О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений
Встановлено властивiсть сiдлової точки системи диференцiально-функцiональних рiвнянь x˙(t) = Ax(t) + Bx(τ (t)) + Cx˙(τ (t)) + f (x(t), x(τ (t))), τ (0) = 0.
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177018 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 302-310. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177018 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770182021-02-10T01:25:36Z О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений Бельский, Д.В. Встановлено властивiсть сiдлової точки системи диференцiально-функцiональних рiвнянь x˙(t) = Ax(t) + Bx(τ (t)) + Cx˙(τ (t)) + f (x(t), x(τ (t))), τ (0) = 0. We find the saddle point property of the system of the differential-functional equations x˙(t) = Ax(t) + +Bx(τ (t)) + Cx˙(τ (t)) + f (x(t), x(τ (t))), τ (0) = 0. 2004 Article О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 302-310. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177018 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено властивiсть сiдлової точки системи диференцiально-функцiональних рiвнянь x˙(t) = Ax(t) + Bx(τ (t)) + Cx˙(τ (t)) + f (x(t), x(τ (t))), τ (0) = 0. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| title_short |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| title_fullStr |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full_unstemmed |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| title_sort |
о свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177018 |
| citation_txt |
О свойствах непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 302-310. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv osvojstvahnepreryvnodifferenciruemyhna0rešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T14:58:42Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:58:42Z |
| _version_ |
1837725408921911296 |
| fulltext |
УДК 517.9
О СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ НА (0, +∞)
РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find the saddle point property of the system of the differential-functional equations ẋ(t) = Ax(t) +
+Bx(τ(t)) + Cẋ(τ(t)) + f (x(t), x(τ(t))), τ(0) = 0.
Встановлено властивiсть сiдлової точки системи диференцiально-функцiональних рiвнянь ẋ(t) =
= Ax(t) + Bx(τ(t)) + Cẋ(τ(t)) + f (x(t), x(τ(t))) , τ(0) = 0.
Рассмотрим систему дифференциально-функциональных уравнений
ẋ(t) = Ax(t) + Bx(τ(t)) + Cẋ(τ(t)) + f (x(t), x(τ(t))) , (1)
где A,B, C — комплексные матрицы размерности n × n, функция f : C2n → Cn не-
прерывна, а функция τ(t) дважды непрерывно дифференцируема на [0,+∞) и такая, что
выполняются соотношения
τ(0) = 0, 0 < inf
t≥0
τ̇(t) ≤ sup
t≥0
τ̇(t) < 1. (2)
Будем исследовать свойства непрерывно дифференцируемых на (0,+∞) решений урав-
нения (1), удовлетворяющих условию
∃ lim
t→0+
x(t)
df=x(0) ∈ Cn. (3)
Различные частные случаи таких уравнений изучались многими математиками, и в на-
стоящее время имеется ряд интересных результатов, касающихся изучения свойств их
решений. Так, в [1] достаточно полно исследованы асимптотические свойства решений
скалярного уравнения (1) (n = 1) при τ(t) = qt, C = 0, f ≡ 0, в [2] установлены новые
свойства решений этого уравнения при n = 1, τ(t) = qt, A = 0, C = 0, f ≡ 0, в [3]
получены условия существования аналитических, почти периодических решений урав-
нения (1) при n = 1, τ(t) = qt, C = 0, f ≡ 0, в [4] построено представление общего
решения уравнения (1) при n = 1, τ(t) = qt, |C| > 1 , f ≡ 0, в [5] получен ряд но-
вых результатов о существовании ограниченных и финитных решений уравнений с ли-
нейно преобразованным аргументом, в [6] определены мажоранты для решений уравне-
ния (1) при n = 1, τ(t) = qt, f ≡ 0. Несмотря на обилие результатов, посвященных
исследованию асимптотических свойств решений широких классов дифференциально-
функциональных уравнений, и их важные приложения (см. [7, 8] и приведенную в них
библиографию), многие вопросы теории дифференциально-функциональных уравнений
c© Д. В. Бельский, 2004
302 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ НА (0, +∞) РЕШЕНИЙ . . . 303
вида (1) изучены недостаточно. Особенно это касается исследования свойств решений
уравнения (1) в окрестностях особых точек t = 0 и t = +∞. Поэтому главной целью
данной работы является установление новых свойств непрерывно дифференцируемых
на (0,+∞) решений уравнения (1) при достаточно общих предположениях относительно
матриц A,B, C и функции f .
