Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв слабконелiнiйних перiодичних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянуто особливий критичний випадок, коли рiвняння для породжуючих амплiтуд слабконелiнiйної перiодичної крайової задачi перетворюєтьс...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко, A.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 53-66. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176992 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769922021-02-10T01:26:08Z Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Чуйко, A.С. Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв слабконелiнiйних перiодичних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянуто особливий критичний випадок, коли рiвняння для породжуючих амплiтуд слабконелiнiйної перiодичної крайової задачi перетворюється в тотожнiсть. Побудовано нову класифiкацiю критичних випадкiв та iтерацiйний алгоритм для побудови розв’язкiв слабконелiнiйних перiодичних крайових задач в особливому критичному випадку. We study the problem of finding existence conditions and the construction of solutions of periodic weakly nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the particular critical case when the equation for generating amplitudes is satisfied identically. We give a new classification of the critical cases and an iterative algorithm for constructing solutions of periodic weakly nonlinear boundary-value problems in the particular critical case. 2004 Article Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко, A.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 53-66. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176992 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв слабконелiнiйних
перiодичних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянуто особливий критичний випадок, коли рiвняння для породжуючих амплiтуд слабконелiнiйної перiодичної крайової задачi перетворюється в тотожнiсть. Побудовано нову класифiкацiю критичних випадкiв та iтерацiйний алгоритм для побудови розв’язкiв слабконелiнiйних перiодичних крайових задач в особливому критичному випадку. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Чуйко, A.С. |
| spellingShingle |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Чуйко, A.С. Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Чуйко, A.С. |
| author_sort |
Бойчук, А.А. |
| title |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| title_short |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| title_full |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| title_fullStr |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| title_full_unstemmed |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| title_sort |
неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176992 |
| citation_txt |
Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко, A.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 53-66. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bojčukaa neavtonomnyeperiodičeskiekraevyezadačivosobomkritičeskomslučae AT čujkosm neavtonomnyeperiodičeskiekraevyezadačivosobomkritičeskomslučae AT čujkoas neavtonomnyeperiodičeskiekraevyezadačivosobomkritičeskomslučae |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:02Z |
| _version_ |
1837725303981473792 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
А. A. Бойчук
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: boichuk@dad.imath.kiev.ua
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск, ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We study the problem of finding existence conditions and the construction of solutions of periodic weakly
nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the parti-
cular critical case when the equation for generating amplitudes is satisfied identically. We give a new classi-
fication of the critical cases and an iterative algorithm for constructing solutions of periodic weakly nonli-
near boundary-value problems in the particular critical case.
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв слабконелiнiйних
перiодичних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянуто особ-
ливий критичний випадок, коли рiвняння для породжуючих амплiтуд слабконелiнiйної перiо-
дичної крайової задачi перетворюється в тотожнiсть. Побудовано нову класифiкацiю кри-
тичних випадкiв та iтерацiйний алгоритм для побудови розв’язкiв слабконелiнiйних перiодич-
них крайових задач в особливому критичному випадку.
Целью данной работы является нахождение необходимых и достаточных условий суще-
ствования, а также сходящихся итерационных процедур для построения решений слабо-
нелинейных периодических краевых задач в особом критическом случае, когда извест-
ное уравнение для порождающих амплитуд [1 – 3] обращается в тождество. В этом слу-
чае традиционная схема анализа слабонелинейных критических периодических краевых
задач [1, 3] неприменима, поскольку ключевые в исследовании таких задач матрицы B0,
B1, . . . обращаются в нулевые. Тем не менее, учитывая слагаемые, составляющие второй
полный дифференциал нелинейности дифференциального уравнения, удается получить
уравнение для порождающих амплитуд слабонелинейной периодической краевой зада-
чи в особом критическом случае, при наличии действительных корней которого искомое
периодическое решение либо представляет собой положение равновесия этой системы,
либо определяется посредством сходящейся итерационной процедуры.
