Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями
Встановлено умову сумiсностi для систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та обмеженнями i обґрунтувано застосування до таких задач iтерацiйного методу....
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176949 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 428-436. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176949 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769492021-02-10T01:26:20Z Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями Ферук, В.А. Встановлено умову сумiсностi для систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та обмеженнями i обґрунтувано застосування до таких задач iтерацiйного методу. We find consistency conditions for systems of nonlinear differential equations with delay and restrictions, and substantiate the use of an iteration method for solving such problems. 2003 Article Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 428-436. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176949 517.91/912 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Встановлено умову сумiсностi для систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням
та обмеженнями i обґрунтувано застосування до таких задач iтерацiйного методу. |
| format |
Article |
| author |
Ферук, В.А. |
| spellingShingle |
Ферук, В.А. Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ферук, В.А. |
| author_sort |
Ферук, В.А. |
| title |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| title_short |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| title_full |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| title_fullStr |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| title_sort |
ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176949 |
| citation_txt |
Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненнями та обмеженнями / В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 428-436. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ferukva íteracíjnijmetoddlâsistemnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmitaobmežennâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T14:54:11Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:54:11Z |
| _version_ |
1837725124633034752 |
| fulltext |
УДК 517.91/912
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ОБМЕЖЕННЯМИ
В. А. Ферук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We find consistency conditions for systems of nonlinear differential equations with delay and restrictions,
and substantiate the use of an iteration method for solving such problems.
Встановлено умову сумiсностi для систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням
та обмеженнями i обґрунтувано застосування до таких задач iтерацiйного методу.
Теорiї функцiонально-диференцiальних рiвнянь, що iнтенсивно розвивається останнi пiв-
столiття, присвячено чимало робiт (див., наприклад, [1 – 3]).
Одним iз сучасних напрямкiв дослiджень у її межах є встановлення умов сумiсностi
систем функцiонально-диференцiальних рiвнянь, розв’язки яких задовольняють додатко-
вi умови, та розробка наближених методiв побудови цих розв’язкiв [4, 5].
Дана робота є продовженням дослiджень, розпочатих у роботi [5]. Запропоновано iте-
рацiйний метод для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та обме-
женнями i наведено умову сумiсностi поставленої задачi.
1. Об’єкт дослiдження. Розглянемо початкову задачу для системи функцiонально-ди-
ференцiальних рiвнянь
d
dt
x(t) +A(t)x(t) +B(t)x(t−∆) = f(t, x(t), x(t−∆)), t ∈ [a, b], (1)
x(t) = ϕ(t), t ∈ [a−∆, a), x(a) = ϕ(a), (2)
в якiй A(t) та B(t) — неперервнi матрицi розмiрностi m ×m, ∆ > 0 — стале запiзнення,
вектор-функцiя f : [a, b] × Rm × Rm → R
m задає оператор f : D[a, b] → L2[a, b], ϕ ∈
∈ C[a−∆, a).
Зауважимо, що тут i надалi пiд просторами D[a, b] та L2[a, b] будемо розумiти просто-
ри вектор-функцiй, компоненти яких абсолютно неперервнi чи сумовнi з квадратом на
вiдрiзку [a, b] вiдповiдно.
Пiд розв’язком задачi (1), (2) розумiтимемо абсолютно неперервну вектор-функцiю
x ∈ W 1
2 [a, b], яка майже скрiзь задовольняє рiвняння (1) та умову (2).
Як вiдомо, за певних умов, накладених на праву частину системи (1), задача (1), (2)
має розв’язок, i до того ж єдиний. Однак ситуацiя суттєво змiнюється при наявностi до-
c© В. А. Ферук, 2003
428 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 429
даткових обмежень на вектор-функцiю x(t)
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (3)
де S(t) — матриця розмiрностi l×m iз сумовними з квадратом на вiдрiзку [a, b] елементами
i α ∈ Rl. Постає питання сумiсностi задачi (1) – (3).
Задачу (1) – (3) вважатимемо сумiсною, якщо iснує розв’язок x ∈ W 1
2 [a, b] початкової
задачi (1), (2), який задовольняє обмеження (3). Однак, так буває не завжди, i розгляду-
вана задача, взагалi кажучи, несумiсна.
У данiй роботi встановлюється умова сумiсностi задачi (1) – (3) та дається обґрунту-
вання застосування до неї iтерацiйного методу.
