Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона
Представлены явная и неявная схемы функционально-дискретного метода (FD-метода) решения нелинейного уравнения Кляйна – Гордона. Описан алгоритм предлагаемого FD-метода, который исследован с точки зрения его сложности. Явная и неявная схемы FD-метода сравниваются с помощью численного примера....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177033 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 75-89. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177033 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770332021-02-11T01:27:45Z Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. Представлены явная и неявная схемы функционально-дискретного метода (FD-метода) решения нелинейного уравнения Кляйна – Гордона. Описан алгоритм предлагаемого FD-метода, который исследован с точки зрения его сложности. Явная и неявная схемы FD-метода сравниваются с помощью численного примера. In the paper we propose explicit and implicit schemes of the functional-discrete method (FD-method) for solving a nonlinear Klein – Gordon equation. The algorithm for the proposed FD-method is described and investigated from the complexity point of view. Explicit and implicit schemes of the FD-method are compared by numerical example. 2013 Article Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 75-89. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177033 519.633.2 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Представлены явная и неявная схемы функционально-дискретного метода (FD-метода) решения нелинейного уравнения Кляйна – Гордона. Описан алгоритм предлагаемого FD-метода, который исследован с точки зрения его сложности. Явная и неявная схемы FD-метода сравниваются с помощью численного примера. |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. |
| spellingShingle |
Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона Нелінійні коливання |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Сембер, Д.А. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона |
| title_short |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона |
| title_full |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона |
| title_fullStr |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона |
| title_full_unstemmed |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона |
| title_sort |
алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї fd-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння кляйна – гордона |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177033 |
| citation_txt |
Алгоритмiчнi аспекти програмної реалiзацiї FD-методу розв’язування нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов, Д.А. Сембер // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 75-89. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl algoritmičniaspektiprogramnoírealizaciífdmetodurozvâzuvannânelinijnogorivnânnâklâjnagordona AT dragunovdv algoritmičniaspektiprogramnoírealizaciífdmetodurozvâzuvannânelinijnogorivnânnâklâjnagordona AT semberda algoritmičniaspektiprogramnoírealizaciífdmetodurozvâzuvannânelinijnogorivnânnâklâjnagordona |
| first_indexed |
2025-07-15T14:59:37Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:59:37Z |
| _version_ |
1837725466082934784 |
| fulltext |
УДК 519.633.2
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ
FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ
КЛЯЙНА – ГОРДОНА
В. Л. Макаров, Д. В. Драгунов, Д. А. Сембер
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: semberdmitry@gmail.com
In the paper we propose explicit and implicit schemes of the functional-discrete method (FD-method) for
solving a nonlinear Klein – Gordon equation. The algorithm for the proposed FD-method is described
and investigated from the complexity point of view. Explicit and implicit schemes of the FD-method are
compared by numerical example.
Представлены явная и неявная схемы функционально-дискретного метода (FD-метода) реше-
ния нелинейного уравнения Кляйна – Гордона. Описан алгоритм предлагаемого FD-метода, ко-
торый исследован с точки зрения его сложности. Явная и неявная схемы FD-метода сравнива-
ются с помощью численного примера.
1. Вступ. Дана робота є логiчним продовженням статтi [1], в якiй запропоновано та об-
ґрунтовано явну схему функцiонально-дискретного методу (FD-методу) розв’язування
задачi Гурса для нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона
∂2v(ξ, t)
∂t2
− ∂2v(ξ, t)
∂ξ2
+ N(v(ξ, t)) = Φ(ξ, t). (1)
Вiдомо, що нелiнiйне рiвняння Кляйна – Гордона (1) широко застосовується в сучаснiй
фiзицi та iнженерiї. Зокрема, воно виникає при вивченнi скалярного масивного поля у
просторах де Сiттера та анти-де Сiттера [20, 21], при вивченнi розповсюдження iнтенсив-
них ультракоротких оптичних iмпульсiв з низькою щiльнiстю дiелектрикiв [7], пiонних
атомiв [15] i т. д. Крiм того, частинний випадок рiвняння Кляйна – Гордона — рiвняння
синус-Гордона (the Sine-Gordon equation) — також має численнi застосування у фiзицi.
Воно зустрiчається при вивченнi поширення магнiтного потоку у переходах Джозефсо-
на [4], динамiки доменної стiнки в магнiтних кристалах [2] i т. д. Крiм того, в теорiї сильних
взаємодiй рiвняння синус-Гордона фiгурує як спрощення класичної моделi [16, 18]. У гео-
метрiї задачi Гурса та Кошi для рiвняння синус-Гордона пов’язанi з iснуванням спецiальних
сiток на поверхнях у просторi E3, якi називаються чебишовськими сiтками [17].
Функцiонально-дискретний метод — це симбiоз скiнченно-рiзницевого методу та ме-
тоду гомотопiй (методу продовження за параметром), завдяки чому вiн має основнi вла-
стивостi як аналiтичних, так i дискретних методiв одночасно. FD-метод, запропонова-
ний в [1], базується на загальнiй схемi FD-методу розв’язування операторних рiвнянь, що
наведена в [5, 12], i походить з функцiонально-дискретного методу розв’язування задачi
Штурма – Лiувiлля (див. [13, 14]).
c© В. Л. Макаров, Д. В. Драгунов, Д. А. Сембер, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1 75
76 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
У данiй роботi разом з явною схемою FD-методу (див. [1]) ми розглянемо також неяв-
ну схему FD-методу та порiвняємо двi схеми з точки зору складностi програмної реалiза-
цiї та швидкостi збiжностi.
