Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу
Запропоновано застосування методу „збуреного” характеристичного рiвняння для асимптотичного iнтегрування систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром у дробовому степенi при похiдних....
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176996 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу / S.V. Kondakova // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 93-110. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176996 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769962021-02-09T20:33:22Z Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу Кондакова, С.В. Запропоновано застосування методу „збуреного” характеристичного рiвняння для асимптотичного iнтегрування систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром у дробовому степенi при похiдних. We give an application of the method of „perturbed” characteristic equation for asymptotic integration of a systems of linear differential equations with a small parameter in the rational power of the derivatives. 2004 Article Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу / S.V. Kondakova // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 93-110. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176996 517.927.8 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано застосування методу „збуреного” характеристичного рiвняння для асимптотичного iнтегрування систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром у дробовому степенi при похiдних. |
| format |
Article |
| author |
Кондакова, С.В. |
| spellingShingle |
Кондакова, С.В. Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кондакова, С.В. |
| author_sort |
Кондакова, С.В. |
| title |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| title_short |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| title_full |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| title_fullStr |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| title_full_unstemmed |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| title_sort |
системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176996 |
| citation_txt |
Системи лінійних диференціальних рівнянь раціонального рангу / S.V. Kondakova // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 93-110. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kondakovasv sistemilíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹracíonalʹnogorangu |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:19Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:19Z |
| _version_ |
1837725321898491904 |
| fulltext |
УДК 517.927.8
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ
С. В. Кoндакова
Київ. ун-т економiки i технологiй транспорту
Україна, 03049, Київ, вул. Лукашевича, 5
We give an application of the method of „perturbed” characteristic equation for asymptotic integration of
a systems of linear differential equations with a small parameter in the rational power of the derivatives.
Запропоновано застосування методу „збуреного” характеристичного рiвняння для асимпто-
тичного iнтегрування систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром у дробо-
вому степенi при похiдних.
Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь вигляду
ε
p
q
dx
dt
= A(t, ε)x, (1)
де x— n-вимiрний вектор,A(t, ε) =
∞∑
s=0
εsAs(t) — квадратна матриця порядку n, елементи
якої необмежено диференцiйовнi по t на вiдрiзку [0;L], ε > 0 — малий параметр, p i q —
натуральнi взаємно простi числа. Крiм того, нехай виконується нерiвнiсть
p < n ≤ q. (2)
Позначимо
ε
1
q = µ.
Тодi система (1) набирає вигляду
µp
dx
dt
= (A0(t) + µqA1(t) + µ2qA2(t) + . . . )x, (3)
де
ε = µq, ε
p
q = µp.
Детально системи, до яких малий параметр входить у дробовому степенi, дослiджено
В. К. Григоренком [1]. До цього малий параметр у дробовому степенi при похiдних зустрi-
чався лише при розв’язаннi окремих диференцiальних рiвнянь. У роботi [1] при розв’язан-
нi системи вигляду (1) розглянуто два випадки: випадок простих коренiв характеристич-
ного рiвняння det ‖A0(t) − λE‖ = 0 i випадок одного кореня кратностi n. Запропонова-
ний тут метод „збуреного” характеристичного рiвняння дозволяє будувати асимптотичнi
розв’язки систем у випадку кратного кореня за тим самим алгоритмом, що i при простих
коренях характеристичного рiвняння.
c© С. В. Кoндакова, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1 93
94 С. В. КOНДАКОВА
Розглянемо випадок, коли кратному кореню λ0(t) вiдповiдає p ≥ 1 простих елемен-
тарних дiльникiв i r ≥ 1 кратних (p+ r = k).
Нехай для матрицi A0(t) iснує матриця перетворення подiбностi T (t) така, що зводить
її до канонiчної матрицi квазiдiагонального вигляду
W (t) =
W1(t) 0 . . . 0
0 W2(t) . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . W2(t)
,
де
W1(t) =
λ0(t) 0 . . . 0
0 λ0(t) . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ0(t)
— дiагональна матриця порядку p, W2(t), . . . ,Wr(t) — жордановi клiтини,
Wi(t) =
λ0(t) 1 0 . . . 0
0 λ0(t) 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λ0(t)
, i = 2, r.
Пiдстановкою
z = T (t)y
зведемо систему (3) до системи
µp
dy
dt
= D(t, µ)y, (4)
деD(t, µ) = D0(t, µ)+
∞∑
s=1
µqsDs(t),D0(t, µ) = W (t)−µpT−1(t)T ′(t),Ds(t) = T−1(t)As(t)T (t),
T ′(t) — похiдна вiд матрицi T (t).
Розглянемо „збурене” рiвняння
det ‖D0(t, µ)− λE‖ = 0. (5)
Матриця D0(t, µ) = W (t)−µpT−1(t)T ′(t) при певних значеннях t ∈ [0;L] має кратнi коре-
нi, або ж A0(t) = W (t) чи T ′(t) = 0. Тодi матрицю D0(t, µ) доцiльно розглядати у виглядi
D0(t, µ) = W (t)− µpT−1(t)T ′(t) +
j∑
s=1
µqsD0
s(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 95
деD0
s(t) = T−1(t)As(t)T (t), s = 1, j. Щоб матрицяD(t, µ), як i ранiше, мала виглядD(t, µ) =
= D0(t, µ) +
∞∑
s=1
µqsDs(t), покладемо Ds(t) ≡ 0 при 0 < s ≤ j i Ds(t) = T−1(t)As(t)T (t)
при s > j.
