Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями
Встановлено умови сумiсностi систем диференцiальних рiвнянь зi сталим загаюванням та обмеженнями. Запропоновано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для таких задач i наведено його обґрунтування....
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176935 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 206-232. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176935 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769352021-02-10T01:26:25Z Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями Лучка, А.Ю. Ферук, В.А. Встановлено умови сумiсностi систем диференцiальних рiвнянь зi сталим загаюванням та обмеженнями. Запропоновано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для таких задач i наведено його обґрунтування. In this paper, consistency conditions for systems of differential equations with constant delay and restrictions are established. The new modification of projection-iterative method for such problems is proposed and substantiated. 2003 Article Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 206-232. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176935 517 . 91/912 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Встановлено умови сумiсностi систем диференцiальних рiвнянь зi сталим загаюванням та обмеженнями. Запропоновано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для таких задач i наведено його обґрунтування. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. Ферук, В.А. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Ферук, В.А. Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. Ферук, В.А. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| title_short |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| title_full |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| title_fullStr |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| title_sort |
проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176935 |
| citation_txt |
Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 206-232. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû proekcíjnoíterativnijmetoddlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâmtaobmežennâmi AT ferukva proekcíjnoíterativnijmetoddlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâmtaobmežennâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T14:53:19Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:53:19Z |
| _version_ |
1837725070867300352 |
| fulltext |
УДК 517 . 91/912
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД
ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАГАЮВАННЯМ ТА ОБМЕЖЕННЯМИ
А. Ю. Лучка, В. А. Ферук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
In this paper, consistency conditions for systems of differential equations with constant delay and restricti-
ons are established. The new modification of projection-iterative method for such problems is proposed
and substantiated.
Встановлено умови сумiсностi систем диференцiальних рiвнянь зi сталим загаюванням та обме-
женнями. Запропоновано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для таких задач i на-
ведено його обґрунтування.
Функцiонально-диференцiальнi рiвняння почали iнтенсивно вивчатись у другiй половинi
минулого столiття (див., наприклад, [1 – 3] ).
Дослiдження диференцiальних рiвнянь та їх систем з обмеженнями чи iмпульсами
[4 – 7] стимулювали розвиток методiв дослiдження функцiонально-диференцiальних рiв-
нянь з обмеженнями та розробку наближених методiв.
У данiй статтi запропоновано новий пiдхiд до встановлення умов сумiсностi системи
диференцiальних рiвнянь iз загаюванням та обмеженнями i новий варiант проекцiйно-
iтеративного методу їх розв’язання.
1. Постановка задачi. Розглянемо систему функцiонально-диференцiальних рiвнянь
вигляду
d
dt
x(t) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆) = f(t), t ∈ [a, b], (1)
x(t−∆) = ϕ(t), t ∈ [a, a+ ∆), (2)
в якiй ∆ > 0 — стале загаювання, L(t) та M(t) — матрицi розмiрностi m ×m, елементи
яких сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b], f ∈ L2[a, b], ϕ ∈ L2[a, a + ∆), де L2[a, c] —
простiр вектор-функцiй, компоненти яких сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, c].
Поставимо задачу знаходження в класiW 1
2 [a, b] абсолютно неперервних вектор-функ-
цiй, похiдна яких належить простору L2[a, b], вектор-функцiї x(t), яка майже скрiзь задо-
вольняє систему рiвнянь (1) та обмеження
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (3)
c© А .Ю . Лучка, В. А. Ферук, 2003
206 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 207
де матриця S(t) розмiрностi l ×m iз сумовними з квадратом елементами i вектор α ∈ Rl
є заданими, причому l ≥ m.
Задачу (1) – (3) вважатимемо сумiсною, якщо iснує розв’язок x ∈ W 1
2 [a, b] системи
рiвнянь (1), який задовольняє обмеження (3). У противному разi задача є несумiсною.
Нижче встановлюються умови сумiсностi задачi (1) – (3) i наводиться обґрунтування
застосування до неї нового варiанту проекцiйно-iтеративного методу.
2. Суть методу. Застосуємо до розглядуваної задачi новий варiант проекцiйно-iте-
ративного методу, запропонованого в роботi [8]. З цiєю метою введемо до розгляду век-
тор-функцiю
v(t) = f(t) + C(t)x(t) +D(t)x(t−∆), (4)
де матрицi C(t) та D(t) визначаються формулами
C(t) = A(t)− L(t), D(t) = B(t)−M(t), (5)
в яких A(t) та B(t) — неперервнi при t ∈ [a, b] матрицi розмiрностi m×m.
Суть методу полягає в тому, що, маючи наближення xk−1(t), спочатку знаходимо век-
тор-функцiю
vk(t) = f(t) + C(t)xk−1(t) +D(t)xk−1(t−∆), (6)
а пiсля цього наступне наближення визначаємо iз допомiжної задачi з керуванням
d
dt
xk(t) +A(t)xk(t) +B(t)xk(t−∆) = uk(t) + vk(t), (7)
xk(t) = ϕ(t), t ∈ [a, a+ ∆),
b∫
a
S(t)xk(t)dt = α, (8)
b∫
a
Ψ(t)
(
d
dt
xk(t) + L(t)xk(t) +M(t)xk(t−∆)− f(t)
)
dt = 0, (9)
в якiй керування має вигляд
uk(t) = Φ(t)λk, (10)
матрицi Φ(t) та Ψ(t) iз сумовними з квадратом на [a, b] елементами розмiрностi m × n та
ν ×m вiдповiдно є заданими, а вектор-функцiю xk ∈ W 1
2 [a, b] та вектор λk ∈ Rn потрiбно
визначити.
Тут i в подальшому вважаємо, що стовпцi матрицi Φ(t) i рядки матрицi Ψ(t) лiнiйно
незалежнi, а m+ n = l + ν.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
208 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Початкове наближення x0(t) визначаємо iз задачi (7) – (10) при k = 0 та заданiй вектор-
функцiї v0 ∈ L2[a, b].
Частинним випадком методу (6) – (10), коли немає обмеження (9), є iтерацiйний ме-
тод, дослiджений в [7 – 10], а початкове наближення x0(t) можна трактувати як набли-
ження, знайдене за проекцiйним методом.
3. Зведення системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь до крайової задачi для
системи диференцiальних рiвнянь. Припустимо, не зменшуючи загальностi, що b = a +
+N∆. У цьому випадку систему рiвнянь (1), (2) можна звести до рiвносильної крайової
задачi для системи диференцiальних рiвнянь порядку mN .
