Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь
Получены условия существования непрерывных решений систем линейных уравнений и исследована структура их множества.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177098 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь / О.А. Поварова // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 399-406 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177098 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770982021-02-11T01:27:41Z Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь О.А., Поварова Получены условия существования непрерывных решений систем линейных уравнений и исследована структура их множества. We find conditions for existence of continuous solutions to linear systems and study the structure of the set of such solutions. 2014 Article Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь / О.А. Поварова // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 399-406 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177098 517.962.2 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования непрерывных решений систем линейных уравнений и исследована структура их множества. |
| format |
Article |
| author |
О.А., Поварова |
| spellingShingle |
О.А., Поварова Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
О.А., Поварова |
| author_sort |
О.А., Поварова |
| title |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| title_short |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| title_full |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| title_fullStr |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| title_sort |
про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177098 |
| citation_txt |
Про структуру множини неперервних розв’язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь / О.А. Поварова // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 399-406 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT oapovarova prostrukturumnožinineperervnihrozvâzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:03:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:03:43Z |
| _version_ |
1837725725071769600 |
| fulltext |
УДК 517.962.2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
О. А. Поварова
Нац. техн. ун-т України "КПI"
Україна, 03057, Київ, просп. Перемоги, 37
We find conditions for existence of continuous solutions to linear systems and study the structure of the set
of such solutions.
Получены условия существования непрерывных решений систем линейных уравнений и иссле-
дована структура их множества.
Основи теорiї лiнiйних рiзницевих i q-рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t+ 1) = a(t)x(t),
x(qt) = b(t)x(t),
де всi елементи aij(t), i, j = 1, n, матрицi a(t) = (aij(t)) є аналiтичними функцiями в де-
якому околi точки t = ∞, були розробленi у працях Бiркгофа та його учнiв. Зокрема,
в [1 – 3] одержано зображення загального розв’язку таких систем рiвнянь i дослiджено
його структуру. В подальшому такi системи вивчалися багатьма математиками. Особли-
ва увага придiлялася вивченню питання iснування неперервних розв’язкiв, структури їх
множини, поведiнки при t → ±∞ (див. [4 – 6]). У продовження цих дослiджень виникло
питання про одержання аналогiчних результатiв для систем лiнiйних рiвнянь вигляду
x(t+ 1) = a(t)x(t) + b(t)x(qt), (1)
де t ∈ R = (−∞,+∞), a(t), b(t) — деякi дiйснi матрицi розмiрностi n×n, q — деяка дiйсна
стала, при певних припущеннях вiдносно a(t) та qj , j = 1, n.
Розглянемо неоднорiдне рiвняння
x(t+ 1) = a(t)x(t) + b(t)x(qt) + f(t), (2)
де a(t), b(t), f(t) : R → R, та дослiдимо структуру множини неперервних розв’язкiв при
виконаннi наступних умов:
1) 0 < a∗ ≤ a(t) ≤ a∗ < 1, q > 0;
2) функцiї b(t), f(t) є неперервними обмеженими при всiх t ∈ R i такими, що sup
t
|b(t)| =
= b∗, sup
t
|f(t)| = f∗;
3) ∆ =
b∗
1− a∗
< 1.
Має мiсце наступна теорема.
c© О. А. Поварова, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3 399
400 О. А. ПОВАРОВА
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 3, то рiвняння (2) має неперервний обмеже-
ний при t ∈ R розв’язок x̃(t) у виглядi ряду
x̃(t) =
∞∑
i=0
x̃i(t), (3)
де x̃i(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi обмеженi при t ∈ R функцiї.
Доведення. Дiйсно, пiдставляючи (3) в (2), отримуємо
∞∑
i=0
x̃i(t+ 1) = a(t)
∞∑
i=0
x̃i(t) + b(t)
∞∑
i=0
x̃i(qt) + f(t).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї x̃i(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi рiвнянь
x̃0(t+ 1) = a(t)x̃0(t) + f(t), (40)
x̃i(t+ 1) = a(t)x̃i(t) + b(t)x̃i−1(qt), i = 1, 2, . . . , (4i)
то ряд (3) є формальним розв’язком рiвняння (2).
