Про стійкість за лінійним наближенням
Отримано новi твердження про стiйкiсть за лiнiйним наближенням.
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176999 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про стійкість за лінійним наближенням / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 132-145. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176999 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1769992021-02-10T01:26:04Z Про стійкість за лінійним наближенням Слюсарчук, В.Ю. Отримано новi твердження про стiйкiсть за лiнiйним наближенням. We obtain new statements on stability from a linear approximation 2004 Article Про стійкість за лінійним наближенням / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 132-145. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176999 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано новi твердження про стiйкiсть за лiнiйним наближенням. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Про стійкість за лінійним наближенням Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Про стійкість за лінійним наближенням |
| title_short |
Про стійкість за лінійним наближенням |
| title_full |
Про стійкість за лінійним наближенням |
| title_fullStr |
Про стійкість за лінійним наближенням |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість за лінійним наближенням |
| title_sort |
про стійкість за лінійним наближенням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176999 |
| citation_txt |
Про стійкість за лінійним наближенням / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 132-145. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû prostíjkístʹzalíníjnimnabližennâm |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:30Z |
| _version_ |
1837725333568094208 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ
В. Ю. Слюсарчук
Укр. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@USUWM.rv.ua
We obtain new statements on stability from a linear approximation.
Отримано новi твердження про стiйкiсть за лiнiйним наближенням.
У данiй роботi для рiзницевих i диференцiально-функцiональних рiвнянь наведено тверд-
ження про стiйкiсть розв’язкiв за лiнiйним наближенням, що є новими навiть у випадку
скiнченновимiрного банахового простору.
1. Стiйкiсть за лiнiйним наближенням розв’язкiв рiзницевих рiвнянь. У теорiї рiзни-
цевих рiвнянь важливим є наступне твердження.
Теорема 1 [1, 2]. Нехай:
1) B — нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння
xn+1 = Bxn, n ≥ 0, (1)
де B — лiнiйний неперервний оператор, що дiє в банаховому просторi E, є експоненцi-
ально стiйким;
2) для деякого числа ν > 0 оператори Gn : E −→ E, n ≥ 0, задовольняють спiв-
вiдношення
sup
n≥0
‖Gnx‖ ≤ ν‖x‖, якщо ‖x‖ ≤ R,
де R — додатне число, i
ν
∞∑
k=0
‖Bk‖ < 1.
Тодi нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння
xn+1 = Bxn +Gnxn, n ≥ 0, (2)
є локально експоненцiально стiйким.
Доведення. Завдяки першiй умовi теореми
lim
n→+∞
n
√
‖Bn‖ < 1
c© В. Ю. Слюсарчук, 2004
132 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 133
(див., наприклад, [2]). Тому ряд
∞∑
k=0
‖Bk‖ збiгається. Введемо в просторi E нову норму
рiвнiстю
‖x‖B =
∞∑
k=0
‖Bkx‖.
Очевидно, що ‖x‖ ≤ ‖x‖B ≤ M‖x‖, де M =
∞∑
k=0
‖Bk‖. Оцiнюючи рiзницю
4‖xn‖B = ‖xn+1‖B − ‖xn‖B
з урахуванням рiвняння (2), отримуємо
4‖xn‖B =
∞∑
k=0
‖Bkxn+1‖ −
∞∑
k=0
‖Bkxn‖ =
=
∞∑
k=0
‖Bk+1xn +BkGnxn‖ −
∞∑
k=0
‖Bkxn‖ ≤
≤ −‖xn‖+
∞∑
k=0
‖BkGnxn‖ ≤ −‖xn‖+M‖Gnxn‖ ≤
≤ −‖xn‖+Mν‖xn‖ = (−1 +Mν)‖xn‖ ≤
Mν − 1
M
‖xn‖B
(вважаємо, що ‖xn‖ ≤ R).
Таким чином,
4‖xn‖B ≤
Mν − 1
M
‖xn‖B,
якщо ‖xn‖ ≤ R. Тому
‖xn+1‖B ≤
(
1 +
Mν − 1
M
)
‖xn‖B
i
‖xn‖ ≤ M
(
1 +
Mν − 1
M
)n−n0
‖xn0‖, n ≥ n0,
якщо ‖xn0‖ ≤
R
M
, де n0 — довiльне цiле невiд’ємне число. Звiдси випливає, що нульовий
розв’язок рiвняння (2) є локально експоненцiально стiйким.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
134 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Наслiдок 1. Нехай виконується перша умова теореми 1 i
sup
n≥0
‖Gnx‖ = o(‖x‖) при ‖x‖ → 0.