2. Короткий опис FD-методу (явна i неявна форма). Розглядається наступна задача
Гурса для рiвняння Кляйна – Гордона (1), яке наведено в дещо модифiкованому виглядi,
бiльш зручному для застосування до нього запропонованого методу:
∂2u(x, y)
∂x∂y
+ N(u(x, y)) = f(x, y), (2)
u(x, 0) = ψ(x), u(0, y) = φ(y), ψ(0) = φ(0), (3)
де u(x, y) = v(x− y, x+ y), f(x, y) = Φ(x− y, x+ y).
Припускається, що нелiнiйну функцiю N(u) можна зобразити у виглядi
N(u) = N(u)u, N(u) =
∞∑
s=0
νsu
s ∀u ∈ R, νs ∈ R,
а також виконуються наступнi умови:
ψ(x) ∈ C(1)(D1) ∩ C(D̄1), φ(y) ∈ C(1)(D2) ∩ C(D̄2), f(x, y) ∈ C(D̄),
D = {(x, y) : 0 < x < X, 0 < y < Y }, D1 = (0;X), D2 = (0;Y ).
Iз зроблених припущень випливає, що розв’язок u(x, y) ∈ C1,1(D)∩C(D̄) задачi Гурса (2),
(3) iснує i є єдиним у D (див. [10]).
Згiдно iз загальною схемою FD-методу, ми наближаємо точний розв’язок u(x, y) зада-
чi (2), (3) функцiєю
m
u(x, y), яка визначається таким чином:
m
u(x, y) =
m∑
k=0
(k)
u(x, y), m ∈ N. (4)
Для визначення функцiй
(k)
u(x, y) введемо до розгляду наступну сiтку:
xi = h1i, yj = h2j, h1 =
X
N1
, h2 =
Y
N2
, i ∈ 0, N1, j ∈ 0, N2, N1, N2 ≥ 1. (5)
Використовуючи iдею, викладену в [5, 6], розглянемо наступне узагальнення зада-
чi (2), (3):
∂2u(x, y, τ)
∂x∂y
+N(uα,⊥(x, y, τ))u(x, y, τ)−
− τ [N(uα,⊥(x, y, τ))−N(u(x, y, τ))]u(x, y, τ) = f(x, y), (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 77
u(x, 0, τ) = ψ(x), u(0, y, τ) = φ(y), ψ(0) = φ(0), τ ∈ [0; 1], (7)
де
uα,⊥(x, y, τ) = u(xi−1+α, yj−1+α)
∀(x, y) ∈ [xi−1, xi)× [yj−1, yj) ∀α ∈ [0; 1] ∀i ∈ 1, N1 ∀j ∈ 1, N2.
Припускаючи, що розв’язок u(x, y, τ) задачi (6), (7) iснує для будь-якого τ ∈ [0; 1], не-
важко зробити висновок, що u(x, y) = u(x, y, 1). Крiм того, припускаючи, що розв’язок
u(x, y, τ) може бути знайдений у виглядi ряду
u(x, y, τ) =
∞∑
i=0
(i)
u(x, y)τ i, (8)
де
(i)
u(x, y) — функцiї, що не залежать вiд τ, приходимо до висновку, що розв’язок u(x, y) за-
дачi (2), (3) може бути з довiльною точнiстю наближений за допомогою функцiї
(m)
u (x, y) (4). Пiдставляючи ряд (8) у задачу (6), (7) та прирiвнюючи функцiональнi коефiцi-
єнти при однакових степенях τ, переконуємось, що невiдому функцiю
(0)
u (x, y) ∈ C(D̄)
можна знайти як розв’язок нелiнiйної задачi Гурса з кусково-сталим коефiцiєнтом, яка
називається базовою задачею:
∂2
(0)
u(x, y)
∂x∂y
+N(
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))
(0)
u(x, y) = f(x, y) ∀(x, y) ∈ P̄i,j , (9)
(0)
u(x, 0) = ψ(x),
(0)
u(0, y) = φ(y) ∀(x, y),∈ D̄, ψ(0) = φ(0), (10)
де
Pi,j = (xi−1, xi)× (yj−1, yj), i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2. (11)
Функцiї
(k)
u(x, y) ∈ C(D̄), k ∈ 1,m, шукаються як розв’язки наступної послiдовностi лiнiй-
них задач Гурса:
∂2
(k)
u(x, y)
∂x∂y
+N(
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))
(k)
u(x, y) =
= −N ′(
(0)
u(x, y))
(0)
u(x, y)
(k)
u(xi−1+α, yj−1+α)−
−
k−1∑
s=1
Ak−s(N ;
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(k−s)
u (xi−1+α, yj−1+α))
(s)
u(x, y)−
−Ak(N ;
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(k−1)
u (xi−1+α, yj−1+α), 0)
(0)
u(x, y)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
78 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
+
k−1∑
s=0
[
Ak−1−s(N ;
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(k−1−s)
u (xi−1+α, yj−1+α))−
− Ak−1−s(N ;
(0)
u(x, y), . . . ,
(k−1−s)
u (x, y))
]
(s)
u(x, y) =
(k)
F (x, y), (12)
(k)
u(xi−1 + 0, y) =
(k)
u(xi−1 − 0, y),
(k)
u(x, yj−1 + 0) =
(k)
u(x, yj−1 − 0)
(13)
∀(x, y) ∈ P̄i,j i ∈ 1, N1 j ∈ 1, N2,
(k)
u(0, y) =
(k)
u(x, 0) = 0 ∀x ∈ [0, X] ∀y ∈ [0, Y ]. (14)
Через An(N ; v0, v1, . . . , vn) позначено полiноми Адомяна n-го порядку для функцiї N(·)
(див., наприклад, [8, 11, 19]), якi можуть бути обчисленi за формулою
An(N ; v0, v1, . . . , vn) =
1
n!
dn
dτn
N
( ∞∑
s=0
vsτ
s
)∣∣∣∣∣
τ=0
=
=
∑
α1+...+αn=n
α1≥...≥αn+1=0
αi∈N∪{0}
N (α1)(v0)
vα1−α2
1
(α1 − α2)!
