Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером
Введен новый класс почти периодических операторов. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных дискретных уравнений, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177100 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 407-418 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177100 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771002021-02-11T01:27:42Z Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером Слюсарчук, В.Ю. Введен новый класс почти периодических операторов. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных дискретных уравнений, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру. We introduce a new class of almost periodic operators, and find conditions for existence of almost periodic but possibly not Bochner almost periodic solutions of nonlinear discretе equations. 2014 Article Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 407-418 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177100 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Введен новый класс почти периодических операторов. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных дискретных уравнений, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_short |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_full |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_fullStr |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_full_unstemmed |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_sort |
майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за бохнером |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177100 |
| citation_txt |
Майже періодичні розв’язки нелінійних дискретних систем, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 407-418 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû majžeperíodičnírozvâzkinelíníjnihdiskretnihsistemŝomožutʹnebutimajžeperíodičnimizabohnerom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:03:51Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:03:51Z |
| _version_ |
1837725732860592128 |
| fulltext |
УДК 517.929
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ
ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИМИ ЗА БОХНЕРОМ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com
We introduce a new class of almost periodic operators, and find conditions for existence of almost periodic
but possibly not Bochner almost periodic solutions of nonlinear discretе equations.
Введен новый класс почти периодических операторов. Получены условия существования поч-
ти периодических решений нелинейных дискретных уравнений, которые могут не быть почти
периодическими по Бохнеру.
1. Основнi позначення й означення. Нехай Z — множина всiх цiлих чисел, G — довiльна
адитивна злiченна група, K — скалярне поле (це або дiйсне поле R, або комплексне поле
C), E – довiльний банаховий простiр над полем K з нормою ‖ · ‖E i L(X,X) — банаховий
простiр лiнiйних неперервних операторiвA : X → X (X — довiльний банаховий простiр)
з нормою
‖A‖L(X,X) = sup
‖x‖X=1
‖Ax‖X .
Позначимо через M = M(G,E) банаховий простiр визначених на G вiдображень x =
= x(g) зi значеннями в E, для кожного з яких supg∈G ‖x(g)‖E < ∞, з нормою
‖x‖M = sup
g∈G
‖x(g)‖E
i нульовим елементом 0, а через R(x) множину значень вiдображення x = x(g), тобто
множину {x(g) : g ∈ G}.
У просторi M визначимо оператор зсуву Sh, h ∈ G, формулою
(Shx)(g) = x(g + h), g ∈ G. (1)
Означення 1. Елемент y ∈ M називається майже перiодичним (за Бохнером) (див.
[1, 2]), якщо замикання множини {Shy : h ∈ G} у просторi M є компактною пiдмножи-
ною цього простору.
Множина B майже перiодичних елементiв простору M є пiдпростором цього просто-
ру з нормою
‖x‖B = ‖x‖M.
c© В. Ю. Слюсарчук, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3 407
408 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Означення 2. Оператор A ∈ L(M,M) називається майже перiодичним (за Бохне-
ром), якщо замикання множини {ShAS−h : h ∈ G} у просторi L(M,M) є компактним у
L(M,M).
У подальшому при дослiдженнi дискретних систем будемо використовувати один но-
вий клас майже перiодичних операторiв, що можуть не бути майже перiодичними за
Бохнером.
Зафiксуємо довiльну вiдкриту множину D ⊂ E, що може збiгатися з E. Позначимо
через KD множину всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ D. Для множини D1 ⊂
⊂ D позначимо через DD1 множину всiх елементiв x ∈ M, для кожного з якихR(x) ⊂ D1.
Означення 3. Вiдображення H : DD → M називається майже перiодичним, якщо
для кожних множини K ∈ KD i послiдовностi (hk)k≥1 елементiв групи G iснує така
пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1, що
lim
l1→∞, l2→∞
sup
x∈DK
∥∥∥Shl1HS−hl1x− Shl2HS−hl2x
∥∥∥
M
= 0.
Очевидно, що кожний майже перiодичний за Бохнером оператор A ∈ L(M,M) є
майже перiодичним i в сенсi означення 3. Також очевидно, що у випадку D = E, скiн-
ченновимiрного простору E i лiнiйного оператора H : DD → M означення 2 i 3 рiв-
носильнi. Однак у випадку нескiнченновимiрного простору E майже перiодичний у сенсi
означення 3 оператор H може не бути майже перiодичним у сенсi означення 2 (приклад
такого оператора наведено в наступному пунктi).