1. Постановка задачи. Установим необходимые и достаточные условия существова-
ния, а также сходящиеся итерационные процедуры для построения решений
z(t, ε) = col (z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)),
c© А. А. Бойчук, С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1 53
54 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
zj(·, ε) ∈ C1[0, T ], zj(t, ·) ∈ C[0, ε0], j = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих однородному периодическому краевому условию
` z(·, ε) = z(0, ε)− z(T, ε) = 0, (2)
при ε = 0 обращающихся в решения порождающей периодической краевой задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), (3)
` z0(·) = z0(0)− z0(T ) = 0. (4)
ЗдесьA(t) — непрерывная на [0, T ] (n×n)-мерная матрица,Z(z, t, ε) — нелинейная вектор-
функция, дважды непрерывно дифференцируемая по первому аргументу в окрестности
порождающего решения, непрерывная по второму аргументу на отрезке [0, T ] и дважды
непрерывно дифференцируемая по третьему аргументу на отрезке [0, ε0], f(t) — непре-
рывная на [0, T ] n-мерная T -периодическая вектор-функция.
Будем исследовать критический случай
rank(Q = `X(·)) = n− r, r > 0,
когда порождающая краевая задача (3), (4) (при условии PQ∗r `K{f}(·) = 0) имеет
r-параметрическое семейство решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f ](t), cr ∈ Rr,
гдеXr(t) = X(t)PQr , PQr — (n×r)-мерная матрица, составленная из r линейно независи-
мых столбцов (n× n)-мерной матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q), PQ∗r — (r × n)-
мерная матрица, составленная из r линейно независимых строк (n×n)-мерной матрицы-
ортопроектора PQ∗ : Rn → N(Q∗), X(t) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная
матрица однородной части системы (3), K[f ](t) — оператор Грина задачи Коши
K[f ](t) = X(t)
t∫
a
X−1(s)f(s)ds
для системы (3), G[f ](t) — обобщенный оператор Грина
G[f ;α](t) = K[f ](t)−X(t)Q+`K[f ](·)
краевой задачи (3), (4), Q+ — псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу [1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 55
Решение краевой задачи (1),(2)
z(t, ε) = z0(t, cr) + x(t, ε)
будем искать в окрестности решения порождающей задачи. Для нахождения возмущения
x(t, ε) = col (x1(t, ε), . . . , xn(t, ε)),
xj(·, ε) ∈ C1[0, T ], xj(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n,
порождающего решения z0(t, cr) получаем задачу
dx
dt
= A(t)x+ εZ(z0 + x, t, ε), (5)
` x(·, ε) = x(0, ε)− x(T, ε) = 0. (6)
Как известно [1], задача (5), (6) разрешима тогда и только тогда, когда
PQ∗r `K{Z(z0 + x, s, ε)}(·) = 0. (7)
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции
Z(z, t, ε) в окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируемость
по третьему аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Z(z0 + x, t, ε) = Z(z0, t, 0) + dZ(z0, t, 0) + εR(z0 + x, t, ε). (8)
Дифференциал вектор-функции Z(z, t, ε)
dZ(z0, t, 0) = A1(t)x+ εA2(t)
выражается через производные
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣ z = z0(t,cr)
ε = 0
,
A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣∣ z = z0(t,cr)
ε = 0
.
Остаток εR(z0(t, cr)+x(t, ε), t, ε) разложения функции Z(z0(t, cr)+x(t, ε), t, ε) имеет более
высокий порядок малости по x и ε в окрестностях точек x = 0 и ε = 0, чем два первых
члена разложения, поэтому R(z0(t, cr), t, 0) ≡ 0. Разложение (8) и равенство (7) приводят
к необходимому условию существования искомого решения исходной задачи [2, 3]
F0(cr) = PQ∗r `K{Z(z0(s, cr), s, 0)}(·) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
56 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
Традиционно это условие используют для нахождения параметра c∗r ∈ Rr, определяюще-
го амплитуду порождающего решения, однако это возможно не всегда — в ряде случаев
[2, 4] последнее равенство выполняется тождественно:
F0(cr) ≡ 0. (9)
Краевые задачи (1), (2) при условии (9) по классификации И. Г. Малкина [2, c. 139] пред-
ставляют особый критический случай, поскольку традиционная схема анализа и постро-
ения решения [1, 3] для таких задач не применима в силу невозможности нахождения
параметра c∗r , определяющего амплитуду порождающего решения, непосредственно из
уравнения (9).
