Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
Розглядається механiчна система, що складається з кругової цилiндричної оболонки i абсолютно твердого тiла, яке прикрiплене до одного з її торцiв. Виходячи з принципу можливих перемiщень побудовано математичну модель рiвноважного стану розглядуваної системи, що знаходиться пiд дiєю навантажень заг...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177010 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 263-285. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177010 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770102021-02-10T01:26:01Z Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Розглядається механiчна система, що складається з кругової цилiндричної оболонки i абсолютно твердого тiла, яке прикрiплене до одного з її торцiв. Виходячи з принципу можливих перемiщень побудовано математичну модель рiвноважного стану розглядуваної системи, що знаходиться пiд дiєю навантажень загального вигляду. На цiй основi сформульовано крайову задачу на власнi значення, що описує вiльнi коливання системи «тiло-оболонка», та запропоновано її наближене розв’язання. У випадку замiни оболонки еквiвалентною балкою Тимошенка побудовано точний розв’язок розглядуваної задачi. Наведено оцiнку впливу твердого тiла на коливання системи i дослiджено точнiсть балкової апроксимацiї згинних коливань оболонки. We consider a mechanical system consisting of a circular cylindric shell and an absolutely rigid body attached to one of the ends of the shell. Using the principle of possible displacements, we construct a mathematical model for the equilibrium state of the considered system that is effected by a loading of a general form. Using this model we formulate an eigen value boundary-value problem of the “shellbody” type for free oscillations, and find its approximate solution. In the case where the shell is replaced with a Timoshenko beam, we construct an exact solution of the problem under consideration. We find an estimate for how the rigid body influences the oscillations of the system and study precision of the beam approximation of the bend oscillations of the shell. 2004 Article Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 263-285. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177010 539.3:534 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається механiчна система, що складається з кругової цилiндричної оболонки i абсолютно твердого тiла, яке прикрiплене до одного з її торцiв. Виходячи з принципу можливих
перемiщень побудовано математичну модель рiвноважного стану розглядуваної системи, що
знаходиться пiд дiєю навантажень загального вигляду. На цiй основi сформульовано крайову
задачу на власнi значення, що описує вiльнi коливання системи «тiло-оболонка», та запропоновано її наближене розв’язання. У випадку замiни оболонки еквiвалентною балкою Тимошенка
побудовано точний розв’язок розглядуваної задачi. Наведено оцiнку впливу твердого тiла на
коливання системи i дослiджено точнiсть балкової апроксимацiї згинних коливань оболонки. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. |
| author_sort |
Троценко, В.А. |
| title |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| title_short |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| title_full |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| title_fullStr |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| title_full_unstemmed |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| title_sort |
методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177010 |
| citation_txt |
Методы расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 263-285. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkova metodyrasčetasobstvennyhkolebanijcilindričeskojoboločkisprisoedinennymtverdymtelom AT trocenkoûv metodyrasčetasobstvennyhkolebanijcilindričeskojoboločkisprisoedinennymtverdymtelom |
| first_indexed |
2025-07-15T14:58:10Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:58:10Z |
| _version_ |
1837725376087851008 |
| fulltext |
УДК 539.3 : 534
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ *
В. А. Троценко, Ю. В. Троценко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: trots@imath.kiev.ua
We consider a mechanical system consisting of a circular cylindric shell and an absolutely rigid body
attached to one of the ends of the shell. Using the principle of possible displacements, we construct a
mathematical model for the equilibrium state of the considered system that is effected by a loading of
a general form. Using this model we formulate an eigen value boundary-value problem of the “shell-
body” type for free oscillations, and find its approximate solution. In the case where the shell is replaced
with a Timoshenko beam, we construct an exact solution of the problem under consideration. We find an
estimate for how the rigid body influences the oscillations of the system and study precision of the beam
approximation of the bend oscillations of the shell.
Розглядається механiчна система, що складається з кругової цилiндричної оболонки i абсо-
лютно твердого тiла, яке прикрiплене до одного з її торцiв. Виходячи з принципу можливих
перемiщень побудовано математичну модель рiвноважного стану розглядуваної системи, що
знаходиться пiд дiєю навантажень загального вигляду. На цiй основi сформульовано крайову
задачу на власнi значення, що описує вiльнi коливання системи «тiло-оболонка», та запропо-
новано її наближене розв’язання. У випадку замiни оболонки еквiвалентною балкою Тимошенка
побудовано точний розв’язок розглядуваної задачi. Наведено оцiнку впливу твердого тiла на
коливання системи i дослiджено точнiсть балкової апроксимацiї згинних коливань оболонки.
Введение. Тонкие упругие оболочки вращения с присоединенными телами широко ис-
пользуются в практике современного машиностроения и строительства. Исследование
динамики таких конструкций под воздействием различного рода нестационарных нагру-
зок приводит к решению достаточно сложной начально-краевой задачи в частных произ-
водных. Как правило, построение решений этой задачи базируется на сведении ее к реше-
нию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной
по времени; при этом используются собственные формы свободных колебаний конст-
рукции. Полученная на этой основе система обыкновенных дифференциальных уравне-
ний относительно обобщенных координат имеет наиболее простую форму и допускает
ее исследование на основе известных методов. Поэтому определение частот и форм соб-
ственных колебаний сложных механических систем является первоочередной задачей в
общем комплексе задач исследования их динамического поведения под воздействием со-
средоточенных и распределенных нагрузок.
С другой стороны, потребности практики требуют создания сравнительно простых
инженерных математических моделей, адекватно описывающих динамическое поведе-
ние оболочечных конструкций. Такие модели могут быть построены на основе исполь-
∗ Выполнена при частичной поддержке научно-исследовательского проекта № 0102U000917.
c© В. А. Троценко, Ю. В. Троценко, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 263
264 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
зования различного рода балочных теорий для аппроксимации изгибных колебаний обо-
лочки. Естественно, весьма важной становится проблема об установлении границ приме-
нимости упрощенных таким образом постановок задач.
Исследованию продольных и крутильных колебаний цилиндрической оболочки с при-
соединенными массами на ее торцах посвящены работы В. Е. Бреславского [1, 2]. В рабо-
те В. Г. Паламарчука [3] изучено взаимодействие цилиндрической оболочки и абсолют-
но твердого тела, связанного с внутренней поверхностью оболочки с помощью жестких
стержней. Построению математической модели взаимодействия цилиндрической обо-
лочки с присоединенным к одному из ее торцов абсолютно твердым телом посвящена
работа [4]. В работе Ю. Ю. Швейко, А. Д. Брусиловского, А. М. Мельниковой [5] постро-
ено точное решение задачи о собственных колебаниях балок, соединенных круговой ци-
линдрической оболочкой. Приближенное решение рассматриваемой задачи предложено
в работе [6]. Б. И. Рабинович, В. П. Шмаков и В. С. Кобычкин [7] предложили теорию
колебаний конструкций, несущих упругие резервуары с жидкостью. В качестве расчет-
ной схемы использована упругая балка Эйлера – Бернулли с присоединенной к ней на
упругих связях моментной оболочкой вращения, которая заполнена идеальной и несжи-
маемой жидкостью. Исследованию собственных колебаний предварительно напряжен-
ной безмоментной оболочки вращения из гиперупругого материала с присоединенным к
одному из ее торцов жестким диском посвящена работа В. А. Троценко и В. С. Клади-
ноги [8].
