Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень
Дослiджуються властивостi топологiчної ентропiї вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I), що породжуються фiксованим неперервним вiдображенням f ∈ C(I) вiдрiзка прямої. Зокрема, показано, що топологiчна ентропiя h(F) > 0 тодi i тiльки тодi, коли h(f) > 0...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177004 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень / С.Ф. Коляда // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 180-187. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177004 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770042021-02-09T20:39:51Z Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень Коляда, С.Ф. Дослiджуються властивостi топологiчної ентропiї вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I), що породжуються фiксованим неперервним вiдображенням f ∈ C(I) вiдрiзка прямої. Зокрема, показано, що топологiчна ентропiя h(F) > 0 тодi i тiльки тодi, коли h(f) > 0 We study the topological entropy of a dynamical system on the space of continuous maps on the interval. In particular, we show that zero topological entropy of a continuos map f ∈ C(I) on the interval implies zero topological entropy of the map F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I) on the space of continuos maps. 2004 Article Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень / С.Ф. Коляда // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 180-187. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177004 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджуються властивостi топологiчної ентропiї вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I),
що породжуються фiксованим неперервним вiдображенням f ∈ C(I) вiдрiзка прямої. Зокрема,
показано, що топологiчна ентропiя h(F) > 0 тодi i тiльки тодi, коли h(f) > 0 |
| format |
Article |
| author |
Коляда, С.Ф. |
| spellingShingle |
Коляда, С.Ф. Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень Нелінійні коливання |
| author_facet |
Коляда, С.Ф. |
| author_sort |
Коляда, С.Ф. |
| title |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| title_short |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| title_full |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| title_fullStr |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| title_full_unstemmed |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| title_sort |
топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177004 |
| citation_txt |
Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень / С.Ф. Коляда // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 180-187. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kolâdasf topologíčnaentropíâdinamíčnoísisteminaprostoríodnovimírnihvídobraženʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T14:57:48Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:57:48Z |
| _version_ |
1837725352167735296 |
| fulltext |
УДК 517.9
ТОПОЛОГIЧНА ЕНТРОПIЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ
НА ПРОСТОРI ОДНОВИМIРНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ
С. Ф. Коляда
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We study the topological entropy of a dynamical system on the space of continuous maps on the interval.
In particular, we show that zero topological entropy of a continuos map f ∈ C(I) on the interval implies
zero topological entropy of the map F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I) on the space of continuos maps.
Дослiджуються властивостi топологiчної ентропiї вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ, φ ∈ C(I),
що породжуються фiксованим неперервним вiдображенням f ∈ C(I) вiдрiзка прямої. Зокрема,
показано, що топологiчна ентропiя h(F ) > 0 тодi i тiльки тодi, коли h(f) > 0.
Нехай C(X) — множина всiх неперервних вiдображень компактного метричного просто-
ру (X, ρ) в себе. Позначимо через CU (X) та CH(X) простори на цiй множинi, що надiленi
вiдповiдно рiвномiрною та хаусдорфовою метриками. Розглянемо двi природнi можли-
востi задати динамiчну систему на цих просторах, що породжуються деяким фiксованим
вiдображенням f ∈ C(X).
A. Нехай вiдображення Ψ ∈ C(C(X), C(X)) таке, що Ψ : φ 7→ φ ◦ f для будь-якої
φ ∈ C(X). Безпосередньо за означенням вiдображення Ψ є рiвномiрно неперервним на
метричному просторiCU (X). Вiдповiднi динамiчнi системи топологiчно простi в сенсi, що
їх топологiчна ентропiя дорiвнює нулю, незалежно вiд значення топологiчної ентропiї
породжуючого вiдображення f : X → X . Бiльш того, якщо f сюр’єктивне, то система
(CU (X),Ψ) є iзометрiєю. Зазначимо, що коли φ ∈ C(X,C), то вiдповiдне вiдображення
Ψ асоцiюється з лiнiйним оператором i має широке застосування, зокрема, в ергодичнiй
теорiї (див., наприклад, [1 – 3]).
