Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале
Розглядається неперервно-дискретна за часом регульована система з двома виконавчими органами, математичний опис якої ґрунтується на так званих динамiчних системах рiвнянь на часовiй шкалi. Для розглядуваної системи побудовано функцiю Ляпунова i встановлено достатнi умови стiйкостi руху....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177035 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале / С.В. Бабенко, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 6-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177035 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770352021-02-11T01:28:49Z Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале Бабенко, С.В. Мартынюк, А.А. Розглядається неперервно-дискретна за часом регульована система з двома виконавчими органами, математичний опис якої ґрунтується на так званих динамiчних системах рiвнянь на часовiй шкалi. Для розглядуваної системи побудовано функцiю Ляпунова i встановлено достатнi умови стiйкостi руху. We consider a time continuous-discrete controlled system with two executive members. The system is described mathematically as a so-called dynamical systems on a time scale. For the system under consideration, we construct a Lyapunov function, and establish sufficient conditions for stability of the motion. 2013 Article Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале / С.В. Бабенко, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 6-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177035 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається неперервно-дискретна за часом регульована система з двома виконавчими органами, математичний опис якої ґрунтується на так званих динамiчних системах рiвнянь на часовiй шкалi. Для розглядуваної системи побудовано функцiю Ляпунова i встановлено достатнi умови стiйкостi руху. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, С.В. Мартынюк, А.А. |
| spellingShingle |
Бабенко, С.В. Мартынюк, А.А. Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бабенко, С.В. Мартынюк, А.А. |
| author_sort |
Бабенко, С.В. |
| title |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| title_short |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| title_full |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| title_fullStr |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| title_sort |
устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177035 |
| citation_txt |
Устойчивость регулируемых систем с двумя исполнительными органами на временной шкале / С.В. Бабенко, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 6-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT babenkosv ustojčivostʹreguliruemyhsistemsdvumâispolnitelʹnymiorganaminavremennojškale AT martynûkaa ustojčivostʹreguliruemyhsistemsdvumâispolnitelʹnymiorganaminavremennojškale |
| first_indexed |
2025-07-15T14:59:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:59:43Z |
| _version_ |
1837725473352712192 |
| fulltext |
УДК 517.9
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ
С ДВУМЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОРГАНАМИ
НА ВРЕМЕННОЙ ШКАЛЕ
С. В. Бабенко
Черкас. нац. ун-т им. Б. Хмельницкого
Украина, 18000, Черкассы, бульв. Шевченко, 79
e-mail: sofuslee@rambler.ru
А. А. Мартынюк
Ин-т механики НАН Украины
Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3
e-mail: center@inmech.kiev.ua
We consider a time continuous-discrete controlled system with two executive members. The system is
described mathematically as a so-called dynamical systems on a time scale. For the system under consi-
deration, we construct a Lyapunov function, and establish sufficient conditions for stability of the motion.
Розглядається неперервно-дискретна за часом регульована система з двома виконавчими орга-
нами, математичний опис якої ґрунтується на так званих динамiчних системах рiвнянь на ча-
совiй шкалi. Для розглядуваної системи побудовано функцiю Ляпунова i встановлено достатнi
умови стiйкостi руху.
1. Постановка задачи. Все необходимые сведения из математического анализа на вре-
менной шкале, используемые в данной статье, читатели могут найти в монографии [5]
или [3].
Рассматривается регулируемая система, описываемая динамическими уравнениями на
временной шкале T:
η∆ = bη + n1ξ1 + n2ξ2,
ξ∆
1 = f1(σ1), σ1 = p1η − r11ξ1 − r12ξ2, (1)
ξ∆
2 = f2(σ2), σ2 = p2η − r21ξ1 − r22ξ2.