При балочной аппроксимации изгибных колебаний оболочки в инженерной практике
обычно пренебрегают вторичными эффектами, обусловленными деформацией сдвига и
инерцией поворота поперечного сечения балки. Рассматривая свободные колебания тон-
кой цилиндрической оболочки, K. Forsberg [9] показал, что эти вторичные эффекты ста-
новятся весьма существенными для коротких оболочек и особенно при расчете высших
форм колебаний.
Исследованию колебаний балок Тимошенко с присоединенными телами конечных
размеров посвящено большое количество работ. Достаточно полный обзор этих работ
приведен в работе W. D. White и G. R. Heppler [10]. Здесь следует также отметить работу
R. E. Rossi и P. A. A. Laura [11], где получены обстоятельные табличные и графические
данные по расчету частот и форм колебаний балки Тимошенко, защемленной на одном
конце и несущей конечную массу на другом. По результатам этих работ можно сделать
вывод, что колебания балок с присоединенными телами достаточно хорошо изучены и
усилия исследователей в настоящее время направлены на совершенствование алгорит-
мов их расчета и на выявление новых механических эффектов взаимодействия тела с
балкой при их совместных колебаниях.
Данная работа посвящена построению математической модели и решению задачи о
свободных неосесимметричных колебаниях круговой цилиндрической оболочки, к одно-
му из торцов которой присоединено твердое тело конечных размеров. Построение при-
ближенных аналитических решений полученных спектральных задач базируется на их
эквивалентных вариационных формулировках и методе Ритца. Исследуются границы
применимости упрощенных постановок задачи, которые получены с использованием раз-
личных теорий балок.
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тонкостен-
ной круговой цилиндрической оболочки радиуса R и длины l и абсолютно твердого те-
ла, которое жестко прикреплено к одному из ее торцов. Считается, что второй торец
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 265
Рис. 1. Общий вид конструкции и системы координат.
оболочки жестко закреплен. Пусть тело имеет две взаимно ортогональные плоскости
симметрии, линией пересечения которых является ось Oz, совпадающая с продольной
осью оболочки (рис. 1). Координатную плоскость Oxz совместим с одной из плоскостей
симметрии твердого тела, а начало системы координат Oxyz поместим в плоскости за-
крепленного торца оболочки.
Для описания перемещений твердого тела введем прямоугольную систему координат
Cxcyczc с началом в центре инерции твердого тела и осями Cxc и Cyc, параллельными
осям Ox и Oy. Орты системы координат Cxcyczc обозначим через~ic, ~jc и ~kc. Срединную
поверхность оболочки отнесем к ортогональной системе криволинейных координат z
и ϕ, где ϕ – полярный угол, отсчитываемый от оси Ox. С этими координатами свяжем
локальный ортогональный базис ~e1, ~e2, ~e3, в котором ~e1 и ~e2 — единичные векторы, ка-
сательные к линиям главных кривизн срединной поверхности оболочки и направленные
в сторону возрастания координат z и ϕ.
Предположим, что к рассматриваемой конструкции приложена малая нагрузка обще-
го вида: сосредоточенная в точке C сила и момент относительно точки C
∆~F = ∆F1
~ic + ∆F2
~jc + ∆F3
~kc, ∆ ~M = ∆M1
~ic + ∆M2
~jc + ∆M3
~kc,
действующие на твердое тело, а также распределенная нагрузка
∆ ~Q = ∆Q1~e1 + ∆Q2~e2 + ∆Q3~e3,
действующая на оболочку. В результате система придет в возмущенное равновесное со-
стояние, подвергаясь при этом деформациям и перемещениям. Равновесное состояние
системы будем характеризовать вектором перемещения точек срединной поверхности
оболочки
~U = u~e1 + v~e2 + w~e3,
вектором поступательного перемещения центра масс твердого тела и вектором угла его
поворота вокруг этого центра
~U0 = u01
~ic + u02
~jc + u03
~kc, ~θ0 = ϑ01
~ic + ϑ02
~jc + ϑ03
~kc.
При этом предполагается малость перемещений твердого тела и оболочки, для которых
справедливы допущения линейной теории.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
266 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Равенство перемещений оболочки и твердого тела на контуре L, образованном попе-
речным сечением оболочки при z = l, приводит к соотношению
~U = ~U0 +
[
~θ0 × ~r0
]
, (1)
где ~r0 = (R cosϕ)~ic − (R sinϕ)~jc − lc~kc — радиус-вектор точек контура L в системе коор-
динат Cxcyczc; lc – расстояние от точки C вдоль оси Oz до торцевого сечения оболочки, в
котором прикреплено твердое тело.
Из соотношения (1) и условий непрерывности соответствующих углов поворота твер-
дого тела и оболочки, с учетом связи между ортами системы координат Cxcyczc и ортами
~e1, ~e2, ~e3
~ic = − sinϕ~e2 + cosϕ~e3, ~jc = cosϕ~e2 − sinϕ~e3, ~kc = ~e1, (2)
получим следующие геометрические граничные условия на контуре L:
u = u03 − ϑ01R sinϕ− ϑ02R cosϕ,
v =
(
ϑ02lc − u01
)
sinϕ−
(
ϑ01lc + u02
)
cosϕ− ϑ03R,
(3)
w = −
(
ϑ01lc + u02
)
sinϕ−
(
ϑ02lc − u01
)
cosϕ,
∂w
∂z
∣
∣
∣
∣
z=l
= ϑ01 sinϕ+ ϑ02 cosϕ.
Для получения уравнений равновесия системы воспользуемся принципом возможных
перемещений
δΠ = δA, (4)
где δΠ — вариация потенциальной энергии упругой деформации оболочки, δA — работа
внешних сил на возможных перемещениях системы.
Потенциальную энергию деформаций тонкой цилиндрической оболочки можно пред-
ставить в виде [12]
Π =
Eh
2(1 − ν2)
∫
Σ
∫
[(
∂u
∂z
)2
+
1
R2
(
∂v
∂ϕ
+ w
)2
+
2ν
R
∂u
∂z
(
∂v
∂ϕ
+ w
)
+
+
1 − ν
2
(
1
R
∂u
∂ϕ
+
∂v
∂z
)2]
dΣ +
D
2
∫
Σ
∫
[(
∂2w
∂z2
)2
+
(
1
R2
∂2w
∂ϕ2
)2
+
2ν
R2
∂2w
∂z2
∂2w
∂ϕ2
+
+ 2(1 − ν)
(
1
R
∂2w
∂z∂ϕ
)2]
dΣ, D =
Eh3
12(1 − ν2)
, (5)
где E и ν — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки, Σ и h —
срединная поверхность и толщина оболочки.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 267
Первый интеграл в формуле (5) представляет собой потенциальную энергию удлине-
ний и сдвигов, а второй — потенциальную энергию изгиба и кручения.
Работа внешних сил, приложенных к телу и оболочке, такова:
A =
∫∫
Σ
∆ ~Q · ~udΣ + ∆~F · ~u0 + ∆ ~M · ~θ0. (6)
Обозначим через δ~u, δ~u0 и δ~θ0 вариации перемещений оболочки, твердого тела и его
углов поворота.
