О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач
Триточкова крайова задача для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь зводиться до сiм’ї двоточкових задач, розв’язки яких дослiджуються iз застосуванням чисельно-аналiтичної технiки....
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177014 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач / А.Н. Ронто, M. Ронто, Н.Н. Щобак // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 395-413. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177014 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770142021-02-10T01:25:46Z О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач Ронто, А.Н. Щобак, Н.Н. Ронто, M. Триточкова крайова задача для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь зводиться до сiм’ї двоточкових задач, розв’язки яких дослiджуються iз застосуванням чисельно-аналiтичної технiки. A three-point boundary-value problem for a system of nonlinear differential equations is transformed to a certain family of two-point problems, whose solutions are investigated by using numerical-analytic techniques. 2004 Article О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач / А.Н. Ронто, M. Ронто, Н.Н. Щобак // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 395-413. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177014 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Триточкова крайова задача для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь зводиться до сiм’ї
двоточкових задач, розв’язки яких дослiджуються iз застосуванням чисельно-аналiтичної технiки. |
| format |
Article |
| author |
Ронто, А.Н. Щобак, Н.Н. Ронто, M. |
| spellingShingle |
Ронто, А.Н. Щобак, Н.Н. Ронто, M. О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ронто, А.Н. Щобак, Н.Н. Ронто, M. |
| author_sort |
Ронто, А.Н. |
| title |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| title_short |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| title_full |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| title_fullStr |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| title_full_unstemmed |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| title_sort |
о параметризации трехточечных нелинейных краевых задач |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177014 |
| citation_txt |
О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач / А.Н. Ронто, M. Ронто, Н.Н. Щобак // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 395-413. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT rontoan oparametrizaciitrehtočečnyhnelinejnyhkraevyhzadač AT ŝobaknn oparametrizaciitrehtočečnyhnelinejnyhkraevyhzadač AT rontom oparametrizaciitrehtočečnyhnelinejnyhkraevyhzadač |
| first_indexed |
2025-07-15T14:58:27Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:58:27Z |
| _version_ |
1837725393128259584 |
| fulltext |
УДК 517.9
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
А. Н. Ронто
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: ar@imath.kiev.ua
М. Ронто
Inst. Math., Univ. Miskolc
3515, Miskolc, Miskolc-Egyetemváros, Hungary
e-mail: matronto@gold.uni-miskolc.hu
Н. М. Щобак
Ужгород. нац. ун-т
Украина, Ужгород, ул. Университетская, 14
e-mail: math1@univ.uzhgorod.ua
A three-point boundary-value problem for a system of nonlinear differential equations is transformed
to a certain family of two-point problems, whose solutions are investigated by using numerical-analytic
techniques.
Триточкова крайова задача для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь зводиться до сiм’ї
двоточкових задач, розв’язки яких дослiджуються iз застосуванням чисельно-аналiтичної тех-
нiки.
1. Введение. В настоящей работе рассматривается один подход к исследованию систе-
мы n нелинейных дифференциальных уравнений, подчиненных n линейным трехточе-
чным условиям, основанный на сведении исходной задачи к n-параметрическому семей-
ству подходящих двухточечных задач. Строится численно-аналитическая схема исследо-
вания существования решения и приближенного его нахождения с помощью метода ите-
ративного типа, часть вычислений по которому выполняется в аналитическом виде.
Известны различные методы изучения краевых задач, в том числе содержащих не-
известные параметры. Так, разнообразные итерационные схемы используются в [1 – 4]. В
[5, 6] применяются метод осреднения функциональных поправок и другие проекционно-
итеративные методы. Оценки числа решений некоторых сингулярных двухточечных за-
дач с параметрами получены в [7] топологическими методами. Различные варианты ме-
тода продолжения по параметру исследовались в [8]. Имеется большое количество работ,
в которых различные двухточечные и многоточечные краевые задачи исследуются чис-
ленными методами (см., например, работы [9, 10] и приведенную в них библиографию).
Заметим, что техника большинства исследований, посвященных численному отыска-
нию решений краевых задач, основывается на методе пристрелки (см., например, [9 –
12]). В частности, в [9] рассматривается двухточечная задача вида
c© А. Н. Ронто, М. Ронто, Н. М. Щобак, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3 395
396 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
y′(x) = f(x, y(x), λ1, λ2, . . . , λm), x ∈ [a, b], (1.1)
Ay(a) + By(b) = γ, (1.2)
где y : [a, b] → Rn, A и B — некоторые заданные матрицы размерности (m + n)× n, а λ1,
λ2, . . . , λm — неизвестные параметры. Метод пристрелки для задачи (1.1), (1.2) состоит
в том, что эта двухточечная задача заменяется задачей Коши для того же уравнения с
условиями
y(a) = s, (1.3)
причем значения неизвестных параметров λ = col(λ1, λ2, . . . , λm) и s = col(s1, s2, . . . , sn)
в решении y(·, s, λ) задачи (1.1), (1.3) требуется определить из n + m уравнений
Ay(a, s, λ) + By(b, s, λ) = γ. (1.4)
Утверждается, что двухточечная задача (1.1), (1.2) имеет столько же решений, сколько
система уравнений (1.4). Главным в этом подходе является численное составление и ис-
следование уравнения (1.4), что возможно, очевидно, лишь тогда, когда начальные задачи
(1.1), (1.3) имеют на отрезке [a, b] единственное решение при произвольных значениях λ
и s. В связи с этим обычно предполагают, что функция f в правой части (1.1) непрерывна
на всем пространстве и везде удовлетворяет условию Липшица по y ∈ Rn.
