Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками
Запропоновано методи побудови наближених розв’язкiв основних крайових задач, якi дозволяють визначити частоти та приєднанi маси iдеальної рiдини в рухомому горизонтальному цилiндрi з довiльним симетричним поперечним перерiзом та конструктивними елементами у виглядi поздовжнiх ребер-перегородок....
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176948 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками / В.А. Троценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 401-427. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176948 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769482021-02-10T01:25:52Z Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками Троценко, В.А. Запропоновано методи побудови наближених розв’язкiв основних крайових задач, якi дозволяють визначити частоти та приєднанi маси iдеальної рiдини в рухомому горизонтальному цилiндрi з довiльним симетричним поперечним перерiзом та конструктивними елементами у виглядi поздовжнiх ребер-перегородок. We propose methods for constructing approximate solutions of main boundary-value problems. These methods permit to determine frequencies and attached masses of a frictionless fluid in a moving horizontal cylinder that has an arbitrary symmetric cross-section and construction elements in the form of longitudinal edge partitions. 2003 Article Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками / В.А. Троценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 401-427. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176948 534.1 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано методи побудови наближених розв’язкiв основних крайових задач, якi дозволяють визначити частоти та приєднанi маси iдеальної рiдини в рухомому горизонтальному
цилiндрi з довiльним симетричним поперечним перерiзом та конструктивними елементами у
виглядi поздовжнiх ребер-перегородок. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, В.А. |
| spellingShingle |
Троценко, В.А. Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками Нелінійні коливання |
| author_facet |
Троценко, В.А. |
| author_sort |
Троценко, В.А. |
| title |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| title_short |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| title_full |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| title_fullStr |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| title_full_unstemmed |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| title_sort |
решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176948 |
| citation_txt |
Решение краевых задач динамики жидкости в горизонтальных цилиндрических полостях с перегородками / В.А. Троценко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 401-427. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkova rešeniekraevyhzadačdinamikižidkostivgorizontalʹnyhcilindričeskihpolostâhsperegorodkami |
| first_indexed |
2025-07-15T14:54:07Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:54:07Z |
| _version_ |
1837725121205239808 |
| fulltext |
УДК 534.1
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ
В ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЯХ
С ПЕРЕГОРОДКАМИ*
В. А. Троценко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: trots@imath.kiev.ua
We propose methods for constructing approximate solutions of main boundary-value problems. These
methods permit to determine frequencies and attached masses of a frictionless fluid in a moving horizontal
cylinder that has an arbitrary symmetric cross-section and construction elements in the form of longitudinal
edge partitions.
Запропоновано методи побудови наближених розв’язкiв основних крайових задач, якi дозво-
ляють визначити частоти та приєднанi маси iдеальної рiдини в рухомому горизонтальному
цилiндрi з довiльним симетричним поперечним перерiзом та конструктивними елементами у
виглядi поздовжнiх ребер-перегородок.
Введение. В инженерной практике для ограничения подвижности жидкости в емкостях
широко применяются конструктивные устройства в виде ребер-перегородок, располо-
женных на их стенках. Принцип действия таких демпферов колебаний жидкости основан
на свойствах перегородок оказывать значительное сопротивление движению жидкости,
что приводит к сильному демпфированию колебаний.
Наличие в емкости конструктивных элементов типа ребер-перегородок приводит к
существенному изменению гидродинамических коэффициентов уравнений движения ме-
ханической системы «тело-жидкость». Результаты сравнения теоретических и экспери-
ментальных данных, полученных для различных форм полостей с перегородками, пока-
зали, что в рамках линейной теории волновых движений жидкости влияние вязкости на
инерционные характеристики жидкости является незначительным [1].
Теоретическому исследованию частот и присоединенных масс идеальной жидкости в
некоторых подвижных полостях, имеющих форму тела вращения с продольными и по-
перечными перегородками, посвящены работы [2 – 5]. Применение метода возмущений
при определении инерционных характеристик жидкости для полостей с поперечными и
продольными ребрами малой относительной ширины изложено в работах [6 – 8]. Обшир-
ные результаты экспериментального определения динамических характеристик жидко-
сти для ряда полостей с перегородками получены в [1, 9]. Большой интерес представля-
ют вопросы исследования колебаний вязкой жидкости в полостях с рассматриваемыми
устройствами. Этим задачам посвящены работы [10 – 12].
Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в горизонтально
расположенном круговом цилиндре с продольными перегородками представлено в моно-
графии [13]. Методам расчета частот и присоединенных масс идеальной жидкости в по-
* Выполнена при поддержке НТЦ Украины (проект № 0752).
c© В. А. Троценко, 2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3 401
402 В. А. ТРОЦЕНКО
движной полости в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами-перегородками
посвящена работа [14].
Приведенный краткий обзор литературных источников показывает, что в настоящее
время имеются обширные результаты изучения движения жидкого наполнения в поло-
стях, имеющих форму тел вращения с конструктивными элементами в виде радиальных
и кольцевых ребер-перегородок. Однако практически нет данных по исследованию по-
ведения жидкости в полостях в форме произвольных горизонтально расположенных ци-
линдров с продольными перегородками. Такие контейнеры используются при перевозке
больших масс жидкости в танкерах и на железнодорожном транспорте. Поэтому пробле-
ма расчета динамических характеристик жидкости в этих емкостях является актуальной
задачей и представляет как теоретический, так и практический интерес.
В настоящей работе на основе разработанного в [5] подхода предлагается методика
определения коэффициентов уравнений движения твердого тела с полостью в форме го-
ризонтального цилиндра с произвольным симметричным поперечным сечением, которая
частично заполнена идеальной несжимаемой жидкостью и содержит продольные ребра-
перегородки. На конкретных примерах проведен анализ эффективности полученных ре-
шений краевых задач и выявлено влияние перегородок на динамические характеристики
жидкости.
1. Постановка задачи. Рассмотрим абсолютно твердое тело, в котором имеется по-
лость, частично заполненная идеальной и несжимаемой жидкостью плотности ρ. Пусть
полость имеет форму горизонтально расположенного цилиндра длины l с произвольным
симметричным поперечным сечением. Предполагается, что на стенках полости закре-
плены абсолютно жесткие перегородки в форме прямоугольных пластинок одинаковой
ширины в плоскости, которая параллельна невозмущенной свободной поверхности жид-
кости Σ. Расстояние между кромками перегородок обозначим через 2a. Считается, что
рассматриваемая механическая система имеет две взаимно перпендикулярные плоско-
сти геометрической симметрии. Систему координат Oxyz, неизменно связанную с телом,
выберем так, чтобы ее координатные плоскостиOxz иOyz совпадали с плоскостями сим-
метрии плоскости. При этом ось Oz совместим с линией пересечения этих плоскостей,
направив ее противоположно направлению вектора земного тяготения. Начало системы
координат поместим в плоскости перегородок, а ось Oy направим вдоль полости.
Центральной проблемой при решении задач динамики твердого тела с полостью, ча-
стично заполненной жидкостью, является построение решений двух задач математиче-
ской физики [1, 15]. Первая задача, описывающая свободные колебания жидкости в не-
подвижной полости, относится к классу спектральных задач с параметром в граничном
условии и имеет вид
∇ϕn(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Q,
(1.1)(
∂ϕn
∂ν
− χnϕn
)
Σ
= 0,
(
∂ϕn
∂ν
)
S
= 0,
∫
Σ
ϕndS = 0,
где Q — область, занятая жидкостью, S — смачиваемая поверхность полости (включая и
поверхности перегородок), ~ν — орт внешней нормали к границе области Q.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 403
Вторая задача относится к класcу неоднородных граничных задач Неймана для век-
торной гармонической функции ~Ω вида
4~Ω(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Q,
(1.2)(
∂~Ω
∂ν
)
S∪Σ
= ~r × ~ν.
Здесь ~r — радиус-вектор произвольной точки поверхности S ∪ Σ.
Компоненты Ω1, Ω2, Ω3 векторной функции ~Ω, которые обычно называются потенци-
алами Стокса – Жуковского, описывают смещения жидкости при малых вращательных
движениях полости относительно осей Ox, Oy, Oz соответственно.
В силу того, что область, занятая жидкостью, имеет две плоскости симметрии, си-
стема решений краевой задачи (1.1) распадается на три подсистемы функций ϕn1, ϕn2,
ϕn3, взаимно ортогональных на поверхности Σ. Соответствующие им собственные числа
обозначены через χn1, χn2, χn3. При этом функции ϕn1, Ω2 являются четными по y и не-
четными по x, функции ϕn2, Ω1 — нечетными по y и четными по x, функции ϕn3, Ω3−
нечетными по x и y.
