Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників
Обчислено точнi критерiї iснування точкового спектра оператора Лапласа в R³ , збуреного δ-потенцiалами, що зосередженi у вершинах правильних багатогранникiв, у залежностi вiд вiдстанi мiж центрами збурень i константою зв’язку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177001 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників / М.Є. Дудкін // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770012021-02-11T01:27:53Z Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників Дудкін, М.Є. Обчислено точнi критерiї iснування точкового спектра оператора Лапласа в R³ , збуреного δ-потенцiалами, що зосередженi у вершинах правильних багатогранникiв, у залежностi вiд вiдстанi мiж центрами збурень i константою зв’язку. In the case where the Laplace operator in R³ is perturbed with δ-potentials located at vertices of a regular polygon, we find exact criteria, which include the distances between the perturbation centers and the link constant, for the Laplace operator to have point spectrum. 2004 Article Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників / М.Є. Дудкін // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177001 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Обчислено точнi критерiї iснування точкового спектра оператора Лапласа в R³
, збуреного
δ-потенцiалами, що зосередженi у вершинах правильних багатогранникiв, у залежностi вiд вiдстанi мiж центрами збурень i константою зв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Дудкін, М.Є. |
| spellingShingle |
Дудкін, М.Є. Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників Нелінійні коливання |
| author_facet |
Дудкін, М.Є. |
| author_sort |
Дудкін, М.Є. |
| title |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| title_short |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| title_full |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| title_fullStr |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| title_full_unstemmed |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| title_sort |
про точковий спектр оператора лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177001 |
| citation_txt |
Про точковий спектр оператора Лапласа із δ-потенціалами у вершинах правильних багатогранників / М.Є. Дудкін // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT dudkínmê protočkovijspektroperatoralaplasaízdpotencíalamiuveršinahpravilʹnihbagatogrannikív |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:37Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:37Z |
| _version_ |
1837725340685828096 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО ТОЧКОВИЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
З δ-ПОТЕНЦIАЛАМИ У ВЕРШИНАХ ПРАВИЛЬНИХ
БАГАТОГРАННИКIВ*
М. Є. Дудкiн
Нац. тех. ун-т України „КПI”
Україна, 02057, Київ, пр. Перемоги, 37
In the case where the Laplace operator in R3 is perturbed with δ-potentials located at vertices of a regular
polygon, we find exact criteria, which include the distances between the perturbation centers and the link
constant, for the Laplace operator to have point spectrum.
Обчислено точнi критерiї iснування точкового спектра оператора Лапласа в R3, збуреного
δ-потенцiалами, що зосередженi у вершинах правильних багатогранникiв, у залежностi вiд вiд-
станi мiж центрами збурень i константою зв’язку.
Вступ. Майже столiття вiдомi фiзичнi моделi, в яких розглядались потенцiали нульового
радiуса (див., наприклад, роботи Є. Фермi (1933)). Точний математичний сенс операто-
ра Лапласа, збуреного δ-потенцiалами, вперше визначили Ф. А. Березiн, Р. А. Мiнлос,
Л. Д. Фаддєєв (1961, 1962). З того часу наука про збурення оператора сингулярними по-
тенцiалами набула широкого розвитку. До 1991 року найбiльш повну бiблiографiю iз за-
значеної тематики можна знайти в монографiї С. Альбеверiо (зi спiвавторами) [1]. В абст-
рактному виглядi цю науку розвинув i детально дослiдив В. Д. Кошманенко [2].
Дана робота торкається проблеми дослiдження точкового спектра оператора Лапла-
са, збуреного δ-функцiями, що зосередженi у вершинах правильних багатогранникiв. Ви-
являється, що у такому випадку можна отримати деякi загальнi властивостi спектра збу-
реного оператора.
Попереднi вiдомостi. Будемо використовувати позначення, введенi в [1].
Розглянемо модель, задану формальним виразом
−∆̃a,Y = −∆ +
N∑
j=1
αjδ(x− yj), N < ∞, (1)
де через −∆ позначено оператор Лапласа, визначений у L2(R3, dx), δ(x − yj) – δ-функцiї
Дiрака, зосередженi на точковiй множинi Y := {yj}Nj=1, yj ∈ R3, i a := {αj}Nj=1, αj ∈ R, –
вiдповiднi константи зв’язку [1].