При использовании численных методов, как правило, не рассматриваются случаи,
когда ищутся решения, принимающие значения в заданном (возможно, ограниченном)
замкнутом множестве D ⊂ Rn, и, соответственно, подходящие условия регулярности на-
кладываются на функцию f только на множестве [a, b] × D × Rm. Например, в случае
скалярной двухточечной задачи (1.2) для уравнения
y′(x) = y2(x), x ∈ [a, b], (1.5)
глобальному условию Липшица правая часть (1.5), очевидно, не удовлетворяет. Локаль-
ное решение соответствующей задачи Коши (1.5), (1.3) имеет вид
y(x, s) = − 1
x− s−1 − a
, x ∈ [a, b].
Следовательно, если 0 ≤ s−1 ≤ b − a, то решение начальной задачи (1.5), (1.3) непро-
должимо на весь промежуток [a, b], и поэтому даже составление уравнения (1.4) не имеет
смысла.
Указанные трудности в ряде случаев можно преодолеть с использованием подходя-
щих численно-аналитических методов (см., например, [13 – 18]).
2. Постановка задачи. Рассмотрим трехточечную краевую задачу с неразделяющи-
мися линейными краевыми условиями вида
x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ [0, T ], (2.1)
Ax(0) + Bx(ξ) + x(T ) = d, (2.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 397
где f : [0, T ] ×D → Rn, D — замыкание ограниченной области в Rn, {A,B} ⊂ GLn(R),
ξ ∈ (0, T ). В данной работе указывается один способ исследования разрешимости зада-
чи (2.1), (2.2), основанный на введении в краевые условия подходящего числа параметров
и позволяющий в аналитическом виде строить приближенные решения.
Предполагается, что функция f : [0, T ]×D → Rn непрерывна и, кроме того, найдет-
ся такая постоянная матрица K с неотрицательными компонентами {kij}n
i,j=1, что при
произвольных {u, v} ⊂ D имеет место неравенство
|f(t, u)− f(t, v)| ≤ K|u− v|. (2.3)
Здесь и всюду далее знаки ≤, ≥, |·|, max и min понимаются покомпонентно.
К виду (2.2), очевидно, всегда можно привести трехточечное краевое условие
Ax(0) + Bx(ξ) + Cx(T ) = d
с неособенной матрицей C (достаточно заменить A, B и d в (2.2) на C−1A, C−1B и C−1d
соответственно). Условие (2.2) неразделяющееся, если только обе матрицы A и B не рав-
ны нулю.
Определение 2.1. Для произвольного вектора ρ = col(ρ1, ρ2, . . . , ρn) с неотрицатель-
ными компонентами под открытой ρ-окрестностью вектора x = col(x1, x2, . . . , xn)
будем понимать множество B(x, ρ), состоящее из тех y = col(y1, y2, . . . , yn), для кото-
рых выполняются неравенства
|yk − xk| < ρk, k = 1, 2, . . . , n.
Принадлежность вектора y замкнутой ρ-окрестности B̄(x, ρ) вектора x определяется
неравенствами
|yk − xk| ≤ ρk, k = 1, 2, . . . , n. (2.4)
Замечание 2.1. Покомпонентные оценки типа (2.3), (2.4), как правило, точнее соот-
ветствующих неравенств в терминах норм, поскольку полнее используют алгебраичес-
кую структуру пространства Rn.
По заданной функции f определим вектор
δD(f) :=
1
2
[
max
(t,x)∈[0,T ]×D
f(t, x)− min
(t,x)∈[0,T ]×D
f(t, x)
]
. (2.5)
Справедлива оценка [16, 19]
δD(f) ≤ max
(t,x)∈[0,T ]×D
|f(t, x)|. (2.6)
Напомним, что операции вычисления абсолютной величины, максимума и минимума
здесь понимаются в покомпонентном смысле. Равенство в (2.6) имеет место тогда и толь-
ко тогда, когда
max
(t,x)∈[0,T ]×D
fk(t, x) = − min
(t,x)∈[0,T ]×D
fk(t, x)
для каждого k = 1, 2, . . . , n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
398 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
Далее, для {z, λ} ⊂ Rn положим
β(z, λ) :=
T
2
δD(f) + |d−Bλ− (A + 1n)z|, (2.7)
где 1n — единичная матрица размерности n.
Ограничимся рассмотрением класса краевых задач вида (2.1), (2.2), для которых мак-
симальное собственное значение r(K) неотрицательной матрицы K в условии Липшица
(2.3) удовлетворяет условию∗
r(K) <
10
3T
. (2.8)
3. Преобразование к двухточечной задаче с параметром в краевых условиях. За-
меним значение искомого решения задачи (2.1), (2.2) в точке ξ вектором n параметров
(λk)n
k=1, принимающим значения в некотором множестве Λ ⊂ D:
x(ξ) = λ. (3.1)
Любая функция x, для которой справедливы соотношения (3.1) и (2.2), очевидно, удовле-
творяет равенству
Ax(0) + x(T ) = d−Bλ. (3.2)
Будем рассматривать задачу (2.1), (3.2), в которой двухточечное краевое условие (3.2)
содержит неизвестный параметр λ ∈ Λ.
Замечание 3.1. Ясно, что множество решений исходной трехточечной задачи (2.1),
(2.2) совпадает с множеством тех решений n-параметрического семейства двухточечных
задач (2.1), (3.2), которые удовлетворяют дополнительному условию (3.1).