. . .
v
αn−αn+1
n
(αn − αn+1)!
. (15)
Вiдомо (див., наприклад, [3]), що розв’язки задач (9) – (12) можна записати в явному
виглядi за допомогою розв’язуючого оператора, роль якого вiдiграє функцiя Рiмана:
(k)
u(x, y) = R(x, yj−1, x, y)
(k)
u(x, yj−1) +R(xi−1, y, x, y)
(k)
u(xi−1, y)−
−R(xi−1+α, yj−1+α, x, y)
(k)
u(xi−1+α, yj−1+α)−
−
x∫
xi−1
[
∂
∂ξ
R(ξ, yj−1, x, y)
]
(k)
u(ξ, yj−1) dξ−
−
y∫
yj−1
[
∂
∂η
R(xi−1, η, x, y)
]
(k)
u(xi−1, η) dη+
+
x∫
xi−1
y∫
yj−1
R(ξ, η, x, y)gk(ξ, η)dξdη ∀(x, y) ∈ P̄i,j , (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 79
де
gk(x, y) =
{
f(x, y), k = 0;
−N ′l(
(0)
u(x, y))
(0)
u(x, y)
(k)
u(xi−1+α, yj−1+α)−
(k)
F (x, y), k > 0,
R(x, y; ξ, η) = J0
(√
4Ni,j(x− ξ)(y − η)
)
= 0F1(1;−(x− ξ)(y − η)Ni,j),
∂
∂x
R(x, y; ξ, η) = 0F1(2;−(x− ξ)(y − η)Ni,j)Ni,j(η − y), (17)
∂
∂y
R(x, y; ξ, η) = 0F1(2;−(x− ξ)(y − η)Ni,j)Ni,j(ξ − x),
Ni,j =
∣∣∣∣N(
(k)
u(xi−1+α, yj−1+α))
∣∣∣∣ ∀(x, y), (ξ, η) ∈ P̄i,j , i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2,
а через J0, 0F1 позначено функцiю Бесселя першого роду нульового порядку та виродже-
ну гiпергеометричну функцiю вiдповiдно (див. [9]).
При α = 0 описаний вище алгоритм — це явна схема FD-методу, при α > 0 — неявна
схема FD-методу. Взагалi кажучи, α може набувати довiльних значень 0 ≤ α ≤ 1, але в
данiй роботi пiд неявною схемою FD-методу ми розумiтимемо таку схему, в якiй α = 1.
В роботi [1] було знайдено достатнi умови збiжностi явної схеми FD-методу та одер-
жано оцiнки швидкостi такої збiжностi. Крiм того, було дослiджено апроксимацiйнi вла-
стивостi розв’язку базової задачi (9), (10) по вiдношенню до розв’язку вихiдної задачi (2),
(3). Нижче основнi результати з [1] наведено у виглядi теорем.
Теорема 1. Припустимо, що u(x, y) — розв’язок задачi (2), (3), а
(0)
u (x, y) — розв’язок
задачi (9), (10) при α = 0. Тодi для довiльних достатньо малих значень h1 та h2 iснує не
залежна вiд h1 та h2 стала κ така, що має мiсце наступна оцiнка:∥∥∥∥u(x, y)−
(0)
u(x, y)
∥∥∥∥
D̄
≤ hκ, h =
√
h2
1 + h2
2, (18)
де ‖u(x, y)−
(0)
u(x, y)‖D̄ = max(x,y)∈D |u(x, y)−
(0)
u(x, y)|.
Теорема 2. Припустимо, що для задачi Гурса (2), (3) виконуються наступнi умови:
1) N(u) = u
∑∞
k=0 νku
k ∀u ∈ R, νk ∈ R;
2) ψ(x) ∈ C(1)(D1) ∩ C(D̄1), φ(y) ∈ C(1)(D2) ∩ C(D̄2), f(x, y) ∈ C(D̄).
Тодi явна схема FD-методу для задачi Гурса (2), (3) збiгається до точного розв’язку
задачi. Крiм того, мають мiсце наступнi оцiнки абсолютної похибки методу:
‖u(x, y)−
(m)
u (x, y)‖1,D̄ ≤
cR
(m+ 1)1+ε(R− h)
(
h
R
)m+1
, m ∈ N ∪ {0}, (19)
де h =
√
h2
1 + h2
2, h < R1 , а додатнi дiйснi сталi залежать лише вiд вхiдних даних
задачi (2), (3).
1 Детальнiше про походження сталої R див. [1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
80 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
3. Алгоритм програмної реалiзацiї FD-методу та його обчислювальна складнiсть. У
даному пунктi ми розглянемо питання алгоритмiчної реалiзацiї FD-методу (4) – (10) та
оцiнимо складнiсть запропонованого алгоритму з точки зору кiлькостi необхiдних основ-
них операцiй (додавання, множення, дiлення).