Формальний вираз (1) можна записати за допомогою резольвент [1]:
(−∆̃a,Y − k2)−1 = (−∆− k2)−1 +
N∑
j,j′=1
[Γa,Y(k)]−1
j,j′(Gk(· − yj′), ·)Gk(· − yj), (2)
∗ Частково пiдтримано проектами INTAS N 00-257, DFG 436 UKR 113/53, DFG 436 UKR 113/67.
c© М. Є. Дудкiн, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 147
148 М. Є. ДУДКIН
де Im(k) > 0, Gk(x − x′) =
eik|x−x
′|
4π|x− x′|
, x, x′ ∈ R3, Γa,Y(k) =
[(
αj −
ik
4π
)
δj,j′ − G̃k(yj −
−yj′)
]N
j,j′=1
— матриця, в якiй G̃k(d) =
{
Gk(d), d 6= 0;
0, d = 0,
δj,j′ — символ Кронекера.
У цiй роботi дослiджується задача на власнi значення для збуреного оператора−∆̃a,Y,
тобто
−∆̃a,Yψ = λψ, λ ∈ R, ψ ∈ L2(R3, dx). (3)
Пiд дослiдженням розумiється встановлення iснування, кiлькостi та кратностi вiд’ємних
власних значень збуреного оператора. Оскiльки власнi значення оператора −∆̃a,Y є по-
люсами його резольвенти i, вiдповiдно, нулями визначника матрицi Γa,Y(k), то задача (3)
зводиться до задачi
det |Γa,Y(λ)| = 0, λ < 0, (4)
де λ = k2.
Взагалi задача (4) не є розв’язною. Зауважимо, що у визначнику в (4) на дiагоналi
розташована функцiя, залежна вiд константи зв’язку вiдповiдної точки, а поза дiагоналя-
ми — функцiя, залежна вiд вiдстанi мiж точками. Отже, якщо модель (1) має „достатню
кiлькiсть” рiвних вiдстаней мiж центрами збурень та рiвних мiж собою констант зв’язку,
то задача (4) значно спрощується. Отже, надалi припустимо, що αj = α, j = 1, N .
Зауважимо, що випадок двох точок i трьох, якi утворюють правильний трикутник,
розглянуто в [1, 3], випадок правильних багатокутникiв — у [4]. Зазначимо, що випадок
оператора Шредiнгера, збуреного точковими потенцiалами на прямiй (L2(R1, dx)), роз-
глянуто в [5] iз довiльними константами зв’язку i вiдстанями мiж центрами збурень.
Оскiльки правильних багатогранникiв в R3 лише п’ять, то дослiдимо окремо кожний
випадок.
Збурення потенцiалами, зосередженими у вершинах тетраедра. У цьому випадку N =
= 4. Розглянемо його детально. Якщо покласти |yi − yj | = b, i 6= j = 1, 4, то задача (4)
набере вигляду ∣∣∣∣∣∣∣∣
a b̃ b̃ b̃
b̃ a b̃ b̃
b̃ b̃ a b̃
b̃ b̃ b̃ a
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, (5)
де a = α− ik
4π
, b̃ = −Gk(b).
Визначник у (5) має простий розклад:
(a− b̃)3(a+ 3b̃) = 0.
З останньої рiвностi отримуємо сукупнiсть
4πα+ l = −e
−lb
b
,
4πα+ l =
3e−lb
b
,
(6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ПРО ТОЧКОВИЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА З δ-ПОТЕНЦIАЛАМИ . . . 149
де враховано, що k = il. Вiдомостi про iснування розв’язкiв трансцендентних рiвнянь
сукупностi (6) (для l > 0) можна отримати з рисунка, де f0(l) = 4πα + l, f1(l) =
3e−lb
b
,
f2(l) = −e
−l
√
2b
√
2b
.
Перемiщаючи на рисунку пряму f0(l) вздовж осi (0, f) та враховуючи, що f ′2(l)|l=0 =
= 1, f ′2(l) > 0 для l ∈ [0,∞), отримуємо всi можливi перетини f0(l) з fi, i = 1, 2. Результат
сформулюємо у виглядi твердження.