Допустим, что определенное формулой
Γ :=
{
z ∈ D : B(z, β(z, λ)) ⊂ D для всех λ ∈ Λ
}
, (3.3)
где β : D × Λ → Rn
+ задано равенством (2.7), подмножество Γ множества D непусто:
Γ 6= ∅.
Свяжем с параметризованной задачей (2.1), (3.2) последовательность функций
xm+1(t, z, λ) := z +
t∫
0
f(s, xm(s, z, λ))ds− tT−1
T∫
0
f(s, xm(s, z, λ))ds+
+ tT−1[d−Bλ−Az − z], (3.4)
где λ ∈ Λ, z ∈ Γ, m = 0, 1, 2, . . . , x0(t, z, λ) ≡ z. Нетрудно проверить, что при каждом
m ≥ 0 и всех значениях параметров λ ∈ Λ и z ∈ Γ справедливо равенство xm(0, z, λ) = z
и, кроме того,
xm(T, z, λ) = d−Bλ−Az, (3.5)
∗См. п. 4, замечание 4.4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 399
т. е. функция (3.4) удовлетворяет двухточечному условию (3.2).
Замечание 3.2. Двухточечное условие (3.2), очевидно, содержит в явном виде только
некоторые p из параметров λ1, λ2, . . . , λn, где p = rankB. Поэтому соотношение (3.1),
согласно которому осуществляется переход от трехточечного условия (2.2) к двухточеч-
ному условию (3.2), можно заменить равенством
Bx(ξ) = Bλ. (3.6)
Иными словами, достаточно рассматривать только те решения двухточечной задачи (2.1),
(3.2), для которых выполнено дополнительное условие (3.6). При этом сразу исключа-
ются из рассмотрения те n − p параметров, значения которых определять не требуется.
В случае, когда p = n (т. е. det B 6= 0), условия (3.6) и (3.1), очевидно, означают одно и
то же.
Можно было бы также построить подобную схему, заменив трехточечное условие
(2.2) условием
Ax(0) + x(T ) = d− µ (3.7)
и искать те решения x двухточечной задачи (2.1), (3.7), для которых Bx(ξ) = µ.
4. Сходимость последовательных приближений. Укажем условия, достаточные для
равномерной сходимости рекуррентной последовательности функций (3.4), и установим
связь ее предела с множествами решений задач (2.1), (2.2) и (2.1), (3.2).
Теорема 4.1. Предположим, что для непрерывной функции f : [0, T ]×D → Rn выпол-
нено условие (2.3) с матрицей K, для которой имеет место неравенство (2.8). Пусть,
кроме того, матрицы A, B и вектор d таковы, что Γ 6= ∅. Тогда:
1) последовательность (3.4) сходится равномерно по t ∈ [0, T ] при всех (z, λ) ∈
∈ Γ× Λ;
2) предельная функция
x∗(t, z, λ) := lim
m→+∞
xm(t, z, λ) (4.1)
последовательности (3.4) при всех (z, λ) ∈ Γ × Λ представляет собой единственное
решение интегрального уравнения
x(t) := z +
t∫
0
f(s, x(s))ds− tT−1
T∫
0
f(s, x(s))ds+
+ tT−1[d−Bλ−Az − z], t ∈ [0, T ], (4.2)
или, что то же, единственное решение интегро-дифференциального уравнения
x′(t) = f(t, x(t)) + T−1∆(z, λ), t ∈ [0, T ], (4.3)
где
∆(z, λ) := d−Bλ−Az − z −
T∫
0
f(s, x∗(s, z, λ))ds (4.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
400 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
для (z, λ) ∈ Γ× Λ, удовлетворяющее краевым условиям (3.2);
3) для всех (t, z, λ) ∈ [0, T ]× Γ× Λ справедлива оценка
|x∗(t, z, λ)− xm(t, z, λ)| ≤ h(t, z, λ), (4.5)
где
h(t, z, λ) :=
20t
9
(
1− t
T
)
Qm(1n −Q)−1[δD(f) + K|d−Bλ−Az − z|]
и Q :=
3T
10
K.
Доказательство. Будем рассуждать стандартным образом, т. е. покажем, что после-
довательность (3.4) является фундаментальной последовательностью в банаховом про-
странстве C([0, T ], Rn) с обычной нормой. Докажем сначала, что при (z, λ) ∈ Γ × Λ зна-
чения всех функций (3.4) содержатся в D. Для каждой непрерывной функции x : [0, T ] →
→ Rn имеет место оценка (см., например, [17], лемма 4, случай θ(t) = t)∣∣∣∣∣∣
t∫
0
x(τ)− 1
T
T∫
0
x(s)ds
dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
2
α1(t)
[
max
τ∈[0,T ]
x(τ)− min
τ∈[0,T ]
x(τ)
]
,
где
α1(t) := 2t
(
1− tT−1
)
, t ∈ [0, T ]. (4.6)
Очевидно, maxt∈[0,T ] α1(t) = T/2. Поэтому при m = 0 из (3.4), в силу (2.5) и (2.7), вытека-
ет, что для произвольных (t, z, λ) ∈ [0, T ]× Γ× Λ
|x1(t, z, λ)− z| ≤ α1(t)δD(f) + |d−Bλ− z −Az| ≤ β(z, λ).
Следовательно, в силу (3.3), при всех таких (t, z, λ) имеем xm(t, z, λ) ∈ D, m = 0, 1, 2, . . . .