Тодi нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiй-
ким.
Використаємо доведення теореми 1 для встановлення бiльш важливого для подаль-
ших дослiджень твердження.
Справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай:
1) нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (1) є експоненцiально стiйким;
2) для операторiв Gn : E −→ E, n ≥ 0, справджується спiввiдношення
sup
n≥0
‖Gnx‖ ≤ ϕ(‖x‖), якщо ‖x‖ ≤ R,
де R — додатне число i ϕ : [0, R] −→ [0,+∞) — строго зростаюча неперервна функцiя,
для якої ϕ(0) = 0;
3) для деякого додатного числа ν
sup
n≥1
‖Gn(Bx+Gn−1x)‖ ≤ ν‖x‖, якщо ‖x‖ ≤ R,
i
√
ν
∞∑
k=0
‖Bk‖ < 1,
де R — те саме число, що й у другiй умовi теореми.
Тодi нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiй-
ким.
Доведення. Використовуючи тi самi позначення, що й при доведеннi теореми 1, отри-
муємо
4‖xn‖B ≤ − ‖xn‖+
∞∑
k=0
‖BkGnxn‖ ≤ −‖xn‖+M‖Gnxn‖ ≤
≤ − ‖xn‖+M‖Gn(B +Gn−1)xn−1‖ ≤ −
1
M
‖xn‖B +Mν‖xn−1‖ ≤
≤ − 1
M
‖xn‖B +Mν‖xn−1‖B
(вважаємо, що ‖xn−1‖B ≤ R). Отже,
‖xn+1‖B ≤
(
1− 1
M
)
‖xn‖B +Mν‖xn−1‖B, (3)
якщо ‖xn−1‖B ≤ R.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 135
Нехай n0 — довiльне цiле невiд’ємне число, µ — таке число з промiжку (0, R], що
‖B‖µ+ ϕ(µ) ≤ R
M
,
i
‖xn0‖B ≤ µ.
Тодi на пiдставi (2)
‖xn0+1‖B ≤ R.
Тому завдяки (3) i тому, що ∣∣∣∣1− 1
M
∣∣∣∣+Mν < 1, (4)
для всiх n ≥ n0
‖xn‖B ≤ R
(спiввiдношення (4) випливає з третьої умови теореми i того, що M ≥ 1).
Iз (3) отримуємо
‖xn+1‖B ≤
(
1− 1
M
+Mν
)
max {‖xn‖B, ‖xn−1‖B} ,
якщо ‖xn−1‖B ≤ R. Тому
‖xn‖B ≤
(
1− 1
M
+Mν
)[n−n0
2
]
max {‖xn0‖B, ‖xn0+1‖B}
для всiх n ≥ n0, якщо
max {‖xn0‖B, ‖xn0+1‖B} ≤ R,
де
[
n− n0
2
]
— цiла частина числа
n− n0
2
. Звiдси та з (4) випливає локальна експоненцi-
альна стiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (2).
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 2. Нехай виконуються першi двi умови теореми 2 i
sup
n≥1
‖Gn(B +Gn−1)x‖ = o(‖x‖) при ‖x‖ → 0.
Тодi нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiй-
ким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
136 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Наслiдок 3. Нехай B ∈ L(E,E), (Cn)n≥0 — обмежена послiдовнiсть елементiв про-
стору L(E,E) i нульовий розв’язок рiвняння
xn+1 = Bxn, n ≥ 0,
є експоненцiально стiйким.
Тодi iснує додатне число ε0, залежне вiд B, таке, що у випадку
sup
n≥0
‖Cn+1(B + Cn)‖ ≤ ε0 (5)
нульовий розв’язок рiвняння
xn+1 = Bxn + Cnxn, n ≥ 0, (6)
є експоненцiально стiйким.
Зауваження 1. У цьому твердженнi величина sup
n≥0
‖Cn‖ може бути досить великою,
що пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад. Нехай банахiв простiр E подається у виглядi
E = E1 ⊕ E2 ⊕ E3,
деEk, k = 1, 3, — пiдпростори просторуE (так подати простiрE можна, якщо dimE ≥ 3).