2. Допомiжна задача. Важливу роль у нашому подальшому дослiдженнi вiдiграватиме
задача
d
dt
x(t) +A(t)x(t) +B(t)x(t−∆) = v(t) + u(t), t ∈ [a, b], (4)
x(t) = ϕ(t), t ∈ [a−∆, a), x(a) = ϕ(a),
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (5)
u(t) = Φ(t)λ, (6)
у якiй Φ(t) — матриця розмiрностi m × l, елементи якої сумовнi з квадратом на вiдрiзку
[a, b], v ∈ L2[a, b].
Припущення 1. Вважатимемо матрицi A(t), B(t) та Φ(t) такими, що однорiдна за-
дача (4) – (6) (v(t) ≡ 0, ϕ(t) ≡ 0, α = 0) має лише тривiальний розв’язок.
Припущення 2. Вважатимемо, що b = a+N∆, тобто вiдрiзок [a, b] можна розбити
на N промiжкiв (τi, τi+1) з довжиною ∆, де τi = a+ (i− 1)∆, i = 1, N + 1.
За таких припущень, скориставшись методикою, описаною у роботi [5], задачу (4) –
(6) можна звести до системи звичайних диференцiальних рiвнянь з обмеженнями на де-
якому новому промiжку [0, T ].
Справдi, розглянемо систему (4) на кожному iнтервалi (τi, τi+1) i введемо замiну t =
= cs+ τi, в результатi чого будемо мати
1
c
d
ds
x(cs+ τi) +A(cs+ τi)x(cs+ τi) +B(cs+ τi)x(cs+ τi−1) =
= v(cs+ τi) + Φ(cs+ τi)λ, i = 1, N, s ∈ (0, T ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
430 В. А. ФЕРУК
Ввiвши тепер позначення
zi(s) = x(cs+ τi), z0(s) = ϕ(cs+ τ1),
Ai(s) = cA(cs+ τi), Bi(s) = cB(cs+ τi),
Φi(s) = cΦ(cs+ τi), Si(s) = cS(cs+ τi), i = 1, N,
yi(s) = cv(cs+ τi)−
{
B1(s)ϕ(cs+ τ1), i = 1;
0, i = 2, N,
та врахувавши умову (2) i умови, що вiдображають неперервнiсть вектор-функцiї x(t) на
[a, b],
z1(0) = ϕ(a), zi(T ) = zi+1(0), i = 1, N − 1,
отримаємо згадану вище систему диференцiальних рiвнянь з обмеженнями
dz
ds
+H(s)z = w(s) + y(s), s ∈ (0, T ), (7)
z(0) +Dz(T ) = γ,
T∫
0
U(s)z(s)ds = α, (8)
w(s) = W (s)λ. (9)
Тут матрицi H(s), W (s) та U(s) розмiрностi mN ×mN , mN × l та l×mN вiдповiдно, стала
матриця D розмiрностi mN ×mN i вектор γ ∈ RmN мають вигляд
H(s) =
A1(s) O · · · O O
B2(s) A2(s) · · · O O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O · · · BN (s) AN (s)
, y(s) =
y1(s)
y2(s)
· · ·
yN (s)
,
D =
O O · · · O O
−I O · · · O O
· · · · · · · · · · · · · · ·
O O · · · −I O
, γ =
ϕ(a)
0
· · ·
0
, W (s) =
Φ1(s)
Φ2(s)
· · ·
ΦN (s)
,
U(s) =
(
S1(s) S2(s) · · · SN (s)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 431
де I — одинична матриця iз Rm.
Вектор-функцiї x(t) та z(s) =
(
z1(s), z2(s), · · · zN (s)
)
, що є розв’язками задач
(4) – (6) та (7) – (9) вiдповiдно, пов’язанi мiж собою спiввiдношеннями
x(t) = zi(s), zi(s) = x(cs+ τi),
де t ∈ [τi, τi+1], i = 1, N , c = ∆/T , s ∈ [0, T ] i zi(T ) = zi+1(0), i = 1, N − 1.
Справедливим є таке твердження [5].
Лема. За припущень 1 та 2 iснують вектор-функцiї h(s), r(s) та матрицi G(s, ξ),
R(s, ξ) розмiрностi mN × mN такi, що єдиний розв’язок задачi (7) – (9) зображається
формулами
z(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ, w(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ, (10)
i справджуються рiвностi
T∫
0
G(s, ξ)W (ξ)dξ = O, W (s) +
T∫
0
R(s, ξ)W (ξ)dξ = O. (11)
Задачу (1) – (3) можна звести до деякої системи iнтегральних рiвнянь. Справдi, нехай
вектор-функцiя v(t) у системi (4) має вигляд
v(t) = f(t, x(t), x(t−∆)). (12)
Скориставшись знову методикою iз [5], вираз (12) можна записати у виглядi
y(s) = F (s, z(s)), (13)
де
F (s, z(s)) =
f1(s, z1(s), z0(s))
f2(s, z2(s), z1(s))
· · · · · · · · · · · · · · ·
fN (s, zN (s), zN−1(s))
,
i fi(s, zi(s), zi−1(s)) = cf(cs+ τi, x(cs+ τi), x(cs+ τi−1), i = 1, N , z0(s) = ϕ(cs+ τ1).
