Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень

Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень

Дослiджується виникнення хаотичної часткової синхронiзацiї в системi глобально зв’язаних вiдображень. Проводиться аналiз структури кластерних зон в областi малих значень параметра зв’язку ε та передумови утворення хаотичних атракторiв на кластерних многовидах. Знайдено формулу зв’язку мiж трансверс...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2004
1. Verfasser: Панчук, А.А.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2004
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177007
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень / А.А. Панчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 229-240. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177007
record_format dspace
spelling irk-123456789-1770072021-02-10T01:25:48Z Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень Панчук, А.А. Дослiджується виникнення хаотичної часткової синхронiзацiї в системi глобально зв’язаних вiдображень. Проводиться аналiз структури кластерних зон в областi малих значень параметра зв’язку ε та передумови утворення хаотичних атракторiв на кластерних многовидах. Знайдено формулу зв’язку мiж трансверсальними та поздовжнiми числами Ляпунова для траєкторiй на многовидi, а також необхiднi умови трансверсальної стiйкостi цих траєкторiй We study an appearance of a chaotic partial synchronization in a system of globally coupled maps. We make an analysis, for small values of the parameter ε, of the structure of cluster regions and conditions for a formation of chaotic attractors on cluster manifolds. We find a formula that gives a connection between transversal and longitudinal Lyapunov numbers for trajectories on the manifold and also necessary conditions for these trajectories to be transversally stable. 2004 Article Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень / А.А. Панчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 229-240. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177007 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Дослiджується виникнення хаотичної часткової синхронiзацiї в системi глобально зв’язаних вiдображень. Проводиться аналiз структури кластерних зон в областi малих значень параметра зв’язку ε та передумови утворення хаотичних атракторiв на кластерних многовидах. Знайдено формулу зв’язку мiж трансверсальними та поздовжнiми числами Ляпунова для траєкторiй на многовидi, а також необхiднi умови трансверсальної стiйкостi цих траєкторiй
format Article
author Панчук, А.А.
spellingShingle Панчук, А.А.
Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
Нелінійні коливання
author_facet Панчук, А.А.
author_sort Панчук, А.А.
title Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
title_short Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
title_full Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
title_fullStr Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
title_full_unstemmed Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
title_sort часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2004
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177007
citation_txt Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень / А.А. Панчук // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 229-240. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT pančukaa častkovasinhronízacíâvsistemíglobalʹnozvâzanihvídobraženʹ
first_indexed 2025-07-15T14:57:58Z
last_indexed 2025-07-15T14:57:58Z
_version_ 1837725363220774912