Для k ∈ {1, 2, 3} розглянемо оператор проектування Pk на Ek паралельно Ek1 ⊕ Ek2 , де
k1 < k2 i k 6∈ {k1, k2}. Визначимо оператори B,Cn ∈ L(E,E), n ≥ 0, рiвностями
B =
1
2
P1
i
Cn =
{
ωP2, якщо n — парне число;
ωP3, якщо n — непарне число,
де ω – довiльне дiйсне число. Тодi
Cn+1(B + Cn) = O
для всiх n ≥ 0, тобто спiввiдношення (5) виконується для кожного ε0 > 0, нульовий
розв’язок рiвняння (1) є експоненцiально стiйким i, отже, нульовий розв’язок рiвняння (6)
також є експоненцiально стiйким за наслiдком 3 (зазначимо, що ця властивiсть нульового
розв’язку рiвняння (6) має мiсце для довiльного ω ∈ R).
Очевидно, що
sup
n≥0
‖Cn‖ = |ω|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 137
Ця величина може бути як завгодно великою.
Наведемо ще одне твердження.
Теорема 1. Нехай:
1) E1 — банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖E1 , E1 ⊂ E, E1 6= E i ‖x‖E1 ≥ ‖x‖E для всiх
x ∈ E1;
2) B : E −→ E1 — лiнiйний неперервний оператор i нульовий розв’язок рiзницевого
рiвняння (1) є експоненцiально стiйким;
3) для операторiв Gn : E −→ E1, n ≥ 0, справджуються спiввiдношення
sup
n≥0
‖Gnx‖E1 ≤ a‖x‖E , якщо ‖x‖E ≤ r, (7)
i
sup
n≥0
‖Gnx‖E ≤ b‖x‖E1 , якщо ‖x‖E1 ≤ r, (8)
де a, b i r — додатнi числа.
Якщо
√
b
(
‖A‖L(E,E1) + a
) ∞∑
k=0
‖Bk‖L(E,E) < 1,
то нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiйким.
Ця теорема випливає з теореми 2. Справдi, завдяки першiй i другiй умовам теореми
операторB є елементом простору L(E,E), а нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (1)
є експоненцiально стiйким. З третьої умови теореми випливає, що справджується друга
умова теореми 2. Розглянемо таке число R ∈ (0, r], щоб
‖B‖L(E,E1)R+ aR ≤ r.
Якщо ‖x‖E ≤ R, то
‖Bx+Gnx‖E1 ≤ r.
Тому завдяки (7) i (8) для таких x
sup
n≥1
‖Gn(Bx+Gn−1x)‖E ≤
≤ b‖Bx+Gn−1x‖E1 ≤ b
(
‖B‖L(E,E1) + a
)
‖x‖E ,
тобто виконується третя умова теореми 2, якщо
ν = b
(
‖B‖L(E,E1) + a
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
138 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Таким чином, усi умови теореми 2 виконано.
Отже, нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiй-
ким.
Наслiдок 4. Нехай виконуються першi двi умови теореми 3, справджується спiввiд-
ношення (7) i
sup
n≥0
‖Gnx‖E = o (‖x‖E1) при ‖x‖E1 → 0.
Тодi нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (2) є локально експоненцiально стiй-
ким.
2. Стiйкiсть за лiнiйним наближенням розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiв-
нянь iз запiзненням. Розглянемо довiльне число T > 0, замкненi кулi
B0[0, r] =
{
y ∈ C([−T, 0], E) : ‖y‖C([−T,0],E) ≤ r
}
,
B1[0, r] =
{
y ∈ C1([−T, 0], E) : ‖y‖C1([−T,0],E) ≤ r
}
,
лiнiйний неперервний оператор A : C([−T, 0], E) −→ E i неперервний оператор F :
[0,+∞)× C([−T, 0], E) −→ E, що задовольняє умови:
а) F (t, 0) = 0 для всiх t ≥ 0;
б) iснують сталi a > 0 i N > 0 такi, що
sup
t≥0
‖F (t, x)− F (t, y)‖E ≤ N‖x− y‖C([−T,0],E)
для всiх x, y ∈ B0[0, a].
Наведемо достатнi умови експоненцiальної стiйкостi нульового розв’язку рiвняння
dx(t)
dt
= Axt + F (t, xt), t ≥ 0, (9)
де
xt = xt(θ) = x(t+ θ), θ ∈ [−T, 0].
