Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи
Для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь побудовано асимптотичне розвинення розв’язку методом примежових функций. За допомогою псевдообернених матриць i проекторiв визначено всi члени асимптотичного розвинення у некритичному випадку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177002 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 155-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177002 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770022021-02-10T01:25:34Z Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи Каранджулов, Л.И. Для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь побудовано асимптотичне розвинення розв’язку методом примежових функций. За допомогою псевдообернених матриць i проекторiв визначено всi члени асимптотичного розвинення у некритичному випадку. For linear singularly perturbed systems of ordinary differential equations, we construct an asymptotic expansion of the solution by using the method of boundary functions. Using pseudoinverse matrices and projections we find all terms in the asymptotic expansion in the noncritical case. 2004 Article Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 155-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177002 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь побудовано асимптотичне розвинення розв’язку методом примежових функций. За допомогою псевдообернених матриць i проекторiв визначено всi члени асимптотичного розвинення у некритичному випадку. |
| format |
Article |
| author |
Каранджулов, Л.И. |
| spellingShingle |
Каранджулов, Л.И. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи Нелінійні коливання |
| author_facet |
Каранджулов, Л.И. |
| author_sort |
Каранджулов, Л.И. |
| title |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| title_short |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| title_full |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| title_fullStr |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| title_sort |
асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177002 |
| citation_txt |
Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенной краевой задачи / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 155-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT karandžulovli asimptotičeskoerazloženierešenijsingulârnovozmuŝennojkraevojzadači |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:41Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:41Z |
| _version_ |
1837725344637911040 |
| fulltext |
УДК 517.9
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Л. И. Каранджулов
София, Болгария
For linear singularly perturbed systems of ordinary differential equations, we construct an asymptotic
expansion of the solution by using the method of boundary functions. Using pseudoinverse matrices and
projections we find all terms in the asymptotic expansion in the noncritical case.
Для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь побудовано асим-
птотичне розвинення розв’язку методом примежових функций. За допомогою псевдооберне-
них матриць i проекторiв визначено всi члени асимптотичного розвинення у некритичному ви-
падку.
1. Постановка задачи. В настоящей работе получены условия существования решения
при ε → 0 линейных краевых задач
εẋ = Ax+ εA1(t)x+ ϕ(t), t ∈ [a, b], 0 < ε � 1, (1)
lx(·) = h, h ∈ Rm, (2)
удовлетворяющих условиям:
У1) A1(t) — (n×n)-мерная матрица,A1(t) ∈ C∞[a, b],ϕ(t) — n-мерная вектор-функция,
ϕ(t) ∈ C∞[a, b];
У2) A — (n× n)-мерная постоянная матрица; если λi, i = 1, p, — собственные числа
матрицы A кратности ki, k1 + . . .+ kp = n, то предполагаем, что Reλi < 0;
У3) l — линейный, m-мерный, ограниченный векторный функционал
l = col (l1, . . . , lm), l ∈ (C[a, b] → Rn, Rm) .
При ε = 0 получаем вырожденную систему Ax0(t) + ϕ(t) = 0. Из условия У2) сле-
дует, что detA 6= 0, поэтому вырожденная система имеет единственное решение x0(t) =
= −A−1ϕ(t) ( некритический случай). Это решение в общем случае нельзя подчинить
краевому условию lx0(·) = h, и поэтому порождающая для (1), (2) краевая задача не
имеет решений при любых ϕ(t) ∈ C∞[a, b] и h ∈ Rm.
В настоящей работе получены условия разрешимости и построено асимптотическое
решение задачи (1), (2). Найдены условия, при которых краевая задача (1), (2) имеет
решение с одним пограничным слоем в окрестности точки t = a.
Отметим, что критический случай рассмотрен в работах [1, 2].
2. Асимптотическое разложение. Асимптотическое разложение решений задачи (1),
(2) будем искать в виде ряда
x(t, ε) =
∞∑
i=0
[xi(t) + Πi(τ)]εi, τ =
t− a
ε
, (3)
c© Л. И. Каранджулов, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 155
156 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
где xi(t) и Πi(τ) — неизвестные n-мерные вектор-функции. Через Πi(τ) [3] обозначены
пограничные функции в окрестности точки t = a. Они будут построены так, что при
0 < ε ≤ ε0 на сегменте [a, b] выполняются неравенства
‖Πi(τ)‖ ≤ γi exp(−αiτ), (4)
где γi и αi, i = 0, 1, 2, . . . , — некоторые положительные постоянные, τ ≥ 0.