Справдi, використаємо методику, описану в [11], згiдно з якою потрiбно розглянути
систему рiвнянь (1) на кожному iнтервалi (τi, τi+1), де τi = a+(i−1)∆, i = 1, N + 1, тобто
d
dt
x(t) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆) = f(t), t ∈ (τi, τi+1), (11)
i ввести замiну t = cs+ τi, де c = ∆/T i s ∈ [0, T ].
З урахуванням того, що t−∆ = cs+ τi −∆ = cs+ τi−1, система (11) набере вигляду
1
c
d
ds
x(cs+ τi) + L(cs+ τi)x(cs+ τi) +M(cs+ τi)x(cs+ τi−1) = f(cs+ τi), s ∈ (0, T ).
(12)
Якщо ввести до розгляду матрицi розмiрностi m×m
Li(s) = cL(cs+ τi), Mi(s) = cM(cs+ τi), i = 1, N, (13)
та вектор-функцiї
zi(s) = x(cs+ τi), gi(s) = cf(cs+ τi)−
{
M1(s)ϕ(cs+ τ1), i = 1;
0, i = 2, N,
(14)
i врахувати той факт, що за умови (2)
z0(s) = x(cs+ τ0) = ϕ(cs+ τ1), τ0 = a−∆, (15)
то з формул (12) – (14) отримаємо
dz1
ds
+ L1(s)z1 = g1(s),
dz2
ds
+ L2(s)z2 +M2(s)z1 = g1(s),
(16)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
dzN
ds
+ LN (s)zN +MN (s)zN−1 = gN (s).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 209
Щоб забезпечити неперервнiсть розв’язку x(t) системи (1) в точках t = τi, i = 2, N ,
накладемо умови
zi(T ) = zi+1(0), i = 1, N − 1. (17)
Систему диференцiальних рiвнянь (16) порядку mN з крайовими умовами (17) запи-
шемо у виглядi
dz
ds
+ P (s)z = g(s), s ∈ (0, T ), (18)
Jz(T ) = Ez(0), (19)
де
z(s) =
z1(s)
z2(s)
· · ·
zN (s)
, P (s) =
L1(s) O · · · O O
M2(s) L2(s) · · · O O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O · · · MN (s) LN (s)
, (20)
g(s) =
g1(s)
g2(s)
· · ·
gN (s)
, J =
I O · · · O O
O I · · · O O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O · · · I O
,
E =
O I O · · · O
O O I · · · O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O O · · · I
,
(21)
а I — одинична матриця в Rm.
Таким чином, на пiдставi аналiзу викладеного приходимо до такої леми.
Лема 1. Система функцiонально-диференцiальних рiвнянь (1) порядкуm з умовою (2)
у випадку, коли b = a+N∆, рiвносильна системi диференцiальних рiвнянь (18) порядку
mN з крайовими умовами (19). Розв’язки цих задач пов’язанi мiж собою спiввiдношення-
ми
x(t) =
z1(s), t ∈ (a, τ2];
z2(s), t ∈ [τ2, τ3];
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
zN (s), t ∈ [τN , b),
z(s) =
x(cs+ τ1)
x(cs+ τ2)
· · · · · · · · ·
x(s+ τN )
, (22)
s ∈ [0, T ], zi(T ) = zi+1(0), i = 1, N − 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
210 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Зауваження 1. У випадку, коли в розглядуванiй задачi b ∈ (τN , b̂), де b̂ = a + N∆, її
також можна звести до рiвносильної крайової задачi, якщо покласти L(t) = 0, M(t) = 0
та f(t) = 0 при t ∈ (b, b̂] i вважати, що x(̂b) = x(b). У цьому випадку в формулах (14) та
(16)
gN (s) =
cf(cs+ τN ), s ∈ [0, d];
0, s ∈ (d, T ],
d =
1
c
(b− τN ),
LN (s) =
cL(cs+ τN ), s ∈ [0, d];
0, s ∈ (d, T ],
MN (s) =
cM(cs+ τN ), s ∈ [0, d];
0, s ∈ (d, T ],
а до крайових умов (17) потрiбно додати умову zN (T ) = zN (d).
4. Допомiжна задача. При встановленнi умов сумiсностi задачi (1) – (3) та побудовi її
наближених розв’язкiв за методом (6) – (10) важливу роль вiдiграє допомiжна задача
d
dt
x(t) +A(t)x(t) +B(t)x(t−∆) = u(t) + v(t), (23)
x(t−∆) = ϕ(t), t ∈ [a, a+ ∆),
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (24)
b∫
a
Ψ(t)
(
d
dt
x(t) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆)− f(t)
)
dt = 0, (25)
u(t) = Φ(t)λ, (26)
в якiй вектор-функцiя v ∈ L2[a, b] є заданою, а потрiбно визначити вектор-функцiю x ∈
∈ W 1
2 [a, b] та вектор λ ∈ Rn.
Побудуємо розв’язок задачi (23) – (26). З цiєю метою зведемо її до рiвносильної кра-
йової задачi для системи диференцiальних рiвнянь порядку mN з обмеженнями. Для цьо-
го, як i ранiше, розглянемо систему (23) на кожному iнтервалi (τi, τi+1) i введемо замiну
t = cs+ τi, в результатi чого отримаємо
1
c
d
ds
x(cs+ τi) + A(cs+ τi)x(cs+ τi) +B(cs+ τi)x(cs+ τi−1) =
= u(cs+ τi) + v(cs+ τi), i = 1, N, s ∈ (0, T ). (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 211
Якщо тепер врахувати рiвнiсть (15) i той факт, що згiдно з формулою (26)
u(cs+ τi) = Φ(cs+ τi)λ,
а також використати перше позначення з (14) та ввести новi
Ai(s) = cA(cs+ τi), Bi(s) = cB(cs+ τi),
wi(s) = cu(cs+ τi), Φi(s) = cΦ(cs+ τi), i = 1, N, (28)
yi(s) = cv(cs+ τi)−
{
B1(s)ϕ(cs+ τi), i = 1;
0, i = 2, N,
то iз спiввiдношення (27) одержимо систему рiвнянь
dz1
ds
+A1(s)z1 = w1(s) + y1(s),
dz2
ds
+A2(s)z2 +B2(s)z1 = w2(s) + y2(s),
(29)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
dzN
ds
+AN (s)zN +BN (s)zN−1 = wN (s) + yN (s),
до якої потрiбно ще додати крайовi умови (17), щоб забезпечити неперервнiсть вектор-
функцiї x(t).
