Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах
Встановлено теореми про сукупну неперервнiсть нарiзно неперервних вiдображень, що заданi на добутках X1 × · · · × Xn+1 топологiчних просторiв, з яких X2, . . . , Xn задовольняють першу аксiому злiченностi, а Xn+1 або такий самий, або метризовний компакт, i набувають значень у цiлком регулярних про...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176951 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах / В.К. Маслюченко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 337-344. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176951 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769512021-02-10T01:25:53Z Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах Маслюченко, В.К. Встановлено теореми про сукупну неперервнiсть нарiзно неперервних вiдображень, що заданi на добутках X1 × · · · × Xn+1 топологiчних просторiв, з яких X2, . . . , Xn задовольняють першу аксiому злiченностi, а Xn+1 або такий самий, або метризовний компакт, i набувають значень у цiлком регулярних просторах Z, якi подаються у виглядi об’єднання зростаючої послiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв Zm, причому кожна збiжна в Z послiдовнiсть лежить у деякому дограничному просторi Zm. It is proved theorems on joint continuity of separately continuous mappings f: X1 ×· · ·×Xn+1 where X1 is topological space, X2, . . . , Xn are first countable, Xn+1 is first countable or metrizable compact and Z is completely regular space which is representable as a union of some increasing sequence of its closed metrizable subspaces Zm and each convergent sequence in Z is contained in some subspace Zm. 1999 Article Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах / В.К. Маслюченко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 337-344. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176951 517.51, 517.98 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Встановлено теореми про сукупну неперервнiсть нарiзно неперервних вiдображень, що заданi
на добутках X1 × · · · × Xn+1 топологiчних просторiв, з яких X2, . . . , Xn задовольняють першу аксiому злiченностi, а Xn+1 або такий самий, або метризовний компакт, i набувають
значень у цiлком регулярних просторах Z, якi подаються у виглядi об’єднання зростаючої послiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв Zm, причому кожна збiжна в Z послiдовнiсть лежить у деякому дограничному просторi Zm. |
| format |
Article |
| author |
Маслюченко, В.К. |
| spellingShingle |
Маслюченко, В.К. Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах Нелінійні коливання |
| author_facet |
Маслюченко, В.К. |
| author_sort |
Маслюченко, В.К. |
| title |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| title_short |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| title_full |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| title_fullStr |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| title_full_unstemmed |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| title_sort |
нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176951 |
| citation_txt |
Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями у σ-метризовних просторах / В.К. Маслюченко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 337-344. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT maslûčenkovk naríznoneperervnívídobražennâvídbagatʹohzmínnihzíznačennâmiusmetrizovnihprostorah |
| first_indexed |
2025-07-15T14:54:18Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:54:18Z |
| _version_ |
1837725132222627840 |
| fulltext |
т. 2 •№ 3 • 1999
УДК 517.51, 517.98
НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНI ВIДОБРАЖЕННЯ
ВIД БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ
У σσ-МЕТРИЗОВНИХ ПРОСТОРАХ
В.К. Маслюченко
Чернiвец. ун-т,
Україна, 274012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2
e-mail: osobchuk@math.chdu.cv.ua
It is proved theorems on joint continuity of separately continuous mappings f :X1×· · ·×Xn+1 whereX1
is topological space, X2, . . . , Xn are first countable, Xn+1 is first countable or metrizable compact and Z
is completely regular space which is representable as a union of some increasing sequence of its closed
metrizable subspaces Zm and each convergent sequence in Z is contained in some subspace Zm.
Встановлено теореми про сукупну неперервнiсть нарiзно неперервних вiдображень, що заданi
на добутках X1 × · · · × Xn+1 топологiчних просторiв, з яких X2, . . . , Xn задовольняють пер-
шу аксiому злiченностi, а Xn+1 або такий самий, або метризовний компакт, i набувають
значень у цiлком регулярних просторах Z, якi подаються у виглядi об’єднання зростаючої по-
слiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв Zm, причому кожна збiжна в Z послi-
довнiсть лежить у деякому дограничному просторi Zm.