2. Необходимое условие существования решения. Преобразуем условие (7), предпо-
лагая, что имеет место особый критический случай:
PQ∗r `K{A1(s)x+ εA2(s) + εR(z0 + x, s, ε)}(·) = 0. (10)
Используя представление решения задачи (5), (6)
x(t, ε) = Xr(t)cr + x(1)(t, ε)
посредством обобщенного оператора Грина [1, 3]
x(1)(t, ε) = εG [Z(z0 + x, s, ε)] (t),
преобразуем условие (10) к виду
PQ∗r `K
{
A1(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+ εA2(s) + εR(z0 + x, s, ε)
}
(·) = 0. (11)
Поскольку в особом критическом случае равенство (9) выполняется тождественно, клю-
чевая в традиционной [1, 3] схеме анализа и построения решений задачи (1), (2) матрица
B0 =
∂F (cr)
∂cr
∣∣∣∣ cr = c∗r
= PQ∗r `K [A1(s)Xr(s)] (·) ≡ 0.
Последнее тождество (второе отличие задачи (1), (2) в особом критическом случае от
случая неособого) упрощает равенство (11):
PQ∗r `K
{
A1(s)x(1)(s, ε) + εA2(s) + εR(z0 + x, s, ε)
}
(·) = 0
и с учетом разложения (8)
PQ∗r `K
{
A1(s)G [Z(z0, τ, 0) +A1(τ)x+ εA2(τ) + εR(z0 + x, τ, ε)] (s) +
+ A2(s) +R(z0 + x, s, ε)
}
(·) = 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 57
определяет необходимое условие [2] существования искомого решения исходной задачи
F1(cr) = PQ∗r `K
{
A1(s)G [Z(z0(τ, cr), τ, 0)] (s) +A2(s)
}
(·) = 0. (12)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1 (необходимое условие). Пусть краевая задача (1), (2) представляет осо-
бый критический случай и имеет решение
z(t, ε) = col (z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)),
zj(·, ε) ∈ C1[0, T ], zj(t, ·) ∈ C[0, ε0], j = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z0(t, c∗r) с константой c∗r ∈ Rr. Тогда вектор
c∗r удовлетворяет уравнению (12).
Данная теорема доказана И. Г. Малкиным [2] в предположении аналитичности вектор-
функции Z(z, t, ε) по неизвестной z и малому параметру ε в окрестности x = 0 и ε = 0.
Уравнение (12) относительно параметра c∗r , определяющего амплитуду порождающе-
го решения z0(s, c∗r), по аналогии с неособым критическим случаем назовем уравнением
для порождающих амплитуд.
3. Достаточное условие существования решения. Предположим далее, что уравнение
(12) не вырождается в тождество 1 и вектор c∗r ∈ Rr является его решением.
Для получения достаточного условия существования и нахождения итерационной про-
цедуры, применимой для построения решений исходной задачи в особом критическом
случае, воспользуемся тем, что согласно предположению Z(z, t, ε) — нелинейная вектор-
функция, дважды непрерывно дифференцируемая по первому аргументу в окрестности
порождающего решения z0(t, c∗r) и непрерывно дифференцируемая по третьему аргумен-
ту на отрезке [0, ε0], и выделим из остатка εR(z0(t, c∗r)+x(t, ε), t, ε) слагаемые, содержащие
ε2 и εx :
εR(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) =
1
2
d2Z(z0(t, c∗r), t, 0) + ε2r(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε),
где второй дифференциал
1
2
d2Z(z0(t, c∗r), t, 0) = εA3(t)x+ εA4(t, x(t, ε))x+ ε2A5(t)
выражается посредством (n× n)-мерных матриц
A3(t) =
∂2Z(z, t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
1В противном случае искомый вектор c∗r может быть найден с учетом членов разложения исходной нели-
нейности в окрестности точек x = 0 и ε = 0, входящих либо во второй дифференциал этой нелинейности,
либо в дифференциалы более высокого порядка.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
58 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
и
A4(t, x(t, ε)) =
1
2ε
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
x
]∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
,
а также n-мерного вектор-столбца
A5(t) =
1
2
∂2Z(z, t, ε)
∂ε2
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
.