Обмеження (24) можна зобразити у виглядi
N∑
i=1
T∫
0
Si(s)zi(s)ds = α, (30)
де
Si(s) = cS(cs+ τi), i = 1, N. (31)
Справдi, враховуючи позначення (14) та (31), маємо
b∫
a
S(t)x(t)dt =
N∑
i=1
τi+1∫
τi
S(t)x(t)dt =
=
N∑
i=1
T∫
0
cS(cs+ τi)x(cs+ τi)ds =
N∑
i=1
T∫
0
Si(s)zi(s)ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
212 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Далi, обмеження (25) запишемо у виглядi
N∑
i=1
T∫
0
Ψi(s)
(
d
ds
zi(s) + Li(s)zi(s) +Mi(s)zi−1(s)− gi(s)
)
ds = 0, (32)
де z0(s) = 0 i
Ψi(s) = cΨ(cs+ τi), i = 1, N. (33)
Для цього досить вказане обмеження записати у виглядi
N∑
i=1
τi+1∫
τi
Ψ(t)
(
d
dt
x(t) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆)− f(t)
)
dt = 0,
ввести замiну t = cs+ τi, i = 1, N , та врахувати формули (13) – (15) i (33).
Систему диференцiальних рiвнянь (29) з крайовими умовами (17) i обмеженнями (30)
та (32) запишемо у виглядi
dz
ds
+H(s)z = w(s) + y(s), Jz(T ) = Ez(0), (34)
T∫
0
U(s)z(s)ds = α,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
z(s)ds = β, (35)
w(s) = W (s)λ, β =
T∫
0
V (s)g(s)ds, (36)
де матрицi P (s), J, E та вектор-функцiї z(s), g(s) визначаються формулами (20), (21) i
H(s) =
A1(s) O · · · O O
B2(s) A2(s) · · · O O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O · · · BN (s) AN (s)
, y(s) =
y1(s)
y2(s)
· · ·
yN (s)
, (37)
U(s) =
(
S1(s) S2(s) · · · SN (s)
)
,
V (s) =
(
Ψ1(s) Ψ2(s) · · · ΨN (s)
)
,
W (s) =
Φ1(s)
Φ2(s)
· · ·
ΦN (s)
. (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 213
Припустимо, що неперервнi матрицi A(t) та B(t) вибрано таким чином, що можна
побудувати в явному виглядi матрицю Γ(s, ξ), яка задовольняє умову
JΓ(T, ξ) = EΓ(0, ξ), (39)
за допомогою якої частинний розв’язок задачi
dv
ds
+H(s)v = y(s), Jv(T ) = Ev(0) (40)
визначається за формулою
v(s) =
T∫
0
Γ(s, ξ)y(ξ)dξ. (41)
За такого припущення розв’язок задачi (34) – (36) шукаємо у виглядi
z(s) = v(s) + Y (s)λ+ Z(s)µ, w(s) = W (s)λ, (42)
де матрицi Y (s) та Z(s) розмiрностi mN × n та mN ×m вiдповiдно визначаються iз задач
d
ds
Y (s) +H(s)Y (s) = W (s), JY (T ) = EY (0), (43)
d
ds
Z(s) +H(s)Z(s) = O, JZ(T ) = EZ(0). (44)
На пiдставi спiввiдношень (40), (43), (44) неважко впевнитись у тому, що вектор-функ-
цiя z(s) (42) є розв’язком крайової задачi (34). Залишилось визначити вектори λ ∈ Rn та
µ ∈ Rm таким чином, щоб справджувались обмеження. Для цього пiдставимо вираз (42) у
формули (35) i виконаємо нескладнi перетворення, в результатi чого отримаємо систему
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Λ11λ+ Λ12µ = d1, Λ21λ+ Λ22µ = d2, (45)
де матрицi
Λ11 =
T∫
0
U(s)Y (s)ds, Λ21 =
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
Y (s)ds,
Λ12 =
T∫
0
U(s)Z(s)ds, Λ22 =
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
Z(s)ds
(46)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
214 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
мають розмiрнiсть l × n, ν × n, l ×m, ν ×m вiдповiдно i
d1 = α−
T∫
0
U(s)v(s)ds, d2 = β −
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
v(s)ds, (47)
причому d1 ∈ Rl та d2 ∈ Rν .
Лема 2. Якщо det Λ 6= 0, де
Λ =
(
Λ11 Λ12
Λ21 Λ22
)
, (48)
то iснують вектор-функцiї h(s),r(s) та матрицi G(s, ξ), R(s, ξ) розмiрностi mN ×mN
такi, що єдиний розв’язок задачi (34) – (36) зображається формулами
z(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ, (49)
w(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ (50)
i справджуються рiвностi
(
d
ds
+H(s)
)
h(s) = r(s), Jh(T ) = Eh(0),
T∫
0
U(s)h(s)ds = α, (51)
(
d
ds
+H(s)
) T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ = y(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ, (52)
JG(T, ξ) = EG(0, ξ),
T∫
0
U(s)
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξds = 0 ∀y ∈ L2[0, T ], (53)
T∫
0
G(s, ξ)W (ξ)dξ = O, W (s) +
T∫
0
R(s, ξ)W (ξ)dξ = O. (54)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 215
Доведення. За умови леми iснують матрицi ∆11, ∆12, ∆21, ∆22 розмiрностi n× l, n× ν,
m × l, m × ν вiдповiдно такi, що єдиний розв’язок системи рiвнянь (45) можна зобразити
у виглядi
λ = ∆11d1 + ∆12d2, µ = ∆21d1 + ∆22d2, (55)
причому справедливi спiввiдношення
∆11Λ11 + ∆12Λ21 = In, ∆21Λ11 + ∆22Λ21 = O, (56)
Λ11∆11 + Λ12∆21 = Il, Λ11∆12 + Λ12∆22 = O, (57)
де In та Il — одиничнi матрицi в Rn та Rl.
Якщо пiдставити спiввiдношення (55) у формули (42) i врахувати при цьому вирази
(47), то отримаємо
z(s) = v(s) + (Y (s)∆11 + Z(s)∆21)
α− T∫
0
U(s)v(s)ds
+
+ (Y (s)∆12 + Z(s)∆22)
β − T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
v(s)ds
.