Число j визначається таким чином, щоб власнi значення матрицi D0(t, µ) задовольня-
ли наступнi умови:
1) на даному вiдрiзку були простими при будь-якому t ∈ [0;L] i 0 < µ ≤ µ0:
λi(t, µ) 6= λj(t, µ), i, j = 1, . . . , n, i 6= j; (6)
2) для кожної пари власних значень справджувалась асимптотична формула
|λi(t, µ)− λj(t, µ)| = O(µk), k ∈ [0; 1).
Доцiльнiсть умови 2 стане очевидною в процесi доведення теорем 1, 2.
Теорема 1. Якщо матрицi As(t), s = 0, 1, . . . , на вiдрiзку [0;L] необмежено диференцi-
йовнi i власнi значення матрицi D0(t, µ) задовольняють умову (6), то система диферен-
цiальних рiвнянь (4) має формальну матрицю-розв’язок вигляду
Y (t, µ) = U(t, µ, µ) exp
1
µp
t∫
0
Λ(τ, µ, µ) dτ
, (7)
де U(t, µ, µ) — квадратна матриця порядку n, Λ(t, µ, µ) — дiагональна матриця порядку
n, що зображаються формальними рядами
U(t, µ, µ) =
∞∑
s=0
µsUs(t, µ),
(8)
Λ(t, µ, µ) =
∞∑
s=0
µsΛs(t, µ),
де µ = q
√
ε.
Дана теорема доводиться методом, запропонованим у роботi [2]. В результатi отри-
маємо
U0(t, µ) = B(t, µ), (9)
Λ0(t, µ) = W ∗(t, µ), (10)
де B(t, µ) — матриця перетворення для матрицi D0(t, µ), W ∗(t, µ) — вiдповiдна їй дiаго-
нальна матриця.
Наступнi коефiцiєнти в розвиненнях (8) знаходяться за рекурентними формулами
Λs(t, µ) = G1s(t, µ), s = 1, 2, . . . , (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
96 С. В. КOНДАКОВА
де G1s — дiагональна матриця, утворена з дiагональних елементiв матрицi
Gs(t, µ) = B−1(t, µ)Hs(t, µ), (12)
Hs(t, µ) =
[ s
q
]∑
j=1
Dj(t)Us−jq(t, µ)− U ′s−p(t, µ)−
s−1∑
i=1
Ui(t, µ)Λs−i(t, µ), (13)
Us(t, µ) = B(t, µ)Qs(t, µ), s = 1, 2, . . . . (14)
Коефiцiєнти матрицi Qs(t, µ) знаходяться за формулою
qsij(t, µ) =
gsij(t, µ)
λj(t, µ)− λi(t, µ)
, i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , n. (15)
Якщо i = j, то qsij = 0. Можна довести, що отриманi матрицi мають на вiдрiзку [0;L]
похiднi всiх порядкiв.
Помноживши Y (t, µ) на матрицю T (t) та пiдставивши µ = q
√
ε, отримаємо формальну
матрицю-розв’язок X(t, ε) системи (1).
Розглянемо матрицю (13). Неважко помiтити, що для s < pHs(t, µ) ≡ 0, а отже, з (12),
(11), (15) випливає Us(t, µ) ≡ 0,Λs(t, µ) ≡ 0, s = 1, 2, . . . , p − 1. Оскiльки в розвиненнях
(8) цi елементи розташованi пiсля U0(t, µ),Λ0(t, µ), то ряди (8) запишемо у виглядi
U(t, µ, µ) = B(t, µ) +
∞∑
s=p
µsUs(t, µ) = B(t, ε) +
∞∑
s=p
ε
s
qUs(t, ε),
(16)
Λ(t, µ, µ) = W ∗(t, µ) +
∞∑
s=p
µsΛs(t, µ) = W ∗(t, ε) +
∞∑
s=p
ε
s
qΛs(t, µ).
Для уникнення громiздкостi в наступних оцiнках розглянемо випадок одного n-крат-
ного елементарного дiльника за умови, що tn1(t) 6= 0 ∀t ∈ [0;L]. Випадок кiлькох крат-
них елементарних дiльникiв проiлюструємо на прикладi конкретної системи 5-го порядку.
Лема 1. Якщо виконуються умови теореми 1 i tn1(t) 6= 0 (tij(t) — елементи матрицi
−T−1(t)T ′(t)), то коефiцiєнти формальних рядiв (16) можна зобразити у виглядi
Us(t, µ) = B(t, ε) + ε
− p
qn
(s−p+1)
Uas (t, ε),
(17)
Λs(t, µ) = W ∗(t, ε) + ε
− p
qn
(s−p)Λas(t, ε), s = p, p+ 1, . . . .
Символом „a” позначається матриця, що не має особливостi в точцi ε = 0, тобто
матриця, яку можна подати у виглядi A(t) + εiA(t, ε), A(t) 6= 0, i = 1, 2, . . . .