Движения твердого тела с рассматриваемой полостью под воздействием приложен-
ных внешних сил и моментов описываются системами дифференциальных уравнений
относительно обобщенных координат механической системы, которые приведены в ра-
ботах [14, 15]. При этом гидродинамические коэффициенты этих уравнений выражаются
через некоторые интегральные характеристики решений краевых задач (1.1) и (1.2) сле-
дующим образом:
λn1 = ρ
∫
Σ
x
∂ϕn1
∂z
ds, λn2 = ρ
∫
Σ
y
∂ϕn2
∂z
ds,
λ0n1 = ρ
∫
Σ
Ω1
∂ϕn2
∂z
ds, λ0n2 = ρ
∫
Σ
Ω2
∂ϕn1
∂z
ds,
(1.3)
λ0n3 = ρ
∫
Σ
Ω3
∂ϕn3
∂z
ds, µni = ρ
∫
Σ
ϕni
∂ϕni
∂z
ds,
Iii = ρ
∫
Σ∪S
Ωi
∂Ωi
∂ν
ds, σ2
ni = jχni, i = 1, 2, 3,
где j — проекция кажущегося ускорения на ось Oz.
Таким образом, перед определением возмущенного движения рассматриваемой меха-
нической системы под воздействием внешних сил и моментов необходимо найти параме-
тры (1.3) ее математической модели.
Заметим, что коэффициенты λni, λ0ni и µni уравнений движения системы зависят от
произвольных постоянных множителей, связанных с решением однородной краевой за-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
404 В. А. ТРОЦЕНКО
дачи (1.1). Уравнения движения могут быть приведены к другим формам, в которых гид-
родинамические коэффициенты выражаются через параметры, инвариантные относи-
тельно нормировки функций ϕni [15]:
cn1 = −λ0n1
λn2
, cn2 = −λ0n2
λn1
, Iii, χni,
(1.4)
mn1 =
λ2
n1
µn1
, mn2 =
λ2
n2
µn2
, mn3 =
λ2
0n3
µn3
, i = 1, 2, 3.
В дальнейшем при определении гидродинамических коэффициентов уравнений бу-
дем использовать инвариантные динамические параметры (1.4). При этом при проведе-
нии расчетов будем пользоваться безразмерными величинами. При выборе некоторого
характерного линейного размера R связь размерных коэффициентов с безразмерными,
обозначаемыми черточкой сверху, будет осуществляться по формулам
σ2
ni =
j
R
σ̄2
ni, Rχni = χ̄ni, σ̄2
ni = χ̄ni,
(1.5)
λni = ρR3λ̄ni, µni = ρR3µ̄ni, λ0ni = ρR4λ̄0ni, Iii = ρR5Īii.
В дальнейшем черточку над безразмерными величинами будем опускать.
Форма рассматриваемой области и краевые условия задачи позволяют представить
функции ϕni, характеризующие волновые движения жидкости, в виде
ϕni(x, y, z) = ψmk(x, z) cosµk
(
y +
l
2
)
, (1.6)
где
µk =
kπ
l
, k = 0, 2, 4, . . . , при i = 1;
kπ
l
, k = 1, 3, 5, . . . , при i = 2, 3.
Функции ψmk(x, z) определяются из решения однородных краевых задач
4ψmk(x, z)− µ2
kψmk(x, z) = 0, (x, z) ∈ G,
(1.7)(
∂ψmk
∂z
− χmkψmk
)
L0
= 0,
(
∂ψmk
∂ν
)
L
= 0.
Здесь G : Q ∩Oxz, L0 : Σ ∩Oxz, L : S ∩Oxz.
Решая краевую задачу (1.7) при фиксированном значении числа k, для каждого из них
получаем последовательность собственных чисел и собственных функций, для нумера-
ции которых используем индекс m. Под индексом n функций ϕni теперь будем понимать
одну из возможных комбинаций индексов m и k.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 405
Рис. 1
Компоненты Ω1, Ω2, Ω3 гармонической векторной функции ~Ω из (1.2) должны удов-
летворять граничным условиям
∂Ω1
∂ν
∣∣∣∣
S∪Σ
= y cos(ν, z)− z cos(ν, y),
∂Ω2
∂ν
∣∣∣∣
S∪Σ
= z cos(ν, x)− x cos(ν, z), (1.8)
∂Ω3
∂ν
∣∣∣∣
S∪Σ
= x cos(ν, y)− y cos(ν, x).
В дальнейшем займемся построением решений для функций Ω1 и Ω2.
Как видно из граничных условий, функция Ω2 не зависит от координаты y, и ее опре-
деление связано с решением двумерного уравнения Лапласа в области поперечного сече-
ния полости.
Функцию Ω1 можно представить в виде [14]
Ω1 = −yz −
∑
k=1,3,5,...
8
lµ2
k
Ψk(x, z) cosµk
(
y +
l
2
)
. (1.9)
Здесь функции Ψk(x, z) определяются из решения неоднородных задач Неймана для урав-
нения Гельмгольца
4Ψk(x, z)− µ2
kΨk(x, z) = 0, (x, z) ∈ G,
(1.10)(
∂Ψk
∂ν
)
L∪L0
= cos(ν, z), k = 1, 3, 5, . . .
Таким образом, определение гидродинамических коэффициентов (1.3) уравнений дви-
жения тела с рассматриваемой полостью свелось в основном к решению однородных гра-
ничных задач со спектральным параметром в граничном условии и неоднородных задач
Неймана для уравнения Гельмгольца в области G поперечного сечения полости (рис. 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
406 В. А. ТРОЦЕНКО
2. Построение приближенных решений основных краевых задач. Основные трудно-
сти построения приближенных решений рассматриваемых краевых задач обусловлены
неканоничностью областиG и наличием в ней разрезов вдоль линий, которые вызывают
разрывы в искомых решениях при переходе через них. Одним из методов решения подоб-
ных краевых задач является модифицированный метод сопряжения решений, который
позволяет свести эти задачи к решению алгебраических систем небольшой размерности
[5, 14]. Изложим суть этого подхода на примере решения неоднородной краевой задачи
Неймана для уравнения Гельмгольца
4Ψk(x, z)− µ2
kΨk(x, z) = 0, (x, z) ∈ G,
(
∂Ψk
∂ν
)
Γ
= f, (2.1)
где Γ — контур областиG, включая и контуры разрезов, µk = kπ/l− заданный параметр.
Разобьем область G отрезком γ0 : {−a 6 x 6 a; z = 0} на две подобласти G1 и G2 и
будем полагать, что функция Ψk(x, z) принимает значения
Ψk(x, z) =
Ψ(1)
k (x, z), (x, z) ∈ G1;
Ψ(2)
k (x, z), (x, z) ∈ G2.
(2.2)
В предположении существования решения граничной задачи (2.1) представим ее про-
изводную в направлении оси Oz на смежной линии γ0 областей G1 и G2 в виде
(
∂Ψk
∂z
)
γ0
= f
(k)
0 (x) +
P0∑
p=1
z(k)
p f (k)
p (x), (2.3)
где z(k)
p — неопределенные постоянные; {f (k)
p (x)}P0
p=1− пока произвольная полная систе-
ма функций на отрезке γ0; f (k)
0 (x)− функция, которая в общем случае является некото-
рым аналитическим продолжением неоднородного граничного условия на разрезах на
всю границу подобластей G1 и G2 при z = 0.
Выражение (2.3) рассматривается в дальнейшем как дополнительное граничное усло-
вие Неймана на участке γ0 для функций Ψ(1)
k (x, z) и Ψ(2)
k (x, z), определенных в областях
G1 и G2 соответственно. В силу линейности задачи решения для функций Ψ(s)
k (x, z) могут
быть представлены в виде
Ψ(s)
k (x, z) = (−1)sΨ(k,s)(x, z) +
P0∑
p=1
z(k)
p g(k,s)
p (x, z). (2.4)
Здесь и далее индекс s обозначает номер подобласти G.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 407
Функции Ψ(k,s)(x, z) и g
(k,s)
p (x, z) являются решениями уравнения Гельмгольца, кото-
рые подчинены граничным условиям(
∂Ψ(k,s)
∂ν
)
Γs
= f,
(
∂Ψ(k,s)
∂ν
)
γ0
= f
(k)
0 (x) = f,
(
∂g
(k,s)
p
∂ν
)
Γs
= 0,
(
∂g
(k,s)
p
∂z
)
γ0
= f (k)
p (x), (2.5)
Γ = Γ1 ∪ Γ2, p = 1, 2, . . . , P0.