fulltext УДК 517.9 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ А. А. Панчук Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: nastyap@imath.kiev.ua We study an appearance of a chaotic partial synchronization in a system of globally coupled maps. We make an analysis, for small values of the parameter ε, of the structure of cluster regions and conditions for a formation of chaotic attractors on cluster manifolds. We find a formula that gives a connection between transversal and longitudinal Lyapunov numbers for trajectories on the manifold and also necessary condi- tions for these trajectories to be transversally stable. Дослiджується виникнення хаотичної часткової синхронiзацiї в системi глобально зв’язаних вiдображень. Проводиться аналiз структури кластерних зон в областi малих значень парамет- ра зв’язку ε та передумови утворення хаотичних атракторiв на кластерних многовидах. Знай- дено формулу зв’язку мiж трансверсальними та поздовжнiми числами Ляпунова для траєк- торiй на многовидi, а також необхiднi умови трансверсальної стiйкостi цих траєкторiй. 1. Вступ. Суттєво нелiнiйна природа динамiчних систем, що використовуються як моде- лi в рiзних галузях науки — у фiзицi, бiологiї, теорiї комунiкацiй тощо, — останнiм ча- сом викликає пiдвищений iнтерес. Саме завдяки своїй складностi цi системи дозволяють виявити та детально дослiдити багато нових, невiдомих ранiше, властивостей реальних явищ. Так звана система глобально зв’язаних вiдображень — одна iз найпоширенiших математичних моделей, яка зустрiчається в багатьох прикладних задачах. Розпочинаючи з пiонерських робiт К. Канеко [1, 2], глобально зв’язанi вiдображення були предметом iн- тенсивних дослiджень. У роботах [3 – 6] проаналiзовано рiзноманiтнi бiфуркацiї переходу вiд повної до часткової синхронiзацiї, такi як бiфуркацiї розрiдження та розширення, ви- никнення симетричних та асиметричних кластерiв, бiфуркацiя розщеплення кластера. У роботах [7, 8] доведено, що переважна кiлькiсть атракторiв системи є атракторами типу Мiлнора. У [9 – 11] увага придiляється висвiтленню проблем, що виникають у зв’язку з похибкою комп’ютерних обчислень. Окремi питання, пов’язанi з утворенням кластерiв, вивчено також в [12 – 17]. Дана стаття є продовженням робiт [14, 16, 17], в яких дослiджено переважно перiо- дичнi атрактори на кластерних многовидах. Розглядається система нелiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду xk+1 i = f ( xk i ) + ε N N∑ j=1 ( f ( xk j ) − f ( xk i )) , i = 1, N, (1) де x k = (xk 1, x k 2, . . . , xk N ) ∈ R N — фазовий вектор, верхнiй iндекс k ∈ Z + — змiнна диск- ретного часу, f ∈ C1(R) — деяке одновимiрне (базисне) вiдображення, ε ∈ R — параметр зв’язку. c© А. А. Панчук, 2004 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 229 230 А. А. ПАНЧУК Уперше систему (1) iз логiстичною базисною функцiєю f(x) = 1 − ax2 (a ∈ [0, 2] — параметр нелiнiйностi) дослiджував японський учений К. Канеко [1, 2]. За допомогою чисельних обчислень вiн отримав фазову дiаграму, яка iлюструє змiну поведiнки розв’яз- кiв системи в залежностi вiд значень параметрiв a та ε. Площину параметрiв (a, ε) було схематично подiлено на три великi областi: когерентну, впорядковану та турбулентну фази. Для значень параметрiв (a, ε), що належать когерентнiй фазi, яка вiдповiдає систе- мам iз сильним зв’язком, стан повної синхронiзацiї притягує майже всi траєкторiї системи. При зменшеннi сили зв’язку синхронiзований стан втрачає стiйкiсть, що приводить до де- синхронiзацiї i переходу до впорядкованої фази. Виникає часткова синхронiзацiя (iнша назва — кластеризацiя). При подальшому зменшеннi ε точка (a, ε) перетинає границю турбулентної фази, яка знаходиться в областi досить малих додатних значень параметра зв’язку ε i великих (близьких до граничного) значень параметра нелiнiйностi a. Поведiн- ка системи (1) у турбулентнiй фазi має в основному непередбачуваний („турбулентний”) характер. У той же час у цiй областi було виявлено певнi зони значень параметрiв, в яких спостерiгається велика рiзноманiтнiсть кластерних станiв малої та великої розмiрностей iз рiзним (симетричним та асиметричним) розподiлом