1. Якщо не враховувати приклад Гофмана−Йоргенсена [1] нарiзно неперервного i скрiзь
розривного вiдображення квадрата [−1, 1]2 у тихоновський куб [−1, 1][−1,1]2 , то можна вва-
жати, що вивчення множини C(f) точок сукупної неперервностi нарiзно неперервних
вiдображень f зi значеннями в неметризовних хаусдорфових просторах було розпоча-
те в роботах [2, 3]. Там встановлено, що для просторiв берiвського X i топологiчного Y ,
який задовольняє першу аксiому злiченностi, кожне нарiзно неперервне вiдображення f :
X × Y → Z зi значеннями у просторi Z, що є строгою iндуктивною границею зростаючої
послiдовностi метризовних локально опуклих просторiвZm, якi замкненi вZ, на будь-якiй
горизонталi X × {y} буде мати скрiзь щiльну множину точок сукупної неперервностi. В
[4] показано, що коли до того ж Y є метризовним компактом, то iснує така скрiзь щiль-
на в X множина A, що A × Y ⊆ C(f). Основним iнструментом при цьому була теорема
Дьєдонне−Шварца [5; 6, c. 78], яка гарантує, що кожна обмежена множина в iндуктивнiй
границi Z розглянутого типу обов’язково лежить у деякому дограничному просторi Zm
i обмежена в ньому. Насправдi досить було слабшої властивостi, яка полягає в тому, що
множина точок кожної збiжної в Z послiдовностi мiститься у деякому Zm, i рiвносиль-
на умовi, що будь-яка обмежена в Z множина лежить у деякому Zm, але не обов’язково
обмежена в ньому. Цю останню властивiсть будуть мати будь-якi iндуктивнi границi Z
зростаючих послiдовностей локально опуклих просторiв Zm, якi є замкненими в Z, а се-
ред них є й такi, що не мають властивостi Дьєдонне −Шварца [7]. Це створило iлюзiю,
що доведення сформульованих вище теорем про нарiзно неперервнi вiдображення спра-
ведливi i для довiльних iндуктивних границь Z зростаючих послiдовностей метризовних
c© В.К. Маслюченко, 1999 337
локально опуклих i замкнених в Z просторiв, i саме для таких iндуктивних границь була
сформульована вiдповiдна теорема в [3]. Але оскiльки при доведеннi цiєї теореми в [3]
використовується те, що топологiя простору Zm збiгається з топологiєю Zm як пiдпро-
стору Z, то воно справедливе лише для строгих iндуктивних границь, i тому питання про
справедливiсть наведених теорем у вказанiй загальнiшiй ситуацiї залишається вiдкритим,
адже в цьому випадку топологiя в Zm може бути строго сильнiшою вiд iндукованої то-
пологiї. Зауважимо, що властивiсть Дьєдонне − Шварца i її послаблення вивчались i в
подальших роботах [8 10].
У роботi [11] у зв’язку з дослiдженням питання про берiвську класифiкацiю нарiз-
но неперервних функцiй f : X × Y → R було введено клас σ-метризовних просторiв,
тобто таких топологiчних просторiв Z, якi подаються у виглядi об’єднання зростаючої
послiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв Zm. В цей клас входять не ли-
ше строгi iндуктивнi границi зростаючих послiдовностей метризовних локально опуклих
просторiв, а й хаусдорфовi локально опуклi простори, надiленi своєю слабкою тополо-
гiєю, якщо тiльки спряженi з ними простори сепарабельнi i метризовнi вiдносно сильної
топологiї. Пiсля цього виникло природне бажання перенести згаданi вище теореми з [3,
4] на вiдображення зi значеннями у σ-метризовних просторах. Застосований там метод
спонукав до певного пiдсилення поняття σ-метризовностi i воно невдовзi з’явилося в [12]
пiд назвою сильна σ-метризовнiсть, яка вимагає для топологiчного простору Z наяв-
ностi такого вичерпування зростаючою послiдовнiстю замкнених метризовних пiдпро-
стрiв Zm, що множина точок кожної збiжної в Z послiдовностi обов’язково мiститься в
деякому дограничному просторi Zm. З’ясувалося, що вказанi вище два основнi класи σ-
метризовних локально опуклих просторiв входять i в цей вужчий клас i на вiдображення
зi значеннями у сильно σ-метризовних просторах переносяться результати з [3, 4]. Тим
самим було виконано побажання М. М. Зарiчного i А. М. Плiчка, висловлене ними пiсля
доповiдi автора на семiнарi В. Е. Лянце у Львовi в 1990 р.