Из условия непрерывности функций Ψ(k,1) и Ψ(k,2) на отрезке γ0 следует соотношение
P0∑
p=1
z(k)
p T (k)
p (x) = τ (k)(x), (2.6)
где
T (k)
p (x) = g(k,2)
p (x, 0)− g(k,1)
p (x, 0), τ (k)(x) = −Ψ(k,1)
0 (x, 0)−Ψ(k,2)
0 (x, 0).
Умножая обе части равенства (2.6) на f (k)
q (x) и интегрируя его от −a до a, получаем
систему алгебраических уравнений относительно постоянных z(k)
p :
P0∑
p=1
z(k)
p α(k)
pq = γ(k)
q , q = 1, 2, . . . , P0, (2.7)
где
α(k)
pq =
a∫
−a
T (k)
p (x)f (k)
q (x)dx, γ(k)
q =
a∫
−a
τ (k)(x)f (k)
q (x)dx.
При построении решений указанным выше способом большое значение приобретает
аппроксимация производной в направлении осиOz от функции Ψk(x, z) на отрезке [−a, a],
поскольку от этого зависит размерность алгебраической системы (2.7). Для установле-
ния свойств координатных функций f (k)
p (x) положим(
∂Ψk
∂z
)
γ0
= Mk(x), (2.8)
где Mk(x) — неизвестная функция.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
408 В. А. ТРОЦЕНКО
Формально записывая решения для подобластей G1 и G2 с помощью функций Грина,
предварительно выделив их сингулярную часть, после выполнения условий непрерыв-
ности функций Ψ(k,1)(x, z) и Ψ(k,2)(x, z) на отрезке γ0 для определения функции Mk(x)
получаем интегральное уравнение вида
a∫
−a
Mk(x)
[
1
π
ln
1
|x− x0|
+ v(x, x0)
]
dx0 = τ (k)(x),
где v(x, x0) — регулярная функция своих аргументов.
Это уравнение представляет собой интегральное уравнение первого рода с нерегу-
лярным ядром, содержащим подвижную логарифмическую особенность. Такие уравне-
ния достаточно хорошо изучены и возникают при исследовании широкого класса кон-
тактных задач теории упругости и задач обтекания тонких профилей в гидромеханике.
При этом установлено [16], что решение этого уравнения существует и имеет вид
Mk(x) =
1√
a2 − x2
Φk(x), (2.9)
где Φk(x) — достаточно гладкая функция.
Установленное свойство функций Mk(x) будет использовано в дальнейшем при по-
строении систем координатных функций {f (k)
p (x)}P0
p=1.
Аналогичный подход с небольшими изменениями может быть применен и при ре-
шении однородной задачи (1.7) для уравнения Гельмгольца с параметром в граничном
условии.
Поскольку для волновых функций заранее неизвестный параметр χn входит в гранич-
ные условия, решения для функций ψ(s)
k (x, z), s = 1, 2, определенных в областях G1 и
G2 соответственно, будем искать в виде (индекс m в дальнейшем опускаем)
ψ
(1)
k =
N0∑
n=1
y(k)
n s(k)
n (x, z) +
P0∑
p=1
x(k)
p g(k,1)
p (x, z),
(2.10)
ψ
(2)
k =
P0∑
p=1
x(k)
p g(k,2)
p (x, z).
Здесь y(k)
n и x(k)
p — неопределенные постоянные, s(k)
n (x, z) — собственные функции допол-
нительно введенной в рассмотрение краевой задачи для области G1 с параметром β
(k)
n в
граничном условии:
4s(k)
n − µ2
ks
(k)
n = 0, (x, z) ∈ G1,
(2.11)(
∂s
(k)
n
∂z
− β(k)
n s(k)
n
)
L0
= 0,
(
∂s
(k)
n
∂ν
)
Γ1∪γ0\L0
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 409
Собственные функции s
(k)
n (x, z) имеют свойство полноты и ортогональности на линии
L0 :
∫
L0
s(k)
n s(k)
m dS = 0,
∫
L0
∂s
(k)
n
∂z
∂s
(k)
m
∂z
dS, ∀m 6= n. (2.12)
Представленные решения в виде (2.10) заведомо удовлетворяют нулевым граничным
условиям Неймана на контурах Γ1 \ L0 и Γ2 соответственно и условию непрерывности
производных в направлении оси Oz :
(
∂ψ
(1)
k
∂z
)
γ0
=
(
∂ψ
(2)
k
∂z
)
γ0
=
P0∑
p=1
x(k)
p f (k)
p (x).
Подчиним функцию ψ
(1)
k (x, z) граничному условию на контуре L0. При этом получим
[
N0∑
n=1
y(k)
n
∂s
(k)
n
∂z
− χk
(
N0∑
n=1
y(k)
n s(k)
n +
P0∑
p=1
x(k)
p g(k,1)
p
)]
L0
= 0.
Умножим это соотношение на ∂s(k)
n /∂z и проинтегрируем полученное выражение по
контуру L0. С учетом условий ортогональности (2.12) будем иметь
y(k)
n β(k)
n N (k)
n − χk
(
y(k)
n N (k)
n −
P0∑
p=1
x(k)
p β(k)
np
)
= 0, n = 1, 2, . . . , N0, (2.13)
где
N (k)
n =
∫
L0
s(k)
n
∂s
(k)
n
∂z
dS, β(k)
np =
∫
γ0
s(k)
n f (k)
p dS = −
∫
L0
g(k,1)
p
∂s
(k)
n
∂z
dS.
При выводе выражений для коэффициентов β(k)
np была использована формула Грина.
Выполняя условие равенства функций ψ(1)
k (x, z) и ψ(2)
k (x, z) на отрезке γ0, имеем
N0∑
n=1
y(k)
n β(k)
nq =
P0∑
p=1
x(k)
p α(k)
pq , q = 1, 2, . . . , P0. (2.14)
Заметим, что элементы α
(k)
pq образуют симметричную матрицу L(k) размера (P0×P0).
Системы уравнений (2.13) и (2.14) служат для определения параметров χk, y(k)
n и x(k)
p . За-
пишем эти системы уравнений в матричной форме и приведем их к более удобному ви-
ду. Обозначим через B
(k)
2 матрицу размера (N0 × P0) с элементами β(k)
np , а через
(
B
(k)
2
)T
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
410 В. А. ТРОЦЕНКО
транспонированную к ней матрицу. Введем в рассмотрение следующие векторы-столбцы
и диагональные матрицы:
~y(k) =
{
y
(k)
1 , y
(k)
2 , . . . , y
(k)
N0
}
, ~x(k) =
{
x
(k)
1 , x
(k)
2 , . . . , x
(k)
P0
}
,
A(k) = diag
{
β
(k)
1 N
(k)
1 , β
(k)
2 N
(k)
2 , . . . , β
(k)
N0
N
(k)
N0
}
, B
(k)
1 = diag
{
N
(k)
1 , N
(k)
2 , . . . , N
(k)
N0
}
.
С учетом введенных обозначений уравнения (2.13) и (2.14) можно представить в виде
A(k)~y(k) − χk
(
B
(k)
1 ~y(k) −B
(k)
2 ~x(k)
)
= 0,
(2.15)(
B
(k)
2
)T
~y(k) = L(k)~x(k).
Из последнего уравнения имеем
~x(k) =
(
L(k)
)−1(
B
(k)
2
)T
~y(k). (2.16)
Подставляя это выражение в первое уравнение (2.15), получаем обобщенную алгеб-
раическую задачу на собственные значения
(
A(k) − χkB(k)
)
~y(k) = 0, (2.17)
где B(k) = B
(k)
1 −B
(k)
2
(
L(k)
)−1(
B
(k)
2
)T
— симметричная матрица размера (N0 ×N0).
После решения системы (2.17) по формуле (2.16) находим значения векторов ~x(k).
Таким образом, в соответствии с изложенной методикой определение решений неодно-
родной краевой задачи (2.1) и спектральной задачи с параметром в граничном условии
(1.7) для уравнения Гельмгольца в области поперечного сечения полости G свелось к по-
строению решений вспомогательных краевых задач для функций Ψ(k,s)(x, z), g(k,s)
p (x, z) и
s
(k)
n (x, z) в соответствующих подобластях Gs и последующему решению алгебраических
задач (2.7) и (2.17).