Такого типу рiвняння були об’єктом дослiдження у багатьох роботах (див., наприклад,
[3 – 6]).
Справедливою є така теорема.
Теорема 4. Нехай для вiдображення F виконано умови а), б) i нульовий розв’язок
рiвняння
dy(t)
dt
= Ayt, t ≥ 0, (10)
є експоненцiально стiйким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 139
Тодi у випадку досить малого числа N нульовий розв’язок рiвняння (9) є локально
експоненцiально стiйким.
Ця теорема аналогiчна вiдповiднiй теоремi Ляпунова [7] i є окремим випадком бiльш
загального твердження, наведеного у [8].
Зауважимо, що у випадку
F (t, xt) = x(t)− x(t− ε), ε ∈ (0, T ],
i експоненцiально стiйкого нульового розв’язку рiвняння (10) iз теореми 4 не випливає,
що нульовий розв’язок рiвняння (9) є локально експоненцiально стiйким для досить ма-
лого ε > 0, оскiльки
inf
ε∈(0,T ]
sup
x∈B[0,a], t≥0
‖x(0)− x(−ε)‖E = 2a
(у цьому випадку N = 2 для всiх ε ∈ (0, T ]) i число 2 може не бути „досить малим”.
Наведемо твердження про експоненцiальну стiйкiсть за лiнiйним наближенням, що
можна застосовувати до дослiдження рiвнянь i з такого типу вiдображеннями F .
Теорема 5. Нехай:
1) виконуються умови а) i б);
2) для деякого числа N1 > 0 справджується нерiвнiсть
sup
t≥0
‖F (t, x)− F (t, y)‖E ≤ N1‖x− y‖C1([−T,0],E)
для всiх x, y ∈ B1[0, a];
3) нульовий розв’язок рiвняння (10) є експоненцiально стiйким.
Тодi у випадку досить малого числа N1 нульовий розв’язок рiвняння (9) є локально
експоненцiально стiйким.
Це твердження доводиться зведенням рiвняння (9) до рiзницевого рiвняння вигляду
(2) i застосуванням до нього теореми 2.
Розглянемо оператор Uн(t1), t1 ≥ 0, зсуву на T вздовж розв’язкiв рiвняння (9), тобто
оператор, який кожному елементу g = g(θ) простору C([−T, 0], E) ставить у вiдповiднiсть
елемент xt1+T цього ж простору, породжений розв’язком x = x(t) рiвняння (9), що задо-
вольняє початкову умову xt1(θ) = g(θ), θ ∈ [−T, 0] (див. [8]). Iснування оператора Uн(t1)
випливає з обмежень на F (t, x) i A. Звiдси також випливає, що xt1+T ∈ C1([−T, 0], E)
для кожного g ∈ C([−T, 0], E), якщо xt1 = g, i оператор Uн(t1) : C([−T, 0], E) −→
−→ C1([−T, 0], E) є неперервним.
Очевидно, що
x(n+1)T = Uн(nT )xnT , n ≥ 0. (11)
Розглянемо також оператор Uл(t1), t1 ≥ 0, зсуву на T вздовж розв’язкiв лiнiйного
рiвняння (10), тобто оператор, який кожному елементу g = g(θ) простору C([−T, 0], E)
ставить у вiдповiднiсть елемент yt1+T цього ж простору (точнiше просторуC1([−T, 0], E)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
140 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
породжений розв’язком y = y(t) рiвняння (10), що задовольняє початкову умову yt1(θ) =
= g(θ), θ ∈ [−T, 0].
Очевидно, що
Uл(nT ) = Uл((n+ 1)T ), n ∈ N ∪ {0}. (12)
Визначимо оператор Φn : C([−T, 0], E) −→ C1([−T, 0], E) рiвнiстю
Φn = Uн(nT )− Uл(nT ).
Завдяки (12) рiзницеве рiвняння (11) набирає вигляду
x(n+1)T = Uл(0)xnT + ΦnxnT , n ≥ 0. (13)
Отже, дослiдження рiвняння (9) зводиться до дослiдження рiзницевого рiвняння (13).
Очевидною є така лема.
