0 ∗)
l
? y�aFB�S�_�P�B�y�B�U�B�suCFB�[ yVa�E$O�E$U�E ) >> ) ∗T$[�y�U�_�S$X�OVT Q�B�U<_FS�B�C<T Q$S�a�E�[�_�S$Q7v @ @�B�C�E$p�C�B�c
PeE�U<_Fp�_VC�E
(
b ® π , � ) ß � � _ B�C U�B�@�T�UV_�x-XFE�S-Q7v P
@�B�C�E$pbCFB�c4B�z�U�T$Q$S9_�y�a�B�Q$S9aFT�C�Q$S�P�TR¥
∆ =
� � ε∗
ß � l�mu��_) → ∞
yFB�UVX�p�T$E$[
ϕ = √
¥ � π∆ @(A.B O
∆
~ �h� � > π ∆® ¥�~
ϕ =
I�~ �s� � < π ∆® ¥�~
¥�G.�
S�l�EFlfQ$B�U<_�S$B�C¯_�[wE�E$S�S�_Vy�_�p�C�Z\c¯@�B�[fyVT�@�S$B�CVC�Z\c�P�_�O
Q�[jl
*C �Q��~©y�a<_FP�E$O�E9CFC<Z\c C�T a<_bQ�l���~ < l©|jB�S7v
y�UVB�S�C�B�Q$S9Y z�B�x�B�C�B�P�P4Q�B�U<_FS-B�C�E
ρ = ) ϕ P�B�x�aVT$Q$S9T$E$SO�Bgz�E�Q�@�B�C�E$p�C�B�Q�S�_dQ¢a�B�Q$S$B�[ ) ~�a�T�x-[�E�adQ�B�U<_FS-B�C�TB�Q�S�T$E�S$Q7v£@�B�C�E$p�CVZ*[«_°E�M-B°@�B�U�U5T�ybQ�B�S�UV_�p�T�E$S-Q-v�B�S
@�B�U�U�T�y�Q�T P�z�B�x�E�JLM$T$x�ENQ�B�z�Z*p�C�Z*[
δ
J ��X<C�@�DV_�B�C�CVZ*[
Pex�T�_�[�B�O�E9cFQ$S�P�_FE�[jl
mjB�OFQ�S�T�P�U�v�v @�B�[�yVT�@�S-B�C�CFB�E aFE9]oE9C�_FE
¥�G.�tP
P�Z\a�T$suE�C�_�E�O�UFv h C�E9abM�_�_
�7�'��~�U<E$M-@�BnX�z�E$O<_�S�Y�Q7v�~
p�S�B¡O�UFv²S�T�@�_�K�a�E�]}E�C<_�c x�T�P�_FQ9_�[�B�Q$S�Y �
=
�
( ) )S�T�@�suE§CFE�B�zbZ*p�C�T )
�
= ) (
�
+ ε∗) − ) 0(0 ε∗
0
�
π) ∗
l
¥ � �
��T�@�_�[dB�z�a�T$x$B�[j~ P¯@�B�[�y�T�@�S$B�CFE yFE9abE9C�B�a�[�_�aFX�E�S$Q7v
Q$B�z�Q$S�P�E�C<CFT$v h CFE�a�M�_�v p�T�Q$S�_VD<Z`~³T;CFE�UV_<C�E�cVC�T7v y�B )O�B�z�T�P�@�T;@ h CFE9a�M$_�_ yVa�B�y�B�a<D�_FB�CVT$U�Y�C<T ) ~fT�CFE ) à ~@�T�@ P B�z�Z\p�C<Z*K Q$B�U�_�S$B�C�T$K�l �³Te[³E$S9_F[\~ p�S$B
x�T�P�_�Q�_F[³B�Q�S�Y �
= ) ω � − γ) K5T�aFT�@�S�E�a�CVT O�UFv
T�C�M$T�a�[�BbCF_�p�E�Q�@�B�M"BWB�Q�D<_bU<U�v�S$B�aVTF~³S�l³EFl�@�B�[�y�T�@�S$BbC�P
a�E$x$X�UVY�S�T$S�E Q�P�B�E�c C�E$B�z�Z\p�C�B�c UFBb@FT$U<_�x�T�DV_�_