После подстановки формул (5) и (6) в (4) и интегрирования по частям двойных инте-
гралов вариационное уравнение с учетом условий (3) можно привести к виду
−
1
F
∫
Σ
∫
{
[
L11(u) + L12(v) + L13(w) + F∆Q1
]
δu+
+
[
L21(u) + L22(v) + L23(w) + F∆Q2
]
δ −
−
[
L31(u) + L32(v) + L33(w) − F∆Q3
]
δw
}
dΣ +
+
[
∮
L
(
Q∗
1 cosϕ− S sinϕ
)
ds− ∆F1
]
δu01 +
+
[
∮
L
(
Q∗
1 sinϕ+ S cosϕ
)
ds+ ∆F2
]
δu02 +
(
∮
L
T1ds− ∆F3
)
δu03 +
+
[
∮
L
(
P1 sinϕ+ lcS cosϕ
)
ds+ ∆M1
]
δϑ01 +
+
[
∮
L
(
P1 cosϕ− lcS sinϕ)ds+ ∆M2
]
δϑ02 +
+
[
∮
L
RSds+ ∆M3
]
δϑ03 = 0. (7)
Здесь приняты следующие обозначения:
L11 =
∂2
∂z2
+
ν1
R2
∂2
∂ϕ2
, L12 = L21 =
ν2
R
∂2
∂z∂ϕ
, L13 = L31 =
ν
R
∂
∂z
,
L22 =
1
R2
∂2
∂ϕ2
+ ν1
∂2
∂z2
, L23 = L32 =
1
R2
∂
∂ϕ
, L33 =
1
R2
(
c2∆∆ + 1
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
268 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
∆ = R2 ∂
2
∂z2
+
∂2
∂ϕ2
, ν1 =
1 − ν
2
, ν2 =
1 + ν
2
, c2 =
h2
12R2
, F =
1 − ν2
Eh
,
S =
Eh
2(1 + ν)
(
∂v
∂z
+
1
R
∂u
∂ϕ
)
, T1 =
1
F
[
∂u
∂z
+
ν
R
(
∂v
∂ϕ
+ w
)]
, P1 = RT1 +M1 + lcQ
∗
1,
M1 = −D
(
∂2w
∂z2
+
ν
R2
∂2w
∂ϕ2
)
, Q∗
1 = −
c2
F
[
R2∂
3w
∂z3
+ (2 − ν)
∂3w
∂z∂ϕ2
]
.
Приравняв к нулю коэффициенты при δu, δv и δw в поверхностных интегралах (7),
получим известные уравнения равновесия цилиндрической оболочки. В свою очередь,
из равенства нулю коэффициентов при вариациях параметров движения твердого тела
следуют уравнения равновесия последнего.
Уравнения свободных колебаний системы «тело-оболочка» можно получить из выве-
денных уравнений равновесия, если в них, воспользовавшись принципом Даламбера, по-
ложить
∆ ~Q = −ρh
∂2~u
∂t2
, ∆~F = −m0
∂2~u0
∂t2
,
(8)
∆M1 = −Jxc
∂2ϑ01
∂t2
, ∆M2 = −Jyc
∂2ϑ02
∂t2
, ∆M3 = −Jzc
∂2ϑ03
∂t2
,
где Jxc
, Jyc
, Jzc
— моменты инерции твердого тела относительно осей Cx, Cy, Cz соо-
тветственно, m0 — масса твердого тела, ρ — плотность материала оболочки.
Рассматривая установившиеся свободные колебания системы с частотой ω, полагаем
{
~U, ~U0, ~θ0
}
=
{~̃U, ~̃U0,
~̃
θ0
}
eiωt.
В дальнейшем для сокращения записи знак тильды будем опускать. В результате опре-
деление амплитудных значений шести параметров движения твердого тела и трех ком-
понент вектора перемещения оболочки сводится интегрированию системы уравнений в
частных производных
L11(u) + L12(v) + L13(w) = −ω2ρhFu,
L21(u) + L22(v) + L23(w) = −ω2ρhFv, (9)
L31(u) + L32(v) + L33(w) = ω2ρhFw
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 269
при нелокальных граничных условиях при z = l:
∮
L
(
Q∗
1 cosϕ− S sinϕ
)
ds = m0ω
2u01,
∮
L
(
Q∗
1 sinϕ+ S cosϕ
)
ds = −m0ω
2u02,
∮
L
T1ds = m0ω
2u03,
∮
L
(
P1 sinϕ+ lcS cosϕ
)
ds = ω2Jxc
ϑ01, (10)
∮
L
(
P1 cosϕ− lcS sinϕ
)
ds = ω2Jyc
ϑ02,
∮
L
RSds = ω2Jzc
ϑ03.
К граничным условиям (10) необходимо добавить еще геометрические условия сопряже-
ния (10) и условия жесткого закрепления торца оболочки при z = 0.
Особо следует отметить, что граничные условия (10) являются естественными усло-
виями для соответствующего функционала на классе функций, удовлетворяющих усло-
виям (3) и геометрическим условиям закрепления свободного от твердого тела торца
оболочки.
2. Построение решения. Малость параметров движения системы и ее симметрия по-
зволяют общее движение системы разложить на независимые составляющие в направле-
нии и вокруг продольной оси, а также в двух взаимно перпендикулярных плоскостях Oxz
и Oyz. В дальнейшем будем рассматривать поперечные колебания конструкции в одной
из плоскостей симметрии, в качестве которой, в частности, примем плоскость Oxz. В
этом случае перемещения срединной поверхности оболочки будем искать в виде
u(z, ϕ) =
∞
∑
n=1
un(z) cosnϕ, v(z, ϕ) =
∞
∑
n=1
vn(z) sinnϕ, w(z, ϕ) =
∞
∑
n=1
wn(z) cosnϕ. (11)
В соответствии с выражениями (11) усилия и моменты в срединной поверхности обо-
лочки будут определятся по формулам
T1 =
∞
∑
n=1
T1(n) cosnϕ, S =
∞
∑
n=1
S(n) sinnϕ,
(12)
M1 =
∞
∑
n=1
M1(n) cosnϕ, Q∗
1 =
∞
∑
n=1
Q∗
1(n) cosnϕ.
Перейдем к безразмерным величинам, которые связаны с соответствующими размер-
ными величинами следующими соотношениями:
{
un, vn, wn, u01
}
= R
{
ūn, v̄n, w̄n, ū01
}
,
{
T1(1), Q
∗
1(1), S(1)
}
=
1
F
{
T̄1(1), Q̄
∗
1(1), S̄(1)
}
,
(13)
ω2 =
ω̄2
FhρR2
, M1(1) =
RM̄1(1)
F
, m0 = πρhR2m̄0, Jyc
= πρhR4J̄yc
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
270 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
В дальнейшем будем пользоваться безразмерными величинами, опуская при этом чер-
точку над ними.
Подставляя (11) и (12) в (3), (9) и (10), получаем для определения частот и форм соб-
ственных колебаний рассматриваемой конструкции следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
L
(n)
11 (un) + L
(n)
12 (vn) + L
(n)
13 (wn) + ω2un = 0,
L
(n)
21 (un) + L
(n)
22 (vn) + L
(n)
23 (wn) + ω2vn = 0, (14)
L
(n)
31 (un) + L
(n)
32 (vn) + L
(n)
33 (wn) − ω2wn = 0, n = 1, 2, ...,
где L
(n)
ij , i, j = 1, 2, 3, — операторы, которые получены из операторов Lij после отде-
ления в них угловой переменной.