Формально подставляя ряд (3) в систему (1), для xi(t) получаем рекуррентные выра-
жения
xi(t) =
{
−A−1ϕ(t), i = 0;
A−1(Lxi−1)(t), i = 1, 2, . . . ,
(5)
где L — дифференциальный оператор Lx =
d
dt
x−A1(t)x.
Пограничные функции Πi(τ) получаем как решения дифференциальных задач
d
dτ
Πi(τ) = AΠi(τ) + fi(τ), τ ∈ [0, τb], τb =
b− a
ε
, (6)
где
fi(τ) =
0, i = 0;
0∑
q=i−1
1
q!
τ qA
(q)
1 (a)Πi−1−q(τ), i = 1, 2, . . . .
(7)
Подставим (3) в краевое условие (2). Тогда коэффициенты разложения (3) удовлетво-
ряют краевым условиям
lxi(·) + lΠi
(
(·)− a
ε
)
=
{
h, i = 0;
0, i = 1, 2, . . . .
(8)
Введем обозначения: X(τ) = exp(Aτ) — нормальная фундаментальная матрица сис-
темы
dx
dτ
= Ax, τ ∈ [0, τb]; D(ε) = lX(·) = lX
(
(·)− a
ε
)
— (m× n)-мерная матрица.
В зависимости от структуры матрицы D(ε) можно рассмотреть следующие случаи:
D(ε) = D0 +O (εq exp(−α/ε)) , q ∈ N, α > 0;
D(ε) = D0 +
s∑
k=0
Dkε
k +O (εq exp(−α/ε)) , q ∈ N, α > 0,
Dk − (m× n)− мерные постоянные матрицы;
D(ε) = D0 +D1(ε) exp
(
−α1
ε
)
+D2(ε) exp
(
−α2
ε
)
+ . . .+Ds(ε) exp
(
−αs
ε
)
, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 157
где αi — положительные постоянные такие, что 0 < α1 < . . . < αs.
Первый случай рассмотрен в [4], второй — в [5]. В настоящей работе рассмотрим
третий случай.
Обозначим α = min
i
(αi) и k = max
i
(ki).
При рассмотрении двухточечной или многоточечной краевой задачи действие опера-
тора l приводит к виду (9).
Матрицы Di(ε) — (m × n)-мерные, при этом D0 — постоянная матрица. Элементы
матрицы Di(ε), i = 1, s, — полиномы относительно ε−1 степени не выше k − 1.
Рассмотрим систему (6) — (8) при i = 0 . Тогда краевая задача относительно Π0(τ)
примет вид
d
dτ
Π0(τ) = AΠ0(τ), lΠ0(·) = h− lx0(·). (10)
Общее решение Π0(τ) = X(τ)c0, c0 ∈ Rn, системы (10) подставим в краевое условие и
получим алгебраическую систему относительно c0
D(ε)c0 = h0, (11)
где h0 = h− l(x0).
Учитывая вид D(ε) (9), вектор c0 ищем в виде
c0 = c00 + c01(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ c02(ε) exp
(
−α2
ε
)
+ . . .+ c0s(ε) exp
(
−αs
ε
)
. (12)
Из (11) получаем систему
Q(ε)c0(ε) = h0, (13)
где Q(ε) — (qm× (s+ 1)n)-мерная блочная матрица, 2s+ 1 ≤ q ≤ 1
2
(s+ 1)(s+ 2), s ∈ N.
Элементы матрицы Q(ε) зависят от ε, но не имеют экспоненциально малых слагаемых.
Вид блочной матрицы Q(ε) весьма сложный. Например, при s = 1 имеем q = 3m, и
если порядок приравнивания перед экспонентами такой :
exp(0), exp
(
−α1
ε
)
, exp
(
−α1 + α1
ε
)
,
то (3m× 2n)-мерная матрица Q(ε) имеет вид
Q(ε) =
D0 0
D1 D0
0 D1
.
Если αi = iα1, i = 2, s, то q = (2s + 1), и если порядок приравнивания перед экспонен-
тами такой :
exp(0), exp
(
−α1
ε
)
, exp
(
−2α1
ε
)
, . . . , exp
(
−(s+ 1)α1
ε
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
158 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
то ((2s+ 1)m× (s+ 1)n)-мерная матрица Q(ε) имеет вид
Q(ε) =
D0
D1(ε) D0 0
D2(ε) D1(ε) D0
...