Очевидно, що iнтеграли у формулi (16) не можуть бути вираженi через елементарнi
функцiї. Тому для обчислення функцiй
(k)
u (x, y), k = 0, 1, 2, . . . , необхiдно використовува-
ти чисельнi методи iнтегрування. Однак безпосереднє застосування квадратурних фор-
мул таких, наприклад, як формули Ньютона – Котеса чи Sink-квадратурнi формули, не є
виправданим з точки зору обчислювальної складностi. Причиною цього є той факт, що
функцiя Рiмана R(x, y; ξ, η) (17) не може бути розщеплена на мультиплiкативнi частини
(множники), кожна з яких залежить або лише вiд (x, y), або лише вiд (ξ, η). Iншими сло-
вами, застосовуючи квадратурнi формули до iнтеграла
x∫
xi
y∫
yj
R(ξ, η, x, y)gk(ξ, η)dξdη, (20)
ми не можемо використати адитивну властивiсть iнтеграла. Так, використовуючи, на-
приклад, квадратурну формулу Сiмпсона, нам потрiбно (як буде показано нижче) вико-
нати порядку O(n4) основних операцiй, де через n позначено дискретизацiю прямокут-
ника [xi, xi+1] × [yj , yj+1]. На противагу цьому метод послiдовних наближень є значно
бiльш ефективним при обчисленнi функцiй
(k)
u (x, y), k = 0, 1, 2, . . . . Для того щоб про-
iлюструвати цей факт, розглянемо прямокутник Pi,j = (xi−1, xi) × (yj−1, yj) , i ∈ 1, N1,
j ∈ 1, N2. Для обчислення наближеного значення iнтеграла (20) розiб’ємо прямокутник
Pi,j деякою сiткою з рiвномiрними кроками по обох координатних осях (xi − xi−1)/p та
(yj − yj−1)/p вiдповiдно. Позначимо вузли цiєї квадратурної сiтки (ξk, ηl), k, l ∈ 1, p. Якби
подвiйний iнтеграл (20) мав адитивну властивiсть, то для його обчислення за допомогою
деякої квадратурної формули Ньютона – Котеса на сiтцi (ξk, ηl), k, l ∈ 1, p, нам потрiбно
було б виконати порядку p2 основних операцiй. Справдi, двiчi застосувавши до подвiйного
iнтеграла, що має адитивну властивiсть, деяку квадратурну формулу Ньютона – Котеса з
рiвномiрним розбиттям областi iнтегрування по обох координатах, одержимо
x∫
0
y∫
0
f(ξ, η) dξdη ≈
x∫
0
p∑
j=0
Ajf(ξ, yj)dξ =
p∑
j=0
Aj
x∫
0
f(ξ, yj)dξ ≈
≈
p∑
j=0
Aj
p∑
i=0
Bif(xi, yj) =
p∑
j=0
p∑
i=0
AjBif(xi, yj), (21)
де Aj та Bi — деякi сталi, якi залежать вiд коефiцiєнтiв застосованих квадратурних фор-
мул.
Пiдрахуємо скiльки операцiй додавання потрiбно виконати, щоб обчислити iнтеграл
(20) у точках (ξk, ηl), k, l ∈ 1, p, за допомогою частинного випадку формули (21) — фор-
мули прямокутникiв. Позначимо через rk,l кiлькiсть операцiй додавання2, необхiдних для
2 У формулi прямокутникiв операцiй додавання значно бiльше, нiж множення, тому останнiми в даному
випадку можна знехтувати.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 81
обчислення iнтеграла в точцi (ξk, ηl). Тодi очевидно, що
r1,1 = 1, r1,2 = 2, r1,3 = 3, r1,4 = 4, . . . , r1,p = p,
а
p∑
s=1
r1,s = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ p =
p(p+ 1)
2
;
r2,1 = 2, r2,2 = 4, r2,3 = 6, r2,4 = 8, . . . , r2,p = 2p,
а
p∑
s=1
r2,s = 2 + 4 + 6 + 8 + . . .+ 2p =
2p(p+ 1)
2
;
r3,1 = 3, r3,2 = 6, r3,3 = 9, r3,4 = 12, . . . , r3,p = 3p,
а
p∑
s=1
r3,s = 3 + 6 + 9 + 12 + . . .+ 3p =
3p(p+ 1)
2
.
I в загальному
p∑
s=1
rp,s = p+ 2p+ 3p+ 4p+ . . .+ p2 = p
p(p+ 1)
2
.
Тепер ми можемо пiдрахувати кiлькiсть S додавань, необхiдних для наближеного об-
числення згадуваного iнтеграла в усiх вузлах сiтки (ξk, ηl), k, l ∈ 1, p:
S =
p(p+ 1)
2
+
2p(p+ 1)
2
+
3p(p+ 1)
2
+ . . .+ p
p(p+ 1)
2
=
=
p(p+ 1)
2
(1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ p) =
p(p+ 1)
2
p(p+ 1)
2
=
(
p(p+ 1)
2
)2
= O(p4). (22)
Пiдрахуємо тепер кiлькiсть основних операцiй, необхiдних для безпосереднього знахо-
дження функцiй
(k)
u (x, y), k = 0, 1, 2 . . . , з рiвнянь (9), (11), використавши метод послiдов-
них наближень:
(r)
u n (ξk, ηl) = −
ξk∫
xi−1
ηl∫
yj−1
[
N
(
(r)
u n−1 (xi−1+α, yj−1+α)
)
(r)
u n−1 (x, y) −
− gr
(
x, y,
(r)
u n−1 (x, y)
)]
dy dx+
(r)
u n (xi−1, ηl)+
+
(r)
u n (ξk, yj−1)−
(r)
u n (xi−1+α, yj−1+α), (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
82 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
де
gr(x, y,
(r)
u n−1 (x, y)) =
=
f(x, y), r = 0,
−N ′
(
(0)
u(x, y)
)
(0)
u(x, y)
(r)
u n−1(xi−1+α, yj−1+α)−
(r)
F(x, y), r > 0,
(r)
u 0 (x, y) ≡ 0 ∀(x, y) ∈ Pi,j , r = 0, 1, 2, . . . , k, l ∈ 1, p, i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2, n = 1, 2, . . . .