Уравнения (14) описывают два типа собственных колебаний системы. Первый тип ко-
лебаний соответствует совместному движению тела и оболочки в плоскостиOxz. В этом
случае система уравнений (14) должна решаться при n = 1 с использованием следующих
граничных условий при z = l и z = 0:
(
Q∗
1(1) − S(1)
)
z=l
= ω2m0u01,
(
T1(1) +M1(1) +Q∗
1(1)lc − S(1)lc
)
z=l
= ω2Jyc
ϑ02, (15)
u1(l) = −ϑ02, v1(l) = ϑ02lc − u01, w1(l) = −v1(l),
dw1
dz
∣
∣
∣
∣
z=l
= ϑ02, (16)
u1(0) = v1(0) = w1(0) =
dw1
dz
∣
∣
∣
∣
z=0
= 0. (17)
Второй тип колебаний возможен лишь для u01 = ϑ02 ≡ 0 и n > 1. В этом случае
решения системы (14) должны удовлетворять граничным условиям
un(l) = vn(l) = wn(l) =
dwn
dz
∣
∣
∣
∣
z=l
= 0,
(18)
un(0) = vn(0) = wn(0) =
dwn
dz
∣
∣
∣
∣
z=0
= 0.
Полученные граничные условия для двух типов колебаний системы являются следствием
ортогональности функций sinnϕ и cosnϕ на отрезке [0, 2π].
Таким образом, при числе волн в окружном направлении n > 1 имеем классическую
задачу об определении частот и форм неосесимметричных собственных колебаний ци-
линдрической оболочки с двумя жестко закрепленными торцами. В случае же n = 1 име-
ем спектральную задачу, где частотный параметр входит не только в уравнения (14), но
и в граничные условия (15). Кроме этого граничные условия (15) содержат обобщенные
координаты движения твердого тела, которые связаны с соответствующими перемеще-
ниями оболочки при z = l геометрическими условиями сопряжения (16). Минимальной
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 271
частотой системы будет меньшая из двух частот, соответствующих первому или второму
типу колебаний. Из приведенных выше уравнений и граничных условий также следует,
что для каждой собственной частоты в рядах (11) для перемещений u, v, w останется по
одному члену: с индексом n = 1 при совместных колебаниях тела и оболочки и с произ-
вольным индексом n > 1 для второго типа колебаний.
Если в системе уравнений (14) имеем коэффициенты, которые не зависят от продоль-
ной координаты z, то существует возможность получения точного решения краевых за-
дач (14) – (17) и (14), (18) на основе метода Эйлера. Однако такой подход приводит к до-
статочно сложным алгоритмам решения поставленных задач. Поэтому в дальнейшем бу-
дем строить приближенные решения рассматриваемых спектральных задач, используя
при этом их эквивалентные вариационные формулировки. Как отмечалось выше, наи-
более сложные граничные условия (15) являются естественными граничными условия-
ми для соответствующего функционала, полученного из вариационного уравнения (4).
Следовательно, минимизацию этого функционала необходимо осуществлять на классе
функций, удовлетворяющих граничным условиям (16) и (17). Для второго типа колеба-
ний системы класс допустимых функций должен быть подчинен граничным условиям
(18). В связи с этим представим искомые функции для обоих типов колебаний в следую-
щем виде:
un(z) =
N
∑
j=1
ajUj(z) + δ1nϑ02u0(z),
vn(z) =
N
∑
j=1
bjVj(z) + δ1n
(
ϑ02lc − u01
)
v0(z), (19)
wn(z) =
N
∑
j=1
cjWj(z) + δ1n
(
u01w0(z) + ϑ02f(z)
)
,
где aj , bj , cj — произвольные постоянные, подлежащие определению в дальнейшем вме-
сте с постоянными u01 и ϑ02, δ1n = 1 при n = 1 и δ1n = 0 при n > 1.
Функции u0(z), v0(z), w0(z), f(z) и координатные функции Uj(z), Vj(z), Wj(z) в выра-
жениях (19) выберем в следующем виде:
u0(z) = −
1
l
z, v0(z) = −u0(z), w0(z) =
(
3
l2
−
2
l3
z
)
z2,
f(z) =
(
−
l + 3lc
l2
+
2lc + l
l3
z
)
z2, Uj(z) = Vj(z),
(20)
Uj(z) = z(z − l)Pj
(
2z
l
− 1
)
, Wj(z) = z2(z − l)2Pj
(
2z
l
− 1
)
,
j = 1, 2..., N.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
272 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Здесь Pj(z) — смещенные на единицу по индексу j многочлены Лежандра, вычисление
которых и их первых двух производных можно проводить с помощью рекуррентных со-
отношений
Pj+2(z) =
1
j + 1
[
(2j + 1)zPj+1(z) − jPj(z)
]
,
P
′
j+2(z) = zP
′
j+1(z) + (j + 1)Pj+1(z), P
′′
j+2(z) = zP
′′
j+1(z) + (j + 2)P
′
j+1(z), (21)
P1(z) = 1, P2(z) = z, P3(z) =
1
2
(3z2 − 1).
Предлагаемые представления искомых решений в форме (19) удовлетворяют глав-
ным граничным условиям (16), (17) для первого типа колебаний и условиям (18) для вто-
рого типа колебаний при любых значениях вектора
~X =
[
a1, a2, . . . , aN , b1, b2, . . . , bN , c1, c2, . . . , cN , u01, ϑ02
]
.
Компоненты вектора ~X в дальнейшем определяются из условий стационарности ука-
занного выше функционала. При этом исходная задача сводится к решению однородной
алгебраической системы
(
A− ω2B
)
~XT = 0, (22)
где ~XT
— транспонированный вектор ~X ,A иB — симметричные матрицы порядка 3N+2
для n = 1 и 3N для n > 1.
Отметим, что в отличие от традиционного метода Ритца решения для искомых фун-
кций в форме (19) при n = 1 не являются независимыми, поскольку они включают в себя
общие неизвестные постоянные u01 и ϑ02. В силу этого формирование элементов матриц
A и B на основе стандартного подхода приводит к достаточно громоздким их выражени-
ям, что значительно усложняет расчетную схему задачи. В связи с этим вариация соот-
ветствующего функционала представляется в следующем виде:
δI =
γ
∫
0
[
Ψ11(un, δun) + Ψ12(vn, δvn) + Ψ13(wn, δun) + Ψ12(δvn, un) + Ψ22(vn, δvn) +
+ Ψ23(wn, δvn) + Ψ13(δwn, un) + Ψ23(δwn, vn) + Ψ33(wn, δwn)
]
dz −
− ω2
γ
∫
0
(
unδun + vnδvn + wnδwn
)
dz − δ1nω
2
(
m0u01δu01 + Jyc
ϑ02δϑ02
)
. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 273
Введенные здесь дифференциальные операторы имеют вид
Ψ11(p, q) =
dp
dz
dq
dz
+ ν1n
2pq, Ψ12(p, q) = νnp
dq
dz
− ν1n
dp
dz
q,
Ψ13(p, q) = νp
dq
dz
, Ψ23(p, q) = npq, Ψ22(p, q) = n2pq + ν1
dp
dz
dq
dz
,
Ψ33(p, q) = pq + c2
[(
d2p
dz2
− νn2p
)
d2q
dz2
+
(
n4p− νn2 d
2p
dz2
)
q + 2
(
1 − ν
)
n2 dp
dz
dq
dz
]
,
где p и q — произвольные функции.
