Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість

Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість

Дослiджено наближену замiну диференцiальних рiвнянь iз запiзненням системою звичайних диференцiальних рiвнянь. Проаналiзовано якiсну поведiнку розв’язкiв вихiдної та апроксимуючої систем, побудовано алгоритм дослiдження стiйкостi розв’язкiв систем iз запiзненням....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2004
Hauptverfasser: Матвій, О.В., Черевко, І.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2004
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177005
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість / О.В. Матвій, І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177005
record_format dspace
spelling irk-123456789-1770052021-02-10T01:25:47Z Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість Матвій, О.В. Черевко, І.М. Дослiджено наближену замiну диференцiальних рiвнянь iз запiзненням системою звичайних диференцiальних рiвнянь. Проаналiзовано якiсну поведiнку розв’язкiв вихiдної та апроксимуючої систем, побудовано алгоритм дослiдження стiйкостi розв’язкiв систем iз запiзненням. We study approximating a delay-differential system with a system of ordinary differential equations. A qualitative analysis of solutions of the initial and the approximate systems is carried out. We also construct an algorithm for studying stability of solutions of systems with delay. 2004 Article Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість / О.В. Матвій, І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177005 517.925 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Дослiджено наближену замiну диференцiальних рiвнянь iз запiзненням системою звичайних диференцiальних рiвнянь. Проаналiзовано якiсну поведiнку розв’язкiв вихiдної та апроксимуючої систем, побудовано алгоритм дослiдження стiйкостi розв’язкiв систем iз запiзненням.
format Article
author Матвій, О.В.
Черевко, І.М.
spellingShingle Матвій, О.В.
Черевко, І.М.
Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
Нелінійні коливання
author_facet Матвій, О.В.
Черевко, І.М.
author_sort Матвій, О.В.
title Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
title_short Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
title_full Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
title_fullStr Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
title_full_unstemmed Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
title_sort про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2004
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177005
citation_txt Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість / О.В. Матвій, І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 208-216. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT matvíjov proaproksimacíûsistemízzapíznennâmtaíhstíjkístʹ
AT čerevkoím proaproksimacíûsistemízzapíznennâmtaíhstíjkístʹ
first_indexed 2025-07-15T14:57:51Z
last_indexed 2025-07-15T14:57:51Z
_version_ 1837725355840897024
fulltext УДК 517.925 ПРО АПРОКСИМАЦIЮ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ О. В. Матвiй , I. М. Черевко Чернiвец. нац. ун-т Україна, 58012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2 e-mail: omatviy@chnu.cv.ua cherevko@chnu.cv.ua We study approximating a delay-differential system with a system of ordinary differential equations. A qualitative analysis of solutions of the initial and the approximate systems is carried out. We also construct an algorithm for studying stability of solutions of systems with delay. Дослiджено наближену замiну диференцiальних рiвнянь iз запiзненням системою звичайних ди- ференцiальних рiвнянь. Проаналiзовано якiсну поведiнку розв’язкiв вихiдної та апроксимуючої систем, побудовано