Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических разностных уравнений с непрерывным аргументом в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177044 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 118-124. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177044 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770442021-02-11T01:28:55Z Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом Слюсарчук, В.Ю. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических разностных уравнений с непрерывным аргументом в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений. We obtain conditions for existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differenсе equations with continuous argument in a Banach space without a use of H-classes of these equations. 2013 Article Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 118-124. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177044 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических разностных уравнений с непрерывным аргументом в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| title_short |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| title_full |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| title_fullStr |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| title_full_unstemmed |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| title_sort |
умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177044 |
| citation_txt |
Умови майже періодичності обмежених розв’язкiв нелiнiйних різницевих рiвнянь з неперервним аргументом / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 118-124. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû umovimajžeperíodičnostíobmeženihrozvâzkivnelinijnihríznicevihrivnânʹzneperervnimargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:00:18Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:00:18Z |
| _version_ |
1837725510041337856 |
| fulltext |
УДК 517.929
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@NUWM.rv.ua
We obtain conditions for existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differenсе
equations with continuous argument in a Banach space without a use ofH-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периоди-
ческих разностных уравнений с непрерывным аргументом в банаховом пространстве, не исполь-
зующиеH-классы этих уравнений.
1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай R — множина всiх дiйсних чисел,E —
довiльний банаховий простiр iз нормою ‖ · ‖E i C0 — банаховий простiр обмежених i
неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями в E з нормою ‖x‖C0 = supt∈R ‖x(t)‖E .
Визначимо оператор зсуву Sh : C0 → C0, h ∈ R, за допомогою спiввiдношення
(Shx)(t) = x(t+ h), t ∈ R. (1)
Елемент y ∈ C0 називається майже перiодичним (за Бохнером) (див., наприклад, [1 – 4]),
якщо замикання множини {Shy : h ∈ R} у просторi C0 є компактною пiдмножиною
цього простору.
Позначимо через B0 банаховий простiр майже перiодичних елементiв простору C0 з
нормою ‖x‖B0 = ‖x‖C0 .
Нехай Ω — область простору E, тобто вiдкрита зв’язна множина простору E, i K —
множина всiх непорожнiх зв’язних компактних пiдмножин K ⊂ Ω.
Розглянемо неперервне вiдображення f : R× Ω → E, що задовольняє умови:
1) f(t, x) рiвномiрно неперервне по x на кожнiй множинi R×K, де K ∈ K;
2) f(t, x) майже перiодичне по t рiвномiрно по x на кожнiй множинi K ∈ K.
Неважко показати, що, як i в [4, с. 428, 429], для кожної множини K ∈ K
sup
t∈R,x∈K
‖f(t, x)‖E < +∞
i для довiльної послiдовностi (hk)k≥1 дiйсних чисел iснує пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1, для якої
послiдовнiсть (f(t+ hkl , x))l≥1 збiгається рiвномiрно на множинi R×K.
Вважатимемо, що послiдовнiсть (f(t+ hkl , x))l≥1 збiгається рiвномiрно на кожнiй мно-
жинi R×K,K ∈ K, i граничне вiдображення g : R×Ω → E,що визначається спiввiдношен-
ням
g(t, x) = lim
l→∞
f(t+ hkl , x), (2)
c© В. Ю. Слюсарчук, 2013
118 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 119
задовольняє умови 1 i 2. Наведена вимога виконується, якщо, наприклад, простiр E скiн-
ченновимiрний, що показано в [4, с. 429]. Зазначимо, що у статтi ця вимога вiдiграватиме
допомiжну роль i не буде використовуватися при отриманнi основного результату.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
x(t+ 1) = f(t, x(t)), t ∈ R. (3)
H-класом цього рiвняння називається множина всiх рiзницевих рiвнянь
y(t+ 1) = g(t, y(t)), t ∈ R,
права частина яких визначається за допомогою (2).
Метою статтi є встановлення умов майже перiодичностi обмежених неперервних роз-
в’язкiв рiвняння (3) без використання елементiвH-класу цього рiвняння. При дослiдженнi
рiвняння (3) будемо використовувати один функцiонал, визначений на множинi обмеже-
них розв’язкiв цього рiвняння (множини значень цих розв’язкiв — пiдмножини компакт-
них множин K ∈ K). Цьому функцiоналу придiлимо увагу в наступному пунктi.
2. Функцiонал ∆. Позначимо через N (f,K) множину всiх обмежених розв’язкiв x =
= x(t) рiвняння (3), для кожного з яких замикання R(x) множини
R(x) = {x(t) : t ∈ R}
у просторi E є пiдмножиною множини K ∈ K i R(x) 6= K.
Зафiксуємо довiльну множину K ∈ K i обмежений розв’язок x∗ ∈ N (f,K) рiвняння
(3). Будемо вважати, що
N (f,K) 6= ∅.