Натхненний своїми недавнiми успiхами у розв’язаннi задачi Дiнi для нарiзно неперерв-
них функцiй багатьох змiнних, якi заданi на добутках просторiв, що задовольняють певнi
умови злiченностi, i набувають значень у метризовних просторах [13], автор поставив собi
за мету досягти хоча б деякої завершеностi i для вiдображень зi значеннями у сильно σ-
метризовних просторах, розглянувши замiсть двох випадок багатьох змiнних. Виявилося,
що це можливо зробити по сутi тими ж методами, в яких основну роль вiдiграють понят-
тя квазiнеперервностi i теорема Банаха про категорiю, i саме така робота здiйснюється в
даному дослiдженнi. Зауважимо, що при цьому i теореми для двох змiнних подаються тут
у кращiй, нiж в [12], редакцiї, яка зумовлена пильнiшим аналiзом їх доведення. В цьому
є частка працi i В. В. Михайлюка, якому автор щиро вдячний за участь у обговореннях
i кориснi зауваження. Автор дякує також О. В. Собчуковi за цiкавi доповнення i велику
допомогу в оформленнi роботи.
2. Нагадаємо, що вiдображення f : X → Y називається квазiнеперервним, якщо для
кожної точки x ∈ X i для будь-яких околiв U i V точок x i f(x) у просторах X i Y вiдпо-
вiдно iснує така вiдкрита непорожня множина G в X , що G ⊆ U i f(G) ⊆ V . Нескладно
перевiрити [14], що вiдображення f : X → Y буде квазiнеперервним тодi i тiльки тодi,
коли f(G) ⊆ f(A) для кожної вiдкритої в X множини G i кожної щiльної в G множини A.
Наступне твердження дозволяє зводити дослiдження вiдображень на квазiнеперервнiсть
до дiйснозначного випадку.
338 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Теорема 1. Якщо Y цiлком регулярний простiр, то для довiльного топологiчного
простору X вiдображення f : X → Y буде квазiнеперервним тодi i лише тодi, коли для
кожної неперервної функцiї ϕ: Y → R функцiя g = ϕ ◦ f : X → R є квазiнеперервною.
Доведення. Оскiльки композицiя неперервного i квазiнеперервного вiдображень є
квазiнеперервною, то необхiднiсть вказаної умови зрозумiла. Для доведення достат-
ностi припустимо, що f не є квазiнеперервним. Тодi iснує точка x0 ∈ X , окiл V точки
y0 = f(x0) у просторi Y i вiдкритий окiл U точки x0 у просторi X такi, що множина
A = U ∩ f−1(Y \ V ) щiльна в U . Побудуємо неперервну функцiю ϕ : Y → R, для якої
ϕ(y0) = 1 i ϕ(y) = 0 на Y \ V , i розглянемо функцiю g = ϕ ◦ f . Оскiльки g(x0) = ϕ(y0) = 1,
g(x) = 0 для кожного x ∈ A i множина A щiльна в U , то функцiя g : X → R не є квазiне-
перервною.
3. Через P (X,Y ) позначимо сукупнiсть всiх вiдображень f : X → Y , що мають вла-
стивiсть P . Для вiдображення f : X × Y → Z, точки (x, y) ∈ X × Y i деяких властивостей
P i Q вiдображень ми покладаємо
fy(x) = fx(y) = f (x, y) ,
XQ(f) = {x ∈ X : fx ∈ Q (Y, Z)}
i
YP (f) = {y ∈ Y : fy ∈ P (X,Z)} .