Использование вариации функционала в форме (23) позволяет с единых позиций срав-
нительно просто находить элементы матриц A и B и дает значительные удобства при
программировании предлагаемого алгоритма решения рассматриваемой задачи. При этом
элементы верхней части относительно главной диагонали матриц A и B принимают вид
ai,j =
l
∫
0
Ψ11
(
Uj , Ui
)
dz, ai,j+N =
l
∫
0
Ψ12
(
Vj , Vi
)
dz, ai,j+2N =
l
∫
0
Ψ13
(
Wj , Ui
)
dz,
ai,3N+1 =
l
∫
0
[
Ψ13
(
w0, Ui
)
− Ψ12
(
v0, Ui
)]
dz,
ai,3N+2 =
l
∫
0
[
Ψ11
(
u0, Ui
)
+ lcΨ12
(
v0, Ui
)
+ Ψ13
(
f, Ui
)]
dz,
ai+N,j+N =
l
∫
0
Ψ22
(
Vj , Vi
)
dz, ai+N,j+2N =
l
∫
0
Ψ23
(
Wj , Vi
)
dz,
ai+N,3N+1 =
l
∫
0
[
Ψ23
(
w0, Vi
)
− Ψ22
(
v0, Vi
)]
dz,
ai+N,3N+2 =
l
∫
0
[
Ψ12
(
Vi, u0
)
+ lcΨ22
(
v0, Vi
)
+ Ψ23
(
f, Vi
)]
dz,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
274 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
ai+2N,j+2N =
l
∫
0
Ψ33
(
Wj ,Wi
)
dz,
ai+2N,3N+1 =
l
∫
0
[
Ψ33
(
w0,Wi
)
− Ψ23
(
Wi, v0
)]
dz,
ai+2N,3N+2 =
l
∫
0
[
Ψ13
(
Wi, u0
)
+ lcΨ23
(
Wi, v0
)
+ Ψ33
(
f,Wi
)]
dz,
a3N+1,3N+1 =
l
∫
0
[
Ψ22
(
v0, v0
)
− 2Ψ23
(
w0, v0
)
+ Ψ33
(
w0, w0
)]
dz,
a3N+1,3N+2 =
l
∫
0
[
Ψ33
(
f, w0
)
− Ψ12
(
v0, u0
)
− lcΨ22
(
v0, v0
)
−
−Ψ23
(
f, v0
)
+ Ψ13
(
w0, u0) + lcΨ23
(
w0, v0
)]
dz,
a3N+2,3N+2 =
l
∫
0
[
Ψ11
(
u0, u0
)
+ 2lcΨ12
(
v0, u0
)
+ 2Ψ13
(
f, u0
)
+
+l2cΨ22
(
v0, v0
)
+ 2lcΨ23
(
f, v0
)
+ Ψ33
(
f, f
)]
dz,
bi,j =
l
∫
0
UiUjdz, bi,j+N = bi,j+2N = bi,3N+1 = 0,
bi,3N+2 =
l
∫
0
u0Uidz, bi+N,j+N =
l
∫
0
ViVjdz,
bi+N,j+2N = 0, bi+N,3N+1 = −
l
∫
0
v0Vidz, bi+N,3N+2 = lc
l
∫
0
v0Vidz,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 275
bi+2N,j+2N =
l
∫
0
WjWidz, bi+2N,3N+1 =
l
∫
0
w0Widz,
bi+2N,3N+2 =
l
∫
0
fWidz, b3N+1,3N+1 =
l
∫
0
(
v2
0 + w2
0
)
dz +m0,
b3N+1,3N+2 =
l
∫
0
(
fw0 − lcv
2
0
)
dz, b3N+2,3N+2 =
l
∫
0
(
u2
0 + l2cv
2
0 + f2
)
dz + Jyc
.
Для случая n > 1 матрицыA иB получаются из построенных матриц вычеркиванием
из них двух последних строк и столбцов.
Если цилиндрическая оболочка имеет постоянную толщину, то в силу симметрии гра-
ничных условий, при n > 1, ее формы колебаний распадаются на симметричные и ан-
тисимметричные относительно z = l/2. Учитывая это обстоятельство, порядок алге-
браической системы для второго типа колебаний можно уменьшить в два раза, выбрав
соответствующим образом координатные функции.
Таким образом, задача определения собственных частот и форм неосесимметричных
колебаний цилиндрической оболочки с присоединенным к одному из ее торцов твердым
телом свелась к вычислению одномерных интегралов с последующим решением обоб-
щенной задачи на собственные значения (22). При удачном выборе представления иско-
мых решений, обеспечивающих требуемую точность вычислений и устойчивость вычис-
лительного процесса, последняя задача легко решается с помощью стандартных прог-
рамм, имеющихся в математическом обеспечении современных ПЭВМ. Предложенный
алгоритм решения рассматриваемой задачи без существенных изменений может быть
использован и для оболочки с переменными вдоль оси упруго-массовыми характеристи-
ками.
3. Упрощенная постановка задачи и ее решение. Для относительно длинных оболо-
чек исходную задачу можно существенно упростить, если предположить, что попереч-
ные сечения оболочки при деформировании остаются плоскими. При таком допущении
оболочку можно заменить эквивалентной балкой с постоянными по ее длине погонной
массой m = ρF = 2πRhρ и изгибной жесткостью EJ = EπR3h. В дальнейшем будем
пользоваться уточненной теорией балок Тимошенко, в которой учитываются деформа-
ции сдвига и инерция поворота поперечного сечения балки. Тогда в соответствии с ре-
зультатами работ [10, 11, 13], изгибные колебания балки в плоскости Oxz будут описы-
ваться системой дифференциальных уравнений в частных производных
ρF
∂2w
∂t2
− κGF
(
∂2w
∂z2
−
∂ψ
∂z
)
= 0,
(24)
ρJ
∂2ψ
∂t2
− EJ
∂2ψ
∂z2
− κGF
(
∂w
∂z
− ψ
)
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
276 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
где w(z, t) — перемещения точек нейтральной линии упругой балки в направлении оси
Ox, ψ(z, t) — угол наклона касательной к упругой линии балки от действия изгибающих
моментов; GF — сдвиговая жесткость балки. Коэффициент сдвига κ будем определять
по формуле κ = 2(1 − ν)/(4 + 3ν), предложенной в работе [14].
В случае жестко закрепленного торца балки при z = 0 и присоединенного твердого
тела на другом торце при z = l решения уравнений (24) должны удовлетворять гранич-
ным условиям
[
κGF
(
∂w
∂z
− ψ
)
+m0
∂2w
∂t2
+ L0
∂2ψ
∂t2
]
z=l
= 0,
(25)
[
EJ
∂ψ
∂z
+ L0
∂2w
∂t2
+ Jy1
∂2ψ
∂t2
]
z=l
= 0; w(0, t) = ψ(0, t) = 0,
где L0 = m0lc, Jy1 = m0l
2
c + Jyc
.
Для случая свободных гармонических колебаний системы с частотой ω представим
функции w(z, t) и ψ(z, t) в виде
w(z, t) = W (z)eiωt, ψ(z, t) = Ψ(z)eiωt.
Выберем в качестве характерного линейного размера системы радиус цилиндриче-
ской оболочки R и введем в рассмотрение безразмерные величины, которые связаны с
соответствующими размерными по формулам
β2 =
ω2R4ρF
EJ
, r2 =
J
FR2
, s2 =
EJ
κGFR2
, m̄0 =
m0
ρFR
, J̄yc
=
Jyc
ρFR3
, W̄ =
W
R
.
Связь безразмерных величин, введенных по формулам (13) (далее обозначены звез-
дочкой), с данными величинами имеет вид
ω̄2 =
(1 − ν2)
2
β2, m̄0 =
1
2
m∗
0, J̄yc
=
1
2
J̄∗
yc
.