3. Построение приближенных решений вспомогательных краевых задач. Для случая,
когда границы подобластей G1 и G2 совпадают с координатными линиями одной из ор-
тогональных систем координат, построение решений упомянутых краевых задач можно
осуществлять с помощью функций Грина для задачи Неймана и параметрической фун-
кции Грина для подобласти G1, которая точно удовлетворяет граничному условию для
функции ψ(k,1)(x, z) на границе L0 [14]. Ниже в силу неканоничности подобластейG1 иG2
приближенные решения соответствующих вспомогательных краевых задач будем стро-
ить на основе их эквивалентных вариационных формулировок.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 411
Введем в рассмотрение следующие квадратичные функционалы:
∫
Gs
[(
∂Ψ(k,s)
∂x
)2
+
(
∂Ψ(k,s)
∂z
)2
+ µ2
k
(
Ψ(k,s)
)2
]
dGs − 2
∫
Γs∪γ0
Ψ(k,s)fdS,
(3.1)∫
G1
[(
∂s
(k)
n
∂x
)2
+
(
∂s
(k)
n
∂z
)2
+ µ2
k
(
s(k)
n
)2
]
dG1 − β(k)
n
∫
L0
(
s(k)
n
)2
dS.
Вычисляя вариации функционалов (3.1) на классе допустимых функций, которые не-
прерывны в областях Gs вместе с частными производными первого и второго порядка и
не подчинены никаким граничным условиям, можно показать, что построение прибли-
женных решений краевых задач (2.5) и (2.11) для функций Ψ(k,s)(x, z) и s
(k)
n (x, z) экви-
валентно нахождению стационарных значений этих функционалов. Предположим, что
известны полные системы координатных функцийW (k,s)
i (x, z), каждый элемент которых
удовлетворяет уравнению Гельмгольца в подобластях Gs. Следуя методу Трефтца, реше-
ния для функций Ψ(k,s)(x, z) и s(k)
n (x, z) представим в виде отрезков обобщенных рядов:
Ψ(k,s)(x, z) =
I0∑
i=1
b
(k,s)
i W
(k,s)
i (x, z), s(k)
n (x, z) =
I0∑
i=1
a
(n,k)
i W
(k,1)
i (x, z). (3.2)
Постоянные b(k,s)i и a
(k,s)
i , образующие собой векторы-столбцы ~b(k,s) =
{
b
(k,s)
1 , b
(k,s)
2 , . . .
. . . , b
(k,s)
I0
}
и ~a(n,k) =
{
a
(n,k)
1 , a
(n,k)
2 , . . . , a
(n,k)
I0
}
, найдем из необходимых условий мини-
мума функционалов (3.1), которые должны доставлять им функции (3.2). В результате
определение векторов~b(k,s) и ~a(k,s) сведется к решению алгебраических систем
A(k,s)~b(k,s) = ~c (k,s)
(
A(k,1) − β(k)
n B(k,1)
)
~a (n,k) = 0, (3.3)
где элементы α
(k,s)
ij и β(k,1)
ij матрицA(k,1) иB(k,1), а также компоненты c
(k,s)
j векторов ~c (k,s)
вычисляются по формулам
α
(k,s)
ij =
∫
Γs∪γ0
W
(k,s)
i
∂W
(k,s)
j
∂ν
dS, β
(k,1)
ij =
∫
L0
W
(k,1)
i W
(k,1)
j dS, c
(k,s)
j =
∫
Γs∪γ0
W
(k,s)
j fdS.
При выводе этих формул была использована формула Грина для функций, удовлет-
воряющих уравнению Гельмгольца.
Непосредственное применение вариационного метода для построения приближенных
решений для функций g(k,s)
p (x, z) невозможно, поскольку для них имеем разрывные гра-
ничные условия на части границ областей Gs при z = 0. В связи с этим предварительно
необходимо провести регуляризацию граничных условий для функций g(k,s)
p (x, z) с помо-
щью функций Φ(k,s)
p (x, z), которые точно удовлетворяют уравнению Гельмгольца, имеют
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
412 В. А. ТРОЦЕНКО
замкнутый аналитический вид и подчиняются следующим условиям на части границы
областей Gs: (
∂Φ(k,s)
p
∂z
)
γ0
= f (k)
p (x),
(
∂Φ(k,s)
p
∂z
)
γ
= 0, (3.4)
где γ — линия, связанная с разрезами области G.
Имея набор таких функций, можно ввести в рассмотрение функции
H(k,s)
p (x, z) = g(k,s)
p (x, z)− Φ(k,s)
p (x, z), (3.5)
для которых неоднородные граничные условия в областях Gs будут регулярными:(
∂H
(k,s)
p
∂ν
)
Γs\γ
= −
(
∂Φ(k,s)
p
∂ν
)
Γs\γ
,
(
∂H
(k,s)
p
∂z
)
γ0∪γ
= 0. (3.6)
Непосредственно подобрать такие функции с перечисленными свойствами не пред-
ставляется возможным. Однако наборы функций Φ(k,s)
p (x, y) c одновременным выбором
базисных функций f (k)
p (x) можно построить на классе частных решений двумерного урав-
нения Гельмгольца в эллиптической системе координат. Такая возможность предоставля-
ется за счет того, что отрезок [−a, a] и линия z = 0, за исключением этого отрезка, явля-
ются координатными линиями в предельном случае эллиптической системы координат.
Введем новые координаты u и v, связанные с декартовыми координатами x и z со-
отношениями
x = a chu cos v, z = a shu sin v, (3.7)
где u и v в общем случае изменяются в таких пределах, чтобы можно было описать все
точки плоскости Oxz.
Обозначим через r1 и r2 расстояния от произвольной точкиM(x, z) до точекM1(−a, 0)
и M2(a, 0) соответственно. Тогда с учетом (3.7) будем иметь
r1 =
√
(x+ a)2 + z2 = a(chu+ cos v),
(3.8)
r2 =
√
(x− a)2 + z2 = a(chu− cos v).
С использованием этих выражений можно показать, что кривые u = const и v = const
представляют собой эллипсы и гиперболы с фокусами в точках x = ± a. В предельном
случае при u = 0 получим отрезок [−a, a] на оси Ox. При v = 0 и v = π на оси Ox имеем
прямые [a,+∞) и (−∞,−a] соответственно. Если положить −∞ < u < ∞ и 0 6 v 6 π,
то будем иметь все точки плоскости Oxz. Отрицательным значениям u будут соответ-
ствовать отрицательные значения z. Использовав формулы (3.8), выразим переменные
u и v через переменные x и z. При этом будем иметь
u = arch
r1 + r2
2a
, v = arccos
r1 − r2
2a
. (3.9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 413
Заметим, что при 0 6 v 6 π функция v принимает главные значения, тогда как фун-
кция u является двузначной.
Пусть имеем произвольную дифференцируемую функцию f(x, y), переменные ко-
торой связаны с переменными u и v соотношениями (3.7). Тогда для производных (∂f (1))/
(∂x), (∂f (1))/(∂z) при z > 0 и (∂f (2))/(∂x), (∂f (2))/(∂z) при z 6 0 можно установить сле-
дующие формулы:
∂f (s)
∂x
=
1
4
(
shu cos v
∂f (s)
∂u
− chu sin v
∂f (s)
∂v
)
,
(3.10)
∂f (s)
∂z
=
(−1)s+1
4
(
chu sin v
∂f (s)
∂u
+ shu cos v
∂f (s)
∂v
)
, s = 1, 2.
Здесь ∆ = a
(
ch2 u− cos2 v
)
и u принимает только положительные значения в форму-
ле (3.9).
Использовав установленные зависимости, перейдем к построению функций Φ(k,s)
p (x, z)
с учетом требуемых свойств их четности и нечетности по переменной x, необходимых для
описания движений жидкости в двух плоскостях симметрии рассматриваемой полости.
Построим сначала регуляризирующие функции Φ(k,s)
p (x, z), которые являются четны-
ми по координате x. Эти функции будут использованы в дальнейшем при исследовании
движений жидкости в плоскости Oyz. Подчиним наборы таких функций условиям(
∂Φ(k,s)
p
∂z
)
v=0
= 0,
(
∂Φ(k,s)
p
∂z
)
u=0
6= 0,
(
∂Φ(k,s)
p
∂x
)
v=π
2
= 0, (3.11)
где положительным значениям u соответствует верхняя полуплоскость z > 0 (s = 1), а
отрицательным значениям u — нижняя полуплоскость z 6 0 (s = 2). Последнее условие
в (3.11) обусловлено симметричностью функций Φ(k,s)
p (x, z) по переменной x.
