Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0

Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0

Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2003
Автори: Зернов, А.Е., Кузина, Ю.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2003
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176932
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-176932
record_format dspace
spelling irk-123456789-1769322021-02-09T10:20:29Z Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 Зернов, А.Е. Кузина, Ю.В. Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями. We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions satisfying necessary asymptotic properties. 2003 Article Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176932 517. 911 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями.
format Article
author Зернов, А.Е.
Кузина, Ю.В.
spellingShingle Зернов, А.Е.
Кузина, Ю.В.
Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
Нелінійні коливання
author_facet Зернов, А.Е.
Кузина, Ю.В.
author_sort Зернов, А.Е.
title Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
title_short Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
title_full Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
title_fullStr Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
title_full_unstemmed Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
title_sort существование и асимптотическое поведение решений задачи коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2003
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176932
citation_txt Существование и асимптотическое поведение решений задачи Коши x(x')^γ=f(t,x,x'), x(0)=0 / А.Е. Зернов, Ю.В. Кузина // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 178-190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT zernovae suŝestvovanieiasimptotičeskoepovedenierešenijzadačikošixxgftxxx00
AT kuzinaûv suŝestvovanieiasimptotičeskoepovedenierešenijzadačikošixxgftxxx00
first_indexed 2025-07-15T14:53:06Z
last_indexed 2025-07-15T14:53:06Z
_version_ 1837725057017708544
fulltext УДК 517. 911 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ x(x0) = f(t, x, x0), x(0) = 0 А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина Южноукр. пед. ун-т Украина, 65020, Одесса, ул. Старопортофранковская, 26 e-mail: itim@inbox.ru We consider a singular Cauchy problem and prove existence of continuously differentiable solutions sati- sfying necessary asymptotic properties. Розглядається сингулярна задача Кошi та доводиться iснування неперервно диференцiйовних розв’язкiв з потрiбними асимптотичними властивостями. Проблема разрешимости и числа решений сингулярной задачи Коши для дифференци- альных уравнений, разрешенных относительно производных неизвестных, исследовалась во многих работах (см., например, [1 – 6]). Большое внимание уделялось и задаче Коши для дифференциальных уравнений неявного вида [3, 7 – 14]. Вместе с тем асимптотиче- ское поведение решений задачи Коши для дифференциальных уравнений, не разрешен- ных относительно производных неизвестных, исследовано сравнительно мало. В настоя- щей работе предложены две схемы рассуждений, позволяющие изучить сингулярную за- дачу Коши неявного вида. Формулируются достаточные условия, при которых существу- ет непустое множество непрерывно дифференцируемых решений с требуемыми асим- птотическими свойствами. Одновременно изучается асимптотическое поведение первых производных решений. Выясняется вопрос о числе решений указанного вида. При этом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений [2, 15 – 18]. Рассмотрим задачу Коши x(x′)γ = a10t+ a01x+ ϕ(t, x, x′), (1) x(0) = 0, (2) где t ∈ (0, τ) — действительная