елементiв по кластерах (див. [2, 5, 17]). Такого роду областi всерединi турбулентної фази ми називаємо кластерними зона- ми. Метою даної статтi є дослiдження структури кластерних зон iз точки зору характери- зацiї можливої асимптотичної поведiнки розв’язкiв системи (1) в залежностi вiд базисної функцiї f та параметра ε. 2. Виникнення кластерiв. Система (1) задає вiдображення простору R N в себе, яке ми будемо позначати F . Очевидно, що F ∈ C1(RN ). Динамiка вiдображення F може мати рiзноманiтний характер в залежностi вiд базисної функцiї f та коефiцiєнта зв’язку ε. Видiляють три основних типи асимптотичної (при n → ∞) поведiнки елементiв фазового вектора x k пiд дiєю F , а саме: 1) повну синхронiзацiю, коли траєкторiї всiх координат xk i асимптотично збiгаються; 2) повну десинхронiзацiю, коли траєкторiя кожної координати є незалежною вiд iн- ших; 3) часткову синхронiзацiю, коли елементи xk i розбиваються на декiлька груп — клас- терiв — таким чином, що в межах кожної групи вiдбувається (повна) синхронiзацiя. Розглянемо систему (1) при ε = 0. У цьому випадку вона являє собою N незв’язаних одновимiрних вiдображень f . Динамiка кожної координати xk i здiйснюється вiдповiдно до вiдображення f незалежно вiд iнших координат. Припустимо, що f залежить вiд деяко- го параметра a ∈ R, тобто f = fa. Нехай a = a1 — деяке фiксоване значення цього параметра, при якому f має асимптотично стiйку нерухому точку x∗, тобто f(x∗) = x∗ i |f ′(x∗)| < 1. Це означає, що для майже всiх (за мiрою Лебега) точок x0 ∈ R викону- ється fk(x0) → x∗ при k → ∞. Очевидно, що тодi в системi (1) (при ε = 0) для майже всiх траєкторiй має мiсце повна синхронiзацiя, тому що для будь-якої початкової точки x = (x1, x2, . . . , xN ) (з точнiстю до множини мiри 0) fk(xi) → k→∞ x∗, i = 1, N. Оскiльки вiдображення F є неперервно диференцiйовним вiдносно параметра ε, то iснує ε0 > 0 таке, що для будь-якого ε ∈ [0, ε0] у системi (1) також вiдбувається повна синхро- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 231 нiзацiя, тобто ∣ ∣ ∣xk i − xk j ∣ ∣ ∣ → k→∞ 0 ∀i, j = 1, N. Отже, в площинi (a, ε), а саме, в околi точки (a1, 0), iснує певна область, в якiй вiдбува- ється повна синхронiзацiя. Припустимо тепер, що вiдображення f має асимптотично стiйкий цикл Pn = {x∗ 1, x∗ 2, . . . , x∗ n} перiоду n, n < N , тобто x∗ i+1 = f(x∗ i ), i = 1, n − 1, x∗ 1 = f(x∗ n), i його мульти- плiкатор µ = f ′(x∗ 1)f ′(x∗ 2) . . . f ′(x∗ n) за модулем менший за одиницю: |µ| < 1. Розглянемо n-ту iтерацiю f , тобто вiдображення fn. Кожна з точок {x∗ i } n i=1 буде асим- птотично стiйкою нерухомою точкою для fn, i тому в областi визначення f можна видi- лити n пiдобластей, початковi точки з яких притягуються пiд дiєю fn до вiдповiдної точки циклу Pn. Таким чином, розглядаючи вiдображення F0 : R N → R N , що вiдповiдає системi (1) з ε = 0, в залежностi вiд початкових умов можна отримати кластернi стани рiзної кон- фiгурацiї з кiлькiстю кластерiв K ≤ n, причому динамiка таких „кластерних” розв’язкiв буде асимптотично n-перiодичною. Як i у випадку нерухомої точки, для K = 1, n iснує ε0(K) > 0 таке, що для будь- якого ε ∈ [0, ε0(K)] в системi (1) має мiсце часткова синхронiзацiя, яка є асимптотично n-перiодичною. Дамо строге означення цього поняття. Розглянемо множину наборiв iндексiв I = { I1 = {1, 2, . . . , N1}, I2 = {N1 + 1, N1 + 2, . . . , N1 + N2}, . . . . . . , IK ={N1 + . . . + NK−1 + 1, . . . , N} } , (2) причому хоча б один iз наборiв Ij мiстить бiльше нiж один елемент. Нехай O(x) = = {F k−1(x)}∞k=1 = {xk}∞k=1 — деяка траєкторiя вiдображення F , для якої виконується |xk i − xk j | → k→∞ 0, i, j ∈ Il, ∀l = 1,K. (3) Тодi говорять, що для траєкторiї вiдображення F , яке задається системою (1), з початко- вою умовою x має мiсце часткова синхронiзацiя (кластеризацiя); кожна з груп {xi}i∈Il називається кластером, а вiдповiдна величина Nl, l = 