Здесь η — координата; b — постоянная объекта регулирования; ξ1, ξ2 — координаты; n1,
n2 — постоянные регулирующих органов; p1, p2, r11, r12, r21, r22 — постоянные регулято-
ра; f1(σ1), f2(σ2) — заданные дифференцируемые ограниченные функции, принадлежа-
щие классу функций f со свойствами:
1) f(0) = 0,
2) σf(σ) > 0, σ 6= 0,
3) существует положительная постоянная Cf такая, что при всех t ∈ T и σ ∈ R спра-
ведлива оценка
µ(t)
∣∣∣∣ dfdσ
∣∣∣∣ ≤ 2Cfµ(t).
c© С. В. Бабенко, А. А. Мартынюк, 2013
6 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОРГАНАМИ . . . 7
Обозначим класс таких функций черезAT. В частном случае, когда шкала T является
множеством действительных чисел R, т. е. µ(t) ≡ 0, условие 3 становится тривиальным и
класс AR совпадает с классом A, описанным в [1].
Решение
η = σ1 = σ2 = 0 (2)
определяет положение равновесия регулируемой системы, которое должно поддержи-
ваться двумя регулирующими органами.
Если T = R, то система (1) является системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
dη
dt
= bη + n1ξ1 + n2ξ2,
dξ1
dt
= f1(σ1), σ1 = p1η − r11ξ1 − r12ξ2, (3)
dξ2
dt
= f2(σ2), σ2 = p2η − r21ξ1 − r22ξ2.
Эта система уравнений описывает динамику регулируемой механической системы с дву-
мя исполнительными органами, которая рассмотрена в работе [1]. А. М. Летовым ис-
следована устойчивость решения (3) при любых возмущениях и любых функциях f1(σ),
f2(σ) класса A.
Целью настоящей работы является получение достаточных условий устойчивости со-
стояния равновесия (2) для динамических уравнений (1).
2. Основной результат. Укажем достаточные условия, выполнение которых гаран-
тирует устойчивость положения равновесия (2) регулируемой системы (1) при любых
возмущениях и любых функциях f1, f2 класса AT. Поскольку в непрерывном случае
(T = R) AT = A и такая устойчивость регулируемой системы называется абсолютной
устойчивостью [1], естественно называть таким же термином и устойчивость положения
равновесия (2) регулируемой системы (1) при любых возмущениях и любых функциях
f1, f2 класса AT. Далее понадобится следующий результат из работы [4]. Систему вида
x∆(t) = f(t, x(t)), x(t0) = x0, (4)
где x∆(t) — дельта-производная вектора состояния x(t) системы, будем называть систе-
мой динамических уравнений возмущенного движения.
Предполагаем, что система (4) удовлетворяет следующим условиям:
H1. Вектор-функция F (t) = f(t, x(t)) удовлетворяет условию F ∈ Crd(T), если x яв-
ляется дифференцируемой функцией со значениями в N (N ⊂ Rn — открытая связная
окрестность состояния x = 0).
H2.Вектор-функция f(t, x) является покомпонентно регрессивной, т. е. eT+µ(t)f(t, x) 6=
6= 0 при всех t ∈ [t0,∞), где eT = (1, . . . , 1)T ∈ Rn.
H3. Функция f(t, x) = 0 при всех t ∈ [t0,∞), если и только если x = 0.
H4. Функция зернистости 0 < µ(t) ∈ M при всех t ∈ T, где M — компактное мно-
жество.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
8 С. В. БАБЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК
В работе [4] доказано такое следствие.
Следствие 1. Пусть вектор-функция f в системе (4) удовлетворяет условиям H1 –
H4 на T ×N, N ⊂ Rn и существует, по крайней мере, одна пара индексов (p, q) ∈ [1,m],
для которой (vpq(t, x) 6= 0) ∈ U(t, x), и функция v(t, x, θ) = eTU(t, x)e = v(t, x) при всех
(t, x) ∈ T×N удовлетворяет условиям:
(a) ψ1(‖x‖) ≤ v(t, x);
(б) v(t, x) ≤ ψ2(‖x‖);
(в) при всех 0 < µ(t) < µ∗ ∈ M выполняется неравенство
v∆(t, x)|(4) ≤ −ψ3(‖x‖) +m(t, ψ3(‖x‖))
и
lim
|m(t, ψ3(‖x‖))|
ψ3(‖x‖)
= 0 при ψ3 → 0
равномерно по t ∈ T, где ψ1, ψ2, ψ3 — функции сравнения класса K.
