Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений
Одержано точнi у певному сенсi умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi Кошi для систем лiнiйних функцiонально-диференцiальних рiвнянь загального вигляду. Вказано ефективнi ознаки однозначної розв’язностi початкової задачi для систем рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється....
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177030 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений / А.Н. Ронто // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 538-554. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177030 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770302021-02-11T01:27:54Z Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений Ронто, А.Н. Одержано точнi у певному сенсi умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi Кошi для систем лiнiйних функцiонально-диференцiальних рiвнянь загального вигляду. Вказано ефективнi ознаки однозначної розв’язностi початкової задачi для систем рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється. We obtain exact, in a sence, conditions suffucient for the unique solvability of the Cauchy problem for systems of linear functional-differential equations of a general form. Efficient criteria of the unique solvability of the initial-value problem for systems of equations with deviated argument are given. 2004 Article Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений / А.Н. Ронто // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 538-554. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177030 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Одержано точнi у певному сенсi умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi Кошi для
систем лiнiйних функцiонально-диференцiальних рiвнянь загального вигляду. Вказано ефективнi ознаки однозначної розв’язностi початкової задачi для систем рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється. |
| format |
Article |
| author |
Ронто, А.Н. |
| spellingShingle |
Ронто, А.Н. Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ронто, А.Н. |
| author_sort |
Ронто, А.Н. |
| title |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_short |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_full |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_sort |
некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177030 |
| citation_txt |
Некоторые точные условия разрешимости начальной задачи для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений / А.Н. Ронто // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 4. — С. 538-554. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT rontoan nekotoryetočnyeusloviârazrešimostinačalʹnojzadačidlâsistemlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T14:59:25Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:59:25Z |
| _version_ |
1837725453932036096 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
А. Н. Ронто
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: ar@imath.kiev.ua
We obtain exact, in a sence, conditions suffucient for the unique solvability of the Cauchy problem for
systems of linear functional-differential equations of a general form. Efficient criteria of the unique solvabi-
lity of the initial-value problem for systems of equations with deviated argument are given.
Одержано точнi у певному сенсi умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi Кошi для
систем лiнiйних функцiонально-диференцiальних рiвнянь загального вигляду. Вказано ефектив-
нi ознаки однозначної розв’язностi початкової задачi для систем рiвнянь з аргументом, що вiд-
хиляється.
1. Введение. Целью настоящей работы является получение оптимальных, в определен-
ном смысле, условий, достаточных для однозначной разрешимости начальной задачи ви-
да
u′k(t) = (lku) (t) + qk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (1)
uk(τ) = ck, k = 1, 2, . . . , n. (2)
Здесь lk : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],R), k = 1, 2, . . . , n, — ограниченные линейные опера-
торы, τ — заданная точка из промежутка [a, b],−∞ < a ≤ τ ≤ b < +∞, ck, k = 1, 2, . . . , n,
— некоторые вещественные постоянные, а qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n, — функции,
интегрируемые по Лебегу.
Под решением задачи (1), (2), как обычно [1], понимаем абсолютно непрерывную
вектор-функцию u = (uk)
n
k=1 : [a, b] → Rn, имеющую свойство (2) и удовлетворяющую
соотношению (1) при почти всех t из [a, b] и каждом k = 1, 2, . . . , n.
Напомним, что в виде (1) можно представить [1] разнообразные системы дифференци-
ально-разностных и интегро-дифференциальных уравнений, в том числе и таких, в кото-
рых преобразования аргумента зависимой переменной могут выводить за пределы исход-
ного промежутка [a, b], и, следовательно, в постановку задачи должны входить так на-
зываемые начальные функции [2 – 4]. Например, задачу об отыскании абсолютно непре-
рывной функции u : [a, b] → R, удовлетворяющей соотношениям
u′(t) = r(t)u(η(t)) + g(t), t ∈ [a, b], (3)
u(s) = ψ(s) при s 6∈ [a, b], (4)
c© А. Н. Ронто, 2004
538 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 539
где r : [a, b] → R, η : [a, b] → R, g : [a, b] → R и ψ : R \ [a, b] → R — некоторые заданные
функции, естественно записывать в виде уравнения
u′(t) = h(t)u(ω(t)) + q(t), t ∈ [a, b], (5)
в котором h(t) := χη(t)r(t), ω(t) := η(t)χη(t) + a (1 − χη(t)), функция q : [a, b] → R
определена формулой
q(t) :=
{
g(t) при η(t) ∈ [a, b],
g(t) + r(t)ψ(η(t)) при η(t) 6∈ [a, b],
а χη : R → {0, 1}— функция, заданная соотношением
χη(t) :=
{
1 при η(t) ∈ [a, b],
0 при η(t) 6∈ [a, b]
(6)
для t ∈ [a, b]. Для того чтобы уравнение (5) имело смысл, достаточно предполагать интег-
рируемость функций r и g, измеримость функции η в (3) и непрерывность ψ в (4). Важно
отметить, что в (5) функция ω преобразует отрезок [a, b] в себя, благодаря чему там уже
не требуется задавать дополнительные условия вида (4).