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Предположим, что:
1) A = diag (A1, A2), Re λ(A1) < 0, Re λ(A2) > 0, т. е. существуют проекторы
P− = diag (Ik, 0), P+ = diag (0, Il), P− + P+ = I такие, что ∃K > 0, a > 0:∣∣eAtP−x
∣∣ < Ke−at |P−x| , t ≥ 0,
(4)∣∣eAtP+x
∣∣ < Keat |P+x| , t ≤ 0, ∀x ∈ Cn;
2) непрерывная функция f : C2n → Cn такова, что f(0, 0) = 0 и для всех x, y, x̃, ỹ,
max {|x| , |y| , |x̃| , |ỹ|} ≤ σ, выполняется неравенство
|f (x, y)− f (x̃, ỹ)| ≤ δ(σ) |x− x̃|+ η(σ) |y − ỹ| , (5)
где функции δ(σ), η(σ) являются определенными на [0,+∞) и такими, что δ(σ) → 0,
η(σ) → 0 при σ → 0;
3) +∞ > sup
t≥0
∣∣∣∣P±(B +
AC
τ̇(t)
+
Cτ̈(t)
(τ̇(t))2
)∣∣∣∣ df= b±, +∞ > sup
t≥0
∣∣∣∣ C
τ̇(t)
∣∣∣∣ df= c1,
c1 + K
(∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ b−
a
+
b+
a
)
< 1.
Тогда существуют ограниченные окрестности V,U, V ⊃ U , точки x = 0 такие, что U
содержит k-мерное устойчивое многообразие, т. е. любое решение задачи (1), (3), удов-
летворяющее условиям x(0) ∈ U , x(t) ∈ V при t ≥ 0, начинается на этом многообразии
и стремится к нулю при t → +∞.
Доказательство. Обозначим P−x(0) df=x−. Ограниченное решение задачи (1), (3) удов-
летворяет уравнению
x(t) = eAtx− +
C
τ̇(t)
x(τ(t))− eAtP−
C
τ̇(0)
x(0)+
+
t∫
0
eA(t−s)P−
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
x(τ(s)) + f (x(s), x(τ(s)))
]
ds+
+
+∞∫
t
eA(t−s)P+
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
x(τ(s)) + f (x(s), x(τ(s)))
]
ds. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
304 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Исследуем уравнение (6) методом последовательных приближений, которые определим
с помощью соотношений
xm(t) = eAtx− +
C
τ̇(t)
xm−1(τ(t))− eAtP−
C
τ̇(0)
xm−1(0)+
+
t∫
0
eA(t−s)P−
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
xm−1(τ(s)) + f (xm−1(s), xm−1(τ(s)))
]
ds+
+
+∞∫
t
eA(t−s)P+
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
xm−1(τ(s)) + f (xm−1(s), xm−1(τ(s)))
]
ds,
(7)
m ≥ 1, x0(t) ≡ 0.
В силу (4) имеем
|x1(t)− x0(t)| = |x1(t)| ≤ Ke−at |x−| при t ≥ 0.