переменная, x : (0, τ) → R — неизвестная действитель- ная функция, γ — натуральное число, γ > 2, a10, a01 — постоянные, ϕ : D → R — непрерывная функция, D = {(t, x, y) : t ∈ (0, τ), |x| < r1t, |y| < r2}, |ϕ(t, x, y)| 6 tξ(t), (t, x, y) ∈ D, где ξ : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывно дифференцируемая функция, lim t→+0 ξ(t) = 0, lim t→+0 t ξ′(t) ξ(t) = ξ0, 0 6 ξ0 < +∞. c© А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина, 2003 178 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 179 Определение. Пусть ρ— постоянная, ρ ∈ (0, τ). Будем называть ρ-решением задачи (1), (2) непрерывно дифференцируемую функцию x : (0, ρ] → R со следующими свой- ствами: 1) (t, x(t), x′(t)) ∈ D, t ∈ (0, ρ]; 2) x тождественно удовлетворяет уравнению (1) при t ∈ (0, ρ]. Пусть c — действительный корень уравнения cγ+1 = a10 + a01c, удовлетворяющий условиям c 6= 0, |c| < min{r1, r2}, a01 γcγ 6= 1 γ + 1 + ξ0. Обозначим через U(ρ,M, q) множество непрерывно дифференцируемых функций u : (0, ρ] → R таких, что |u(t)− ct| 6 Mtξ(t), ∣∣u′(t)− c∣∣ 6 qMξ(t), t ∈ (0, ρ]. (3) Здесь ρ,M, q — положительные постоянные, ρ < τ . Теорема 1. Пусть выполнены условия: |ϕ(t1, x, y)− ϕ(t2, x, y)| 6 lt(µ)|t1 − t2|, (ti, x, y) ∈ D, 0 < µ 6 t1, t2 < τ, |ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lx(t)|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D, |ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2}, где lt : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывная невозрастающая функция, lx : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывно дифференцируемая функция, l′x(t) 6 0, t ∈ (0, τ), lim t→+0 t l′x(t) lx(t) = Lx, −∞ < Lx 6 0; если a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то a01 γcγ − 1− 1 γ − ξ0 < Lx 6 0; ly — постоянная, ly < γ|c|γ . Тогда: 1) если a01 γcγ > 1+ 1 γ +ξ0,то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет бес- конечное множество ρ-решений, принадлежащих множеству U(ρ,M, q). При этом если постоянная α удовлетворяет условию |α− cρ| < Mρξ(ρ), (4) то существует хотя бы одно ρ-решение xα ∈ U(ρ,M, q) задачи (1), (2) такое, что xα(ρ) = α; ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 180 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА 2) если a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет хотя бы одно ρ-решение, принадлежащее множеству U(ρ,M, q). Теорема 2. Пусть выполнены условия: 1) если a01 γcγ < 1 + 1 γ , или a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0, то |ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lxt|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D, |ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2}, где lx, ly — постоянные, lx + ly < γ|c|γ ∣∣∣∣a01 − ( 1 + 1 γ ) γcγ ∣∣∣∣∣∣∣∣a01 − ( 1 + 1 γ ) γcγ ∣∣∣∣+ |a01 − cγ | ; 2) если 1 + 1 γ 6 a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то |ϕ(t, x1, y)− ϕ(t, x2, y)| 6 lxt(ξ(t))σ|x1 − x2|, (t, xi, y) ∈ D, |ϕ(t, x, y1)− ϕ(t, x, y2)| 6 lyt(ξ(t))σ|y1 − y2|, (t, x, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2}, где lx, ly, σ — постоянные, 1 ξ0 ( a01 γcγ − 1− 1 γ ) < σ < 1. Тогда: 1) если a01 γcγ > 1+ 1 γ +ξ0,то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет бес- конечное множество ρ-решений, принадлежащих множеству U(ρ,M, q). При этом если постоянная α удовлетворяет условию (4), то существует единственное ρ-решение xα ∈ U(ρ,M, q) задачи (1), (2) такое, что xα(ρ) = α; 2) если a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то существуют ρ, M, q такие, что задача (1), (2) имеет единственное ρ-решение, принадлежащее множеству U(ρ,M, q). Доказательство теоремы 1. Вначале выберем постоянные ρ,M, q. Пусть M > ∣∣∣∣a01 − ( 1 + 1 γ + ξ0 ) γcγ ∣∣∣∣−1 , (5) q > ( |a01 − cγ |+ ∣∣∣∣a01 − ( 1 + 1 γ + ξ0 ) γcγ ∣∣∣∣) (γ|c|γ)−1 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 181 Неравенства, определяющие выбор ρ, не приводим ввиду ограниченности объема статьи; отметим лишь, что ρ достаточно мало. Пусть B— пространство непрерывно дифферен- цируемых функций x : [0, ρ] → R с нормой ‖x‖B = max t∈[0,ρ] ( |x(t)|+ |x′(t)| ) . (6) Обозначим через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R которого удовлет- воряет условиям (3), причем u(0) = 0, u′(0) = c и, кроме того, ∀µ ∈ (0, ρ] ∀ti ∈ [µ, ρ], i ∈ {1, 2} : |u′(t1)− u′(t2)| 6 K(µ)|t1 − t2|, где K(µ) = 2 ( γ|c|γ − ly )−1 µ−1 ( |a01 − cγ |(2|c|+ 1) + lt(µ) + lx(µ)(|c|+ 1) + 1 ) . Множество U замкнуто, ограничено, выпукло и (на основании теоремы Арцела) ком- пактно. Преобразуем уравнение (1) к виду γcγt(x′ − c) = (a01 − cγ)(x− ct)− ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(x′ − c)r + + (cγ − (x′)γ)(x− ct) + ϕ(t, x, x′) (7) и будем рассматривать далее дифференциальное уравнение x′ = c+ (γcγt)−1 ( (a01 − cγ)(x− ct)− ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(u′(t)− c)r + + (cγ − (u′(t))γ)(u(t)− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t)) ) , (8) где u ∈ U — произвольная фиксированная функция. Обозначим D0 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], x ∈ R}. Если (t, x) ∈ D0, то для дифференциального уравнения (8) выполнены условия теоре- мы существования и единственности решения и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Пусть Φ1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− ct| = Mtξ(t)}, D1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− ct| < Mtξ(t)}, H = {(t, x) : t = ρ, |x− cρ| < Mρξ(ρ)}. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 182 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА Определим функцию A1 : D0 → [0,+∞) равенством A1(t, x) = (x − ct)2(tξ(t))−2 и обо- значим через a1 : D0 → R производную функции A1 в силу уравнения (8). Поскольку a1(t, x) = 2(tξ(t))−2(γcγt)−1 (( a01 − cγ − γcγ − γcγt ξ′(t) ξ(t) ) (x− ct)2 + + (x− ct) ( −ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(u′(t)− c)r + (cγ − (u′(t))γ)(u(t)− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t)) )) , нетрудно убедиться в том, что sign a1(t, x) = sign ( a01 γcγ − 1− 1 γ − ξ0 ) при (t, x) ∈ Φ1. 1. Пусть вначале a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0. Тогда a1(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ1. Отсюда следует, что если рассмотреть любую точку (t0, x0) ∈ Φ1 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интег- ральную кривую уравнения (8), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0 − δ, t0). Действительно, A1(t0, x0(t0)) = A1(t0, x0) = M2, a1(t0, x0(t0)) = a1(t0, x0) > 0, и поэтому если t0 ∈ (0, ρ), то существует такое δ > 0, что sign ( A1(t, x0(t))−A1(t0, x0(t0)) ) = sign(t− t0), 0 < |t− t0| < δ, или sign ( |x0(t)− ct|(tξ(t))−1 −M ) = sign(t− t0), 0 < |t− t0| < δ. Если же t0 = ρ, то существует такое δ > 0, что A1(t, x0(t)) < A1(t0, x0(t0)), t ∈ (ρ− δ, ρ), или |x0(t)− ct|(tξ(t))−1 < M, t ∈ (ρ− δ, ρ). Отсюда следует, что каждая из интегральных кривых уравнения (8), пересекающих мно- жество H, при убывании t не может иметь общих точек с Φ1 и поэтому определена при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Пусть G(ρ, xG) ∈ H — произвольная фикси- рованная точка. Обозначим через Ju : (t, xu(t)) интегральную кривую уравнения (8), проходящую через точку G. Ввиду изложенного Ju : (t, xu(t)) лежит в D1 при t ∈ (0, ρ]. Поэтому |xu(t)− ct| 6 Mtξ(t), t ∈ (0, ρ]. (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 183 Легко видеть, что |x′u(t)− c| 6 qMξ(t), t ∈ (0, ρ], (10) и ∀µ ∈ (0, ρ] ∀ti ∈ [µ, ρ], i ∈ {1, 2} : |x′u(t1)− x′u(t2)| 6 K(µ)|t1 − t2|. (11) Положим xu(0) = 0, x′u(0) = c. Тогда xu ∈ U . Определим оператор T : U → U , полагая Tu = xu. Необходимо отметить, что точка G(ρ, xG) остается фиксированной при любом выборе функции u ∈ U в правой части уравнения (8), и поэтому xu(ρ) = xG для всех u ∈ U . 