Уравнение (5) является типичным представителем класса линейных функционально-
дифференциальных уравнений вида (1) и имеет многие характерные для таких уравне-
ний свойства, отсутствующие в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В
частности, нет однозначного ответа на вопрос о существовании решения уравнения (5) с
заданными начальными данными. Например, если h(t) = 1/(b − a) и ω(t) = b для почти
всех t из [a, b], из (5) получаем простейшее уравнение с постоянным коэффициентом
u′(t) =
u(b)
b− a
+ q(t), t ∈ [a, b], (7)
которое ни при какой интегрируемой функции q : [a, b] → R со свойством
b∫
a
q(s) ds 6= 0
не имеет решений u, удовлетворяющих начальному условию
u(a) = 0. (8)
Пример задачи (7), (8) показывает, что задача Коши (2) для системы (1) разрешима,
вообще говоря, лишь при выполнении тех или иных дополнительных условий. Эффек-
тивных условий такого рода в настоящее время весьма мало; можно указать лишь не-
сколько работ, появившихся на протяжении последних лет и посвященных исследованию
этого вопроса (см. [5 – 9] и приведенную в них библиографию).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
540 А. Н. РОНТО
В настоящей статье получены новые конструктивные признаки однозначной разре-
шимости начальной задачи (1), (2), которые являются в определенном смысле неулучша-
емыми, и приведены их приложения к исследованию указанного вопроса для широкого
класса систем уравнений с отклоняющимся аргументом.
2. Обозначения. В работе используются следующие обозначения:
1) R = (−∞,+∞), N = {1, 2, 3, . . . };
2) C ([a, b],Rn) — банахово пространство непрерывных вектор-функций u = (uk)
n
k=1 :
[a, b] → Rn с нормой
C ([a, b],Rn) 3 u 7−→ max
k=1,2,...,n
max
t∈[a,b]
|uk(t)| ;
3) L1 ([a, b],Rn) — банахово пространство интегрируемых по Лебегу вектор-функций
u = (uk)
n
k=1 : [a, b] → Rn с нормой
L1 ([a, b],Rn) 3 u 7−→ max
k=1,2,...,n
b∫
a
|uk(t)| dt.
Здесь и далее [a, b] — некоторый ограниченный интервал вещественной прямой.
3. Теоремы о разрешимости задачи (16), (17). Для сокращения записи предваритель-
но введем некоторые обозначения и определения. Пусть n ∈ N, а εk, k = 1, 2, . . . , n, —
некоторые заданные числа, каждое из которых равно 1,−1 либо 0, и
ε :=
ε1
ε2
...
εn
. (9)
Для векторов {x, y} ⊂ Rn будем писать x ≥ε y тогда и только тогда, когда εk (xk − yk) ≥
≥ 0 для каждого k = 1, 2, . . . , n. Аналогично можно определить соотношения вида x >ε y
и x =ε y, из которых последнее означает, что xk = yk при всех тех k = 1, 2, . . . , n, для
которых εk 6= 0. Иными словами, соотношение x ≥ε y (соответственно, x >ε y или
x =ε y) имеет место тогда и только тогда, когда все компоненты вектора D(ε) (x− y) ,
где
D(ε) := diag {ε1, ε2, . . . , εn} ,
неотрицательны (соответственно, положительны или равны нулю).
Естественно предполагать, что имеет место неравенство
n∑
k=1
|εk| 6= 0, (10)
ибо в противном случае введенные выше соотношения тривиальны и не представляют
интереса.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 541
Определение 1. Будем говорить, что оператор l : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn) явля-
ется (ε, τ)-положительным, если условие
(lu) (t) sign (t− τ) ≥ε 0 при п. в. t ∈ [a, b]
выполнено для любой непрерывной функции u : [a, b] → Rn, удовлетворяющей соотно-
шению
u(t) ≥ε 0 при всех t ∈ [a, b]. (11)
Аналогично, оператор l : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn) назовем (ε, τ)-отрицатель-
ным, если при каждой непрерывной функции u : [a, b] → Rn со свойством (11) выполня-
ется условие
(lu) (t) sign (t− τ) ≤ε 0 при п. в. t ∈ [a, b].
Замечание 1. Из теоремы 2 работы [10] следует, что каждый (ε, τ)-положительный
относительно некоторого вектора (9) с компонентами {εk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1}
линейный оператор l : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn) ограничен.
Очевидно, что произвольный оператор l : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn) является как
(0, τ)-положительным, так и (0, τ)-отрицательным в смысле определения 1, каково бы
ни было τ . Поэтому имеет смысл рассматривать указанные понятия только при условии,
что выполнено неравенство (10).
Легко видеть, что в одномерном случае (т. е. когда n = 1) свойство, описываемое
определением 1, не зависит от выбора ненулевого числа ε1, и в этом случае достаточно
говорить, например, об (1, τ)-положительности оператора.
Определение 2. Векторы u ∈ Rn, имеющие свойство u ≥ε 0, а также функции
u : [a, b] → Rn, удовлетворяющие условию (11), будем называть ε-положительными.
Аналогично, любую функцию u : [a, b] → Rn, для которой выполнено условие
u(t) >ε 0 при всех t ∈ [a, b],
будем называть строго ε-положительной.
Пусть Π — некоторое линейное многообразие непрерывных функций [a, b] → Rn.