При переходе к эллиптическим координатам уравнение Гельмгольца сохраняет свой
вид и допускает разделение переменных. Общее его решение можно представить в виде
(A shαu+B chαu)(C sinβv +D cosβv),
α =
√
β2 + µ2
2,
где A, B, C, D — произвольные постоянные, а β — пока произвольная постоянная разде-
ления переменных. Подчинив это выражение условиям (3.11), получим
Φ(k,s)
p = (−1)s+1Apk sh
[√
4(p− 1)2 + µ2
ku
]
cos
[
2(p− 1)v
]
,
(3.12)
p = 1, 2, . . . , k = 1, 3, 5, . . . , u > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
414 В. А. ТРОЦЕНКО
ПостоянныеApk могут быть выбраны соответствующим образом для нормировки ги-
перболического синуса при больших значениях параметров p и k. Подставляя эти выра-
жения в формулы (3.10), для производных от функций Φ(k,s)
p (x, z) по переменным x и z
получаем выражения
∂Φ(k,1)
p
∂x
=
Apk
∆
[βpk shu cos v chβpku cos 2(p− 1)v +
+ 2(p− 1) chu sin v shβpku sin 2(p− 1)v],
∂Φ(k,1)
p
∂z
=
Apk
∆
[βpk chu sin v chβpku cos 2(p− 1)v − (3.13)
− 2(p− 1) shu cos v shβpku sin 2(p− 1)v],
∂Φ(k,2)
p
∂x
= −∂Φ(k,1)
p
∂x
,
∂Φ(k,2)
p
∂z
=
∂Φ(k,1)
p
∂z
, βpk =
√
4(p− 1)2 + µ2
k.
Эти производные необходимы в дальнейшем для вычисления производных по внешней
нормали от функций Φ(k,s)
p на границах подобластей Gs при решении соответствующих
вспомогательных краевых задач.
В свою очередь, производные от функций Φ(k,s)
p (x, z) в направлении осиOz на отрезке
[0, a] принимают значения
(
∂Φ(k,s)
p
∂z
)
u=0
= f (k)
p (x) =
Apkβpk cos 2(p− 1)v
a sin v
,
(3.14)
x = a cos v, 0 6 v 6
π
2
, p = 1, 2, . . . , P0.
Запишем первые две функции f (k)
p (x) в декартовой системе координат:
f1(x) =
A1kµk√
a2 − x2
, f2(x) =
A2kβ2k cos 2v
a sin v
=
A2kβ2k
a2
√
a2 − x2
(x2 − a2). (3.15)
Эти выражения показывают, что система функций
{
f
(k)
p (x)
}P0
p=1
имеет необходимую чет-
ность и ранее установленную сингулярность при x → a.
Перейдем теперь к построению набора регуляризирующих функций, необходимых
для решения краевых задач, связанных с исследованием движения жидкости в плоскости
Oxz. Определение нечетных функций ϕn1 и Ω2 по переменной x сводится к решению
соответствующих краевых задач для уравнения Лапласа в области поперечного сечения
полости.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 415
В связи с этим найдем частные решения Φ(0,s)
p (x, z) двумерного уравнения Лапласа,
которые подчинены условиям(
∂Φ(0,s)
p
∂z
)
v=0
= 0,
(
∂Φ(0,s)
p
∂z
)
µ=0
6= 0,
(
Φ(0,s)
p
)
v=π
2
= 0. (3.16)
Последнее условие в (3.16) обусловлено нечетностью функции Φ(0,s)
p (x, z) по перемен-
ной x. Действуя аналогично изложенному выше, получаем следующие наборы функций
Φ(0,s)
p (x, z):
Φ(0,s)
p (x, z) = (−1)s+1 sh(2p− 1)u cos(2p− 1)v, p = 1, 2, . . . , P0, s = 1, 2. (3.17)
При переходе к декартовой системе координатOxz значения u и v в формуле (3.17) вычи-
сляются по формулам (3.9), причем для u берутся только положительные значения.
С учетом (3.10) и (3.17) найдем выражения для функций f (0)
p (x). При этом будем иметь
f (0)
p (x) =
(
∂Φ(0,s)
p
∂z
)
u=0
=
2p− 1
a sin v
cos(2p− 1)v, v = arccos
(x
a
)
. (3.18)
Соответствующие выражения для производных по координатам x и z от функций
Φ(0,s)
p (x, z) примут вид
∂Φ(0,1)
p
∂x
=
2p− 1
2∆
[sh 2pu cos 2(p− 1)v − sh 2(p− 1)u cos 2pv],
∂Φ(0,1)
p
∂z
=
2p− 1
2∆
[ch 2(p− 1)u sin 2pv − ch 2pu sin 2(p− 1)v], (3.19)
∂Φ(0,2)
p
∂x
= −∂Φ(0,1)
p
∂x
,
∂Φ(0,2)
p
∂z
=
∂Φ(0,1)
p
∂z
, p = 1, 2, . . . , P0.
Успех реализации предложенных подходов к решению вспомогательных краевых за-
дач в значительной мере зависит от выбора систем координатных функций W (k,s)
i (x, z),
которые обеспечивали бы устойчивость вычислительного процесса и получение резуль-
татов с заранее заданной точностью. Построение систем базисных функций, удовлетво-
ряющих уравнению Гельмгольца, рассматривалось в работе [17], где в качестве таких
функций выбирался набор частных решений исходного уравнения для окаймляющего
данную область прямоугольника с выполнением нулевых граничных условий Неймана
на нижней и вертикальных его сторонах. В результате применения указанных базисных
функций для решения спектральной задачи получены завышенные значения частотно-
го параметра. Использование таких координатных функций для решения неоднородных
задач, связанных с определением потенциалов Стокса – Жуковского, является невозмож-
ным, поскольку построенные таким образом представления для решений сужают класс
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
416 В. А. ТРОЦЕНКО
допустимых функций за счет выбранных граничных условий для базисных функций на
сторонах описанного прямоугольника.
В работе [18] предложена иная схема построения набора координатных функций для
уравнения Гельмгольца при реализации вариационного метода решения задачи о соб-
ственных колебаниях жидкости в горизонтальной цилиндрической полости с плоскими
боковыми стенками. При этом получено хорошее совпадение результатов расчета с со-
ответствующими данными, основанными на решении пространственных спектральных
задач с использованием в качестве базисных функций однородных гармонических по-
линомов [19]. Однако применение указанного подхода для определения всего комплекса
гидродинамических коэффициентов математической модели движения системы «тело-
жидкость» вызывает определенные трудности вычислительного характера.
В связи с этим ниже предлагаются базисные функции, которые обеспечивают высо-
кую точность расчетов при одновременной простоте реализации алгоритма на ПЭВМ.
Сущность построения таких базисных функций заключается в том, что для описанного
для данной области прямоугольника строятся два набора частных решений уравнения
Гельмгольца при нулевых граничных условиях Неймана на части его границ. Первый на-
бор определяется нулевыми граничными условиями на горизонтальных его сторонах и
свободными граничными условиями на вертикальных. Второй набор определяется нуле-
выми граничными условиями на вертикальных сторонах прямоугольника и свободными
граничными условиями на горизонтальных. Объединяя оба построенных класса частных
решений уравнения Гельмгольца в декартовой системе координат, получаем систему ба-
зисных функций, для которой класс допустимых функций при решении однородной и
неоднородной краевых задач не подчинен каким-либо дополнительным ограничениям,
связанным с выбором граничных условий для окаймляющего прямоугольника. При по-
строении наборов частных решений исходного уравнения по указанной выше схеме сле-
дует учитывать также соответствующую четность искомых решений относительно ко-
ординат x и y при описании движений жидкости в продольной и поперечной плоскостях
симметрии полости.