Принимая во внимание (5), (7), получаем
|x2(t)− x1(t)| ≤
∣∣∣∣ C
τ̇(t)
∣∣∣∣ |x1(τ(t))− x0(τ(t))|+
+ Ke−at
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣ |x1(0)− x0(0)|+
+
t∫
0
Ke−a(t−s)
[ ∣∣∣∣P−(B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)∣∣∣∣ |x1(τ(s))− x0(τ(s))|+
+ |P−| δ(σ) |x1(s)− x0(s)|+ |P−| η(σ) |x1(τ(s))− x0(τ(s))|
]
ds+
+
+∞∫
t
Kea(t−s)
[ ∣∣∣∣P+
(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)∣∣∣∣ |x1(τ(s))− x0(τ(s))|+
+ |P+| δ(σ) |x1(s)− x0(s)|+ |P+| η(σ) |x1(τ(s))− x0(τ(s))|
]
ds ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ НА (0, +∞) РЕШЕНИЙ . . . 305
≤
∣∣∣∣ C
τ̇(t)
∣∣∣∣Ke−aτ(t) |x−|+ K2e−at
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣ |x−|+
+
t∫
0
Ke−a(t−s)
[∣∣∣∣P−(B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)∣∣∣∣Ke−aτ(s) |x−|+
+ |P−| δ(σ)Ke−as |x−|+ |P−| η(σ)Ke−aτ(s) |x−|
]
ds+
+
+∞∫
t
Kea(t−s)
[∣∣∣∣P+
(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)∣∣∣∣Ke−aτ(s) |x−|+
+ |P+| δ(σ)Ke−as |x−|+ |P+| η(σ)Ke−aτ(s) |x−|
]
ds.
Для сокращения записей обозначим inf
t≥0
(
1± d
dt
(τm(t))
)
df=wm±, где
τm(t) df= τ(τ(...........(τ︸ ︷︷ ︸
m
(t))...).
Учитывая (2), нетрудно показать, что
0 < wm± → 1, m → +∞. (8)
Тогда для любого ε > 0 существует D(ε) ∈ R такое, что e−att < D(ε)e(−a+ε)t, t ≥ 0.
В силу (2) можно выбрать ε > 0 такое, что 1 − ε
a
− τ̇(t) > 0 при t ≥ 0 ⇒ (−a + ε)t ≤
≤ −aτ(t), t ≥ 0. Поскольку
t∫
0
ea(s−τ(s))ds =
t∫
0
dea(s−τ(s))
a(1− τ̇(s))
≤
≤ 1
aw1−
(
ea(t−τ(t)) − 1
)
≤ ea(t−τ(t))
aw1−
,
+∞∫
t
e−a(s+τ(s))ds =
+∞∫
t
de−a(s+τ(s))
−a(1 + τ̇(s))
≤ e−a(t+τ(t))
aw1+
,
то
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
306 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
|x2(t)− x1(t)| ≤ c1Ke−aτ(t) |x−|+ K2e−at
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣ |x−|+
+ K2b−
e−aτ(t)
aw1−
|x−|+ |P−| δ(σ)K2D(ε)e(−a+ε)t |x−|+
+ |P−| η(σ)K2 e−aτ(t)
aw1−
|x−|+ K2b+
e−aτ(t)
aw1+
|x−|+
+ |P+| δ(σ)K2 e−at
2a
|x−|+ |P+| η(σ)K2 e−aτ(t)
aw1+
|x−| .
Учитывая выбор ε, имеем
|x2(t)− x1(t)| ≤
[
c1K + K2
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+
+ K2b−
1
aw1−
+ |P−| δ(σ)K2D(ε) + |P−| η(σ)K2 1
aw1−
+
+ K2b+
1
aw1+
+ |P+| δ(σ)K2 1
2a
+
+ |P+| η(σ)K2 1
aw1+
]
e−aτ(t) |x−|
df=K1e
−aτ(t) |x−| .
