Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь

Отримано умови iснування обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабконелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R₊ та R₋....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2003
Автор:	Бойчук, А.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2003
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176987
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т 6, № 4. — С. 439-447. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-176987
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1769872021-02-10T01:25:52Z Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь Бойчук, А.О. Отримано умови iснування обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабконелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R₊ та R₋. Conditions for existence of solutions bounded on the whole line R are obtained for a weakly nonlinear systems of ordinary differential equations with the assumption that the corresponding unpertubed homodeneous linear differential system has an exponential dichotomy on both half-lines R₊ and R₋. 2003 Article Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т 6, № 4. — С. 439-447. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176987 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Отримано умови iснування обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабконелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцiальна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R₊ та R₋.
format	Article
author	Бойчук, А.О.
spellingShingle	Бойчук, А.О. Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь Нелінійні коливання
author_facet	Бойчук, А.О.
author_sort	Бойчук, А.О.
title	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
title_short	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
title_full	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
title_fullStr	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
title_full_unstemmed	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
title_sort	обмежені на r розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2003
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176987
citation_txt	Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь / А.О. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2003. — Т 6, № 4. — С. 439-447. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT bojčukao obmeženínarrozvâzkislabkonelíníjnihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ
first_indexed	2025-07-15T14:56:40Z
last_indexed	2025-07-15T14:56:40Z
_version_	1837725280630734848
fulltext	УДК 517.9 ОБМЕЖЕНI НАR РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ А. О. Бойчук Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, ул. Терещенкiвська, 3 e-mail: aboichuk@imath.kiev.u Conditions for existence of solutions bounded on the whole line R are obtained for a weakly nonli- near systems of ordinary differential equations with the assumption that the corresponding unpertubed homodeneous linear differential system has an exponential dichotomy on both half-lines R+ and R−. Отримано умови iснування обмежених на всiй осi R розв’язкiв слабконелiнiйних систем звичай- них диференцiальних рiвнянь у випадку, коли вiдповiдна незбурена однорiдна лiнiйна диференцi- альна система є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях R+ та R−. 