1,K, — його розмiром. Очевидно, що спостерiгати явище часткової синхронiзацiї в системi (1) можна лише за умови, що множина початкових значень x 0, для траєкторiй яких справджується спiв- вiдношення (3), має ненульову мiру Лебега. Зауваження 1. Множину наборiв iндексiв I можна записати в бiльш загальному вигля- дi. Справдi, елементи xi, що синхронiзуються, не обов’язково повиннi бути занумерованi пiдряд, але внаслiдок iнварiантностi системи (1) вiдносно будь-якої перестановки коорди- нат фазового вектора x їх можна перенумерувати вiдповiдним чином. Тому, не обмежую- чи загальностi, надалi вважаємо, що I має вигляд (2). Iз спiввiдношення (3) випливає, що з часом траєкторiя O(x) наближається до певно- го K-вимiрного пiдпростору M (K) = {x| x = (x1, x2, . . . , xN )} ⊂ R N , який задається ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 232 А. А. ПАНЧУК рiвняннями x1 = x2 = . . . = xN1 df = y1, xN1+1 = xN1+2 = . . . = xN1+N2 df = y2, (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xN1+...+NK−1+1 = xN1+...+NK−1+2 = . . . = xN df = yK . Очевидно, що M (K) — многовид, причому вiн є iнварiантним вiдносно вiдображення F , тобто для будь-якого вектора x ∈ M (K) його образ F (x) також належить M (K). Множину M (K) ще називають кластерним многовидом системи (1). Звуження F ∣ ∣ M(K) df = G задає K-вимiрну систему рiзницевих рiвнянь (кластерну систему) yk+1 i = (1 − ε)f(yk i ) + ε K∑ j=1 pjf(yk j ), i = 1,K, (5) де y k = (yk 1 , yk 2 , . . . , yk K) ∈ R K — фазовий вектор, pi = Ni/N , ∑K i=1 pi = 1, — вiдносний розмiр i-го кластера. Очевидно, що будь-яка траєкторiя системи (5) породжує вiдповiдну траєкторiю сис- теми (1), яка належить многовиду M (K). Оскiльки динамiка кластерного вiдображення G може бути як перiодичною, так i хаотичною, то в системi (1) може реалiзуватись як перiодична, так i хаотична часткова синхронiзацiя. Нехай O(x) = { F k−1(x) }∞ k=1 ⊂ M (K) — деяка траєкторiя вiдображення F , для якої має мiсце часткова синхронiзацiя. Тодi серед її показникiв Ляпунова {λ (N) i } можна ви- дiлити тангенцiальнi, якi вiдповiдають за динамiку всерединi кластерного многовиду, та трансверсальнi, якi вiдповiдають за стiйкiсть траєкторiй у напрямках зовнi M (K) [3, 14, 17]. Можна довести, що кiлькiсть рiзних трансверсальних показникiв K1 дорiвнює кiль- костi кластерiв, якi мають бiльше нiж один елемент: K1 = card { i = 1,K : Ni > 1 } . Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що кластери занумеровано таким чином, щоб N1 ≥ N2 ≥ . . . ≥ NK . Введемо позначення {λ‖,i} K i=1 та {λ⊥,i} K1 i=1, K1 ≤ K, вiдповiдно для тангенцiальних i трансверсальних показникiв Ляпунова. Означення. Траєкторiю O(x) ⊂ M (K) будемо називати стiйкою в трансверсально- му напрямку, якщо всi її трансверсальнi показники вiд’ємнi. При цьому тангенцiальнi показники Ляпунова можуть набувати й додатних значень. Занумеруємо точки траєкторiї O(x) як x = x1, F (x) = x2, F 2(x) = x3 i т. д., де xj = (y1j , y1j , . . . , y1j ︸ ︷︷ ︸ N1 , y2j , y2j , . . . , y2j ︸ ︷︷ ︸ N2 , . . . , yKj , yKj , . . . , yKj ︸ ︷︷ ︸ NK ), j ∈ N. (6) Тодi трансверсальнi показники Ляпунова {λ⊥,i} K1 i=1 можна записати в явному виглядi [3] λ⊥,i = lim k→∞ 1 k k∑ j=1 ln ∣ ∣f ′(yij) ∣ ∣+ ln |1 − ε|, i = 1,K1. (7) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 233 Нехай fa — деяке дiйсне одновимiрне вiдображення. Розглянемо iнтервал (a−, a+) ⊂ ⊂ R такий, що для будь-якого a ∈ (a−, a+) функцiя fa має асимптотично стiйкий цикл перiоду n. Цей iнтервал називається вiкном перiоду n функцiї fa. Очевидно, що при ε = 0 кластери утворюються завдяки iснуванню перiодичних роз- в’язкiв для одновимiрного вiдображення, i тому областi iснування i стiйкостi кластерiв з перiодичною динамiкою „виростають” iз вiкон вiдповiдних перiодiв функцiї f при ε = 0. Нехай f є логiстичним вiдображенням f = ax(1 − x), a ∈ R — параметр нелiнiй- ностi. Розглянемо