Далее черточки над безразмерными величинами для простоты записи будем опускать.
После отделения переменной t в уравнениях (24), (25) и ряда несложных преобразова-
ний решение исходной задачи можно свести к решению однородной задачи относительно
функции W (z)
d4W
dz4
+ b2
d2W
dz2
− β2b0W = 0,
W (0) = 0,
(
b1
dW
dz
+ s2
d3W
dz
)
z=0
= 0, (26)
(
f1
d3W
dz3
+ f2
dW
dz
+ f3W
)
z=l
= 0,
(
f4
d3W
dz3
+ f5
d2W
dz2
+ f6
dW
dz
+ f7W
)
z=l
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 277
где
b0 = 1 − β2r2s2, b1 = β2s4 + 1, b2 = β2(r2 + s2),
f1 = 1 + β2s2L0, f2 = β2b1L0 + b2, f3 = β2m0b0, f4 = β2s2Jy1 ,
f5 = −b0, f6 = β2b1Jy1 f7 = b0β
2(L0 − s2).
После решения задачи (26) функция Ψ(z) определяется из соотношения
Ψ =
s2
b0
d3W
dz3
+
b1
b0
dW
dz
.
Заметим, что параметр r2 отвечает за влияние инерции вращения, а параметр s2 —
за эффекты деформаций сдвига. Уравнения для балки Эйлера – Бернулли могут быть
получены из уравнений Тимошенко, если положить r2 = s2 = 0. Аналогично, уравнения
движения балки без учета влияния инерции вращения получим, если примем r2 = 0. Для
уравнений балки Рэлея необходимо положить s2 = 0.
Общее решение уравнения из (26) при µ > b2/2 имеет вид
W (β, z) = A sinh γ1z +B cosh γ1z + C sin γ2z +D cos γ2z, (27)
где γ1 =
√
µ− b2/2, γ2 =
√
µ+ b2/2.
Для случая, когда µ < b2/2,
W (β, z) = A
′
sin γ1z +B
′
cos γ1z + C
′
sin γ2z +D
′
cos γ2z, (28)
где γ1 =
√
b2/2 − µ.
При этом µ =
√
(b2/2)2 + b0β2.
Решения (27) и (28) для дальнейшего их использования удобно представить в виде
Wi(β, z) = C1iSi(β, z) + C2iTi(β, z) + C3iUi(β, z) + C4iVi(β, z). (29)
Здесь и далее i = 1 при µ > b2/2 и i = 2 при µ < b2/2.
Функции Si, Ti, Ui и Vi являются линейными комбинациями функций, входящих в (27),
(28) и имеют вид
S1(β, z) =
1
2µ
(
γ2
2 cosh γ1z + γ2
1 cos γ2z
)
, T1(β, z) =
1
2µ
(
γ2
2
γ1
sinh γ1z +
γ2
1
γ2
sin γ2z
)
,
U1(β, z) =
1
2µ
(
cosh γ1z − cos γ2z
)
, V1(β, z) =
1
2µ
(
1
γ1
sinh γ1z −
1
γ2
sin γ2z
)
,
(30)
S2(β, z) =
1
2µ
(
γ2
2 cos γ1z − γ2
1 cos γ2z
)
, T2(β, z) =
1
2µ
(
γ2
2
γ1
sin γ1z −
γ2
1
γ2
sin γ2z
)
,
U2(β, z) =
1
2µ
(
cos γ1z − cos γ2z
)
, V2(β, z) =
1
2µ
(
1
γ1
sin γ1z −
1
γ2
sin γ2z
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
278 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Первые три производные от Wi(β, z) по переменной z вычисляются по формулам
W
′
1(β, z) = C11ζV1(β, z) + C21S1(β, z) + C31Q11(β, z) + C41U1(β, z),
W
′′
1 (β, z) = C11ζU1(β, z) + C21ζV1(β, z) + C31Q21(β, z) + C41Q11(β, z),
W
′′′
1 (β, z) = C11ζQ11(β, z) + C21ζU1(β, z) + C31Q31(β, z) + C41Q21(β, z),
W
′
2(β, z) = −C12ζV2(β, z) + C22S2(β, z) + C32Q12(β, z) + C42U2(β, z),
W
′′
2 (β, z) = −C12ζU2(β, z) − C22ζV2(β, z) + C32Q22(β, z) + C42Q12(β, z),
W
′′′
2 (β, z) = −C12ζQ12(β, z) − C22ζU2(β, z) + C32Q32(β, z) + C42Q22(β, z),
ζ = γ2
1γ
2
2 .
Здесь были введены в рассмотрение следующие функции:
Q11(β, z) =
1
2µ
(
γ1 sinh γ1z + γ2 sin γ2z
)
, Q21(β, z) =
1
2µ
(
γ2
1 cosh γ1z + γ2
2 cos γ2z
)
,
Q31(β, z) =
1
2µ
(
γ3
1 sinh γ1z − γ3
2 sin γ2z
)
, Q12(β, z) =
1
2µ
(
γ2 sin γ2z − γ1 sin γ1z
)
,
Q22(β, z) =
1
2µ
(
γ2
2 cos γ2z − γ2
1 cos γ1z
)
, Q32(β, z) =
1
2µ
(
γ3
1 sin γ1z − γ3
2 sin γ2z
)
.
При представлении решений в виде (29) произвольные постоянные выражаются че-
рез значения функций Wi и их производные в точке z = 0:
Wi(β, 0) = C1i, W
′
i (β, 0) = C2i, W
′′
i (β, 0) = C3i, W
′′′
i (β, 0) = C4i.
Подставляя решения (29) в граничные условия из (26), получаем однородную алгеб-
раическую систему относительно постоянных интегрирования C3i и C4i
C3ia
(i)
11 + C4ia
(i)
12 = 0,
(31)
C3ia
(i)
21 + C4ia
(i)
22 = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 279
При этом C1i = 0, C2i = −K1C4i, где K1 = s2/b1. Элементы a
(i)
kj определяются по форму-
лам
a
(1)
11 = f1Q31(β, l) + f2Q11(β, l) + f3U1(β, l),
a
(1)
12 = f1
(
Q21(β, l) −K1ζU1(β, l)
)
+ f2
(
U1(β, l) −K1S1(β, l)
)
+ f3
(
V1(β, l) −K1T1(β, l)
)
,
a
(1)
21 = f4Q31(β, l) + f5Q21(β, l) + f6Q11(β, l) + f7U1(β, l),
a
(1)
22 = f4
(
Q21(β, l) −K1ζU1(β, l)
)
+ f5
(
Q11(β, l) −K1ζV1(β, l)
)
+ f6
(
U1(β, l) −K1S1(β, l)
)
+
+f7
(
V1(β, l) −K1T1(β, l)
)
,
a
(2)
11 = f1Q32(β, l) + f2Q12(β, l) + f3U2(β, l),
a
(2)
12 = f1
(
Q22(β, l) +K1ζU2(β, l)
)
+ f2
(
U2(β, l) −K1S2(β, l)
)
+ f3
(
V2(β, l) −K1T2(β, l)
)
,
a
(2)
21 = f4Q32(β, l) + f5Q22(β, l) + f6Q12(β, l) + f7U2(β, l),
a
(2)
22 = f4
(
Q22(β, l) +K1ζU2(β, l)
)
+ f5
(
Q12(β, l) +K1ζV2(β, l)
)
+ f6
(
U2(β, l) −K1S2(β, l)
)
+
+f7
(
V2(β, l) −K1T2(β, l)
)
.