Б. Нехай вiдображення F ∈ C(C(X), C(X)) таке, що F : φ 7→ f ◦ φ для будь-якої φ ∈
∈ C(X). Наскiльки автору вiдомо, вперше такого роду вiдображення (для одновимiрного
випадку) почали дослiджувати О. М. Шарковський та його учнi (див., наприклад, [4 – 6]).
Оскiльки вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ рiвномiрно неперервне на метричних просто-
рах CH(X) та CU (X), то можемо дослiджувати його топологiчну ентропiю (за означен-
ням Боуена – Дiнабурга, див.[2]), незважаючи на компактнiсть цих просторiв. Питання,
що було поставлене автору О. М. Шарковським та спонукало до написання цiєї статтi, є
таким: чи iснує залежнiсть мiж значеннями топологiчної ентропiї h(F ) та h(f), зокрема,
коли простiр X є вiдрiзком прямої?
Перш нiж сформулювати головний результат роботи, наведемо iнший, бiльш фор-
мальний, пiдхiд, в який, зокрема, вкладається спосiб Б.
Нехай X — компактний метричний простiр, а 2X — компактний простiр усiх замкне-
них пiдмножин iз X у топологiї Хаусдорфа. Для динамiчної системи (X,T ), де T ∈ C(X),
фактор-вiдображенням називають неперервне сюр’єктивне вiдображення π : X 7→ Y та-
ке, що S ◦ π = π ◦ T для деякого вiдображення S ∈ C(Y ). У свою чергу вiдображення
S називають фактором T . Для будь-якої точки y ∈ Y множина π−1(y) блукає по точках
c© С. Ф. Коляда, 2004
180 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ТОПОЛОГIЧНА ЕНТРОПIЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ НА ПРОСТОРI ОДНОВИМIРНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 181
множини 2X i T дiє на цих множинах подiбно тому, як S на Y . Квазiфактором системи
(X,T ) називають будь-яку пiдсистему (2X , T ). Незважаючи на те, що динамiчнi власти-
востi системи та її факторiв пов’язанi мiж собою, цього, взагалi кажучи, не можна сказати
про систему та її деякий квазiфактор (бiльш детально див. [7 – 10]).
Нехай (X, g) та (X, f) — динамiчнi системи, де X — компактний метричний простiр, а
g, f ∈ C(X). Розглянемо добуток-систему (X2, g × f), де X2 := X ×X . Задавши вiдобра-
ження g×f на просторiX2, ми тим самим задамо його на будь-якiй його пiдмножинi (в то-
му числi i на всiх множинах, якi будуть розглядатися нами пiзнiше). Бiльш того, оскiльки
g× f — неперервне вiдображення на X2, то воно рiвномiрно неперервне на пiдмножинах
X2 у метрицi Хаусдорфа.
Позначимо через gr(φ) графiк вiдображення φ ∈ C(X), тобто gr(φ) := {(x, y) ∈ X2 :
y ∈ φ(x)}. Множина графiкiв усiх неперервних вiдображень Gr(X) := {gr(φ) : φ ∈ C(X)}
є пiдмножиною в 2X
2
. Коли g — гомеоморфiзм, тодi одним iз квазiфакторiв динамiчної
системи (X2, g × f) є i динамiчна система (Gr(X), g × f). Зокрема, якщо g — тотожне
вiдображення, то маємо ту саму ситуацiю, що i у випадку Б. Далi будемо розглядати лише
цей випадок i писати, що маємо вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ, уточнюючи, коли потрiбно,
на якому просторi.
Основною метою цiєї статтi є дослiдження такого питання: чи iснує взаємозв’язок
мiж топологiчною ентропiєю динамiчних систем (X, f) та (C(X), F )? Зокрема, дається
вичерпна вiдповiдь на поставлене питання для одновимiрної динамiчної системи (I, f), де
I — вiдрiзок прямої.
Теорема 1. Нехай X — компактний метричний простiр, f ∈ C(X), а F ∈ C(CH(X),
CH(X)) таке, що F : φ 7→ f ◦ φ для довiльного φ ∈ C(X). Тодi топологiчна ентропiя
h(F ) є додатною, якщо h(f) — додатна. Якщо X = I , то h(F ) > 0 тодi i тiльки тодi,
коли h(f) > 0, i може набувати лише значення 0 або +∞.