Цi спiввiдношення можна записати у виглядi (49), (50), якщо використати формулу (41)
та ввести позначення
h(s) = Q1(s)α+Q2(s)β, r(s) = W (s) (∆11α+ ∆12β) , (58)
Q1(s) = Y (s)∆11 + Z(s)∆21, Q2(s) = Y (s)∆12 + Z(s)∆22, (59)
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ =
T∫
0
Γ(s, ξ)y(ξ)dξ −
T∫
0
Q1(s)U(η)
T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη −
−
T∫
0
Q2(s)V (η)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη, (60)
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ = −
T∫
0
W (s)∆11U(η)
T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη −
−
T∫
0
W (s)∆12V (η)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη. (61)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
216 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Оскiльки згiдно з формулами (40) та (41)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξ =
(
d
dη
+H(η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξ +
+ (P (η)−H(η))
T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξ = y(η)−
T∫
0
F (η)
T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξ,
де F (η) = H(η)− P (η), то, очевидно, ядра операторiв (60) та (61) мають вигляд
G(s, ξ) = Γ(s, ξ)−Q2(s)V (ξ) +
T∫
0
(Q2(s)V (η)F (η)−Q1(s)U(η))Γ(η, ξ)dη, (62)
R(s, ξ) = W (s)
−∆12V (ξ) +
T∫
0
(∆12V (η)F (η)−∆11U(η))Γ(η, ξ)dη
. (63)
Використавши формули (59), (43) та (44), легко отримати спiввiдношення(
d
ds
+H(s)
)
Q1(s) = W (s)∆11,
(
d
ds
+H(s)
)
Q2(s) = W (s)∆12, (64)
JQ1(T ) = EQ1(0), JQ2(T ) = EQ2(0), (65)
на пiдставi яких i формул (58) маємо(
d
ds
+H(s)
)
h(s) = r(s), Jh(T ) = Eh(0),
тобто справджуються першi двi рiвностi (51).
Далi, за допомогою формул (60), (41), (40), (64) та (61) можна переконатись у пра-
вильностi рiвностi (52). Справдi, маємо
(
d
ds
+H(s)
) T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ = y(s)−W (s)∆11
T∫
0
U(η)
T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη −
− W (s)∆12
T∫
0
V (η)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)y(ξ)dξdη = y(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 217
Оскiльки, як це випливає iз спiввiдношень (59), (46), (57),
T∫
0
U(s)Q1(s)ds =
T∫
0
U(s)(Y (s)∆11 + Z(s)∆21)ds = Λ11∆11 + Λ12∆21 = Il,
T∫
0
U(s)Q2(s)ds =
T∫
0
U(s)(Y (s)∆12 + Z(s)∆22)ds = Λ11∆12 + Λ12∆22 = O,
то з урахуванням виразiв (58), (65), (62) та (39) третю рiвнiсть (51) та спiввiдношення (53)
отримуємо очевидним чином.
Використовуючи зображення (60) та (61) i формули (41), (43), (46), (59), (56), (57),
маємо
T∫
0
G(s, ξ)W (ξ)dξ =
T∫
0
Γ(s, ξ)W (ξ)dξ −
T∫
0
Q1(s)U(η)
T∫
0
Γ(η, ξ)W (ξ)dξdη −
−
T∫
0
Q2(s)V (η)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)W (ξ)dξdη =
= Y (s)−Q1(s)
T∫
0
U(η)Y (η)dη −Q2(s)
T∫
0
V (η)
(
d
dη
+ P (η)
)
Y (η)dη =
= Y (s)−Q1(s)Λ11 −Q2(s)Λ21 = Y (s)− Y (s)(∆11Λ11 + ∆12Λ21)−
− Z(s)(∆21Λ11 + ∆22Λ21) = Y (s)− Y (s) = O,
T∫
0
R(s, ξ)W (ξ)dξ = −
T∫
0
W (s)∆11U(η)
T∫
0
Γ(η, ξ)W (ξ)dξdη −
−
T∫
0
W (s)∆12V (η)
(
d
dη
+ P (η)
) T∫
0
Γ(η, ξ)W (ξ)dξdη =
= −W (s)
∆11
T∫
0
U(η)Y (η)dη + ∆12
T∫
0
V (η)
(
d
dη
+ P (η)
)
Y (η)dη
=
= −W (s)(∆11Λ11 + ∆12Λ21) = −W (s).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
218 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Отже, властивостi (54) є правильними.
Лема 3. Якщо матриця Λ вигляду (48) невироджена, то для довiльної вектор-функцiї
v ∈ W 1
2 [0, T ], яка задовольняє крайовi умови Jv(T ) = Ev(0) i обмеження
T∫
0
U(t)v(t)dt = α,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
v(s)ds = β, (66)
справджуються спiввiдношення
v(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
v(ξ)dξ, (67)
0 = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
v(ξ)dξ, (68)
де вектор-функцiї h(s) та r(s) визначаються формулами (58), (59), а G(s, ξ) та R(s, ξ) —
формулами (62), (63).
Справдi, покладемо в рiвняннi
y(s) =
(
d
ds
+H(s)
)
v(s),
в результатi чого отримаємо задачу(
d
ds
+H(s)
)
z(s) = w(s) +
(
d
ds
+H(s)
)
v(s), Jz(T ) = Ez(0), (69)
T∫
0
U(s)z(s)ds = α,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
z(s)ds = β. (70)
Оскiльки виконуються всi умови леми 2, задача (69), (70) має єдиний розв’язок, який з
урахуванням формул (49), (50) має вигляд
z(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
v(ξ)dξ, (71)
w(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
v(ξ)dξ. (72)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 219
Нехай x(t) = z(t)− v(t), тодi, по-перше, задача (69) набере вигляду(
d
ds
+H(s)
)
x(s) = w(s), Jx(T ) = Ex(0), (73)
i, по-друге, враховуючи обмеження (66), (70), маємо
T∫
0
U(s)x(s)ds = 0,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
x(s)ds = 0. (74)
За умови леми однорiдна задача (73), (74) має єдиний розв’язок x(t) = 0, w(s) = 0, тобто
z(s) = v(s). Iз останнiх рiвностей та формул (71), (72) спiввiдношення (67), (68) виплива-
ють очевидним чином.