Отже, як було показано вище, в цьому випадку (див. формулу (21)) у кожному пря-
мокутнику Pi,j потрiбно виконати порядку p2 основних операцiй. Оскiльки таких клiтин-
прямокутникiв сiтки ω є N1×N2, то на кожному кроцi методу матимемо порядку p2N1N2
основних операцiй. А для m задач FD-методу (9) – (14) будемо мати порядку mp2N1N2
основних операцiй. Для знаходження наближення (4) потрiбно ще виконати
(m+1)p2N1N2 операцiю додавання. Отже, всього потрiбно виконати порядку mp2N1N2 +
+(m+ 1)p2N1N2 = (2m+ 1)p2N1N2 основних операцiй.
Тепер аналогiчним чином пiдрахуємо кiлькiсть основних операцiй, якi необхiдно вико-
нати для обчислення функцiй
(k)
u (x, y), k = 0, 1, 2, . . . , за формулами (16), (17). Оскiльки в
кожному прямокутнику Pi,j розв’язок
(k)
u(x, y), k = 0, 1, 2, . . . , зображується за допомогою
формули (16), то, врахувавши (22), матимемо порядку
(
p(p+ 1)
2
)2
основних операцiй у
кожному з таких прямокутникiв. Оскiльки таких клiтин-прямокутникiв сiтки ω єN1×N2,
то на кожному кроцi методу матимемо порядку
(p(p+1)
2
)2
N1N2 основних операцiй. А для
m задач FD-методу будемо мати порядку
(
p(p+ 1)
2
)2
mN1N2 основних операцiй. Для зна-
ходження наближення (4) потрiбно ще виконати
(
p(p+ 1)
2
)2
(m + 1)N1N2 операцiю до-
давання. Отже, всього потрiбно виконати порядку (2m + 1)
(
p(p+ 1)
2
)2
N1N2 основних
операцiй.
Отже, як випливає з наведених мiркувань, безпосереднє знаходження функцiй
(k)
u (x, y), k = 0, 1, 2 . . . , з рiвнянь (9), (11) з допомогою методу послiдовних наближень
є ефективнiшим з точки зору кiлькостi виконання основних операцiй, нiж їх обчислення
за формулами (16), (17).
Розглянемо детально алгоритм FD-методу. Нижче наведено двi алгоритмiчнi схеми,
перша з яких — це алгоритм розв’язування базової задачi (9) – (11), а друга — алгоритм
явної схеми FD-методу розв’язування послiдовностi задач (12) – (14). Тут
(0)
u p,k (x, y) —
розв’язок базової задачi методом послiдовних наближень на k-му кроцi цього методу у
p-му прямокутнику сiтки FD-методу (p = 1, N1 ×N2), ε — машинний епсiлон (наприклад,
для типу double ε ≈ 1 · 10−16).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 83
Алгоритм 1. Алгоритм FD-методу розв’язування базової задачi.
1 input: дiйснi сталi N1, N2 ∈ N, ε > 0, функцiї ψ(x) ∈ C(1) (D1) ∩ C
(
D̄1
)
2 φ(y) ∈ C(1) (D2) ∩ C
(
D̄2
)
, f(x, y) ∈ C(D̄), N(u) ∈ C∞(R)
3 output: функцiї
(0)
u p,k(x, y) такi, що
∥∥(0)
u p,k(x, y)−
(0)
u p,k−1(x, y)
∥∥
Pi,j
≤ ε
4 begin
5 Φ(y) := ϕ(y); Ψ(x) := ψ(x)
6 p := 1;
(0)
u p,0(x, y) := 0;
(0)
u p,1(x, y) := 1
7 for j = 1 to N2 do
8 for i=1 to N1 do
9 if (i<>1) and (j<>1) then
10 Φ(y) :=
(0)
u p−1,k−1(xi−1, y)
11 Ψ(x) :=
(0)
u p−N1,k−1(x, yj−1)
12 else
13 if (i=1) and (j>=2) then
14 Φ(y) := ϕ(y)
15 Ψ(x) :=
(0)
u p−N1,k−1(x, yj−1)
16 else
17 //Виконується, коли (j=1) and (i>=2)
18 Ψ(x) := ψ(x)
19 Φ(y) :=
(0)
u p−1,k−1(xi−1, y)
20 end
21 end
22 k := 1;
(0)
u p,0(x, y) := 0;
(0)
u p,1(x, y) := 1
23 while
∥∥(0)
u p,k(x, y)−
(0)
u p,k−1(x, y)
∥∥
Pi,j
> ε do
24
(0)
u p,k(x, y) := −
x∫
xi−1
y∫
yj−1
(
N
((0)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α)
) (0)
u p,k−1(ξ, η) +
+ f(ξ, η)
)
dξdη+ +Φ(y) + Ψ(x)− Φ(0)
25 k:=k+1
26 end
27 p := p+ 1
28 end
29 end
30 end
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
84 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
Алгоритм 2. Алгоритм FD-методу розв’язування задач вищих рангiв.