Остаток ε2r(z0(t, c∗r)+x(t, ε), t, ε) разложения вектор-функцииZ(z0(t, c∗r)+x(t, ε), t, ε) име-
ет более высокий порядок малости по x и ε, чем компоненты первого дифференциала
dZ(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), поэтому r(z0(t, c∗r), t, 0) ≡ 0.
Последнее разложение c учетом уравнения (12) для порождающих амплитуд приво-
дит к необходимому условию существования искомого решения исходной задачи
PQ∗r `K
{
A1(s)G [A1(τ)x+ εA2(τ) + εR(z0 + x, τ, ε)] (s) +
+ A3(s)x+A4(s, x(s, ε))x+ εA5(s) + εr(z0 + x, s, ε)
}
(·) = 0. (13)
Равенство B0 ≡ 0 приводит к тождеству
PQ∗r `K
[
A4
(
s,Xr(s)c̃r
)
Xr(s)
]
(·) ≡ 0. (14)
Последнее выражение упрощает равенство (13):
PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
A1(τ)
[
Xr(τ)cr + x(1)(τ, ε)
]
+ εA2(τ) + εR(z0 + x, τ, ε)
]
(s) +
+ A3(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+A4(s, x(1)(s, ε))
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+
+ εA5(s) + εr(z0 + x, s, ε)
}
(·) = 0
и приводит к уравнению
Ξ0 cr = − PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA2(τ) + εR(z0 + x, τ, ε)
]
(s) +
+ A3(s)x(1)(τ, ε) +A4
(
s,G
(
A1(τ)x+ εA2(τ) + εR(z, τ, ε)
)
(s)
)
x+
+ A4
(
s,G
(
Z(z0, τ, 0))(s)
)
x(1)(s, ε) +A4(s,Xr(s)cr)G(A1(τ)x+
+ εA2(τ) + εR(z, τ, ε)
)
(s) + εA5(s) + εr(z0 + x, s, ε)
}
(·),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 59
однозначно разрешимому в случае невырожденности (r × r)-мерной матрицы
Ξ0 = PQ∗r `K
{
A1(s)G[A1(τ)Xr(τ)](s) +A4
(
s,G(Z(z0(τ, c∗r), τ, 0))(s)
)
Xr(s) +
+ A4(s,Xr(s))G
(
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)
)
(s) +A3(s)Xr(s)
}
(·).
Тождество
A4
(
s,G
(
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)
)
(s)
)
Xr(s) ≡ A4(s,Xr(s))G(Z(z0(τ, c∗r), τ, 0))(s),
в свою очередь, упрощает матрицу
Ξ0 = PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
A1(τ)Xr(τ)
]
(s) +
+ 2A4
(
s,G(Z(z0(τ, c∗r), τ, 0))(s)
)
Xr(s) +A3(s)Xr(s)
}
(·).
Таким образом, для построения искомого решения z(t, ε) задачи (1), (2), при ε = 0
обращающегося в порождающее z0(t, c∗r) решение задачи (3), (4), при условии невырож-
денности матрицы Ξ0 применима операторная система
x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x(1)(t, ε),
cr(ε) = − Ξ−1
0 PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA2(τ) + εR(z0 + x, τ, ε)
]
(s) +
+ A3(s)x(1)(τ, ε) +A4
(
s,G
(
A1(τ)x+ εA2(τ) + εR(z, τ, ε))(s)
)
x+
+ A4
(
s,G
(
Z(z0, τ, 0)
)
(s)
)
x(1)(s, ε) +A4(s,Xr(s)cr)G(A1(τ)x+
+ εA2(τ) + εR(z, τ, ε))(s) + εA5(s) + εr(z0 + x, s, ε)
}
(·), (15)
x(1)(t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) +A1(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+
+ εA2(s) + εA3(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+
+ εA4
[
s,Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
][
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+
+ ε2A5(s) + ε2r
(
z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
)}
(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
60 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
разрешимость которой эквивалентна разрешимости задачи (1), (2).