Определение 3. Будем говорить, что непрерывная функция y : [a, b] → Rn стро-
го ε-положительна относительно Π, если для произвольной функции u : [a, b] → Rn,
принадлежащей множеству Π, можно указать такое число βu ∈ [0,+∞), что
−βuy(t) ≤ε u(t) ≤ε βuy(t) для всех t ∈ [a, b]. (12)
Несложно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Предложение 1. Непрерывная функция y : [a, b] → Rn строго ε-положительна отно-
сительно всего пространства C ([a, b],Rn) тогда и только тогда, когда она является
строго ε-положительной в смысле определения 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
542 А. Н. РОНТО
Свойство вектор-функции [a, b] → Rn, описываемое определением 3, является обоб-
щением свойства ее ε-положительности. Это подтверждается следующим утверждением.
Предложение 2. Пусть ε — вектор вида (9) с компонентами {εk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂
⊂ {1,−1, 0}, а Π — некоторое линейное многообразие в пространстве C ([a, b],Rn) , не
состоящее целиком из функций u : [a, b] → Rn, имеющих свойство
u(t) =ε 0 для всех t ∈ [a, b]. (13)
Тогда любая строго ε-положительная относительно Π непрерывная функция y :
[a, b] → Rn удовлетворяет условию
y(t) ≥ε 0 для всех t ∈ [a, b]. (14)
Доказательство. Согласно определению 3, для любой функции u ∈ C ([a, b],Rn), при-
надлежащей множеству Π, можно указать такое неотрицательное число βu, что верно
соотношение (12). Хотя бы для одной функции u из Π среди таких чисел имеется строго
положительное. Действительно, в противном случае из (12) следует, что
0 ≤ε u(t) ≤ε 0 для всех t ∈ [a, b]
независимо от выбора u из Π. Иными словами, в этом случае каждая функция u из Π
удовлетворяет условию (13), что противоречит сделанному предположению относитель-
но множества Π.
Из (12) следует, что аналогичному неравенству удовлетворяет и функция −u:
−βuy(t) ≤ε −u(t) ≤ε βuy(t) для всех t ∈ [a, b]. (15)
Складывая (12) и (15), получаем
βuy(t) ≥ε 0, t ∈ [a, b],
откуда вытекает (14), если βu > 0.
Замечание 2. Из существования хотя бы одной непрерывной функции [a, b] → Rn, яв-
ляющейся строго ε-положительной относительно данного линейного многообразия Π ⊆
⊆ C ([a, b],Rn), вытекает, что каждая функция u из Π допускает оценку вида
u(t) ≤ε hu(t), t ∈ [a, b],
где hu : [a, b] → Rn непрерывна и такова, что
hu(t) ≥ε 0, t ∈ [a, b].
В статье рассматривается случай, когда задающий систему уравнений (1) линейный
оператор l = (lk)
n
k=1 : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn) допускает представление в виде
l = p1 − p2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 543
где pm : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m = 1, 2, — некоторые ограниченные линейные
операторы, являющиеся (ε, τ)-положительными в смысле определения 1 относительно
заданной в начальном условии (2) точки τ и некоторого вектора (9). В этом случае зада-
ча (1), (2) имеет вид
u′(t) = (p1u) (t)− (p2u) (t) + q(t), t ∈ [a, b], (16)
u(τ) = c, (17)
и для нее имеет место следующая общая теорема об однозначной разрешимости.
Теорема 1. Пусть задающие функционально-дифференциальное уравнение (16) ли-
нейные операторы pm : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m = 1, 2, являются (ε, τ)-положи-
тельными относительно некоторого вектора (9) с компонентами {εk | k = 1, 2, . . .
. . . , n} ⊂ {1,−1, 0}, причем
(p1u) (t) = 0 и (p2u) (t) = 0 для п. в. t ∈ [a, b] (18)
всегда, когда непрерывная функция u : [a, b] → Rn удовлетворяет условию (13). Пред-
положим, что найдутся некоторые постоянная α ∈ [0, 1) и непрерывная функция
y : [a, b] → Rn, удовлетворяющие условию
t∫
τ
[(p1y) (s) + (p2y) (s)] ds ≤ε αy(t) для всех t ∈ [a, b]. (19)
Пусть, кроме того, в пространстве C ([a, b],Rn) существует некоторое линейное
многообразие Π, относительно которого функция y(·) строго ε-положительна и для
которого имеет место следующее свойство:
·∫
τ
[(p1u) (s)− (p2u) (s)] ds ∈ Π (20)
для произвольной непрерывной функции u : [a, b] → Rn, не удовлетворяющей усло-
вию (13).
Тогда начальная задача (16), (17) имеет единственное абсолютно непрерывное ре-
шение uq,c для произвольных q ∈ L1 ([a, b],Rn) и c ∈ Rn, и это решение представимо в
виде равномерно сходящегося на [a, b] функционального ряда
uq,c(t) =
+∞∑
m=0
wm; q,c(t), t ∈ [a, b], (21)
где
w0; q,c(t) := c+
t∫
τ
q (s) ds, t ∈ [a, b], (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
544 А. Н. РОНТО
и
wm; q,c(t) :=
t∫
τ
[(p1wm−1; q,c)(s)− (p2wm−1; q,c)(s)] ds, t ∈ [a, b], (23)
при m = 1, 2, . . . . Кроме того, если последовательность интегрируемых функций qm =
= (qmk)
n
k=1 : [a, b] → Rn, m = 1, 2, . . . , и последовательность числовых векторов cm =
= (cmk)
n
k=1, m = 1, 2, . . . , таковы, что
lim
m→+∞
max
k=1,2,...,n
b∫
a
|qmk(s)| ds = 0 и lim
m→+∞
max
k=1,2,...,n
|cmk| = 0, (24)
то определенная формулой (21) последовательность абсолютно непрерывных фун-
кций uqm,cm , m = 1, 2, . . . , являющихся решениями соответствующих задач Коши
u′(t) = (p1u) (t)− (p2u) (t) + qm(t), t ∈ [a, b],
u(τ) = cm,
равномерно на промежутке [a, b] сходится к нулю.