B�z�UVT$O<T$E�S C�E�@�B�S$B�aVZ*[�_ªp�E�a�S�T$[�_�U�B�@�T�U<_Fx-B�P�T�CVC�B�M"B
C�E$U�_�C�E�c�CFB�M-BtB�Q�D�_�UFU�v�S$B�a�T5l a*S-B�S²suE�abE�x$X�U<Y�S�T$S
Q$B�K�a�T�CbvbE$S-Q7v�_ O�UFvA[�T$M CV_�S�C�B�M-B^@bB�[�y<T�@bS�B�C<T
*C �NP
_�x�_�CFM"BbPeQ9@bB�[ �jE9aFa�B�[fT�M-CFE�S$_<@�EFl m}B�OFQ�S�T�P�UFv�v
a�E�]}E�C<_bE
*C ��P°P�Z\a�T$suE�C�_FE O�UFv h C�E9abM�_�_
�G� yVa�_
α =
� _ O�U�v Q�y�_�C�B�P�Z*K BFS9@�UFB<C�E�CF_�c
) = ∫(
�
− � )
( � =
¥
∫ 5 ( � ~ CFT�K�B�O�_�[ S$X suE
x�T�P�_�Q�_F[³B�Q�S�Y
�
= ) − ) ® � π- l
¥ � �
?qx�T�@�U�i\p�E�C�_�E aFT$Q�Q$[�B�S�a�_�[qyVa�E$O�E�U�z�B�U<Y�]}B�M"B
p�_�Q$U<T�Q�P$v�x�T�C�C<Z*K¯z�B�x$B�CFB�P ) → 0 ∗
P�Q�UVX�pbT$E
`>�RQ
B�S9a�_VD�TeS-E�U�Y�CVZ*[²y<T�aFT$[fE$S�a�B�[ , lN? h S-B�[²yFa�E�OFE�UVE
X�a�T�P�C�E�C�_FE
¥�I.�}y�aV_�CV_�[�T$E�S§P�_�O
(√ε∗ − ϕ )
∆
(
ϕ� O
− ϕ
!
=
I�~
¥��.�
E$M-B�Q$B�UV_�S-B�C�CFB�ERa�E9]`E�C�_�Eu_F[�E�E$Su��B�a�[wXWyV_�@�B�C�T
Q�[jl
aV_�QFl���~=`>� )
ϕ =
�
√∆
1J3 � (− �s� �9® ∆)
~
*7 I'�
M-OFE y�B�J y�a�E$s§C�E$[�X
∆ = ε∗
−
ß/� l LNB�a�[�T$U5Y�CFB̂ abE9]}E�CV_�E
*7 I'� _�[�E�E$S�Q�@�T$p�B�@�yVa�B�_Fx�P�B�OVC�B�cgP S-B�p�@�E�Q�]§_FP�@�_
� =
I&��l � B T$[�y�U<_FS-X�O�T�Q$B�U�_�S$BbCFT P h S$B�c S$B�p�@�E�C�Ev<P�UFv�E�S$Q7v yVa�B�_�x�P�B�U�Y�CFB�c{~ T Q�B�P�yVT$O<T$E�S Q
B�O<C�B�a�B�O<CVZ*[ a�E�]}E�C�_�E$[
ϕ = ε∗
ßt� C�E$U5_�CFE�c�C�B�M-B
X<aFT�P�CFE9C�_bv
¥��.��lnm}B�O�Q$S9T�PeU�v�v aFE9]}E�C�_FE
�7 I'�¡P
�jB�a�[�X�U�X
�-�'��~�C<T$K�B�O<_b[ Q9P9v�x9Ȳ y�B�U5C�B�c h CFE�a�M-_<_�Qp�_FQ�U�B�[̄ z�B�x�B�C�B�P;PRQ$B�U<_�S7BbCbE �
= ) ∗(
�
+
7
ε∗ ® � )
la�C�E�a�M-_bv y<_�@bBbCFTAB�@�T$x9Z\P�T�E$S-Q7v z�B�U<Y�]}E h CFE�a�M-_<_
) ∗
Q�P�B�z�B�O<C�Z�K p�TeQ�S$_<D{~ _ h S�_ s}EtQ�B�Q�S$B�v<CV_�v�~
PeB�x$[³B�suCFB�~³C�E�XFQ�S-B�c�p�_VP�Z̀ l��T�@�_�[ B�z�a�T$x�B�[j~�Q9P9v�x9T�C�CVZ*Eq[�C�B�M"B�p�T�Q$S�_Fp�C�Z*E