Операторная система (15) принадлежит классу систем, для решения которых приме-
ним метод простых итераций [1, 3].
Первое приближение
z1(t, ε) = z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
к искомому решению z(t, ε) краевой задачи (1), (2) определяет возмущение x1(t, ε), кото-
рое ищем как решение задачи
dx1
dt
= A(t)x1 + εZ(z0(t, c∗r), t, 0),
` x1(·, ε) = x1(0, ε)− x1(T, ε) = 0
в виде
x1(t, ε) = Xr(t)cr1(ε) + x
(1)
1 (t, ε)
посредством обобщенного оператора Грина
x
(1)
1 (t, ε) = εG [Z(z0(s, c∗r), s, 0)] (t).
В силу тождества (9) первое приближение x1(t, ε) является T -периодическим независимо
от значения неизвестного вектора cr1(ε). Другими словами, на первом шаге итерацион-
ной процедуры вектор cr1(ε) остается неизвестным.
Для нахождения второго приближения
z2(t, ε) = Xr(t)c∗r + x2(t, ε)
к искомому решению z(t, ε) используем задачу второго приближения к задаче (5), (6):
dx2
dt
= A(t)x2 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)x1 + εA2(t)
}
,
` x2(·, ε) = x2(0, ε)− x2(T, ε) = 0.
Здесь
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
,
A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
.
В отличие от задачи первого приближения последняя задача составлена с учетом членов
разложения нелинейности Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), линейных по x и ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 61
Решение задачи второго приближения ищем в виде
x2(t, ε) = Xr(t)cr2(ε) + x
(1)
2 (t, ε),
где
x
(1)
2 (t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r), s, 0) +A1(s)x1 + εA2(s)
]
(t).
Условие разрешимости задачи второго приближения в силу равенства (9)
PQ∗r `K
{
A1(s)
[
Xr(s)cr1(ε) + x
(1)
1 (s, ε)
]
+ εA2(s)
}
(·) = 0
с учетом тождества
B0 = PQ∗r `K [A1(s)Xr(s)] (·) ≡ 0
преобразуется к виду
PQ∗r `K
{
A1(s)x(1)
2 (t, ε) + εA2(s) + εR(z0 + x2, s, ε)
}
(·) =
= PQ∗r `K
{
A1(s)G [Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)] (s) +A2(s)
}
(·) = 0.
Таким образом, второе приближение x2(t, ε) является T -периодическим независимо от
значения неизвестных векторов cr1(ε), cr2(ε). Другими словами, и на втором шаге итера-
ционной процедуры векторы cr1(ε), cr2(ε) остаются неизвестными.
Для нахождения третьего приближения
z3(t, ε) = z0(t, c∗r) + x3(t, ε)
к искомому решению z(t, ε) используем задачу третьего приближения к задаче (5), (6):
dx3
dt
= A(t)x3 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)
[
Xr(t)cr2 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+ εA2(t) + εA3(t)
[
Xr(t)cr1 + x
(1)
1 (t, ε)
]
+
+ εA4
[
t,Xr(t)cr1 + x
(1)
1 (t, ε)
][
Xr(t)cr1 + x
(1)
1 (t, ε)
]
+ ε2A5(t)
}
,
` x3(·, ε) = x3(0, ε)− x3(T, ε) = 0.
Решение задачи третьего приближения ищем в виде
x3(t, ε) = Xr(t)cr3(ε) + x
(1)
3 (t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
62 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
где
x
(1)
3 (t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) +A1(s)
[
Xr(s)cr2 + x
(1)
2 (s, ε)
]
+
+ εA2(s) + εA3(s)
[
Xr(s)cr1 + x
(1)
1 (s, ε)
]
+
+ εA4
[
s,Xr(s)cr1 + x
(1)
1 (s, ε)
][
Xr(s)cr1 + x
(1)
1 (s, ε)
]
+ ε2A5(s)
}
(t).
В отличие от задач первого и второго приближений последняя задача составлена с уче-
том членов разложения нелинейности Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), входящих во второй диф-
ференциал данной нелинейности.