Покладемо
r(x∗,K, f) = sup
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
.
Завдяки нерiвностi R(x∗) 6= K
r(x∗,K, f) > 0.
Також зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K, f)]. Позначимо через Ω(x∗,K, f, ε) мно-
жину всiх елементiв y ∈ C0, для кожного з яких
x∗(t) + y(t) ∈ K
для всiх t ∈ R i
inf
t∈R
∣∣‖y(t)‖E − ε
∣∣ = 0.
Розглянемо функцiонал
∆(x∗,K, f, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,f,ε)
sup
t∈R
‖x∗(t+ 1) + y(t+ 1)− f(t, x∗(t) + y(t))‖E . (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
120 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Застосування функцiонала ∆ до дослiдження майже перiодичних нелiнiйного рiзни-
цевого рiвняння (3), аналогiчних лiнiйних рiзницевих рiвнянь та нелiнiйного диференцi-
ального рiвняння наведемо в наступних трьох пунктах.
3. Основний результат. Наведемо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiв-
няння (3), в яких на вiдмiну вiд вiдомої теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див. [4, 5]) не використовуються H-клас рiвняння
(3) та вiдокремлення обмежених розв’язкiв рiвняньH-класу цього рiвняння.
Теорема 1. Нехай K належить множинi K. Якщо для розв’язку z ∈ N (f,K) рiвняння
(3) i деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K, f, ε) > 0 (5)
для всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок z ∈ N (f,K) рiвняння (3) не є елементом прос-
тору B0. Тодi завдяки компактностi множини K iснує послiдовнiсть (z(t + hp))p≥1, що
збiгається в точцi t = 0, причому будь-яка її пiдпослiдовнiсть (z(t + kp))p≥1 не збiгається
рiвномiрно на R. Отже,
lim
p,q→∞
‖z(hp)− z(hq)‖E = 0 (6)
i для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 i числа γ ∈ (0, δ)
sup
t∈R
‖z(t+ kpr)− z(t+ kqr)‖E > γ, r ≥ 1. (7)
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що послiдовнiсть (f(t+ kp, x))p≥1 збiгається
рiвномiрно на R×K. Тодi
lim
p,q→∞
sup
t∈R, x∈K
‖f(t+ kp, x)− f(t+ kq, x)‖E = 0. (8)
Зафiксуємо довiльне число ε0 ∈ (0, γ]. На пiдставi (6) i (7) для функцiй
yr(t) = z(t+ kpr)− z(t+ kqr), r ≥ 1,
виконується спiввiдношення
yr ∈ Ω(Skqr z,K, f, ε0), r ≥ 1, (9)
де Sh — оператор зсуву, визначений спiввiдношенням (1).
Покажемо, що
∆(z,K, f, ε0) = 0. (10)
Завдяки (4), (9) та тому, що
z(t+ 1 + kpr)− f(t+ kpr , z(t+ kpr)) ≡ 0, r ≥ 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 121
виконуються спiввiдношення
∆(z,K, f, ε0) = inf
y∈Ω(z,K,f,ε0)
sup
t∈R
‖z(t+ 1) + y(t+ 1)− f(t, z(t) + y(t))‖E =
= inf
y∈Ω(Skqr
z,K,f,ε0)
sup
t∈R
‖z(t+1+kqr)+y(t+1)−f(t+kqr , z(t+kqr)+y(t))‖E ≤
≤ sup
t∈R
‖z(t+ 1 + kqr) + yr(t+ 1)− f(t+ kqr , z(t+ kqr) + yr(t))‖E =
= sup
t∈R
‖z(t+ 1 + kpr)− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E ≤
≤ sup
t∈R
‖z(t+ 1 + kpr)− f(t+ kpr , z(t+ kpr))‖E+
+ sup
t∈R
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E =
= sup
t∈R
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E ,
з яких на пiдставi (8) випливає спiввiдношення (10), що суперечить (5).
Отже, припущення, що розв’язок z ∈ N (f,K) рiвняння (3) не є майже перiодичним,
хибне.
Теорему 1 доведено.
4. Випадок лiнiйного рiвняння (3). Застосуємо теорему 1 до дослiдження лiнiйних май-
же перiодичних рiзницевих рiвнянь.
Розглянемо неперервнi вiдображення fi : R × E → E, i = 1, 2, що визначаються
рiвностями
f1(t, x) = A(t)x+ h(t),
f2(t, x) = A(t)x,
де A(t) — неперервна i майже перiодична на R функцiя зi значеннями в L(E,E) i h ∈ C0,
а також вiдповiднi лiнiйнi рiзницевi рiвняння
x(t+ 1) = A(t)x(t) + h(t) (11)
i
x(t+ 1) = A(t)x(t). (12)
Очевидно, що рiвняння (11), якщо h ∈ B0, i (12) — окремi випадки рiвняння (3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
122 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Завдяки теоремi 1 справджується наступне твердження.