5. Умови сумiсностi задачi. За допомогою лем можна встановити умови сумiсностi за-
дачi (1) – (3). Для цього вектор-функцiю v(t), яка визначається формулою (4), зобразимо
у рiвносильному виглядi
y(s) = g(s) + F (s)z(s), F (s) = H(s)− P (s). (75)
Щоб його отримати, досить розглянути вираз (4) на кожному iнтервалi (τi, τi+1), виконати
замiну t = cs + τi, i = 1, N , s ∈ (0, T ), i використати позначення (5), (28), (13) – (15), (20),
(21) та (37).
Припустимо, що iснує єдиний розв’язок допомiжної задачi (34) – (36), у якiй вектор-
функцiя y(s) має вигляд (75). Пiдставивши вираз (49) у спiввiдношення (75), отримаємо
систему iнтегральних рiвнянь
y(s) = p(s) +
T∫
0
K(s, ξ)y(ξ)dξ, (76)
в якiй
p(s) = g(s) + F (s)h(s), K(s, ξ) = F (s)G(s, ξ). (77)
Теорема 1. Якщо матриця Λ (48) невироджена, то задача (1) – (3) сумiсна тiльки то-
дi, коли виконується умова
r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ = 0, (78)
де y ∈ L2[0, T ] — розв’язок системи iнтегральних рiвнянь (76).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
220 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Доведення. Нехай y∗ ∈ L2[0, T ] — розв’язок iнтегрального рiвняння (76), який задо-
вольняє умову (78), тобто справедливi рiвностi
y∗(s) = g(s) +
T∫
0
K(s, ξ)y∗(ξ)dξ, r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y∗(ξ)dξ = 0. (79)
Побудуємо вектор-функцiю
z∗(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ (80)
i встановимо, що вектор-функцiя x∗ ∈ W 1
2 [a, b], яка визначається формулою
x∗(t) =
z∗1(s), t ∈ (a, τ2];
z∗2(s), t ∈ [τ2, τ3];
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
z∗N (s), t ∈ [τN , b),
(81)
де s ∈ (0, T ), τi = a+(i−1)∆, i = 1, N , та zi(T ) = zi+1(0), i = 1, N − 1, є розв’язком задачi
(1) – (3), тобто задача сумiсна. Для цього використаємо формули (18), (75), (80), (51), (52),
(77) та (79), на пiдставi яких маємо(
d
ds
+ P (s)
)
z∗(s)− g(s) =
(
d
ds
+H(s)
)
z∗(s)− F (s)z∗(s)− g(s) =
=
(
d
ds
+H(s)
)
h(s) +
(
d
ds
+H(s)
) T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ −
− F (s)h(s)− F (s)
T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ − g(s) =
= r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y∗(ξ)dξ + y∗(s)−
T∫
0
K(s, ξ)y∗(ξ)dξ − p(s) = 0.
Отже, вектор-функцiя z∗(s) — розв’язок системи рiвнянь (18). Вона ж, як це безпосе-
редньо випливає iз формул (80), (51), (53), задовольняє крайовi умови (19). Використавши
тепер лему 1, зокрема зображення (22), приходимо до висновку, що вектор-функцiя x∗(t),
що визначається формулою (81), задовольняє рiвняння (1) за умови (2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 221
Залишилось встановити рiвнiсть (3). Для цього використаємо формули (80), (51), (53),
iз яких безпосередньо випливає
T∫
0
U(s)z∗(s)ds = α. (82)
Оскiльки обмеження (3) можна зобразити у виглядi (30), то, враховуючи позначення (20),
(38) та рiвнiсть (82), маємо
b∫
a
S(t)x∗(t)dt =
N∑
i=1
T∫
0
Si(s)zi(s)ds =
T∫
0
U(s)z∗(s)ds = α.
Таким чином, вектор-функцiя x∗(t), яка визначається формулою (81), є розв’язком
задачi (1) – (3), тобто задача сумiсна.
Нехай тепер x∗ ∈ W 1
2 [0, T ] — розв’язок задачi (1) – (3), тодi вектор-функцiя
z∗(s) =
z∗1(s)
z∗2(s)
· · ·
z∗N (s)
=
x∗(cs+ τ1)
x∗(cs+ τ2)
· · · · · · · · ·
x∗(cs+ τN )
, s ∈ [0, T ],
по-перше, згiдно з лемою 1, є розв’язком крайової задачi (18), (19), тобто(
d
ds
+ P (s)
)
z∗(s) = g(s), (83)
а по-друге, з урахуванням спiввiдношень (30), (35), (36) та (83) справджуються рiвностi
T∫
0
U(s)z∗(s)ds = α,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
z∗(s)ds = β.
Оскiльки, як ми бачимо, виконуються всi умови леми 3, то справедливi спiввiдношення
z∗(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
z∗(ξ)dξ, (84)
r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
z∗(ξ)dξ = 0. (85)
Встановимо, що розв’язком системи iнтегральних рiвнянь (76) є вектор-функцiя
y∗(s) =
(
d
ds
+H(s)
)
z∗(s). (86)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
222 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Справдi, згiдно з формулами (77), (86), (84), (75) та (83) маємо
p(s)− y∗(s) +
T∫
0
K(s, ξ)y∗(ξ)dξ =
= g(s) + F (s)h(s)−
(
d
ds
+H(s)
)
z∗(s) +
T∫
0
F (s)G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
z∗(ξ)dξ =
= g(s) + F (s)
h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
z∗(ξ)dξ
− ( d
ds
+H(s)
)
z∗(s) =
= g(s) + F (s)z∗(s)−H(s)z∗(s)− d
ds
z∗(s) = g(s)− P (s)z∗(s)− d
ds
z∗(s) = 0.
Зазначимо, що умова (78) виконується, оскiльки iз спiввiдношень (85), (86) випливає рiв-
нiсть
r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y∗(ξ)dξ = 0. (87)
Таким чином, вектор-функцiя y∗ ∈ L2[0, T ], яка визначається формулою (86), є розв’яз-
ком системи iнтегральних рiвнянь i задовольняє умову (87), що й потрiбно було встано-
вити.
Теорема 2. Якщо виконується умова теореми 1, то однорiдна задача
d
dt
x(t) + L(t)x(t) +M(t)x(t−∆) = 0, (88)
x(t−∆) = 0, t ∈ [a, a+ ∆),
T∫
0
S(t)x(t)dt = 0 (89)
має нетривiальний розв’язок тiльки тодi, коли iснує нетривiальний розв’язок задачi
y(s) =
T∫
0
K(s, ξ)y(ξ)dξ,
T∫
0
R(t, s)y(s)ds = 0. (90)
Доведення. Оскiльки згiдно з лемою 1 задача (88), (89) рiвносильна задачi
(
d
ds
+ P (s)
)
z(s) = 0, Jx(T ) = Ex(0),
T∫
0
U(s)z(s)ds = 0, (91)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 223
то твердження теореми буде випливати iз рiвносильностi задач (90) та (91). Встановимо
цей факт.