2. Приклад майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодич-
ним за Бохнером. Будемо вважати, що K = R, G = Z, D = E i dim E = ∞. Позначимо
через S = S(Z, E) множину елементiв простору M(Z, E), для кожного з яких замикання
множини значень у просторi E є компактною множиною. Очевидно, що B ⊂ S i x +
+y, αx ∈ S, якщо x,y ∈ S i α ∈ R. Тому S є векторним простором.
Покажемо, що
S = S. (2)
Звiдси буде випливати, що векторний простiр S є пiдпростором простору M.
Нехай x — довiльний елемент множини S. Iснує послiдовнiсть (xm)m≥1 елементiв
множини S, для якої
lim
m→∞
‖xm − x‖M(Z,E) = 0. (3)
Зафiксуємо довiльне число ε > 0. Завдяки (3) для деякого числа m0 ∈ N
‖xm0 − x‖M(Z,E) < ε. (4)
Оскiльки xm0 ∈ S, то множина R(xm0) є компактною в E. Тому для цiєї множини iснує
скiнченна ε-сiтка M. На пiдставi (4) множина M буде (2ε)-сiткою для R(x). Тодi завдяки
довiльностi вибору числа ε > 0 та теоремi Гаусдорфа (див. [3, c. 47]) множина R(x) є
компактною.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ . . . 409
Отже, рiвнiсть (2) справджується i векторний простiр S є пiдпростором простору M.
Далi розглянемо множину X = {x1, x2, . . . , xk, . . .} ⊂ E, для елементiв якої викону-
ється спiввiдношення ∥∥∥∥∥
p∑
l=1
βlxkl
∥∥∥∥∥
E
=
p∑
l=1
|βl| (5)
для довiльних p ∈ N, дiйсних чисел β1, . . . , βp i натуральних чисел k1, . . . , kp, серед яких
немає рiвних мiж собою. Множина з такою властивiстю iснує, якщо, наприклад, E = C0,
деC0 — банаховий простiр обмежених i неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями
в R з нормою ‖x‖C0 = supt∈R |x(t)|; в якостi елементiв x1, x2, . . . , xk, . . . можна взяти функ-
цiї sinλ1t, sinλ2t, . . . , sinλkt, . . . вiдповiдно, де числа λ1, λ2, . . . , λk, . . . лiнiйно незалежнi,
тобто з рiвностi
n1λ1 + n2λ2 + . . .+ nkλk = 0,
де n1, n2, . . . , nk — цiлi числа, випливає, що n1 = n2 = . . . = nk = 0 [2]. Очевидно, що
замикання множини X у просторi E не є компактним в E.
Визначимо елемент y = y(n) простору M(Z, E) спiввiдношенням
y(n) =
{
x1, якщо n ≤ 1,
xn, якщо n ≥ 2.
(6)
Розглянемо множину
Y = {Smy : m ∈ Z},
де Sm — оператор зсуву, що у випадку G = Z визначається формулою (1), та лiнiйну обо-
лонку span (Y ) цiєї множини, тобто мiнiмальний векторний пiдпростiр простору M(Z, E),
що мiстить множину Y . Зазначимо, що кожний елемент u ∈ span (Y ) є лiнiйною комбi-
нацiєю деяких елементiв Sm1y, . . . , Smpy ∈ Y, тобто u =
∑p
k=1 βkSmk
y (тут β1, . . . , βp —
дiйснi числа, а p — натуральне число). Оскiльки на пiдставi (5) та (6) для всiх достатньо
великих натуральних чисел n i ω виконуються спiввiдношення
‖u(n)− u(n+ ω)‖E =
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
βky(n+mk)−
p∑
k=1
βky(n+ ω +mk)
∥∥∥∥∥
E
=
=
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
βkxn+mk
−
p∑
k=1
βkxn+ω+mk
∥∥∥∥∥
E
= 2
p∑
k=1
|βk|,
то замикання множини значень ненульового елемента u = u(n) =
(∑p
k=1 βkSmk
y
)
(n)
векторного пiдпростору span (Y ) не є компактною множиною, тобто u 6∈ S, якщо u 6= 0.
Очевидно, що iснує границя limn→−∞ u(n) =
(∑p
k=1 βk
)
x1.