Тогда при условиях (а), (в) состояние x = 0 системы (4) асимптотически устойчи-
во, а при условиях (а) – (в) — равномерно асимптотически устойчиво.
Этот результат является следствием основного результата по устойчивости, получен-
ного в работе [4] с помощью матричнозначной вспомогательной функции [6] U(t, x) =
= [vij(t, x)], i, j = 1, 2, . . . ,m.
Возвращаясь к системе (1), допустим, что для нее выполняется условие
λ = sup
t∈T
Re ξµ(t)(b) < −c2, c 6= 0, (5)
где ξh : Ch → Zh — цилиндрическое преобразование [5], которое определяется по фор-
муле
ξh(z) =
{ 1
h
Log (1 + zh), h > 0,
z, h = 0,
(6)
где Log — главная логарифмическая функция. Известно, что условие (5) гарантирует
экспоненциальную устойчивость положения равновесия нерегулируемой системы.
Выполняя в системе (1) преобразование переменных по формуле
x = η − n1
ρ
ξ1 −
n2
ρ
ξ2, ρ = −b, (7)
получаем
x∆ = −ρx+ u1f1(σ1) + u2f2(σ2),
σ∆
1 = β1x− r11f1(σ1)− r12f2(σ2), (8)
σ∆
2 = β2x− r21f1(σ1)− r22f2(σ2),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОРГАНАМИ . . . 9
где
u1 = −n1
ρ
, u2 = −n2
ρ
, β1 = −p1ρ, β2 = −p2ρ. (9)
Теперь поставленная задача эквивалентна задаче об абсолютной устойчивости решения
x = σ1 = σ2 = 0 (10)
системы (8).
Рассмотрим функцию Ляпунова V (x, σ1, σ2):
V =
a2x2
−2λ
+
σ1∫
0
f1(σ1) dσ1 +
σ2∫
0
f2(σ2) dσ2 =
a2x2
−2λ
+ I1 + I2, (11)
где a — любое вещественное число, и покажем, что V удовлетворяет условиям (а) и (в)
следствия 1, гарантирующим асимптотическую устойчивость.
Нетрудно видеть, что функция V является положительно определенной в силу усло-
вия (5) и свойств функций f1(σ1) и f2(σ2). Таким образом, условие (а) следствия 1 выпол-
няется.
Вычислим ∆-производную функции V вдоль решений системы (8). Получим
V ∆
∣∣∣
(8)
=
a2
−2λ
(2xx∆ + µ(x∆)2) + I∆
1 + I∆
2
∣∣∣
(8)
.
Согласно правилу ∆-дифференцирования сложной функции имеем
I∆
k
∣∣∣
(8)
=
1∫
0
d
dζ
ζ∫
0
fk(σ)dσ
∣∣∣
ζ=σk+µhσ∆
k
dhσ∆
k =
1∫
0
fk(σk + µhσ∆
k )dhσ∆
k , k = 1, 2.