Нехай y∗(s) — нетривiальний розв’язок задачi (90), тобто з урахуванням позначення
(77) справджується рiвнiсть
y∗(s) = F (s)
T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ. (92)
Тодi, як це встановлено при доведеннi теореми 1, вектор-функцiя
z∗(s) =
T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ (93)
є нетривiальним розв’язком задачi (91), оскiльки коли б було z∗(s) = 0, то iз рiвностей
(92) та (93) випливало б y∗(s) = 0.
Навпаки, нехай z∗(s) — нетривiальний розв’язок задачi (91), тодi, очевидно, викону-
ються всi умови леми 3, згiдно з якою справедлива рiвнiсть
z∗(s) =
T∫
0
G(s, ξ)
(
d
dξ
+H(ξ)
)
z∗(ξ)dξ. (94)
Повторивши доведення теореми 1, легко встановити, що вектор-функцiя
y∗(s) =
(
d
ds
+H(s)
)
z∗(s) (95)
є розв’язком задачi (90). Цей розв’язок — нетривiальний, оскiльки якщо б було y∗(s) = 0,
то iз спiввiдношень (94) i (95) випливало б z∗(s) = 0, що суперечить припущенню.
Висновок 1. За умови теореми 1 задача (1) – (3) має єдиний розв’язок тiльки тодi,
коли iснує єдиний розв’язок системи iнтегральних рiвнянь (76), який задовольняє умову
(78).
Справдi, припустимо, що система iнтегральних рiвнянь (76) має єдиний розв’язок,
який задовольняє умову (78), отже, однорiдна задача (90) має тiльки тривiальний розв’я-
зок. Тодi задача (1) – (3) також має лише єдиний розв’язок, оскiльки якби iснували два
розв’язки x∗(t) та x(t), причому x∗(t) 6= x(t), то неважко помiтити, що однорiдна задача
(88), (89) мала б нетривiальний розв’язок x(t) = x∗(t)− x(t), а отже, за теоремою 2 одно-
рiдна задача (90) також мала б нетривiальний розв’язок, що суперечить припущенню.
Навпаки, нехай iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (3), тобто однорiдна задача (88),
(89) має лише тривiальний розв’язок. Якщо припустити, що неоднорiдна задача (76), (78)
має два розв’язки y∗(s) та y(s), причому y∗(s) 6= y(s), то однорiдна задача (90) мала б
нетривiальний розв’язок y(s) = y∗(s)−y(s), а тодi за теоремою 2 iснував би нетривiальний
розв’язок задачi (88), (89), що суперечить припущенню.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
224 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Зауваження 2. У випадку, коли τN < b < b̂ = a + N∆, вважаємо, що в допомiжнiй
задачi (23) – (26) матрицi A(t), B(t), Φ(t) та вектор-функцiя v(t) визначенi при t ∈ [a, b̂], а
S(t) = 0, Ψ(t) = 0 при t ∈ (b, b̂] i x(̂b) = x(b). Тодi допомiжна задача (23) – (26) зводиться
до системи диференцiальних рiвнянь з керуванням (29) та обмеженнями (30), (32) i кра-
йовими умовами (17), до яких ще треба приєднати умову zN (T ) = zN (d), де cd = b − τN
i
SN (s) =
{
cS(cs+ τN ), s ∈ [0, d];
0, s ∈ (d, T ],
ΨN (s) =
{
cΨ(cs+ τN ), s ∈ [0, d];
0, s ∈ (d, T ].
Якщо врахувати зауваження 1 та 2, приходимо до висновку, що теореми 1 та 2 спра-
ведливi i для випадку, коли в задачi (1) – (3) b < a+N∆.
6. Умови збiжностi методу та оцiнки похибки. Наведемо умови збiжностi проекцiйно-
iтеративного методу щодо задачi (1) – (3). Для цього вiдмiтимо, що вказаний метод зво-
диться до методу послiдовних наближень
yk(s) = p(s) +
T∫
0
K(s, ξ)yk−1(ξ)dξ (96)
для системи iнтегральних рiвнянь (76).
Справдi, таким самим способом, як при зведеннi допомiжної задачi (23) – (26) до задачi
(34) – (36), а виразу (4) — до вигляду (75), задачу (7) – (10) можна звести до рiвносильної
задачi
dzk
ds
+H(s)zk(s) = wk(s) + yk(s), Jzk(T ) = Ezk(0), (97)
T∫
0
U(s)zk(s)ds = α,
T∫
0
V (s)
(
d
ds
+ P (s)
)
zk(s)ds = β, (98)
wk(s) = W (s)λk, β =
T∫
0
V (s)g(s)ds, (99)
а спiввiдношення (6) — до вигляду
yk(s) = g(s) + F (s)zk−1(s), F (s) = H(s)− P (s), (100)
де
zk(s) =
zk1 (s)
zk2 (s)
· · ·
zkN (s)
=
xk(cs+ τ1)
xk(cs+ τ2)
· · · · · · · · ·
xk(cs+ τN )
, (101)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 225
yk(s) =
yk1 (s)
yk2 (s)
· · ·
ykN (s)
=
cvk(cs+ τ1)−B1(s)ϕ(cs+ τ1)
cvk(cs+ τ2)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
cvk(cs+ τN )
,
wk(s) =
wk1(s)
wk2(s)
· · ·
wkN (s)
=
cuk(cs+ τ1)
cuk(cs+ τ2)
· · · · · · · · ·
cuk(cs+ τN )
, s ∈ [0, T ], (102)
при цьому справедливi спiввiдношення
xk(t) =
zk1 (s), t ∈ (a, τ2];
zk2 (s), t ∈ [τ2, τ3];
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
zkN (s), t ∈ [τN , b),
uk(t) =
wk1(s), t ∈ [a, τ2];
wk2(s), t ∈ [τ2, τ3];
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
wkN (s), t ∈ [τN , b].