...
...
. . .
Ds(ε) Ds−1(ε) Ds−2(ε) . . . D0
Ds(ε) Ds−1(ε) . . . D1(ε)
Ds(ε) . . . D2(ε)
0 . . .
...
Ds(ε)
.
Вектор c0(ε) — (s+ 1)n-мерный,
c0 = (c00, c01(ε), c02(ε), . . . , c0s(ε))T ,
а вектор h0 — qm-мерный,
h0 = (h0, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
(q−1)m
).
Норму (l ×m)-мерной матрицы B = [bij ] определяем стандартным образом:
‖B‖ = max
i
m∑
j=1
|bij |.
2.1. Пусть выполнено условие
У4) rankQ(ε) = qm = (s+ 1)n ∀ε ∈ (0, ε0].
Тогда detQ(ε) 6= 0. Поскольку ‖Q(ε)‖ ≤ K1ε
−(k−1),K1 > 0, получим ‖Q−1(ε)‖ ≤
≤ K2ε
k−1, K2 > 0.
Решение (13) имеет вид
c0(ε) = Q−1(ε)h0 =⇒ c0i(ε) =
[
Q−1(ε)h0
]
ni+1
, i = 0, s,
где
[
Q−1(ε)h0
]
n1
— первые n1 компонент,
[
Q−1(ε)h0
]
n2
— вторые n2 компонент и так
далее (s+ 1)n-мерного вектора Q−1(ε)h0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 159
Из (12) находим
c0 =
s∑
i=0
[
Q−1(ε)h0
]
ni+1
exp
(
−αi
ε
)
, α0 = 0.
Очевидно, ‖c0‖ ≤ β0 exp
(
−α
ε
)
, β0 > 0.
Для Π0(τ) получаем
Π0(τ) = X(τ)
p∑
i=0
[
Q−1(ε)h0
]
ni+1
exp
(
−αi
ε
)
, α0 = 0. (14)
Ясно, что пограничная функция Π0(τ) экспоненциально убывает
‖Π0(τ)‖ ≤ c1 exp(−ατ )β0 exp
(
−α
ε
)
= c∗0 exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
, c∗0 = c1β > 0.
Рассмотрим краевую задачу относительно Π1(τ)
d
dτ
Π1(τ) = AΠ1(τ) + f1(τ), τ ∈ [0, τb], lΠ1 = −lx1(·), (15)
где f1(τ) = A1(a)Π0(τ).
Подставляя общее решение
Π1(τ) = X(τ)c1 +
τ∫
0
X(τ)X−1(s)f1(s)ds (16)
дифференциальной системы (15) в краевое условие, получаем систему относительно c1,
аналогичную (11):
D(ε)c1 = h1(ε), c1 ∈ Rn, (17)
где
h1(ε) = −lx1(·)− l
(·)−a
ε∫
0
X
(
(·)− a
ε
)
X−1(s)f1(s)ds.
Поскольку D(ε) имеет вид (9), а
h1(ε) = h10 + h11(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ h12(ε) exp
(
−α2
ε
)
+ . . .+ h0q(ε) exp
(
−2αs
ε
)
+
+O
(
εp exp
(
−β
ε
))
, p ∈ Z, β > 2α,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
160 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
c1 ищем в виде
c1 = c10 + c11(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ . . .+ c1s(ε) exp
(
−αs
ε
)
.
Из (17) получаем систему
Q(ε)c1 = h1, (18)
где
c1 = (c10, c11(ε), c12(ε), . . . , c1s(ε))T — (s+ 1)n-мерный вектор,
h1(ε) = (h10, h11(ε), . . . , h1q(ε))
T — qm-мерный вектор.
Решение системы (18)
c1 = Q−1(ε)h1(ε) =⇒ c1i =
[
Q−1(ε)h1
]
ni+1
, i = 0, s,
подставляем в c1 и из (16) получаем окончательное представление для Π1(τ)
Π1(τ) = X(τ)
s∑
i=0
[
Q−1(ε)h1(ε)
]
ni+1
exp
(
−αi
ε
)
+
τ∫
0
X(τ)X−1(s)f1(s)ds. (19)
Пограничные функции Πi(τ) строятся аналогично Π0(τ) и Π1(τ). Предположим, что
определены пограничные функции Πk(τ), k = 0, i− 1 . Определим Πi(τ).