Через PQ(X × Y, Z) позначається сукупнiсть вiдображень f : X × Y → Z, для яких
XQ(f) = X i YP (f) = Y . Для топологiчного простору Y символом PQ(X × Y, Z) по-
значається сукупнiсть вiдображень f : X × Y → Z, для яких XQ(f) = X i YP (f) = Y . Як
звичайно, лiтерою C ми позначаємо властивiсть неперервностi, а лiтерою K власти-
вiсть квазiнеперервностi. Для нас важливу роль буде вiдiгравати сукупнiстьKC(X×Y, Z)
вiдображень f : X × Y → Z, якi квазiнеперервнi вiдносно першої змiнної для всiх y з де-
якої скрiзь щiльної в Y множини B = YK(f) i неперервнi вiдносно другої змiнної для всiх
x ∈ X . Символом C(f) ми позначаємо множину точок неперервностi вiдображення, а
через D(f) множину його точок розриву. Для вiдображення f , заданого на добутку
топологiчних просторiв X i Y , яке набуває значень у топологiчному просторi Z, непе-
рервнiсть завжди означатиме його сукупну неперервнiсть, тобто неперервнiсть вiдносно
топологiї добутку на X × Y . Те ж саме стосується i квазiнеперервностi. Крiм того, для
таких вiдображень f i точки y ∈ Y ми покладаємо
Cy(f) = {x ∈ X : (x, y) ∈ C (f)} ,
Dy(f) = {x ∈ X : (x, y) ∈ D (f)} ,
CY (f) = {x ∈ X : {x} × Y ⊆ C (f)}
i
DY (f) = pX(D(f)) ,
де pX проекцiя добутку X × Y на X . Зрозумiло, що
X = Cy(f) ∪Dy(f) = CY (f) ∪DY (f) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 339
Ми будемо використовувати такий результат [15, 16, 12].
Теорема 2. Нехай X i Y топологiчнi простори, Z метризовний топологiчний
простiр i f ∈ KC(X × Y, Z). Тодi:
1) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то множина Cy(f) залишкова в
X для кожного y ∈ Y ;
2) якщо Y задовольняє другу аксiому злiченностi, то множинаCY (f) залишкова вX .
4. Нагадаємо ще раз, що топологiчний простiр Z називається сильно σ-метризовним
[12], якщо його можна подати у виглядi об’єднання зростаючої послiдовностi замкне-
них метризовних пiдпросторiв Zm так, що для кожної збiжної в Z послiдовностi (zk)∞k=1
iснує такий номер m, що {zk : k ∈ N} ⊆ Zm. Таку послiдовнiсть пiдпросторiв Zm назве-
мо вичерпуванням простору Z. Наступне твердження нескладно виводиться з означення
сильної σ-метризовностi (див. [12]).
Теорема 3. Якщо Y топологiчний простiр, що задовольняє першу аксiому злiчен-
ностi, Z сильно σ-метризовний простiр з вичерпуванням (Zm) i g : Y → Z непе-
рервне вiдображення, то для кожної точки y ∈ Y iснують її окiл V в Y i номер m такi,
що g(V ) ⊆ Zm. Якщо до того ж Y компактний, то iснує таке m, що g(Y ) ⊆ Zm.
5. Займемося тепер перенесенням теореми 2 на вiдображення зi значеннями у сильно
σ-метризовних просторах.
Теорема 4. Нехай X i Y топологiчнi простори, Z сильно σ-метризовний про-
стiр i f ∈ KC(X × Y, Z). Тодi:
1) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то множина Cy(f) залишкова в
X для кожного y ∈ Y ;
2) якщо Y метризовний компакт, то множина CY (f) залишкова в X .
Доведення. На основi теореми Банаха про категорiю [17, с. 87 90] вiзьмемо в просто-
рi X залишкову i вiдкриту пiдмножину T , яка буде берiвським простором в iндукованiй
топологiї, i покладемо g = f |T×Y . Зрозумiло, що g ∈ KC(T×Y, Z) iC(g) = C(f)∩(T×Y ).
Досить довести вiдповiднi твердження для g, звiдки вiдразу буде випливати їх справедли-
вiсть i для f . Тому ми можемо вважати, що простiр X берiвський.
1. Нехай y0 ∈ Y i {Vk : k ∈ N} база вiдкритих околiв точки y0 в Y така, що Vk ⊇ Vk+1
для кожного k ∈ N, i (Zm) деяке вичерпування сильно σ-метризовного простору Z.
Покладемо
An = {x ∈ X : fx(Vn) ⊆ Zn}
i покажемо, що
∞
∪
n=1
An = X . Справдi, якщо x ∈ X , то на основi теореми 3 iснує окiл
V точки y0 i число m ∈ N такi, що fx(V ) ⊆ Zm. Вiзьмемо таке k ∈ N, що Vk ⊆ V , i
покладемо n = max{k,m}. Тодi Vn ⊆ Vk i Zm ⊆ Zn, отже, fx(Vn) ⊆ Zn, тобто x ∈ An.