Теорема 1 доказывается в п. 6. Заметим, что из нее очевидным образом вытекает та-
кое важное следствие.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 однородная задача Коши
u′(t) = (p1u) (t)− (p2u) (t), t ∈ [a, b], (25)
u(τ) = 0 (26)
не имеет нетривиальных решений.
В случаях, когда отыскание линейного многообразия Π с указанными в теореме 1
свойствами затруднительно или нежелательно, можно воспользоваться приводимым ни-
же видоизменением этой теоремы, в котором упомянутые свойства проверять не нужно,
но вместе с тем на функцию y накладывается несколько более жесткое ограничение.
Это ограничение, как будет видно из дальнейшего, весьма естественно и не препятству-
ет получению эффективных условий разрешимости начальной задачи для конкретных
классов уравнений.
Теорема 2. Пусть в функционально-дифференциальном уравнении (16) ограничен-
ные линейные операторы pm : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m = 1, 2, являются (ε, τ)-
положительными относительно некоторого вектора (9) с компонентами {εk | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1, 0}, причем из справедливости для непрерывной функции u :
[a, b] → Rn условия (13) всегда следует (18). Предположим также, что найдутся не-
которые постоянная α ∈ [0, 1) и строго ε-положительная непрерывная функция y :
[a, b] → Rn, для которой выполнено условие (19).
Тогда имеет место заключение теоремы 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 545
Доказательство. Согласно предложению 1, в принятых предположениях функция y
строго ε-положительна относительно всего пространства C ([a, b],Rn) и, следовательно,
включение (20) выполнено для произвольных u при Π := C ([a, b],Rn). Поэтому требуе-
мое заключение вытекает из теоремы 1.
Всюду ниже приводятся утверждения, вытекающие именно из теоремы 2.
Следствие 2. Предположим, что при некотором векторе (9) с компонентами {εk |
k = 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1} линейные операторы pm : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m =
= 1, 2, задающие уравнение (16), являются (ε, τ)-положительными. Пусть, кроме того,
при некоторых постояннойα ∈ [0, 1) и строго ε-положительной непрерывной функции
y : [a, b] → Rn выполнено условие (19).
Тогда для задачи Коши (16), (17) справедливо заключение теоремы 1.
Доказательство. Поскольку, по предположению, каждое из чисел εk, k = 1, 2, . . . , n,
отлично от нуля, функция u : [a, b] → Rn удовлетворяет условию (13) тогда и только
тогда, когда она равна тождественно нулю на [a, b]. В частности, из (13) всегда следует
(18), и поэтому можно применить теорему 2.
Из изложенного выше вытекает, в частности, следующее утверждение об однознач-
ной разрешимости задачи (16), (17), главное условие в котором содержит значения зада-
ющих уравнение (16) операторов на некоторых постоянных функциях.
Следствие 3. Пусть задающие уравнение (16) ограниченные линейные операторы
pm : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m = 1, 2, являются (ε, τ)-положительными отно-
сительно некоторого вектора (9) с компонентами {εk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1, 0},
причем из справедливости для непрерывной функции u : [a, b] → Rn условия (13) всегда
следует (18). Если, кроме того, выполнено неравенство
max
k: εk 6=0
max
{
−εk
τ∫
a
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds, εk
b∫
τ
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds
}
< 1, (27)
то относительно начальной задачи (16), (17) имеет место заключение теоремы 1.
Здесь pmk : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],R), k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, — соответствую-
щие компоненты операторов p1 и p2, a pmkε, k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, — их значения на
функции, тождественно равной величине (9) на всем промежутке [a, b]. Максимум в (27),
очевидно, можно брать и по всем значениям k = 1, 2, . . . , n.
Доказательство следствия 3. Положим
y(t) := ε, t ∈ [a, b]. (28)
Эта функция, очевидно, непрерывна и ε-положительна. Кроме того, существует такая
постоянная α, 0 ≤ α < 1, при которой для функции (28) выполняется условие (19). Дей-
ствительно, согласно определению бинарного отношения ≥ε, условие (19) для функции
(28) выполнено тогда и только тогда, когда имеет место поточечное и покомпонентное
неравенство
D(ε)
t∫
τ
[(p1ε) (s) + (p2ε) (s)] ds ≤ D(ε) ε, t ∈ [a, b],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
546 А. Н. РОНТО
или, что то же,
max
k: εk 6=0
max
t∈[a,b]
εk
t∫
τ
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds ≤ α.
Заметим теперь, что, ввиду (ε, τ)-положительности операторов p1 и p2, при всех k =
= 1, 2, . . . , n, m = 1, 2 и почти всех s ∈ [a, b] имеет место неравенство
εk (pmkε)(s) sign (s− τ) ≥ 0.
Следовательно, при всех k = 1, 2, . . . , n и m = 1, 2 справедливы оценки
max
t∈[τ,b]
εk
t∫
τ
(pmkε)(s) ds ≤ εk
b∫
τ
(pmkε)(s) ds
и
max
t∈[a,τ ]
εk
t∫
τ
(pmkε)(s) ds ≤ εk
a∫
τ
(pmkε)(s) ds.