@�B�[�y�U�E�@�Q�Z P B�O<C�B�[³E�a<CbBbc @FP�T�C�S$B�P�B�c Q�_FQ�S$E�[wE
z�B�x$B�C�B�P Q$B Q�UVB�s§CFZ\[ y�T�aFC�Z\[ P�x�T�_�[�B�O�E9cFQ�S�P�_bE�[ P
yVa�E$O�E�UFE z�B�U�Y�]uB�M-B p�_�Q�U�T Q9P9vbx�T�C�CVZ*K pbT$Q$S�_<D
B�z�U�T$O<T�ijSNQ�P�B�c�Q$S�P�Te[f_A@bU<T�Q$Q9_bp�E$Q�@�_�K h @�x�B�S�_Fp�E�Q�@�_�KQ$B�U<_�S$B�CFB�P
@�B�[�y<T�@�S7BbCbBbP _ y<_F@�B�C�B�P&� P
yVa�_Fz�U�_�suE�C�_<_ Q9aFE$ObCFE$M
B yFB�UFv _ B�y�_FQ�Z\P�T�ijS-Q7v
T�C�T$U<B�M�_�p�CVZ*[{_ C�E$U5_�CFE�c�C<Z*[�_ h PeB�U�i�DV_�B�C�C<Z*[�_X<aFT�P�CFE9C�_bv�[f_ Q [{T$UVB�c y�a�B�Q�S�a�T�CFQ�S$P�E�C<C�B�c
O<_FQ�y�E9abQ9_FE9cfl
ßţ��¿̧��Ļf�:²��Ḉu³ ��u¹�å���̧³�/̧��ò³t¬
²y³�å�¬�
�;��̧���̧���²y³t¬y®̄ �́³�å���� ��� �
������������� å�ßtß��\�yßuâyâ��7��̧
�̧��̧ �Ţ !�ÓyÔ�ÚuØyÖtî�å��/̧&Í/̧�!�ÓyØyÏ�×�ÚuØwå ��¥�}�Èy}���r }L¥B�y}uÉ�r �t}u�w���#"$ r�surt�y}���v��%"V��}�~w� �yrwv�� å#&ùÏuÕ ÜtÓyØyÏ�ÛtÕ�è�ÜtÏ�å#!�ÖtÚ�Ø\��ß�âtãyâ���̧
à�̧���̧%'�²���́� �¬�»�¬�
�)("̧#*,+�ª¿¬
�å-��� ��� �.����/t�10���232|�14�5wå 8 ç"�j��ß�âtâyà���̧��̧���̧%'�²���́� �¬�»�å �6� �
� �7����/��809��2:2|� 4
;�å�ß���à<����ß�âtâ"����̧
8
̧=�»�̧$�¿̧��:²���́u³ ��¹�å
�6� ��� �10>��2:2|�8? � 4
@�å 8 �\�yßuâyâtà$��̧çw̧
=�»�̧$�¿̧��:²���́u³ ��¹�å
�6� ��� �8����/t�1A � 4�åwàwßuàyã��yߢâ�â�àe��̧
�w̧CB�̧CDļCE�¬
�<��́úu³Y¬� ��GF-̧�̈�̧���²yº�́uÙ" �å �6� �<� �H���u�"�I�-JLK åSß��ßuâ��yã$�y̧
ã�̧ M:̧N!�̧&Í�Üt×�Ñ êtÖ�ê�å�O&̧��-̧)P]Ï�ÛtÛ ÚuÚ�Ø å�Q ��� Ê�Ê�Ê(cRJ�� ;�åpß ��à$���ßuâ��yã$�y̧
â�̧SM�̧S!!̧/Í�Ü�×tÑtê�Ö ê�å�Oļ��¿̧�T�Ï�û�ÎuÏ�Û�ô/Ï�ê�å�Oļ��-̧,P]Ï�ÛtÛ ÚuÚuØwå�UWV q
� 5wå�ßuâ"�j��ß�â<��â���̧
ßÊ��̧�ü�̧%M�̧ � Ï�û�Ï�õ�ÓtØ å%O&̧
�¿̧
T�Ï�û�ÎuÏuÛ ô�Ï�ê�å#U7V q ;�Xwå ç���ßuâ��yâ$��̧ßtßy̧IY�̧Z'�̧N[F̧I\/» ]��Ùt́y®]¬