2. Пусть a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0. В этом случае a1(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ1. Тогда [16, с. 758] среди интегральных кривых уравнения (8), пересекающих H, найдется хотя бы одна, которая определена при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Обозначим ее через Ju : (t, xu(t)). Как и в случае 1, нетрудно убедиться в том, что выполнены условия (9) – (11). Положим xu(0) = 0, x′u(0) = c. Тогда xu ∈ U . Докажем, что уравнение (8) имеет единственную интегральную кривую с указанными свойствами, а именно — интег- ральную кривую Ju : (t, xu(t)). Для этого рассмотрим однопараметрические семейства множеств Φ2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| = νtξ(t)(− ln t)}, D2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| < νtξ(t)(− ln t)}, где ν — параметр, ν ∈ (0, 1]. Определим функцию A2 : D0 → [0,+∞) равенством A2(t, x) = ( x− xu(t) )2( tξ(t)(− ln t) )−2 и обозначим через a2 : D0 → R производную функции A2 в силу уравнения (8). Посколь- ку a2(t, x) = 2 ( tξ(t)(− ln t) )−2 t−1 ( x− xu(t) )2 ( a01 γcγ − 1− 1 γ − tξ ′(t) ξ(t) − 1 ln t ) , то a2(t, x) < 0, если (t, x) ∈ D0, x 6= xu(t). При этом если (t, x) ∈ D1\{0, 0}, то для любого фиксированного ν ∈ (0, 1] |x− xu(t)| 6 |x− ct|+ |xu(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < νtξ(t)(− ln t) при t ∈ (0, t(ν)], где постоянная t(ν) ∈ (0, ρ) определяется из условия 1 − ln t < ν 2M при t ∈ (0, t(ν)]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 184 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА Отсюда [16, с. 758 – 759] следует справедливость доказываемого утверждения. Определим оператор T : U → U , полагая Tu = xu. Докажем, что T : U → U — непрерывный оператор. Пусть ui ∈ U , i ∈ {1, 2}, — произвольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}. Если u1 = u2, то x1 = x2. Пусть, далее, ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Обозначим Φ3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν}, D3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν}, где ν, η — постоянные, удовлетворяющие следующим условиям: если a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0, то 0 < ν < 1, η > 4(2M)1−ν γ|c|γ ( a01 γcγ − 1− 1 γ − ξ0 )−1 ; если a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то 0 < ν < min { 1, (1 + ξ0)−1 ( 1 + 1 γ + ξ0 − a01 γcγ + Lx )} , η > 4(2M)1−ν γ|c|γ ( 1 + 1 γ + ξ0 − a01 γcγ + Lx − ν(1 + ξ0) )−1 . Определим функцию A3 : D0 → [0,+∞) равенством A3(t, x) = ( x− x2(t) )2( lx(t)(tξ(t))1−ν )−2 . Пусть a3 : D0 → R— производная функции A3 в силу дифференциального уравнения x′ = c+ (γcγt)−1 ( (a01 − cγ)(x− ct)− ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(u′1(t)− c)r + + (cγ − (u′1(t))γ)(u1(t)− ct) + ϕ(t, u1(t), u′1(t)) ) . (12) Поскольку a3(t, x) = 2 ( lx(t)(tξ(t))1−ν )−2 (γcγt)−1 (( a01 − cγ − γcγt l′x(t) lx(t) − (1− ν) ( γcγ + γcγt ξ′(t) ξ(t) )) × × (x− x2(t))2 + (x− x2(t)) ( −ct γ∑ r=2 Crγc γ−r ( (u′1(t)− c)r − (u′2(t)− c)r ) + + ( (cγ − (u′1(t))γ)(u1(t)− ct)− (cγ − (u′2(t))γ)(u2(t)− ct) ) + + ( ϕ(t, u1(t), u′1(t))− ϕ(t, u2(t), u′2(t)) ))) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 185 причем |u1(t)− u2(t)| = |u1(t)− u2(t)|ν |u1(t)− u2(t)|1−ν 6 ≤ ‖u1 − u2‖νB ( |u1(t)− ct|+ |u2(t)− ct| )1−ν 6 hν ( 2Mtξ(t) )1−ν , t ∈ (0, ρ], |u′1(t)− u′2(t)| = |u′1(t)− u′2(t)|ν ≤ |u′1(t)− u′2(t)|1−ν 6 ≤ ‖u1 − u2‖νB ( |u′1(t)− c|+ |u′2(t)− c| )1−ν 6 hν ( 2qMξ(t) )1−ν , t ∈ (0, ρ], нетрудно убедиться в том, что sign a3(t, x) = sign ( a01 γcγ − 1− 1 γ − ξ0 ) при (t, x) ∈ Φ3. 