Поскольку предполагается выполненным неравенство (27), отсюда заключаем, что функ-
ция (28) удовлетворяет условию (19) при
α := max
k: εk 6=0
max
{
−εk
τ∫
a
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds, εk
b∫
τ
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds
}
, (29)
и для получения требуемого утверждения остается применить следствие 2.
Для задач Коши с условиями в начале или в конце заданного промежутка, т. е. с усло-
виями вида
u(a) = c (30)
и
u(b) = c (31)
соответственно, имеем такое утверждение.
Следствие 4. Пусть каждый из ограниченных линейных операторов pm : C
(
[a, b],
Rn
)
→ L1
(
[a, b],Rn
)
, m = 1, 2, в уравнении (16) является (ε, a)-положительным (со-
ответственно, (ε, b)-положительным) относительно некоторого вектора (9) с ком-
понентами {εk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1, 0}, причем для любой непрерывной функции
u : [a, b] → Rn со свойством (13) выполнено условие (18). Если, кроме того,
max
k: εk 6=0
b∫
a
|(p1kε) (s) + (p2kε) (s)| ds < 1, (32)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 547
то начальная задача (16), (30) (соответственно, (16), (31)) при произвольных функции
q ∈ L1 ([a, b],Rn) и векторе c ∈ Rn имеет единственное решение.
Доказательство. При τ = a и τ = b условие (27) имеет соответственно вид
max
k: εk 6=0
εk
b∫
a
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds < 1 (33)
и
max
k: εk 6=0
[
−εk
b∫
a
[(p1kε) (s) + (p2kε) (s)] ds
]
< 1. (34)
Поскольку, в силу (ε, a)-положительности (соответственно, (ε, b)-положительности) опе-
раторов p1 и p2, при всех k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2 и почти всех s ∈ [a, b] величина
εk (pmkε)(s) неотрицательна (соответственно, неположительна), каждое из неравенств
(33) и (34) в данном случае означает, что имеет место (32). Таким образом, достаточно
воспользоваться следствием 3 с τ = a (соответственно, τ = b).
4. Задача Коши для системы с отклоняющимся аргументом. Указанные выше утверж-
дения дают возможность установить различные легко проверяемые условия, достато-
чные для однозначной разрешимости начальной задачи для широких классов систем ли-
нейных функционально-дифференциальных уравнений вида (1). Приведем некоторые
такие условия для системы
u′k(t) =
n∑
j=1
hkj(t)uj(ωkj(t)) + qk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (35)
где hkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, и qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n, — интегрируемые по
Лебегу функции, a ωkj , k, j = 1, 2, . . . , n, — измеримые преобразования промежутка [a, b]
в себя.
Теорема 3. Пусть интегрируемые функции hkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, таковы,
что
hkj(t) = 0 при п. в. t ∈ [a, b] и всех j ∈ J и k = 1, 2, . . . , n, (36)
где J ⊆ {1, 2, . . . , n}— некоторое заданное множество. Тогда при выполнении условия
max
k 6∈J
max
{
−
∑
j 6∈J
τ∫
a
|hkj(t)| dt,
∑
j 6∈J
b∫
τ
|hkj(t)| dt
}
< 1 (37)
задача Коши (35), (2) имеет единственное решение при произвольных постоянных ck,
k = 1, 2, . . . , n, измеримых функциях ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, и интегрируе-
мых функциях qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n.
Для доказательства сформулированной теоремы нам потребуется следующая лемма.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
548 А. Н. РОНТО
Лемма 1. Пусть ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, — измеримые, а hkj : [a, b] → R,
k, j = 1, 2, . . . , n, — интегрируемые функции, удовлетворяющие условиям (36) и, кроме
того, такие, что
εk
∑
j 6∈J
εj hkj(t) sign (t− τ) ≥ 0 для всех k 6∈ J и п. в. t ∈ [a, b]
при некоторых {εk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ {1,−1, 0}.
Тогда линейный оператор l = (lk)
n
k=1 : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), заданный фор-
мулой
(lku)(t) :=
n∑
j=1
hkj(t)uj(ωkj(t)), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (38)
является (ε, τ)-положительным относительно вектора (9) с компонентами, равными
данным числам ε1, ε2, . . . , εn.
Указанное утверждение нетрудно установить непосредственными вычислениями.
Доказательство теоремы. Для σ ∈ {0, 1} и k, j = 1, 2, . . . , n положим
h
[σ]
kj (t) :=
{
max{σhkj(t), 0} при t ≥ τ ,
−max{−σhkj(t), 0} при t ≤ τ
(39)
и определим операторы pm = (pmk)
n
k=1 : C ([a, b],Rn) → L1 ([a, b],Rn), m = 1, 2, равен-
ствами
(pmku)(t) :=
n∑
j=1
h
[−(−1)mεkεj ]
kj (t)uj(ωkj(t)), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2, (40)
где
εk :=
0 при k ∈ J,
1 при k 6∈ J .