В соответствии с изложенным, для определения функций Ω1 и ϕn2, являющихся не-
четными по координате y и четными по координате x, система координатных функций
выбирается следующим образом:
{W (k,s)
i }Ni=1 = {v(k,1)
1 , v
(k,2)
1 , v
(k,3)
1 , . . . , v
(k,1)
N , v
(k,2)
N , v
(k,3)
N }. (3.20)
Здесь соответствующим образом нормированные частные решения уравнения Гельмголь-
ца имеют вид
v
(k,1)
i = Aik sh γikz cosαix, v
(k,2)
i = Aik ch γikz cosαix,
v
(k,3)
i = Bik ch τikx cosβiz, Aik = e−γikh, Bik = e−τikx0 ,
(3.21)
γik =
√
α2
i + µ2
k, τik =
√
β2
i + µ2
k, αi =
(i− 1)π
x0
, βi =
(i− 1)π
h
,
µk =
kπ
l
, i = 1, 2, . . . , N, k = 1, 3, 5, . . . ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 417
где h и x0 — высота и ширина описанного вокруг области Gs прямоугольника.
В свою очередь, определение составляющих для функций Ω2 и ϕn1, являющихся чет-
ными по координате y и нечетными по координате x, проводится c помощью координат-
ных функций (3.20), где в качестве частных решений v(k,j)
i (x, z) выбираются следующие
функции:
v
(k,1)
i = Aik sh γikz sinαix, v
(k,2)
i = Aik ch γikz sinαix, v
(k,3)
i = Bik cosβiz sh τikx. (3.22)
Здесь Aik, Bik, γik, τik определяются по формулам (3.21), в которых
αi =
(2i− 1)π
2x0
, µk =
kπ
l
, βi =
(i− 1)π
h
при k 6= 0;
iπ
h
при k = 0,
i = 1, 2, . . . , k = 0, 2, 4, . . . .
Следует заметить, что с учетом симметрии рассматриваемых функций криволиней-
ные интегралы, входящие в элементы алгебраических систем, следует вычислять лишь
по симметричной части областей Gs.
4. Определение частот и присоединенных масс жидкости. В соответствии с изложен-
ным выше для построения функции g(k,s)
p (x, z) нам необходимо при каждом фиксирован-
ном значении числа k располагать набором решений следующих неоднородных краевых
задач в подобластях Gs, s = 1, 2:
∆H(k,s)
p (x, z)− µ2
kH
(k,s)
p (x, z) = 0, (x, z) ∈ Gs,
(4.1)(
∂H
(k,s)
p
∂ν
)
Γs\γ
= −
(
∂Φ(k,s)
p
∂ν
)
Γs\γ
,
(
∂H
(k,s)
p
∂z
)
γ0∪γ
= 0,
где Φ(k,s)
p — построенные ранее регуляризирующие функции.
Представим функции H(k,s)
p (x, z) в виде отрезка обобщенного ряда
H(k,s)
p (x, z) =
I0∑
i=1
h
(k,s)
i,p W
(k,s)
i (x, z). (4.2)
ЗдесьW (k,s)
i (x, z) — координатные функции для подобластейGs, построенные в соответ-
ствии с методикой, изложенной в предыдущем пункте.
Постоянные h(k,s)
i,p , образующие собой вектор-столбцы~h
(k,s)
p = {h(k,s)
1,p , h
(k,s)
2,p , . . . , h
(k,s)
I0,p
},
будем определять из условия минимума функционалов для краевых задач (4.1). При этом
получим следующие алгебраические системы:
A(k,s)~h(k,s)
p = ~d(k,s)
p , p = 1, 2, . . . , P0, (4.3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
418 В. А. ТРОЦЕНКО
где элементы a
(k,s)
ij симметричных матриц A(k,s) вычисляются по формулам (3.3), а эле-
менты d
(k,s)
p,j вектор-столбцов ~d(k,s)
p определяются выражениями
d
(k,s)
p,j = −
∫
Γs\γ
W
(k,s)
j
∂Φ(k,s)
p
∂ν
dS = −
∫
Γs∪γ0
Φ(k,s)
p
∂W
(k,s)
j
∂ν
dS,
(4.4)
i, j = 1, 2, . . . , I0, p = 1, 2, . . . , P0.
При этом функции g(k,s)
p (x, z) определяются формулами
g(k,s)
p (x, z) = Φ(k,s)
p (x, z) +
I0∑
i=1
h
(k,s)
i,p W
(k,s)
i (x, z). (4.5)
После определения собственных значений β
(k)
n и собственных векторов ~a(n,k) обоб-
щенной алгебраической задачи (3.3) волновые функцииϕ(s)
ni (x, y, z) в подобластяхGs, s =
= 1, 2, будут иметь вид
ϕ
(1)
ni =
[
P0∑
p=1
x(k)
p g(k,1)
p (x, z) +
N0∑
n=1
y(k)
n s(k)
n (x, z)
]
cosµk
(
y +
l
2
)
,
(4.6)
ϕ
(2)
ni =
P0∑
p=1
x(k)
p g(k,2)
p (x, z) cosµk
(
y +
l
2
)
, µk =
kπ
l
,
где постоянные x(k)
p и y(k)
n находятся по формулам (2.16) и (2.17).
Значение индекса i = 1 соответствует поперечным колебаниям жидкости, для кото-
рых k = 0, а значение индекса i = 2 — продольным колебаниям жидкости, для которых
k = 1, 3, 5, . . . . Таким образом, формульные схемы определения волновых движений жид-
кости в двух плоскостях симметрии полости отличаются одна от другой лишь значениями
целых чисел k.
Построения решений неоднородных краевых задач, связанных с определением потен-
циалов Стокса – Жуковского Ω1(x, y, z) и Ω2(x, z), несколько отличаются одно от другого.
Перейдем теперь к определению гидродинамических коэффициентов уравнений дви-
жения твердого тела с рассматриваемой полостью.
Пусть рассматриваемая механическая система совершает движение в плоскости Oxz.
Определение потенциала Ω2(x, z) связано с решением двумерного уравнения Лапласа в
области поперечного сечения полости G при неоднородном граничном условии
(
∂Ω2
∂ν
)
L0∪L
= z cos(ν, x)− x cos(ν, z) = u. (4.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 419
В соответствии с общей методикой решения неоднородных краевых задач в рассма-
триваемой области представим функцию Ω2(x, z) в виде
Ω2 =
Ω(1)
2 (x, z) +
P0∑
p=1
z(0)
p g(0,1)
p (x, z), (x, z) ∈ G1;
Ω(2)
2 (x, z) +
P0∑
p=1
z(0)
p g(0,2)
p (x, z), (x, z) ∈ G2.
(4.8)
Здесь g(0,s)
p (x, z) — ранее введенные вспомогательные функции, а Ω(s)
2 (x, z) s = 1, 2, —
гармонические функции, которые принимают граничные условия
(
∂Ω(s)
2
∂ν
)
Γs∪γ0
= u. (4.9)
Представим функции Ω(s)
2 (x, z) в виде разложения
Ω(s)
2 (x, z) =
I0∑
i=1
b
(s)
i W
(0,s)
i (x, z). (4.10)
Тогда в соответствии с вариационным методом определение постоянных b(s)i сводится к
решению неоднородных алгебраических систем
A(0,s)~b(s) = ~c (s), (4.11)
где компоненты векторов-столбцов ~c (s) вычисляются по формулам
c
(s)
j =
∫
Γs∪γ0
uW
(0,s)
j (x, z)dS, j = 1, 2, . . . , I0. (4.12)
Постоянные z(0)
p находятся из решения алгебраической системы (2.7), где
γ(0)
q =
a∫
0
[
Ω(1)
2 (x, 0)− Ω(2)
2 (x, 0)
]
f (0)
q (x)dx,
(4.13)
α(0)
pq =
a∫
0
[
g(0,2)
p (x, 0)− g(0,1)
p (x, 0)
]
f (0)
q (x)dx.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
420 В. А. ТРОЦЕНКО
Заметим, что все встречающиеся контурные интегралы в дальнейшем вычисляются
лишь по симметричной части контуров областей Gs.