Рассуждая по аналогии с доказательством теоремы 1 из [20], можно показать, что при
всех m ≥ 0, j ≥ 0 и (t, z, λ) ∈ [0, T ]× Γ× Λ
|xm+j(t, z, λ)− xm(t, z, λ)| ≤ 10t
9
α1(t)Qm
[j−1∑
i=0
QiδD(f)+
+ K
j−1∑
i=0
Qi−1|d−Bλ− z −Az|
]
. (4.7)
Поскольку, в силу (2.8), limm→+∞Qm = 0 и
∑+∞
i=0 Qi = (1n − Q)−1, из (4.7) очевидно,
что последовательность (3.4) фундаментальна в равномерной метрике. Устремляя в (4.7)
j к +∞, получаем, что равномерный предел (4.1) последовательности (3.4) удовлетворя-
ет неравенству (4.5). Переходя к пределу при m → +∞ в (3.4) и (3.5), убеждаемся, что
функция (4.1) удовлетворяет уравнениям (4.2), (4.3) и условию (3.2).
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 401
Замечание 4.1. Из вида уравнения (4.2) ясно, что его единственное в условиях теоре-
мы 4.1 решение (4.1) при всех (z, λ) ∈ Γ× Λ удовлетворяет условию
x∗(0, z, λ) = z. (4.8)
Замечание 4.2. При исследовании содержащих параметры задач типа (2.1), (3.2) в не-
которых работах строятся два разных итерационных процесса для неизвестной функции
и для вектора параметров [3, 14, 15].
Вид „возмущенного” уравнения (4.3) наводит на мысль, что параметризованную кра-
евую задачу (2.1), (3.2) можно интерпретировать как семейство задач Коши
x(0) = z (4.9)
для дифференциальных уравнений вида
x′(t) = f(t, x(t)) + µ, t ∈ [0, T ], (4.10)
где вектор параметров µ принимает значения в соответствующем множестве. Более точ-
но, имеет место следующее утверждение.
Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 4.1. Пусть (z, λ) ∈
∈ Γ × Λ и µ ∈ Rn. Тогда для того чтобы некоторое решение задачи Коши (4.10), (4.9)
удовлетворяло также и двухточечным условиям (3.2), необходимо и достаточно, что-
бы параметр µ в (4.10) был задан равенством
µ =
1
T
∆(z, λ), (4.11)
где ∆ : Γ× Λ → Rn — функция, определенная формулой (4.4).
Замечание 4.3. Из теоремы 4.1 вытекает, что в указанных выше условиях при всех
(z, λ) ∈ Γ × Λ существует предельная функция (4.1) рекуррентной последовательности
(3.4), и, следовательно, отображение (4.4) определено однозначным образом.
Доказательство теоремы 4.2. Достаточность. Пусть в (4.10) µ = T−1∆(z, λ), где
z и λ — некоторые заданные векторы из Γ и Λ соответственно, а ∆ определено форму-
лой (4.4). Согласно замечанию 4.3, выражение ∆(z, λ) имеет смысл при всех (z, λ) ∈ Γ×Λ.
Из теоремы 4.1 следует, что при заданных z и λ равномерный предел (4.1) соответству-
ющей последовательности (3.4) является единственным решением двухточечной задачи
(4.3), (3.2). Как указано в замечании 4.1, эта функция удовлетворяет и начальному усло-
вию (4.8), т. е. является решением задачи Коши (4.10), (4.9) при заданном формулой (4.11)
значении параметра µ.
Необходимость. Пусть z ∈ Γ, λ ∈ Λ и µ̄ ∈ Rn — произвольным образом заданные
векторы и x̄ : [0, T ] → Rn — решение задачи Коши (4.9) для уравнения
x′(t) = f(t, x(t)) + µ̄, t ∈ [0, T ], (4.12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
402 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
при заданном значении λ удовлетворяющее двухточечному условию (3.2). Предположим,
что найдется некоторое другое значение ¯̄µ, при котором некоторое решение ¯̄x задачи
(4.9) для уравнения
x′(t) = f(t, x(t)) + ¯̄µ, t ∈ [0, T ], (4.13)
удовлетворяет двухточечному условию (3.2). Из (4.9), (4.12) и (4.13) очевидно, что функ-
ции x̄ и ¯̄x удовлетворяют интегральным уравнениям
x̄(t) = z +
t∫
0
f(s, x̄(s))ds + µ̄t, t ∈ [0, T ], (4.14)
и
¯̄x(t) = z +
t∫
0
f(s, ¯̄x(s))ds + ¯̄µt, t ∈ [0, T ], (4.15)
соответственно. При t = T из (4.14), (4.15) вытекают соотношения
T µ̄ = x̄(T )− z −
T∫
0
f(s, x̄(s))ds (4.16)
и
T ¯̄µ = ¯̄x(T )− z −
T∫
0
f(s, ¯̄x(s))ds. (4.17)
Функция x̄, по предположению, удовлетворяет двухточечному условию (3.2),
Ax̄(0) + x̄(T ) = d−Bλ,
и условию Коши x̄(0) = z, откуда следует равенство
x̄(T ) = d−Bλ−Az.
Аналогично проверяется равенство
¯̄x(T ) = d−Bλ−Az.