Таким образом, решение исходной задачи в упрощенной ее постановке сведено к ре-
шению системы алгебраических уравнений (31).
4. Численные результаты. Приведем некоторые результаты расчета частот и форм
собственных колебаний рассматриваемой конструкции по предложенным выше алгорит-
мам. В дальнейшем предполагается, что к оболочке присоединено твердое тело, имею-
щее форму кругового цилиндра радиуса R и высоты H = 2lc. При этом безразмерный
момент инерции твердого тела
J∗
yc
=
m∗
0
12
(3 +H2).
В расчетах были приняты следующие значения безразмерных параметров системы:
h = 0, 01; lc = 0, 5; ν = 0, 3. Длина оболочки и масса тела варьировались.
В табл. 1 приведены результаты вычислений первых пяти низших частот изгибных
колебаний механической системы «тело-оболочка» (n = 1) при l = 4 и m∗
0 = 100 в за-
висимости от количества членов N в разложениях (19). Эти данные свидетельствуют о
достаточно быстрой сходимости последовательностей Ритца. При уменьшении относи-
тельной длины оболочки сходимость вычислительного процесса улучшается по сравне-
нию с данными, приведенными в табл. 1. Увеличение длины оболочки (l > 10) должно
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
280 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Таблица 1
N ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
1 0,02460 0,13472 0,36141 0,99067 1,44920
2 0,01632 0,13185 0,35650 0,61950 0,93549
3 0,01574 0,12695 0,32523 0,61877 0,81494
4 0,01500 0,12681 0,32491 0,57754 0,81054
5 0,01495 0,12637 0,32272 0,57739 0,76240
6 0,01480 0,12636 0,32271 0,57617 0,76237
7 0,01479 0,12631 0,32201 0,57616 0,76122
8 0,01474 0,12630 0,32200 0,57588 0,76121
9 0,01474 0,12630 0,32175 0,57588 0,76106
10 0,01474 0,12630 0,32175 0,57582 0,76105
сопровождаться увеличением числа координатных функций. Следует отметить, что вы-
бранная форма представления искомых решений и их аппроксимация с использовани-
ем многочленов Лежандра обеспечивают устойчивость вычислительного процесса до
N 6 40. Это обстоятельство позволяет проводить расчеты частот и форм собственных
колебаний с высокой точностью для достаточно широкого диапазона входных парамет-
ров рассматриваемой механической системы.
Таблица 2
m∗
0 ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
0 0,10799 0,34989 0,62869 0,73160 0,81765
10
2 0,01474 0,12629 0,32175 0,57582 0,76106
10
3 0,00469 0,04226 0,30743 0,57360 0,76019
10
4 0,00149 0,01344 0,30614 0,57339 0,76010
10
5 0,00047 0,00425 0,30602 0,57337 0,76010
(∗) — — 0,30600 0,57336 0,76010
Результаты вычислений собственных частот конструкции в зависимости от величины
массы твердого телаm∗ при l = 4 представлено в табл. 2. Как видно из таблицы, увеличе-
ние массы твердого тела приводит к понижению частот системы. В предельном случае,
обозначенном звездочкой, частоты равны соответствующим частотам колебаний обо-
лочки с двумя жестко закрепленными торцами для окружной формы с n = 1.
В табл. 3 приведены некоторые результаты расчета минимальных частот ω1(n) для
оболочки с жестко закрепленными торцами в диапазоне параметров l/R = 2 ÷ 14 и
δ = R/h = 200 ÷ 1000 (n > 1 – второй тип колебаний системы). В скобках указаны
соответствующие этим частотам числа волн n поверхности оболочки в круговом направ-
лении (значения частот умножены на 10).
Как видно из этой таблицы, увеличение длины оболочки сопровождается снижени-
ем минимальных частот системы с одновременным уменьшением соответствующего им
числа n. Уменьшение толщины оболочки также ведет к снижению минимальных частот,
но при росте значений числа n. Сравнение данных табл. 3 с имеющимися данными рабо-
ты [5], полученными на основе точного решения рассматриваемой задачи на собствен-
ные значения, указывает на их полное совпадение.
Таким образом, наличие прикрепленного твердого тела на одном из торцов оболочки
может привести к появлению в системе достаточно низких частот. При этом упомяну-
тые частоты могут быть меньшими, чем минимальные частоты первого типа колебаний
системы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 281
Таблица 3
δ
l 200 400 600 800 1000
2 1, 12969(7) 0, 82296(9) 0, 67886(10) 0, 59474(11) 0, 53114(11)
4 0, 58626(5) 0, 42330(6) 0, 34532(7) 0, 30348(8) 0, 26967(8)
6 0, 39910(4) 0, 28260(5) 0, 23213(6) 0, 20214(6) 0, 18249(7)
8 0, 29661(4) 0, 21836(5) 0, 17340(5) 0, 15440(5) 0, 13619(6)
10 0, 24526(3) 0, 16821(4) 0, 14396(5) 0, 12075(5) 0, 10834(5)
12 0, 19431(3) 0, 14264(4) 0, 11534(4) 0, 10411(4) 0, 09115(5)
14 0, 16645(3) 0, 12714(3) 0, 09907(4) 0, 08577(4) 0, 07886(4)
Таблица 4
l 2 4 6 8 10
β∗
1
I 0, 04104 0, 02062 0, 01266 0, 00868 0, 00640
II 0, 04152 0, 02073 0, 01269 0, 00868 0, 00640
III 0, 04156 0, 02076 0, 01271 0, 00869 0, 00640
IV 0, 05582 0, 02372 0, 01367 0, 00909 0, 00660
V 0, 05600 0, 02376 0, 01369 0, 00910 0, 00660
β∗
2
I 0, 21491 0, 16684 0, 12665 0, 09380 0, 07040
II 0, 21560 0, 16707 0, 12666 0, 09380 0, 07040
III 0, 21856 0, 16971 0, 12842 0, 09490 0, 07110
IV 0, 45942 0, 24775 0, 16542 0, 11600 0, 08380
V 0, 46749 0, 25257 0, 16903 0, 11840 0, 08530
β∗
3
I 0, 59670 0, 34020 0, 25126 0, 20393 0, 16650
II 0, 68582 0, 35616 0, 25673 0, 20530 0, 16650
III 0, 68635 0, 35722 0, 25836 0, 20749 0, 16890
IV 2, 39765 0, 86431 0, 46155 0, 30342 0, 22220
V 3, 86339 1, 02308 0, 501883 0, 32016 0, 23180
β∗
4
I 0, 84825 0, 57846 0, 39471 0, 30000 0, 24788
II 1, 29893 0, 62354 0, 40681 0, 30614 0, 25096
III 1, 33409 0, 64521 0, 41891 0, 31307 0, 25542
IV 3, 99919 1, 69206 0, 94024 0, 60134 0, 42342
V 10, 47193 2, 65297 1, 20558 0, 70117 0, 46959
В табл. 4 приведены результаты вычислений первых четырех частот изгибных коле-
баний оболочки и тела в зависимости от длины оболочки на основе технической теории
оболочек (I), с использованием балочной теории Тимошенко (II), по балочной теории
с учетом только деформаций сдвига (r2 = 0) (III), c учетом только инерции поворо-
та поперечного сечения балки (s2 = 0) (IV) и по балочной схеме Эйлера – Бернулли
(r2 = s2 = 0) (V).