1. Пусть a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0. Тогда a3(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если рассмотреть любую точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интег- ральную кривую уравнения (12), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t))∈D3 при t ∈ (t0, t0+δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0−δ, t0). (Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение относительно Φ1 в случае 1.) При этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. Поэтому если t уменьшается от t = ρ до t = 0, то интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (12) не может иметь общих точек с Φ3. Значит, указанная интегральная кривая лежит в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Следовательно, |x1(t)− x2(t)| 6 ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν , t ∈ (0, ρ]. (13) С помощью (13) получаем оценку |x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(t) t hνω(t), t ∈ (0, ρ], (14) где ω : (0, ρ] → (0,+∞) — непрерывная функция, lim t→+0 ω(t) = 0. Поскольку ρ достаточно мало, то из (13), (14) имеем |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(t) t hν , t ∈ (0, ρ]. (15) 2. Пусть a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0. Тогда a3(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если (t0, x0) ∈ Φ3 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения (12), про- ходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0, t0 + +δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение относительно Φ1 в случае 2.) При этом |x1(t)− x2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < ηlx(t)hν(tξ(t))1−ν , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 186 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА если t ∈ (0, t(h)], где постоянная t(h) ∈ (0, ρ) определяется из условия (tξ(t))1−ν < ηlx(ρ) 2M hν при t ∈ (0, t(h)]. Это означает, что интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (12) лежит в D3 при t ∈ (0, t(h)]. Если t увеличивается от t = t(h) до t = ρ, то на основании изложенного указанная интегральная кривая не может иметь общих точек с Φ3. Поэтому она остается в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Далее, как и в случае 1, получаем оценки (13) – (15). Перейдем непосредственно к доказательству непрерывности оператора T : U → U . Пусть дано ε > 0. Найдется такое tε ∈ (0, ρ), что 2Mtξ(t) + 2qMξ(t) 6 ε 2 при t ∈ (0, tε], и поэтому |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct|+ |x′1(t)− c|+ + |x′2(t)− c| 6 ε 2 при t ∈ (0, tε]. Пусть теперь t ∈ [tε, ρ]. Тогда из (15) получаем |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 lx(tε) tε hν , t ∈ [tε, ρ]. (16) Положим δ(ε) = ( εtε 2lx(tε) ) 1 ν . Если h < δ(ε), то согласно (16) |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 ε 2 (17) при t ∈ [tε, ρ]. Таким образом, если h < δ(ε), то неравенство (17) справедливо при всех t ∈ (0, ρ], и поэтому max t∈[0,ρ] ( |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| ) 6 ε 2 , или ‖x1 − x2‖B 6 ε 2 . В итоге для любого ε > 0 указано δ(ε) > 0 такое, что из неравенства ‖u1 − u2‖B = h < < δ(ε) следует ‖Tu1 − Tu2‖B = ‖x1 − x2‖B 6 ε 2 < ε. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 187 Проведенные рассуждения не зависят от выбора функций ui ∈ U , i ∈ {1, 2}. Непрерыв- ность оператора T : U → U доказана. Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно применить к оператору T : U → U теорему Шаудера о неподвижной точке. Доказательство теоремы 2. Вначале выберем постоянные ρ,M, q. ПустьM, q удовлет- воряют условиям (5). Условия, определяющие выбор ρ, здесь не приводим ввиду ограни- ченности объема статьи; отметим только, что ρ достаточно мало. Пусть B— пространс- тво непрерывно дифференцируемых функций x : [0, ρ] → R с нормой (6). Обозначим через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R которого удовлетворяет усло- виям (3), причем u(0) = 0, u′(0) = c.Множество U замкнуто и ограничено. Преобразовав уравнение (1) к виду (7), далее будем рассматривать дифференциальное уравнение x′ = c+ (γcγt)−1 ( (a01 − cγ)(x− ct)− ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(u′(t)− c)r + + (cγ − (u′(t))γ)(x− ct) + ϕ(t, u(t), u′(t)) ) , (18) где u ∈ U — произвольная фиксированная функция. Пусть D0 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], x ∈ ∈ R}. Если (t, x) ∈ D0, то для дифференциального уравнения (18) выполнены условия теоремы существования и единственности решения и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Так же, как и при доказательстве теоремы 1, в каждом из случаев 1) a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0 и 2) a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0 построим оператор T : U → U , положив Tu = xu. Докажем, что T : U → U — сжимающий оператор. Пусть ui ∈ U , i ∈ {1, 2}, — произвольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}. Если u1 = u2, то x1 = x2. Пусть, далее, ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Обозначим Φ4 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = ηt(ξ(t))λh}, D4 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < ηt(ξ(t))λh}, где η, λ — постоянные, удовлетворяющие следующим условиям: если a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0, или a01 γcγ < 1 + 1 γ , то λ = 0, lx + ly∣∣∣∣a01 − ( 1 + 1 γ ) γcγ ∣∣∣∣ < η < γ|c|γ − lx − ly |a01 − cγ | ; если 1 + 1 γ 6 a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, то λ = σ, η > 2(lx + ly) γ|c|γ ( 1 + σξ0 − a01 γcγ + 1 γ )−1 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 188 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА Определим функцию A4 : D0 → [0,+∞) равенством A4(t, x) = ( x− x2(t) )2( t(ξ(t))λ )−2 и обозначим через a4 : D0 → R производную функции A4 в силу уравнения x′ = c+ (γcγt)−1 ( (a01 − cγ)(x− ct)− ct γ∑ r=2 Crγc γ−r(u′1(t)− c)r + + (cγ − (u′1(t))γ)(x− ct) + ϕ(t, u1(t), u′1(t)) ) . (19) Нетрудно убедиться в том, что sign a4(t, x) = sign ( a01 γcγ − 1− 1 γ − ξ0 ) при (t, x) ∈ Φ4. 1. Пусть вначале a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0. Тогда a4(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ4. Отсюда следует, что если (t0, x0) ∈ Φ4 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения (19), проходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение относительно Φ1 при доказательстве теоремы 1.) При этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. Поэтому если t уменьшается от t = ρ до t = 0, то интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (19) не может иметь общих точек с Φ4. Следовательно, указанная интегральная кривая лежит в D4 при всех t ∈ (0, ρ]. Значит, |x1(t)− x2(t)| 6 ηt(ξ(t))λh, t ∈ (0, ρ]. (20) 2. Пусть теперь a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0. Тогда a4(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ4. Отсюда следует, что если (t0, x0) ∈ Φ4 — любая точка и J0 : (t, x0(t)) — интегральная кривая уравнения (19), проходящая через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t 6 ρ) и (t, x0(t)) ∈ D4 при t ∈ (t0 − δ, t0). (Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение относительно Φ1 при доказательстве теоремы 1.) При этом |x1(t)− x2(t)| 6 |x1(t)− ct|+ |x2(t)− ct| 6 2Mtξ(t) < ηt(ξ(t))λh при t ∈ (0, t(h)], где t(h) ∈ (0, ρ) достаточно мало. Это означает, что интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (19) лежит в D4 при t ∈ (0, ρ]. Если t возрастает от t = t(h) до t = ρ, то на основании изложенного выше указанная интегральная кривая не может иметь общих точек с Φ4 и поэтому она лежит в D4 при всех t ∈ (0, ρ]. Следовательно, выполнено условие (20). Полагая θ =  1 2 ( |a01 − cγ |η + lx + ly γ|c|γ + 1 ) , если a01 γcγ > 1 + 1 γ + ξ0, или a01 γcγ < 1 + 1 γ ; 1 2 , если 1 + 1 γ 6 a01 γcγ < 1 + 1 γ + ξ0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ .. . 