Твердження 1. Нехай вL2(R3, dx) задано оператор Лапласа, збурений δ-потенцiалами,
якi розташованi у вершинах тетраедра зi стороною b i мають однакову константу
зв’язку α. (Збурення розумiється в сенсi (2).)
Якщо
4παb < −1,
то збурений оператор має двi рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких одна має крат-
нiсть три, а друга – один.
Якщо
−1 ≤ 4παb < 3,
то збурений оператор має єдину вiд’ємну точку спектра кратностi один.
Якщо
3 ≤ 4παb,
то збурений оператор не має жодної вiд’ємної точки спектра.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
150 М. Є. ДУДКIН
Нагадаємо, що неперервний спектр оператора Лапласа, розташований на додатнiй
пiвосi, не змiнюється при збуреннi скiнченною кiлькiстю δ-функцiй.
Зауваження 1. При розглядi збурення у трьох точках, зосереджених у вершинах рiв-
ностороннього трикутника [3], також з’являється кратна точка спектра.
Зауваження 2. Якщо у твердженнi (1) замiсть тетраедра розглядати правильну пiра-
мiду, то вiдповiдний визначник типу (5) також розкладається на простi множники, i тому
можливо повнiстю описати точковий спектр оператора Лапласа, збуреного δ-потенцiа-
лами, зосередженими у вершинах правильної пiрамiди.
Розгляд iнших багатогранникiв проведемо скорочено за схемою, проiлюстрованою на
тетраедрi.
Збурення потенцiалами, зосередженими у вершинах октаедра. У цьому випадку N =
= 6. Якщо b — сторона октаедра а d =
√
2b — дiагональ, то задача (4) пiсля спрощення
вiдповiдного визначника (низки елементарних перетворень) набере вигляду
(a− b̃)3(a− 2b̃+ d̃)2(a+ 4b̃+ d̃) = 0, (7)
де, як i ранiше, a = α− ik
4π
, b̃ = −Gk(b), d̃ = −Gk(d).
Iз рiвняння (7) отримуємо сукупнiсть
4πα+ l = −e
−l
√
2b
√
2b
,
4πα+ l =
4e−lb
b
+
e−l
√
2b
√
2b
,
4πα+ l =
e−l
√
2b
√
2b
− 2e−lb
b
,
(8)
де враховано, що k = il. Iснування розв’язкiв трансцендентних рiвнянь сукупностi (8)
(для l > 0) та їх характер також встановлюються графiчно. Результат сформулюємо у
виглядi твердження.
Твердження 2. Нехай вL2(R3, dx) задано оператор Лапласа, збурений δ-потенцiалами,
якi розташованi у вершинах октаедра зi стороною b i мають однакову константу
зв’язку α. (Збурення розумiється в сенсi (2).)
Якщо
4παb < −1,
то збурений оператор має три рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких одна має крат-
нiсть три, одна — два i одна — один.
Якщо
−1 ≤ 4παb <
√
2
2
− 2,
то збурений оператор має двi рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких одна має кра-
тнiсть два i одна — один.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ПРО ТОЧКОВИЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА З δ-ПОТЕНЦIАЛАМИ . . . 151
Якщо
√
2
2
− 2 ≤ 4παb <
√
2
4
+ 2,
то збурений оператор має одну вiд’ємну точку спектра кратностi один.
Якщо
√
2
4
+ 2 ≤ 4παb,
то збурений оператор не має жодної вiд’ємної точки спектра.
Збурення потенцiалами, зосередженими у вершинах куба. У цьому випадку N = 8.
Якщо b — сторона куба, c =
√
2b — дiагональ гранi, а d =
√
3b — велика дiагональ, то
задача (4) пiсля спрощення вiдповiдного визначника (низки елементарних перетворень)
набере вигляду
(a− b̃− c̃+ d̃)3(a+ b̃− c̃− d̃)3(a− 3b̃+ 3c̃− d̃)(a+ 3b̃+ 3c̃+ d̃) = 0, (9)
де, як i ранiше, a = α− ik
4π
, b̃ = −Gk(b), c̃ = −Gk(c), d̃ = −Gk(d).
