Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента
Для автономных квазилинейных параболических псевдодифференциальных уравнений с негладкими символами и с отклонением аргумента методом шагов доказана разрешимость задачи Коши....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177038 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента / Я.М. Дрiнь, Р.I. Петришин // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177038 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770382021-02-11T01:28:52Z Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента Дрiнь, Я.М. Петришин, Р.I. Для автономных квазилинейных параболических псевдодифференциальных уравнений с негладкими символами и с отклонением аргумента методом шагов доказана разрешимость задачи Коши. We prove solvability of a Cauchy problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodifferential equations with non-smooth symbols and deviating argument by using the step method. 2013 Article Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента / Я.М. Дрiнь, Р.I. Петришин // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177038 517.9 + 517.95 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для автономных квазилинейных параболических псевдодифференциальных уравнений с негладкими символами и с отклонением аргумента методом шагов доказана разрешимость задачи Коши. |
| format |
Article |
| author |
Дрiнь, Я.М. Петришин, Р.I. |
| spellingShingle |
Дрiнь, Я.М. Петришин, Р.I. Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента Нелінійні коливання |
| author_facet |
Дрiнь, Я.М. Петришин, Р.I. |
| author_sort |
Дрiнь, Я.М. |
| title |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| title_short |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| title_full |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| title_fullStr |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| title_full_unstemmed |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| title_sort |
задача коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177038 |
| citation_txt |
Задача Коші для автономних квазілінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь з відхиленням аргумента / Я.М. Дрiнь, Р.I. Петришин // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT drinʹâm zadačakošídlâavtonomnihkvazílíníjnihparabolíčnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumenta AT petrišinri zadačakošídlâavtonomnihkvazílíníjnihparabolíčnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumenta |
| first_indexed |
2025-07-15T14:59:55Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:59:55Z |
| _version_ |
1837725486085570560 |
| fulltext |
УДК 517.9+517.95
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ АВТОНОМНИХ КВАЗIЛIНIЙНИХ
ПАРАБОЛIЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ
Я. М. Дрiнь
Буковин. держ. фiн.-екон. ун-т
e-mail: drin_jaroslav@i.ua
Р. I. Петришин
Чернiв. нац. ун-т
Україна, 58012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2
We prove solvability of a Cauchy problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodifferential equati-
ons with non-smooth symbols and deviating argument by using the step method.
Для автономных квазилинейных параболических псевдодифференциальных уравнений с неглад-
кими символами и с отклонением аргумента методом шагов доказана разрешимость задачи
Коши.
Диференцiальнi рiвняння з аргументом, що вiдхиляється (ДРВА), — це диференцiальнi
рiвняння, в якi невiдома функцiя i її похiднi входять, взагалi кажучи, при рiзних значен-
нях аргументу. Такi рiвняння часто зустрiчаються при описi рiзних процесiв та проблем
теорiї автоматичного керування, автоматики i телемеханiки, радiолокацiї, радiонавiгацiї,
електрозв’язку, теоретичної кiбернетики, ракетної технiки, термоядерного синтезу, бiо-
логiї, економiки i медицини. Окремi рiвняння iз звичайними похiдними з’явилися у працях
Кондорса (1771 р.), а систематичне вивчення таких рiвнянь почалося у працях А. Д. Миш-
кiса, Е. М. Райта, Р. Беллмана у зв’язку з потребами прикладних наук (див. [1] i наведену
там бiблiографiю). У працi [2] наведено короткий огляд методiв дослiдження просторо-
вих нелокальних ефектiв, що виникають за рахунок запiзнення в дифузiйних моделях
деякої популяцiї, помiщеної в обмежену або необмежену область. Широке їх застосуван-
ня сприяло збiльшенню iнтересу до теорiї цих рiвнянь, що виявилось у великiй кiлькостi
опублiкованих робiт, присвячених ДРВА. Класичними в областi ДРВА стали працi школи
українських математикiв Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка.
