Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій
Розглядається математична модель динамiки вiкової структури популяцiй, яка є узагальненням моделi Гуртiна – Мак-Каму. Вивчається iснування та єдинiсть розв’язкiв початково-крайової задачi, наявнiсть та стiйкiсть стацiонарних розподiлiв вiкової структури....
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176945 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій / В.Г. Маценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 357-367. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176945 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769452021-02-09T10:32:21Z Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій Маценко, В.Г. Розглядається математична модель динамiки вiкової структури популяцiй, яка є узагальненням моделi Гуртiна – Мак-Каму. Вивчається iснування та єдинiсть розв’язкiв початково-крайової задачi, наявнiсть та стiйкiсть стацiонарних розподiлiв вiкової структури. We consider a mathematical model for the age-dependent population growth dynamics. This model is a generalization of Gurtin – MacCamy’s model. We study existence and uniqueness of solutions for an initial boundary-value problem, existence and stability of the stationary solution. 2003 Article Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій / В.Г. Маценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 357-367. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176945 517.958 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглядається математична модель динамiки вiкової структури популяцiй, яка є узагальненням моделi Гуртiна – Мак-Каму. Вивчається iснування та єдинiсть розв’язкiв початково-крайової задачi, наявнiсть та стiйкiсть стацiонарних розподiлiв вiкової структури. |
| format |
Article |
| author |
Маценко, В.Г. |
| spellingShingle |
Маценко, В.Г. Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій Нелінійні коливання |
| author_facet |
Маценко, В.Г. |
| author_sort |
Маценко, В.Г. |
| title |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| title_short |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| title_full |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| title_fullStr |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| title_full_unstemmed |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| title_sort |
нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176945 |
| citation_txt |
Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій / В.Г. Маценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 357-367. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT macenkovg nelíníjnamodelʹdinamíkivíkovoístrukturipopulâcíj |
| first_indexed |
2025-07-15T14:53:56Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:53:56Z |
| _version_ |
1837725109614280704 |
| fulltext |
УДК 517.958
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ
В. Г. Маценко
Чернiв. ун-т
Україна, 58012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2
We consider a mathematical model for the age-dependent population growth dynamics. This model is a
generalization of Gurtin – MacCamy’s model. We study existence and uniqueness of solutions for an initial
boundary-value problem, existence and stability of the stationary solution.
Розглядається математична модель динамiки вiкової структури популяцiй, яка є узагальнен-
ням моделi Гуртiна – Мак-Каму. Вивчається iснування та єдинiсть розв’язкiв початково-крайо-
вої задачi, наявнiсть та стiйкiсть стацiонарних розподiлiв вiкової структури.
1. Постановка задачi i основнi вiдомостi. Позначимо число особин вiку τ в момент часу
t через ρ(τ, t). Функцiя ρ(τ, t) називається густиною вiкового розподiлу, так що N(t) =
=
∞∫
0
ρ(τ, t)dτ визначає загальну чисельнiсть популяцiї в момент часу t.
Класична лiнiйна модель динамiки вiкового складу (модель Мак-Кендрiка, фон Фоер-
стера) має вигляд [1]
∂ρ
∂τ
+
∂ρ
∂t
= −µ(τ)ρ, t, τ > 0, (11)
ρ(0, t) =
∞∫
0
b(τ)ρ(τ, t)dτ, t > 0, (12)
ρ(τ, 0) = ϕ(τ), τ ≥ 0. (13)
Рiвняння (11) описує процес виживання популяцiй, а крайова умова (12) задає процес на-
роджування. Цi процеси характеризуються функцiями µ(τ) та b(τ) вiдповiдно. Рiвнiстю
(13) задається початкова умова.
Такi лiнiйнi моделi довгий час були об’єктом дослiдження i використовувалися на
практицi [2, 3].