Следовательно, из (4.16) и (4.17) вытекает
µ̄ =
1
T
d−Bλ−Az − z −
T∫
0
f(s, x̄(s))ds
(4.18)
и
¯̄µ =
1
T
d−Bλ−Az − z −
T∫
0
f(s, ¯̄x(s))ds
. (4.19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 403
Внося (4.18) и (4.19) соответственно в (4.14) и (4.15), получаем, что для каждого t ∈ [0, T ]
x̄(t) = z +
t∫
0
f(s, x̄(s))ds +
t
T
d−Bλ−Az − z −
T∫
0
f(s, x̄(s))ds
(4.20)
и
¯̄x(t) = z +
t∫
0
f(s, x̄(s))ds +
t
T
d−Bλ−Az − z −
T∫
0
f(s, ¯̄x(s))ds
. (4.21)
Напомним, что здесь z ∈ Γ, а λ ∈ Λ. Следовательно, аналогично доказательству теоре-
мы 4.1, исходя из вида уравнений (4.20), (4.21) и определения (3.3) множества Γ, можно
показать, что все значения функций ¯̄x и x̄ содержатся в множестве D:
x̄([0, T ]) ∪ ¯̄x([0, T ]) ⊂ D. (4.22)
Из (4.20) и (4.21) очевидно, что
¯̄x(t)− x̄(t) =
t∫
0
[f(s, ¯̄x(s))− f(s, x̄(s))] ds−
− t
T
T∫
0
[f(s, ¯̄x(s))− f(s, x̄(s))] ds, t ∈ [0, T ],
и поэтому, в силу соотношения (4.22) и условия Липшица (2.3), функция
r(t) := |¯̄x(t)− x̄(t)|, t ∈ [0, T ],
удовлетворяет интегральному неравенству
r(t) ≤ K
t∫
0
r(s)ds +
t
T
T∫
0
r(s)ds
≤
≤ Kα1(t) max
s∈[a,b]
r(s), t ∈ [a, b], (4.23)
где функция α1 задана формулой (4.6). Используя (4.23) рекуррентно, приходим к нера-
венству
r(t) ≤ Kmαm(t) max
s∈[a,b]
r(s), t ∈ [a, b], (4.24)
где натуральное m произвольно, а
αk(t) :=
(
1− t
T
) t∫
0
αk−1(s)ds +
t
T
T∫
0
αk−1(s)ds (4.25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
404 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
для всех t из [0, T ] и k = 2, 3, . . . . Согласно лемме 2.4 из [16], функции (4.25) при всех
t ∈ [0, T ] и k = 1, 2, . . . допускают оценку
αk(t) ≤
10
9
α1(t)
(
3T
10
)k−1
. (4.26)
Поэтому из (4.24) вытекает, что при каждом натуральном m
r(t) ≤ 10
9
Kα1(t)
(
3T
10
K
)m−1
max
s∈[a,b]
r(s), t ∈ [a, b].
Устремляя m в последнем неравенстве к +∞ и учитывая условие (2.8), заключаем, что
r ≡ 0 на [0, T ], т. е. функции x̄ и ¯̄x совпадают, и поэтому µ̄ = ¯̄µ. Полученное противо-
речие доказывает, что µ = T−1∆(z, λ) — единственное значение параметра µ в уравне-
нии (4.10), при котором решение задачи Коши (4.10), (4.9) удовлетворяет двухточечному
условию (3.2).
Теорема доказана.
Замечание 4.4. Из леммы 3 работы [17] вытекает, что при произвольно малом по-
ложительном ε всегда найдется такой номер kε, что все функции (4.25), начиная с kε-й,
допускают оценку
αk(t) ≤
(
T
q
+ ε
)k−kε
αkε(t), t ∈ [0, T ], k ≥ kε,
где q ≈ 3,416131. Воспользовавшись этим неравенством вместо оценки (4.26) и соответ-
ствующим образом изменив доказательства теорем 4.1 и 4.2, можно показать, что не-
равенство (2.8) с сохранением всех установленных здесь утверждений можно заменить
несколько менее ограничительным условием
r(K) <
q
T
.
При этом изменятся некоторые технические детали (например, вид функции h в оценке
(4.5)).
Выясним связь определенной в условиях теорем 4.1 и 4.2 функции (4.1) с множеством
решений двухточечной задачи (2.1), (3.2), содержащей свободный параметр λ ∈ Λ.
Теорема 4.3. В условиях теоремы 4.1 зависящая от параметров (z, λ) ∈ Γ× Λ функ-
ция x∗(·, z, λ), заданная формулой (4.1), является решением двухточечной задачи (2.1),
(3.2) с параметром λ тогда и только тогда, когда z и λ удовлетворяют соотношениям
T∫
0
f(s, x∗(s, z, λ))ds = d−Bλ−Az − z. (4.27)
Функция (4.1) является решением исходной трехточечной задачи (2.1), (2.2) тогда и
только тогда, когда пара (z, λ) удовлетворяет условию (4.27), и, кроме того,
x∗(ξ, z, λ) = λ. (4.28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 405
Доказательство. Из теоремы 4.1 следует, что при всех (z, λ) ∈ Γ×Λ функция x∗(·, z, λ)
является решением двухточечной задачи (4.3), (3.2). Уравнение (4.3) совпадает с уравне-
нием (2.1) тогда и только тогда, когда z и λ удовлетворяют условию ∆(z, λ) = 0, т. е.
выполнено равенство (4.27). Второе утверждение теоремы вытекает из замечания 3.1.
При практической реализации рассматриваемой численно-аналитической схемы есте-
ственно фиксировать некоторый номер итерации m в (3.4) и использовать xm(·, z, λ) в
качестве приближения к неизвестной функции x∗(·, z, λ), существование которой утвер-
ждается в теореме 4.1. При этом вместо (4.27), (4.28) возникают „приближенные опреде-
ляющие уравнения”
T∫
0
f(s, xm(s, z, λ))ds = d−Bλ−Az − z (4.29)
и
z +
t∫
0
f(s, xm(s, z, λ))ds− tT−1
T∫
0
f(s, xm(s, z, λ))ds+
+ tT−1[d−Bλ−Az − z] = λ, (4.30)
из которых можно искать подходящие значения пары параметров (z, λ) ∈ Γ×Λ. Если сис-
тема 2n уравнений (4.29), (4.30) имеет изолированное решение (z̄, λ̄) ∈ Γ × Λ, с исполь-
зованием топологических и функционально-аналитических методов (см., например, те-
орему 3.1 из [16] и теорему 19.2 в [21]) при соответствующих дополнительных предпо-
ложениях можно доказать разрешимость и системы (4.27), (4.28), тем самым установив
существование решения исходной трехточечной задачи. При этом функцию
x̄m(t) := xm(·, z̄, λ̄) (4.31)
можно рассматривать как приближение к одному из решений задачи (2.1), (2.2).