випадок, коли кластери симетричнi, тобто в (5) маємо pi = 1/K, i = = 1,K. Нехай P (K) K = {y1,y2, . . . ,yK}, де yj = (y1j , y2j , . . . , yKj), j = 1,K, — деякий K-перiодичний розв’язок вiдображення G, який задовольняє умову циклiчностi, тобто [14, 17] yj+1 = πK(yj), j = 1,K − 1, (8) де πK — циклiчна перестановка на множинi iз K дiйсних чисел: πK(s1, s2, . . . , sK) = = (s2, s3, . . . , sK , s1). У подальшому знадобиться лема, яка дає достатнi умови iснування циклу, що задо- вольняє умову циклiчностi (8) (див. [14]). Лема 1. Розглянемо одновимiрне вiдображення вигляду g : y 7→ (1 − ε)f(y) + εh, де h ∈ R — деякий числовий параметр. Нехай це вiдображення має цикл P (1) K = {y1, y2, . . . , yK} перiоду K такий, що 1 K K∑ j=1 yj = h. (9) Тодi K-вимiрне вiдображення G, що задається рiвнянням (5) з pi = 1/K, i = 1,K, має цикл P (K) K перiоду K, який задовольняє умову циклiчностi (8). За умов леми 1 для одновимiрного вiдображення g : y → (1 − ε)ay(1 − y) + εh, (10) де h набирає вигляду (9), множина P (1) K = {y1, y2, . . . , yK} є циклом перiоду K. Знайдемо лiнiйну замiну y = c1z + c2 таку, щоб система (10) була еквiвалентною системi g̃ : z → bz(1 − z). (11) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 234 А. А. ПАНЧУК Тодi якщо (10) має цикл P (1) K = {y1, y2, . . . , yK}, то (11) також має цикл P̃ (1) K = {z1, z2, . . . . . . , zK} такий, що zi+1 = bzi(1 − zi) = −bz2 i + bzi, (12) причому yi = c1zi + c2, i = 1,K. (13) Звiдси маємо h = c1h̃ + c2, h̃ = 1 K K∑ i=1 zi. Пiдставляючи (13) в (10) i прирiвнюючи коефiцiєнти при степенях zi в отриманому виразi та в (11), одержуємо систему рiвнянь (1 − ε)a c1 ( c2 − c2 2 ) + εh c1 − c2 c1 = 0, b = (1 − ε)ac1, b = (1 − ε)a(1 − 2c2), h = c1h̃ + c2, виключаючи з якої c1, c2 та h, отримуємо спiввiдношення мiж a, ε, b та h̃ вигляду a = 1 ± √ 1 − 4εbh̃ + 2b(1 − ε) − b2 (1 − ε)2 . (14) Очевидно, що спiввiдношення (14) задають двопараметричну сiм’ю кривих у площинi (a, ε), причому при ε = 0 повинно виконуватись a ≡ b. Покладаючи в (14) ε = 0 i вважа- ючи, що b ≥ 1, маємо a = 1 + √ 1 − 4εbh̃ + 2b(1 − ε) − b2 (1 − ε)2 . (15) Скориставшись спiввiдношенням (15), доведемо таку теорему. Теорема 1. Нехай (b−, b+) — вiкно перiоду K для вiдображення g̃ = g̃b вигляду (11). Розглянемо вiдображення Ga,ε, що задається рiвнянням (5). Тодi всерединi областi па- раметрiв (a, ε), яка обмежена кривими γ− =    a = 1 + √ 1 − 4εb−h̃− + 2b−(1 − ε) − b2 − (1 − ε)2    , (16) γ+ =    a = 1 + √ 1 − 4εb+h̃+ + 2b+(1 − ε) − b2 + (1 − ε)2    , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 235 для вiдображення Ga,ε iснує перiодична траєкторiя P (K) K , яка задовольняє умову цик- лiчностi (8). При цьому вiдповiдна їй траєкторiя P (N) K вихiдного N -вимiрного вiдобра- ження F , що задається рiвнянням (1), є стiйкою в трансверсальному напрямку. Доведення. Зафiксуємо спочатку деяке b ∈ (b−, b+). Для будь-якого ε ∈ R за форму- лою (15) можна знайти a = a(ε, b, h̃) (вважаємо, що для вiдомого b значення h̃ також є вiдомим) таке, що для пари (a, ε) одновимiрне вiдображення g вигляду (10) має стiйкий цикл PK = {y1, y2, . . . , yK}. За означенням його показник Ляпунова λ = lim k→∞ 1 kK k∑ l=1 K∑ j=1 ln |g′(yj)| = 1 K K∑ j=1 ln |g′(yj)| = 1 K K∑ j=1 ln |f ′(yj)| + ln |1 − ε|, (17) причому λ < 0. (18) З iншого боку, за лемою 1 для симетричного кластерного вiдображення Ga,ε iснує цикл P (K) K , який задовольняє умову циклiчностi (8). Iз (7) випливає, що трансверсальнi показники Ляпунова вiдповiдного N -вимiрного циклу мають вигляд λ⊥,i = 1 K K∑ j=1 ln |f ′(yj)| + ln |1 − ε|, i = 1,K. Враховуючи (17) та (18), маємо λ⊥,i < 0, i = 1,K. Отже, вибираючи b = b− та b = b+, отримуємо кривi a = a(ε, b−, h̃−) df = γ− та a = = a(ε, b+, h̃+) df = γ+ у площинi параметрiв (a, ε), якi, очевидно, обмежують шукану область, що й потрiбно було довести. 