Теорема 2. Нехай K належить множинi K i h ∈ B0. Якщо лiнiйне рiвняння (11) має
обмежений розв’язок z ∈ N (f1,K) i для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношен-
ня
∆(z,K, f1, ε) > 0
для всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Також справджується наступна теорема.
Теорема 3. НехайK належить множинiK. Якщо лiнiйне рiвняння (12) має обмежений
розв’язок z ∈ N (f2,K) i для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K, f2, ε) > 0
при всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок є майже перiодичним.
5. Застосування теореми 1 до звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянемо дифе-
ренцiальне рiвняння
dx
dt
= h(t, x), (13)
де h : R× Ω → E — неперервне вiдображення.
Щоб не ускладнювати подальше викладення матерiалу, вважатимемо, що Ω = E.
Також вважатимемо, що для кожних числа t0 ∈ R i вектора x0 ∈ E диференцiальне
рiвняння (13) має єдиний розв’язок x = x(t), що задовольняє початкову умову
x(t0) = x0. (14)
Умови виконання цiєї вимоги можна знайти, наприклад, в [6, 7].
Розв’язок задачi (13), (14) позначимо через x = x(t, t0, x0).
Далi визначимо вiдображення U : R× E → E за допомогою спiввiдношення
U(t, y) = x(t+ 1, t, y), (t, y) ∈ R× E. (15)
Очевидно, що кожний визначений на R розв’язок y = y(t) диференцiального рiвняння
(13) задовольняє спiввiдношення
y(t+ 1) = x(t+ 1, t, y(t)), t ∈ R,
тобто на пiдставi (15) є розв’язком рiзницевого рiвняння
x(t+ 1) = U(t, x(t)), t ∈ R, (16)
яке аналогiчне рiзницевому рiвнянню (3). Тому рiвняння (16) можна використати для до-
слiдження обмежених розв’язкiв диференцiального рiвняння (13).
Завдяки теоремi 1 справджується наступне твердження.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
УМОВИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНОСТI ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 123
Теорема 4. Нехай:
1) диференцiальне рiвняння (13) має обмежений розв’язок z ∈ C0 зi значеннями в
компактнiй множинi K ∈ K;
2) вiдображення U : R × E → E задовольняє умови 1 i 2 (як i вiдображення f у
рiзницевому рiвняннi (3));
3) для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K,U, ε) > 0
для всiх ε ∈ (0, δ).
Тодi обмежений розв’язок z рiвняння (13) є майже перiодичним.
Зауважимо, що наведенi умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння (13)
є новими. На вiдмiну вiд згадуваної теореми Амерiо в теоремi 4 не використовуються H-
клас рiвняння (3) та умова вiдокремлення обмежених розв’язкiв рiвнянь H-класу цього
рiвняння, i банаховий простiр E може бути нескiнченновимiрним.
На завершення зазначимо, що дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь
присвячено багато публiкацiй. Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних
диференцiальних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведе-
нi Фаваром у роботi [8], а для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi
[5]. У цих роботах суттєво використовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [5] —
вимога вiдокремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були значно
покращенi Е. Мухамадiєвим [9, 10]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено ро-
боти [11 – 13]. Важливi результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [3],
Амерiо [14] та В. В. Жикову [15].
Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (вимога
iснування таких розв’язкiв у теоремi 4 є суттєвою) отримано в [16 – 19].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen // Math. Ann. —
1927. — 96. — P. 119 – 147.
2. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer Variablen // Math. Ann.
— 1927. — 96. — P. 383 – 409.
3. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с.
4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 c.
5. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati //
Ann. mat. pura ed appl. — 1955. — 39. — P. 97 – 119.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн M. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 535 с.
7. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння. — Київ: Либiдь, 2003. —
600 с.
8. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. — 1927. — 51. —
P. 31 – 81.
9. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
10. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460.
11. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116(158), № 4(12). — С. 483 – 501.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
124 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
12. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130(172), № 1(5). — C. 86 – 104.
13. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
14. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. — 1960. — 30. — P. 288 – 301.
15. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в слу-
чае произвольного банахова пространства // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — С. 121 – 126.
16. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 11. — С. 1541 – 1556.
17. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциаль-
но-функциональных уравнений // Мат. сб. — 2010. — 201, № 8. — С. 103 – 126.
18. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв
слабко регулярними операторами // Укр. мат. журн. — 2011. — 63, № 12. — С. 1685 – 1698.
19. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функцио-
нальных уравнений // Мат. сб. — 2012. — 203, № 5. — С. 135 – 160.
Одержано 19.10.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|