Общее решение системы (6)
Πi(τ) = X(τ)ci +
τ∫
0
X(τ)X−1(s)fi(s)ds, (20)
где fi(s) — выражение из (7), подставим в краевое условие (8) и для ci получим алге-
браическую систему
D(ε)ci = hi(ε), ci ∈ Rn. (21)
При этом
hi(ε) = −lxi(·)− l
(·)−a
ε∫
0
X
(
(·)− a
ε
)
X−1(s)fi(s)ds.
Поскольку
hi(ε) = hi0 + hi1(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ hi2(ε) exp
(
−α2
ε
)
+ . . .+ hiq(ε) exp
(
−2αs
ε
)
+
+O
(
εp exp
(
−β
ε
))
, p ∈ Z, β > 2α,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 161
ci ищем в виде
ci(ε) = ci0 +
s∑
k=1
cik(ε) exp
(
−αk
ε
)
.
Из (21) получаем систему
Q(ε)ci = hi(ε), (22)
где
ci = (ci0, ci1(ε), ci2(ε), . . . , cis(ε))
T — (s+ 1)-мерный вектор,
hi(ε) = (hi0, hi1(ε) . . . , hiq(ε))
T — qm-мерный вектор.
Решение системы (22)
ci = Q−1(ε)hi(ε) =⇒ cik =
[
Q−1(ε)hi
]
nk
, i = 0, s,
подставим в ci и из (20) получим окончательное представление для Πi(τ)
Πi(τ) = X(τ)
s∑
k=0
[
Q−1(ε)hi(ε)
]
nk
exp
(
−αi
ε
)
+
τ∫
0
X(τ)X−1(s)fi(s)ds. (23)
Отметим, что α0 = 0.
Лемма [5]. Пусть для матрицы A выполнено условие У2), а для вектор-функции
f(t) ∈ C[0,+∞) — неравенство ‖f(t)‖ ≤ c∗ exp(−α∗t) при t ≥ 0, c∗ > 0, α∗ > 0.
Тогда существуют положительные постоянные c и γтакие, что система
dx
dt
= Ax+
+f(t) имеет частное решение вида
x(t) =
+∞∫
0
K(t, s)f(s)ds,
удовлетворяющее неравенству
‖x(t)‖ ≤ ce−γt, t ≥ 0, (24)
где
K(t, s) =
{
X(t)X−1(s), если 0 ≤ s ≤ t < ∞;
0, если 0 < t < s ≤ ∞.
Теорема 1. Пусть выполнены условия У1) — У4). Краевая задача (1), (2) имеет един-
ственное асимптотическое разложение решения вида (3). Коэффициенты разложения
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
162 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
xi(t) и Πi(τ) имеют представления (5) и (14), (23) соответственно. Пограничные функ-
ции Πi(τ) экспоненциально убывают при ε → 0.
Доказательство. Изложенное выше и перечисленные условия показывают, что коэф-
фициенты разложение (3) для краевой задачи (1), (2) действительно имеют представле-
ния (5), (14), (23). Докажем, что функции Πi(τ), i = 0, 1, . . . , экспоненциально убывают.
Это справедливо для Π0(τ).
Поскольку f1(s) — ограниченная функция , ‖c1(ε)‖ ≤ β1 exp(−α/ε), β1 ≥ 0, и выпол-
нены неравенства ‖X(τ)‖ ≤ c1 exp(−ατ ), ‖X(τ)X−1(s)‖ ≤ c2 exp(−α(τ − s)), 0 ≤ s ≤
≤ τ < ∞, применяя лемму, из (19) получаем оценку
‖Π1(τ)‖ ≤‖X(τ)‖
∥∥∥∥∥
s∑
0
[
Q−1(ε)h1(ε)
]
ni+1
∥∥∥∥∥ exp
(
−α
ε
)
+
+
τ∫
0
‖X(τ)X−1(s)‖‖f1(s)‖ds ≤
≤ c1 exp(−ατ)β1 exp
(
−α
ε
)
+
+
τ∫
0
c2 exp (−ατ + αs) a1c
∗
0 exp(−αs) exp
(
−α
ε
)
ds ≤
≤ c∗1(τ) exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
,
где c∗1(τ) = c10 + τc11, c10 = c1β1, c11 = c2a1c
∗
0.
Но lim
ε→0
c∗1(τ) exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
= 0, т. е. пограничная функция Π1(τ) экспоненциаль-
но убывает при ε → 0.