3. Хаотичний атрактор на кластерному многовидi. Перiодичнi кластери детально дос- лiджено в [5, 13 – 17]. Розглянемо тепер випадок, коли система (5) має хаотичний атрак- тор. Поряд з показниками Ляпунова {λ‖,i} K i=1, {λ⊥,i} K i=1 будемо розглядати також вiдповiд- нi їм числа Ляпунова µ‖,i = eλ‖,i , i = 1,K, µ⊥,i = eλ⊥,i , i = 1,K1, де, за визначенням (див. п. 2), K — загальна кiлькiсть кластерiв, а K1 — кiлькiсть класте- рiв, що мають бiльше нiж один елемент. У подальшому будемо вважати, що всi кластери мають бiльше нiж один елемент (тобто K1 = K). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 236 А. А. ПАНЧУК Теорема 2. Тангенцiальнi та трансверсальнi числа Ляпунова траєкторiї O(x1) = = {x1, x2, . . . ,xn, . . . } ⊂ M (K) вигляду (6) пов’язанi спiввiдношенням K∏ i=1 µ⊥,i = (1 − ε) K∏ i=1 µ‖,i. (19) Для доведення теореми скористаємось такою лемою (лема 2 iз [14]). Лема 2. Якобiан кластерного вiдображення G має вигляд det ∂G(y) ∂y = (1 − ε)K−1 K∏ i=1 f ′(yi), (20) де y = (y1, y2, . . . , yK) ∈ R K , а ∂G(y) ∂y — диференцiал вiдображення G у точцi y. Доведення теореми 2. Для кожного i = 1,K розглянемо скiнченне наближення показ- никiв Ляпунова траєкторiї O(x1): λ̄‖,i,k = 1 k ln ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Gk(y1) ∂y u ∥ ∥ ∥ ∥ , λ̄⊥,i,k = 1 k k∑ j=1 ln ∣ ∣f ′(yij) ∣ ∣+ ln |1 − ε|, де k ∈ N + — деяке фiксоване натуральне число, y1 = (y11, y21, . . . , yK1) — початкова точка траєкторiї на кластерному многовидi, u — деякий K-вимiрний вектор. Їм вiдповi- дають наближенi значення чисел Ляпунова µ̄‖,i,k = eλ̄‖,i,k = ∥ ∥ ∥ ∥ ∂Gk(y1) ∂y u ∥ ∥ ∥ ∥ 1/k , i = 1,K, (21) µ̄⊥,i,k = eλ̄⊥,i,k = |1 − ε|   k∏ j=1 ∣ ∣f ′(yij) ∣ ∣   1/k , i = 1,K. Позначимо через {νi,k} K i=1 власнi числа матрицi ∂Gk(y1) ∂y . Шляхом безпосереднiх матема- тичних обчислень [18, с. 131] отримаємо µ̄‖,i,k = eλ̄‖,i,k = |νi,k| 1/k , i = 1,K. Позначимо yj+1 = G(yj), yj = (y1j , y2j , . . . , yKj), j ∈ N. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 237 За теоремою Вiєта добуток усiх власних значень будь-якої квадратної матрицi дорiвнює її визначнику, що з урахуванням (20) приводить до рiвностi K∏ i=1 νi,k = ∂Gk(y1) ∂y = det ∂G(yk) ∂y det ∂G(yk−1) ∂y . . .det ∂G(y1) ∂y = = (1 − ε)K−1 K∏ i=1 f ′(yik)(1 − ε)K−1 K∏ i=1 f ′(yi(k−1)) . . . . . .(1 − ε)K−1 K∏ i=1 f ′(yi1) = (1 − ε)k(K−1) k∏ j=1 K∏ i=1 f ′(yij). Звiдси маємо K∏ i=1 µ̄‖,i,k = (∣ ∣ ∣ ∣ ∣ K∏ i=1 νi,k ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ )1/k = |1 − ε|K−1 k∏ j=1 K∏ i=1 ∣ ∣f ′(yij) ∣ ∣1/k . (22) З iншого боку, iз спiввiдношення (21) безпосередньо випливає K∏ i=1 µ̄⊥,i,k = |1 − ε|K K∏ i=1 k∏ j=1 ∣ ∣f ′(yij) ∣ ∣1/k . (23) Порiвнюючи (22) та (23), для наближених значень мультиплiкаторiв отримуємо рiвнiсть K∏ i=1 µ̄⊥,i,k = |1 − ε| K∏ i=1 µ̄‖,i,k, k ∈ N. (24) Оскiльки λ̄‖,i,k → λ‖,i, k → ∞, i = 1,K, λ̄⊥,i,k → λ⊥,i, k → ∞, i = 1,K, то µ̄‖,i,k → µ‖,i, k → ∞, i = 1,K, µ̄⊥,i,k → µ⊥,i, k → ∞, i = 1,K. Переходячи у виразi (24) до границi при k → ∞, маємо K∏ i=1 µ⊥,i = (1 − ε) K∏ i=1 µ‖,i. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 238 А. А. ПАНЧУК Теорему 2 доведено. Завдяки формулi (19) було знайдено необхiднi умови трансверсальної стiйкостi для кластерної траєкторiї O(x1) ⊂ M (K) з Ni > 1, i = 1,K. Теорема 3. Розглянемо деяку траєкторiю O(x1) ⊂ M (K) вигляду (6) для вiдображен- ня G такого, що Pi > 1/N , i = 1,K. Нехай O(x1) є трансверсально стiйкою, тобто |µ⊥,i| < 1, i = 1,K. Тодi |σ(1 − ε)| < 1, де σ = K∏ i=1 µ‖,i. (25) Зауважимо, що число σ називається узагальненим сiдловим числом. Доведення. З викладеного вище випливають спiввiдношення |σ||1 − ε| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (1 − ε) K∏ i=1 µ‖,i ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ K∏ i=1 µ⊥,i ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ K∏ i=1 max |µ⊥,i| < 1. Теорему 3 доведено. 