Для замкнених множин Fn = An ми, звичайно, також будемо матиX =
∞
∪
n=1
Fn. Оскiль-
ки X берiвський, то вiдкрита множина G =
∞
∪
n=1
Un, де Un = intFn, буде скрiзь щiльною в
X , а її доповнення F = X \G замкненим i нiде не щiльним в X .
Покажемо, що f(Un × Vn) ⊆ Zn. Нехай B = YK(f) i Bn = B ∩ Vn. Оскiльки за умовою
множина B скрiзь щiльна в Y , а за побудовою множина Vn вiдкрита, то Vn ⊆ Bn. Крiм
340 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
того,Un ⊆ Fn = An. Вiзьмемо y зBn. Оскiльки вiдображення fy :X → Z квазiнеперервне,
fy(An) ⊆ Zn i множина Zn замкнена в Z, то
fy (Un) ⊆ fy (An) ⊆ Zn = Zn ,
отже, fy (Un) ⊆ Zn i, таким чином, f (Un × Bn) ⊆ Zn. Вiзьмемо тепер x з Un. Оскiльки
вiдображення fx : Y → Z неперервне i fx(Bn) ⊆ Zn, то
fx(Vn) ⊆ fx(Bn) ⊆ fx(Bn) ⊆ Zn = Zn ,
звiдки fx(Vn) ⊆ Zn, отже, f(Un × Vn) ⊆ Zn.
Покладемо gn = f |Un×Vn . На основi доведеного gn можна розглядати як вiдображення
з Un × Vn в Zn. Надiлимо множини Un, Vn i Zn iндукованими топологiями. Зрозумiло,
що простiр Vn задовольняє першу аксiому злiченностi, Zn метризовний i gn ∈ KC(Un ×
×Vn, Zn). Тодi, згiдно з теоремою 2, множина Cy0(gn) буде залишковою в Un, а множина
Dy0(gn) = Un \ Cy0(gn) першої категорiї в Un, а значить, i в X . Оскiльки множини Un i
Vn вiдкритi, то
Dy0(f) =
( ∞
∪
n=1
Dy0(gn)
)
∪
(
Dy0(f) ∩ F
)
,
звiдки випливає, що Dy0(f) першої категорiї, а Cy0(f) залишкова в X .
2. Покладемо
An =
{
x ∈ X : fx(Y ) ⊆ Zn
}
, Fn = An ,
Un = intFn , G =
∞
∪
n=1
Un , F = X \G .
Як i ранiше, на основi теореми 3 i беровостi X одержимо X =
∞
∪
n=1
An =
∞
∪
n=1
Fn, G
вiдкрита скрiзь щiльна i F замкнена нiде не щiльна множини вX . Покажемо, що f(Un×
×Y ) ⊆ Zn. Для y ∈ B = YK(f) вiдображення fy квазiнеперервне, Un ⊆ An i fy(An) ⊆ Zn,
отже,
fy(Un) ⊆ fy(An) ⊆ Zn = Zn , тобто f (Un ×B) ⊆ Zn .
Далi за умовою B = Y i вiдображення fx неперервнi для кожного x, тому при x ∈ Un
будемо мати
fx (Y ) = fx (B) ⊆ fx(B) ⊆ Zn = Zn ,
звiдки одержуємо f(Un × Y ) ⊆ Zn.
Нехай gn = f |Un×Y . Тодi gn можна розглядати як вiдображення зi значеннями в Zn,
i якщо Un i Zn надiлити iндукованими топологiями, то gn ∈ KC(Un × Y, Zn). Оскiльки
метризовний компакт задовольняє другу аксiому злiченностi, то, згiдно з теоремою 2,
множина CY (gn) буде залишковою в Un, а множина DY (gn) = Un \ CY (gn) першої
категорiї в Un, а значить, i в X . Оскiльки
DY (f) =
( ∞
∪
n=1
DY (gn)
)
∪
(
DY (f) ∩ F
)
,
то i множина DY (f) буде першої категорiї в X , а множина CY (f) залишковою в X .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 341
6. Щоб перейти до випадку багатьох змiнних, нам буде потрiбна ще одна теорема про
квазiнеперервнiсть вiдображень з класу KC. Будемо говорити, що вiдображення f : X ×
×Y → Z має властивiсть Бера, якщо для кожного y ∈ Y множина Cy(f) скрiзь щiль-
на в X .