Вiдповiдна до (9) сукупнiсть має вигляд
4πα+ l = −e
−lb
b
− e−l
√
2b
√
2b
+
e−l
√
3b
√
3b
,
4πα+ l =
e−lb
b
− e−l
√
2b
√
2b
− e−l
√
3b
√
3b
,
4πα+ l = −3
e−lb
b
+ 3
e−l
√
2b
√
2b
− e−l
√
3b
√
3b
,
4πα+ l = 3
e−lb
b
+ 3
e−l
√
2b
√
2b
+
e−l
√
3b
√
3b
,
(10)
де враховано, що k = il. Iснування розв’язкiв трансцендентних рiвнянь сукупностi (10)
(для l > 0) та їх характер також встановлюються графiчним методом. Результат запише-
мо у виглядi твердження.
Твердження 3. Нехай вL2(R3, dx) задано оператор Лапласа, збурений δ-потенцiалами,
якi розташованi у вершинах куба зi стороною b i мають однакову константу зв’язку α.
(Збурення розумiється в сенсi (2).)
Якщо
4παb <
3
√
2
2
−
√
3
3
− 3,
то збурений оператор має чотири рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких двi мають
кратнiсть три i двi — один.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
152 М. Є. ДУДКIН
Якщо
3
√
2
2
−
√
3
3
− 3 ≤ 4παb <
√
3
3
−
√
2
2
− 1,
то збурений оператор має три рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких двi мають
кратнiсть три i одна — один.
Якщо
√
3
3
−
√
2
2
− 1 ≤ 4παb < 1−
√
2
2
−
√
3
3
,
то збурений оператор має двi вiд’ємнi точки спектра, серед яких одна має кратнiсть
три, а одна — один.
Якщо
1−
√
2
2
−
√
3
3
≤ 4παb < 3 +
3
√
2
2
+
√
3
3
,
то збурений оператор має одну вiд’ємну точку спектра кратностi один.
Якщо
3 +
3
√
2
2
+
√
3
3
≤ 4παb,
то збурений оператор не має жодної вiд’ємної точки спектра.
Збурення потенцiалами, зосередженими у вершинах iкосаедра. У цьому випадку N =
= 12. Якщо b — сторона iкосаедра, c =
√
5−
√
5
8
b i d =
√
13−
√
5
8
— вiдповiдно менша i
бiльша дiагоналi, то задача (4) пiсля спрощення вiдповiдного визначника (низки елемен-
тарних перетворень) набере вигляду
(a− b− c+ d)5(a− d−
√
5c+
√
5b)3(a− d+
√
5c−
√
5b)3(a+ d+ 5b+ 5c) = 0, (11)
де, як i ранiше, a = α− ik
4π
, b̃ = −Gk(b), c̃ = −Gk(c), d̃ = −Gk(d).
Вiдповiдна до (11) сукупнiсть має вигляд
4πα+ l = −e
−lb
b
− e−lc
c
+
e−ld
d
,
4πα+ l =
5e−lb
b
+
5e−lc
c
+
e−ld
d
,
4πα+ l =
√
5e−lb
b
−
√
5e−lc
c
− e−ld
d
,
4πα+ l = −
√
5e−lb
b
+
√
5e−lc
c
− e−ld
d
,
(12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ПРО ТОЧКОВИЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА З δ-ПОТЕНЦIАЛАМИ . . . 153
де враховано, що k = il. Iснування розв’язкiв трансцендентних рiвнянь сукупностi (12)
(для l > 0) та їх характер також встановлюються графiчним методом. Результат дослiд-
жень запишемо у виглядi твердження.
Твердження 4. Нехай вL2(R3, dx) задано оператор Лапласа, збурений δ-потенцiалами,
якi розташованi у вершинах iкосаедра зi стороною b i мають однакову константу
зв’язку α. (Збурення розумiється в сенсi (2).)
Якщо
4παb <
√
5−
√
2(5 +
√
5)−
√
81(13 +
√
5)
41
,
то збурений оператор має чотири рiзнi вiд’ємнi точки спектра, серед яких двi мають
кратнiсть три, одна — один i одна — п’ять.