4. Структура кластерних зон. Iз викладеного у двох попереднiх пунктах можна зроби- ти висновок, що турбулентна фаза має „вкладену” структуру, подiбну до структури хао- тичної областi одновимiрного вiдображення f . Iншими словами, спочатку народжується перiодичний атрактор P (K) n на многовидi M (K) розмiрностi K < N . Зауважимо, що тут має мiсце мультистабiльнiсть, коли в N -вимiрному просторi вихiдної системи (1) спiвiснує декiлька атракторiв, кожний зi своїм „басейном” притягання. При цьому чим бiльше N , тим бiльше для кожного K iснує потенцiйних кластерних многовидiв вигляду (4), а отже, тим бiльше є можливостей утворення кластерiв. При змiнi параметра a для циклу P (K) n вiдбувається каскад бiфуркацiй подвоєння пе- рiоду в тангенцiальному напрямку, тобто трансверсальнi мультиплiкатори P (K) n весь час залишаються всерединi одиничного кола. В результатi цього в певний момент атрактор на кластерному многовидi M (K) стає хаотичним. Якщо умови теореми 3 виконуються, то цiлком можливо, що iснує деяка область параметрiв (a, ε), в якiй хаотичний K-вимiрний атрактор є трансверсально стiйким, i, таким чином, у системi (1) вiдбувається хаотична часткова синхронiзацiя. Областi параметрiв, для яких часткова синхронiзацiя елементiв системи є характерною, тобто коли майже всi траєкторiї притягуються до одного iз клас- терних многовидiв M (K), K < N , називаються кластерними зонами. Очевидно, що такi зони породжуються iз вiкон перiодичностi одновимiрного вiдображення f при ε = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 ЧАСТКОВА СИНХРОНIЗАЦIЯ В СИСТЕМI ГЛОБАЛЬНО ЗВ’ЯЗАНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ 239 Проте на вiдмiну вiд одновимiрного випадку, через високу складнiсть вихiдної системи (1) та при наявностi мультистабiльностi, кожний з атракторiв на K-вимiрних кластерних многовидах притягує лише частину траєкторiй вiдображення F . В результатi проведеного обчислювального експерименту [16, 17] виявлено, що для значень параметра зв’язку ε, якi не є дуже близькими до нуля (ε > 0, 02), можна спо- стерiгати кластернi розв’язки спецiального вигляду, а саме: кожний такий розв’язок має один або декiлька великих кластерiв, якi акумулюють майже половину всiх осцилято- рiв, а iншi елементи не синхронiзуються взагалi (тобто типовi кластери мають вигляд (N1, 1, 1, . . . , 1) або (N1, N2, 1, 1, . . . , 1)). Розв’язки такого типу отримали назву квазiклас- терiв [16]. Механiзм утворення таких розв’язкiв є досить очевидним. Розглянемо найпростiший випадок. Припустимо, що при ε < ε0 для вiдображення G при K = 2 iснує хаотичний атрактор A(2), який є трансверсально стiйким у просторi деякої розмiрностi N . Нехай ε = ε0 — точка бiфуркацiї, коли max {|µ⊥,1| , |µ⊥,2|} df = |µ⊥| = 1 (не обмежуючи загаль- ностi, будемо вважати, що µ⊥ = µ⊥,2). Це означає, що вiдповiдний кластер розпадається i множина A(2) ⊂ M (2) вже не є атрактором в N -вимiрному просторi. Оскiльки динамiка розв’язку хаотична, то малi вiдхилення вiд кластерного многовиду M (2) у трансверсально- му напрямку призводять до того, що кластер розпадається на окремi одиничнi елементи, тобто одночасно в усiх мiсцях (на вiдмiну вiд випадку перiодичної динамiки на кластер- ному многовидi [5]). Таким чином, отримаємо розв’язок типу квазiкластер на многовидi M (N2+1) = {x1 = x2 = . . . = xN1 , xN1+1, xN1+2, . . . , xN}, який має лише одне трансвер- сальне число Ляпунова µ⊥,1 < 1. 