Але функцiї народжування та виживання можуть залежати не тiльки вiд τ , t, але й
вiд фазової змiнної ρ(τ, t) [4] i деяких функцiоналiв таких, наприклад, як загальна чисель-
нiсть популяцiї. Тим самим ми приходимо до нелiнiйних моделей. Моделi, якi враховують
нелiнiйностi, дозволяють вiдшукати механiзми, що забезпечують стабiлiзацiю розв’язкiв
до нетривiальних станiв рiвноваги, а їх стiйкiсть по вiдношенню до малих збурень може
служити ознакою реалiзацiї вiдповiдного режиму в реальних бiологiчних угрупованнях.
c© В. Г. Маценко, 2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3 357
358 В. Г. МАЦЕНКО
Iстотнi результати з математичного моделювання динамiки популяцiї з вiковою стру-
ктурою, що враховують нелiнiйнi взаємодiї, одержано в роботi [5], в якiй дослiджується
динамiка вiкового складу у випадку, коли µ = µ(τ,N), b = b(τ,N), де N(t) — загальна
чисельнiсть популяцiї. Така нелiнiйна модель вивчалась i в [6].
Але бiльш реальним може бути процес, при якому функцiї виживання та народжу-
вання залежать не вiд загальної чисельностi, а вiд деякої зваженої чисельностi, тобто
µ = µ(τ, S1(t)), b = b(τ, S2(t)), де
S1(t) =
∞∫
0
γ1(s)ρ(s, t)ds, S2(t) =
∞∫
0
γ2(s)ρ(s, t)ds. (2)
Це пояснюється тим, що на процеси народжування та виживання можуть впливати лише
деякi вiковi групи, причому з рiзною iнтенсивнiстю.
Таким чином, узагальнена модель динамiки вiкової структури має вигляд
∂ρ
∂τ
+
∂ρ
∂t
= −µ(τ, S1(t))ρ, t, τ > 0, (31)
ρ(0, t) =
∞∫
0
b(τ, S2(t))ρ(τ, t)dτ, t > 0, (32)
ρ(τ, 0) = ϕ(τ), τ ≥ 0, (33)
де S1(t), S2(t) визначенi рiвностями (2).
Спiввiдношення (32) є нелокальною нелiнiйною граничною умовою i саме тому одно-
вимiрна задача (31) – (33) має розв’язки з непростою поведiнкою.
Задачу (31) – (33) надалi будемо називати популяцiйною задачею.
Зробимо такi припущення вiдносно системи (31) – (33):
а) µ(τ, S), b(τ, S) ∈ C(R+,R+), ϕ(τ) ∈ C1(R1) ∩ L1(R+), R+ = [0,∞);
б) µ′S(τ, S), b′S(τ, S) iснують для всiх τ ≥ 0, S ≥ 0;
в) µ(τ, S), b(τ, S), µ′S(τ, S), b′S(τ, S), як функцiї τ , S, є обмеженими на R+ × R+, iснує
τ0 > 0 таке, що µ(τ, S) ≥ µ(S) > 0 при τ ≥ τ0 i S ≥ 0;
г) ϕ(τ) ≥ 0, µ(τ, S) ≥ 0, b(τ, S) ≥ 0 для всiх τ ≥ 0, S ≥ 0;
д) ϕ(0) =
∞∫
0
b(τ, S2)ϕ(τ)dτ , де S2 =
∞∫
0
γ2(s)ϕ(s)ds;
ж) γi(τ) неперервнi та обмеженi, γi(τ) ≥ 0, τ ∈ R+, i = 1, 2.