Топологiчна ентропiя. Нагадаємо означення Боуена – Дiнабурга топологiчної ентро-
пiї (див. [2]).
Нехай (Z, ρ) — метричний простiр, а f : Z → Z — рiвномiрно неперервне вiдобра-
ження. Для будь-якого цiлого n ≥ 1 функцiя
ρn(x, y) := max
0≤j≤n−1
ρ(f j(x), f j(y))
задає метрику на Z , що є еквiвалентною до ρ.
Зафiксуємо n ≥ 0 та ε > 0 i нехай K — деякий компакт у Z. Пiдмножину E ⊂ K
називають (n, f, ε)-роздiленою, якщо для будь-яких двох рiзних точок x, y ∈ E ρn(x, y) >
> ε. Пiдмножина F ⊂ Z (n, f, ε)-стягує K, якщо для довiльної точки x ∈ K iснує точка
y ∈ F така, що ρn(x, y) ≤ ε. Зауважимо, що оскiльки K — компакт, то множини E та F є
скiнченними.
Позначимо через sn(f, ε;K) максимальне число серед потужностей множин, що є
(n, f, ε)-роздiленими пiдмножинами з компакту K, а через rn(f, ε;K) мiнiмальне число
серед потужностей множин, якi (n, f, ε)-стягують компакт K.
Зауважимо, що для довiльного ε > 0 та n ≥ 0
rn(f, ε;K) ≤ sn(f, ε;K) ≤ rn(f, ε/2;K),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
182 С. Ф. КОЛЯДА
а величини log s0(f, ε;K) та log r0(f, ε;K) також називають вiдповiдно ε-ємнiстю та
ε-ентропiєю (K, ρ) за Колмогоровим – Тiхомiровим [11]. Вiдповiдно ε-ємнiсть (K, ρn) =
= log sn(f, ε;K) i ε-ентропiя (K, ρn) = log rn(f, ε;K).
Визначимо тепер топологiчну ентропiю h(f,K) для компактної пiдмножиниK ⊂ Z
як
h(f,K) := lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log sn(f, ε;K) = lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log rn(f, ε;K),
або
h(f,K) = lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
[ε— ентропiя (K, ρn)] = lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
[ε— ємнiсть (K, ρn)].
Топологiчна ентропiя h(f) вiдображення f : Z → Z визначається за формулою
hρ(f) = h(f) := sup{h(f,K) : K ⊂ Z i K — компакт}.
Якщо r′n(f, ε;K) позначає мiнiмальне число серед потужностей множин iз K, якi
(n, f, ε)-стягують компакт K, то тодi теж r′n(f, ε;K) ≤ sn(f, ε;K) ≤ r′n(f, ε/2;K) i
h(f,K) = limε→0 lim supn→∞
1
n
log r′n(f, ε;K) (див. [2]).
Вiдомо також, що для рiвномiрно еквiвалентних метрик ρ1 та ρ2 (тобто таких, що
вiдображення id : (X, ρ1) → (X, ρ2) та id : (X, ρ2) → (X, ρ1) є рiвномiрно неперервними)
топологiчна ентропiя hρ1(X, f) = hρ2(X, f). Коли ж метрика ρ1 є сильнiшою за метрику
ρ2, тодi hρ1(X, f) ≥ hρ2(X, f) (див., наприклад, [2]).
Нагадаємо означення метрик, що використовуються. Нехай ∆(ρ,A,B) позначає вiд-
стань Хаусдорфа мiж множинами A i B:
∆(ρ,A,B) := max{sup
a∈A
inf
b∈B
ρ(a, b); sup
a∈B
inf
b∈A
ρ(a, b)}.
Тодi метрику
dH(φ1, φ2) := ∆(ρ, grφ1, grφ2)
називають метрикою Хаусдорфа на множинi C(X), а
d(φ1, φ2) := max
x∈X
ρ(φ1(x), φ2(x))
— рiвномiрною метрикою на множинi C(X).