5. Пример двумерной трехточечной задачи. Рассмотрим следующую трехточечную
задачу:
x′1(t) = x2(t), (5.1a)
x′2(t) =
1
8
t x2 −
1
2
x2
2 − 1
2
x1 +
9
32
+
1
16
t2, t ∈ [0, 1]; (5.1b)
x2(0) + x1
(
1
2
)
+ x1(1) =
9
32
, (5.1c)
x1(0) + x2(1) =
5
16
. (5.1d)
Условия (5.1c), (5.1d), очевидно, можно записать в виде (2.2) с T = 1 и
A :=
[
0 1
1 0
]
, B :=
[
1 0
0 0
]
, d :=
9
32
5
16
, ξ :=
1
2
. (5.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
406 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
Ограничимся рассмотрением тех решений системы (5.1a), (5.1b), все значения которых
содержатся во множестве
D :=
{
(x1, x2) : |x1| ≤ 1, |x2| ≤
3
4
}
. (5.3)
Нетрудно проверить, что для функции f : [0, 1]×D → R2, заданной формулой
f(t, x1, x2) :=
x2
1
8
t x2 −
1
2
x2
2 − 1
2
x1 +
9
32
+
t2
16
, (t, x1, x2) ∈ [0, 1]×D,
условие Липшица (2.3) при всех t ∈ [0, 1] и {u, v} ⊂ D выполнено с матрицей
K :=
0 1
1
2
7
8
. (5.4)
Максимальное собственное число матрицы (5.4) равно (7 +
√
177)/16 ≈ 1,27, что меньше
10
3
, и, значит, выполняется неравенство (2.8).
Будем искать решения трехточечной задачи (5.1) среди решений системы (5.1a), (5.1b),
удовлетворяющих параметризованным двухточечным условиям
x2(0) + x1(1) =
9
32
− λ1, (5.5)
x1(0) + x2(1) =
5
16
. (5.6)
Условия (5.5), (5.6), очевидно, совпадают с (3.2) при заданных равенствами (5.2) матрицах
A, B и векторе d. За область изменения двумерного вектора параметров λ = (λ1, λ2)
примем, например, содержащийся в множестве (5.3) прямоугольник
Λ :=
{
(λ1, λ2) : |λ1| ≤
1
4
, |λ2| ≤
1
2
}
. (5.7)
Решение (x1, x2) задачи (5.1a), (5.1b), (5.5), (5.6) является решением исходной трехто-
чечной задачи (5.1) тогда и только тогда, когда выполняются дополнительные условия
x1
(
1
2
)
= λ1 и x2
(
1
2
)
= λ2.
Воспользуемся подходом, основанным на теореме 4.1, для чего проверим выполнение
ее условий. Величина (2.5) в рассматриваемом случае задается равенством
δD(f) =
1
4
3
185
64
, (5.8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 407
в чем можно убедиться непосредственными вычислениями. Далее, из (5.3), (5.7), (5.2) и
(5.8) ясно, что компоненты определенной формулой (2.7) функции
(
β1
β2
)
: D × Λ → R2
для данной задачи имеют вид
β1(z1, z2, λ1, λ2) =
3
8
+
∣∣∣∣ 9
32
− λ1 − z1 − z2
∣∣∣∣ ,
β1(z1, z2, λ1, λ2) =
185
512
+
∣∣∣∣ 5
15
− z1 − z2
∣∣∣∣ .
Следовательно, согласно определению (3.3) множества Γ, необходимое и достаточное
условие принадлежности этому множеству некоторой точки (z1, z2) из D состоит в том,
чтобы при всех λ1 ∈
[
−1
4
,
1
4
]
выполнялись неравенства
∣∣∣∣ 9
32
− λ1 − z1 − z2
∣∣∣∣ ≤ 5
8
, (5.9)
∣∣∣∣ 5
15
− z1 − z2
∣∣∣∣ ≤ 199
512
. (5.10)
Множество Γ таких пар (z1, z2) ∈ D, очевидно, непусто. Таким образом, все условия те-
оремы 4.1 в данном случае выполнены, и поэтому при всех (z, λ) ∈ Γ × Λ на [0, 1] задана
функция (4.1), о которой идет речь в теоремах 4.2 и 4.3.
Замечание 5.1. В некоторых более ранних работах (см., например, [13]) в определении
множеств типа (3.3) вместо величины вида (2.5) рассматривался вектор из правой части
оценки (2.6). В данном примере правая часть (2.6) равна
1
4
[
3
5
]
. Вследствие этого вместо
(5.9), (5.10) нужно было бы потребовать выполнения более жестких неравенств, которые
в данном примере не имеют места, и, следовательно, множество Γ оказалось бы пустым.