Доведення. Оцiнимо перш за все власнi значення матрицi D0(t, µ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 97
Розглянемо рiвняння (5). Розкриваючи визначник у лiвiй частинi, рiвняння (5) можна
записати так:
(λ0 − λ)n + (λ0 − λ)n−1cn−1(t, µ) + . . .+ c1(t, µ)(λ0 − λ) + c0(t, µ) = 0. (18)
Як вiдомо, рiзницю λ0 − λ, в свою чергу, можна зобразити у виглядi ряду за степенями µ.
Так, у рiвняннi (18) коефiцiєнт cn(t, µ) при (λ0 − λ)n дорiвнює 1, тобто ρn = 0,
c0(t, µ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
µpt11 1 + µpt12 . . . µpt1n
µpt21 µpt22 . . . µpt2n
. . . . . . . . . . . .
µptn−1,1 µptn−1,2 . . . 1 + µptn−1,n
µptn1 µptn2 . . . µptnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= µnpt11(t) . . . tnn(t) + . . .+ µptn1(t)
(тут виписано лише доданки з найменшим та найбiльшим показниками степеня µ), отже,
ρ0 = p, якщо tn1(t) 6= 0. Якщо Sp (−T−1(t)T (t)) 6= 0, то
cn−1(t, µ) = µp(t11(t) + t22(t) + . . .+ tnn(t)), ρn−1 = p.
Використовуючи властивостi визначникiв, можна показати, що мiнiмальний степiнь µ в
рештi многочленiв ci(t, µ) буде теж дорiвнювати p (якщо не дорiвнюють нулю вiдповiднi
коефiцiєнти). Отже, як вiдомо,
λi(t, µ)− λ0(t) = Oi(µ
p
n ). (19)
(Тут i далi iндекс i бiля символу O вiдповiдає iндексу величини, порядок якої вказується.
Вiдповiдно iндекс ij вiдповiдає номеру елемента матрицi.) На дiаграмi повного многокут-
ника (див. рисунок) показано, що корiнь λ(t, µ)− λ0(t) рiвняння n-го порядку має рiвно n
розвинень. Будемо вважати, що вони є рiзними.
Якщо tn1(t) ≡ 0 на вiдрiзку [0;L], то запропонований метод знаходження розв’язкiв
диференцiального рiвняння теж можна застосовувати, але асимптотичнi оцiнки при цьо-
му будуть iншими. Назвемо цей випадок спецiальним збуренням. Вiн вимагає окремого
дослiдження.
Отже, з (10) отримуємо
Λ0(t, µ) = diag
{
λ0(t) +O1(µ
p
n ), λ0(t) +O2(µ
p
n ), . . . , λ0(t) +On(µ
p
n )
}
= Λa0(t, µ). (20)
Матрицю перетворення подiбностi B(t, µ) = U0(t, µ) можна записати у виглядi
B(t, µ) = ‖Oij(µ
p(i−1)
n )‖n1 . (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
98 С. В. КOНДАКОВА
Справдi,
(W (t)− µpT−1(t)T ′(t))B(t, µ) = B(t, µ)W ∗(t, µ).
З останньої матричної рiвностi для знаходження елементiв bij(t, µ) отримаємо систему n2
рiвнянь з n2 невiдомими. Випишемо n рiвнянь з невiдомими першого стовпця:
(λ0 + µpt11)b11 + (1 + µpt12)b21 + . . .+ µpt1nbn1 = b11(λ0 +O1(µ
p
n )),
µpt21b11 + (λ0 + µpt22)b21 + . . .+ µpt2nbn1 = b21(λ0 +O1(µ
p
n )),
..............................................................................................
µptn1b11 + µptn2b21 + . . .+ (λ0 + µptnn)bn1 = bn1(λ0 +O1(µ
p
n ))
⇔
⇔
µpt11b11 + (1 + µpt12)b21 + . . .+ µpt1nbn1 = b11O1(µ
p
n ),
µpt21b11 + µpt22b21 + . . .+ µpt2nbn1 = b21O1(µ
p
n ),
.............................................................................
µptn1b11 + µptn2b21 + . . .+ µptnnbn1 = bn1O1(µ
p
n ).
.
Розглянемо перше рiвняння. Нехай b11(t, µ) = 1. Тодi права частина першого рiвняння бу-
де порядку O(µ
p
n ). Для того щоб лiва частина мала той самий порядок, потрiбно, щоб
b21(t, µ) був порядку O(µ
p
n ), оскiльки решта доданкiв лiвої частини мають порядок не
менший за O(µp). Тому b21(t, µ) = O(µ
p
n ). Нехай bi1(t, µ) = O(µ
p(i−1)
n ) для всiх i < n. З
останнього рiвняння знайдемо оцiнку для bn1(t, µ):
µptn1 + µptn2O(µ
p
n ) + . . .+ µptnn−1O(µ
p(n−2)
n ) + µptnnbn1 = bn1O(µ
p
n ),
або, позначивши bn1(t, µ) = O(µx) (x— невiдома величина, що визначається), отримаємо
µptn1 + µptn2O(µ
p
n ) + . . .+ µptnn−1O(µ
p(n−2)
n ) = O(µx)O(µ
p
n )− µptnnO(µx).