Легко перевiрити, що вiдображення F : φ 7→ f ◦ φ рiвномiрно неперервне на обох
метричних просторах CH(X), CU (X), i ми можемо дослiджувати його топологiчну ен-
тропiю.
Безпосередньо за означенням метрика Хаусдорфа є не слабкiшою за рiвномiрну ме-
трику, тобто d(φ1, φ2) ≥ dH(φ1, φ2) для будь-яких φ1, φ2 ∈ C(X). Бiльш того, вони є еквi-
валентними на будь-якiй сiм’ї одностайно неперервних вiдображень з C(X), а отже, i на
будь-якiй компактнiй пiдмножинi з C(X). Таким чином, за означення топологiчної ентро-
пiї (CU (X), F ) та (CH(X), F ) маємо таку рiвнiсть:
hU (F ) := h(F,CU (X)) = h(F,CH(X)) =: hH(F ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ТОПОЛОГIЧНА ЕНТРОПIЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ НА ПРОСТОРI ОДНОВИМIРНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 183
Простори CU (X) та CH(X) взагалi можуть бути не компактними. Наприклад, коли
X = I є вiдрiзком прямої, тодi простiр CU (X) є повним метричним простором, але не цiл-
ком обмеженим, в той час як простiрCH(X) не є повним метричним простором, але є цiл-
ком обмеженим. Проте навiть у загальному випадку (оскiльки X — компактний метрич-
ний простiр) простiр CH(X) ⊃ CH(X), що є замиканням пiдмножини C(X) компактного
простору 2X у метрицi Хаусдорфа, є очевидно компактним. Рiвномiрно неперервне вi-
дображення F : φ 7→ f ◦ φ на метричному просторi CH(X) однозначно продовжується до
неперервного вiдображення на компактному просторi CH(X) (для зручностi будемо його
також позначати через F ).
Використавши такий загальний факт: коли компактний простiр Y є замиканням прос-
тору Z, тодi для довiльного неперервного вiдображення T ∈ C(Y ) топологiчна ентропiя
h(T, Y ) = h(T,Z) (див., наприклад, [12]) ; як наслiдок маємо
h(F ) := hU (F ) = hH(F ) = h(F,CH(X)).
Виникає питання: чи є залежнiсть мiж ентропiєю h(F ) та h(f)? Оскiльки, як ми побачимо
трохи пiзнiше, позитивнiсть топологiчної ентропiї h(f) є очевидною достатньою умовою
для того, щоб h(F ) > 0, то насправдi проблема полягає в тому, чи є ця умова необхiдною.
Хоча автор не знає вiдповiдi на питання: якi умови повинен задовольняти простiр X ,
щоб умова h(f) > 0 була необхiдною, колиX = I є вiдрiзком прямої, позитивну вiдповiдь
дає теорема 1, до доведення якої ми переходимо.
Доведення тeорeми 1. Пeрш за все зауважимо, що h(F ) ≥ h(F |Ccon(X)), деCcon(X) :=
:= {φ ∈ C(X) : φ(x) ≡ c, c ∈ X}. Множина Ccon(X) є замкненою i F -iнварiантною
пiдмножиною в CH(X). Оскiльки в цьому випадку dH(φ1, φ2) = |c1 − c2|, то h(F |Ccon(X)
) =
= h(f). Тодi очевидно, що з h(f) > 0 випливає h(F ) > 0.
Для доведення другої частини теореми будемо розглядати компактний метричний
простiр (I2, ρ) з евклiдовою метрикою ρ. Нам також будуть потрiбнi допомiжнi конст-
рукцiї, аналогiчнi до [13] (див. також [14, 15]), де впeршe було провeдeно дослiдження
ε-ентропiї та ε-ємностi, зокрeма, для простору CH(I).
Розглянемо множину всiх замкнених кривих Kp(I2) ⊂ I2, що мають такi властивостi:
якщо γ ∈ Kp(I2), то для кожного x ∈ I в γ iснує точка з абсцисою x (тобто для довiльного
x ∈ I γ(x) 6= ∅); якщо γ ∈ Kp(I2), то множина точок в γ, що мають одну i ту ж фiксовану
абсцису, є замкненим вiдрiзком, що може бути точкою (тобто для довiльного x ∈ I γ(x)
— зв’язна множина).