(41)
Легко видеть, что имеют место следующие свойства функций (39):
h
[σ]
kj (t)− h[−σ]
kj (t) = hkj(t), (42)
h
[σ]
kj (t) + h
[−σ]
kj (t) = |hkj(t)| (43)
и
h
[σ]
kj (t) sign (t− τ) ≥ 0 (44)
для всех k, j = 1, 2, . . . , n, σ ∈ {0, 1} и почти всех t из [a, b]. Из (42), в частности, вытекает,
что при каждом k = 1, 2, . . . , n разность операторов p1k и p2k совпадает с оператором (38).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 549
Иными словами, система уравнений (35) имеет вид (16), где операторы p1 = (p1k)
n
k=1 и
p2 = (p2k)
n
k=1 определены согласно равенствам (40).
В принятых условиях оба оператора p1 и p2 являются (ε, τ)-положительными относи-
тельно вектора (9) с компонентами ε1, ε2, . . . , εn. Действительно, из условия (36) и лем-
мы 1 следует, что оператор pm, m = 1, 2, будет (ε, τ)-положительным, если
εk
∑
j 6∈J
εjh
[−(−1)mεkεj ]
kj (t) sign (t− τ) ≥ 0 (45)
для каждого k 6∈ J и почти всех t из [a, b]. Однако, в силу (39) и (41),
εkεj h
[−(−1)mεkεj ]
kj (t) = h
[−(−1)mεkεj ]
kj (t) =
h
[εkεj ]
kj (t) для m = 1,
h
[−εkεj ]
kj (t) для m = 2
(46)
при всех k, j = 1, 2, . . . , n (в случаях, когда {k, j}∩J 6= ∅, все указанные величины равны
нулю). Следовательно, из (44) вытекает справедливость соотношения (45) для всех k 6∈ J
и почти всех t ∈ [a, b] , а это, как было отмечено выше, означает (ε, τ)-положительность
оператора pm, m = 1, 2.
Согласно (40), имеем
(pmkε)(t) =
n∑
j=1
εj h
[−(−1)mεkεj ]
kj (t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, m = 1, 2,
и поэтому, ввиду соотношений (43) и (41), для почти всех t из [a, b] и всех k = 1, 2, . . . , n
справедливы равенства
(p1kε)(t) + (p2kε)(t) =
n∑
j=1
εj
[
h
[εkεj ]
kj (t) + h
[−εkεj ]
kj (t)
]
=
n∑
j=1
εj |hkj(t)| =
=
∑
j 6∈J
|hkj(t)|.
Таким образом, для системы (35), записанной указанным выше способом в виде (16),
выполнено условие (27) при векторе-столбце ε с компонентами εk, k = 1, 2, . . . , n, за-
данными формулой (41). Для завершения доказательства теоремы остается сослаться на
следствие 3.
Аналогично следствию 4, для задач Коши с условиями в начале и конце заданного
промежутка из теоремы 3 вытекает такое следствие.
Следствие 5. Предположим, что интегрируемые функции hkj : [a, b] → R, k, j =
= 1, 2, . . . , n, удовлетворяют условию (36) при некотором выборе множества J ⊆ {1,
2, . . . , n}, и, кроме того, выполнено неравенство
max
k 6∈J
∑
j 6∈J
b∫
a
|hkj(t)| dt < 1. (47)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
550 А. Н. РОНТО
Тогда каждая из задач Коши (35), (30) и (35), (31) имеет единственное решение при
произвольных постоянных ck, k = 1, 2, . . . , n, измеримых функциях ωkj : [a, b] → [a, b],
k, j = 1, 2, . . . , n, и интегрируемых функциях qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n.
В тех случаях, когда матрица коэффициентов hkj , k, j = 1, 2, . . . , n, системы (35) не
имеет „перфорированной” структуры, описываемой условием (36), можно воспользо-
ваться таким признаком разрешимости задачи (35), (2).
Следствие 6. Если интегрируемые функции hkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, в систе-
ме (35) удовлетворяют условию
max
k=1,2,...,n
max
{
−
n∑
j=1
τ∫
a
|hkj(t)| dt,
n∑
j=1
b∫
τ
|hkj(t)| dt
}
< 1, (48)
то задача Коши (35), (2) имеет единственное решение при произвольных постоянных
ck, k = 1, 2, . . . , n, измеримых функциях ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, и интегриру-
емых функциях qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. В случае, когда множество J пусто, неравенство (37) имеет вид (48),
а условие (36) выполняется тривиальным образом. Поэтому для получения требуемого
утверждения достаточно применить теорему 3 при J := ∅.
Для задач (35), (30) и (35), (31) из следствия 5 очевидным образом вытекает такое
следствие.
Следствие 7. Если интегрируемые функции hkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, в систе-
ме (35) удовлетворяют условию
max
k=1,2,...,n
n∑
j=1
b∫
a
|hkj(t)| dt < 1, (49)
то задачи Коши (35), (30) и (35), (31) однозначно разрешимы при произвольных посто-
янных ck, k = 1, 2, . . . , n, измеримых функциях ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, и
интегрируемых функциях qk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n.
Важно отметить, что в установленных выше признаках не налагается никаких усло-
вий на измеримые функции ωkj : [a, b] → [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n, которые определяют
отклонения аргумента и лишь благодаря наличию которых система (35) может не при-
надлежать классу обыкновенных дифференциальных систем. Это странное, на первый
взгляд, обстоятельство объясняется наличием достаточно жестких ограничений на пове-
дение коэффициентов hkj , k, j = 1, 2, . . . , n, — например, условия (49) в следствии 7. В
п. 5, однако, показывается, что эти условия в определенном смысле неулучшаемы.