Далее, пусть неравенство ‖Πk(τ)‖ ≤ c∗k(τ) exp(−α(τ + 1/ε)) выполняется для τ ≥ 0 и
k = 1, i− 1. Поскольку
‖fi(s)‖ ≤
∥∥∥∥∥∥
0∑
q=i−1
[
1
q!
A
(q)
1 (a)Πi−1−q(s)
]∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ai−1‖Π0(s)‖+ ai−2‖Π1(s)‖+ . . .+ a1‖Πi−1(s)‖ ≤
≤
[
ai−1c
∗
0 + ai−2c
∗
1(s) + . . .+ a1c
∗
i−1(s)
]
exp(−αs) exp
(
−α
ε
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 163
из (23) и леммы получаем
‖Πi(τ)‖ ≤ ‖X(τ)‖
∥∥∥∥∥
p∑
k=0
[
Q−1(ε)hi(ε)
]
nk
exp
(
−αi
ε
)∥∥∥∥∥+
+
τ∫
0
‖X(τ)X−1(s)‖‖fi(s)‖ds ≤
≤ c1 exp(−ατ)βi exp
(
−α
ε
)
+
i∑
k=1
cikτ
i exp(−ατ ) exp
(
−α
ε
)
≤
≤ c∗i (τ) exp(−ατ ) exp
(
−α
ε
)
,
где c∗i (τ) =
∑i
k=0 cikτ
i. Очевидно, lim
τ→∞
Πi(τ) = 0.
Можно доказать (см., например, [5]), что выполнена оценка
‖x(t, ε)−Xn(t, ε)‖ ≤ O
(
εn+1
)
,
где Xn(t, ε) =
∑n
i=0 [xi(t) + Πi(τ)] εi. Это показывает, что ряд (3) с коэффициентами (5),
(14), (23) асимптотический.
Теорема доказана.
2.2. Пусть выполнено условие
У5) rankQ(ε) = n1 < qm = (s+ 1)n ∀ε ∈ (0, ε0].
Пусть d = qm − n1, r = (s + 1)n − n1. Очевидно, d = r. Через Q+(ε) обозначим
единственную псевдообратную матрицу к матрицеQ(ε) (см., например, [6, 7]). Поскольку
Q(ε) = P (ε)R(ε), где P (ε) — (qm × n1)-мерная матрица, R(ε) — (n1 × (s + 1)m)-мерная
матрица, то ‖Q(ε)‖ ≤ K1ε
−2(k−1), K1 > 0. Тогда получаем ‖Q+(ε)‖ ≤ K2ε
2(k−1), K2 > 0.
Введем матрицы-ортопроекторы PQ(ε) = E(s+1)n−Q+(ε)Q(ε), PQ∗(ε) = Eqm−Q(ε)Q+(ε),
для которых выполнены оценки ‖PQ(ε)‖ ≤ K3, K3 > 0, ‖PQ∗(ε)‖ ≤ K4, K4 > 0, для
каждого ε. Ясно, что rankPQ(ε) = r и rankPQ∗(ε) = d.Пусть PQr(ε) — ((s+1)n×r)-мерная
матрица, составленная из r линейно независимых столбцов матрицы PQ(ε), и PQ∗d(ε) —
(d × qm)-мерная матрица, составленная из d линейно независимых столбцов матрицы
PQ∗ . Тогда для матриц PQr(ε) и PQ∗d(ε) выполнены оценки ‖PQr(ε)‖ ≤ K3 и ‖PQ∗d(ε)‖ ≤ K4.
В этом случае решение системы (13) имеет вид
c0 = PQr(ε)ξ0 +Q+(ε)h0, ξ0 ∈ Rr =⇒ c0i = [PQr(ε)]ni ξ0 +
[
Q+(ε)h0
]
ni
тогда и только тогда, когда выполнено условие
У6) PQ∗d(ε)h0 = 0 ∀ε ∈ (0, ε0].
Из (12) получаем
c0 = B00(ε)ξ0 +B01(ε), (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
164 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
где
B00(ε) =
s∑
i=0
[PQr(ε)]ni exp
(
−αi
ε
)
, B01(ε) =
s∑
i=0
[
Q+(ε)h0
]
ni
exp
(
−αi
ε
)
.
Следовательно, выполнены неравенства
‖B00(ε)‖ ≤ β2 exp
(
−α
ε
)
, ‖B01(ε)‖ ≤ β3ε
2(k−1) exp
(
−α
ε
)
.