Множину {(x, y) ∈ I2 : x ∈ A, y ∈ B, де A,B ⊂ I є скiнченними i включають кiнцi I}
будемо називати решiткою квадрата I2, а через R будемо позначати множину всiх решi-
ток I2. Далi будемо використовувати множини кривих K1 := {γ : ∃γ1 ∈ Kp(I2),∃γ2 ∈ R
такi, що γ = γ1 ∩ γ2 i γ(x) є непорожньою зв’язною множиною для всiх x ∈ I} = {γ :
∃γ0 ∈ R така, що γ ∈ γ0 i γ(x) є непорожньою замкненою зв’язною множиною для всiх
x ∈ I} та K2 := {γ : ∃γ0 ∈ R така, що γ ∈ γ0 i γ(x) є непорожньою замкненою множи-
ною для всiх x ∈ I}. Легко перевiрити, що K1 ⊂ K2.
Очевидно, що будь-яку криву γ з K1 можна як завгодно точно апроксимувати графi-
ком деякого неперервного вiдображення з C(I) в метрицi Хаусдорфа. Тому вона є графi-
ком деякого (багатозначного) вiдображення з CH(I). У той час цього не можна сказати
про довiльну криву γ з K2 \ K1, хоча вона також є графiком деякого (багатозначного)
вiдображення, але такого, що не належить до CH(I).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
184 С. Ф. КОЛЯДА
Позначимо через C∗H(I) простiр всiх (багатозначних) вiдображень, графiком яких є
деяка крива з K2, що надiлений хаусдорфовою метрикою. Зауважимо, що оскiльки вi-
дображення F є рiвномiрно неперервним на множинi K2 в хаусдорфовiй метрицi, то воно
рiвномiрно неперервне i на просторi C∗H(I).
A. Спочатку доведемо, що з h(f) > 0 випливає h(F ) = +∞. Зафiксуємо ε > 0
та n ≥ 0. Розiб’ємо квадрат I2 максимальним числом вертикальних лiнiй x = αi так,
щоб вiдстань мiж сусiднiми була бiльшою за ε (будемо вважати, що кiнцi вiдрiзка I та-
кож належать до цiєї множини, i позначимо кiлькiсть цих лiнiй через s0(ε; I)). Розiб’ємо
його також горизонтальними лiнiями y = βi, i = 1, 2, ..., sn(f, ε; I), де βi — точки з де-
якої пiдмножини Sep(n, f, ε; I) ∈ I , що є (n, f, ε)-роздiленою i має потужнiсть sn(f, ε; I)
(максимальну серед усiх (n, f, ε)-роздiлених пiдмножин з I). Це розбиття задає вiдповiдну
решiтку множини
ΠA = {(x, y) ∈ I2 : x ∈ I, min
1≤i≤sn(f,ε;I)
βi ≤ y ≤ max
1≤i≤sn(f,ε;I)
βi}
(позначимо її через PA).
Розглянемо пiдмножину K1(PA) всiх замкнених кривих з K1, що належать до решiтки
PA. Очевидно, що кожна крива з K1(PA) є графiком деякого (багатозначного) вiдобра-
ження з CH(I).
Розглянемо пiдмножину зCH(I), елементами якої є всi вiдображення, графiком яких є
крива з K1(PA). Безпосередньо з побудови видно, що ця множина є (n, F, ε)-роздiленою.
Позначимо її через Sep(n, F, ε;CH(I)) i наведемо очевидне (хоча i досить грубе) обме-
ження знизу кiлькостi її елементiв. Для зручностi позначимо p = sn(f, ε; I), q = s0(ε; I).
Тодi
# Sep(n, F, ε;CH(I)) ≥ pq−1.
Оскiльки sn(F, ε;CH(I)) ≥ # Sep(n, F, ε;CH(I)) i за припущенням топологiчна ентропiя
h(f) := limε→0 lim supn→∞
1
n
log rn(f, ε; I) > 0, то
h(F ) = h(F,CH(X)) = lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log sn(F, ε;CH(I)) ≥
≥ lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log # Sep(n, F, ε;CH(I)) ≥
≥ lim
ε→0
lim sup
n→∞
s0(ε; I)− 1
n
log sn(f, ε; I) = +∞.