С учетом полученных результатов гидродинамические коэффициенты уравнений дви-
жения рассматриваемой механической системы в плоскости O∗x∗z∗ можно представить
в виде
λn1 =
∫
Σ
x
∂ϕn1
∂z
dΣ = 2l
N0∑
m=1
β(0)
m y(0)
m
{ I0∑
i=1
a
(m,0)
i
x0∫
0
(
W
(0,1)
i
)
z=h1
xdx
}
,
µn =
∫
Σ
ϕn1
∂ϕn1
∂z
dΣ = 2l
{ N0∑
m=1
(y(0)
m )2N (0)
m −
N0∑
m=1
P0∑
p=1
x(0)
p y(0)
m β(0)
mp
}
,
λ0n2 =
∫
Σ
Ω2
∂ϕn1
∂z
dΣ = 2l
{ N0∑
m=1
y(0)
m λ
(1)
0m −
N0∑
m=1
P0∑
p=1
z(0)
p y(0)
m β(0)
mp
}
,
(4.14)
λ
(1)
0m = β(0)
m
I0∑
i=1
I0∑
j=1
b
(1)
i a
(m,0)
j b
(0)
i,j ,
I22 =
∫
Σ∪S
Ω2
∂Ω2
∂ν
dS = 2l
{∫
Γ1
Ω2
∂Ω2
∂ν
dS +
∫
Γ2
Ω2
∂Ω2
∂ν
dS
}
=
= 2l
{
I
(1)
22 + I
(2)
22 − 2
P0∑
p=1
z(0)
p γ(0)
p +
P0∑
p=1
P0∑
q=1
z(0)
p z(0)
q α(0)
pq
}
,
I
(s)
22 =
I0∑
i=1
b
(s)
i c
(s)
i , s = 1, 2,
где h1 — высота жидкости над перегородками, x0− координата пересечения контура
области G1 с прямой z = h1.
Пусть тело с рассматриваемой полостью совершает поступательные и угловые дви-
жения в плоскостиOyz. Согласно изложенному выше гармоническую функцию Ω1(x, y, z)
можно представить в виде
Ω1 = −yz −
∑
k=1,3,5,...
8
lµ2
k
Ψk(x, z) cosµk
(
y +
l
2
)
. (4.15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 421
В свою очередь, функции Ψk(x, z) имеют следующее представление:
Ψk =
Ψ(k,1)(x, z) +
P0∑
p=1
z(k)
p g(k,1)
p (x, z), (x, z) ∈ G1;
Ψ(k,2)(x, z) +
P0∑
p=1
z(k)
p g(k,2)
p (x, z), (x, z) ∈ G2.
(4.16)
Здесь g(k,s)
p (x, z) — ранее введенные функции, а Ψ(k,s)(x, z) — функции, которые удов-
летворяют уравнению Гельмгольца и подчинены граничным условиям(
∂Ψ(k,s)
∂ν
)
Γs∪γ0
= cos(ν, z), s = 1, 2. (4.17)
Решение краевых задач для функций Ψ(k,s)(x, z) будем искать вариационным методом,
представив их в виде
Ψ(k,s)(x, z) =
I0∑
i=1
b
(k,s)
i W
(k,s)
i (x, z), k = 1, 3, 5, . . . . (4.18)
В результате применения процедуры Ритца при отыскании стационарных значений со-
ответствующих функционалов получим неоднородные алгебраические системы относи-
тельно постоянных b(k,s)i :
A(k,s)~b(k,s) = ~c (k,s), (4.19)
где компоненты c
(k,s)
j векторов ~c (k,s) вычисляются по формулам
c
(k,s)
j =
∫
Γs∪γ0
W
(k,s)
j (x, z) cos(ν, z)dS, j = 1, 2, . . . , I0.
Постоянные z
(k)
p определяются из решения алгебраических систем (2.7), элементы
которых имеют вид
α(k)
pq =
a∫
0
[
g(k,2)
p (x, 0)− g(k,1)
p (x, 0)
]
f (k)
q dx,
(4.20)
γ(k)
q =
a∫
0
[
Ψ(k,1)(x, 0)−Ψ(k,2)(x, 0)
]
f (k)
q dx,
q = 1, 2, . . . , P0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
422 В. А. ТРОЦЕНКО
С учетом того, что элементы алгебраических систем, полученных на основе мето-
да Ритца, вычисляются с помощью контурных интегралов лишь по симметричной части
границ областей Gs, гидродинамические коэффициенты уравнений движения системы в
плоскости Oyz будут иметь вид
λn2 =
∫
Σ
y
∂ϕn2
∂z
dS = − 4
µ2
k
N0∑
m=1
y(k)
m β(k)
m
( I0∑
i=1
a
(m,k)
i
x0∫
0
W
(k,1)
i (x, h1)dx
)
,
µn2 =
∫
Σ
ϕn2
∂ϕn2
∂z
dS = l
[ N0∑
m=1
(
y(k)
m
)2
N (k)
m −
P0∑
p=1
N0∑
m=1
x(k)
p y(k)
m β(k)
mp
]
,
λ0n1 =
∫
Σ
Ω1
∂ϕn2
∂z
dS = −h1λn2 −
8
µ2
k
N0∑
m=1
y(k)
m D(k)
m ,
(4.21)
D(k)
m = β(k)
m
I0∑
i=1
I0∑
j=1
b
(k,1)
i a
(m,k)
j b
(k)
ij −
P0∑
p=1
z(k)
p β(k)
mp,
I11 =
∫
S∪Σ
Ω1
∂Ω1
∂ν
dS =
∑
k=1,3,5,...
64
lµ4
k
[
I
(1)
k + I
(2)
k − 2
P0∑
p=1
z(k)
p γ(k)
p +
+
P0∑
p=1
P0∑
q=1
z(k)
p z(k)
q α(k)
pq
]
+ 2
∫
G
[
lz2 − 1
4
l3
]
dG,
I
(1)
k =
I0∑
i=1
b
(k,1)
i c
(k,1)
i , I
(2)
k =
I0∑
i=1
b
(k,2)
i c
(k,2)
i .
Таким образом, вычисление коэффициентов (4.21) сводится к решению однородных
и неоднородных алгебраических систем, а также к вычислению контурных интегралов
при формировании их элементов.
5. Некоторые результаты расчетов. Для оценки эффективности предложенных ко-
ординатных функций (3.20) приведем результаты расчета безразмерных гидродинами-
ческих коэффициентов (1.4) для случая цилиндрической полости с круговой направляю-
щей без перегородок. Выбирая в качестве характерного линейного размера радиус по-
перечного сечения полости, полагаем, что безразмерная длина полости равна 2. Начало
системы координат Oxyz свяжем с нижней точкой пересечения оси Oz с образующей
полости. Сходимость первых трех частот продольных колебаний жидкости и коэффици-
ентов уравнений для основного тона колебаний (m = 1, k = 1) в зависимости от числа
троек N координатных функций в разложениях для искомых решений при двух уровнях
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 423
заполнения жидкостью полости h приведена в табл. 1. При этом в сумме по индексу k в
разложениях (1.9) для функции Ω1(x, y, z) удерживалось шесть членов.
Таблица 1
N χ11 χ21 χ31 m12 c11 I11
h = 0, 5
1 0, 76062 5, 83773 — 0, 86191 0, 11076 0, 46546
2 0, 76033 3, 22260 13, 4802 0, 86082 0, 11089 0, 46616
3 0, 76032 3, 21532 6, 87639 0, 86077 0, 11089 0, 46617
4 0, 76032 3, 21435 6, 85763 0, 86077 0, 11089 0, 46618
5 0, 76032 3, 21412 6, 85344 0, 86077 0, 11089 0, 46617
6 0, 76032 3, 21404 6, 85206 0, 86077 0, 11089 0, 46617
7 0, 76032 3, 21401 6, 85150 0, 86077 0, 11089 0, 46617
8 0, 76032 3, 21400 6, 85112 0, 86077 0, 11089 0, 46617
9 0, 76032 3, 21399 6, 85111 0, 86077 0, 11089 0, 46617
h = 1, 5
4 1, 63564 4, 17934 7, 72961 1, 85533 0, 49988 4, 12019
5 1, 63548 4, 17233 7, 66774 1, 85520 0, 49986 4, 12020
6 1, 63541 4, 16977 7, 65010 1, 85520 0, 49986 4, 12021
7 1, 63538 4, 16874 7, 64388 1, 85520 0, 49985 4, 12021
8 1, 63537 4, 16831 7, 64152 1, 85520 0, 49985 4, 12022
9 1, 63537 4, 16812 7, 64061 1, 85520 0, 49985 4, 12022
Как видно из результатов, приведенных в табл. 1, увеличение глубины жидкости со-
провождается замедлением сходимости в частотах и коэффициентах m12 и c11, тогда как
скорость сходимости для коэффициента I11 при этом практически не меняется. В целом
же можно сделать вывод, что предложенные системы координатных функций позволяют
достаточно эффективно решать однородные и неоднородные краевые задачи для урав-
нения Гельмгольца на основе их эквивалентных вариационных формулировок. Анало-
гичная сходимость для коэффициентов уравнений наблюдается и при движении полости
в поперечной плоскости ее симметрии.
Влияние количества членов m в сумме (1.9) по индексу k на точность вычисления
момента инерции I11 для разных значений параметра h видно из табл. 2. При этом коли-
чество координатных функций N в разложениях Трефтца полагалось равным 7.