Покажемо, що аналогiчнi властивостi мають ненульовi елементи замикання span (Y )
векторного пiдпростору span (Y ) у просторi M(Z, E). Нехай z — довiльний елемент з
span (Y ) \ span (Y ) i (zk)k≥1 — послiдовнiсть елементiв з span (Y ), для яких
lim
k→∞
‖zk − z‖M(Z,E) = 0. (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
410 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Покажемо, що для деякого числа α ∈ R виконується спiввiдношення
lim
n→−∞
z(n) = αx1. (8)
Справдi, нехай
lim
n→−∞
zk(n) = αkx1, αk ∈ R, k ≥ 1, (9)
де послiдовнiсть (αk)k≥1 є збiжною (ця вимога не зменшує загальностi мiркувань), тобто
для деякого числа α ∈ R
lim
k→∞
αk = α. (10)
Очевидно, що для всiх n ∈ Z i k ≥ 1
z(n) = (z(n)− zk(n)) + (zk(n)− αkx1) + (αka− αx1) + αx1.
Тому
‖z(n)− αx1‖E ≤ ‖z(n)− zk(n)‖E + ‖zk(n)− αkx1‖E + ‖αkx1 − αx1‖E , n ∈ Z, k ≥ 1.
Звiдси та з (9) випливає, що для кожного k ≥ 1
0 ≤ lim
n→−∞
‖z(n)− αx1‖E ≤ lim
n→−∞
‖z(n)− zk(n)‖E + lim
n→−∞
‖zk(n)− αkx1‖E+
+ lim
n→−∞
‖αkx1 − αx1‖E ≤ ‖z− zk‖M(Z,E) + ‖(αk − α)x1‖E .
Оскiльки цi спiввiдношення справджуються для всiх k ≥ 1, то завдяки (7) та (10) вико-
нується спiввiдношення (8).
Далi покажемо, що для елемента z ∈ span (Y ) \ span (Y ) множина R(z) не є компакт-
ною в E. Нехай (zk)k≥1 — послiдовнiсть елементiв iз span (Y ), для якої виконується спiв-
вiдношення (7). Оскiльки для кожного k ≥ 1 iснують такi числа pk ∈ N, δ1,k, . . . , δpk,k ∈ R
i m1,k, . . . ,mpk,k ∈ Z, що елемент zk = zk(n) записується у виглядi
zk(n) =
pk∑
l=1
δl,ky(n+ml,k) =
pk∑
l=1
δl,kxn+ml,k
(тут враховано (6)), то завдяки (5)
‖zk‖M(Z,E) =
pk∑
l=1
|δl,k|
i для всiх достатньо великих чисел n, ω ∈ N
‖zk(n)− zk(n+ ω)‖E =
∥∥∥∥∥
pk∑
l=1
δl,kxn+ml,k
−
pk∑
l=1
δl,kxn+ω+ml,k
∥∥∥∥∥
E
= 2
pk∑
l=1
|δl,k| = 2‖zk‖M(Z,E).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ . . . 411
Iз цих рiвностей випливає, що для всiх достатньо великих чисел n, ω ∈ N
‖z(n)− z(n+ ω)‖E ≥ ‖zk(n)− zk(n+ ω)‖E − ‖(z(n)− zk(n))− (z(n+ ω)− zk(n+ ω))‖E ≥
≥ ‖zk(n)− zk(n+ ω)‖E − ‖z(n)− zk(n)‖E − ‖z(n+ ω)− zk(n+ ω)‖E ≥
≥ 2‖zk‖M(Z,E) − 2‖z− zk‖M(Z,E), k ≥ 1.
Звiдси та з включення z ∈ span (Y ) \ span (Y ) на пiдставi (7) отримуємо, що для деякого
числа γ > 0 та всiх достатньо великих чисел n, ω ∈ N
‖z(n)− z(n+ ω)‖E ≥ γ,
що означає некомпактнiсть множини R(z) у просторi E.
Отже, span (Y ) є пiдпростором простору M(Z, E).
Розглянемо пiдпростiр L = S ⊕ span (Y ) простору M(Z, E). Зазначимо, що кожний
вектор x ∈ L єдиним чином записується у виглядi x = u + v, де u ∈ S i v ∈ span (Y ).