Аналогично находим
|x3(t)− x2(t)| ≤ c1K1e
−aτ2(t) |x−|+ K1Ke−at
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣ |x−|+
+ K1Kb−
e−aτ2(t)
aw2−
|x−|+ K1K |P−| δ(σ)
e−aτ(t)
aw1−
|x−|+
+ K1K |P−| η(σ)
e−aτ2(t)
aw2−
|x−|+ K1Kb+
e−aτ2(t)
aw2+
|x−|+
+ K1K |P+| δ(σ)
e−aτ(t)
aw1+
|x−|+ K1K |P+| η(σ)
e−aτ2(t)
aw2+
|x−| =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ НА (0, +∞) РЕШЕНИЙ . . . 307
=
[
c1 + K
∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ Kb−
1
aw2−
+ K |P−| δ(σ)
1
aw1−
+ K |P−| η(σ)
1
aw2−
+
+ Kb+
1
aw2+
+ K |P+| δ(σ)
1
aw1+
+ K |P+| η(σ)
1
aw2+
]
K1e
−aτ2(t) |x−|
df=
df=K2K1e
−aτ2(t) |x−| .
Рассуждая методом математической индукции, получаем
|xm+1(t)− xm(t)| ≤ KmKm−1...K1e
−aτm(t) |x−| ,
где
Km = c1 + K
[∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ b−
1
awm−
+ |P−| δ(σ)
1
aw(m−1)−
+ |P−| η(σ)
1
awm−
+
+ b+
1
awm+
+ |P+| δ(σ)
1
aw(m−1)+
+ |P+| η(σ)
1
awm+
]
, m ≥ 2.
Из (8) следует
lim
m→+∞
Km =c1 + K
[∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ (b− + |P−| δ(σ) + |P−| η(σ))
1
a
+
+ (b+ + |P+| δ(σ) + |P+| η(σ))
1
a
]
.
Поскольку
c1 + K
[∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ b−
a
+
b+
a
]
< 1,
то при достаточно малом σ имеем lim
m→+∞
Km < 1, ряд
S(t, x−) df=Ke−at |x−|+ K1e
−aτ(t) |x−|+ K2K1e
−aτ2(t) |x−|+ . . .
. . . + KmKm−1...K1e
−aτm(t) |x−|+ . . . (9)
равномерно сходится при t ≥ 0 и S(t, x−) < σ при
|x−| <
σ
1 + K + K1 + K2K1 + . . . + KmKm−1 . . .K1 + . . .
df=µ(σ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
308 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Таким образом, в достаточно малой окрестности нуля существует ограниченное непре-
рывное решение x(t, x−), P−x(0, x−) = x−, уравнения (6).
Продифференцировав соотношение (7), получим
ẋm(t) = Axm(t) + Bxm−1(τ(t)) + Cẋm−1(τ(t)) + f (xm−1(t), xm−1(τ(t))) .
Следовательно,
|ẋm(t)− ẋm−1(t)| ≤ |A| |xm(t)− xm−1(t)|+ |B| |xm−1(τ(t))− xm−2(τ(t))|+
+ |C| |ẋm−1(τ(t))− ẋm−2(τ(t))|+ δ(σ) |xm−1(t)− xm−2(t)|+
+ η(σ) |xm−1(τ(t))− xm−2(τ(t))| .
Обозначая αm
df=sup
t≥0
|ẋm(t)− ẋm−1(t)|, βm
df=sup
t≥0
|xm(t)− xm−1(t)|, получаем
αm ≤ |A|βm + (|B|+ δ(σ) + η(σ))βm−1 + |C|αm−1 ⇒
⇒
m∑
i=1
αi ≤ |A|
m∑
i=1
βi + (|B|+ δ(σ) + η(σ))
m∑
i=1
βi + |C|
m∑
i=1
αi + α1. (10)
Поскольку согласно (2) имеем 1 > τ̇(t) > 0, а в силу условия 3 |C| < 1, соотношение (10)
можно переписать в виде
m∑
i=1
αi ≤ (1− |C|)−1
(
|A|
m∑
i=1
βi + (|B|+ δ(σ) + η(σ))
m∑
i=1
βi + α1
)
. (11)
Из сходимости ряда
+∞∑
i=1
βi и неравенства (11) следует сходимость ряда
+∞∑
i=1
αi. Существо-
вание ограниченного непрерывно дифференцируемого решения уравнения (6) доказано.