Теорема 5. Нехай X , Y i Z топологiчнi простори i f ∈ KC(X × Y, Z). Тодi:
1) якщо f має властивiсть Бера i Z цiлком регулярний, то f квазiнеперервне;
2) якщо X берiвський, Y задовольняє першу аксiому злiченностi i Z сильно σ-
метризовний, то f має властивiсть Бера;
якщо до того ж Z цiлком регулярний, то f квазiнеперервне.
Доведення. 1. На основi теореми 1 твердження досить встановити при Z = R. Нехай
p0 = (x0, y0) ∈ X × Y , W = U × V вiдкритий окiл точки p0 в X × Y i ε > 0. Оскiльки
fx0 неперервне, то iснує такий окiл V0 точки y0 в Y , що коливання ωfx0 (V0) <
ε
3
i V0 ⊆ V .
Вiзьмемо точку y1 ∈ YK(f) ∩ V0, iснування якої випливає з рiвностi YK(f) = Y . На основi
квазiнеперервностi fy1 знайдемо вiдкриту непорожню множину G в X таку, що G ⊆ U i
коливання ωfy1 ,x0(G) <
ε
3
. Але f має властивiсть Бера, отже, iснує така точка x1 ∈ G, що
p1 = (x1, y1) ∈ C(f). Скориставшись неперервнiстю функцiї f в точцi p1, знайдемо такий
її окiл в добуткуW1 = U1×V1, щоW1 ⊆W i ωf,p1(W1) <
ε
3
. В такому разi для точок p ∈W1
будемо мати
|f(p)− f(p0)| ≤ |f(p)− f(p1)|+ |f(p1)− fy1(x0)|+ |fx0(y1)− fx0(y0)| < ε ,
що i дає нам квазiнеперервнiсть f .
2. На основi теореми 4 множини Cy(f) для кожного y ∈ Y будуть залишковими в X , а
значить, i скрiзь щiльними в X , оскiльки X берiвський.
3. Оскiльки за доведеним вже твердженням 2 вiдображення f має властивiсть Бера,
то за твердженням 1 воно буде квазiнеперервним.
7. Перейдемо тепер до доведення основного результату.
Теорема 6. Нехай Xk, k = 1, . . . , n + 1, i Z топологiчнi простори, причому Xk при
2 ≤ k ≤ n задовольняють першу аксiому злiченностi i Z цiлком регулярний i сильно
σ-метризовний, Ek скрiзь щiльнi в Xk при k = 2, . . . , n + 1 множини i f : X1 × · · ·
· · · × Xn+1 → Z вiдображення, яке квазiнеперервне вiдносно першої змiнної на
множинi X1 × E2 × · · · × En+1 i неперервне вiдносно k-ї змiнної на множинi X1 × · · ·
· · · × Xk × Ek+1 × · · · × En+1, X = X1 × · · · × Xn топологiчний добуток перших n
просторiв Xk i Y = Xn+1. Тодi:
1) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то для кожного y ∈ Y множина
Cy(f) =
{
x = (x1, . . . , xn) ∈ X : (x1, . . . , xn, y) ∈ C(f)
}
є залишковою у просторi X ;
2) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi i добуток X берiвський, то f ква-
зiнеперервне;
342 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
3) якщо Y метризовний компакт, то множина
CY (f) = {x ∈ X : {x} × Y ⊆ C(f)}
є залишковою в X .
Доведення. Твердження 1 та 2 доведемо iндукцiєю вiдносно n. При n = 1 вони ви-
пливають з теорем 4 i 5. Припустимо, що n ≥ 2 i твердження 1 та 2 вiрнi, коли число
просторiв дорiвнює n. Коли ж число просторiв дорiвнює n + 1 (як у формулюваннi те-
ореми), то ми розглянемо f як вiдображення з X × Y в Z, виберемо на основi теореми
Банаха про категорiю залишковий i вiдкритий в X берiвський пiдпростiр T i розглянемо
звуження g = f |T×Y . Покажемо, що g ∈ KC(T × Y, Z). Нехай
p0 = (x0, y0) ∈ T × Y ,
де
x0 = (x0
1, . . . , x
0
n) ∈ T , а y0 ∈ B = En+1.