1. Основний результат. Для нелiнiйної системи ẋ = A(t)x+ f(t) + εZ(x, t, ε) (1) знайдемо умови iснування обмежених на R = (−∞,+∞) розв’язкiв x = x(t, ε), x(·, ε) : R → Rn, x(·, ε) ∈ BC1(R), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], якi при ε = 0 перетворюються в один з породжуючих розв’язкiв x0(t, cr), cr ∈ Rr, системи ẋ = A(t)x+ f(t), (2) де A(t) — матриця розмiрностi n × n, компоненти якої належать банаховому простору BC(R) дiйcних, неперервних та обмежених на R функцiй; BC1(R) — банаховий про- стiр неперервно диференцiйовних на R функцiй, обмежених разом зi своєю похiдною. Вектор-функцiї f(t) та Z(x, t, ε) є такими, що Z(·, t, ε) ∈ C1[ ‖x− x0‖ ≤ q ], Z(x, ·, ε), f(·) ∈ BC(R), Z(x, t, ·) ∈ C[0, ε0], де q та ε0 — достатньо малi константи, якi характеризують величину околу породжую- чого розв’язку. Теорема 1 (необхiдна умова ). Припустимо, що система ẋ = A(t)x, A(·) ∈ BC(R), (3) є е-дихотомiчною [1 – 3] на R+ = [0,+∞) та R− = (−∞, 0] з проекторами P та Q вiдповiдно. Нехай система (1) має обмежений на R розв’язок x(t, ε) : x(·, ε) : R → Rn, x(·, ε) ∈ BC1(R), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], c© А. О. Бойчук, 2003 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 439 440 А. О. БОЙЧУК який при ε = 0 перетворюється в один з породжуючих розв’язкiв x0(t, cr) системи (2) з векторною константою cr = c0 r ∈ Rr: x(t, 0) = x0(t, c0 r) = Xr(t)c0 r + (G(f))(t). (4) Тодi векторна константа c0 r задовoльняє рiвняння F (c0 r) = ∞∫ −∞ H∗d(s)Z(x0(s, c0 r), s, 0)ds = 0. (5) Доведення. Умова iснування породжуючих обмежених на R розв’язкiв x0(t, cr) систе- ми (2) припускається виконаною. Вiдомо [4], що f ∈ Im [L0 df= ẋ−A(t)x] тодi й тiльки тодi, коли ∞∫ −∞ H∗d(s)f(s)ds = 0, (6) H∗d(t) = [X∗−1(t)[Q∗PN(D∗)]d]∗ — матриця розмiрностi d × n, рядки якої є повною систе- мою d лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв системи, спряженої до (3); Xr(t) = = X(t)[PPN(D)]r = X(t)[(I−Q)PN(D)]r — матриця розмiрностi n×r, стовпцi якої є повною системою r лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв системи (3); X(t) — нормаль- на (X(0) = I) фундаментальна матриця системи (3); (G(f))(t) — узагальнений оператор Грiна задачi про обмеженi наR розв’язки системи (2); PN(D) та PN(D∗) — матрицi розмiр- ностi n × n (ортопроектори: P 2 N(D) = PN(D) = P ∗N(D), P 2 N(D∗) = PN(D∗) = P ∗N(D∗) ), якi проектують Rn на ядро kerD = N(D) та коядро cokerD = kerD∗ = N(D∗) матрицi D = P − (I −Q). Розглядаючи збурюючий доданок в (1) як неоднорiднiсть та застосовуючи необхiдну й достатню умову (6) iснування обмеженого на R розв’язку до системи (1), отримуємо таку умову: ∞∫ −∞ H∗d(s)[f(s) + εZ(x(s, ε), s, ε)]ds = 0. Переходячи в останнiй рiвностi до границi при ε → 0 та враховуючи (6), отримуємо умову (5), справедливiсть якої й необхiдно було довести. За аналогiєю з перiодичним випадком [5, 6] природно рiвняння (5) називати рiвнян- ням для породжуючих амплiтуд задачi про обмеженi на всiй осi розв’язки системи (1). Якщо рiвняння (5) має розв’язки, то вектор констант c0 r ∈ Rr визначає той породжу- ючий розв’язок x0(t, c0 r), до якого буде прямувати шуканий обмежений на R розв’язок x = x(t, ε) : x(·, ε) : R → Rn, x(·, ε) ∈ BC1(R), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) = x0(t, c0 r), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 ОБМЕЖЕНI НА R РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 441 початкової задачi (1), коли ε буде прямувати до нуля. Однак, якщо рiвняння (5) не має розв’язку, то задача (1) не буде мати обмеженого на R розв’язку в просторах, що розгля- даються. Зауважимо, що всi вирази розглядаються в дiйсних просторах, тому мова йде про дiйснi коренi рiвняння (5). Виконуючи замiну змiнних в (1) згiдно зi спiввiдношенням x(t, ε) = x0(t, c0 r) + y(t, ε), приходимо до задачi про знаходження достатнiх умов iснування обмеженого наR розв’яз- ку y = y(t, ε): y(·, ε) : R → Rn, y(·, ε) ∈ BC1(R), y(t, ·) ∈ C[0, ε0], y(t, 0) = 0, системи ẏ = A(t)y + εZ(x0(t, c0 r) + y, t, ε). (7) Беручи до уваги неперервну диференцiйовнiсть вектор-функцiї Z(x, t, ε) за змiнною x та її неперервнiсть за змiнною ε в околi точки x0(t, c0 r), ε = 0, можна видiлити доданки лiнiйнi по y та доданки нульового степеня по ε : Z(x0(t, c0 r) + y, t, ε) = f0(t, c0 r) +A1(t)y +R(y(t, ε), t, ε), (8) де f0(t, c0 r) = Z(x0(t, c0 r), t, 0), f0(·, c0 r) ∈ BC(R), A1(t) = A1(t, c0 r) = ∂Z(x, t, 0) ∂x ∣∣∣ x=x0(t,c0r) , A1(·) ∈ BC(R), R(0, t, 0) = 0, ∂R(0, t, 0) ∂y = 0, R(y, ·, ε) ∈ BC(R). Розглядаючи формально вектор-функцiю Z(x0 +y, t, ε) в системi (7) як неоднорiднiсть та застосовуючи умову (6) iснування обмеженого на R розв’язку до системи (7), отриму- ємо таке зображення обмеженого на R розв’язку (7): y(t, ε) = Xr(t)c+ y(1)(t, ε). У цьому зображеннi невiдомий вектор констант c = c(ε) ∈ Rr визначається з умови ти- пу (6) B0c = − ∞∫ −∞ H∗d(τ)[A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)]dτ (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 442 А. О. БОЙЧУК iснування такого розв’язку системи (7), де B0 = ∞∫ −∞ H∗d(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ є матрицею розмiрностi d× r, r = rank [PPN(D)] = rank [(I −Q)PN(D)], d = rank [PN(D∗)(I − P )] = rank [PN(D∗)Q]. Невiдома вектор-функцiя y(1)(t, ε) визначається за допомогою узагальненого оператора Грiна [4] зi спiввiдношення y(1)(t, ε) = ε ( G [ Z(x0(τ, c0 r) + y, τ, ε) ]) (t). Нехай PN(B0) — (r×r)-вимiрна матриця-ортопроектор:Rr → N(B0), PN(B∗0 ) — (d×d)- вимiрна матриця-ортопроектор: Rd → N(B∗0). Рiвняння (7) є розв’язним вiдносно c ∈ Rr тодi й тiльки тодi, коли PN(B∗0 ) ∞∫ −∞ H∗d(τ)[A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)]dτ = 0. (10) Якщо rankB0 = d, то PN(B∗0 ) = 0, а отже, умова (10) завжди виконується. У цьому випадку рiвняння (9) розв’язне вiдносно c ∈ Rr з точнiстю до довiльної векторної константи PN(B0)c (∀c ∈ Rr) з нуль-простору матрицi B0 : c = −B+ 0 ∞∫ −∞ H∗d(τ)[A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)]dτ + PN(B0)c. (11) Для знаходження одного з обмежених на R розв’язкiв y = y(t, ε) задачi (7) y(·, ε) : R → Rn, y(·, ε) ∈ BC1(R), y(t, ·) ∈ C[0, ε0], y(t, 0) = 0 приходимо до наступної операторної системи: y(t, ε) = Xr(t)c+ y(1)(t, ε), (12) c = −B+ 0 ∞∫ −∞ H∗d(τ)[A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)]dτ, y(1)(t, ε) = ε ( G [ Z(x0(τ, c0 r) + y, τ, ε) ]) (t). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 ОБМЕЖЕНI НА R РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 443 Операторна система (12) належить до класу систем [7, с. 188], для розв’язування яких можна застосувати метод простих iтерацiй, який збiгається для всiх достатньо малих ε ∈ ∈ [0, ε∗] ⊆ [0, ε0]. Справдi, систему (12) можна записати у виглядi z = L(1)z + Fz, (13) дe z = col (y(t, ε), c(ε), y(1)(t, ε)) — (2n+r)-вимiрний вектор-стовпець;L(1) та F є лiнiйним та нелiнiйним операторами, обмеженими на R: L(1) =  0 Xr In 0 0 L1 0 0 0  , L1∗ = −B+ 0 ∞∫ −∞ H∗d(τ)A1(τ) ∗ dτ, Fz = col 0, ∞∫ −∞ H∗d(τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ, εG [ Z(x0(τ, c0 r) + y, τ, ε) ] . На пiдставi структури оператора L(1) з нульовими блоками на головнiй дiагоналi та нижче неї iснує оператор (Is−L(1))−1. Отже, систему (13) можна перетворити до вигляду z = Sz, S := (Is − L(1))−1F, s = 2n+ r, (14) з cтискуючим оператором S в достатньо малому околi точки x0(t, c0 r), ε = 0. Для розв’язання операторної системи (14) при достатньо малих ε ∈ [0, ε∗] можна застосу- вати один з варiантiв методу нерухомої точки [8]. Використовуючи метод простих iтера- цiй для знаходження розв’язку