Якщо
√
5−
√
2(5 +
√
5)−
√
81(13 +
√
5)
41
≤ 4παb < −1−
√
10(5 +
√
5)
5
+
√
81(13 +
√
5)
41
,
то збурений оператор має три рiзнi вiд’ємнi точки спектра з кратностями один, три
i п’ять.
Якщо
−1−
√
10(5 +
√
5)
5
+
√
81(13 +
√
5)
41
≤ 4παb < −
√
5 +
√
2(5 +
√
5)−
√
81(13 +
√
5)
41
,
то збурений оператор має двi рiзнi вiд’ємнi точки спектра iз кратностями один i три.
Якщо
−
√
5 +
√
2(5 +
√
5)−
√
81(13 +
√
5)
41
≤ 4παb < 5 +
√
10(5 +
√
5) +
√
81(13 +
√
5)
41
,
то збурений оператор має одну вiд’ємну точку спектра кратностi один.
Якщо
5 +
√
10(5 +
√
5) +
√
81(13 +
√
5)
41
≤ 4παb̃,
то збурений оператор не має жодної вiд’ємної точки спектру.
Збурення потенцiалами, зосередженими у вершинах додекаедра. У цьому випадку
N = 20. Якщо b — сторона додекаедра c, d, g i p — вiдстанi вiд фiксованої точки до iн-
ших (c < d < g < p), то задача розкладу визначника матрицi розмiрностi 20× 20 типу (4)
не є простою. Проте можна помiтити, що цей визначник має дiльник
(a+ 3b̃+ 6c̃+ 6d̃+ 3g̃ + p̃), (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
154 М. Є. ДУДКIН
де, як i ранiше, a = α− ik
4π
, b̃ = −Gk(b), c̃ = −Gk(c), d̃ = −Gk(d), g̃ = −Gk(g), p̃ = −Gk(p).
Це дiйсно так, оскiльки кожна вершина додекаедра вiддалена вiд iнших на вiдстанi b i g
тричi, c i d шiсть разiв p один раз (p — головна дiагональ).
Використовуючи простi мiркування, наведенi в [4], можна сформулювати таке тверд-
ження.
Твердження 5. Нехай вL2(R3, dx) задано оператор Лапласа, збурений δ-потенцiалами,
якi розташованi у вершинах додекаедра зi стороною b i мають однакову константу
зв’язку α. (Збурення розумiється в сенсi (2).)
Якщо
4παb < −3
1
b
− 6
1
c
− 6
1
d
− 3
1
g
− 1
p
,
то збурений оператор має двадцять точок вiд’ємного спектра з урахуванням крат-
ностi.
Якщо
3
1
b
+ 6
1
c
+ 6
1
d
+ 3
1
g
+
1
p
≤ 4παb,
то збурений оператор не має жодної вiд’ємної точки спектра.
Зауваження 3. У твердженнi 5 оцiнка повного набору точок вiд’ємного спектра не є
точною. Проте оцiнка вiдсутностi точкового спектра є точною.
Зауваження 4. Твердження, аналогiчнi до 1 – 5, можна сформулювати i довести для
деяких напiвправильних багатогранникiв.
Зауваження 5. Власнi значення, вiдповiднi до власних чисел, обчислених у тверджен-
нях 1 – 5, записуються у виглядi формули (1.1.54) [1].
1. Aльбеверио C., Гестези Ф., Хeэг-Kрон Р., Хoльден Х. Решаемые модели в квантовой механике: Пер. с
англ. – М.: Мир, 1991. — 568 с.
2. Кошманенко В. Д. Сингулярные билинейные формы в теории возмущений самосопряженных опера-
торов. — Киев: Наук. думка, 1993. — 176 с.
3. Albeverio S., Høegh-Krohn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics // J. Math. Anal. and Appl.
– 1984. – 101. — P. 491 – 513.
4. Дудкiн М.Є. Про точковий спектр оператора Лапласа, збуреного точковими потенцiалами у вершинах
правильних багатокутникiв // Наук. вiстi НТУУ “КПI”. — 2002. — № 6. — C. 128 – 132.
5. Albeverio S., Nizhnik L. Schrödinger operators with a number of negative eigenvalues equal to the number
of point interactions. — Bonn, 2002. — 20 p. — Preprint № 49, SFB-611.
Одержано 15.07.2003
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
|