Справдi, якщо iснують два таких зображення
x = u1 + v1,
x = u2 + v2
(
u1,u2 ∈ S, v1,v2 ∈ span (Y )
)
,
то u1 + v1 = u2 + v2 i, отже, при u1 = u2 отримуємо рiвнiсть v1 = v2, а при u1 6= u2 —
рiвнiсть u1 − u2 = v2 − v1, що суперечить включенню u2 − u1 ∈ S, оскiльки v2 − v1 ∈
∈ span (Y ) \ {0} i множина S ∩
(
span (Y ) \ {0}
)
є порожньою.
Розглянемо лiнiйний неперервний функцiонал ψ : span ({xk : k ∈ N}) → R, для якого
ψ(x1) = 1 i ‖ψ‖ = 1. Такий функцiонал iснує (див., наприклад, [4, с. 176, 177]).
Визначимо лiнiйний функцiонал ϕ : L → R так: кожному вектору x = u + v ∈ L, де
u ∈ S i v ∈ span (Y ), поставимо у вiдповiднiсть число
ϕ(x) = ϕ(u) + ϕ(v),
де
ϕ(u) = 0
i
ϕ(u) = ψ
(
lim
n→−∞
u(n)
)
.
Цей функцiонал є неперервним завдяки неперервностi функцiонала ψ.
За теоремою Гана – Банаха про продовження лiнiйного неперервного функцiонала [4]
iснує лiнiйний неперервний функцiонал l : M(Z, E) → R, для якого l(x) = ϕ(x) для всiх
x ∈ L i ‖l‖ = ‖ϕ‖.
Зафiксуємо довiльний елемент s ∈ M\B. Визначимо лiнiйний неперервний оператор
C : M → M формулою
Cx = l(x)s, x ∈ M. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
412 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Покажемо, що цей оператор є майже перiодичним у сенсi означення 3 i не є майже
перiодичним у сенсi означення 2.
Зазначимо, що на пiдставi (11)
SmCS−mx = l(S−mx)Sms (12)
для кожного x ∈ M(Z, E) i
l(S−mx) = 0
для кожного x ∈ S. Тому для будь-якої компактної множини K ⊂ E замикання множини
{SmCS−mx : m ∈ Z,x ∈ DK} у просторi M(Z, E) є компактним в M(Z, E), оскiльки ця
множина збiгається {0}. Це означає, що оператор C є майже перiодичним у сенсi озна-
чення 3. Однак замикання множини {SmCS−m : m ∈ Z} у просторi L(M(Z, E),M(Z, E))
не є компактним в L(M(Z, E),M(Z, E)). Справдi, завдяки (11) та (12) для елемента y, що
визначається за допомогою (6), виконується спiввiдношення
SmCS−my = Sms, m ∈ Z,
i, отже,
{SmCS−m : m ∈ Z}y = {Sms : m ∈ Z}. (13)
Якщо оператор C є майже перiодичним у сенсi означення 2, тобто {SmCS−m : m ∈ Z}
є передкомпактною множиною у просторi L(M(Z, E),M(Z, E)), то множина {SmCS−m :
m ∈ Z}y є передкомпактною у просторi M(Z, E). Завдяки рiвностi (13) передкомпакт-
ною у просторi M(Z, E) має бути i множина {Sms : m ∈ Z}. Однак ця властивiсть для
{Sms : m ∈ Z} не виконується, оскiльки елемент s не є майже перiодичним (див. означен-
ня 1).
Отже, побудову оператора з бажаними властивостями завершено.
Зауваження 1. Нехай банаховий простiр E збiгається з простором l1 = l1(N,R) послi-
довностей a = (a1, a2, . . . , ak, . . .), для кожної з яких
∑∞
k=1 |ak| < ∞, з нормою
‖a‖l1 =
∞∑
k=1
|ak|. (14)
В якостi множини X = {x1, x2, . . . , xk, . . .} ⊂ E, що використовувалася при побудовi
наведеного вище прикладу, можна взяти множину X̃ послiдовностей
xk = (δk1, δk2, δk3, . . .), k ∈ N,
де δkl — символ Кронекера: δkl = 1, якщо k = l, i δkl = 0, якщо k 6= l.
Тодi завдяки (14) елементи множини X̃, очевидно, будуть задовольняти спiввiдношен-
ня (5).