2. Iснування та єдинiсть розв’язку задачi (31) – (33). Для дослiдження системи
(31) – (33) використаємо метод iнтегрування вздовж характеристик. При t > τ викона-
ємо замiну t = τ + q, q > 0, тодi ρ(τ, t) = ρ(τ, τ + q) = ρ̂(τ) i рiвняння (31) набере вигляду
dρ̂(τ)
dτ
= −µ(τ, S1(τ + q))ρ̂(τ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ 359
Iнтегруючи його, знаходимо
ρ̂(τ) = ρ̂(0)e
−
τR
0
µ(ξ,S1(ξ+q))dξ
,
або у змiнних τ , t
ρ(τ, t) = B(t− τ)e
−
τR
0
µ(ξ,S1(t−τ+ξ))dξ
, t > τ, (4)
де B(t) = ρ(0, t) — густина новонароджених особин. Аналогiчно, при t ≤ τ з допомогою
замiни τ = t+ q знаходимо
ρ(τ, t) = ϕ(τ − t)e
−
τR
0
µ(ξ+τ−t,S1(ξ))dξ
. (5)
У спiввiдношеннях (4), (5) невiдомими є B(t), S1(t), S2(t). Пiдставивши (4), (5) в (32),
(2), одержимо iнтегральнi рiвняння для B(t), S1(t), S2(t) вигляду
B(t) =
t∫
0
b(t− τ, S2(t))K(t, t− τ, S1)B(τ)dτ +
∞∫
0
b(τ + t, S2(t))L(t, t+ τ, S1)ϕ(τ)dτ, (6)
S1(t) =
t∫
0
γ1(t− τ)B(τ)K(t, t− τ, S1)dτ +
∞∫
0
γ1(t+ τ)L(t, t+ τ, S1)ϕ(τ)dτ, (7)
S2(t) =
t∫
0
γ2(t− τ)B(τ)K(t, t− τ, S1)dτ +
∞∫
0
γ2(t+ τ)L(t, t+ τ, S1)ϕ(τ)dτ, (8)
де
K(t, τ, S1) = e
−
tR
t−τ
µ(ξ+τ−t,S1(ξ))dξ
,
(9)
L(t, τ, S1) = e
−
tR
0
µ(τ−t+ξ,S1(ξ))dξ
.
Доведемо таке твердження.
Теорема 1. Якщо виконуються умови а) – ж), то популяцiйна задача має єдиний не-
вiд’ємний розв’язок ρ(τ, t) ∈ C([0,∞) × [0, T ]), а при t 6= τ ρ(τ, t) ∈ C1([0,∞) × [0, T ]),
T < ∞.
Доведення. Нехай C1
+[0, T ] = {f ∈ C1[0, T ], f ≥ 0}. Враховуючи формули (4), (5), для
доведення теореми 1 достатньо довести, що iнтегральнi рiвняння (6) – (8) мають єдиний
розв’язок B(t), S1(t), S2(t) ∈ C1
+[0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
360 В. Г. МАЦЕНКО
Розглянемо спочатку рiвняння (6), яке при фiксованих S1(t), S2(t) ∈ C1
+[0, T ] є лi-
нiйним iнтегральним рiвнянням Вольтерри вiдносно B(t), а значить, за умов а) – д) iснує
єдиний невiд’ємний розв’язок B(t) ∈ C1[0, T ]. Позначимо цей розв’язок так:
B(t) = B(S1, S2)(t), (10)
тодi рiвняння (7), (8) можна подати у виглядi
S1(t) = Ψ1(S1, S2)(t),
(11)
S2(t) = Ψ2(S1, S2)(t),
де
Ψ1(S1, S2)(t) =
t∫
0
γ1(t− τ)B(S1, S2)(τ)K(t, t− τ, S1)dτ +
+
∞∫
0
γ1(t+ τ)L(t, t+ τ, S1)ϕ(τ)dτ, (12)
Ψ2(S1, S2)(t) =
t∫
0
γ2(t− τ)B(S1, S2)(τ)K(t, t− τ, S1)dτ +
+
∞∫
0
γ2(t+ τ)L(t, t+ τ, S1)ϕ(τ)dτ. (13)
Вважаючи Ψ1, Ψ2 компонентами вектора Ψ, а S1, S2 компонентами вектора S, запису-
ємо систему рiвнянь (11) у векторному виглядi
S(t) = Ψ(S)(t). (14)
Доведемо, що оператор Ψ, визначений формулами (12), (13), має єдину нерухому точку.