Лема 1. Наступнi твердження є рiвносильними:
1) нульовий розв’язок диференцiально-функцiонального рiвняння (9) є локально екс-
поненцiально стiйким;
2) нульовий розв’язок рiзницевого рiвняння (13) є локально експоненцiально стiй-
ким.
Наведемо твердження про оцiнки для sup
n≥0
‖Φnv‖C([−T,0],E) в деякому досить малому
околi нульового елемента простору C([−T, 0], E), що дадуть змогу обґрунтувати тео-
рему 5.
Лема 2. Нехай вiдображення F задовольняє умови а) i б).
Тодi
sup
n≥0
‖Φnv‖C([−T,0],E) ≤ NTe(2Q+N)T ‖v‖C([−T,0],E) (14)
для всiх v ∈ B0[0, γ], де
Q = ‖A‖L(C([−T,0],E),E)
i
γ = a
(
eQT +NTe(2Q+N)T
)−1
.
Доведення. Виберемо довiльну функцiю g ∈ B0[0, γ]. Нехай x(t) i y(t) — розв’язки
вiдповiдно рiвнянь (9) i (10) на вiдрiзку [nT, (n + 1)T ], що задовольняють умови xnT (θ) =
= g(θ), ynT (θ) = g(θ), θ ∈ [−T, 0]. Розглянемо функцiю
w(t) =
{
0, якщо t ∈ [(n− 1)T, nT ];
x(t)− y(t), якщо t ∈ [nT, (n+ 1)T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 141
Очевидно, що
w(t) + y(t) = g(0) +
t∫
nT
A (wτ + yτ ) dτ +
+
t∫
nT
F (τ, wτ + yτ )dτ, t ∈ [nT, (n+ 1)T ], (15)
i
y(t) = g(0) +
t∫
nT
Ayτdτ, t ∈ [nT, (n+ 1)T ]. (16)
Iз (15) i (16) випливає
w(t) =
t∫
nT
Awτdτ +
t∫
nT
F (τ, wτ + yτ )dτ (17)
для всiх t ∈ [nT, (n+ 1)T ]. Очевидно, що
w(n+1)T = Φng. (18)
Оцiнимо ‖w(n+1)T ‖C([−T,0],E). Iз (16) випливає нерiвнiсть
‖y(n+1)T ‖C([−T,0],E) ≤ eQT ‖g‖C([−T,0],E). (19)
Використаємо цю нерiвнiсть для оцiнки ‖w(n+1)T ‖C([−T,0],E). Подамо спiввiдношення (17)
у виглядi
w(t) =
t∫
nT
F (τ, yτ )dτ +
t∫
nT
Awτdτ +
t∫
nT
F1(τ, wτ , yτ )dτ, (20)
де t ∈ [nT, (n+ 1)T ] i
F1(τ, z, y) = F (τ, y + z)− F (τ, y). (21)
Тут y, z ∈ C([−T, 0], E). Очевидно, що
sup
t≥0
‖F1(t, z, y)‖E ≤ N‖z‖C([−T,0],E), (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
142 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
якщо ‖y + z‖C([−T,0],E) ≤ a i ‖y‖C([−T,0],E) ≤ a. Iз спiввiдношень (19) – (22), iз неперерв-
ностi функцiї w(t) та з нерiвностi b = eQT ‖g‖C([−T,0],E) < a випливає, що iснує вiдрiзок
[nT, β] ⊂ [nT, (n+ 1)T ], β > nT , для якого
‖w(t)‖E ≤ TNb+
t∫
nT
(Q+N)‖wτ‖C([−T,0],E)dτ (23)
для всiх t ∈ [nT, β]. Оскiльки ‖w(t)‖E ≤ TNbe(Q+N)(t−nT ) для t ∈ [nT, β], що випливає з
(23), i TNbe(Q+N)T + b ≤ a, то нерiвнiсть (23) справджується i для β = (n+ 1)T .
Таким чином, завдяки (23)
‖w(n+1)T ‖C([−T,0],E) ≤ TNbe(Q+N)T .
Враховуючи (18) i те, що
b = eQT ‖g‖C([−T,0],E),
отримуємо (14), якщо ‖g‖C([−T,0],E) ≤ γ.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай:
1) вiдображення F задовольняє умови а) i б);
2) справджується друга умова теореми 4.