алгоритм дослiдження стiйкостi розв’язкiв систем iз запiзненням. Вступ. Для наближеного розв’язування задач оптимального керування в системах iз за- пiзненням ефективним виявився метод замiни рiвнянь iз запiзненням послiдовнiстю зви- чайних диференцiальних рiвнянь [1 – 3]. Для побудови рiзних схем апроксимацiї в [4] ви- користано апроксимацiю Паде для функцiї ex, а в працях [5, 6] застосовано апроксимацiю iнфiнiтезимального оператора пiвгрупи лiнiйних операторiв. Такий пiдхiд дозволяє зве- сти дослiдження системи iз запiзненням до вивчення звичайних динамiчних систем. Точ- нiсть наближення на скiнченному iнтервалi дослiджувалась у працях [1, 2, 4, 7, 8] в рiзних функцiональних просторах за рахунок збiльшення розмiрностi m апроксимуючої систе- ми звичайних диференцiальних рiвнянь. За допомогою схем апроксимацiї систем iз запiз- ненням було побудовано [9, 10] алгоритми наближеного знаходження неасимптотичних коренiв квазiполiномiв. У данiй роботi дослiджуються властивостi асимптотичної стiйкостi (нестiйкостi) ну- льового розв’язку рiвнянь iз запiзненням на основi аналiзу властивостей нульового роз- в’язку апроксимуючої системи звичайних диференцiальних рiвнянь. 1. Постановка задачi. Розглянемо диференцiальне рiвняння iз запiзненням dx dt = f(t, x(t), x(t− τ)), (1) де t ∈ R, x ∈ Rn, функцiя f(t, u, v) — неперервна по t, задовольняє умову Лiпшиця по u, v i, крiм того, f(t, 0, 0) = 0. Замiнивши елемент запiзнення послiдовнiстю iз m аперiодичних ланок [1, 2], рiвнянню c© О. В. Матвiй, I. М. Черевко, 2004 208 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ПРО АПРОКСИМАЦIЮ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 209 (1) поставимо у вiдповiднiсть систему звичайних диференцiальних рiвнянь вигляду dz0 dt = f(t, z0, zm), (2) dzi dt = m τ (zi−1 − zi), i = 1,m, m ∈ N. Точнiсть апроксимацiї початкової задачi для рiвняння (1) задачею Кошi для системи (2) на скiнченному iнтервалi [0, T ] дослiджувалась у працях [1, 2, 7, 8]. У випадку, коли нульовий розв’язок рiвняння (1) асимптотично стiйкий, можна розглядати близкiсть i на нескiнченному iнтервалi [0,∞). Має мiсце таке твердження [1]. Теорема 1. Якщо нульовий розв’язок рiвняння (1) рiвномiрно асимптотично стiй- кий, то для достатньо великих m нульовий розв’язок системи (2) рiвномiрно асимпто- тично стiйкий. Якщо нульовий розв’язок системи (2) рiвномiрно асимптотично стiй- кий, то нульовий розв’язок рiвняння (1) рiвномiрно асимптотично стiйкий при дос- татньо великому m. Iз теореми 1 випливає iснування такого числа m0 > 0, що при m ≥ m0 асимптотична стiйкiсть нульового розв’язку рiвняння iз запiзненням (1) i системи звичайних диферен- цiальних рiвнянь (2) є еквiвалентною. Однак на практицi теорему 1 складно застосувати, оскiльки в кожному конкретному випадку потрiбно проводити дослiдження для оцiнки числа m0. Конструктивнi алгоритми застосування теореми 1 можна одержати для випадку лiнiй- них стацiонарних систем iз запiзненням. 2. Апроксимацiя неасимптотичних коренiв матричних квазiполiномiв. Розглянемо лi- нiйну систему диференцiальних рiвнянь iз багатьма запiзненнями dx dt = k∑ i=0 Aix(t− τi), (3) де x ∈ Rn, Ai, i = 0, k, — сталi матрицi розмiрностi n× n, 0 = τ0 < τ1 < . . . < τk = τ . Квазiполiном для рiвняння (3) має вигляд Φ(λ) = det ( λE − k∑ i=0 Aie −λτi ) . (4) Рiвнянню (3) поставимо у вiдповiднiсть за схемою [1, 2] систему звичайних диферен- цiальних рiвнянь dz0 dt = k∑ i=0 Aizli (t), li = [τim τ ] , (5) dzi dt = µ(zi−1 − zi), i = 1,m, µ = m τ . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 210 О. В. МАТВIЙ , I. М. ЧЕРЕВКО Характеристичний многочлен системи (5) має вигляд Ψm(λ) = det  λE −A0 0 . . . −A1 . . . −Ak −µE (µ+ λ)E . . . 0 . . . 0 0 −µE . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . (µ+ λ)E . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . (µ+ λ)E  . (6) Елементи визначника (6) — матрицi розмiрностi n × n. У першому рядку визначника ненульовi блоки знаходяться на позицiях li, i = 0, k. Для спрощення визначника (6) розiб’ємо його матрицю на чотири блоки: A = (λE −A0), B = ( 0 . . . 0 −A1 . . . −Ak ) , C =  −µE 0 ... 0 ... 0  , Dm =  (µ+ λ)E . . . 0 . . . 0 −µE . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . (µ+ λ)E . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . (µ+ λ)E  . Тут A,Dm — квадратнi матрицi i, крiм того, визначник det(Dm) 6= 0 для фiксованого λ, за можливим винятком одного значення m. Використовуючи властивостi блочних матриць [11], запишемо (6) у виглядi Ψm(λ) = det ( A B C Dm ) = det(A−BD−1 m C) det(Dm), (7) де D−1 m — обернена матриця до матрицi Dm. Матрицю D−1 m подамо у такому виглядi: D−1 m =  d11 d12 . . . d1m d21 d22 . . . d2m d31 d32 . . . d3m . . . . . . . . . . . . dm1 dm2 . . . dmm  . Обчислюючи добуток матриць (BD−1 m C), дiстаємо ( 0 . . . 0 −A1 . . . −Ak )  d11 d12 . . . d1m d21 d22 . . . d2m d31 d32 . . . d3m . . . . . . . . . . . . dm1 dm2 . . . dmm   −µE 0 ... 0 ... 0  = µ k∑ i=1 Aidli1. (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ПРО АПРОКСИМАЦIЮ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 211 Врахувавши рiвнiсть (8), перепишемо характеристичний многочлен (7) у виглядi Ψm(λ) = det ( A− µ k∑ i=1 Aidli1 ) det(Dm). (9) Знайдемо вирази для блокiв dli1, i = 1, k, матрицi D−1 m . Обчислюючи добуток DmD −1 m , отримуємо  (µ+ λ)d11 . . . (µ+ λ)d1m −µd11 + (µ+ λ)d21 . . . −µd1m + (µ+ λ)d1m . . . . . . . . . −µdm−1,1 + (µ+ λ)dm1 . . . −µdm−1,m + (µ+ λ)dmm  = =  E 0 . . . 0 0 E . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . E  . Таким чином, маємо рiвностi d11 = 1 µ+ λ E, d21 = µ µ+ λ d11 = µ (µ+ λ)2 E, . . . , dm1 = µm−1 (µ+ λ)m E. Пiдсумуємо наведенi вище мiркування у виглядi такого твердження. Лема 1. Для характеристичного рiвняння апроксимуючої системи (5) має мiсце спiв- вiдношення Ψm(λ) = det ( λE − k∑ i=0 Ai ( µ µ+ λ )li) (µ+ λ)mn. (10) Дослiдимо зв’язок мiж квазiполiномом (4) i характеристичним многочленом (6). Лема 2. Для фiксованих λ ∈ Z послiдовнiсть функцiй Hm(λ) = Ψm(λ) (µ+ λ)mn ,m ∈ N, (11) збiгається при m → ∞ до квазiполiнома (4). Доведення. Розглянемо фiксоване λ ∈ Z. Тодi λ 6= −m τ за можливим винятком одного значення m. Отже, функцiю Hm(λ) визначено для всiх m ∈ N за можливим винятком одного m ∈ N . Враховуючи позначення µ = m τ i рiвнiсть (10), маємо Hm(λ) = det ( λE − k∑ i=0 Ai ( m m+ λτ )li) . (12) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 212 О. В. МАТВIЙ , I. М. ЧЕРЕВКО На пiдставi вiдомої границi lim m→∞ ( m m+ λτ ) τim τ = e−λτi та означення числа li одержуємо рiвнiсть lim m→∞ ( λE − k∑ i=0 Ai ( m m+ λτ )li) = ( λE − k∑ i=0 Aie −λτi ) . Отже, переходячи в рiвностi (12) до границi при m → ∞ для фiксованого λ ∈ Z одержуємо lim m→∞ Hm(λ) = det ( λE − k∑ i=0 Aie −λτi ) . (13) Лему 2 доведено. Зауваження. Функцiя Hm(λ), визначена спiввiдношенням (12), апроксимує при m → → ∞ квазiполiном (4). Цю властивiсть можна використати для наближеного знаходжен- ня неасимптотичних коренiв квазiполiнома (4). Оскiльки нулi функцiй Ψm(λ) i Hm(λ), згiдно з рiвнiстю (11), збiгаються, то коренi характеристичного многочлена (6) можна використовувати як наближенi значення неасимптотичних коренiв квазiполiнома (4). 3. Збереження стiйкостi при переходi до апроксимуючої системи. Розглянемо мето- дику оцiнки можливого порядку апроксимуючої системи (5) для лiнiйного рiвняння iз за- пiзненням (3). Теорема 2. Якщо нульовий розв’язок рiвняння (3) експоненцiально стiйкий (нестiй- кий), то iснує m0 > 0 таке, що при m ≥ m0 нульовий розв’язок системи (5) експоненцi- ально стiйкий (нестiйкий). Якщо для всiх m ≥ m0 нульовий розв’язок системи (5) експоненцiально стiйкий (нестiйкий), то й нульовий розв’язок рiвняння (3) експоненцiально стiйкий (нестiйкий). Доведення. Подамо квазiполiном (4) у виглядi Φ(λ) = λn + p1(λ)λn−1 + . . .