Б. Для доведення теореми залишилось показати, що з h(f) = 0 випливає h(F ) = 0.
Знову, як i в попередньому пунктi, зафiксуємо ε > 0 та n ≥ 0. Розiб’ємо певним чином
квадрат I2 мiнiмальним числом вертикальних лiнiй x = αi так, щоб вiдстань мiж сусiднi-
ми була не бiльшою за ε. Позначимо їх кiлькiсть через r0(ε; I)) та будемо вважати, що
кiнцi вiдрiзка I також належать цьому розбиттю. Розiб’ємо також I2 горизонтальними
лiнiями y = βi, i = 1, 2, ..., rn(f, ε; I), де βi — точки з деякої пiдмножини Sp(n, f, ε; I) ⊂ I ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ТОПОЛОГIЧНА ЕНТРОПIЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ НА ПРОСТОРI ОДНОВИМIРНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 185
що (n, f, ε)-стягує I i має потужнiсть rn(f, ε; I) (мiнiмальну кiлькiсть елементiв серед усiх
(n, f, ε)-стягуючих пiдмножин з I).
Це розбиття задає вiдповiдну решiтку множини
ΠB = {(x, y) ∈ I2 : x ∈ I, min
1≤i≤rn(f,ε;I)
βi ≤ y ≤ max
1≤i≤rn(f,ε;I)
βi}
(позначимо її через PB).
Iз множини кривих K2 виберемо пiдмножину K2(PB) всiх тих кривих, що належать
решiтцi PA. Очевидно, що кожна така крива є графiком певного (багатозначного) вiдоб-
раження, що належить до C∗H(I).
Покажемо, що iснує деяка (скiнченна) пiдмножина в C∗H(I), елементами якої є вiдоб-
раження, графiки яких — деякi множини з K2(PB), яка (n, F, 2ε)-стягує компакт CH(I) 1.
Однiєю з таких (n, F, 2ε)-стягуючих компакт CH(I) множин може бути пiдмножи-
на вiдображень (позначимо її через Sp(n, F, 2ε;CH(I))), вiдповiдною множиною графiкiв
якої є пiдмножина з K2(PB) (позначимо її через SpB)
{γ ∈ K2(PB) : γ(x) ≡ Ai, x ∈ [αi, αi+1], де Ai ⊂ Sp(n, f, ε; I), i = 1, ..., r0(ε; I)}.
Щоб довести це, достатньо довiльному вiдображенню з CH(I) вказати деякий елемент iз
множини Sp(n, F, 2ε;CH(I)), який (n, F, 2ε)-стягує його, що ми зараз i зробимо.
Нехай φ — довiльне вiдображення з CH(I). Для деякої компактної пiдмножини A ⊂
⊂ I позначимо через Sp(n, f, ε;A) пiдмножину тих елементiв множини Sp(n, f, ε; I), що
(n, f, ε)-стягують A. Визначимо множину
ξ(φ) := {(x, y) : y = Ai ∀x ∈ [αi, αi+1], де Ai = Sp(n, f, ε;φ(x)), i = 1, ..., r0(ε; I)}.
Tодi, очевидно, ξ(φ) ∈ SpB i є графiком певного вiдображення ξ ∈ Sp(n, F, 2ε;CH(I)). З
побудови ξ видно, що для будь-якої точки zφ ∈ gr(φ)
ρn(zφ, gr(ξ)) := max
0≤j≤n−1
ρ(F j(zφ), gr(F j(ξ))) ≤ ε,
а для будь-якої точки zξ ∈ gr(ξ)
ρn(zξ, gr(φ)) := max
0≤j≤n−1
ρ(F j(zξ), gr(F j(φ))) < 2ε.
Звiдси випливає, що множина Sp(n, F, 2ε;CH(I)) (n, F, 2ε)-стягує CH(I).