5. Висновки. У данiй статтi розглянуто кластернi розв’язки системи глобально зв’я- заних одновимiрних вiдображень (1). У площинi параметрiв (a, ε) знайдено аналiтичний вигляд кривих, що обмежують область стiйкостi в трансверсальному напрямку, для симе- тричної K-кластерної K-перiодичної траєкторiї P (N) K ⊂ M (K). Також виведено необхiднi умови трансверсальної стiйкостi K-кластерної хаотичної траєкторiї для випадку, коли всi кластери мають бiльше нiж один елемент. Дослiджено структуру кластерних зон (тобто областей, для яких характерне явище часткової синхронiзацiї), що якi породжуються iз вiкон перiодичностi одновимiрного ба- зисного вiдображення. Встановлено, що коли хаотичний атрактор на кластерному мно- говидi втрачає стiйкiсть в одному iз трансверсальних напрямкiв, вiдповiдний кластер роз- щеплюється на окремi елементи, i, як наслiдок, виникає атрактор спецiального виду (ква- зiкластер), частину елементiв якого об’єднано в один або декiлька провiдних кластерiв, а iнша частина не синхронiзується взагалi. Таким чином, серед можливих атракторiв, що виникають у кластерних зонах, можна умовно видiлити три великi групи: перiодичнi кластернi траєкторiї, хаотичнi кластернi траєкторiї та хаотичнi траєкторiї типу квазiкластер, причому атрактори цих трьох ви- дiв народжуються послiдовно один з одного: хаотичний кластер — iз перiодичного пiсля повного каскаду бiфуркацiй подвоєння перiоду, а квазiкластер — iз хаотичного кластера в результатi бiфуркацiї розщеплення кластера. 1. Kaneko K. Chaotic but regular posi-nega switch among coded attractors by cluster-size variation // Phys. Rev. Lett. — 1983. — 63. — P. 219 – 223. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 240 А. А. ПАНЧУК 2. Kaneko K. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements // Physica D. — 1990. — 41. — P. 137 – 172. 3. Popovych O., Maistrenko Yu., and Mosekilde E. Loss of coherence in a system of globally coupled maps // Phys. Rev. E. — 2001. — 64. — P. 1 – 11. 4. Popovych O., Maistrenko Yu., and Mosekilde E. Role of asymmetric clusters in desynchronization of coherent motion // Phys. Lett. A. — 2002. — 302. — P. 171 – 181. 5. Popovych O., Pikovsky A., and Maistrenko Yu. Cluster-splitting bifurcation in a system of globally coupled maps // Physica D. — 2002. — 168 –1 69. — P. 106 – 125. 6. Mosekilde E., Maistrenko Y., and Postnov D. Chaotic synchronization: application to living systems. — Si- ngapore: World Sci., 2002. — 440 p. 7. Kaneko K. Dominance of Milnor attractors in globally coupled dynamical systems with more than 7±2 degrees of freedom // Phys. Rev. E. — 2002. — 66. — P. 1 – 4. 8. Timme M., Wolf F., and Geisel T. Prevalence of unstable attractors in networks of pulse-coupled oscillators // Phys. Rev. Lett. — 2002. — 89. — P. 1 – 4. 9. Maistrenko Yu., Popovych O., and Hasler M. On strong and weak chaotic partial synchronization // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — 10. — P. 179 – 203. 10. Pikovsky A., Popovych O., and Maistrenko Yu. Resolving clusters in chaotic ensembles of globally coupled identical oscillators // Phys. Rev. Lett. — 2001. — 87. — P. 1 – 4. 11. Manrubia S. C., Mikhailov A. S. Mutual synchronization and clustering in randomly coupled chaotic dynami- cal networks // Phys. Rev. E. — 1999. — 60. — P. 1579 – 1589. 12. Xie F., Hu G. Clustering dynamics in globally coupled map lattices // Ibid. — 1997. — 56. — P. 1567 – 1570. 13. Shimada T., Kikuchi K. Periodicity manifestations in the turbulent regime of the globally coupled map lattice // Ibid. — 2000. — 62. — P. 3489 – 3502. 14. Panchuk A., Maistrenko Yu. Stability of periodic clusters in globally coupled maps // Nonlinear Oscillations. — 2002. — 5, № 3. — P. 334 – 345. 15. Glendinning P. Stability of asymmetric cluster states in globally coupled maps // Proc. Spec. Workshop Nonli- near Dynamics Electronic Systems (NDES’2003) (Scoul, Switzerland, May 18 – 23, 2003). — 2003. — P. 89 – 92. 16. Panchuk A., Maistrenko Yu., and Hasler M. Clustering in the turbulent phase // Ibid. — P. 193 – 196. 17. Maistrenko Yu., Panchuk A. Clustering zones in the turbulent phase of a system of globally coupled chaotic maps // Chaos. — 2003. — 13. — P. 990 – 998. 18. Ott E. Chaos in dynamical systems. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. — 397 p. Одержано 30.01.2004 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2

Ähnliche Einträge