+ pn(λ), де коефiцiєнти pi(λ) — функцiї вигляду pi(λ) = n∑ j=0 βije −αjλ, αj = k∑ l=0 τirij , rij — цiлi невiд’ємнi числа, βij — сталi числа, якi є многочленами елементiв матриць Ai, i = 0, k. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ПРО АПРОКСИМАЦIЮ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 213 Якщо Reλ ≥ 0, то |e−αjλ| ≤ 1 i коефiцiєнти pi(λ), i = 1, n, є обмеженими. Позначимо K0 = max i=1,n |pi| при Reλ ≥ 0, (14) d0 = max[1, (n+ 1)K0]. Нехай Reλ ≥ d0, тодi |λ| ≥ 1 i виконується нерiвнiсть |λn + p1λ n−1 + . . .+ pn| ≥ |λ|n ( 1− |p1| |λ| − . . .− |pn| |λ|n ) ≥ dn0 [ 1− nK0 (n+ 1)K0 ] > 0. Отже, квазiполiном (4) не має нулiв в областi Reλ ≥ d0. Якщо Reλ ≥ −δ, δ > 0, то |e−αjλ| ≤ eαjδ i коефiцiєнти pi(λ), i = 1, n, також є обмеженими. Позначимо K1 = max i=1,n |pi| при Reλ ≥ −δ, (15) d1 = max[1, (n+ 1)K1]. Тодi при Reλ ≥ −δ, |Im < λ| ≥ d1 дiстаємо нерiвнiсть |λn + p1λ n−1 + . . .+ pn| ≥ |λ|n ( 1− |p1| |λ| − . . .− |pn| |λ|n ) ≥ dn1 [ 1− nK1 (n+ 1)K1 ] > 0. Отже, квазiполiном (4) не має нулiв в областi Reλ ≥ −δ, |Imλ| ≥ d1. Розглянемо тепер область S, що визначається спiввiдношеннями −δ ≤ Reλ ≤ d0, |Imλ| ≤ d1. (16) Нехай усi нулi квазiполiнома Φ(λ) лежать у пiвплощинi Reλ ≤ −2δ. Тодi в областi S i на її границi ∂S квазiполiном Φ(λ) не має нулiв. Позначимо v = min λ∈∂S |Φ(λ)| > 0. Розглянемо рiвнiсть Φ(λ) = Hm(λ) +Rm(λ), де Rm(λ) = Φ(λ) −Hm(λ). Iз спiввiдношення (13) випливає iснування такого m0 > 0, що при m ≥ m0 max λ∈∂S |Rm(λ)| < v. (17) Отже, при m ≥ m0 на границi областi S маємо |Φ(λ)| > |Rm(λ)|. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 214 О. В. МАТВIЙ , I. М. ЧЕРЕВКО Тодi, згiдно з теоремою Руше [12], в областi S функцiя Hm(λ), а отже i характеристичний многочлен Ψm(λ), не має нулiв. Це означає, що всi нулi характеристичного многочлена лежать у пiвплощинi Reλ ≤ −2δ. Отже, iз експоненцiальної стiйкостi нульового розв’яз- ку рiвняння iз запiзненням (3) випливає експоненцiальна стiйкiсть нульового розв’язку апроксимуючої системи (5) при m ≥ m0. Нехай тепер квазiполiном Φ(λ) має хоча б один нуль λ0 iз додатною дiйсною частиною Reλ0 = η > 0. Розглянемо коло Г з центром у точцi λ0 i таким радiусом r0, що на цьому колi квазiполiном Φ(λ) не має нулiв. Виберемо тепер m0 > 0 так, щоб при m ≥ m0 виконувалась нерiвнiсть min λ∈Г |Φ(λ)| > max λ∈Г |Rm(λ)|. (18) Тодi, згiдно з теоремою Руше, всерединi кола Г кiлькiсть нулiв характеристичного много- члена Ψm(λ) збiгається з кiлькiсть нулiв квазiполiнома Φ(λ). Отже, Ψm(λ) має принайм- нi один нуль з додатною дiйсною частиною. Значить, iз нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння iз запiзненням (3) випливає нестiйкiсть нульового розв’язку апроксимуючої си- стеми (5). Аналогiчно доводиться друга частина теореми. Теорему 2 доведено. Зауваження. Iз теореми 2 випливає, що число m0 > 0 таке, що при m ≥ m0 асимпто- тична стiйкiсть (нестiйкiсть) нульового розв’язку рiвняння iз запiзненням (3) еквiвален- тна асимптотичнiй стiйкостi (нестiйкостi) нульового розв’язку системи звичайних дифе- ренцiальних рiвнянь (5), знаходиться iз нерiвностi (18). Зазначимо, що точне знаходження екстремальних значень виразiв у нерiвностi (18) часто є складною задачею. Тому достатньо обмежитись знаходженням нижньої i верхньої оцiнок для Φ(λ) i Rm(λ) вiдповiдно. Крiм того, специфiка областi S дозволяє замiнити задачi оптимiзацiї бiльш простими на окремих вiдрiзках границi ∂S прямокутної областi S. Наведемо процедуру побудови наближеної еквiвалентної системи для рiвняння iз за- пiзненням та дослiдження за її допомогою стiйкостi цього