(103)
За умови леми 2 задача (97) – (99) має єдиний розв’язок, який зображається формула-
ми
zk(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)yk(ξ)dξ, (104)
wk(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)yk(ξ)dξ. (105)
Якщо тепер пiдставити зображення (104), замiнивши в ньому iндекс k на k − 1, у спiввiд-
ношення (100) i врахувати позначення (77), то отримаємо формулу (96).
Таким чином, питання про збiжнiсть методу (6) – (10) звелось до питання про збiжнiсть
методу послiдовних наближень для системи iнтегральних рiвнянь (76), збiжнiсть якого, як
вiдомо [12], залежить вiд величини спектрального радiуса оператора
(Ky)(s) :=
T∫
0
K(s, ξ)y(ξ)dξ. (106)
Теорема 3. Якщо спектральний радiус оператора (106)
ρ(K) < 1 (107)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
226 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
i виконується спiввiдношення
lim
k→∞
uk(t) = 0, (108)
то iснує єдиний розв’язок x∗ ∈ W 1
2 [a, b] задачi (1) – (3) i послiдовнiсть {xk(t), k ≥ 0} ⊂
⊂ W 1
2 [a, b], побудована за методом (6) – (10), збiгається до цього розв’язку.
Доведення. За умови (107), як вiдомо, iснує єдиний розв’язок y∗ ∈ L2[0, T ] системи
iнтегральних рiвнянь (76) i послiдовнiсть {yk(s), k ≥ 0} збiгається за нормою в L2[0, T ]
до цього розв’язку, тобто
lim
k→∞
yk(s) = y∗(s), (109)
y∗(s) = p(s) +
T∫
0
K(s, ξ)y∗(ξ)dξ. (110)
Виконавши граничний перехiд при k → ∞ у рiвностях (104) та (105) iз урахуванням
виразу (109), отримаємо
lim
k→∞
zk(s) = z∗(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y∗(ξ)dξ, (111)
lim
k→∞
wk(s) = w∗(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y∗(ξ)dξ. (112)
Оскiльки за умови (108), виконавши граничний перехiд при k → ∞ у спiввiдношеннi
(102), будемо мати w∗(s) = 0, то, очевидно, з урахуванням виразу (112) справджується
рiвнiсть
r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y∗(ξ)dξ = 0. (113)
Iз спiввiдношень (110) та (113) випливає, що розв’язок системи (76) задовольняє умову
(78). Отже, згiдно з теоремою 1 задача (1) – (3) сумiсна i її розв’язком є вектор-функцiя
x∗(t), яка визначається формулами (81) та (111). Цей розв’язок єдиний, оскiльки за умов
(107) та (108), як встановлено вище, система рiвнянь (76) має тiльки один розв’язок, який
задовольняє умову (78). Отже, згiдно з висновком 1 задача (1) – (3) не може мати бiльше
одного розв’язку.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 227
На пiдставi формул (81) та (103) маємо
x∗(t)− xk(t) =
z∗1(s)− zk1 (s), t ∈ (a, τ2];
z∗2(s)− zk2 (s), t ∈ [τ2, τ3];
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
z∗N (s)− zkN (s), t ∈ [τN , b).
(114)
Враховуючи тепер позначення (20) i спiввiдношення (111), приходимо до висновку, що
lim
k→∞
zki (s) = z∗i (s), i = 1, N,
а тому, виконуючи граничний перехiд при k → ∞ в рiвностi (114), остаточно маємо
lim
k→∞
xk(t) = x∗(t),
що й потрiбно було встановити.
Висновок 2. Якщо ρ(K) < 1 i задача (1) – (3) сумiсна, то умова (108) виконується.
Справдi, якщо вихiдна задача сумiсна, то за теоремою 1 iснує розв’язок y∗(s) систе-
ми iнтегральних рiвнянь (76), причому за умови ρ(K) < 1 вiн єдиний, i справджується
рiвнiсть (113), iз якої та з формули (112) випливає, що wk(s) → 0 при k → ∞, тобто
з урахуванням позначення (102) wki (s) → 0 при k → ∞. Отже, на пiдставi виразу (103)
uk(t) → 0 при k → ∞, тобто умова (108) виконується.
Наведемо простiшу достатню умову збiжностi методу (6) – (10), але грубiшу, нiж умова
ρ(K) < 1. Для цього введемо проекцiйний оператор
(Πy)(s) :=
T∫
0
Π(s, ξ)y(ξ)dξ, (115)
ядро якого визначається формулами
Π(s, ξ) = W (s)∆−1W ∗(ξ), ∆ =
T∫
0
W ∗(s)W (s)ds. (116)
Неважко помiтити, що оператор (115) ортогонально проектує простiр L2[0, T ] на його
пiдпростiр, породжений лiнiйно незалежними стовпцями матрицi W (s), оскiльки за при-
пущенням стовпцi матрицi Φ(t) лiнiйно незалежнi, а матриця ∆ симетрична та невиро-
джена.
Нехай
v̂(s) = y(s)−
T∫
0
Π(s, ξ)y(ξ)dξ, (117)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
228 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
тодi на пiдставi першої властивостi (54) та формул (116), (117) легко встановити рiвнiсть
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ =
T∫
0
G(s, ξ)v̂(ξ)dξ ∀y ∈ L2[0, T ], (118)
за допомогою якої та виразу (77) рiвнiсть (76) можна записати у виглядi
y(s) = p(s) +
T∫
0
K(s, ξ)v̂(ξ)dξ. (119)
Якщо у формулу (117) пiдставити вираз (119), то дiстанемо
v̂(s) = q(s) +
T∫
0
L(s, ξ)v̂(ξ)dξ, (120)
де
q(s) = p(s)−
T∫
0
Π(s, ξ)p(ξ)dξ, (121)
L(s, ξ) = K(s, ξ)−
T∫
0
Π(s, τ)K(τ, ξ)dτ. (122)
Тепер вiдмiтимо, що метод послiдовних наближень (96) стосовно системи рiвнянь (76)
можна звести до методу послiдовних наближень
v̂k(s) = q(s) +
T∫
0
L(s, ξ)v̂k−1(ξ)dξ (123)
для системи рiвнянь (120). Для цього досить ввести вектор-функцiю
v̂k(s) = yk(s)−
T∫
0
Π(s, ξ)yk(ξ)dξ, (124)
використати властивiсть (118) та позначення (77), за допомогою яких формула (96) набе-
ре вигляду
yk(s) = p(s) +
T∫
0
K(s, ξ)v̂k−1(ξ)dξ, (125)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 229
пiдставити вираз (125) у формулу (124) та взяти до уваги позначення (121), (122).