Условие разрешимости задачи третьего приближения с учетом тождества (9) и урав-
нения (12) для порождающих амплитуд, а также в силу невырожденности матрицы Ξ0
приводит к уравнению относительно неизвестного вектора cr1(ε) ∈ Rr:
cr1(ε) = − Ξ−1
0 PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0) +A1(τ)x(1)
1 (τ, ε) + εA2(τ)
]
(s) +
+ A3(s)x(1)
1 (s, ε) +A4(s, x(1)
1 (s, ε))x(1)
1 (s, ε) + εA5(s)
}
(·).
Для нахождения четвертого приближения
z4(t, ε) = z0(t, c∗r) + x4(t, ε)
к искомому решению z(t, ε) используем задачу четвертого приближения к задаче (5), (6):
dx4
dt
= A(t)x4 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)
[
Xr(t)cr3 + x
(1)
3 (t, ε)
]
+
+ εA2(t) + εA3(t)
[
Xr(t)cr2 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+ εA4
[
t,Xr(t)cr2 + x
(1)
2 (t, ε)
][
Xr(t)cr2 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+ ε2A5(t) + ε2r(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
}
,
` x4(·, ε) = x4(0, ε)− x4(T, ε) = 0.
Решение задачи четвертого приближения ищем в виде
x4(t, ε) = Xr(t)cr4(ε) + x
(1)
4 (t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 63
где
x
(1)
4 (t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) +A1(s)
[
Xr(s)cr3 + x
(1)
3 (s, ε)
]
+
+ εA2(s) + εA3(s)
[
Xr(s)cr2 + x
(1)
2 (s, ε)
]
+
+ εA4
[
s,Xr(s)cr2 + x
(1)
2 (s, ε)
][
Xr(s)cr2 + x
(1)
2 (s, ε)
]
+
+ ε2A5(s) + ε2r(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε)
}
(t).
В отличие от задач первого, второго и третьего приближений последняя задача со-
ставлена с учетом остатка ε2r(z0(t, c∗r)+x1(t, ε), t, ε) разложения нелинейной вектор-функ-
ции Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε).
Условие разрешимости задачи четвертого приближения с учетом тождества (9) и
уравнения (12) для порождающих амплитуд, а также в силу невырожденности матрицы
Ξ0 приводит к уравнению относительно неизвестного вектора cr1(ε) ∈ Rr:
cr2(ε) = − Ξ−1
0 PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0) +A1(τ)x(1)
2 (τ, ε) + εA2(τ)
]
(s) +
+ A3(s)x(1)
2 (s, ε) +A4(s, x(1)
2 (s, ε))x(1)
2 (s, ε) +
+ εA5(s) + ε2r(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε), s, ε
}
(·).
Таким образом, для построения решения z(t, ε) операторной системы (15) при условии
невырожденности матрицы Ξ0 применима итерационная процедура
xk+3(t, ε) = Xr(t)crk+3
(ε) + x
(1)
k+3(t, ε),
x
(1)
k+3(t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) +A1(s)
[
Xr(s)crk+2
+ x
(1)
k+2(s, ε)
]
+
+ εA2(s) + εA3(s)
[
Xr(s)crk+1
+ x
(1)
k+1(s, ε)
]
+
+ εA4
[
s,Xr(s)crk+1
+ x
(1)
k+1(s, ε)
][
Xr(s)crk+1
+ x
(1)
k+1(s, ε)
]
+
+ ε2A5(s) + ε2r(z0(s, c∗r) + xk(s, ε), s, ε)
}
(t), (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
64 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
crk+1
(ε) = − Ξ−1
0 PQ∗r `K
{
A1(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0) +A1(τ)x(1)
k+1(τ, ε) + εA2(τ)
]
(s) +
+ A3(s)x(1)
k+1(τ, ε) +A4(s, x(1)
k+1(s, ε))x(1)
k+1(s, ε) +
+ εA5(s) + ε2r(z0(s, c∗r) + xk(s, ε), s, ε)
}
(·),
k = 0, 1, 2, . . . , x0(t, ε) = x
(1)
0 (t, ε) ≡ 0.
Длина отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры
(16), может быть оценена как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова, так и
непосредственно из условия сжимаемости оператора, определяющего итерационную про-
цедуру (16).
