Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi C¹ (0, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t) + bx(qt) + cx˙(qt) в околi особливої точки t = +∞.
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176991 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176991 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769912021-02-10T01:25:53Z Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. Встановлено новi властивостi C¹ (0, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t) + bx(qt) + cx˙(qt) в околi особливої точки t = +∞. We find new properties of C¹ (0, +∞)-solutions of the linear differential-functional equation x˙(t) = ax(t)+bx(qt) + cx˙(qt) in a neighbourhood of the singular point t = +∞. 2004 Article Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176991 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi C¹ (0, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t) + bx(qt) + cx˙(qt) в околi особливої точки t = +∞. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176991 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijlinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijspostoânnymikoéfficientamiilinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T14:56:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:56:57Z |
| _version_ |
1837725299018563584 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find new properties ofC1(0,+∞)-solutions of the linear differential-functional equation ẋ(t) = ax(t)+
+bx(qt) + cẋ(qt) in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
Встановлено новi властивостiC1(0,+∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального
рiвняння ẋ(t) = ax(t) + bx(qt) + cẋ(qt) в околi особливої точки t = +∞.
В данной работе рассматривается линейное дифференциально-функциональное уравне-
ние
ẋ(t) = ax(t) + bx(qt) + cẋ(qt), (1)
где {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1, t ∈ (0,+∞). В настоящее время получены интересные
результаты, касающиеся свойств его решений. Так, в [1] исследованы асимптотические
свойства решений уравнения (1) при c = 0, в [2] установлены новые свойства решений
этого уравнения при a = 0, c = 0, в [3] получены условия существования аналитических
почти периодических решений уравнения (1) при c = 0, в [4] построено представление
общего решения уравнения (1) при |c| > 1. Несмотря на широкие приложения таких
уравнений в различных областях науки и техники (см. [5] и приведенную в ней библи-
ографию), многие вопросы теории линейных дифференциально-функциональных урав-
нений вида (1) изучены мало. Это прежде всего касается исследования асимптотических
свойств решений уравнения (1) из класса C1(0,+∞) в окрестности особой точки t = +∞.
Цель данной работы — установить новые свойстваC1(0,+∞)-решений уравнения (1) при
достаточно общих предположениях относительно коэффициентов a, b, c.
Исследуем сначала ограниченность решений уравнения (1) на отрезке [1,+∞).
Теорема 1. Пусть {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1. Тогда:
1) если a < 0, то решения уравнения (1) являются O (tν), где ν > ln
(∣∣∣∣ ba + c
∣∣∣∣+ |c|
)
×
× 1
ln q−1
при t → +∞;
2) если a ≥ 0, то решения уравнения (1) являются O
(
eηt
)
, где η > a при t → +∞.
Доказательство. Выполняя в уравнении (1) замену переменной x(t) = tνy(t), где ν —
действительное число, которое будет определено ниже, получаем
ẏ(t) =
(
a− ν
t
)
y(t) +
(
bqν + cνqν−1 1
t
)
y(qt) + cqν ẏ(qt).
c© Д. В. Бельский, 2004
48 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 49
Запишем последнее уравнение в виде
ẏ(t) =
(
a− ν
t
)
y(t) + (bqν + acqν) y(qt) +
+ cqν (bqν + acqν) y
(
q2t
)
+ (cqν)2 (bqν + acqν) y
(
q3t
)
+ . . .
. . .+ (cqν)m−1 (bqν + acqν) y (qmt) +
+ (cqν)m
(
bqν + cqν−1 ν
qmt
)
y
(
qm+1t
)
+ (cqν)m+1 ẏ
(
qm+1t
)
, m ≥ 1, (2)
и оценим |y(t)|. С этой целью отрезок [t0, t0 + L], где t0 ≥ q−5 (q−5 выбрано произвольно,
лишь для удобства дальнейших рассуждений), L > 0, такой, что при любом t ∈ [t0, t0 + L]
выполняется неравенство
|y(t)| ≥ |y(s)| ∀ s ∈ [q, t],
назовем отрезком „роста”. Если отрезков „роста” не существует, то |y(t)|— ограниченная
на [1,+∞) функция. Предположим, что t принадлежит отрезку „роста” [t0, t0 + L]. Тогда
при m ∈ N и ν таких, что qm+1t ∈ [q, 1], |cqν | < 1, в силу (2) имеем
1
2
d
dt
|y(t)|2 = Re
(
y(t)ẏ(t)
)
≤
(
a− ν
t
+
+ |bqν + acqν |
[
1 + |cqν |+ |cqν |2 + . . .+ |cqν |m−1
]
+
+
∣∣∣∣(cqν)m bqν + (cqν)m+1 ν
qm+1t
∣∣∣∣+ |cqν |m+1
∣∣ẏ(qm+1t)
∣∣
|y(t)|
)
|y(t)|2 ≤
≤
(
a+ |bqν + acqν | 1
1− |cqν |
+
∣∣∣∣(cqν)m bqν + (cqν)m+1 ν
qm+1t
∣∣∣∣+
+ |cqν |m+1
sup
s∈[q,1]
|ẏ(s)|
sup
s∈[q,1]
|y(s)|
)
|y(t)|2. (3)
Если a < 0 и ν > ln
(∣∣∣∣ ba + c
∣∣∣∣+ |c|
)
1
ln q−1
, то |cqν | < 1 и при t0 > T (где T , а следова-
тельно, и m — достаточно большие числа) из (3) следует
1
2
d
dt
|y(t)|2 < 0. Таким образом,
на интервале (T,+∞) отрезков „роста” не существует. Первая часть теоремы доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
50 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Предположим, что η > a ≥ 0. Выберем ν так, чтобы |cqν | < 1 и
a+ |bqν + acqν | 1
1− |cqν |
+
∣∣∣∣(cqν)m bqν + (cqν)m+1 ν
qm+1t
∣∣∣∣+
+ |cqν |m+1
sup
s∈[q,1]
|ẏ(s)|
sup
s∈[q,1]
|y(s)|
≤ a+ |bqν + acqν | 1
1− |cqν |
+ |cqν | |bqν |+ |cqν | ν
q
+
+ |cqν |
sup
s∈[q,1]
|ẏ(s)|
sup
s∈[q,1]
|y(s)|
≤ η + a
2
.