Тодi
sup
n≥1
‖Φn(Uл(0)u+ Φn−1u)‖C([−T,0],E) ≤
≤ N1T (1 +Q)e(2Q+N)T sup
n≥1
‖Uл(0)u+ Φn−1u‖C([−T,0],E) (24)
для всiх u ∈ B0[0, γ1], де
γ1 =
γ
(1 +Q+N)
(
1 + (1 +Q)eQT +NTe(2Q+N)T
) .
Зауважимо, що Q i γ визначено в лемi 2.
Доведення. Вважатимемо, що в доведеннi леми 2 n ≥ 1 i
g = Uл(0)u+ Φn−1u, (25)
де u — довiльний елемент кулi B0[0, γ1]. Тодi
g ∈ B0[0, γ] ∩B1[0, a]. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
ПРО СТIЙКIСТЬ ЗА ЛIНIЙНИМ НАБЛИЖЕННЯМ 143
Справдi, g ∈ B0[0, γ], оскiльки u ∈ B0[0, γ1], γ1 ≤ γ, i за лемою 2
‖Uл(0)u+ Φn−1u‖C([−T,0],E) ≤ ‖Uл(0)‖L(C([−T,0],E),C1([−T,0],E))‖u‖C([−T,0],E) +
+ NTe(2Q+N)T ‖u‖C([−T,0],E) ≤
(
(1 +Q)eQT +NTe(2Q+N)T
)
‖u‖C([−T,0],E). (27)
Тут використано нерiвнiсть
‖Uл(0)‖L(C([−T,0],E),C1([−T,0],E)) ≤ (1 +Q)eQT , (28)
що випливає з властивостей розв’язкiв рiвняння (10). Включення g ∈ B1[0, a] справджу-
ється, оскiльки u ∈ B0[0, γ1], функцiя g = g(t) є розв’язком задачi
dy(t)
dt
= Ayt + F (t, yt), t ∈ [nT, (n+ 1)T ],
ynT (θ) = u(θ), θ ∈ [−T, 0],
звiдки випливає, що для всiх t ∈ [nT, (n+ 1)T ]∥∥∥∥dy(t)
dt
∥∥∥∥
E
≤ (Q+N)
(
‖y(n+1)T ‖C([−T,0],E) + ‖u‖C([−T,0],E)
)
=
= (Q+N)
(
‖Uл(0)u+ Φn−1u‖C([−T,0],E) + ‖u‖C([−T,0],E)
)
≤
≤ (Q+N)
(
1 + (1 +Q)eQT +NTe(2Q+N)T
)
‖u‖C([−T,0],E)
i
‖Uл(0)u+ Φn−1u‖C1([−T,0],E) ≤ ‖Uл(0)u+ Φn−1u‖C([−T,0],E) +
+ ≤ (Q+N)
(
1 + (1 +Q)eQT +NTe(2Q+N)T
)
‖u‖C([−T,0],E) ≤
≤ (1 +Q+N)
(
1 + (1 +Q)eQT+ NTe(2Q+N)T
)
‖u‖C([−T,0],E) ≤ a
(тут враховано означення норми в C1([−T, 0], E), спiввiдношення (25), (28), включення
u ∈ B0[0, γ1] i те, що 0 < γ ≤ a).
Завдяки (25) та включенням (26), u ∈ B0[0, γ1] у спiввiдношеннях (15) – (17) i (20) фун-
кцiя yτ є елементом множини B1[0, a] для кожного τ ∈ [nT, (n + 1)T ]. Тому для F (t, yt),
t ∈ [nT, (n+ 1)T ], можна використовувати другу умову теореми 5.
Очевидно, що з (16) випливає не лише спiввiдношення (19), а й спiввiдношення
‖y(n+1)T ‖C1([−T,0],E) ≤ (1 +Q)eQT ‖g‖C([−T,0],E). (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
144 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Iз спiввiдношень (20), (22) i (29), iз неперервностi функцiї w(t) та з нерiвностi b = (1 +
+Q)eQT ‖g‖C([−T,0],E) < a випливає, що iснує вiдрiзок [nT, β] ⊂ [nT, (n+ 1)T ], β > nT , для
якого
‖w(t)‖E ≤ TN1b+
t∫
nT
(Q+N)‖wτ‖C([−T,0],E)dτ (30)
для всiх t ∈ [nT, β]. Тут використано оцiнку∥∥∥∥∥∥
t∫
nT
F (τ, yτ )dτ
∥∥∥∥∥∥
E
≤ TN1‖y(n+1)T ‖C1([−T,0],E), t ∈ [nT, (n+ 1)T ],
що встановлюється за допомогою другої умови леми. Оскiльки
‖w(t)‖E ≤ TN1be
(Q+N)(t−nT )
для t ∈ [nT, β], що випливає з (30), i TN1be
(Q+N)T+b ≤ a, то нерiвнiсть (30) справджується
i для β = (n+ 1)T .