Таблица 2
m
h 1 2 3 4 5 6 7
0, 5 0, 44932 0, 46432 0, 46517 0, 46606 0, 46615 0, 46618 0, 46618
1, 0 1, 66456 1, 68827 1, 69019 1, 69055 1, 69065 1, 69067 1, 69067
1, 5 4, 09292 4, 71789 4, 11980 4, 12012 4, 12019 4, 12021 4, 12021
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
424 В. А. ТРОЦЕНКО
Результаты, приведенные в табл. 2, свидетельствуют о быстрой сходимости рядов по
индексу k при вычислении коэффициента I11.
В пределах принятой точности вычислений полученные результаты расчета динами-
ческих характеристик жидкости для ее основного тона колебаний полностью совпадают
с результатами работы [15], где краевые задачи решались вариационным методом в их
пространственной постановке с использованием шаровых гармонических координатных
функций. Совпадение результатов расчета частотных параметров жидкости наблюда-
ется и с данными работы [18], где приближенное решение спектральной задачи для дву-
мерного уравнения Гельмгольца построено с помощью специальных координатных фун-
кций, удовлетворяющих исходному уравнению.
Приведем некоторые результаты расчетов гидродинамических коэффициентов для
полости в форме прямоугольного параллелепипеда с перегородками при движении ее в
поперечной плоскостиOxz. Обозначим через h1 высоту подобластиG1, а через h2 высоту
подобласти G2. В качестве характерного линейного размера выберем половину ширины
параллелепипеда. Пусть полость имеет следующие безразмерные геометрические пара-
метры: h2 = 0, 5; l = 2. Влияние параметра P0 в разложениях (2.3) и (2.10) на точность
вычисления коэффициентов уравнений движения рассматриваемой механической систе-
мы (1.4) для первого тона колебаний жидкости отражено в табл. 3.
Таблица 3
h1 = 0, 1 h1 = 0, 5
P0 χ10 m11 c12 I22 χ10 m11 c12 I22
1 0,85689 1,12851 0,38090 0,75635 1,35748 1,78847 0,26254 0,92230
2 0,85789 1,13328 0,38287 0,75535 1,36090 1,79421 0,26204 0,92223
3 0,85798 1,13343 0,38290 0,75534 1,36090 1,79421 0,26204 0,92222
4 0,85798 1,13344 0,38290 0,75534 1,36090 1,79421 0,26204 0,92222
Результаты приведены для a = 0, 7. Быстрая сходимость динамических характерис-
тик жидкости в зависимости от количества членов в разложениях для нормальной про-
изводной от искомых решений на линии сопряжения подобластей G1 и G2 объясняется,
в первую очередь, тем обстоятельством, что при построении приближенных решений
учитывались их особенности на кромках перегородок. Этот факт существенно повысил
эффективность предлагаемого алгоритма решения рассматриваемых граничных задач.
Зависимость гидродинамических коэффициентов уравнений от высоты жидкости над
перегородками показана на рис. 2 – 5, где каждая кривая соответствует определенной ши-
рине перегородок (d = 1− a).
Как видно из приведенных графиков, влияние перегородок на динамику жидкости
особенно существенно, когда они расположены вблизи ее свободной поверхности. Все
динамические характеристики жидкости заключены между соответствующими характе-
ристиками для полости без перегородок и для полости со сплошной перегородкой в месте
расположения конструктивных устройств.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 425
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
426 В. А. ТРОЦЕНКО
Заключение. В работе построены приближенные решения однородных и неоднород-
ных граничных задач теории возмущенного движения твердого тела с полостью в форме
горизонтально расположенного цилиндра с произвольным симметричным относительно
вертикальной оси сечением, которая частично заполнена идеальной и несжимаемой жид-
костью и содержит продольные ребра-перегородки. Построение решений основано на
сведении пространственных краевых задач для волновых функций и потенциалов Сток-
са – Жуковского к двумерным однородным и неоднородным краевым задачам для урав-
нения Гельмгольца в области поперечного сечения полости. На основе метода декомпо-
зиции области, позволяющего учитывать сингулярности в искомых решениях на кромках
перегородок, сформулированы вспомогательные краевые задачи в подобластях, для ре-
шения которых применяется вариационный метод.
Для вспомогательных краевых задач с разрывными граничными условиями постро-
ены регуляризирующие функции, которые точно удовлетворяют уравнению Гельмголь-
ца, имеют замкнутый аналитический вид и подчиняются заданным разрывным гранич-
ным условиям на части границы области. Предложены новые системы координатных
функций, позволяющие достаточно эффективно решать двумерные краевые задачи для
уравнения Гельмгольца на основе метода Трефтца. Разработана схема расчета гидроди-
намических коэффициентов уравнений возмущенного движения твердого тела с рассма-
триваемой полостью. На основе предложенных алгоритмов приведены некоторые ре-
зультаты расчетов частот и присоединенных масс жидкости для конкретных полостей.
1. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. — М.: Машинострое-
ние, 1978. — 248 с.
2. Докучаев Л.В. О присоединенном моменте инерции жидкости в цилиндре с перегородками, враща-
ющемся около продольной оси // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. — 1964. — № 2. —
С. 168 – 171.
3. Ермаков В.И., Моисеев Г.А., Шершенев В.Г. О возмущенном движении тела, содержащего цилиндри-
ческую полость с ребрами // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1970. — № 2. — С. 52 – 61.
4. Морозов В.Н. Применение разностного метода к решению краевых задач теории возмущенного дви-
жения твердого тела с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью. — Новосибирск:
Новосиб. электротехн. ин-т, 1974. — С. 161 – 165.
5. Троценко В.А. О возмущенном движении тела, содержащего полость с упругой кольцевой пластин-
кой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. — № 4. — С. 78 – 88.
6. Bauer H.F. Zur Belastung Trägheitsmoment Erhöhung und Schwappmassen Reduction durch Dämpfungs-
ringe in Treibstofftank // Raumfahrforschung. — 1967. — 11, H 4. — S. 163 – 171.
7. Рабинович Б.И. О влиянии внутренних ребер на динамические характеристики жидкости в подви-
жных контейнерах // Прикл. механика. — 1970. — 4, вып. 8. — С. 103 – 111.
8. Шетухин В.Л. Колебания жидкости в осесимметричных сосудах с кольцевыми ребрами // Прикл. ме-
ханика. — 1975. — 11, вып. 8. — С. 89 – 95.
9. Микишев Г.Н., Чурилов Г.А. Некоторые результаты экспериментального определения гидродинами-
ческих коэффициентов для цилиндра с ребрами // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействую-
щих с жидкостью. — Томск: Том. ун-т, 1977. — С. 31 – 37.
10. Богоряд И.Б. Колебания вязкой жидкости в полости твердого тела. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.
— 134 с.
11. Бужинский В.А. Вихревое сопротивление пластинки при колебаниях в маловязкой жидкости // Прикл.
математика и механика. — 1990. — 54, вып. 2. — С. 233 – 238.
12. Бужинский В.А. Колебания жидкости в резервуарах, содержащих конструктивные элементы с остры-
ми кромками // Докл. РАН. — 1998. — 363, № 1. — С. 53 – 55.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ В ГОРОИЗОНТАЛЬНЫХ . . . 427
13. Богомаз Г.И., Сирота С.А. Колебания жидкости в баках. — Днепропетровск: Ин-т техн. механики
НАН Украины, 2002. — 306 с.
14. Галицын Д.А., Троценко В.А. Определение частот и присоединенных масс жидкости в подвижной по-
лости в форме прямоугольного паралеллепипеда с перегородками // Изв. РАН. Механика твердого
тела. — 2001. — № 2. — С. 175 – 191.
15. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики огра-
ниченного объема жидкости. — Киев: Наук. думка, 1984. — 230 с.
16. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упруго-
сти. — М.: Наука, 1974. — 456 с.
17. Петров А.А. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей // Вари-
ационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. — М.: ВЦ АН СССР, 1962. —
С. 181 – 201.
18. Барняк М.Я. Приближенные методы решения задач динамики жидкости в горизонтальных и верти-
кальных цилиндрических полостях // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидко-
стью. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981. — С. 205 – 211.
19. Комаренко А.Н. Расчет динамических характеристик жидкости в горизонтально расположенном ци-
линдре // Аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем. — Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1982. — С. 26 – 36.
Получено 02.01.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
|