3. Основний об’єкт дослiджень. Нехай Ω — довiльна область у просторiE. Розглянемо
вiдображення F : DΩ → M, для якого для кожного K ∈ KΩ замикання множини
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ . . . 413
{ShFS−hx : h ∈ G, x ∈ DK} у просторi M є компактним в M, тобто вiдображення
F є майже перiодичним у сенсi означення 3.
Очевидно, що для кожних K ∈ K i послiдовностi (hk)k≥1 елементiв групи G iснує
така пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1, що послiдовнiсть
(
ShklFS−hklx
)
l≥1
збiгається рiвномiрно
на DK .
Метою статтi є встановлення умов iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння
Fx = 0. (15)
При дослiдженнi цього рiвняння будемо використовувати один функцiонал, визначе-
ний на множинi розв’язкiв рiвняння з передкомпактними множинами значень.
Зазначимо, що окремими випадками рiвняння (15) є рiзницевi рiвняння, зокрема рiв-
няння
xn+1 = fn(xn), n ∈ Z,
iснування майже перiодичних розв’язкiв якого з’ясовувалося автором у [5].
4. Функцiонал δ.Вiдокремленi та сильно вiдокремленi розв’язки рiвняння (15).Зафiк-
суємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N (F,K) множину всiх розв’язкiв x
рiвняння (15), для кожного з яких для R(x) ⊂ K i R(x) 6= K.
Зафiксуємо довiльний елемент x∗ ∈ N (F,K) (вважаємо, щоN (F,K) 6= ∅). Покладе-
мо
r(x∗,K) = sup
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
. (16)
Завдяки нерiвностi R(x) 6= K
r(x∗,K) > 0.
Також зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину
всiх елементiв y ∈ M, для кожного з яких
R(x∗ + y) ⊂ K (17)
i
‖y‖M ≥ ε. (18)
Аналогiчним чином можна визначити множину Ω(z,K, ε) для будь-якого iншого еле-
мента z ∈ M, для якого R(z) ⊂ K.
Розглянемо функцiонал
δ(x∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
‖F(x∗ + y)‖M . (19)
Означення 4. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) називається вiдокремленим на
множинi G × K, якщо або цей розв’язок єдиний на множинi G × K, або для кожного
iншого розв’язку u = u(g) зi значеннями в K виконується нерiвнiсть
inf
g∈G
‖z(g)− u(g)‖E ≥ ρ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
414 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
де ρ — додатна стала, залежна тiльки вiд z.
Означення 5. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) називається сильно вiдокремле-
ним на множинi G×K, якщо
δ(z,K, ε) > 0
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)).
Очевидно, що кожний сильно вiдокремлений на множинiG×K розв’язок z ∈ N (F,K)
рiвняння (15) є вiдокремленим на множинi G×K розв’язком цього рiвняння. Однак вiдо-
кремлений на множинi G ×K розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) може не бути сильно
вiдокремленим на множинi G×K розв’язком цього рiвняння (вiдповiдний приклад побу-
довано у [5] у випадку G = Z).
Застосування функцiонала δ до дослiдження нелiнiйного рiвняння (15) та аналогiчно-
го лiнiйного рiвняння наведемо в наступних пунктах.
Аналогiчнi функцiонали для дослiдження нелiнiйних майже перiодичних рiвнянь
x(t+ 1) = f(t, x(t)),
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), t ∈ R,
i
f(t, x(t)) = 0, t ∈ R, (20)
з неперервним вiдображенням f : R × Ω → E, де Ω — довiльна область простору E,
використовувалися автором у [6 – 8].
5. Основний результат. Наведемо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiв-
няння (15), в яких на вiдмiну вiд вiдомої теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’яз-
ки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див. [9, 10]) не використовується H-клас рiвнян-
ня (15).
Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору E. Визначимо дiаметр diam Λ множини Λ
рiвнiстю
diam Λ = sup{‖x− y‖E : x, y ∈ Λ}.