<�G*�̧ '̂�̧j��¬�Ù ́�®Çå �6� �
� '�_ d ? ��� 4wåaß��ßuâyãtà$�y̧
ß #̧*�̧W��̧%̀�¹ ¬
�u± ́uºyå ����/��%acb
d��7�6� ��� �1e ;�å 8 àj��ßuâyã�ß:�y̧ßuàw̧�̈:̧W*�̧#B� �́fp¬�
�Z[ #̧B� �́�gt́uº�å
�6� �<� �7����/ � � ;�5�å�ßuç-� 8 ��ß�â ç�à��y̧ß'�w̧
(w̧#��̧W�h�NY�»" ºḈ å�i �8a[d%2j�t�.�6� �
� �8e åwç " �yßuâtç"�$��̧ß 8 %̧��̧�Í/̧%!�ÓyØyÏ�×�ÚuØ"å7�/̧#�Ţ%!�ÓyÔuÚuØyÖ�î"åÌqp� U J å�â�ß�àj��ßuâ��tç7�y̧
k�l#monSp.q#m1r3sut.qCvxw yzlxt|{%p�{%y3}3w ~>w t��
w {%yjm�}j�8t�}�y�w �1� m
w {
y�m�}�t1�
yzw p�{xt�{W�hyzl#mI���#t1q1w r��1� t�q%q1w �%t���y�}jm8t#y��hm�{
y
p#�9m7�#p8yzw �Cq%p�� w y�p�{Wq
�x�.���>��p�~.t,� m1~�t�{.���c�8�H�1��~>p>�#�,w �%p1~1t
�a¬
�+ ©«Ùt¬yº�·¢ ��® Źft²t»�
����·�¬�·�́��- D¬x�,²��Ḉu©�gt¬
���� ·�¹a¬
�u²�ª¿Ù�®| �u¬�·�́��LÙ ¬y ºz�� ��́] ·Ḉuº�¬��u·¢ ²� V¬�º�́� �³t́���·¢ g�¬�·�́���̧9�ò·
�)��¹�²��� T·ò¹ ¬�·l·Ç¹t́x��²�ª�fw ¬�·¢ ²� T²-��¬�·�·òº�¬��u·¢ ³�́]¬�
�Lº�́�©
eQfJe i\Æ$Ä-Æ�Ç:½kj�Æ7Ä-Ç
Æml'n
¿Qo.p7¿hq$½mn^rsq�À9ȦÉ$É9Ë�Àtn�¸ug*f�Àmvxw
Ù�»"®]�¢ ³t´l] t·�´uº�Ùt¬yº�·¢ ��®¯´&� t·�´uº�¬��u·� ²�
�/ª�¬�± ´���·�¹t´-´�� ���·ò´
���´
²��)f�²y»< �����·Ç¬�·�´��I�¿ ·Ç¹ �²� t·�º¢ ³ ¬�®&Ù�¹�+<�� �u¬�®!Ù�º�²yÙ ´uº�·�¯´��
� »" ·�´�Ù ²��3�� f"® ´t¸6�� T·�¹t´H*ù¬�º�·|º�´u´]¬�Ù Ù�º¢²��w ª¿¬�·¢ ²� B V·Ç¹ ´®ò ª- ·T² �S¬4®«¬�º3gt´� t»�ª�f ´uºT²-� ft²t»�
�YÙ�¬�º�· ]��®¯´��T·�¹�´���´
��·�¬�·�´��4¬yº�´ �¢ ª-«®¯¬�ºF� R��·Çº�»<�u·Ç» º�´Y¬� �� Ù�º�²yÙ ´uº�·�¯´��4·�²
´���²t·�����Dz ®µ ·�²�
�³���u²tª�Ùt¬��u·�²� <��¬�
�pÙ�´u¬�±�²� ��'�¿ Z��®«¬
�3�¢ �u¬t®
�²� "®« ´u¬yºo��+<��·Ç´uª��o�¿ ·ò¹Y¬ �/´u¬�± ��Ù ¬�·¢ ¬t®C�" ��Ù�´uº3�¢ ²� �¸
¨�� ²y·¢ ��ª¿¬
g� �´u·¢ �x��²�®µ ·�²�
�l²-���w�� �µ´uº�´� �·-·�+ Ù�´��l¬�º�´x��²� ©
�� � ´uº�´���¸
i\Æ$Ä Æ$Ç:½ j$Æ-Ä-Ç"Æml.n"¿ho'p-¿Qq$½Un^rJq�À$È'É�É�Ë�À/n�¸ugsf�ÀUvxw e4fQw
|