Для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь iз негладкими символами, визначе-
них С. Д. Ейдельманом i Я. М. Дрiнем у [3 – 5], рiвняння з вiдхиленням аргументу ранiше
не розглядалися.
1. Постановка задачi. У данiй працi методом крокiв [1] будується розв’язок квазiлiнiй-
ної задачi Кошi
∂u(x, t)
∂t
+ (Au)(x, t) = f(x, t, u(x, t− h)), x ∈ Rn, t > h, (1)
u(x, t) = u0(x, t), x ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ h, (2)
c© Я. М. Дрiнь, Р. I. Петришин, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1 29
30 Я. М. ДРIНЬ, Р. I. ПЕТРИШИН
де h > 0 — число, A — псевдодиференцiальний оператор (ПДО) з символом a : Rn →
→ R, однорiдним порядку γ > 0 i нескiнченно диференцiйовним по σ при σ 6= 0 (точка
σ = 0 є точкою негладкостi символу a(σ)), f, u0 — вiдомi, обмеженi i неперервнi функцiї
аргументiв x, t, u. Смуга Π[0,h] ≡ {(x, t);x ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ h}, в якiй задано початкову
функцiю u0, називається початковою смугою, а гiперплощина {(x, h);h > 0 — число,
x ∈ Rn} — початковою гiперплощиною. Якщо у рiвняннi (1) i в початковiй умовi (2)
u, f, u0 вважати вектор-функцiями, а символ a(σ) — матрицею вiдповiдних розмiрiв, то
отримаємо постановку основної початкової задачi для системи рiвнянь iз запiзненням.
У випадку змiнного запiзнення h(t) > 0 спочатку потрiбно задати початкову гiперпло-
щину {(x, h0);x ∈ Rn, h0 > 0 — стала} i початкову множину, яка складається з початкової
гiперплощини i точок смуги Π[t−h(t),h0] ≡ {(x, t);x ∈ Rn, t−h(t) < h0 при t > h0}.Для рiв-
няння (1) потрiбно знайти розв’язок u(x, t), x ∈ Rn, t > h0, який на початковiй множинi
збiгається iз заданою початковою функцiєю u0(x, t).
Для рiвняння (1), де ПДО визначається за негладким символом, така задача з умовою
(2) розв’язується вперше.
Сформулюємо умови на символ a i визначимо вiдповiдний ПДО, трактуючи його як
гiперсингулярний iнтеграл (ГСI) [6]. Припустимо, що символ a : Rn → R задовольняє
умову негладкостi в нулi, однорiдностi a ∈ C∞(Rn \ {0}), a(λσ) = λγa(σ), λ > 0, γ > 0,
елiптичностi
Re a(σ) ≥ a0 > 0, σ ∈ Rn, |σ| = 1, (3)
|Dχ
σa(σ)| ≤ C|σ|γ−|χ|, σ 6= 0, γ > 0. (4)
У класi швидко спадних функцiй ПДО визначається формулою
(Au)(x, t) = (2π)−n
∫
Rn
ei(x,σ)a(σ)û(σ, t)dσ, x ∈ Rn, t > 0,
û(σ, t) =
∫
Rn
e−i(σ,y)u(y, t)dy, σ ∈ Rn, t > 0,
де символ a задовольняє умови (3), (4).
У працi [6] А. Н. Кочубей трактує ПДО через ГСI — iнтеграл з особливiстю, порядок
якої вищий за розмiрнiсть простору i регуляризований з допомогою скiнченних рiзниць.
Для заданих комплекснозначних обмежених функцiй f ∈ (Rn), Ω ∈ C(Rn × Sn−1)
вираз вигляду [6]
(Dα
Ωf) (x) =
1
dn,l(α)
∫
Rn
Ω
(
x,
h̃
|h̃|
)
(∆l
h̃
f)(x)
|h̃|n+α
dh̃, x ∈ Rn, (5)
де α > 0, l — натуральне число, dn,l(α) — нормуюча стала, Sn−1 — одинична сфера в Rn,
(
∆l
h̃
f
)
(x) =
l∑
k=0
(−1)kCkl f(x− kh̃),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ АВТОНОМНИХ КВАЗIЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 31
називається ГСI порядку α з характеристикою Ω. Зв’язок мiж ПДО i ГСI детально опи-
сано у [6, с. 911 – 914].