Припустимо, що для довiльної вектор-функцiї y ∈ L2[0, T ] виконуються нерiвностi
T∫
0
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣
2
ds ≤ p2
c
T∫
0
|v̂(ξ)|2dξ, (126)
T∫
0
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
L(s, ξ)v̂(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣
2
ds ≤ q2
T∫
0
|v̂(ξ)|2 dξ, (127)
де вектор-функцiя v̂(s) має вигляд (117) та c = ∆/T , i нагадаємо, що норми вектор-
функцiй x ∈ L2[a, b] та y ∈ L2[0, T ] визначаються формулами
‖x‖2 =
b∫
a
|x(t)|2dt, ‖y‖2 =
T∫
0
|y(s)|2ds =
N∑
i=1
T∫
0
|yi(s)|2ds.
Теорема 4. Якщо в нерiвностi (127) q < 1 i задача (1),(2) сумiсна, то вона має єдиний
розв’язок x∗ ∈ W 1
2 [a, b] i справедливi оцiнки похибки
‖x∗ − xk‖ ≤ pqk‖v̂∗ − v̂0‖, (128)
‖x∗ − xk‖ ≤
pqk−ν
1− q
‖v̂ν+1 − v̂ν‖, 0 ≤ ν ≤ k − 1, (129)
де v̂∗(s) та v̂k(s) — точний та наближений, отриманий за методом (123), розв’язки
системи рiвнянь (120), а xk(t) — наближений розв’язок задачi (1) – (3), знайдений за ме-
тодом (6) – (10).
Доведення. За умови q < 1, як вiдомо, послiдовнiсть {v̂k(t), k ≥ 0}, побудована за
методом (123), збiжна до єдиного розв’язку v∗(s) рiвняння (120), тобто
lim
k→∞
v̂k(s) = v̂∗(s), (130)
i справедливi оцiнка
‖v∗ − vk‖ ≤ qk‖v∗ − v0‖, (131)
що характеризує швидкiсть збiжностi методу, та конструктивна оцiнка
‖v∗ − vk‖ ≤
qk−ν
1− q
‖vν+1 − vν‖, 0 ≤ ν ≤ k − 1. (132)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
230 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
Зауважимо, що спектральнi радiуси оператора (106) та оператора
(Lv̂)(s) :=
T∫
0
L(s, ξ)v̂(ξ)dξ (133)
рiвнi, тобто
ρ(K) = ρ(L). (134)
Справдi, на пiдставi формул (54), (77), (116), (122) та (133) неважко встановити, що
(Kn+1y)(s) = (KLnv̂)(s) ∀y ∈ L2[0, T ]. (135)
Так, для n = 1 маємо
(K2y)(s) =
T∫
0
K(s, τ)
T∫
0
K(τ, ξ)y(ξ)dξdτ =
=
T∫
0
K(s, τ)
T∫
0
K(τ, ξ)v̂(ξ)dξ −
T∫
0
Π(τ, η)
T∫
0
K(η, ξ)v̂(ξ)dξdη
dτ =
=
T∫
0
K(s, τ)
T∫
0
L(τ, ξ)v̂(ξ)dξdτ = (KLv̂)(s).
Продовжуючи цей процес, отримаємо формулу (135), за допомогою якої легко вста-
новити рiвнiсть (134). Отже, за умови теореми, очевидно, ρ(K) ≤ q < 1, а тому, врахову-
ючи висновок 2, бачимо, що виконуються всi умови теореми 3, згiдно з якою iснує єдиний
розв’язок x∗(t) задачi (1) – (3).
Використавши формули (118), (124), спiввiдношення (104) можна записати у виглядi
zk(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)v̂k(ξ)dξ,
а перейшовши в ньому до границi при k → ∞ iз врахуванням рiвностей (111), (130), отри-
маємо
z∗(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)v̂∗(ξ)dξ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ .. . 231
Звiдси випливає спiввiдношення
z∗(s)− zk(s) =
T∫
0
G(s, ξ) (v̂∗(ξ)− v̂k(ξ)) dξ,
використавши яке та умову (126), легко встановити нерiвнiсть
c‖z∗ − zk‖2 ≤ p2‖v̂∗ − v̂k‖2. (136)
Оскiльки, беручи до уваги спiввiдношення (114) та замiну t = cs+ τi, маємо
‖x∗ − xk‖2 =
b∫
a
|x∗(t)− xk(t)|2dt =
N∑
i=1
τi+1∫
τi
|x∗(t)− xk(t)|2dt =
= c
N∑
i=1
T∫
0
∣∣∣z∗i (s)− zki (s)
∣∣∣2 ds = c‖z∗ − zk‖2, (137)
то iз формул (136), (137) випливає оцiнка
‖x∗ − xk‖ ≤ p‖v̂∗ − v̂k‖. (138)
Нарештi, за допомогою нерiвностей (131), (132) та (138) легко встановити оцiнки (128)
та (129).
Зауваження 3. Збiльшення числа лiнiйно незалежних рядкiв матрицi Ψ(t), тобто числа
ν, iстотно впливає на зменшення спектрального радiуса ρ(L) оператора (133).
Зауваження 4. Отриманi результати справедливi i для бiльш широкого класу обме-
жень
b∫
a
S(t)x(t)dµ(t) = α,
нiж обмеження (3), де iнтеграл розумiється в сенсi Стiльтьєса.
1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
2. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука,
1972. — 352 с.
3. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 120 с.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Выща шк., 1987. — 288 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
232 А.Ю. ЛУЧКА, В.А. ФЕРУК
5. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
6. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом // Укр. мат.
журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 189 – 194.
7. Лучка А. Ю. Методи розв’язання рiвнянь з обмеженнями i проекцiйно-iтеративний метод Ю. Д. Соко-
лова // Там же. — 1996. — 48, № 11. — С. 1501 – 1509.
8. Лучка А. Ю. Проекцiйно-iтеративний метод для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi
коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 465 – 488.
9. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и си-
стемный анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
10. Лучка А. Ю., Кучерук Т. А. Iтеративний метод побудови розв’язкiв лiнiйних рiвнянь з обмеженнями //
Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 4. — С. 472 – 482.
11. Лучка А. Ю. Крайова задача для диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю i побудова її розв’язку
проекцiйним методом // Допов. НАН України. — 1993. — № 8. — С. 11 – 16.
12. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.
Одержано 04.02.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 2
|