Как видно из этой таблицы, при выбранной массе тела элементарная теория балок да-
ет хорошие результаты при вычислении первой частоты только для длинных оболочек
(l > 10). Учет деформаций сдвига и инерции вращения в уравнениях балки значитель-
но улучшают точность балочного приближения рассматриваемой конструкции. Так, при
l > 6 первые две частоты, вычисленные по теории оболочек и по теории балок Тимошен-
ко, практически совпадают, а для третьей и четвертой частот расхождение составляет не
более 3%. При этом определяющую роль играет учет деформаций сдвига. Инерция по-
ворота может оказывать существенное влияние при расчете высших частот системы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
282 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Рис. 2. Относительная погрешность δi вычисления первых трех частот системы по балочной
теории Тимошенко в зависимости от массы твердого тела m0 и длины оболочки l.
Пространственное изображение поверхности относительной погрешности δi (выра-
женной в процентах) определения первых трех частот колебаний системы по балочной
теории Тимошенко, как функции от массы присоединенного тела и длины оболочки,
представлено на рис. 2. Как видно из рисунка, погрешности δi существенно зависят от
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 283
Рис. 3. Сравнение амплитудных значений первых четырех форм колебаний системы, определенных
по теории оболочек (сплошные линии), по балочной теории Тимошенко (штриховые линии)
и по балочной теории Эйлера Бернулли (штрихпунктирные линии).
массы присоединенного тела и длины оболочки. Увеличение длины оболочки при фик-
сированной массе тела и увеличение массы тела при фиксированной длине оболочки при-
водят к уменьшению погрешностей δi. Так, при m0 > 1 и l > 1 погрешность определения
первой частоты системы не превышает 5%. Погрешности определения первых трех ча-
стот системы не превышают 1% при m0 > 1 и l > 6.
Амплитудные значения первых четырех радиальных форм колебаний оболочки, отне-
сенные к их максимальным значениям Wi, представлены на рис. 3 (z∗ = z/l). В качестве
исходных данных выбирались данные табл. 4 при l = 4. Как следует из рисунка, балочная
модель Тимошенко позволяет определять не только низшие частоты рассматриваемой
механической конструкции, но и соответствующие им формы колебаний. Максимальные
различия в формах колебаний при их расчете по рассмотренным схемам наблюдаются в
окрестностях торцевых сечений оболочки. Эти различия имеют локальный характер и
обусловлены проявлением краевых эффектов деформирования оболочки, которые уси-
ливаются при уменьшении ее относительной толщины.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
284 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
В свою очередь элементарная теория балок при выбранных параметрах системы дает
удовлетворительные результаты лишь при расчете первой формы колебаний.
Следует отметить, что при определении динамических характеристик рассматривае-
мой механической системы по предлагаемой расчетной схеме с использованием теории
балок Тимошенко проводилось сравнение с соответствующими табличными и графиче-
скими данными, которые получены в работе [11]. При этом было обнаружено их полное
совпадение.
Заключение. В работе построена математическая модель связанных неосесиммет-
ричных колебаний круговой цилиндрической оболочки и присоединенного к одному из
ее торцов абсолютно твердого тела. При этом показано, что в рамках линейной тео-
рии собственные колебания системы распадаются на два типа колебаний. Первый тип
обусловлен связанными колебаниями тела и оболочки в одной из плоскостей симметрии
системы, когда количество волн оболочки в окружном направлении равно единице.
При втором типе колебаний оболочка совершает пространственные неосесиммет-
ричные колебания с числом волн в окружном направлении, большим единицы, тогда как
тело при этом остается неподвижным. Минимальной частотой рассматриваемой упругой
системы будет меньшая из низших частот первого и второго типа колебаний.
Предложены приближенные решения полученных спектральных задач на основе их
эквивалентных вариационных формулировок. Анализ приведенных решений и их срав-
нение с имеющимися в литературе точными решениями задачи для второго типа колеба-
ний свидетельствует о том, что предложенная методика решения рассматриваемых задач
позволяет получать результаты расчета низших форм колебаний с достаточно высокой
точностью и в широком диапазоне входных параметров системы. Показано, что нали-
чие присоединенного к торцу оболочки твердого тела может привести к появлению в
системе низких частот.
При замене оболочки эквивалентной балкой Тимошенко построено точное решение
рассматриваемой задачи в ее упрощенной постановке. Полученный при этом алгоритм
расчета динамических характеристик системы позволяет проводить вычисления с еди-
ных позиций и для случаев более простых балочных теорий. Показано, что включение
деформаций сдвига и инерции вращения в уравнения балочной теории существенно улуч-
шает точность аппроксимации оболочки балкой. При этом погрешность такого прибли-
жения в значительной мере зависит от длины оболочки и массы присоединенного тела.
1. Бреславский В. Е. Исследование колебаний тонких оболочек, скрепленных с наполнителем // Тр. VIII
Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин (Ленинград, 21 – 28 мая, 1973г.). — М.: Наука, 1973. —
С. 271 – 276.
2. Бреславский В. Е. Продольные колебания цилиндрической оболочки, скрепленной с упруго-вязким
заполнителем и сосредоточенными массами // Пробл. машиностроения. — 1981. — № 14. — С. 27 – 32.
3. Паламарчук В. Г. Свободные колебания системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки
и абсолютно твердого тела // Прикл. механика. — 1978. — 14, № 4. — С. 56 – 62.
4. Trotsenko Yu. V. On equilibrium equations of cylindrical shell with attached rigid body // Nonlinear Oscillati-
ons. — 2001. — 4, № 3. — P. 422 – 431.
5. Швейко Ю. Ю., Гаврилов Ю. В., Брусиловский А. Д. О влиянии граничных условий на спектр соб-
ственных частот цилиндрических оболочек // Докл. науч.-техн. конф. Моск. энерг. ин-та. — 1965. —
С. 131 – 148.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ . . . 285
6. Троценко Ю. В. Cвободные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки //
Акуст. вiсн. — 2002. — 5, № 2. — С. 54 – 72.
7. Рабинович Б. И., Шмаков В. П., Кобычкин В. С. К теории колебаний конструкций, несущих упругие
резервуары с жидкостью // Исследования по теории сооружений. — 1970. — Вып. 18. — С. 68 – 84.
8. Троценко В. А., Кладинога В. С. Неосесимметричные колебания предварительно напряженной обо-
лочки вращения с присоединенным жестким диском // Прикл. механика. — 1994. — 30, № 7. — С. 17 – 24.
9. Forsberg K. Axisymmetric and beam-type vibrations of thin cylindrical shells // AIAA J. — 1969. — № 2. —
P. 221 – 227.
10. White M. W. D., Heppler G. R. Vibrations modes and frequensies of a Timoshenko beams with attached rigid
bodies // Trans. ASME. J. Appl. Mech. — 1995. — 62, № 1. — P. 193 – 199.
11. Rossi R. E., Laura P. A. A. Vibrations of a Timoshenko beam clamped at one end and carrying a finite mass
at the other // Appl. Acoust. — 1990. — 30, № 4. — P. 293 – 301.
12. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек // Судостроение. — 1962. — 431 с.
13. Weaver W. Jr., Timoshenko S. P., Yong D. H. Vibration problems in engineering. — 1990. — 624 p.
14. Cowper G. R. The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory // J. Appl. Mech. — 1966. — 33, № 2. —
P. 335 – 340.
Получено 03.03.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
|