2. Метод крокiв. Методом крокiв зводимо задачу Кошi для диференцiального рiвнян-
ня з аргументом, що вiдхиляється, до задачi Кошi для рiвняння без вiдхилення аргументу
(цей результат анонсовано в [7]).
Нехай h < t ≤ 2h, x ∈ Rn, f(x, t, u0(x, t−h)) ≡ f0(x, t, h). Тодi u(x, t−h) = u0(x, t−h)
i задача (1), (2) набирає вигляду
∂u(x, t)
∂t
+ (Au)(x, t) = f0(x, t, h), x ∈ Rn, h < t ≤ 2h, (6)
u(x, t)|t=h = u0(x, h), x ∈ Rn. (7)
В образах Фур’є отримаємо таку задачу:
dv(σ, t)
dt
+ a(σ)v(σ, t) = f̂0(σ, t, t− h), σ ∈ Rn, h < t ≤ 2h, (8)
v(σ, t)|t=h = û0(σ, h), σ ∈ Rn. (9)
Розв’язок задачi (8), (9)
v(σ, t) = exp{−a(σ)(t− h)}û0(σ, h) +
t∫
h
exp{−a(σ)(t− τ)}f̂(σ, τ, τ − h) dτ, (10)
σ ∈ Rn, h < t ≤ 2h. Очевидно, що умова (9) виконується, а також
v(σ, 2h) = exp{−a(σ)h}û0(σ, h) +
2h∫
h
exp{−a(σ)(2h− τ)}f̂(σ, τ, τ − h) dτ, σ ∈ Rn. (11)
Умова (11) випливає з (10) i є початковим значенням задачi Кошi для наступного iнтер-
валу 2h < t ≤ 3h.
Якщо врахувати, що
u(x, t) =
∫
Rn
exp{i(x, σ)}v(t, σ) dσ, x ∈ Rn, h < t ≤ 2h,
f̂0(σ, τ, τ − h) = (2π)−n
∫
Rn
f0(ξ, τ, h) exp{−i(ξ, σ)} dξ, σ ∈ Rn, h < τ ≤ t,
û0(σ, h) = (2π)−n
∫
Rn
u0(ξ, h) exp{−i(ξ, σ)}dξ, σ ∈ Rn,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
32 Я. М. ДРIНЬ, Р. I. ПЕТРИШИН
то формула для розв’язку задачi Кошi (6), (7) набирає вигляду (на iнтервалi kh < t ≤
≤ (k + 1)h позначимо його uk(x, t, kh))
u1(x, t, h) =
∫
Rn
G(x− ξ, t− h)u0(ξ, h)dξ+
+
t∫
h
dτ
∫
Rn
G(x− ξ, t− τ)f0(ξ, τ, h) dξ, x ∈ Rn, h < t ≤ 2h, (12)
а
G(x, t) ≡ (2π)−n
∫
Rn
exp{i(x, σ)− a(σ)t}dσ, x ∈ Rn, t > 0. (13)
Позначимо через Πk смугу {x ∈ Rn, kh < t ≤ (k + 1)h, k ∈ N}. Тодi для (x, t) ∈ Πk
розв’язок задачi Кошi (6), (7) визначається формулою
uk(x, t, kh) =
∫
Rn
G(x− ξ, t− kh)uk−1(ξ, kh)dξ+
t∫
kh
dτ
∫
Rn
G(x− ξ, t− τ)fk−1(ξ, τ, h)dξ. (14)
3. Обґрунтування формули для розв’язку задачi Кошi. Оскiльки символ a : Rn → R є
нескiнченно диференцiйовною функцiєю по σ при σ 6= 0, то при γ > 0 справедливими є
оцiнки
|Dχ
xG(x, t)| ≤ Ct(t1/γ + |x|)−n−γ−|χ|, x ∈ Rn, t > 0, (15)
∣∣∣∣ ∂∂t G(x, t)
∣∣∣∣ ≤ C(t1/γ + |x|)−n−γ , x ∈ Rn, t > 0 (16)
(якi для γ > 1 встановлено в [5], для γ ≥ 1 — в [6], а для γ > 0 — в [9]), а також рiвнiсть∫
Rn
G(x− ξ, t− y) dy = 1, x ∈ Rn, ξ ∈ Rn, t > 0. (17)
Рiвнiсть (17) випливає iз (13) i формули для перетворення Фур’є. Враховуючи (16), iз
(17) отримуємо ∫
Rn
∂
∂t
G(x− ξ, t− y) dy = 0.