Лiва частина має порядок O(µp). Отже, i права частина
O(µx)O(µ
p
n )− µptnnO(µx) = O(µx)O(µ
p
n )
(
1− tnnO(µp−
p
n )
)
буде теж порядку O(µp). Тобто x +
p
n
= p, x =
p(n− 1)
n
. За принципом математичної iн-
дукцiї bin(t, µ) має порядок O(µ
p(i−1)
n ) для всiх i ∈ N . Аналогiчно знаходимо оцiнку решти
елементiв стовпцiв матрицi i переконуємось у справедливостi формули (21). Iз (9), (21)
маємо
U0(t, µ) = Ua0 (t, µ). (22)
Визначник матрицi B(t, µ), за означенням, складається з суми добуткiв n елементiв,
взятих по одному з кожного рядка i стовпця вiдповiдних знакiв. Отже, це буде многочлен
порядку 1 ·O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
2p
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
= O
(
µ
p(n−1)
2
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 99
Алгебраїчнi доповнення елементiв i-го стовпця транспонованої матрицi будуть поряд-
ку O
(
µ
p(n−1)
2
− p(i−1)
n
)
. Отже, самi елементи стовпцiв оберненої матрицi матимуть порядок
O(µ−
p(i−1)
n ), а матрицю B−1(t, µ) можна записати у виглядi
B−1(t, µ) =
∥∥∥Oij(µ− p(j−1)
n )
∥∥∥n
1
, (23)
її елементи мають особливiсть за параметром µ типу полюса.
Похiдна вiд матрицi перетворення подiбностi
B′(t, µ) = µ
p
nB
′a(t, µ). (24)
Справдi, елементи першого рядка матрицi B(t, µ), як було вiдмiчено вище, є одиницями.
Отже, пiсля диференцiювання вони будуть нулями. Решта ж рядкiв мають порядок вiд
O
(
µ
p
n
)
до O
(
µ
p(n−1)
n
)
, а значить, мiстять спiльний множник µ
p
n , який ми винесли за дуж-
ки. При диференцiюваннi, за означенням, отримуємо lim
4t→0
B(t+4t, µ)−B(t, µ)
4t
. Очевид-
но, що ця границя не матиме особливостi за параметром µ типу полюса, оскiльки його не
має функцiя B(t, µ). Це i дає можливiсть записати рiвнiсть (24).
Оцiнимо Hp(t, µ). З (13) маємо
Hp = −
p−1∑
i=1
Ui(t, µ)Λp−i(t, µ)− U ′0(t, µ) = −U ′0(t, µ).
Тому з (9), (21) отримуємо
Hp(t, µ) =
0 0 . . . 0
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
.
Отже, з (12), (23) знаходимо
Gp(t, µ) =
1 O
(
µ−
p
n
)
. . . O
(
µ−
p(n−1)
n
)
1 O
(
µ−
p
n
)
. . . O
(
µ−
p(n−1)
n
)
. . . . . . . . . . . .
1 O
(
µ−
p
n
)
. . . O
(
µ−
p(n−1)
n
)
×
×
0 0 . . . 0
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
= Gap(t, µ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
100 С. В. КOНДАКОВА
а тому
Λp(t, µ) = Λap(t, µ).
Iз (15), (19) маємо
Qp(t, µ) =
0 O
(
µ−
p
n
)
. . . O
(
µ−
p
n
)
O
(
µ−
p
n
)
0 . . . O
(
µ−
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ−
p
n
)
O
(
µ−
p
n
)
. . . 0
.
Iз (12), (21) знаходимо
Up(t, µ) =
1 1 . . . 1
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
×
×
0 O
(
µ−
p
n
)
. . . O
(
µ−
p
n
)
O
(
µ−
p
n
)
0 . . . O
(
µ−
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ−
p
n
)
O
(
µ−
p
n
)
. . . 0
=
=µ−
p
n
ua11 ua12 . . . ua1n
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
= µ−
p
nUap (t, µ).
Припустимо, що для всiх p ≤ j < s справедливими є формули
Uj(t, µ) = µ−
p(j−p+1)
n =
uaj11 uaj12 . . . uaj1n
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
=
= µ−
p(j−p+1)
n Uaj (t, µ), (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 101
Λj(t, µ) = µ−
p(j−p)
n Λaj (t, µ), j = p, p+ 1, . . . , s− 1. (26)
Тодi з (12), (13) на пiдставi припущень (25), (26) отримуємо
Gs(t, µ) = B−1(t, µ)
(h s
q
i∑
j=1
Dj(t)Us−jq(t, µ)−
s−p∑
i=p
Ui(t, µ)Λs−i(t, µ)− U ′s−p(t, µ)
)
=
= B−1(t, µ)
(h s
q
i∑
j=1
Dj(t)µ−
p
n
(s−jq+1−p)Uas−jq(t, µ)−
−
s−p∑
i=p
µ−
p
n
(i+1−p)µ−
p
n
(s−i−p)Uai (t, µ)Λas−i(t, µ)− µ−
p
n
(s−p+1−p)U
′a
s−p(t, µ)
)
=
= B−1(t, µ)
(h s
q
i∑
j=1
Dj(t)µ−
p
n
(s−jq+1−p)Uas−jq(t, µ)−
−
s−p∑
i=p
µ−
p
n
(s−2p+1)Uai (t, µ)Λas−i(t, µ)− µ−
p
n
(s−2p+1)Ua
′
s−p(t, µ)
)
.