После подстановки (25) в Π0(τ) пограничная функция примет вид
Π0(τ) = X(τ)B00(ε)ξ0 + g0(τ), g0(τ) = X(τ)B01(ε). (26)
Вектор ξ0 определим с помощью Π1(τ) = X(τ)c1 +
τ∫
0
X(τ)X−1f1(s, ξ0)ds, где
f1(s, ξ0) = A1(a)X(τ)B00ξ0 +A1(a)g0(s, ε).
Подставляя Π1(τ) в краевое условие (15), для постоянного вектора получаем алгебраи-
ческую систему
D(ε)c1 = h1(ε, ξ0),
где
h1(ε, ξ0) = − lx1(ε)− l
(·)−a
ε∫
0
X
(
(·)− a
ε
)
X−1(ε)B00(ε)dsξ0 −
− l
(·)−a
ε∫
0
X
(
(·)− a
ε
)
X−1(ε)A1(a)g0(s)ds.
Для h1(ε, ξ0) имеем представление
h1(ε, ξ0) =
(
h̃11(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ . . .+ h̃1,q(ε) exp
(
−2αs
ε
))
ξ0 +
+h10 + h11(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ . . .+ h1,q(ε) exp
(
−2αs
ε
)
+
+O
(
εp exp
(
−β
ε
))
, p ∈ Z, β > 2α.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 165
Тогда c1 ищем в виде
c1(ε) = c10 +
s∑
k=1
c1k(ε) exp
(
−αk
ε
)
.
Получаем систему
Q(ε)c1 = h1(ε, ξ0), (27)
где
h1(ε, ξ0) =
(
h10, h11(ε) + h̃11(ε)ξ0, . . . , h1,q(ε) + h̃1,q(ε)ξ0
)T
.
Из условие разрешимости системы (27) PQ∗d(ε)h1(ε, ξ0) = 0 ∀ε находим систему для полу-
чение ξ0
D(ε)ξ0 = b1(ε), (28)
где
D(ε) = PQ∗d(ε)
(
0, h̃11(ε), . . . , h̃1,q(ε)
)T
— (d× r)-мерная матрица,
b1(ε) = PQ∗d(ε) (h10, h11(ε) + . . .+ h1,q(ε))
T — qm-мерный вектор.
Отметим, что вD(ε), где d = r, и b1(ε) не фигурируют экспоненциально малые элементы.
Пусть выполнено условие
У7) detD(ε) 6= 0.
Тогда уравнение (28) имеет единственное решение
ξ0 = D
−1(ε)b1(ε),
которое подставим в (26), и для Π0(τ) окончательно получим выражение
Π0(τ) = X(τ)B00(ε)D−1(ε)b1(ε) + g0(τ). (29)
Поскольку выполнены неравенства
‖X(τ)‖ ≤ c1 exp(−ατ ), ‖B00(ε)‖ ≤ β2 exp(−α/ε), β2 > 0,
‖D−1(ε)b1(ε)‖ ≤ β4ε
s1 , β4 > 0, ‖g0(τ)‖ ≤ β3ε
2(k−1) exp (−α (τ + 1/ε)) , β3 > 0,
существует постоянная c∗0 > 0 такая, что имеет место оценка
‖Π0(τ)‖ ≤ c∗0ε
µ exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
166 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
Пограничная функция Π0(τ) экспоненциально убывает при ε → 0, так как
lim
ε→0
εµ exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
= 0.
Определим Π1(τ). С помощью решения системы (27)
c1 = PQr(ε)ξ1 +Q+(ε)h1, ξ1 ∈ Rr =⇒ c1i = [PQr(ε)]ni ξ1 +
[
Q+(ε)h1
]
ni
получим
c1 = B00(ε)ξ1 +B11(ε), B11(ε) =
s∑
i=0
[Q+(ε)h(ε)]ni exp
(
−αi
ε
)
.
Тогда Π1(τ) примет вид
Π1(τ) = X(τ)B00(ε)ξ1 + g1(τ, ε), (30)
где
g1(τ, ε) = X(τ)B11(ε) +
τ∫
0
X(τ)X−1(s)f1(s, ξ0)ds.
Определим постоянный вектор ξ1 с помощью пограничной функции Π2(τ). Из (7) при
i = 2 получим
f2(τ) = A1(a)X(τ)B00(ε)ξ1 + τA′1(a)Π0(τ) +A1(a)g1(τ, ε).