Приведем еще одно условие разрешимости задачи Коши для системы линейных диф-
ференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в постановке, восходящей
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 551
к более ранним работам по теории функционально-дифференциальных уравнений и со-
держащей начальные функции (см. библиографию в [2, 3]):
u′k(t) =
n∑
j=1
rkj(t)uj(ηkj(t)) + gk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (50)
uk(s) = ψk(s) при s 6∈ [a, b]. (51)
Здесь rkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, и gk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n, — интегрируемые,
a ηkj : [a, b] → R, k, j = 1, 2, . . . , n, — измеримые функции.
Следствие 8. При выполнении условия
max
k=1,2,...,n
max
−
n∑
j=1
∫
[a,τ ]∩η−1
kj ([a,b])
|rkj(t)| dt,
n∑
j=1
∫
[τ,b]∩η−1
kj ([a,b])
|rkj(t)| dt
< 1 (52)
задача (50), (51), (2) имеет единственное решение для произвольных постоянных ck,
k = 1, 2, . . . , n, и интегрируемых функций gk : [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n, независимо от
выбора начальных функций ψk : R \ [a, b] → R, k = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Аналогично тому, как это было сделано в п. 1 для уравнения (3), (4),
систему (50), (51) можно записать в виде (35), если для всех k, j = 1, 2, . . . , n, и почти всех
t ∈ [a, b] положить ωkj(t) := χηkj (t)ηkj(t) + t∗(1− χηkj (t)) и
hkj(t) := χηkj (t)rkj(t), (53)
qk(t) := gk(t) +
n∑
ν=1
rkν(t)(1− χηkν (t))ψν
(
χηkν (t)ηkν(t) + t∗(1− χηkν (t))
)
,
где t∗ ∈ [a, b] и t∗ 6∈ [a, b] — произвольным образом фиксированные точки, а функции
χηkj : R → {0, 1}, k, j = 1, 2, . . . , n, определены формулой (6). Согласно (6), равенство
(53) означает, что hkj равно нулю на множестве тех точек, в которых значение функции
ηkj не принадлежит промежутку [a, b]. Поэтому (52) гарантирует, что для соответствую-
щей системы (35) выполнению условие (48). Применение следствия 6 завершает доказа-
тельство.
5. Оптимальность условий. Для функционально-дифференциальных уравнений сис-
тем (1) размерности n ≥ 2 условие (19) в теоремах 1 и 2 неулучшаемо в том смысле, что
неравенство 0 ≤ α < 1 для входящей в него постоянной α, вообще говоря, нельзя заме-
нить соответствующим нестрогим неравенством 0 ≤ α ≤ 1. Более того, точны оценки во
всех утверждениях, полученных для системы (55), (56), которая, очевидно, является част-
ным случаем системы (35). Так, строгое неравенство (47) в следствии 5, вообще говоря,
нельзя заменить соответствующим нестрогим неравенством
max
k 6∈J
∑
j 6∈J
b∫
a
|hkj(t)| dt ≤ 1
и т. д.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
552 А. Н. РОНТО
Действительно, рассмотрим однородную начальную задачу
u1(a) = 0, u2(a) = 0 (54)
для системы двух линейных функционально-дифференциальных уравнений
u′1(t) =
1
2 (b− a)
[u1(b)− u2(b)] , (55)
u′2(t) =
1
2 (b− a)
[u2(b)− u1(b)] , t ∈ [a, b], (56)
заданной на некотором ограниченном промежутке [a, b]. Система (55), (56), очевидно,
примет вид (35), если положить n := 2, ωkj(t) := b и
hkj(t) :=
(−1)k+j
2 (b− a)
для почти всех t из [a, b] и всех {k, j} ⊂ {1, 2}. Ясно также, что условие (54) означает не
что иное, как (26) с τ = a.
Для задачи (55), (56), (54), записанной указанным выше способом в виде (35), (26),
неравенство (49) не выполняется, поскольку имеет место равенство
max
k=1,2,...,n
n∑
j=1
b∫
a
|hkj(t)| dt = 1.
Легко убедиться в том, что для произвольного ненулевого λ пара функций
u1(t) = λ (t− a) , u2(t) = −λ (t− a) , t ∈ [a, b],
является нетривиальным решением однородной задачи (55), (56), (54), и, таким образом,
замена в следствии 7 строгого неравенства (49) соответствующим нестрогим неравен-
ством
max
k=1,2,...,n
n∑
j=1
b∫
a
|hkj(t)| dt ≤ 1
приводит к тому, что упомянутое утверждение теряет силу. Аналогичное заключение
справедливо и для каждого из остальных результатов пп. 3, 4.
При n = 1 пример указанного выше типа построить невозможно; это следует из ре-
зультатов работы [5].
6. Доказательство основной теоремы. Основным при доказательстве теоремы 1 яв-
ляется следующее утверждение (см. [11]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ . . . 553
Теорема 4. Пусть E — вещественное банахово пространство, K — собственный
клин в E, а A1 : E → E и A2 : E → E — вполне непрерывные линейные операторы,
удовлетворяющие условиям
A1 (K) ∪A2 (K) ⊂ K, (57)
K ∩ (−K) ⊂ ker (A1 −A2) . (58)
Предположим, кроме того, что при некотором линейном многообразии Π ⊆ E, со-
держащем в себе образ дополнения множества K ∩ (−K) при отображении A1 − A2,
соответствующее множество
QΠ(K) :=
{
f ∈ K | ∀x ∈ Π ∃βx ∈ (0,+∞) : {βxf + x, βxf − x} ⊂ K
}
(59)
непусто.