Добутками B−1(t, µ)Uai (t, µ), B−1(t, µ)Ua
′
i (t, µ) на пiдставi (23) та припущення (25) будуть
матрицi, елементи яких не мають особливостi по µ. Позначимо їх через F as (t, µ), F a
′
s (t, µ)
вiдповiдно. Тодi можна записати
Gs(t, µ) = µ−
p
n
(s+1−p)
h
s
q
i∑
j=1
µ
pjq
n B−1(t, µ)Dj(t)Uas−jq(t, µ)− µ−
p
n
(s−2p+1)
s−p∑
i=p
F ai (t, µ)Λas−i(t, µ)−
− µ−
p
n
(s−2p+1)F a
′
s−p(t, µ) = µ−
p
n
(s−p)
(
µ−
p
n
h
s
q
i∑
j=1
µ
pjq
n B−1(t, µ)Dj(t)Uas−jq(t, µ) +
+ µ
p(p−1)
n
s−p∑
i=p
F ai (t, µ)Λas−i(t, µ)− µ
p(p−1)
n F a
′
s−p(t, µ)
)
.
Розглянемо суму
h
s
q
i∑
j=1
µ
p(jq−1)
n B−1(t, µ)Dj(t)Uas−jq(t, µ). Враховуючи (2), (23), її можна запи-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
102 С. В. КOНДАКОВА
сати у виглядi
h
s
q
i∑
j=1
µ
p
n
(jq−n)B−1a(t, µ)Dj(t)Uas−jq(t, µ). Отже,
Gs(t, µ) = µ−
p(s−p)
n Gas(t, µ).
Таким чином,
Λs(t, µ) = µ−
p(s−p)
n Λas(t, µ),
Us(t, µ) =
1 1 . . . 1
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O
(
µ
p
n
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
µ−
p(s−p)
n Gas(t, µ)µ−
p
n =
=µ−
p(s−p+1)
n
uaj11 uaj12 . . . uaj1n
O
(
µ
p
n
)
O
(
µ
p
n
)
. . . O(µ
p
n )
. . . . . . . . . . . .
O
(
µ
p(n−1)
n
)
O
(
µ
p(n−1)
n
)
. . . O
(
µ
p(n−1)
n
)
= µ−
p(s−p+1)
n Uas (t, µ).
Тобто формули (25) та (26) є справедливими для j = s. Отже, за iндукцiєю можна зробити
висновок про їх справедливiсть для всiх s ∈ N .
Пiдставляючи µ = ε
1
q в (25), (26), переконуємось у справедливостi (17).
Лему доведено.
Пiдставимо (17) у (16). Отримаємо
U(t, µ, µ) = U0(t, ε) +
∞∑
s=p
ε
s
q ε
− p
qn
(s−p+1)
Uas (t, ε),
(27)
Λ(t, µ, µ) = Λ0(t, ε) +
∞∑
s=p
ε
s
q ε
− p(s−p)
qn Λas(t, ε).
Очевидно, що для p, n, якi задовольняють нерiвнiсть (2),
s− p
n
(s− p+ 1) =
s(n− p)− p(1− p)
n
> 0, s = p, p+ 1, . . . . (28)
Лема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, леми 1,
Re (λi(t, µ)) ≤ 0 (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 103
на множинi {K : t ∈ [0;L], 0 < µ ≤ µ0}, то на вiдрiзку [0;L] m-те наближення задоволь-
няє диференцiальну систему (1) з точнiстю до величини порядкуO
(
ε
1
q ((m+1−p)(1− p
n
)+p)
)
.
Доведення. Для доведення введемо матрицю
Ym(t, µ) = Um(t, µ, µ) exp
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ) dτ
, (30)
де
Um(t, µ, µ) =
m∑
s=0
µsUs(t, µ) = U0(t, µ) +
m∑
s=p
µs−
p(s−p+1)
n Uas (t, µ),
(31)
Λm(t, µ, µ) =
m∑
s=0
µsΛs(t, µ) = Λ0(t, µ) +
m∑
s=p
µs−
p(s−p)
n Λas(t, µ).
Пiдставляючи (30) у диференцiальний вираз
L(Ym) = µp
dYm
dt
−D(t, µ)Ym, (32)
маємо
L(Ym(t, µ)) = [µpU ′m(t, µ, µ) + Um(t, µ, µ)Λm(t, µ, µ)−
− D(t, µ)Um(t, µ, µ)] exp
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ) dτ
. (33)
Оцiнимо за нормою матрицю exp
(
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ) dτ
)
на множинi {K : 0 < µ ≤ µ0; t ∈
∈ [0;L]}. Для цього запишемо елементи λkm(t, µ, µ), k = 1, . . . , n, дiагональної матрицi
Λm(t, µ, µ) у виглядi
λkm(t, µ, µ) = αkm(t, µ, µ) + iβkm(t, µ, µ), (34)
де αkm(t, µ, µ), βkm(t, µ, µ) — вiдповiдно дiйсна i уявна частини елементiв λkm(t, µ, µ).