операторної системи (9), а отже, i для знаходження обме- женого на R розв’язку вихiдної системи (1), отримуємо такий результат. Теорема 2 (достатня умова ). Припустимо, що для слабконелiнiйної системи (1) ви- конуються умови, зазначенi вище, a також вiдповiдна породжуюча лiнiйна система (2) має r-параметричну множину (4) породжуючих розв’язкiв x0(t, cr), обмежених на R. То- дi для будь-якого вектора cr = c0 r ∈ Rr, який задовoльняє рiвняння для породжуючих амплiтуд (5), за припущення, що виконується умова rank B0 = d, (15) iснує принаймнi один обмежений на R розв’язок системи (1). Один з цих розв’язкiв x(t, ε) = lim k→∞ xk(t, ε) : x(t, ·) ∈ C[0, ε0], що перетворюється при ε = 0 в породжуючий розв’язок x(t, 0) = x0(t, c0 r) (4), можна визначити за допомо- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 444 А. О. БОЙЧУК гою iтерацiйного процесу y (1) k+1(t, ε) = ε ( G [ Z(x0(τ, c0 r) + yk, τ, ε) ]) (t), ck = −B+ 0 ∞∫ −∞ H∗d(τ)[A1(τ)y(1) k (τ, ε) +R(yk(τ, ε), τ, ε)]dτ, (16) yk+1(t, ε) = Xr(t)ck + y (1) k+1(t, ε), xk(t, ε) = x0(t, c0 r) + yk(t, ε), k = 0, 1, 2, ...; y0(t, ε) = 0, який буде збiгатися для всiх t ∈ R та достатньо малих ε ∈ [0, ε∗] ⊆ [0, ε0]. Враховуючи те, що константа c ∈ Rr в рiвняннi (11) знаходилась з точнiстю до до- вiльної константи PN(B0)ρcρ, можна стверджувати, що iснує множина обмежених на R розв’язкiв системи (1), якi залежать вiд константи PN(B0)ρcρ ∀cρ ∈ Rρ, cρ = cρ(ε), cρ(0) = 0, де PN(B0)ρ — (r×ρ)-вимiрна матриця, стовпцi якої складаються з повної системи ρ лiнiйно незалежних стовпцiв (r×r)-вимiрної матрицi PN(B0), ρ = rankPN(B0) = r−rankB0 = r−d. У випадку лiнiйного збурення система (1) в умовах теореми 2 буде мати ρ-параметричну множину обмежених на R розв’язкiв. У випадку, коли число r = rank [PPN(D) = (I − Q)PN(D)] лiнiйно незалежних обме- жених на R розв’язкiв системи (3) дорiвнює числу d = rank [PN(D∗)(I − P ) = PN(D∗)Q] лiнiйно незалежних обмежених на R розв’язкiв системи, спряженої до системи (3), з умо- ви PN(B∗0 ) = 0 маємо умову PN(B0) = 0, а отже, detB0 6= 0. У цьому випадку з теореми 2 отримуємо таке твердження [9]. Теорема 3 (достатня умова ). Припустимо, що для слабконелiнiйної системи (1) ви- конуються умови, зазначенi вище, a також вiдповiдна породжуюча лiнiйна система (2) має r-параметричну множину (4) породжуючих розв’язкiв x0(t, cr), обмежених на R. То- дi для будь-якого вектора cr = c0 r ∈ Rr, який задовoльняє рiвняння для породжуючих амплiтуд (5), за припущення, що виконується умова detB0 6= 0, r = d, (17) iснує єдиний обмежений на R розв’язок системи (1). Цей розв’язок x(t, ε) : x(t, ·) ∈ ∈ C[0, ε0] перетворюється при ε = 0 в породжуючий розв’язок x(t, 0) = x0(t, c0 r) (4) та може бути визначений за допомогою iтерацiйної процедури (16), яка буде збiгатися для всiх t ∈ R та достатньо малих ε ∈ [0, ε∗] ⊆ [0, ε0]. Зауваження. Необхiдну оцiнку для ε∗ та оцiнку апроксимацiї iтерацiйного процесу можна визначити за допомогою стандартної процедури [8]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 ОБМЕЖЕНI НА R РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 445 Умова (17) означає [7], що векторна константа c0 r ∈ Rr є простим коренем рiвняння (5) для породжуючих амплiтуд задачi про обмеженi на всiй осi R розв’язки системи (1). Використовуючи технiку з [7, с. 193], за допомогою деяких додаткових припущень метод, використаний вище, можна розповсюдити на випадок кратних коренiв рiвняння (5). Якщо оператор L0 є фредгольмовим оператором (indL0 = 0) та до того ж маємо випадок r = 1, то з теореми 3 отримуємо вiдомий результат K. Palmer [2, с. 248]. Якщо ж L0 є фредгольмовим оператором та, на додаток, вiн має властивiсть експоненцiальної трихотомiї на R, то з тeoреми 2 отримуємо вiдомий результат S. Elaidy та О. Hajek [10]. 