Збiжнiсть iнтегралiв (12) – (14) гарантується умовами на символ a, функцiю f i оцiн-
ками G.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ АВТОНОМНИХ КВАЗIЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 33
Вивчимо властивостi об’ємного потенцiалу
uk(x, t, kh) =
t∫
kh
dτ
∫
Rn
G(x− ξ, t− τ)fk−1(ξ, τ) dξ, x ∈ Rn, t > kh, k ∈ N, (18)
де fk(y, τ) ≡ f(y, τ, uk(y, τ − h)). Припустимо, що виконуються такi умови:
f1) |fk−1(ξ, τ)| ≤ C(τ − kh)−ρ, kh < τ ≤ t, 0 ≤ ρ < 1,
f2) |fk−1(x, τ) − fk−1(ξ, τ)| ≤ C|x − ξ|λ(τ − kh)ρ, kh < τ ≤ t, 0 ≤ ρ < 1, 0 < λ ≤ 1,
k ∈ N.
Iз нерiвностей (15) випливає, що iнтеграл (18) абсолютно збiгається, а також видно,
що функцiя uk має неперервнi похiднi по x довiльного порядку, меншого за γ, якi можна
вираховувати диференцiюванням безпосередньо пiд знаком iнтеграла.
Iснування похiдної по t i формули
∂uk(x, t, kh)
∂t
=
t∫
kh
dτ
∫
Rn
∂G(x− ξ, t− τ)
∂t
[fk−1(ξ, τ)− fk−1(x, τ)] dξ + fk−1(x, t),
(19)
x ∈ Rn, t > kh,
встановлюється, як у [5, 6], з урахуванням оцiнки (16).
Розглянемо дiю на об’ємний потенцiал (18) ГСI — оператора Dα
Ω вигляду (5) у двох
випадках: α < γ i α = γ. Нехай α — нецiле число, l ≥ [α] + 1. Iз (15) випливає, що при
|h̃| ≤ (t− τ)1/γ
|(∆l
h̃
G)(x− ξ, t− τ)| ≤ C|h̃|[α]+1(t− τ)
l∑
ν=0
[(t− τ)1/γ + |x− θννh̃− ξ|]−(n+γ+[α]+1), (20)
x ∈ Rn, t > τ, 0 < θν < 1. Iз (9) при |h̃| > (t− τ)1/γ отримуємо оцiнку
|(∆l
h̃
G)(x− ξ, t− τ)| ≤ C(t− τ)
l∑
ν=0
[(t− τ)1/γ + |x− θννh− ξ|]−n−γ , x ∈ Rn, t > τ. (21)
Використовуючи (20), (21) i теорему Фубiнi, переконуємось, що ГСI Dα
Ωu абсолютно
збiгається i його можна застосовувати пiд знаком iнтеграла по ξ:
(Dα
Ωuk)(x, t, kh) =
t∫
kh
dτ
∫
Rn
GΩ(x, x− ξ, t− τ)fk−1(ξ, τ) dξ, x ∈ Rn, t > kh, (22)
де GΩ ≡ Dα
ΩG, тобто
GΩ(x, z, t− y) = (2π)−n
∫
Rn
Ω̃(x, σ) exp{i(z, σ)− a(σ)(t− y)} dσ, x ∈ Rn, z ∈ Rn, t > y.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
34 Я. М. ДРIНЬ, Р. I. ПЕТРИШИН
Ω̃ є символом розглядуваного ГСI. Збiжнiсть iнтеграла (22) гарантується властивостями
функцiї GΩ i оцiнками, аналогiчними (15), (16), якi є справедливими для GΩ.