1 input: дiйснi сталi N1, N2 ∈ N, ε > 0, m — ранг FD-методу функцiї
2 ψ(x) ∈ C(1) (D1) ∩ C
(
D̄1
)
, φ(y) ∈ C(1) (D2) ∩ C
(
D̄2
)
, f(x, y) ∈ C(D̄), N(u) ∈ C∞(R)
3 output: функцiї
(r)
u p,k (x, y), такi, що
∥∥(r)u p,k(x, y)−
(r)
u p,k−1(x, y)
∥∥
Pi,j
≤ ε
4 begin
5 Φ(y) := ϕ(y); Ψ(x) := ψ(x), p := 1; r := 1;
(r)
u p,0(x, y) := 0;
(r)
u p,1(x, y) := 1
6 while r>m do
7 for j = 1 to N2 do
8 for i=1 to N1 do
9 if (i<>1) and (j<>1) then
10 Φ(y) :=
(r)
u p−1,k−1(xi−1, y); Ψ(x) :=
(r)
u p−N1,k−1(x, yj−1)
11 else
12 if (i=1) and (j>=2) then
13 Φ(y) := ϕ(y); Ψ(x) :=
(r)
u p−N1,k−1(x, yj−1)
14 else
15 //Виконується, коли (j=1) and (i>=2)
16 Ψ(x) := ψ(x); Φ(y) :=
(r)
u p−1,k−1(xi−1, y)
17 end
18 end
19 k := 1;
(r)
u p,0 (x, y) := 0;
(r)
u p,1(x, y) := 1
20 while
∥∥(r)u p,k(x, y)−
(r)
u p,k−1(x, y)
∥∥
Pi,j
> ε do
21
(r)
F (x, y) = −N ′
((0)
u p,k−1(x, y)
) (0)
u p,k−1(x, y)
(r)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α)−
22 −
r−1∑
s=1
Ar−s
(
N ;
(0)
up,k−1(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(r−s)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α)
)
×
×
(s)
u p,k−1(x, y)−
23 −Ar
(
N ;
(0)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(r−1)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α), 0
)
×
×
(0)
u p,k−1(x, y) +
+
r−1∑
s=0
[
Ar−1−s
(
N ;
(0)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α), . . . ,
(r−1−s)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α)
)
−
24 −Ar−1−s
(
N ;
(0)
u p,k−1(x, y) , . . . ,
(r−1−s)
u p,k−1(x, y)
)] (s)
u p,k−1(x, y)
25
(r)
u p,k (x, y) := −
x∫
xi−1
y∫
yj−1
(
N(
(0)
u p,k−1(xi−1+α, yj−1+α))
(k)
u p,k−1(x, y)−
−
(r)
F (ξ, η)
)
dξdη + Φ(y) + Ψ(x)− Φ(0)
26 k:=k+1
27 end
28 p := p+ 1
29 end
30 end
31 r := r + 1
32 end
33 end
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 85
Полiноми Адомяна, якi фiгурують у виразi функцiї
(k)
F (x, y), k = 0, 1, 2 . . . (13), можна
обчислити за допомогою формули (15), зокрема у випадку нелiнiйної функцiї N(u) ∈
∈ C∞(R) вони мають вигляд
A0(N ;u0) = N(u0),
A1(N ;u0, u1) = u1N
′(u0),
A2(N ;u0, u1, u2) = u2N
′(u0) +
u2
1
2!
N ′′(u0),
A3(N ;u0, u1, u2, u3) = u3N
′(u0) + u1u2N
′′(u0) +
u3
1
3!
N ′′′(u0),
A4(N ;u0, u1, u2, u3, u4) = u4N
′(u0)+
(
u1u3+
u2
2
2!
)
N ′′(u0)+
u2
1
2!
u2N
′′′(u0)+
u4
1
4!
N (IV )(u0),
A5(N ;u0, u1, u2, u3, u4, u5) = u5N
′(u0) + (u1u4 + u2u3)N ′′(u0)+
+
1
2!
(u2
1u3 + u1u
2
2)N ′′′(u0) +
u3
1
2!
u2N
(IV )(u0) +
u5
1
5!
N (V )(u0),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Запропонований алгоритм FD-методу було реалiзовано у вiдкритому програмному про-
дуктi, який є доступним за посиланням http://sourceforge.net/projects/imathsoft.
4. Порiвняння явної та неявної схем FD-методу. Проведемо порiвняння явної та неяв-
ної схем FD-методу за допомогою чисельного експерименту. Розглянемо наступну задачу
Гурса:
∂2u(x, y)
∂x∂y
= e2u(x,y), (x, y) ∈ D,
(24)
u(x, 0) =
x
2
− ln(1 + ex), u(0, y) =
y
2
− ln(1 + ey),
де D = {(x, y) | 0 < x < X, 0 < y < Y }. Легко бачити, що точним розв’язком даної
задачi є функцiя
u∗(x, y) =
x+ y
2
− ln(ex + ey).