Рiвняння (40) має розв’язок вигляду
x̃0(t) =
∞∑
j=1
[
j−1∏
i=1
a(t− i)
]
f(t− j), (50)
для якого справджується оцiнка
|x̃0(t)| ≤
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣
j−1∏
i=1
a(t− i)
∣∣∣∣∣ |f(t− j)| ≤
∞∑
j=1
a∗(j−1)f∗ ≤ f∗
1
1− a∗
= M,
|x̃0(t)| ≤
f∗
1− a∗
= M. (60)
Розглядаючи послiдовно рiвняння (4i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що вони мають
формальнi розв’язки у виглядi рядiв
x̃i(t) =
∞∑
j=1
[
j−1∏
i=1
a(t− i)
]
b(t− j)x̃i−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . . (5i)
Покажемо, що ряди (5i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних
функцiй x̃i(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1 виконуються оцiнки
|x̃i(t)| ≤ M4i. (6i)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 401
Дiйсно, з урахуванням (60), (51) та умов теореми отримуємо
|x̃1(t)| ≤
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣
j−1∏
i=1
a(t− i)
∣∣∣∣∣ |b(t− j)| |x̃0(q(t− j))| ≤
∞∑
j=1
a∗(j−1) b∗M ≤ M
b∗
1− a∗
= M∆,
тобто оцiнка (6i) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiн-
ку (6i), i = 1, 2, . . . , доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при
переходi вiд i до i+ 1. Дiйсно, враховуючи (5i+1) та (6i), маємо
|x̃i+1(t)| ≤
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣
j−1∏
i=1
a(t− i)
∣∣∣∣∣ |b(t− j)| |x̃i(q(t− j))| ≤
≤
∞∑
j=1
a∗(j−1)b∗M∆i ≤ M
b∗
1− a∗
∆i = M∆i+1.
Цим самим ми довели, що ряди (5i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ∈ R до
деяких неперервних функцiй x̃i(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (6i). Звiдси
безпосередньо випливає, що ряд (3) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої неперерв-
ної функцiї x̃(t), яка є розв’язком рiвняння (2) i задовольняє при всiх t ∈ R умову
|x̃(t)| ≤ M
1−∆
.
Теорему 1 доведено.
Виконуючи в (2) замiну змiнних
x(t) = y(t) + x̃(t), (7)
отримуємо однорiдне рiвняння
y(t+ 1) = a(t)y(t) + b(t)y(qt) (8)
для функцiї y(t).
Для рiвняння (8) має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a∗ ≤ a(t) ≤ a∗ < 1, q > 1, a−1∗ a∗q < 1;
2) 4̃ =
b∗
a∗ − a∗q
< 1, де sup
t
|b(t)| = b∗.
Тодi рiвняння (8) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, що залежать
вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Покажемо, що функцiонально-рiзницеве рiвняння (8) має розв’язок у ви-
глядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
402 О. А. ПОВАРОВА
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (9) в (8), одержує-
мо
∞∑
i=0
yi(t+ 1) = a(t)
∞∑
i=0
yi(t) + b(t)
∞∑
i=0
yi(qt).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , задовольняють послi-
довнiсть рiвнянь
y0(t+ 1) = a(t)y0(t), (100)
yi(t+ 1) = a(t)yi(t) + b(t)yi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (10i)
то ряд (9) буде формальним розв’язком рiвняння (8). Враховуючи зображення загального
неперервного розв’язку рiвняння (100) та умову 1 теореми 2, можна показати, що iснує
додатна стала M̃ така, що при всiх t ≥ 0 виконується оцiнка
|y0(t)| ≤ M̃a∗t. (110)
Оскiльки ряди
yi(t) = −
∞∑
j=0
j∏
p=0
a−1(t+ p)
b(t+ j)yi−1(q(t+ j)), i = 1, 2, . . . , (11i)
є формальними розв’язками вiдповiдних рiвнянь (10i), i = 1, 2, . . . (в цьому можна пере-
конатися безпосередньою пiдстановкою (11i) в (10i), i = 1, 2, . . .), то, взявши до уваги
(110) i умови 1, 2, покажемо, що ряди (11i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких
неперервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1, t ≥ 0 виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M̃4̃ia∗qt. (12i)
Справдi, враховуючи (110), (111), маємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣∣∣∣
j∏
p=0
a−1(t+ p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t+ j)| |y0(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
a
−(j+1)
∗ b∗M̃a∗q(t+j) ≤
≤ M̃b∗a∗qta−1∗
∞∑
j=0
(a−1∗ a∗q)j ≤ M̃
b∗
a∗ − a∗q
a∗qt = M̃∆̃a∗qt,
тобто оцiнка (12i) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (12i) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 403
вiд i до i+ 1. Згiдно з (11i+1) та (12i) маємо
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣∣∣∣
j∏
p=0
a−1(t+ p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t+ j)| |yi(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
a
−(j+1)
∗ b∗M̃∆̃ia∗q(q(t+j)) ≤
≤ M̃∆̃ib∗a−1∗ a∗q
2t
∞∑
j=0
(a−1∗ a∗q
2
)j ≤ M̃∆̃ib∗a−1∗ a∗qt
∞∑
j=0
(a−1∗ a∗q)j ≤
≤ M̃∆̃i b∗
a∗ − a∗q
a∗qt = M̃∆̃i+1a∗qt.