Позначимо
‖Si‖ = max
t∈[0,T ]
|Si(t)|, i = 1, 2, ‖S‖ = max(‖S1‖, ‖S2‖),
H = {S1, S2 ∈ C+[0, T ], ‖S − Φ‖ ≤ r, r > 0},
де Φ — вектор з компонентами Φ1, Φ2 i Φi(t) =
∞∫
0
γi(t+ ξ)ϕ(ξ)dξ, i = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ 361
Покажемо, що Ψ вiдображаєH в себе i є стискаючим. Розглянемо простiр Ω = {(τ, S)|τ ≥
≥ 0, S ∈ H}. Згiдно з умовами в), г), ж) отримуємо оцiнки
µ0 = sup
(τ,S1)∈Ω
µ(τ, S1), µ1 = sup
(τ,S1)∈Ω
µ′S1
(τ, S1),
b0 = sup
(τ,S2)∈Ω
b(τ, S2), b1 = sup
(τ,S2)∈Ω
b′S2
(τ, S2), (15)
γ1 = sup
τ≥0
γ1(τ), γ2 = sup
τ≥0
γ2(τ).
Для всiх S ∈ H iз (10) та (6), враховуючи (15), одержуємо
B(S1, S2)(t) ≤ β0
t∫
0
B(S1, S2)(τ)dτ + β0Φ, Φ =
∞∫
0
ϕ(τ)dτ. (16)
Згiдно з лемою Гронуолла – Беллмана з (16) маємо
B(S1, S2)(t) ≤ β0Φeβ0t. (17)
Використовуючи (7), (17), знаходимо
|S1(t)− Φ1(t)| =
t∫
0
γ1(t− τ)B(S1, S2)(τ)K(t, t− τ, S1)dτ +
+
∞∫
0
γ1(t+ τ)ϕ(τ)|L(t, t+ τ, S1)− 1|dτ ≤
≤ γ1
∞∫
0
|L(t, t+ τ, S1)− 1|ϕ(τ)dτ +
+ γ1β0Φ
t∫
0
eβ0τdτ ≤ γ1Φ sup
τ≥0
t∈[0,T ]
|L(t, t+ τ, S1)− 1|+ γ1Φ(eβ0T − 1).
Враховуючи позначення (9), (15) i нерiвнiсть |ez − 1| ≤ |z|e|z|, одержуємо
sup
τ≥0
t∈[0,T ]
|L(t, t+ τ, S1)− 1| ≤ µ0Te
µ0T .
Таким чином, за рахунок вибору достатньо малого T > 0 можна забезпечити вико-
нання нерiвностi ‖S1 − Φ1‖ ≤ r1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
362 В. Г. МАЦЕНКО
Аналогiчно ‖S2 −Φ2‖ ≤ r2. Отже, ‖S −Φ‖ ≤ r, тобто Ψ вiдображає простiр H в себе.
Доведемо, що вiдображення S = Ψ(S) є стискаючим для достатньо малих T > 0. Для
цього виберемо S, Ŝ ∈ H i розглянемо ‖Ψ(S)−Ψ(Ŝ)‖. Спочатку оцiнимо ‖Ψ1(S)−Ψ1(Ŝ)‖.
Для цього покладемо
Ψ1(S)−Ψ1(Ŝ) = P +Q+R, (18)
де
P =
t∫
0
γ1(t− τ)B(S1, S1)(τ)(K(t, t− τ, S1)−K(t, t− τ, Ŝ1))dτ,
Q =
t∫
0
γ1(t− τ)K(t, t− τ, Ŝ1)(B(S1, S1)(τ)− B(Ŝ1, Ŝ2)(τ))dτ, (19)
R =
∞∫
0
γ1(t+ τ)ϕ(τ)(L(t, t+ τ, S1)− L(t, t+ τ, Ŝ1))dτ.
Враховуючи спiввiдношення (9), (15), одержуємо
|L(t, t+ τ, S1)− L(t, t+ τ, Ŝ1)| = e
−
tR
0
µ(τ−t+ξ,S1)dξ
×
×
∣∣∣∣∣∣1− e
tR
0
(µ(τ−t+ξ,S1)−µ(τ−t+ξ,Ŝ1))dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ e
|
tR
0
(µ(τ−t+ξ,S1)−µ(τ−t+ξ,Ŝ1))dξ|
×
×
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
(µ(τ − t+ ξ, S1)− µ(τ − t+ ξ, Ŝ1))dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ µ1Te
2µ0T |S1 − Ŝ1|.