Тогда в силу (3) y(t) = O
(
e(
η+a
2 )t
)
, t → +∞, и x(t) = tνy(t) = O
(
eηt
)
, t → +∞.
Теорема доказана.
Исследуем задачу о существовании решений уравнения (1), удовлетворяющих усло-
вию
∃ lim
t→0+
x(t) df=x(0+) ∈ C. (4)
Теорема 2. При {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1, |c| < q, задача (1), (4) имеет единственное
решение
x(t) =
+∞∑
k=0
xkt
k, где x0 = x(0+), xk =
a+ bqk−1
(1− cqk−1) k
xk−1, k ≥ 1.
Доказательство. Исходя из условия существования предела (4) и теоремы 1, можно
утверждать, что к решению задачи (1), (4) применимо преобразование Лапласа.
Рассмотрим случай, когда a ≥ 0. Пусть x̃(t) — некоторое решение задачи (1), (4),
а f(p) — его преобразование Лапласа, которое определено и является аналитической
функцией в области Re p > a. Для любого p ∈ R, p > a+ 2, согласно теореме 1 имеем
|f(p)| =
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
0
e−ptx̃(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
+∞∫
0
e−pt |x̃(t)| dt ≤
+∞∫
0
e−ptKe(a+1)tdt ≤
≤ K
p− a− 1
≤ M
p
, |f(p)| p ≤ M < +∞, (5)
где M — некоторая постоянная.
Из (1), (4) получаем уравнение для преобразования Лапласа f(p):
f(p) = q
qp− a
cp+ b
f(qp) +
c− q
cp+ b
x(0+), Re p > q−1a.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 51
Предположим, что задача (1), (4) имеет два решения. Тогда разность преобразований
Лапласа этих решений (обозначим ее fр(p)) является ненулевым решением однородного
уравнения
fр(p) = q
qp− a
cp+ b
fр(qp), Re p > q−1a, (6)
и удовлетворяет неравенству (5). Выполняя в уравнении (6) замену fр(p) =
y(p)
p
, получа-
ем уравнение
y(p) =
qp− a
cp+ b
y(qp), Re p > q−1a. (7)
Отсюда следует
∣∣∣∣ y(p)
y(qp)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣qp− acp+ b
∣∣∣∣ →
∣∣∣q
c
∣∣∣ , c 6= 0;
+∞, c = 0, b 6= 0,
p → ∞,
и, таким образом, если
∣∣∣q
c
∣∣∣ > 1 или (c = 0, b 6= 0), то аналитическое в области Re p >
> q−1a решение уравнения (7), ограниченное на интервале
(
q−1(a+ 2),+∞
)
, тождествен-
но равно нулю на этом интервале, а значит, и в области Re p > q−1a. Следовательно, fр(p)
— нулевая функция, что противоречит предположению.
Случай c = 0, b = 0 является тривиальным.
При a < 0 доказательство теоремы проводится аналогично.
Найдем условие, при котором задача (1), (4) может иметь не более одного ограничен-
ного решения.
Теорема 3. Если {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1 (|b| > |a| или (a = 0, b = 0, |c| > q)), то
двух ограниченных решений задачи (1), (4) быть не может.
Доказательство. Если решение задачи (1), (4), например, x̃(t), ограничено, то его пре-
образование Лапласа, f(p), для любого p ∈ R, p > 0, удовлетворяет неравенству
|f(p)| =
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
0
e−ptx̃(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
+∞∫
0
e−pt |x̃(t)| dt ≤ M
p
< +∞ ⇔
⇔ |f(p)| p ≤ M < +∞, (8)
где константа M ограничивает сверху модуль решения.
Ограничимся пока p ∈ R, p > 0, и предположим, что существуют два различных
ограниченных решения задачи (1), (4). Обозначим через fр(p) разность преобразований
Лапласа этих решений. Функция fр(p) должна удовлетворять неравенству (8). Выпол-
ним замену fр(p) =
y(p)
p
, где y(p) должно быть непрерывно определено и ограничено на
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
52 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
(0,+∞). Для y(p) аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 2,
получим соотношение
∣∣∣∣y(qp)
y(p)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ cp+ b
qp− a
∣∣∣∣ →
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ , a 6= 0;
+∞, a = 0, b 6= 0;∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ , a = 0, b = 0,
p → 0. (9)
Поскольку |b| > |a| (или a = 0, b = 0, |c| > q), согласно (9) непрерывная ограничен-
ная функция
y(p) = pfр(p) = 0 ∀p ∈ (0,+∞) ⊂ R. (10)
На основании того, что функция fр(p) определена и является аналитической в области
Re p > 0, из (10) следует, что она тождественно равна нулю. Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A. Math. — 1953. — 15. —P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 119 с.
5. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
Получено 19.10.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
|