Пiдставивши перше iз спiввiдношень (10) у (13), отримаємо систему iнтегральних рiв-
нянь
y(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ
. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
432 В. А. ФЕРУК
Повторивши схему доведення теореми 1 iз [5], неважко переконатись у справедливо-
стi такого твердження.
Теорема 1. За припущень 1 та 2 задача (1) – (3) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли ви-
конується умова
r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)y(ξ)dξ = 0,
де y ∈ L2[0, T ] — розв’язок системи iнтегральних рiвнянь (14).
Систему (14) можна звести до системи iнтегральних рiвнянь, як це було показано у [5]
для лiнiйного випадку, на деякому пiдпросторi простору L2[0, T ].
Для цього введемо у розгляд оператор
(Πy)(s) :=
T∫
0
Π(s, ξ)y(ξ)dξ, (15)
де
Π(s, ξ) = W (s)∆−1W ∗(ξ), ∆ =
T∫
0
W ∗(s)W (s)ds, (16)
ортогонального проектування простору L2[0, T ] на його пiдпростiр, породжений лiнiйно
незалежними стовпцями матрицi W (s).
Введемо нову вектор-функцiю v̂(s) таким чином:
v̂(s) = y(s)−
T∫
0
Π(s, ξ)y(ξ)dξ. (17)
Вектор-функцiя v̂(s), як випливає з першої властивостi (11) та позначень (15), (16), задо-
вольняє спiввiдношення
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ =
T∫
0
G(s, ξ)v̂(ξ)dξ ∀y ∈ L2[0, T ]. (18)
Скориставшись властивiстю (18), рiвнiсть (14) можна записати у виглядi
y(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)v̂(ξ)dξ
. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 433
Пiдставивши (19) у (17), отримаємо систему iнтегральних рiвнянь
v̂(s) = (Lv̂)(s), (20)
де
(Lv̂)(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)v̂(ξ)dξ
−
−
T∫
0
Π(s, τ)F
τ, h(τ) +
T∫
0
G(τ, ξ)v̂(ξ)dξ
dτ. (21)
3. Iтерацiйний метод. Наведена у попередньому пунктi умова сумiсностi задачi (1) – (3)
дозволяє зробити висновок про iснування розв’язку згаданої вище задачi. Однак, вiдкри-
тим залишається питання вiдшукання цього розв’язку у явному виглядi.
У цьому аспектi актуальною є спроба обґрунтування застосування до задачi (1) – (3)
наближених методiв, зокрема таких, якi давали б змогу не лише знаходити наближенi
розв’язки задачi (1) – (3), а й робити висновки про її сумiснiсть. Одним iз таких методiв є
iтерацiйний метод, запропонований у [6] для iнтегральних рiвнянь з обмеженнями.
Суть його, стосовно задачi (1) – (3), є такою. Нехай наближення xk−1(t) вже побудо-
ване. Наступне наближення визначатимемо за формулами
vk(t) = f(t, xk−1(t), xk−1(t−∆)), (22)
d
dt
xk(t) +A(t)xk(t) +B(t)xk(t−∆) = vk(t) + uk(t), t ∈ [a, b], (23)
xk(t) = ϕ(t), t ∈ [a−∆, a), xk(a) = ϕ(a),
b∫
a
S(t)xk(t)dt = α, (24)
uk(t) = Φ(t)λk. (25)
Початкове наближення x0(t) визначатимемо iз задачi (23) – (25) при k = 0 i заданiй вектор-
функцiї v0 ∈ L2[a, b].
Метод (22) – (25) можна звести до методу послiдовних наближень для системи iнте-
гральних рiвнянь (20). Справдi, за припущенням 2 задачу (22) – (25) можна звести до зада-
чi
yk(s) = F (s, zk−1(s)), (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
434 В. А. ФЕРУК
d
ds
zk(s) +H(s)zk(s) = yk(s) + wk(s), s ∈ (0, T ), (27)
zk(0) +Dzk(T ) = γ,
T∫
0
U(s)zk(s)ds = α, (28)
wk(s) = W (s)λk. (29)
Врахувуючи також припущення 1, бачимо, що на пiдставi леми задача (27) – (29) має єди-
ний розв’язок
zk(s) = h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)yk(ξ)dξ, wk(s) = r(s) +
T∫
0
R(s, ξ)yk(ξ)dξ. (30)
Вiдмiтимо також, що розв’язки xk(t) задачi (23) – (25) та zk(s) =
(
zk1 (s), zk2 (s), · · ·
· · · zkN (s)
)
задачi (27) – (29) пов’язанi мiж собою спiввiдношеннями
xk(t) = zki (s), zki (s) = xk(cs+ τi),
де t ∈ [τi, τi+1], i = 1, N , c = ∆/T , s ∈ [0, T ] i zki (T ) = zki+1(0), i = 1, N − 1.