Таким чином, завдяки (30)
‖w(n+1)T ‖C([−T,0],E) ≤ TN1be
(Q+N)T .
Враховуючи (18), (25) i те, що
b = (1 +Q)eQT ‖g‖C([−T,0],E),
отримуємо (24).
Лему 3 доведено.
Зауважимо, що теорема 5 є наслiдком теореми 2, лем 1 – 3 i того, що з третьої умови
теореми 5 випливає експоненцiальна стiйкiсть нульового розв’язку лiнiйного рiзницевого
рiвняння (11).
Наслiдок 5. Нехай A i B — лiнiйнi неперервнi оператори, що дiють iз простору
C([−T, 0], E) в простiр E, i нульовий розв’язок рiвняння
dy(t)
dt
= Ayt, t ≥ 0,
є експоненцiально стiйким.
У випадку досить малої норми ‖B‖L(C1([−T,0],E),C([−T,0],E)) нульовий розв’язок рiвнян-
ня
dy(t)
dt
= Ayt +Byt, t ≥ 0,
є експоненцiально стiйким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 1
Зауваження 2. Норма ‖B‖L(C([−T,0],E),C([−T,0],E)) оператора B в попередньому твер-
дженнi може бути як завгодно великою.
На завершення зазначимо, що стiйкiсть та нестiйкiсть розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь
за лiнiйним наближенням у нескiнченновимiрному банаховому просторi були об’єктом
дослiджень у багатьох роботах (див., наприклад, [1 – 3, 8 – 17]).
1. Слюсарчук В. Е. Устойчивость решений разностных уравнений в банаховом пространстве: Дис. . . .
канд. физ.-мат. наук. — Черновцы, 1972. — 91 с.
2. Слюсарчук В. Ю. Стiйкiсть розв’язкiв рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi. — Рiвне: Вид-во Укр.
ун-ту водн. госп-ва та природокористування, 2003. — 366 с.
3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.
4. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. —
248 с.
5. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.
6. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных урав-
нений. — Киев: Наук. думка, 1981. — 80 с.
7. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.; Л.: Гостехиздат, 1950. — 472 с.
8. Слюсарчук В. Е. К вопросу об устойчивости по первому приближению систем с периодическими опе-
раторными коэффициентами и периодическими запаздываниями в банаховом пространстве // Фун-
кциональные и дифференциально-разностные уравнения. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974.
— С. 129 – 140.
9. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 535 с.
10. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
11. Слюсарчук В. Е. Разностные уравнения в функциональных пространствах // Дополнение II моногра-
фии Д.И. Мартынюка „Лекции по качественной теории разностных уравнений”. — Киев: Наук. думка,
1972. — С. 197 – 222.
12. Слюсарчук В. Е. К вопросу о неустойчивости по первому приближению // Мат. заметки. — 1978. — 23,
N◦ 5. — С. 721 – 723.
13. Слюсарчук В. Е. К теории устойчивости систем по первому приближению // Докл. АН УССР. Сер. А.
— 1981. — N◦ 9. — С. 27 – 30.
14. Слюсарчук В. Е. Новые теоремы о неустойчивости разностных систем по первому приближению //
Дифференц. уравнения. — 1983. — 19, No 5. — C. 906 – 908.
15. Слюсарчук В. Е. К неустойчивости разностных уравнений по первому приближению // Там же. —
1986. — 22, No 4. — C. 722 – 723.
16. Слюсарчук В. Е. К неустойчивости автономных систем по линейному приближению // Асимптотиче-
ские методы и их применение в задачах математической физики. — Киев: Ин-т математики АН УССР,
1990. — С. 112 – 114.
17. Слюсарчук В. Е. Теоремы о неустойчивости систем по линейному приближению // Укр. мат. журн. —
1996. — 48, No 8. — С. 1104 – 1113.
Одержано 16.09.2003
|