Незважаючи на те, що точнi оцiнки потужностi (кiлькостi елементiв) множини Sp(n,
F, 2ε;CH(I)) отримати важко, наведемо очевидне обмеження зверху, достатнє для наших
цiлей. Для зручностi позначимо p = rn(f, ε; I), q = r0(ε; I). Тодi
# Sp(n, F, 2ε;CH(I)) ≤
((
p
2
)
+ p
)q−1
≤ p2(q−1).
1Зауважимо, що знайти в явному виглядi таку множину в самому просторi CH(I), здається, досить важко.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
186 С. Ф. КОЛЯДА
Оскiльки rn(F, 2ε;CH(I)) ≤ # Sp(n, F, 2ε;CH(I)) i за припущенням топологiчна ентропiя
h(f) := limε→0 lim supn→∞
1
n
log rn(f, ε; I) = 0, то
h(F ) = h(F,CH(X)) = lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log rn(F, 2ε;CH(I)) ≤
≤ lim
ε→0
lim sup
n→∞
1
n
log # Sp(n, F, 2ε;CH(I)) ≤
≤ lim
ε→0
lim sup
n→∞
2(r0(ε, I)− 1)
n
log rn(f, ε; I) = 0.
Теорему доведено.
Спорiдненi питання та зауваження. 1. Деколи вiдображення f ∈ C(I) називають то-
пологiчно хаотичним, якщо воно має перiодичну орбiту, перiод якої не є степенем 2. Без-
посередньо це пов’язано з порядком Шарковського на множинi N ∪ {2∞}:
3 � 5 � 7 � · · · � 2 · 3 � 2 · 5 � 2 · 7 � · · · � 4 · 3 � 4 · 5 � 4 · 7 � · · · � · · ·
· · · � 2n · 3 � 2n · 5 � 2n · 7 � · · · � · · · � 2∞ � · · · � 2n � · · · � 4 � 2 � 1.
Нехай для t ∈ N ∪ {2∞} S(t) = {k ∈ N : t � k} (S(2∞) — позначення для множини
{1, 2, 4, . . . , 2k, . . . }) i для f ∈ C(I) P (f) — множина перiодiв його перiодичних точок.
Якщо P (f) = S(t), то говорять, що вiдображення f має тип t.
Коли говорять про типи вiдображень, тодi розглядають їх впорядкованими за поряд-
ком Шарковського. Так, за згаданим означенням хаотичностi вiдображення вiдрiзка має
додатну топологiчну ентропiю (топологiчно хаотичне) тодi i тiльки тодi, коли його тип є
бiльшим нiж 2∞ (теорема Мiсюревiча, див. [16, с.231]).
Зауважимо, що доведення теореми 1 тривiально узагальнюється для динамiчної сис-
теми (J × I, id×f), де J, I — довiльнi замкненi вiдрiзки прямої, а f ∈ C(I). Позначимо
вiдповiдно через CH(J, I) простiр на множинi C(J, I) неперервних вiдображень простору
J у простiр I , що надiлений хаусдорфовою метрикою. Звiдси отримуємо такий наслiдок,
що в свою чергу є узагальненням теореми 3 з [6]2.
Наслiдок 1. Нехай f ∈ C(I), а F ∈ C(CH(J, I), CH(J, I)) таке, що F : φ 7→ f ◦ φ для
довiльного φ ∈ C(J, I). Тодi топологiчна ентропiя h(F ) > 0 тодi i тiльки тодi, коли
тип вiдображення f є бiльшим нiж 2∞, i може набувати лише значення 0 або +∞.