Согласно известной теореме о среднем
fk(σk + µhσ∆
k ) = fk(σk) +
1∫
0
dfk
dζ
∣∣∣
ζ=σk+µhθσ∆
k
dθµhσ∆
k , k = 1, 2. (12)
Используя (12), получаем выражение для ∆-производных интегралов Ik:
I∆
k
∣∣∣
(8)
=
1∫
0
fk(σk) +
1∫
0
dfk
dζ
∣∣∣
ζ=σk+µhθσ∆
k
dθµhσ∆
k
dhσ∆
k =
= fk(σk)σ
∆
k +
1∫
0
h
1∫
0
µ(t)
dfk
dζ
∣∣∣
ζ=σk+µhθσ∆
k
dθdh (σ∆
k )2, k = 1, 2. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
10 С. В. БАБЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК
Обозначив через C1, C2 постоянные из свойства 3 функций класса AT и воспользовав-
шись принадлежностью f1(σ1) и f2(σ2) классу AT, получим оценки выражений (13):
I∆
k
∣∣∣
(8)
≤ fk(σk)σ
∆
k +
1∫
0
2hCkµ(t)dh(σ∆
k )2 = fk(σk)σ
∆
k + Ckµ(t)(σ∆
k )2 =
= fk(σk)(βkx− rk1f1(σ1)− rk2f2(σ2))+
+ µ(t)Ck(βkx− rk1f1(σ1)− rk2f2(σ2))2, k = 1, 2. (14)
Из (14) имеем
V ∆
∣∣∣
(8)
≤ a2
−2λ
(
2x(−ρx+ u1f1(σ1) + u2f2(σ2)) + µ(−ρx+ u1f1(σ1) + u2f2(σ2))2
)
+
+ f1(σ1)(β1x− r11f1(σ1)− r12f2(σ2)) + µ(t)C1(β1x− r11f1(σ1)− r12f2(σ2))2+
+ f2(σ2)(β2x− r21f1(σ1)− r22f2(σ2)) + µ(t)C2(β2x− r21f1(σ1)− r22f2(σ2))2 =
= zTA(µ(t))z,
где z = (x, f1(σ1), f2(σ2))T , A = [aij ]
3
i,j=1, A
T = A,
a11 =
a2
−2λ
(−2ρ+ µρ2) + µC1β
2
1 + µC2β
2
2 ,
a12 =
a2
−2λ
(2u1 − 2µρu1) + β1 − 2µC1β1r11 − 2µC2β2r21,
a13 =
a2
−2λ
(2u2 − 2µρu2) + β2 − 2µC1β1r12 − 2µC2β2r22,
a22 =
a2
−2λ
µu2
1 − r11 + µC1r
2
11 + µC2r
2
21,
a23 =
a2
−2λ
2µu1u2 − r12 + 2µC1r11r12 − r21 + 2µC2r21r22,
a33 =
a2
−2λ
µu2
2 − r22 + µC1r
2
12 + µC2r
2
22.
В квадратичной форме zTA(µ(t))z выделим полный квадрат следующим образом:
zTA(µ(t))z = −
[
−a11x
2 + f2
1 (σ1) + f2
2 (σ2) + 2
√
−a11xf1(σ1)+
+ 2
√
−a11xf2(σ2) + 2f1(σ1)f2(σ2)
]
+
+ (a12 + 2
√
−a11)xf1(σ1) + (a13 + 2
√
−a11)xf2(σ2)+
+ (a22 + 1)f2
1 (σ1) + (a23 + 2)f1(σ1)f2(σ2) + (a33 + 1)f2
2 (σ2) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОРГАНАМИ . . . 11
= −[
√
−a11x+ f1(σ1) + f2(σ2)]2 + (a12 + 2
√
−a11)xf1(σ1)+
+ (a13 + 2
√
−a11)xf2(σ2) + (a22 + 1)f2
1 (σ1)+
+ (a23 + 2)f1(σ1)f2(σ2) + (a33 + 1)f2
2 (σ2). (15)
Квадратичная форма zTAz будет отрицательно определенной при выполнении следую-
щих условий:
a12 + 2
√
−a11 = 0, a13 + 2
√
−a11 = 0, a11 < 0, a22 + 1 < 0,
(16)
4(a22 + 1)(a33 + 1)− (a23 + 2)2 > 0.
Рассмотрим первое условие: a12 + 2
√
−a11 = 0. Решим это уравнение относительно a2,
выполнив замену переменных
√
−a11 = α ≥ 0. В результате получим
− a
2
2λ
=
α2 + µC1β
2
1 + µC2β
2
2
2ρ− µρ2
.
При этом будем предполагать, что
µ(t) 6= 2
ρ
при всех t ∈ T. (17)
Тогда уравнение a12 + 2
√
−a11 = 0 примет вид
(2u1 − 2µρu1)(α2 + µC1β
2
1 + µC2β
2
2)
2ρ− µρ2
+ 2α+ β1 − 2µC1β1r11 − 2µC2β2r21 = 0. (18)
Очевидно, что уравнение (18) имеет положительное решение α∗ в случае, когда выпол-
няются неравенства
u1 6= µρu1,
D1 = 1−
(
2u1 − 2µρu1
2ρ− µρ2
)(
(2u1 − 2µρu1)(µC1β
2
1 + µC2β
2
2)
2ρ− µρ2
+
+ β1 − 2µC1β1r11 − 2µC2β2r21
)
≥ 0, (19)
−2ρ+ µρ2
2u1 − 2µρu1
> 0.