Построим приближенные решения задачи (5.1), воспользовавшись подходом, указан-
ным в конце п. 4. Для этого вычислим некоторые из функций рекуррентной последова-
тельности (3.4) с применением пакета символических вычислений Maple. Положим ну-
левую итерацию тождественно равной z, z ∈ Γ. Тогда при m = 1 из (3.4) получим
x11(t, z1, z2, λ1, λ2) = z1 +
9
32
t− t λ1 − z1 t− z2 t, (5.11)
x12(t, z1, z2, λ1, λ2) = z2 +
7
24
t +
1
48
t3 +
1
16
z2 t2 − 17
16
z2 t− z1 t (5.12)
для всех t ∈ [0, 1], (z1, z2) ∈ Γ и λ1, λ2, удовлетворяющих неравенствам
|λ1| ≤
1
4
, |λ2| ≤
1
2
.
Здесь и ниже символами xk1 и xk2 обозначены соответственно первая и вторая компо-
ненты вектора xk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
408 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
Система приближенных определяющих уравнений (4.29), (4.30) для задачи (5.1) при
m = 1 имеет вид
25
192
− 143
96
z2 −
1
2
z1 − λ1 = 0,
40391
483840
− 28157
23040
z2 −
583
720
z1 +
827
5120
z2
2 −
31
192
z2 z1 +
1
6
z2
1 −
1
4
λ1 = 0,
5
8
z1 +
313
3072
− 3
8
z2 −
3
2
λ1 = 0,
129067
294912
z2 +
98569
589824
− 899
1536
z1 −
63
1024
z2
2 +
1
1024
z2 z1 +
1
16
z2
1 −
1
16
λ1 − λ2 = 0.
Замечание 5.2. Ранг матрицы B, соответствующей двухточечным условиям (5.1c), (5.1d)
при их записи в виде (2.2), равен 1
(
условия не содержат в явном виде x2
(1
2
))
. Поэтому,
в силу замечания 3.2, как приведенные выше, так и все прочие определяющие уравне-
ния можно не решать относительно параметра λ2, ибо его значение в данной задаче не
играет никакой роли. В настоящем примере для иллюстрации подхода мы записываем
все уравнения полностью.
Приближенно решая последнюю систему уравнений, получаем
z1 ≈ 0,06775109879, z2 ≈ 0,006168107627, (5.13)
λ1 ≈ 0,08714487359, λ2 ≈ 0,125. (5.14)
Подставляя (5.13), (5.14) в (5.11) и (5.12), находим функцию вида (4.31) — „первое при-
ближение” к решению трехточечной задачи (5.1), соответствующую вычисленным зна-
чениям (5.13), (5.14) параметров z1, z2 и λ1, λ2:
x̄11(t) = 0,06775109879 + 0,1201859200 t,
x̄12(t) = 0, 006168107627 + 0,2173619535 t +
t3
48
+ 0,0003855067267 t2.
(5.15)
Заметим, что данная трехточечная задача (5.1) имеет решение
x1(t) =
t2
8
+
1
16
, x2(t) =
t
4
, t ∈ [0, 1], (5.16)
проходящее в момент времени 0 через точку
( 1
16
, 0
)
множества Γ.
На рис. 1 и 2 изображены графики соответственно первой и второй компонент точно-
го решения (5.16) задачи (5.1) (крестики) и его „первого приближения” (5.15) (сплошная
линия). Компоненты отклонения „первого приближения” (5.15) от решения (5.16), т. е.
функции x1 − x̄11 и x2 − x̄12, показаны соответственно на рис. 3 и 4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 409
Рис. 1. Первая компонента точного решения (5.16) и его
„первого приближения” (5.15).
Рис. 2. Вторая компонента точного решения (5.16) и его
„первого приближения” (5.15).
С использованием найденных выше формул (5.11), (5.12) для первой итерации можно
аналогично построить вторую итерацию x2(·, z1, z2, λ1, λ2) (m = 2 в формуле (3.4)), ком-
поненты которой имеют вид
x21(t, z1, z2, λ1, λ2) = z1 +
t4
192
+
t3
48
z2 +
7t2
48
− 17t2
32
z2 −
t2
2
z1−
− 47t
96
z2 +
25t
192
− t
2
z1 − tλ1, t ∈ [0, 1], (5.17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
410 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
Рис. 3.Погрешность первой компоненты „первого прибли-
жения” (5.15) по отношению к решению (5.16).
Рис. 4. Погрешность второй компоненты „первого прибли-
жения” (5.15) по отношению к решению (5.16).
и
x22(t, z1, z2, λ1, λ2) = z2 +
176471
483840
t− 28157
23040
z2t +
17 t3
288
z2 +
t2
6
z2 +
t2
4
z1−
− t6z2
4608
− 943 t
720
z1 −
1733
5120
z2
2t +
17 t5z2
3840
+
t5z1
240
− t5z2
2
2560
−
− t4z2
128
+
17 t4z2
2
1024
− 107 t3z2
2
512
+
t3z1
18
− t3z2
1
6
+
65 t3
3456
− 9 t2
128
−
− t5
1440
− t7
32256
+
t2
2
z2z1 +
17 t2
32
z2
2 +
t2
4
λ1 +
t
6
z2
1−
− t
4
λ1 +
t4
64
z2z1 −
31
192
tz2z1 −
17
48
t3z2z1, t ∈ [0, 1], (5.18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 411
Рис. 5. Первая компонента решения (5.16) и ее „второе
приближение” (5.21).
Рис. 6. Вторая компонента решения (5.16) и ее „второе
приближение” (5.22).