Тодi, розумiючи пiд нормою матрицi, наприклад, max
k
∑
m
|λkm|, у вiдповiдностi з (29)
одержуємо∥∥∥∥∥∥exp
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ
∥∥∥∥∥∥ = max
k
e
1
µp
tR
0
αkm(τ,µ,µ) dτ
≤
≤ max
k
e
1
µp
tR
0
µpαkp(τ,µ)+...+µm−
p(m−p)
n αkm(τ,µ) dτ
, k = 1, . . . , n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
104 С. В. КOНДАКОВА
На пiдставi того, що функцiї αks(t, µ) s = 1, . . . ,m, диференцiйовнi на вiдрiзку [0;L] та за
умови (28) не мають особливостi по µ, iснує сталаM > 0, яка не залежить вiд µ i така, що
на множинi K∣∣∣∣∣
m∑
s=p
µs−p−
p
n
(s−p)αaks(t, µ)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
m∑
s=p
µ(s−p)(1− p
n
)αaks(t, µ)
∣∣∣∣∣ ≤ M, k = 1, . . . , n.
Тому
∥∥∥∥∥∥exp
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ) dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ eML.
Оцiнимо матрицю, що є множником при exp
(
1
µp
t∫
0
Λm(τ, µ, µ) dτ
)
у правiй частинi рiв-
ностi (33). З огляду на те, що визначаючи коефiцiєнти рядiв Um(t, µ, µ),Λm(t, µ, µ), ми
зрiвнювали коефiцiєнти при зовнiшнiх степенях параметра µ до порядкуm включно, зро-
зумiло, що ця матриця мiститиме лише коефiцiєнти при µm+1, µm+2, . . . , µ2m, . . . . Тому
µp
m∑
s=0
µsU ′s(t, µ) +
m∑
s=0
µsUs(t, µ)
m∑
s=0
µsΛs(t, µ)−
−
(
D0(t, µ) +
∞∑
s=1
µqsDs(t)
)
m∑
s=0
µsUs(t, µ) = µp
m∑
s=m−p+1
µsU ′s(t, µ) +
+
m∑
j=1
µm+j
m∑
s=p
Um+j−s(t, µ)Λs(t, µ)−
h
s
q
i∑
j=1
µjqDj(t)
m∑
s=m+j−jq
µsUs(t, µ)−
−
∞∑
j=
h
m
q
i
+1
µjqDj(t)
m∑
s=0
µsUs(t, µ) = µp
m∑
s=m−p+1
µs−
p(s+1−p)
n Ua
′
s (t, µ) +
+
m∑
j=1
µm+j
m∑
s=p
µ−
p
n
(m+j−s+1−p)µ−
p
n
(s−p)Uam+j−s(t, µ)Λas(t, µ)−
−
h
m
q
i∑
j=1
µjqDj(t)
m∑
s=m+j−jq
µs−
p
n
(s+1−p)Uas (t, µ)−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 105
−
∞∑
j=
h
m
q
i
+1
µjqDj(t)
m∑
s=0
µs−
p
n
(s−p+1)Uas (t, µ) =
= O
(
µp+m−p+1− p(m−p+1+1−p)
n
)
+O
(
µm+1− p
n
(m+2−2p)
)
+
+
h
s
q
i∑
j=1
O
(
µjq+m+j−jq− p
n
(m+j−jq+1−p)
)
+O
(
µ
q
h
m
q
i
+q
)
=
= O
(
µm+1− p
n
(m+2−2p)
)
+O
(
µm+1− p
n
(m+2−(p+q))
)
+O
(
µ
q
h
m
q
i
+q
)
=
= O
(
µ
m
n
(n−p)+1+ p
n
(2p−2)
)
+O
(
µ
m
n
(n−p)+1+ p
n
(p+q−2)
)
+O
(
µ
q
h
m
q
i
+q
)
.
Оскiльки на пiдставi означення цiлої частини сума q
[
m
q
]
+ q обмежиться множиною зна-
чень {m+ 1, . . . ,m+ q}, то задана матриця буде порядку
O
(
µm+1− p
n
(m+1−p)
)(
O
(
µ
p(p−1)
n
)
+O
(
µ
p(q−1)
n
)
+O
(
µ
p(m+1−p)
n
))
=
= O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)+p
)
= O
(
ε
1
q ((m+1−p)(1− p
n
)+p)
)
.
Лему доведено.
Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, леми 1, умова (29) i для t = 0
y(t, µ) = ym(t, µ), (35)
де y(t, µ) — точний розв’язок системи (4), то для будь-якого L > 0 iснує стала c > 0,
яка не залежить вiд µ i така, що для всiх t ∈ [0;L], µ ∈ (0;µ0] виконується нерiвнiсть
‖y(t, µ)− ym(t, µ)‖ ≤ µ(m−p)(1− p
n
)−p+1c. (36)
Доведення. Введемо вектор
ξ(t, µ) = y(t, µ)− ym(t, µ).
За лемою 2 даний вектор задовольнятиме систему диференцiальних рiвнянь
µp
dξ
dt
= D(t, µq)ξ +O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)+p
)
, (37)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
106 С. В. КOНДАКОВА
причому на пiдставi (35)
ξ(0, µ) = 0.