Нехай α — цiле число. Тодi (див. [6, с. 911]), якщо α є парним, то Dα
Ω можна визначити
рiвнiстю (5) i ГСI — оператор Dα
Ω є диференцiальним оператором порядку α. Якщо ж α
є непарним, то при l > α iнтеграл у (5) тотожно дорiвнює нулю для довiльної функцiї
f . В такому випадку ГСI визначено лише для парної характеристики Ω формулою (7)
iз [6, с. 911] з l = α. Розглянемо тепер ГСI порядку γ > 0. Припустимо, що Ω̃(x, σ) —
нескiнченно диференцiйовний символ по σ при σ 6= 0 та
|Dχ
σ Ω̃(x, σ)| ≤ C|σ|γ−|χ|, γ > 0,
|Dχ
σ [Ω̃(x, σ)− Ω̃(y, σ)]| ≤ C|x− y|λ|σ|γ−|χ|, γ > 0, 0 < λ ≤ 1,
крiм цього, вважаємо, що Ω̃(x, σ) 6= 0 при σ 6= 0. Якщо число γ є цiлим i символ Ω̃ не є
полiномом по σ (а це можливо лише для непарного γ i парної характеристики), то припу-
стимо додатково, що в розкладi за сферичними гармонiками
[Ω̃(x, σ)]−1 =
∞∑
ν=0
δ2ν∑
µ=1
C2ν,µ(x)Y2ν,µ(σ), |σ| = 1,
коефiцiєнти C2ν,µ(x) = 0, якщо γ = n + 2ν + 2k, k = 0, 1, 2, . . . . Випадок, коли Ω̃ є
полiномом по σ, включається в теорiю параболiчних диференцiальних рiвнянь [8] i тому
розглядатися не буде.
Теорема 1. При перерахованих вище умовах ГСI Dγ
Ωuk iснує в сенсi умовної збiжностi
(Dγ
Ωuk)(x, ·) = lim
ε→0
(Dγ
Ω,εuk)(x, ·),
де зрiзаний ГСI (Dγ
Ω,εuk)(x, ·) отримується з формули (5) замiною областi iнтегрування
на {h̃ ∈ Rn; |h̃| > ε, ε > 0}, причому
(Dγ
Ωuk)(x, t, kh) =
t∫
kh
dτ
∫
Rn
GΩ(x, x− ξ, t− τ) [fk−1(ξ, τ)− fk−1(x, τ)] dξ,
(23)
x ∈ Rn, t > kh.
Доведення проводиться за такою схемою (див. [6, с. 922, 923]). Замiсть функцiї uk iз
(18) розглядається вираз
uθk(x, t, kh) ≡
t−θ∫
kh
dτ
∫
Rn
G(x− ξ, t− τ)fk−1(ξ, τ) dξ, x ∈ Rn, 0 < θ < t− kh.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ АВТОНОМНИХ КВАЗIЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 35
Нерiвностi (20), (21) забезпечують абсолютну збiжнiсть ГСI Dγ
Ωuθ i можливiсть застосу-
вання Dγ
Ω до GΩ пiд знаком iнтеграла за формулою
(Dγ
Ωu
θ
k)(x, t, kh) =
t−θ∫
kh
dτ
∫
Rn
GΩ(x, x− ξ, t− τ)fk−1(ξ, τ)dξ, x ∈ Rn, 0 < θ < t− kh. (24)
Iз формули (17), враховуючи (20), (21) i теорему Фубiнi, отримуємо∫
Rn
GΩ(x, x− ξ, t− τ) dξ = 0, x ∈ Rn, t− τ > 0, (25)
де
|GΩ(x, x− ξ, t− τ)| ≤ C|(t− τ)1/γ + |x− ξ||−n−γ , γ > 0, x ∈ Rn, ξ ∈ Rn, t > τ. (26)
Остання нерiвнiсть забезпечує збiжнiсть iнтеграла (25) i доведена в [6] при γ ≥ 1 i в [9]
при γ > 0. Враховуючи (25), формулу (24) можна записати у виглядi
(Dγ
Ωu
θ
k)(x, t, kh) =
t−θ∫
kh
dτ
∫
Rn
GΩ(x, x− ξ, t− τ)[fk−1(ξ, τ)− fk−1(x, τ)] dξ,
(27)
x ∈ Rn, 0 < θ < t− kh.