Отже, оцiнка (12i) виконується при всiх i ≥ 1, t ≥ 0. Звiдси випливає, що ряди (11i),
i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 до деяких неперервних функцiй yi(t), i =
= 1, 2, . . . , для яких мають мiсце оцiнки (12i). Згiдно з (12i) ряд (9) рiвномiрно збiгається
при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤ M̃
1− ∆̃
i є розв’язком рiвняння (8).
Дослiдимо тепер структуру множини неперервних розв’язкiв рiвняння (2) при наступ-
них умовах:
1) 1 < a∗ ≤ a(t) ≤ a∗ < +∞, q > 0;
2) функцiї b(t), f(t) є неперервними обмеженими при всiх t ∈ R i такими, що sup
t
|b(t)| =
= b∗, sup
t
|f(t)| = f∗;
3) θ =
b∗
a∗ − 1
< 1.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Якщо виконуються умови 1 – 3, то рiвняння (2) має неперервний обмеже-
ний при t ∈ R розв’язок x̃(t) у виглядi ряду
x̃(t) =
∞∑
i=0
x̃i(t), (13)
де x̃i(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi обмеженi при t ∈ R функцiї.
Доведення. Дiйсно, пiдставляючи (13) в (2), отримуємо
∞∑
i=0
x̃i(t+ 1) = a(t)
∞∑
i=0
x̃i(t) + b(t)
∞∑
i=0
x̃i(qt) + f(t).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї x̃i(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi рiвнянь
x̃0(t+ 1) = a(t)x̃0(t) + f(t), (140)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
404 О. А. ПОВАРОВА
x̃i(t+ 1) = a(t)yi(t) + b(t)x̃i−1(qt), i = 1, 2, . . . , (14i)
то ряд (13) є формальним розв’язком рiвняння (2).
Рiвняння (140) має розв’язок вигляду
x̃0(t) = −
∞∑
j=0
j∏
p=0
a−1(t+ p)
f(t+ j), (150)
для якого справджується оцiнка
|x̃0(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣∣∣∣
j∏
p=0
a−1(t+ p)
∣∣∣∣∣∣ |f(t+ j)| ≤ a−1∗ f∗
∞∑
j=0
a−j∗ ≤ f∗
1
a∗ − 1
= M,
|x̃0(t)| ≤
f∗
a∗ − 1
= M. (160)
Розглядаючи послiдовно рiвняння (14i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що вони мають
формальнi розв’язки у виглядi рядiв
x̃i(t) = −
∞∑
j=0
j∏
p=0
a−1(t+ p)
b(t+ j)x̃i−1(q(t+ j)), i = 1, 2, . . . . (15i)
Покажемо, що ряди (15i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних
функцiй x̃i(t), i = 1, 2, . . . , для яких мають мiсце оцiнки
|x̃i(t)| ≤ Mθi, i = 1, 2, . . . . (16i)
Дiйсно, з урахуванням (160), (151) та умов теореми отримуємо
|x̃1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣∣∣∣
j∏
p=0
a−1(t+ p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t+ j)| |x̃0(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
a
−(j+1)
∗ b∗M ≤
≤ Mb∗a−1∗
∞∑
j=0
a−j∗ ≤ M
b∗
a∗ − 1
= Mθ,
тобто оцiнка (16i) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (16i) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
вiд i до i+ 1. Згiдно з (15i+1) та (16i) маємо
|x̃i+1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣∣∣∣
j∏
p=0
a−1(t+ p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t+ j)| |x̃i(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
a
−(j+1)
∗ b∗Mθi ≤
≤ Mb∗θia−1∗
∞∑
j=0
a−j∗ ≤ M
b∗
a∗ − 1
θi = Mθi+1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 405
Цим самим ми довели, що ряди (15i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ∈ R
до деяких неперервних функцiй x̃i(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (16i).