рiвняння. Приклад. Розглянемо рiвняння iз запiзненням dx dt + 0, 125x(t− 1) = 0 (19) i його квазiполiном Φ(λ) = λ+ 0, 125e−λ. (20) Методом D розбиття [13] нескладно показати, що всi нулi квазiполiнома (20) лежать у лiвiй пiвплощинi Reλ < 0. Це означає, що нульовий розв’язок рiвняння iз запiзненням (19) є експоненцiально стiйким. Переконаємось у цьому, дослiджуючи еквiвалентну йому наближену систему звичайних диференцiальних рiвнянь. У даному випадку p1 = 0, 125e−λ, тому на основi спiввiдношень (14), (15) маємо K0 = 0, 125, K1 = 0, 125eδ, d0 = d1 = 1, де δ — мала додатна стала. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ПРО АПРОКСИМАЦIЮ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 215 Розглянемо тепер область S, що визначається спiввiдношеннями −δ ≤ Reλ ≤ 1, |Imλ| ≤ d1. Здiйснивши обхiд вiдрiзкiв границi ∂S областi S, одержимо оцiнку min λ∈∂S |Φ(λ)| ≥ 1 16 . Тепер величину m0 знаходимо iз нерiвностi max λ∈∂S |Rm(λ)| < 1 16 , (21) де Rm(λ) = 0, 125 ( e−λ − ( 1 + 1 m )−m) . Легко переконатися, що умова (21) виконується при m0 = 2. Отже, згiдно з теоре- мою 2 стiйкiсть нульового розв’язку рiвняння iз запiзненням (19) еквiвалентна стiйкостi нульового розв’язку апроксимуючої системи y′0 + 0, 125y2 = 0, y′1 + 2(y1 − y0) = 0, (22) y′2 + 2(y2 − y1) = 0. Нулi характеристичного многочлена Ψ(λ) = λ3 + 4λ2 + 4λ + 0, 5 системи (22), згiдно з критерiєм Рауса – Гурвiца [11], мають вiд’ємнi дiйснi частини. Отже, тривiальнi розв’язки системи (22) та рiвняння iз запiзненням (19) експоненцiально стiйкими. 1. Красовский Н. Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регулятора в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. — 1964. — 28, № 4. — С. 716 – 725. 2. Репин Ю. М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными дифференциальными уравнениями // Там же. — 1965. — 29, № 2. — С. 226 – 245. 3. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. — М.: Наука, 1978. — 416 с. 4. Оболенский А. Ю., Чернецкая Л. Н. Об одном способе исследования функционально-дифференциаль- ных моделей в задачах электродинамики // Электрон. моделирование. — 1993. — 15, № 4. — С. 8 – 13. 5. Banks H. T., Burns I. A. An abstract framework for approximate solutions to optimal control problems governed by hereditary systems // Proc. Int. Conf. Different. Equat. — New York: Acad. Press, 1975. — P. 10 – 25. 6. Banks H. T., Burns I. A. Hereditary control problems: numerical methods based on averaging approximation // SIAM J. Control Optim. — 1978. — 16, № 2. — P. 169 – 208. 7. Пiддубна Л. А., Черевко I. М. Апроксимацiя систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь системами звичайних диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 1999. — 2, № 1. — С. 42 – 50. 8. Матвiй О. В., Черевко I. М. Апроксимацiя систем диференцiально-рiзницевих та рiзницевих рiвнянь з багатьма запiзненнями // Наук. вiсн. Чернiвец. ун-ту. Математика.— 2002. — Вип. 150. — С. 50 – 54. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 216 О. В. МАТВIЙ , I. М. ЧЕРЕВКО 9. Черевко I. М. Апроксимацiя диференцiально-рiзницевих рiвнянь i наближення неасимптотичних ко- ренiв квазiполiномiв // Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння та їх застосування. — Київ: Iн-т математики НАН України, 1992. — С. 74 – 84. 10. Пiддубна Л. А., Черевко I. М., Берник В. О. Алгоритм знаходження неасимптотичних коренiв ква- зiполiномiв // Дослiдження математичних моделей. — Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. — С. 35 – 38. 11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. 12. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Просвещение, 1977. — 320 с. 13. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с. Одержано 09.02.2004 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2

Ähnliche Einträge