Позначимо через Φ(x, t, kh) функцiю iз правої частини (23). Зауважимо, що iнтеграли в
(23) збiжнi за рахунок оцiнки (26) i умов, накладених на функцiю f. Тодi iз формули (27)
отримуємо, що рiвномiрно по x ∈ Rn
(Dγ
Ωuk)(x, t, kh) = lim
θ→0
(Dγ
Ωu
θ
k)(x, t, kh) = Φ(x, t, kh), x ∈ Rn, kh < t ≤ (k + 1)h.
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай kh < t ≤ (k+ 1)h, k ∈ N, x ∈ Rn. Тодi формулою (14) визначається
розв’язок задачi Кошi (6), (7).
Доведення проведемо методом математичної iндукцiї по k ∈ N. Нехай k = 1. На пiд-
ставi оцiнок (15), (16) i умов на u0(x, t), f0(x, t, h) iнтеграли в (12) рiвномiрно збiгаються
для t ≥ h + ε, x ∈ Rn, де ε > 0 — як завгодно мале число. Отже, функцiя u1(x, t, h) є
неперервною i обмеженою. Враховуючи (19) i (23), безпосередньо перевiряємо, що (12)
задовольняє рiвняння (6). Перевiримо виконання початкової умови (7). Розглянемо спо-
чатку другий доданок iз (12):
u2
1(x, t, h) =
t∫
h
dτ
∫
Rn
G(x− ξ, t− τ)f0(ξ, τ, h) dξ, h < t ≤ 2h, x ∈ Rn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
36 Я. М. ДРIНЬ, Р. I. ПЕТРИШИН
Очевидно, що
lim
t→h+0
u2
1(x, t, h) = 0.
Розглянемо перший доданок iз (12), який за допомогою (17) запишемо у виглядi рiзни-
цi
u1(x, t, h)− u0(x, h) =
∫
Rn
G(x− ξ, t− h)(u0(ξ, h)− u0(x, h)) dξ,
де h < t < 2h, x ∈ Rn, i виконаємо замiну просторових змiнних zi = (ξi − xi)t̃
−1/γ ,
1 ≤ i ≤ n, t̃ = t− h. Тодi, враховуючи (13), отримуємо
u1
1(x, t, h)− u0(x, h) = (2π)−n
∫
Rn
∫
Rn
exp{i(z, σ)− a(σ)}
dσ(u0(x+ zt̃1/γ , h)− u0(x, h)) dz,
(28)
x ∈ Rn, h < t ≤ 2h,
де оцiнка (15) забезпечує рiвномiрну збiжнiсть iнтеграла по z. Iз (28) одержуємо
|u1
1(x, t, h)− u0(x, h)| ≤
∣∣∣∣∣∣∣
∫
|z|≤N
G(z)(u0(x+ zt̃1/γ , h)− u0(x, h)) dz
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣
∫
|z|≥N
G(z)(u0(x+ zt̃1/γ , h)− u0(x, h)) dz
∣∣∣∣∣∣∣ ≡ I1 + I2.