Застосовуючи до цiєї задачi явну та неявну схеми FD-методу, описанi вище, апрок-
симуємо точний розв’язок задачi (24) частинною сумою ряду (4), доданки якого
(k)
u (x, y)
задовольняють наступну систему лiнiйних задач Гурса:
∂2
(0)
u(x, y)
∂x∂y
+
1− exp(2
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α)
(0)
u(x, y) = 1,
(0)
u(xi−1 + 0, y) =
(0)
u(xi−1 − 0, y),
(0)
u(x, yj−1 + 0) =
(0)
u(x, yj−1 − 0),
(0)
u(x, 0) =
x
2
− ln(1 + ex),
(0)
u(0, y) =
y
2
− ln(1 + ey),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
86 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
∂2
(k)
u(x, y)
∂x∂y
+
1− exp(2
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α)
(k)
u(x, y) =
=
1− exp(2
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))((0)
u(xi−1+α, yj−1+α)
)2 +
2 exp(2
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α))
(0)
u(xi−1+α, yj−1+α)
×
×
(k)
u(xi−1+α, yj−1+α)
(0)
u(x, y)+
(k)
F (x, y), x ∈ (xi−1, xi), y ∈ (yj−1, yj),
(k)
u(xi−1 + 0, y) =
(k)
u(xi−1 − 0, y),
(k)
u(x, yj−1 + 0) =
(k)
u(x, yj−1 − 0),
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2,
(k)
u(x, 0) = 0,
(k)
u(0, y) = 0, k = 1, 2, . . . ,
де функцiя
(k)
F (x, y) визначається згiдно з (13), а значенням α = 0 та α = 1 вiдповiдають
явна та неявна схеми FD-методу вiдповiдно.
Для оцiнки похибки методу використовуватимемо наступнi функцiї:
δex(h1, h2, h
′
1, h
′
2,m) =
∥∥∥∥(m)
u (x, y, h1, h2, h
′
1, h
′
2)− u∗(x, y)
∥∥∥∥
D
, (25)
δim(h1, h2, h
′
1, h
′
2,m) =
∥∥∥∥(m)
u (x, y, h1, h2, h
′
1, h
′
2)− u∗(x, y)
∥∥∥∥
D
, (26)
де h1, h2 — кроки сiтки FD-методу, h′1, h
′
2 — кроки сiтки квадратурної формули3, (25) —
оцiнка похибки явної схеми FD-методу, (26) — оцiнка похибки неявної схеми FD-методу.
В табл. 1 наведено результати застосування FD-методу до задачi Гурса (24) в областi
D = {(x, y)|0 < x < 2, 0 < y < 2} з кроками сiток FD-методу та квадратурної формули
h1 = h2 = 0, 1 та h′1 = h′2 = 0, 01 вiдповiдно. Результати, наведенi в табл. 2, стосуються
задачi Гурса (24) на прямокутнику D = {(x, y)|0 < x < 6, 0 < y < 6} з h1 = h2 = 0, 1
та h′1 = h′2 = 0, 01. В табл. 3 наведенi результати вiдповiдають задачi Гурса (24) в областi
D = {(x, y)|0 < x < 8, 0 < y < 8} з тими ж значеннями крокiв h1, h2, h
′
1, h
′
2.
3 У даному прикладi для наближеного обчислення iнтегралiв використовувалась формула Сiмпсона.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 87
Таблиця 1. Похибка FD-методу як функцiя вiд рангу (m) i крокiв сiток (h1, h2, h′1, h
′
2)
(при X = Y = 2)
m δex(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m) δim(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m)
m = 0 0,000446192099739173 0,000367283284495978
m = 1 0,000167706954512625 0,000233426857747632
m = 2 4,48894722493431e-6 8,51788157041344e-6
m = 3 8,36689053596018e-8 2,57477632104042e-7
m = 4 1,14462328504317e-9 6,9642438482731e-9
m = 5 7,21311899098964e-12 1,69383174153381e-10
m = 6 1,73194791841524e-13 3,71214170513667e-12
m = 7 7,66053886991358e-15 8,43769498715119e-14
Таблиця 2. Похибка FD-методу як функцiя вiд рангу (m) i крокiв сiток (h1, h2, h′1, h
′
2)
(при X = Y = 6)
m δex(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m) δim(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m)
m = 0 0,00990099704793557 0,0166759460699123
m = 1 0,0427223772725684 0,0364800008223901
m = 2 0,00768326756163651 0,00556788648104944
m = 3 0,00154917762333551 0,00108472082240441
m = 4 0,000298257776059851 0,000175408476288719
m = 5 6,10327818401091e-5 3,38212358182988e-5
m = 6 1,23116236430132e-5 6,03698889534154e-6
m = 7 2,47648720252958e-6 1,17306679114915e-7
Таблиця 3. Похибка FD-методу як функцiя вiд рангу (m) i крокiв сiток (h1, h2, h′1, h
′
2)
(при X = Y = 8)
m δex(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m) δim(0.1, 0.1; 0.01, 0.01,m)
m = 0 0,0923974325023775 0,125326818244121
m = 1 0,411139985428395 0,27863153682922
m = 2 0,207256544743765 0,0181579710170172
m = 3 0,155366246421829 0,044569551541476
m = 4 0,111449896596149 0,00673670254222669
m = 5 0,0868443598360921 0,0104639209451075
m = 6 0,0681606731257846 0,00354428978981047
m = 7 0,0545617406466004 0,00317997251866142
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
88 В. Л. МАКАРОВ, Д. В. ДРАГУНОВ, Д. А. СЕМБЕР
Значення похибок δex(h1, h2, h
′
1, h
′
2,m) та δim(h1, h2, h
′
1, h
′
2,m), наведених у табл. 1 – 3, показу-
ють, що неявна схема FD-методу при збiльшеннi розмiрiв областi, в якiй шукається розв’язок роз-
глядуваної задачi Гурса, та при збереженнi крокiв сiтки методу збiгається краще, нiж явна схема
FD-методу. Разом з тим результати, наведенi в табл. 1, свiдчать про те, що явна схема FD-методу
збiгається швидше за неявну схему у випадку малих областей D.