и записать соответствующую систему уравнений (4.29), (4.30) для нахождения значений
z1, z2, λ1, λ2. Последняя система, как показывают вычисления, имеет приближенное ре-
шение
z1 ≈ 0,06242777432, z2 ≈ 0,0001215436768, (5.19)
λ2 ≈ 0,125, λ1 ≈ 0,09364329365. (5.20)
Подставляя (5.19), (5.20) в (5.17) и (5.18), получаем „второе приближение”, компонен-
ты которого имеют вид
x̄21(t) = 0,06242777432 +
t4
192
+ 0,2532159933 · 10−5 t3+
+ 0,1145548760 t2 + 0,0052916467 t, t ∈ [0, 1], (5.21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
412 А. Н. РОНТО, М. РОНТО, Н. М. ЩОБАК
Рис. 7. Погрешность „второго приближения” (5.21) пер-
вой компоненты решения (5.16).
Рис. 8. Погрешность „второго приближения” (5.22) вто-
рой компоненты решения (5.16).
и
x̄22(t) = −0,2637666597 · 10−7 t6 + 0,2600559795 t + 0,0001215436768−
− 0,8307568908 · 10−6 t4 + 0,02163102627 t3 − 0,03127067403 t2−
− 0,0004337906399 t5 − t7
32256
, t ∈ [0, 1], (5.22)
соответственно.
На рис. 5 изображены графики первой компоненты решения (5.16) задачи (5.1) (крес-
тики) и ее „второго приближения” (5.21) (сплошная линия), а на рис. 6 — графики второй
компоненты решения (5.16) (крестики) и ее „второго приближения” (5.22) (сплошная ли-
ния). Графики компонент отклонения „второго приближения” (5.21) и (5.22) от решения
(5.16), т. е. функции x1 − x̄21 и x2 − x̄22, изображены соответственно на рис. 7 и 8.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ТРЕХТОЧЕЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 413
Расчеты показывают, что абсолютная погрешность построенного по указанной схеме
третьего приближения составляет 0,00035 для первой компоненты решения и 0,0001 для
второй его компоненты.
1. Goma I. A. Method of successive approximations in a two-point boundary problem with parameter // Укр.
мат. журн. — 1977. — 29, № 6. — С. 594 – 599.
2. Хосабеков О. Достаточные условия сходимости метода Ньютона – Канторовича для краевой задачи с
параметром // Докл. АН ТаджССР. — 1973. — 16, № 8. — С. 14 – 17.
3. Курпель Н. С., Марусяк А. Г. Об одной многоточечной краевой задаче для дифференциальных урав-
нений с параметрами // Укр. мат. журн. – 1980. — 32, № 2. — С. 223 – 226.
4. Лучка А. Ю. Применение итерационных процессов к краевым задачам для дифференциальных урав-
нений с параметрами // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1989. — № 10. — С. 22 – 27.
5. Ахмедов К. Т., Сваричевская Н. А., Ягубов М. А. Приближенное решение двухточечной краевой за-
дачи с параметром методом осреднения функциональных поправок // Докл. АН АзССР. — 1973. — 29,
№ 8. — С. 3 – 7.
6. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993.
7. Fečkan M. Parametrized singular boundary value problems // J. Math. Anal. and Appl. — 1994. — 188, № 2.
— P. 417 – 425.
8. Gaines R. E., Mawhin J. L. Coincidence degree, and nonlinear differential equations // Lect. Notes Math.
— Berlin etc.: Springer, 1977. — 568.
9. Keller H. B. Numerical methods for two-point boundary-value problems. — New York: Dover Publ., Inc.,
1992.
10. Ascher U. M., Mattheij R. M., and Russell R. D. Numerical solution of boundary value problems for ordinary
differential equations // Clas. in Appl. Math. — Philadelphia: SIAM, 1995. — № 13.
11. Bhattacharyya T., Binding P. A., and Seddighi K. Multiparameter Sturm – Liouville problems with eigenpa-
rameter dependent boundary conditions // J. Math. Anal. and Appl. — 2001. — 264, № 2. — P. 560 – 576.
12. Abramov A., Ul’yanova V., and Yukhno L. A method for solving the multiparameter eigenvalue problem for
certain systems of differential equations // Comput. Math. Math. Phys. — 2000. — 40, № 1. — P. 18 – 26.
13. Samoilenko A. M., Ronto N. I. Numerical-analytic methods of investigating periodic solutions. — Moscow:
Mir, 1980.
14. Собкович Р. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений первого порядка с па-
раметрами // Укр. мат. журн. — 1981. — 33, № 6. — C. 828 – 834.
15. Собкович Р. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения первого порядка с несколь-
кими параметрами // Там же. — 1982. — 34, № 6. — C. 796 – 802.
16. Rontó M., Samoilenko A. M. Numerical-analytic methods in the theory of boundary value problems for
ordinary differential equations. — Singapore: World Sci., 2001.
17. Ronto A., Rontó M. A note on the numerical-analytic method for non-linear two-point boundary value
problems // Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, № 1. — P. 112 – 128.
18. Ronto A., Rontó M.On the investigation of some boundary value problems with non-linear conditions //
Miskolc Math. Notes. — 2000. — 1, № 1. — P. 45 – 57.
19. Ронто М., Месарош Й. Некоторые замечания о сходимости численно-аналитического метода после-
довательных приближений // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 1. — C. 90 – 95.
20. Rontó M., Shchobak N. On the numerical-analytic investigation of parametrized problems with nonlinear
boundary conditions // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 4. — C. 482 – 510.
21. Krasnoselskii M. A., Vainikko G. M., Zabreiko P. P., Rutitskii Y. B., and Stetsenko V. Y. Approximate solution
of operator equations. — Groningen: Noordhoff, 1972.
Получено 19.07.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|