Аналогiчно
|K(t, t− τ, S1)−K(t, t− τ, Ŝ1)| ≤ µ1Te
2µ0T |S1 − Ŝ1|.
Тим самим з (19) для P , R одержимо оцiнку
‖P‖+ ‖R‖ ≤ K1T‖S1 − Ŝ1‖, (20)
де K1 — деяка стала.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ 363
Подiбним чином оцiнимо ‖Q‖. Тодi ‖Q‖ ≤ K2T‖S1 − Ŝ1‖, де K2 – деяка стала. Звiдси
‖Ψ1(S1, S1)−Ψ1(Ŝ1, Ŝ2)‖ ≤ (K1 +K2)T‖S1− Ŝ1‖. Число T мoжна вибрати так, щоб (K1 +
+K2)T < 1.
Аналогiчно можна встановити, що
‖Ψ2(S1, S1)−Ψ2(Ŝ1, Ŝ2)‖ ≤ (K1 +K2)T‖S2 − Ŝ2‖.
Таким чином, вiдображення S = Ψ(S) є стискаючим. Звiдси випливає, що рiвняння
(14) має один i тiльки один розв’язок, який можна продовжити до будь-якого T > 0.
Теорему доведено.
3. Iснування стацiонарних розв’язкiв популяцiйної задачi. При моделюваннi динамiки
поведiнки бiологiчних угруповань особливу роль вiдiграють стацiонарнi режими, оскiль-
ки саме цi режими найчастiше реалiзуються в природi. Тому їх дослiдження має кон-
кретне практичне значення як iстотний крок на шляху розумiння природних процесiв.
Стацiонарнi розв’язки ρ(τ) задачi (31), (32) визначаються з рiвнянь
dρ(τ)
dτ
= −µ(τ, S1)ρ, (211)
ρ(0) =
∞∫
0
b(τ, S2)ρ(τ)dτ, (212)
де
S1 =
∞∫
0
γ1(s)ρ(s)ds, S2 =
∞∫
0
γ2(s)ρ(s)ds. (22)
Позначимо Λ(τ, S1) = e
−
τR
0
µ(ξ,S1)
dξ. Iз (211) одержимо
ρ(τ) = ρ(0)Λ(τ, S1). (23)
Тодi (212) i (22) наберуть вигляду
ρ(0)
1−
∞∫
0
b(τ, S2)Λ(τ, S1)dτ
= 0, (24)
S1 = ρ(0)
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ, S1)dτ, S2 = ρ(0)
∞∫
0
γ2(τ)Λ(τ, S1)dτ. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
364 В. Г. МАЦЕНКО
Iз спiввiдношень (24) маємо, що або ρ(0) = 0, тодi ρ(τ) ≡ 0, або
∞∫
0
b(τ, S2)Λ(τ, S1)dτ = 1. (26)
Таким чином, доведено таке твердження.
Теорема 2. Нехай функцiї b(τ, s), µ(τ, s) невiд’ємнi неперервнi й обмеженi для τ, s ∈ R+.
Тодi необхiдною i достатньою умовою iснування стацiонарного розв’язку задачi (21) є
сумiснiсть системи (25), (26) при S1, S2 > 0. Якщо iснує єдиний розв’язок цiєї системи,
то iснує єдиний стацiонарний розв’язок (23), в якому ρ(0) = S1/
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ, S1)dτ .
Дослiдження iснування та єдиностi розв’язкiв системи (25), (26) в загальному випад-
ку є проблематичним, тому можна розглядати лише деякi частковi випадки. Наприклад,
якщо b(τ, S2) = b(τ), µ(τ, S1) = µ(τ) i
∞∫
0
b(τ)e
−
τR
0
µ(s)ds
dτ = 1, то рiвняння (24) має без-
лiч стацiонарних розв’язкiв (iнакше iснує тiльки нульовий стацiонарний розв’язок) [2].
Зауважимо, що збiжнiсть невласних iнтегралiв забезпечується умовами в), г) i ж).