Тогда спектральный радиус r (A1 −A2) оператора A1 −A2 допускает оценку
r (A1 −A2) ≤ inf
{
γ ∈ (0,+∞) | γf −A1f −A2f ∈ K при некотором f ∈ QΠ(K)
}
.
(60)
В (57) используется стандартное обозначение A(M) := {Ax | x ∈ M}, M ⊆ E.
Напомним также, что под клином понимается такое непустое замкнутое подмножество
K ⊂ E, для которого α1K + α2K ⊂ K при произвольных {α1, α2} ⊂ (0,+∞) (см., на-
пример, [12, 13]). Здесь, как обычно, α1K + α2K означает множество элементов вида
α1u1 + α2u2, где {α1, α2} ⊂ R и {u1, u2} ⊂ K.
Нам потребуется также следующее утверждение [6, 14].
Лемма 2. Для любого ограниченного линейного оператора l : C ([a, b],Rn) → L1([a, b],
Rn) соответствующий линейный оператор Iτ l : C ([a, b],Rn) → C ([a, b],Rn), где τ ∈
∈ [a, b], Iτ : L1 ([a, b],Rn) → C ([a, b],Rn),
L1 ([a, b],Rn) 3 v 7−→ Iτv :=
·∫
τ
v(s) ds, (61)
вполне непрерывен.
Заметим, что в приводимом ниже доказательстве теоремы 1 без леммы 2 можно обой-
тись, если в формулировку теоремы 1 не включать утверждение о представимости реше-
ния задачи (16), (17) в виде ряда (21). Указанное обстоятельство объясняется тем, что и
без предположения о полной непрерывности операторов Am, m = 1, 2, при выполнении
всех прочих условий теоремы 4 число 1 не является собственным значением ограничен-
ного линейного оператора A1 −A2.
Доказательство теоремы 1. Определим K как множество всех ε-положительных не-
прерывных функций u : [a, b] → Rn. При выполнении неравенства (10) это множество,
очевидно, образует собственный клин в пространстве E := C([a, b],Rn), причем
K ∩ (−K) = {u ∈ C([a, b],Rn) | u(t) =ε 0 при всех t ∈ [a, b]}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
554 А. Н. РОНТО
Зададим операторы Am : C([a, b],Rn) → C([a, b],Rn), m = 1, 2, формулой
Am := Iτpm, m = 1, 2,
где Iτ : L1 ([a, b],Rn) → C ([a, b],Rn) — оператор интегрирования (61). Согласно лемме 2,
эти операторы вполне непрерывны.
Легко проверить, что при таком определении клина K и операторов A1 и A2 свой-
ство (ε, τ)-положительности операторов p1 и p2 обеспечивает выполнение включения
(57). Предположение о том, что из (13) всегда вытекает (18), гарантирует выполнение
условия (58). Кроме того, из определения множества K ясно, что в силу справедливости
включения (20) для всех непрерывных функций u : [a, b] → Rn, не удовлетворяющих
соотношению (13), функция f := y является элементом соответствующего рассматри-
ваемому случаю множеству (59). Заметив теперь, что интегральное неравенство (19) в
данном случае означает справедливость соотношения
γf −A1f −A2f ∈ K
с γ := α, заключаем, что можно воспользоваться теоремой 4. Утверждение о представи-
мости единственного решения задачи (16), (17) в виде (21) является следствием известно-
го свойства резольвенты.
1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
2. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — 2-e изд. —
М.: Наука, 1972. — 352 с.
3. Беллман Т., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
4. Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional-differential equations.
— Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. — 648 p.
5. Bravyi E., Hakl R., and Lomtatidze A. Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem for
first order linear functional differential equations // Czech. Math. J. — 2002. — 52, № 3. — P. 513 – 530.
6. Hakl R., Lomtatidze A., and Stavroulakis J. On boundary value problems for scalar linear functional di-
fferential equations // Abstrs and Appl. Anal. — 2004. — № 1. — P. 45 – 67.
7. Дильная Н. З., Ронто А. Н. Некоторые новые условия разрешимости задачи Коши для систем линей-
ных функционально-дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2004. — 57, № 7. — С. 867 – 884.
8. Ронто А. Н. Точные условия разрешимости задачи Коши для систем линейных функционально-диффе-
ренциальных уравнений первого порядка, задаваемых (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-положительными оператора-
ми // Там же. — 2003. — 55, № 11. — С. 1541 – 1568.
9. Dilnaya N., Rontó A. Multistage iterations and solvability of linear Cauchy problems // Miskolc Math. Notes.
— 2003. — 4, № 2. — P. 89 – 102.
10. Бахтин И. А., Красносельский М. А., Стеценко В. Я. О непрерывности линейных положительных
операторов // Сиб. мат. журн. — 1962. — 3, № 1. — С. 156 – 160.
11. Rontó A. On the unique solvability of linear equations determined by monotone decomposable operators //
Miskolc Math. Notes. — 2004. — 5, № 1. — P. 71 – 82.
12. Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве
Банаха // Успехи мат. наук. — 1948. — 3, № 1(23). — C. 3 – 95.
13. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. Метод положи-
тельных операторов. — М.: Наука, 1985. — 254 с.
14. Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы (общая теория). — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. —
T. 1. — 895 с.
Получено 10.01.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 4
|