Определим оператор
(Fx) (t) = eAtx− +
C
τ̇(t)
x(τ(t))− eAtP−
C
τ̇(0)
x(0)+
+
t∫
0
eA(t−s)P−
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
x(τ(s)) + f (x(s), x(τ(s)))
]
ds+
+
+∞∫
t
eA(t−s)P+
[(
B +
AC
τ̇(s)
+
Cτ̈(s)
(τ̇(s))2
)
x(τ(s)) + f (x(s), x(τ(s)))
]
ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
О СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ НА (0, +∞) РЕШЕНИЙ . . . 309
который действует в банаховом пространстве непрерывных ограниченных на [0,+∞)
функций таких, что P−x(0) = x−, с нормой ρ(x, y) = sup
t≥0
|x(t)− y(t)|. Тогда
ρ(Fx, Fy) ≤
(
c1 + K
[∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ (b− + |P−| δ(σ) + |P−| η(σ))
1
a
+
+ (b+ + |P+| δ(σ) + |P+| η(σ))
1
a
])
∗ ρ(x, y).
В силу условий теоремы имеем
c1 + K
( ∣∣∣∣P− C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ b−
a
+
b+
a
)
< 1,
откуда следует, что в достаточно малой окрестности нуля оператор F не может иметь
две неподвижные точки и, следовательно, единственность ограниченного решения урав-
нения (6) доказана.
Подытоживая изложенное выше, заключаем, что для любого x− ∈ P−Cn∩B(µ(σ)) су-
ществует ограниченное C1(0,+∞)-решение задачи (1), (3) x(t, x−) такое, что P−x(0, x−) =
= x−, |x(t, x−)| < σ ∀t ≥ 0. Таким образом, подмножество начальных значений H
df=
df={x(0) ∈ Cn|P−x(0) ∈ B(µ(σ)), существует C1(0,+∞)-решение задачи (1), (3) x(t) такое,
что |x(t)| < σ, t ≥ 0} является подмножеством пересечения
{x ∈ Cn|P−x ∈ B(µ(σ))} ∩B(σ) df=U.
Положим V
df=B(σ). Для понимания этих рассуждений приведем схематический рисунок.
Серый срез вертикального цилиндра является множеством P−Cn ∩B(µ(σ)), шар — B(σ).
Вертикальный цилиндр, ограниченный сферой, является окрестностью нуля U .
Покажем, что множество H гомеоморфно множеству P−Cn∩B(µ(σ)). Действительно,
гомеоморфизм осуществляется посредством отображения g(x−) df=x(0, x−), x− ∈ P−Cn ∩
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
310 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
∩B(µ(σ)). Непрерывность g следует из непрерывности x(t, x−) как предела равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций xm(t, x−). Обратное отображе-
ние g−1 = P− также является непрерывной функцией. Сходимость к нулю искомых ре-
шений следует из оценки
|x(t, x−)| ≤
(
Ke−at + K1e
−aτ(t) + K2K1e
−aτ2(t) + . . .
. . . +KmKm−1 . . .K1e
−aτm(t) + . . .
)
|x−| < σ при t ≥ 0
или
|x(t, x−)| ≤
(
Ke−at + K1e
−aτ(t) + K2K1e
−aτ2(t) + . . .
. . . +KmKm−1 . . .K1e
−aτm(t) + . . .
)
|P−| |x(0, x−)| при t ≥ 0.
Теорема доказана.
Заметим, что из доказательства легко получить следующую оценку:
|P+x(0, x−)| ≤
(∣∣∣∣P+
C
τ̇(0)
∣∣∣∣+ K ( b+ + |P+| δ(σ) + |P+| η(σ))
1
a
)
∗
∗ (K + K1 + K2K1 + . . . + KmKm−1 . . .K1 + . . .) |x−| .
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56. Indag. Math. — 1953. —15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 119 c.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10.
6. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональ-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi
коливання. — 2004. — 7, № 1. — С. 48 – 52.
7. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. — Рiвне: Вид-во УДУВГП,
2003. — 288 с.
8. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
Получено 25.06.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 3
|