Iснують такi вiдкритi околи Ui точок x0
i в Xi, що їх добуток U мiститься в T . Оскiльки T
берiвський, то i U буде берiвським в iндукованiй топологiї, звiдки випливає, що i добуток
U1 × · · · × Un−1 буде берiвським. Використавши iндуктивне припущення для просторiв
U1, . . . , Un, Z i вiдображення h = gy0 |U , для якого в ролi множин Ei виступають множини
Ei ∩ Ui, одержимо, що h квазiнеперервне, звiдки буде випливати квазiнеперервнiсть gy0 в
точцi x0. Оскiльки за умовою B = Y , то g ∈ KC(T × Y, Z). Тепер за теоремою 4 множина
Cy(g) буде залишковою в T , а значить, i вX , для кожного y ∈ Y . Але Cy(f) ⊇ Cy(g), отже,
i Cy(f) буде залишковою в X для кожного y ∈ Y . Крiм того, за теоремою 5 вiдображення
f буде квазiнеперервним, якщо добуток X є берiвським.
Щоб довести твердження 3, зауважимо, що в цьому випадку знову g ∈ KC(T × Y, Z),
але квазiнеперервнiсть вiдображень gy : T → Z для кожного y ∈ B випливає вже не
з iндуктивного припущення, а з щойно встановленої властивостi 2, яку ми застосовуємо
до вiдображення h = gy|U . В такому разi з теореми 4 випливає, що для метризовного
компакта Y множина CY (g) буде залишковою в T , а значить, i в X , звiдки отримуємо, що
i CY (f) залишкова в X , бо CY (f) ⊇ CY (g), i, таким чином, теорему повнiстю доведено.
1. Christensen J.P.R. Joint continuity of separately continuous functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1981.
82, № 3. P. 455 461.
2. Маслюченко В.К. Раздельно непрерывные отображения со значениями в строгих индуктивных пре-
делах // XIV шк. по теории операторов в функцион. пространствах. Новгород, 1989. Ч. 2. С. 70.
3. Маслюченко В.К. Нарiзно неперервнi вiдображення зi значеннями в iндуктивних границях // Укр. мат.
журн. 1992. 44, № 3. C. 380 384.
4. Маслюченко В.К., Репало Б.Г. Майже нарiзно неперервнi вiдображення. Чернiвцi, 1993. 15 с.
Деп. в ДНТБ України, № 956-Ук93.
5. Dieudonné J., Schwartz L. La dualité dans espaces (F) et (DF) // Ann. Inst. Fourier. 1949. 1. P. 61
101. (Рос. переклад: Математика. 1958. 2, № 2. С. 77 117.)
6. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.
7. Kucera J., McKennon K. Bounded sets in inductive limits // Proc. Amer. Math. Soc. 1978. 69, № 1.
P. 62 64.
8. Kucera J., McKennon K. Dieudonné Schwartz theorem on bounded sets in inductive limits // Ibid. 1980.
78, № 3. P. 366 368.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 343
9. Kucera J., Bosch C. Dieudonné Schwartz theorem on bounded sets in inductive limits. II // Ibid. 1982.
86, № 3. P. 392 394.
10. Qiu Jing-Hui. Dieudonné Schwartz theorem in inductive limits of metrisable spaces // Ibid. 1984. 92,
№ 2. P. 255 257.
11. Маслюченко В.К., Собчук О.В. Берiвська класифiкацiя i σ-метризовнi простори // Мат. студiї. 1994.
Вип. 3. С. 95 101.
12. Маслюченко В.К., Михайлюк В.В., Собчук О.В. Дослiдження про нарiзно неперервнi вiдображення //
Мат. Мiжнар. мат. конф., присвяченої пам’ятi Ганса Гана. Чернiвцi: Рута, 1995. С. 192 246.
13. Маслюченко В.К. Простори Гана i задача Дiнi // Мат. методи i фiз.-мех. поля. 1998.
14. Neubrunn T. Quasi-continuity // Real Anal. Exch. 1988, 1989. 14, № 3. P. 259 306.
15. Breckenridge J.C., Nishiura T. Partial continuity, quasicontinuity and Baire spaces // Bull. Math. Acad. Sinica.
1976. 4, № 2. P. 191 203.
16. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Горизонтальна квазiнеперервнiсть та її застосування. Чернiвцi,
1996. 15 с. Деп. в УкрIНТЕI; № 98-Ук96.
17. Куратовский К. Топология: В 2-х т. М.: Мир, 1966. Т. 1. 594 c.
Одержано 21.01.99
344 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
|