2. Приклад. Розглянемо систему ẋ = A(t)x+ f(t) + εA1(t)x, (18) в якiй A(t) = diag {− tanh t,− tanh t, tanh t}, A1(t) = {aij(t)}3i,j=1 ∈ BC(R). Легко пересвiдчитись, що X(t) = diag {2/(et + e−t), 2/(et + e−t), (et + e−t)/2}. Однорiдна система ẋ = A(t)x є e-дихотомiчною на обох пiвосях R+ тa R− з проекторами P = diag {1, 1, 0} тa Q = = diag {0, 0, 1} вiдповiдно. Тодi D = 0, D+ = 0, PN(D) = PN(D∗) = I3, r = rankPPN(D) = 2, d = rankPN(D∗)Q = 1, Xr(t) =  2/(et + e−t) 0 0 2/(et + e−t) 0 0  , Hd(t) =  0 0 2/(et + e−t)  . Неоднорiдна система ẋ = A(t)x+ f(t) має двопараметричну множину x0(t, cr) = Xr(t)cr + (G[f ])(t) ∀cr ∈ R2 обмежених на R розв’язкiв тодi й лише тодi, коли неоднорiднiсть f(t) = col {f1(t), f2(t), f3(t)} ∈ BC(R) задовoльняє умови +∞∫ −∞ f3(s)/(es + e−s)ds = 0 ∀ f1(t) ∈ BC(R), ∀ f2(t) ∈ BC(R). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 446 А. О. БОЙЧУК Згiдно з теоремами 1 та 2 отримуємо наступний результат для системи (18). Для кож- ної векторної константи cr = c0 r ∈ R2, яка задовoльняє рiвняння для породжуючих ам- плiтуд (5): B0c 0 r = − ∞∫ −∞ H∗d(s)A1(s)(Gf)(s)ds, при виконаннi умови rankB0 = 1 (19) iснує однопараметрична множина обмежених на R розв’язкiв системи (18), де B0 = +∞∫ −∞ H∗d(t)A1(t)Xr(t)dt = 4 +∞∫ −∞ [ a31(t)/(et + e−t)2, a32(t)/(et + e−t)2 ] dt, ρ = rankPN(B0) = r − rankB0 = r − d = 1. Цi розв’язки x(t, ε) : x(t, ·) ∈ C[0, ε0] перетворюються при ε = 0 в породжуючий розв’я- зок x(t, 0) = x0(t, c0 r). Якщо a31(t) або a32(t) ∈ BC(R) задовольняють одну з умов +∞∫ −∞ a31(t)/(et + e−t)2dt 6= 0, +∞∫ −∞ a32(t)/(et + e−t)2dt 6= 0, то умова (19) виконується. Наприклад, якщо a31(t) = Const 6= 0 або a32(t) = Const 6= 0, то одна з цих нерiвностей завжди виконується й умова (19) має мiсце. У цьому випад- ку коефiцiєнти a11(t), a12(t), a13(t), a21(t), a22(t), a23(t), a33(t) можуть бути довiльними з простору BC(R) й система (18) буде мати однопараметричну множину обмежених на R розв’язкiв. 1. Coppel W. A. Dichotomies in stability theory // Lect. Notes Math. — Berlin: Springer, 1978. — 629. — 98 p. 2. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. — 1984. — 55. — P. 225 – 256. 3. Mитропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Kиев: Наук. думка, 1990. — 272 с. 4. Самойленко А. М., Бойчук A. A., Бойчук Aн. A. Ограниченные на всей оси решения линейных слабо- возмущенных систем // Укр. мат. журн. — 2002. —54, № 11. —C. 1517 – 1530. 5. Малкин И. Г. Некотоpые задачи теоpии нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с. 6. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 432 с. 7. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае- вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4 ОБМЕЖЕНI НА R РОЗВ’ЯЗКИ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 447 8. Красносельский М. А., Вайникко Г. М.,Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1968. — 455 с. 9. Samoilenko A. M., Boichuk A. A., and Boichuk An. A. Pseudo-inverse matrices and solutions bounded on R of linear and nonlinear systems // Proc. Fifth Int. Workshop on Computer Algebra in Sci. Computing (September 22 – 27, 2002, Yalta, Ukraine). — München: Inst. Informatik, Techn. Univ., 2002. — P. 269 – 278. 10. Elaidy S., Hajek O. Exponential trichotomy of differential systems // J. Math. Anal. and Appl. — 1988. — 123, № 2. — P. 362 – 374. Одержано 10.10.2002 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2003, т . 6, N◦ 4

Обмежені на R розв'язки слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь

Репозитарії

Схожі ресурси