Iз обмеженостi початкової функцiї u0 випливає, що iснує таке число M > 0, що |u0(x +
+zt̃1/γ , h) − u0(x, h)| ≤ M, x ∈ Rn, z ∈ Rn, 0 ≤ t̃ ≤ h. Нехай ε > 0 — як завгодно
мале число. Можна знайти настiльки велике N > 0, що iз збiжностi iнтеграла (28) по z
випливає
|I2| ≤ M
∫
|z|≥N
|G(z)| dz ≤ ε
2
.
Iз неперервностi функцiї u0(x, h) випливає, що при всiх t̃ = t− h > 0, близьких до нуля, i
при всiх |z| ≤ N
|u0(x+ zt̃1/γ , h)− u0(x, h)| ≤ ε
2c
,
де c =
∫
|z|≤N
|G(z)| dz. Тодi
I1 ≤ c|u0(x+ zt1/γ , h)− u0(x, h)| ≤ c
ε
2c
=
ε
2
.
Отже, для всiх t > h, достатньо близьких до h, x ∈ Rn
|u1
1(x, t, h)− u0(x, h)| ≤ I1 + I2 ≤
ε
2
+
ε
2
= ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ АВТОНОМНИХ КВАЗIЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 37
Оскiльки ε > 0 є довiльним, то звiдси випливає, що
lim
t→h+0
u1(x, t, h) = lim
t→h+0
u1
1(x, t, h) = u0(x, h),
бо limt→h+0 u2(x, t, h) = 0.
Методом математичної iндукцiї доводиться, що limt→h+0 uk(x, t, h) = uk−1(x, h).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Даний результат залишається правильним, якщо в (1) (Au)(x, t) ≡
≡ (A0u)(x, t) +
∑m
k=1(Aku)(x, t), де Ak — ПДО з символами ak: Rn → R, 0 ≤ k ≤ m,
однорiдними порядкiв γk > 0, 0 ≤ k ≤ m, таких, що γ0 > γ1 > . . . > γm, нескiнченно
диференцiйовнi по σ ∈ Rn \ {0}, головний символ a0 задовольняє умову (3), решта сим-
волiв задовольняють умову (4), або з символами, залежними вiд часової змiнної t > 0 i
просторових змiнних x ∈ Rn [6].
Зауваження 2. Результат залишається правильним для системи параболiчних псевдо-
диференцiальних рiвнянь вигляду (1) з умовою вигляду (2).
1. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.
2. Гурли А. С., Соу Дж. В. -Х., Ву Дж. Х. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием:
биологические модели и нелинейная динамика // Совр. математика. Фундам. направления. — 2003. —
1. — С. 84 – 120.
3. Эйдельман С. Д., Дрiнь Я. М. Необходимые и достаточные условия стабилизации решений задачи Ко-
ши для параболических псевдодифференциальных уравнений // Приближенные методы математиче-
ского анализа. — Киев: Изд-во КГПИ им. А. М. Горького, 1974. — С. 60 – 69.
4. Дрiнь Я. М. Вивчення одного класу параболiчних псевдодиференцiальних операторiв у просторах гель-
дерових функцiй // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1974. — № 1. — С. 19 – 21.
5. Дринь Я. М. Фундаментальное решение задачи Коши для одного класса параболических псевдодиф-
ференциальных уравнений // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1977. — № 3. — С. 198 – 203.
6. Кочубей А. Н. Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы
и марковские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1988. — 52, № 5. — С. 909 – 934.
7. Дрiнь Я. М. Задача Кошi для квазiлiнiйних систем параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь з вiд-
хиленням аргумента // Матерiали Всеукр. наук. конф. „Диференцiальнi рiвняння та їх застосування в
прикладнiй математицi”. — Чернiвцi, 2012. — С. 70.
8. Эйдельман С. Д. Параболические системы. — М.: Наука, 1964. — 444 с.
9. Городецький В. В., Дрiнь Я. М. Дослiдження поведiнки осцилюючих iнтегралiв // Наук. вiсн. Чернiв.
ун-ту. Математика: зб. наук. пр. — 2011. — 1, № 3. — С. 13 – 18.
Одержано 12.12.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|