У системi (37) виконаємо замiну змiнних
ξ(t, µ) = B(t, µp)η(t, µ).
В результатi отримаємо
µp
dη
dt
= [W ∗(t, µp) + µpD1(t, µq)]η +B−1(t, µp)O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)+p
)
, (38)
де
D1(t, µq) = B−1(t, µp)
[ ∞∑
s=1
µsq−pDs(t)B(t, µp)−B′(t, µp)
]
.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
µp
dη
dt
= W ∗(t, µp)η,
яка має розв’язок
η(t, µp) = exp
1
µp
t∫
0
W ∗(τ, µp) dτ
c,
де c — сталий n-вимiрний вектор.
Тому систему (38) можна замiнити еквiвалентною системою iнтегральних рiвнянь
η(t, µ) =
t∫
0
exp
1
µp
t∫
t1
W ∗(τ, µp) dτ
D1(t1, µq)η(t1, µ)dt1 +
+
t∫
0
exp
1
µp
t∫
t1
W ∗(τ, µp) dτ
B−1(t1, µp)O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)
)
dt1.
Звiдси дiстаємо
‖η(t, µ)‖ ≤
t∫
0
∥∥∥∥∥∥exp
1
µp
t∫
t1
W ∗(τ, µp) dτ
∥∥∥∥∥∥ ‖D1(t1, µq)‖‖η(t1, µ)‖dt1 +
+
t∫
0
∥∥∥∥∥∥exp
1
µp
t∫
t1
W ∗(τ, µp) dτ
∥∥∥∥∥∥ ‖B−1(t1, µp)‖‖O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)
)
‖dt1. (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 107
Згiдно з (29) ∥∥∥∥∥∥exp
1
µp
t∫
t1
W ∗(τ, µp) dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤ 1.
Оскiльки елементи матрицi Ds(t) = T−1(t)As(t)T (t) неперервно диференцiйовнi на
вiдрiзку [0;L], q ≥ p, то iснує стала M1 > 0, яка не залежить вiд µ i така, що для всiх
τ ∈ [0;L], µ ∈ (0, µ0]
∞∑
s=1
µsq−pDs(t) ≤ M1, тому
‖D1(t1, µ)‖ =
∥∥∥∥∥B−1(t, µ)
[ ∞∑
s=1
µsq−pDs(t)B(t, µ)−B′(t, µ)
]∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥B−1(t, µ)M1B(t, µ)−B−1(t, µ)B′(t, µ)
∥∥ =
∥∥M1 −B−1(t, µ)B′(t, µ)
∥∥ .
На пiдставi (21), (23), (24) iснують додатнi сталi M2, M3, якi не залежать вiд µ i такi, що
‖B−1(t, µ)‖ = µ−
p(n−1)
n
O
(
ε
n−1
n
)
O
(
ε
n−2
n
)
. . . O
(
ε0
)
O
(
ε
n−1
n
)
O
(
ε
n−2
n
)
. . . O
(
ε0
)
. . . . . . . . . . . .
O
(
ε
n−1
n
)
O
(
ε
n−2
n
)
. . . O
(
ε0
)
≤ µ−
p(n−1)
n M2,
‖B−1(t, µ)B′(t, µ)‖ ≤ M3.
Kрiм того,
‖O
(
µ(m+1−p)(1− p
n
)
)
‖ ≤ µ(m+1−p)(1− p
n
)M4.
Тому (39) можна переписати у виглядi
‖η(t, µ)‖ ≤ M
t∫
0
‖η(t1, µ)‖dt1 + µ(m−p)(1− p
n
)−p+1M2M4L,
де M = |M1 −M3|.
За лемою Гронуолла – Беллмана
‖η(t, µ)‖ ≤ µ(m−p)(1− p
n
)−p+1M2M4Le
ML. (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
108 С. В. КOНДАКОВА
Оскiльки
‖ξ‖ = ‖y(t, µ)− ym(t, µ)‖ = ‖B(t, µp)‖‖η(t, µ)‖,
то на пiдставi (21), неперервної диференцiйовностi елементiв матрицi B(t, µ) та (40) мож-
на записати
‖y(t, µ)− ym(t, µ)‖ ≤ µ(m−p)(1− p
n
)−p+1c.
Теорему доведено.
Приклад. Розглянемо систему
ε
1
3
dx
dt
= (A0(t) + εA1(t))x,
де
A0(t) =
0 1 0 0 0
−t2 2t 0 0 0
1 0 t 0 0
−t3 + 2t2 − 1 −t t 2t −t2
t −t 1 1 0
, A1 =
0 1 0 0 0
t 2t 0 0 0
−1 0 0 t 0
t2 0 t 0 −t
t 0 0 1 0
.
Якщо позначити ε
1
3 = µ, то отримаємо
µ
dx
dt
= A0(t) + µ3A1(t).