Подставив Π2(τ) в краевое условие lΠ2(·) = −lx2(·), будем иметь
D(ε)c2 = h2(ε, ξ1),
где
h2(ε, ξ1) =
(
h̃11(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ . . .+ h̃1,q(ε) exp
(
−2αs
ε
))
ξ0 +
+ h20 + h21(ε) exp
(
−α1
ε
)
+ . . .+ h2,q(ε) exp
(
−2αs
ε
)
.
Тогда c2 ищем в виде
c2(ε) = c20 +
s∑
k=1
c2k(ε) exp
(
−αk
ε
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 167
Получаем систему
Q(ε)c2 = h2(ε, ξ1), (31)
где
h2(ε, ξ1) =
(
h20, h21(ε) + h̃11(ε)ξ1, . . . , h2,q(ε) + h̃1,q(ε)ξ1
)T
.
Из условия разрешимости уравнения (31)
PQ∗d(ε)h2(ε, ξ1) = 0
получим
D(ε)ξ1 = b2(ε), (32)
где b2(ε) = PQ∗d(ε) (h20, h21(ε), . . . , h2,q(ε))
T — qm-мерный вектор.
Из условия У6) следует, что (32) имеет решение
ξ1 = D
−1(ε)b2(ε),
которое подставим в (30). В результате получим
Π1(τ) = X(τ)B00(ε)D−1(ε)b2(ε) + g1(τ, ξ0). (33)
Остальные пограничные функции определяются аналогичным способом.
Поскольку выполнены неравенства
‖D−1(ε)b2(ε)‖ ≤ β5ε
s1 , β5 > 0, ‖X(τ)B11(ε)‖ ≤ β6ε
s exp (−α(τ + 1/ε)) , β6 > 0,
‖f1(τ, ξ0)‖ ≤ γ1ε
s exp(−α(τ + 1/ε)),
∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
X(τ)X−1(s)f1(s, ξ0)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ c2γ1ε
sτ exp(−α(τ + 1/ε)),
существуют положительные постоянные c∗1, µ1 такие, что
‖Π1(τ)‖ ≤ c∗1ε
µ1 exp
(
−α
(
τ +
1
ε
))
,
т. е. пограничная функция Π1(τ) экспоненциально убывает при ε → 0.
Асимптотическая оценка устанавливается, как в [5].
Итак, доказана следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
168 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
Теорема 2. Пусть выполнены условия У1) – У3), У5) – У7). Краевая задача (1), (2) име-
ет единственное асимптотическое разложение решения вида (3). Коэффициенты раз-
ложения xi(t) и Π0(τ), Π1(τ) имеют представления (5) и (29), (33) соответственно.
Пограничные функции экспоненциально убывают.
Замечание 1. Случай, когда qm 6= (s + 1)n, рассматривается аналогично. Например,
если rankQ(ε) = qm < (s + 1)n, то задача (1), (2) имеет единственное асимптотическое
решение при определенных условиях. Если rankQ(ε) = (s + 1)n < qm, то задача (1), (2)
имеет семейство пограничных функций, а следовательно, и семейство асимптотических
решений.
1. Самойленко А. М., Бойчук А. А., Каранджулов Л. И. Линейные нетеровы краевые задачи с сингуляр-
ным возмущением // Дифференц. уравнения. — 2001. — 37, № 9. — С. 1186 – 1193.
2. Karandzhulov L. I. Critical case for singularly perturbed linear boundary-value problems of ordinary di-
fferential equations // Univ. Mishcolc, Inst. Math., Math. Notes. — 2004. — 5, № 2 (to appear).
3. Васильева А. Б., Бутузов Б. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных
уравнений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
4. Каранджулов Л. И., Бойчук А. А., Божко В. А. Асимптотическое разложение решений сингулярно
возмущенной линейной краевой задачи // Докл. НАН Украины. — 1994. — № 4. — С. 7 – 10.
5. Karandjulov L. I. Asymptotic solution of definite class of singularly perturbed linear boundary-value problems
for ordinary differential equations // Annu. Univ. Sofia “St.Kl.Ohridski”. Livre 1. Math. et mec. — 1997. — 91.
— P. 79 – 95.
6. Бойчук А. А., Журавлев Б. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
7. Penrose R. A generalize inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51. — P. 406 – 413.
Получено 15.12.2003,
после доработки — 15.05.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
|