Пiдставивши перше iз спiввiдношень (30), попередньо замiнивши у ньому iндекс k на
k − 1, у (26), отримаємо iтерацiйний метод для системи iнтегральних рiвнянь (14):
yk(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)yk−1(ξ)dξ
, k = 1, 2, . . . . (31)
Метод (31), у свою чергу, можна звести до методу послiдовних наближень для системи
(20). Для цього потрiбно ввести вектор-функцiю
v̂k(s) = yk(s)−
T∫
0
Π(s, ξ)yk(ξ)dξ, (32)
з допомогою зображення якої та властивостi (18) отримаємо
yk(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)v̂k−1(ξ)dξ
, k = 1, 2, . . . . (33)
Пiдставивши (33) у (32), використавши позначення (21), отримаємо згаданий вище
метод послiдовних наближень для системи iнтегральних рiвнянь (20):
v̂k(s) = (Lv̂k−1)(s), k = 1, 2, . . . . (34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 435
Умови збiжностi методу (34) вiдомi [7]. Сформулюємо на їх основi вiдповiднi твер-
дження i для методу (22) – (25).
Припустимо, що для довiльної вектор-функцiї y ∈ L2[0, T ] справджується нерiвнiсть
T∫
0
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣
2
ds ≤ p2
c
T∫
0
|v̂(ξ)|2dξ,
де вектор-функцiя v̂(s) має вигляд (17), c = ∆/T i нелiнiйний оператор L, який визначає-
ться формулою (21), є неперервним i задовольняє умову Лiпшиця, тобто
‖Lv̂1 − Lv̂2‖ ≤ q‖v̂1 − v̂2‖. (35)
Теорема 2. Якщо задача (1) – (3) сумiсна i q < 1, то вона має єдиний розв’язок x∗ ∈
∈ W 1
2 [a, b], послiдовнiсть {xk(t), k ≥ 0} ⊂ W 1
2 [a, b], побудована за методом (22) – (25),
збiгається до цього розв’язку i справедливi оцiнки похибки
‖x∗ − xk‖ ≤ pqk‖v̂∗ − v̂0‖,
‖x∗ − xk‖ ≤
pqk−ν
1− q
‖v̂ν+1 − v̂ν‖, 0 ≤ ν ≤ k − 1,
де v̂∗(s) та v̂k(s) — точний та наближений, отриманий за методом (34), розв’язки сис-
теми iнтегральних рiвнянь (20).
Зауваження. Умова Лiпшиця (35) виконується, зокрема, якщо вектор-функцiя F (s, u),
s ∈ [0, T ], u ∈ RmN , задовольняє умову Каратеодорi i виконуються нерiвностi
|F (s, u)| ≤ a(s) = b|u|,
|F (s, u1)− F (s, u2)| ≤ δ(s)|u1 − u2|, (36)
T∫
0
δ(s)
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣
2
ds ≤ b
T∫
0
|y(ξ)|2dξ,
де a ∈ L2[0, T ], b = const, δ(s) — вiдома вектор-функцiя iз L2[0, T ].
За умов (36) нелiнiйний оператор
(F̂ y)(s) = F
s, h(s) +
T∫
0
G(s, ξ)y(ξ)dξ
переводить L2[0, T ] в себе, є цiлком неперервним i задовольняє умову Лiпшиця, тобто
‖F̂ y1 − F̂ y2‖ ≤ b‖y1 − y2‖ ∀y1, y2 ∈ L2[0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
436 В. А. ФЕРУК
Умова b < 1 також є достатньою для збiжностi методу (22) – (25), однак цiннiсть зве-
дення методу (22) – (25) до методу послiдовних наближень не для системи (14), а для си-
стеми (20), пiдкреслюється тим фактом, що, взагалi кажучи, q ≤ b .
1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука,
1972. — 352 с.
2. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 120 с.
3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
5. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Проекцiйно-iтеративний метод для систем диференцiальних рiвнянь iз запiз-
ненням та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 2. — C. 206 – 232.
6. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и сис-
темный анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
7. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
Одержано 10.06.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 3
|