При этом α∗ =
(−1 +
√
D1)(2ρ− µρ2)
2u1 − 2µρu1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
12 С. В. БАБЕНКО, А. А. МАРТЫНЮК
Подставив теперь во второе равенство в (16) и остальные неравенства вместо − a
2
2λ
выражение l =
(α∗)2 + µC1β
2
1 + µC2β
2
2
2ρ− µρ2
, получим
l(2u2 − 2µρu2) + 2α∗ + β2 − 2µC1β1r12 − 2µC2β2r22 = 0,
−(α∗)2 < 0,
(20)
lµu2
1 − r11 + µC1r
2
11 + µC2r
2
21 + 1 < 0,
4(lµu2
1 − r11 + µC1r
2
11 + µC2r
2
21 + 1)(µu2
2 − r22 + µC1r
2
12 + µC2r
2
22 + 1)−
−(2µlu1u2 − r12 + 2µC1r11r12 − r21 + 2µC2r21r22 + 2)2 > 0,
или
l(2u2 − 2µρu2) + 2α∗ + β2 − 2µC1β1r12 − 2µC2β2r22 = 0,
lµu2
1 − r11 + µC1r
2
11 + µC2r
2
21 + 1 < 0,
(21)
4(lµu2
1 − r11 + µC1r
2
11 + µC2r
2
21 + 1)(µu2
2 − r22 + µC1r
2
12 + µC2r
2
22 + 1)−
−(2µlu1u2 − r12 + 2µC1r11r12 − r21 + 2µC2r21r22 + 2)2 > 0.
Таким образом, условия (17), (19), (21) являются, с учетом (9), достаточными услови-
ями асимптотической устойчивости решения (2) системы (1) при любых возмущениях и
любых функциях f1(σ1), f2(σ2) класса AT.
При T = R, т. е. при µ(t) ≡ 0, условия (16) совпадают с условиями абсолютной устой-
чивости нулевого решения системы (3).
На рисунке приведена область устойчивости положения равновесия системы (1) в
пространстве параметров (ρ, µ).
3. Заключительные замечания. Согласно принципу функционирования системы авто-
матического регулирования на временной шкале основная задача состоит в том, чтобы
обнаруживать отклонения регулируемых величин в дискретные моменты времени, ха-
рактеризующих работу объекта или протекание процесса, от требуемого режима, и при
этом воздействовать на объект или процесс так, чтобы устранять эти отклонения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОРГАНАМИ . . . 13
Рис. 1. Область устойчивости положения равновесия (2) при p1 = 1,
p2 = 2, C1 = 1, C2 = 1, r11 = 3, r12 = 1, r21 = 1, r22 = 3,
n1 = 0, 001.
Теория автоматического регулирования на временной шкале предполагает решение
следующих основных проблем:
1) получение условий абсолютной устойчивости системы;
2) оценку качества переходного процесса;
3) установление условий возникновения автоколебаний;
4) получение критериев оптимизации и синтеза управлений.
Разработка такого рода теории автоматического управления на временной шкале в
сочетании с методами решения прикладных инженерных задач представляет существен-
ный интерес для исследований в этом направлении.
1. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. — М.: Наука, 1981. — 256 с.
2. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. — М.: Гостехиздат, 1955. — 312 с.
3. Мартынюк А. А. Теория устойчивости решений динамических уравнений на временной шкале. —
Киев: Феникс, 2012. — 277 с.
4. Мартынюк-Черниенко Ю. А. Об устойчивости динамических систем на временной шкале // Докл.
АН. — 2007. — 413, № 1. — С. 11 – 15.
5. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales: an introduction with applications. — Boston:
Birkhäuser, 2001. — 358 p.
6. Martynyuk A. A. Stability by Liapunov matrix functions method with applications. — New York: Marcel
Dekker, 1998. — 276 p.
Получено 03.12.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|