5. Висновки. В данiй роботi описано та дослiджено алгоритми FD-методу розв’язування задачi
Гурса для нелiнiйного рiвняння Кляйна – Гордона (1). Встановлено, що безпосереднє використан-
ня формул (16), (17) є значно менш ефективним (з точки зору обчислювальної складностi), нiж
використання методу послiдовних наближень (23).
Крiм того, на основi наведених у роботi результатiв чисельного експерименту можна зробити
висновок, що з точки зору чисельної стiйкостi неявна схема FD-методу має перевагу над явною.
Цей факт обґрунтовує перспективнiсть подальшого дослiдження та обґрунтування неявної схеми
FD-методу для розв’язування задачi Гурса (2), (3).
1. Makarov V. L., Dragunov D. V., Sember D. A. FD-method for solving the nonlinear Klein – Gordon equation
// Укр. мат. журн. — 2012. — 64, № 10. — С. 1394 – 1415.
2. Barone A., Esposito F., Magee C., Scott A. Theory and applications of the sine-Gordon equation // Riv. Nuovo
cim. — 1971. — 1. — P. 227 – 267.
3. Bitsadze A. V. Equations of mathematical physics. — Moscow: Mir, 1980.
4. Frenkel J., Kontorova T. On the theory of plastic deformation and twinning // Acad. Sci. USSR. J. Phys. —
1939. — 1. — P. 137 – 149,
5. Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V. L., Sytnyk D. A method with a controlleble exponential conver-
gence rate for nonlinear differential operator equations // Comput. Meth. Appl. Math. — 2009. — 9, № 1. —
P. 63 – 78.
6. Василик В. Б., Драгунов Д. В., Ситник Д. О. Функцiонально-дискретний метод розв’язування опера-
торних рiвнянь та його застосування. — Київ: Наук. думка, 2011. — 176 с.
7. Gibbon J. D., Caudrey P. J., Bullough R. K., Eilbeck J. C. N -soliton solutions on some non-linear dispersive
wave equations of physical significance // Lect. Notes Math. Ordinary and Partial Different. Equat. (Proc.
Conf., Univ. Dundee, Dundee, 1974). — 1974. — 415. — P. 357 – 362.
8. Abbaoui K., Cherruault Y., Seng V. Pratical formulae for calculus of multivariable Adomian polynomials //
Math. Comput. Modelling. — 1995. — 22, № 1. — P. 89 – 93.
9. Gernard Cristensson. Second ordre differentional equations. — New York: Springer, 2010.
10. Kungurtsev A. A. A hyperbolic equation in three-dimensional space // Izv. Vyssh. Uchebn. Zav. Mat. —
2006. — 3. — P. 76 – 80.
11. Makarov V. L., Dragunov D. V. A superexponentially convergent functional-dicrete method for solving the
Cauchy problem for systems of ordinary differential equations // arXiv:1101.0096v1, 2010.
12. Makarov V. L., Dragunov D. V. A numerical-analytic method for solving the Cauchy problem for ordinary
differential equations // Comput. Meth. Appl. Math. — 2011. — 11, № 4. — P. 491 – 509.
13. Makarov V. L. About functional-discrete method of arbitrary accuracy order for solving sturm-liuville prob-
lem with piecewise smooth coeficients // Dokl. Akad. Nauk. SSSR. — 1991. — 320, № 1. — P. 34 – 39.
14. Makarov V. L., Rossokhata N. O. A rewiev of functional-discrete technique for eigenvalue problems // J.
Numer. Appl. Math. — 2009. — 97. — P. 97 – 102.
15. Mohammadi S. Solvihg pionic atom with klein-Gordon equation // Res. J. Phys. — 2010. — 4. — P. 160 – 164.
16. Perring J. K., Skyrme T. H. R. A model unified field equation // Nucl. Phys. — 1962. — 31. — P. 550 – 555.
17. Popov A. G., Maevskii E. V. Analitical approaches to the investigation of the sine-Gordon equation and
pseudospherical surfaces // Sovrem. Mat. Pril. Geom. — 2005. —31. — P. 13 – 52.
18. Skyrme T. H. R. Particle states of a quantized meson field // Proc. Roy. Soc. Ser. A. — 1961. — 262. — P. 237 –
245.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
АЛГОРИТМIЧНI АСПЕКТИ ПРОГРАМНОЇ РЕАЛIЗАЦIЇ FD-МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ . . . 89
19. Seng V., Abbaoui K., Cherruault Y. Adomian’s polinomials for nonlinear operators // Math. Comput. Model-
ling. — 1996. — 24, № 1. — P. 59 – 65.
20. Yagdjian K., Galstian A. The Klein – Gordon equation in anti-de Sitter spacetime // Rend. Semin. mat. Univ.
e politecn. Torino. — 2009. — 67, № 2. — P. 271 – 292.
21. Yagdjian K., Galstian A. Fundamental solutions for the Klein – Gordon equation in de Sitter spacetime //
Communs Math. Phys. — 2009. — 285, № 1. — P. 293 – 344.
Одержано 14.12.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|