Теорема 2 (достаточное условие). Пусть выполнено условие существования
PQ∗r `K{f}(·) = 0
r-параметрического решения
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f ](t), cr ∈ Rr,
критической краевой задачи (3), (4), порождающей для задачи (1), (2), причем имеет
место особый критический случай
F0(cr) ≡ 0.
Тогда для каждого корня c∗r ∈ Rr уравнения (12) при условии невырожденности (r × r)-
мерной матрицы Ξ0 краевая задача (1), (2) имеет единственное решение
z(t, ε) = col (z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)),
zj(·, ε) ∈ C1[0, T ], zj(t, ·) ∈ C[0, ε0], j = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z0(s, c∗r).
Для нахождения этого решения применима сходящаяся на отрезке [0, ε∗] итерацион-
ная процедура (16).
Теоремы 1 и 2 являются естественным дополнением к традиционной [1, 3] классифи-
кации краевых задач, в частности периодических.
При условии rank(Q = `X(·)) = n − r, r > 0, краевые задачи называют критически-
ми, в случае же detQ 6= 0 — некритическими. В критическом случае, если выражение
F0(cr) не обращается в нуль тождественно, появляется возможность традиционного ана-
лиза неособых периодических краевых задач в зависимости от разрешимости или нера-
зрешимости уравнения F0(cr) = 0, причем в первом случае либо имеет место критиче-
ский случай первого, второго или более высокого порядка, либо искомое периодическое
решение представляет собой положение равновесия исходной системы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
НЕАВТОНОМНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 65
Если же в критическом случае выражение F0(cr) обращается в тождественное ра-
венство нулю, имеет место особый критический случай. При этом в качестве уравнения
для порождающих амплитуд используется равенство (12) (F1(cr) = 0). При наличии дей-
ствительных корней уравнения (12) искомое периодическое решение системы (1) либо
представляет собой положение равновесия этой системы, либо определяется согласно
теореме 2. При условии вырожденности матрицы Ξ0 решение поставленной задачи мо-
жет быть найдено (по аналогии с критическим случаем второго порядка [1]) с учетом
входящих в остаток εr(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) слагаемых, содержащих ε3, ε2x, . . . . Если
же в особом критическом случае равенство F1(cr) = 0 обращается в тождество, иско-
мый вектор c∗r может быть найден с учетом членов разложения исходной нелинейности
в окрестностях точек x = 0 и ε = 0, входящих либо во второй дифференциал этой нели-
нейности, либо в дифференциалы более высокого порядка.
Ключевая в особом критическом случае матрица Ξ0 получена в явном виде и совпада-
ет с производной уравнения (12) для порождающих амплитуд, использованной И. Г. Мал-
киным [2] для доказательства последней теоремы. В подтверждение этого утверждения
(по аналогии с неособым критическим случаем первого порядка [1, 3]) продифференци-
руем левую часть равенства (12):
∂F1(c∗r)
∂cr
= PQ∗r `K
{
A1(s)G [Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)] (s) +A2(s)
}
(·) =
= PQ∗r `K
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)
]
(s)
] ∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
·Xr(s)+
+
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
·G
[
A1(τ)Xr(τ)
]
(s) +
+
∂2Z(z, t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣ z = z0(t,c∗r)
ε = 0
·Xr(s)
=
= PQ∗r`K
{
2A4(s,G(Z(z0(τ, c∗r), τ, 0)(s))Xr(s) +
+ A1(s)G
[
A1(τ)Xr(τ)
]
(s) +
+ A3(s)Xr(s)
}
(·).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
66 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО
Последнее выражение — это матрица
Ξ0 =
∂F1(c∗r)
∂cr
,
следовательно (по аналогии с неособым критическим случаем первого порядка [1, 3]),
невырожденность матрицы Ξ0 эквивалентна простоте корня c∗r уравнения (12) для поро-
ждающих амплитуд.
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
2. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
3. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
4. Мерман Г. А. Новый класс периодических решений в ограниченной задаче трех тел и в задаче Хилла
// Тр. Ин-та теорет. астрономии АН СССР. — 1952. — Вып. 1 — C. 5 – 86.
Получено 12.06.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
|