Розглянемо характеристичне рiвняння det ‖A0(t)− λ0E‖ = 0, або∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ0 1 0 0 0
−t2 2t− λ0 0 0 0
1 0 t− λ0 0 0
−t3 + 2t2 − 1 −t t 2t− λ0 −t2
t −t 1 1 −λ0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
− λ0(2t− λ0)[(t− λ0)(2t− λ0)(−λ0) + t2(t− λ0)] +
+ t2
[
(t− λ0)(2t− λ0)(−λ0) + t2(t− λ0)
]
=
= (t− λ0)[(−2tλ0 + λ2
0 + t2)(−2tλ0 + λ2
0 + t2)] = (t− λ0)5 = 0.
Отже, маємо корiнь λ0 = t п’ятої кратностi. Визначимо кратнiсть елементарних дiль-
никiв. Для цього розглянемо всi детермiнанти четвертого порядку. Безпосереднi обчис-
лення показують, що детермiнантиD13, D14, D23, D24 дiляться без остачi на (t−λ)2. Решта
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ РАЦIОНАЛЬНОГО РАНГУ 109
детермiнантiв дiляться на (t−λ)3 i т. д. Отже,m1 = 2. Якщо розглянути детермiнанти тре-
тього порядку, то видно, що не всi вони дiляться на t− λ0. Зокрема,
∥∥∥∥∥∥
1 0 t− λ0
−t3 + 2t2 − 1 −t t
t −t 1
∥∥∥∥∥∥ = −t+ t2 + (t− λ0)(t4 − 2t3 + t+ t2) 6
...(t− λ0).
Отже, m2 = 0. Тому, l1 = 5− 2 = 3, l2 = 2− 0 = 2. Канонiчною формою матрицi A0(t) є
квазiдiагональна матриця
W (t) =
t 1 0 0 0
0 t 1 0 0
0 0 t 0 0
0 0 0 t 1
0 0 0 0 t
.
За матрицю перетворення вiзьмемо матрицю
T (t) =
0 1 0 0 0
0 t 1 0 0
1 0 t 0 1
−1 t2 1 t 0
0 1 0 1 0
, T−1(t) =
−2t+ t2 1 0 −1 t
1 0 0 0 0
−t 1 0 0 0
−1 0 0 0 1
2t −1− t 1 1 −t
.
Виконавши пiдстановку x = T (t)y, перейдемо до системи вигляду (4), де
D0(t) = W (t)− µT−1(t)T ′(t) =
t 1− µ(1− 2t) 0 µ 0
0 t 1 0 0
0 µ t 0 0
0 0 0 t 1
0 −µ(t− 1) −µ −µ t
,
D1 = T−1(t)A1(t) =
t t2 −t t t
0 1 0 0 0
t t 0 0 0
t −1 0 1 0
t2 − t− 1 −2t2 t 0 −t
.
Характеристичне рiвняння
det
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
t 1− µ(1− 2t) 0 µ 0
0 t 1 0 0
0 µ t 0 0
0 0 0 t 1
0 −µ(t− 1) −µ −µ t
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
= (t− λ)((t− λ)4 − µ2) = 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
110 С. В. КOНДАКОВА
має 5 простих коренiв: λ1 = t, λ2 = t− µ
1
2 , λ3 = t+ µ
1
2 , λ4 = t− iµ
1
2 , λ5 = t+ iµ
1
2 . Отже,
можна застосувати теорему 1. Знаходимо
Λ0 =
t 0 0 0 0
0 t−√µ 0 0 0
0 0 t+
√
µ 0 0
0 0 0 t− i√µ 0
0 0 0 0 t+ i
√
µ
,
U0=
1 1 1 1 1
0 −
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
2
√
µ
2 + 3µt− µ√µ
−
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
−
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
0
2µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
2µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
2µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
2µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
0 −
√
µ(
√
µ− t+ 1)
2 + 3µt+ µ
√
µ
−
√
µ(
√
µ+ t− 1)
2 + 3µt+ µ
√
µ
−
√
µ(
√
µ− t+ 1)
2 + 3µt+ µ
√
µ
−
√
µ(
√
µ− t+ 1)
2 + 3µt+ µ
√
µ
0 −
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
2
√
µ
2 + 3µt− µ√µ
−
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
−
2
√
µ
2 + 3µt+ µ
√
µ
.
Наступнi матрицi рядiв (8) знаходимо за формулами (11) – (15). При цьому з аналiзу ко-
ренiв „збуреного” характеристичного рiвняння з (15) випливає, що кожна наступна мат-
риця рядiв (8) зменшується на величину порядкуO
(
µ
1
2
)
, що з кожним кроком приводить
до збiльшення особливостi по µ типу полюса, яка, однак, усуватиметься за рахунок ко-
ефiцiєнтiв µs. Отже, за теоремою 2 отримане за теоремою 1 m-те наближення вiдрiзня-
тиметься вiд точного розв’язку на величину порядку O(µm(1− 1
2
)). Цей же результат ми
отримуємо при безпосередньому обчисленнi.
1. Григоренко В. К. Об асимптотическом разложении решений систем линейных дифференциальных
уравнений: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1971. — 213 с.
2. Шкиль Н. И. Об асимптотических методах в теории линейных дифференциальных уравнений и их
применении. — Киев: КСУ, 1996. — Ч.1. — 198 с.; 1997. — Ч.2. — 226 c.
Одержано 10.10.2002,
пiсля доопрацювання — 12.06.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
|