189 c помощью (20), используя достаточную малость ρ, получаем |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| 6 θh, t ∈ (0, ρ], (21) где, очевидно, 0 < θ < 1. Из (21) следует max t∈[0,ρ] ( |x1(t)− x2(t)|+ |x′1(t)− x′2(t)| ) 6 θh, или ‖x1 − x2‖B 6 θh, или, окончательно, ‖Tu1 − Tu2‖B 6 θ‖u1 − u2‖B, где 0 < θ < 1. Проведенные рассуждения не зависят от выбора функций ui ∈ U , i ∈ {1, 2}. Следова- тельно, T : U → U — сжимающий оператор. Для завершения доказательства теоремы 2 остается применить к оператору T : U → → U принцип Банаха сжатых отображений. 1. Андреев А. Ф. Усиление теоремы единственности O-кривой в N2 // Докл. АН СССР. — 1962. — 146, № 1. — С. 9 – 10. 2. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1972. — 664 с. 3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. и др. Курс обыкновенных дифференциальных урав- нений. — Киев: Выща шк., 1974. — 472 с. 4. Кигурадзе И. Т. О задаче Коши для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравне- ний // Дифференц. уравнения. — 1965. — 1, № 10. — С. 1271 – 1291. 5. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав- нений. — Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. — 352 с. 6. Чечик В. А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1959. — № 8. — С. 155 – 198. 7. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с. 8. Витюк А. Н. Обобщенная задача Коши для системы дифференциальных уравнений, не решенной относительно производных // Дифференц. уравнения. — 1971. — 7, № 9. — С. 1575 – 1580. 9. Рудаков В. П. О существовании и единственности решения систем дифференциальных уравнений пер- вого порядка, частично разрешенных относительно производных // Изв. вузов. Математика. — 1971. — № 9. — С. 79 – 84. 10. Anichini G., Conti G. Boundary value problems for implicit ODE’s in a singular case // Different. Equat. and Dynam. Systems. — 1999. — 7, № 4. — P. 437 – 459. 11. Conti R. Sulla risoluzione dell’equazione F (t, x, dx/dt) = 0 // Ann. mat. pura ed appl. — 1959. — № 48. — P. 97 – 102. 12. Frigon M., Kaczynski T. Boundary value problems for systems of implicit differential gathers // J. Math. Anal. and Appl. — 1993. — 179, № 2. — P. 317 – 326. 13. Kowalski Z. The polygonal method of solving the differential equation y′ = h(t, y, y, y′) // Ann. pol. math. — 1963. — 13, № 2. — P. 173 – 204. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2 190 А.Е. ЗЕРНОВ, Ю.В. КУЗИНА 14. Kowalski Z. A difference method of solving the differential equation y′ = h(t, y, y, y′) // Ibid. — 1965. — 15, № 2. — P. 121 – 148. 15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с. 16. Зернов А. Е. О разрешимости и асимптотических свойствах решений одной сингулярной задачи Коши // Дифференц. уравнения. — 1992. — 28, № 5. — С. 756 – 760. 17. Зернов А. Е. Качественный анализ неявной сингулярной задачи Коши // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 3. — С. 302 – 310. 18. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Асимптотическое поведение решений задачи Коши x′ = f(t, x, x′), x(0) = = 0 // Там же. — 2002. — 54, № 12. — С. 1698 – 1703. Получено 22.05.2003 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2

Схожі ресурси