2. Насамкiнець повернемось знову до пункту Б. Нехай (I, g) та (I, f) — динамiчнi
системи, де g, f ∈ C(I). Розглянемо добуток-систему (I2, g × f). Множина графiкiв усiх
неперервних вiдображень на просторi I , тобто Gr(I) := {grφ := {(x, y) ∈ I2 : y ∈
∈ φ(x)};φ ∈ C(I)}, є пiдмножиною в 2I
2
. Коли g — гомеоморфiзм, тодi квазiфактором
динамiчної системи (I2, g × f) є динамiчна система (Gr(I), g × f). Зокрема, коли g — то-
тожне вiдображення, тодi, як ми щойно показали, топологiчна ентропiя динамiчної систе-
ми (Gr(I), id×f) дорiвнює нулю тодi i тiльки тодi, коли топологiчна ентропiя (I2, id×f)
2Перша частина формулювання теореми 3 мiстить описку, замiсть 0 ≤ i < ∞ повинно бути 0 ≤ i <
< k, k ∈ N (див. зауваження 3 пiсля доведення цiєї теореми).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
ТОПОЛОГIЧНА ЕНТРОПIЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ НА ПРОСТОРI ОДНОВИМIРНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 187
дорiвнює нулю. Що можна сказати про топологiчну ентропiю квазiфакторiв динамiчної
системи (I2, g × f) у бiльш загальних випадках?
Автор висловлює щиру подяку О. М. Шарковському за цiкавi стимулюючi дискусiї,
Max-Planck-Institut für Mathematik в Боннi (де ця стаття в основному була написана) за
чудову атмосферу та сердечну пiдтримку, F. Blanchard, М. Lemanczyk за те, що приверну-
ли увагу до роботи [8], а також Ю. Томiлову та L. Snoha за ряд суттєвих зауважень.
1. Szlenk W. On weakly* conditionally compact dynamical systems // Stud. Math. — 1979. — 66. — P. 25 – 32.
2. Walters P. An introduction to ergodic theory. — New York: Springer, 1982. — ix+250 p.
3. Weiss B. Single orbit dynamics // CBMS Region. Conf. Ser. Math. 95. — Providence, RI: Amer. Math. Soc.,
2000. — x+113 p.
4. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. (Engl. transl.: Difference Equations and Their Applications. — Dordrecht: Kluwer
acad. publ., 1993. — xii+358 p.)
5. Романенко О. Ю., Шарковський О. М. Вiд одновимiрних до нескiнченновимiрних динамiчних систем:
iдеальна турбулентнiсть // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 12. — С. 1817 – 1842.
6. Sharkovsky А. N., Romanenko E. Yu. Difference equations and dynamical systems generated by certain
classes of boundary value problems // Proc. Steklov Inst. Math. — 2004. — 244. — P. 264 – 279.
7. Bauer W., Sigmund K. Topological dynamics of transformations induced on the space of probability measures
// Monatsh. Math. — 1975. — 79. — P. 81 – 92.
8. Glasner E., Weiss B. Quasifactors of zero entropy systems // J. Amer. Math. Soc. — 1995. — 8. — P. 665 – 686.
9. Glasner E. Quasifactors of minimal systems // Top. Meth. Nonlinear Anal. — 2000. — 16. — P. 351 – 370.
10. Glasner E. Quasifactors of positive entropy systems // Isr. J. Math. — 2003. — 134. — P. 365 – 380.
11. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. ε-Энтропия и ε-емкость множеств в функциональных пространс-
твах // Успехи мат. наук. — 1959. — 14. — P. 3 – 86. (Engl. transl.: ε-Entropy and ε-capacity of sets in
functional spaces. Selected Works of A.N. Kolmogorov. — Dobrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. — 3. —
P. 3 – 86.)
12. Kolyada S., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems // Random Comput. Dynam.
— 1996. — 4. — P. 205 – 233.
13. Сендов Б. Х., Пенков Б. И. ε-Энтропия и ε-емкость множества непрерывных функций // Вестн. Моск.
ун-та. Сер. 1. — 1962. — 3. — С. 15 – 18.
14. Панов А. А. Вычисление ε-энтропии для пространства непрерывных функций с хаусдорфовой метри-
кой // Мат. заметки. — 1977. — 21. — С. 39 – 50.
15. Бронштейн Е. М. Метрическая энтропия некоторых множеств // Сиб. мат. журн. — 1997. — 38. —
С. 42 – 45.
16. Alsedа L., Llibre J., and Misiurewicz M. Combinatorial dynamics and entropy in dimension one. — River
Edge, NJ: World Sci. Publ., 1993. (Second edition. — 2000. — xvi+415 p.)
Отримано 15.12.2003,
пiсля доопрацювання — 28.05.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
|