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (13) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої
неперервної функцiї x̃(t), яка є розв’язком рiвняння (2) i задовольняє при всiх t ∈ R умову
|x̃(t)| ≤ M
1− θ
.
Теорему 3 доведено.
Виконуючи в (2) замiну змiнних (7), отримуємо рiвняння (8), для якого має мiсце на-
ступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) 1 < a∗ ≤ a(t) ≤ a∗ < +∞, q > 1;
2) θ̃ =
b∗
a∗q − a∗
< 1, де sup
t
|b(t)| = b∗.
Тодi рiвняння (8) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, що залежать
вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Покажемо, що рiвняння (8) має розв’язок у виглядi ряду (9), де yi(t), i =
0, 1, . . . , — деякi неперервнi функцiї, якi є розв’язками послiдовностi рiвнянь (10i), i =
0, 1, . . . .
Враховуючи зображення загального неперервного розв’язку рiвняння (100) та умову 1
теореми, можна показати, що iснує додатна стала M
′
така, що при всiх t ≤ 0 виконується
оцiнка
|y0(t)| ≤ M
′
a∗t. (170)
Оскiльки ряди
yi(t) =
∞∑
j=1
j−1∏
p=1
a(t− p)
b(t− j)yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (17i)
є формальними розв’язками вiдповiдних рiвнянь (10i), i = 1, 2, . . . (в цьому можна пере-
конатися безпосередньою пiдстановкою (17i) в (10i), i = 1, 2, . . .), то, взявши до уваги
(170) i умови 1, 2, покажемо, що ряди (17i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких
неперервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1, t ≤ 0 виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M
′
θ̃ia∗qt. (18i)
Враховуючи (170), (171), маємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣∣
j−1∏
p=1
a(t− p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t− j)| |y0(q(t− j))| ≤
∞∑
j=1
a∗(j−1)b∗M
′
a∗q(t−j) ≤
≤ M
′
b∗a∗qta∗−1
∞∑
j=1
a∗(1−q)j ≤ M
′ b∗
a∗q − a∗
a∗qt = M
′
θ̃a∗qt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
406 О. А. ПОВАРОВА
тобто оцiнка (18i) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (18i) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
вiд i до i+ 1. Згiдно з (17i+1) i (18i) маємо
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣∣
j−1∏
p=1
a(t− p)
∣∣∣∣∣∣ |b(t− j)| |yi(q(t− j))| ≤
∞∑
j=1
a∗(j−1)b∗ M
′
θ̃ia∗q(q(t−j)) ≤
≤ M
′
θ̃ib∗a∗−1a∗q
2t
∞∑
j=1
a∗(1−q
2)j ≤ M
′
θ̃ib∗a∗−1a∗qt
∞∑
j=1
a∗(1−q)j ≤
≤ M
′
θ̃i
b∗
a∗q − a∗
a∗qt = M
′
θ̃i+1a∗qt.
Отже, оцiнка (18i) виконується при всiх i ≥ 1, t ≤ 0. Звiдси випливає, що ряди (17i),
i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних функцiй yi(t), i =
= 1, 2, . . . , для яких мають мiсце оцiнки (18i). Згiдно з (18i), ряд (9) рiвномiрно збiгається
при t ≤ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
′
1− θ̃
i є розв’язком рiвняння (8).
Теорему 4 доведено.
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. —
P. 243 – 284.
2. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Interative functional equations. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1990. — 552 p.
3. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. — 216 c.
4. Пелюх Г. П. Представление решений разностных уравнений с непрерывным аргументом // Диффе-
ренц. уравнения. — 1996. — 32, № 2. — С. 304 – 312.
5. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Про перiодичнi розв’язки систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь
// Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 24 – 28.
6. Пелюх Г. П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Докл.
АН. — 2006. — 73, № 2. — С. 269 – 272.
Одержано 25.09.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
|