4. Стiйкiсть стацiонарних розв’язкiв. Основною задачею в популяцiйнiй екологiї є до-
слiдження стiйкостi їх стацiонарних розв’язкiв, оскiльки стiйкiсть стацiонарних розв’язкiв
по вiдношенню до малих збурень може служити ознакою реалiзацiї вiдповiдного режиму
в реальних бiологiчних угрупованнях.
Нехай iснує стацiонарний розв’язок ρ(τ) задачi (31), (32). Для дослiдження стiйкостi
стацiонарного розподiлу ρ(τ) покладемо
ρ(τ, t) = ρ(τ) + ξ(τ, t), S1(t) = S1 + p1(t), S2(t) = S2 + p2(t),
де S1, S2 – зваженi чисельностi, знайденi з системи (25), (26), а
p1(t) =
∞∫
0
γ1(s)ξ(s, t)ds, p2(t) =
∞∫
0
γ2(s)ξ(s, t)ds. (27)
Iз задачi (31), (32) з точнiстю до лiнiйних величин маємо
∂ξ
∂t
+
∂ξ
∂τ
= −µ(τ, S1)ξ − ω(τ)p1(t),
(28)
ξ(0, t) =
∞∫
0
b(τ, S2)ξ(τ, t)dτ + kp2(t).
Тут
ω(τ) = µ′S1
(τ, S1)ρ(τ), k =
∞∫
0
b′S2
(τ, S2)ρ(τ)dτ. (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ 365
Розв’язок задачi (28) шукаємо у виглядi ξ(τ, t) = ξ(τ)eλt, тодi для ξ(τ) отримаємо рiв-
няння
dξ(τ)
dτ
+ (λ+ µ(τ, S1))ξ(τ) + ω(τ)p1 = 0, (301)
ξ(0) =
∞∫
0
b(τ, S2)ξ(τ)dτ + kp2, (302)
де
p1 =
∞∫
0
γ1(τ)ξ(τ)dτ, p2 =
∞∫
0
γ2(τ)ξ(τ)dτ. (31)
З (301) знаходимо
ξ(τ) =
ξ(0)−
τ∫
0
ω(s)p1e
sR
0
µ(η,S1)dη
eλsds
e−λτe
−
τR
0
µ(s,S1)ds
. (32)
Враховуючи вирaз (23), для ω(τ) з (29) одержуємо
ω(τ) = µ1(τ)ρ(0)e
−
τR
0
µ(s,S1)ds
, µ1(τ) = µ′S1
(τ, S1).
Тодi з (31) знaходимо
p1 = ξ(0)
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ)e−λτdτ/
1 + ρ(0)
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ)fλ(τ)dτ
,
де
Λ(τ) = e
−
τR
0
µ(s,S1)ds
, fλ(τ) =
∞∫
0
µ1(τ)eλ(s−τ)ds,
а з (32) одержимо вираз для ξ(τ):
ξ(τ) = ξ(0)
(
e−λτ − fλ(τ)gλ
)
Λ(τ),
в якому
gλ = ρ(0)
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ)e−λτdτ/
1 + ρ(0)
∞∫
0
γ1(τ)Λ(τ)fλ(τ)dτ
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
366 В. Г. МАЦЕНКО
Для визначення λ з (22) одержимо характеристичне рiвняння
1 =
∞∫
0
(b(τ, S2) + kγ1(τ))Λ(τ)e−λτdτ − gλ
∞∫
0
(b(τ, S2) + kγ2(τ))fλ(τ)Λ(τ)dτ. (33)
Якщо коренi рiвняння (33) мають вiд’ємнi дiйснi частини, то всi розв’язки ξ(τ, t) =
= ξ(τ)eλt прямують до нуля при t → ∞. Це означає, що ρ(τ, t) → ρ(τ) при t → ∞ для всiх
τ ∈ R+ i S1(t) → S1, S2(t) → S2 при t → ∞.
5. Приклад. Припустимо, що µ(τ, s) = µ(τ) ≥ µ > 0, τ ∈ R+, b(τ, S2) = b(τ)e−αS2 =
= b(τ)e−αS , α > 0, S =
∞∫
0
γ(τ)ρ(τ, t)dτ .
Цей випадок означає, що в популяцiї вiдбувається регулювання новонароджених згi-
дно з законом e−αS . Стацiонарний розв’язок при цих умовах має вигляд
ρ(τ) = ρ(0)Λ(τ),
де
Λ(τ) = e
−
τR
0
µ(ξ)dξ
, ρ(0) = S/
∞∫
0
γ(s)Λ(s)ds, (34)
а S задовольняє рiвняння
1 = e−αS
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)dτ, (35)
яке має єдиний розв’язок S > 0 при умовi, що
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)dτ > 1.
Стiйкiсть стацiонарного розв’язку визначається характером коренiв рiвняння
Φ(λ) = Ψ(λ), (36)
де
Ψ(λ) = 1 + αρ(0)
∞∫
0
γ(τ)Λ(τ)e−λτdτ, Φ(λ) = e−αS
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)e−λτdτ.
Розглянемо функцiї Ψ(λ), Φ(λ) як функцiї дiйсного аргумента λ. При λ = 0 iз спiв-
вiдношень (34), (35) отримаємо
Ψ(0) = 1 + αS > 1 = Φ(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ДИНАМIКИ ВIКОВОЇ СТРУКТУРИ ПОПУЛЯЦIЙ 367
Ψ(λ), Φ(λ) є монотонно спадними функцiями параметра λ, оскiльки Ψ′(λ) < 0, Φ′(λ) <
< 0, причому lim
λ→∞
Ψ(λ) = 1, lim
λ→∞
Φ(λ) = 0.
Значить, рiвняння (36) не має дiйсних коренiв λ ≥ 0. З’ясуємо, чи iснують комплекснi
коренi λ = ν + iω з додатними дiйсними частинами.
Для ν та ω iз рiвняння (36) пiсля прирiвнювання дiйсних частин одержимо
1 + αρ(0)
∞∫
0
γ(τ)Λ(τ)e−ντ cosωτdτ = e−αS
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)e−ντ cosωτdτ. (37)
Для правої частини (37) справедлива оцiнка
e−αS
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)e−ντ cosωτdτ < e−αS
∞∫
0
b(τ)Λ(τ)dτ = 1,
а iнтеграл I =
∞∫
0
γ(τ)Λ(τ)e−ντ cosωτdτ у лiвiй частинi може набувати як додатних, так i
вiд’ємних значень в залежностi вiд поведiнки функцiї γ(τ).
Наприклад, для γ(τ) ≡ 1 при τ ∈ R+ (це є випадок, коли функцiонал S(t) = N(t),
де N(t) – загальна чисельнiсть особин в популяцiї), маємо I > 0 для всiх ω ≥ 0, ν ≥ 0.
Тому рiвняння (37) у цьому випадку не має комплексних коренiв у правiй пiвплощинi й на
уявнiй осi. Таким чином, всi коренi рiвняння (36) лежать у лiвiй пiвплощинi i, тим самим,
стацiонарний розв’язок ρ(τ) локально асимптотично стiйкий.
1. Von Foerster H. Some remarks on changing populations // Kinetics of Cellular Proliferation. — New York:
Grune and Stratton, 1959. — P. 382 – 407.
2. Динамическая теория биологических популяций / Под. ред. Р.А. Полуэктова. — М.: Наука, 1974. —
455 с.
3. Busenberg S., Iannelli M. Separable models in age-dependent population dynamics // J. Math. Biol. — 1985.
— 22. — P. 145 – 173.
4. Маценко В.Г. Об одном классе уравнений математической физики, возникающих в динамике биоло-
гических макросистем // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1981. — 21, № 1. — С. 69 – 79.
5. Gurtin M.E., MacCamy R.C. Nonlinear age-dependent population dynamics // Arch. Ration. Mech. and
Anal. — 1974. — 54, № 3. — P. 281 – 300.
6. Farkas M. On the stability of stationary age-distributions // Appl. Math. Comput. — 2002. — 131, № 10. —
P. 107 – 123.
Одержано 21.04.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
|