Теорема 1. Якщо для розв’язку z ∈ N (F,K) рiвняння (15), де K ∈ K, diam R(z) 6= 0 i
δ(z,K, ε) > 0 (21)
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 2. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15), для якого diam R(z) = 0, є сталим
i, отже, майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) не є елементом
простору B. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Shpz
)
p≥1
(тут hp ∈ Z, p ≥ 1), для якої кожна пiд-
послiдовнiсть
(
Skpz
)
p≥1
буде розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1
натуральних чисел i числа γ ∈ (0,diamR(z))∥∥Skpr z− Skqr z∥∥M ≥ γ, r ≥ 1. (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ . . . 415
Зазначимо, що diamR(z) ≤ r(z,K). Не обмежуючи загальностi можна вважати, що по-
слiдовнiсть
(
SkpFS−kpx
)
p≥1
збiгається рiвномiрно на DK . Тодi
lim
p,q→∞
sup
x∈DK
∥∥SkpFS−kpx− SkqFS−kqx∥∥M = 0. (23)
Розглянемо елементи
yr = Skpr z− Skqr z, r ≥ 1,
простору M. Очевидно, що
yr ∈ Ω(Skqr z,K, γ), r ≥ 1. (24)
Покажемо, що
δ(z,K, γ) = 0. (25)
Завдяки (19), (24) та тому, що
SkprFz = 0, r ≥ 1,
для кожного r ≥ 1 виконуються спiввiдношення
δ(z,K, γ) = inf
y∈Ω(z,K,γ)
‖F(z + y)‖M = inf
y∈Ω(Skqr
z,K,γ)
‖SkqrF(z + S−kqry)‖M =
= inf
y∈Ω(Skqr
z,K,γ)
‖SkqrFS−kqr (Skqr z + y)‖M ≤ ‖SkqrFS−kqr (Skqr z + yr)‖M =
= ‖SkqrFS−kqr (Skqr z + (Skpr z− Skqr z))‖M = ‖SkqrFS−kqrSkpr z‖M ≤
≤ ‖SkprFS−kprSkpr z‖M + ‖SkqrFS−kqrSkpr z− SkprFS−kprSkpr z‖M =
= ‖SkprFz‖M + ‖SkqrFS−kqrSkpr z− SkprFS−kprSkpr z‖M =
= ‖SkqrFS−kqrSkpr z− SkprFS−kprSkpr z‖M ≤
≤ sup
x∈DK
∥∥SkqrFS−kqrx− SkprFS−kprx∥∥M ,
з яких на пiдставi (23) випливає спiввiдношення (25), що суперечить (21).
Отже, припущення, що розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) не є майже перiодичним,
є хибним.
Теорему 1 доведено.
Зазначимо, що виконання спiввiдношення (21) означає, що розв’язок z ∈ N (F,K)
рiвняння (15) є сильно вiдокремленим на множинi G×K. Тому цю теорему можна сфор-
мулювати в наступному виглядi.
Теорема 2. Нехай K належить K. Якщо розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (15) сильно
вiдокремлений на множинi G×K, то цей розв’язок є майже перiодичним.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
416 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауваження 3. Умова сильної вiдокремленостi обмеженого розв’язку рiвняння (15) не
є необхiдною (а є лише достатньою) умовою належностi цього розв’язку простору B.
Розв’язок рiвняння (15) може бути майже перiодичним i не бути вiдокремленим на мно-
жинi G×K, що пiдтверджується рiзницевим рiвнянням
xn+1 = xn, n ∈ Z.
6. Випадок лiнiйного рiвняння (15). Розглянемо рiвняння
Ax = h, (26)
де A : M → M — лiнiйний неперервний i майже перiодичний у сенсi означення 3 опера-
тор (цей оператор може не бути майже перiодичним за Бохнером) i h ∈ B.
Оскiльки рiвняння (26) є окремим випадком рiвняння (15) (оператор F визначається
формулою Fx = Ax − h, x ∈ M), то на пiдставi теореми 2 справджується наступне
твердження.
Теорема 3. Нехай K належить K. Сильно вiдокремлений на множинi G×K розв’язок
z рiвняння (26) є майже перiодичним.
Наведемо умови сильної вiдокремленостi на G×K розв’язку z рiвняння (26).
Розглянемо лiнiйне однорiдне рiвняння
Ax = 0, (27)
що вiдповiдає рiвнянню (26).
Теорема 4. НехайK належитьK. Розв’язок z рiвняння (26) зi значеннями вK є сильно
вiдокремленим на G ×K тодi i тiльки тодi, коли нульовий розв’язок 0 рiвняння (27) є
сильно вiдокремленим на G×K.
Доведення. Оскiльки z — розв’язок рiвняння (26), то кожний елемент u простору M,
для якого
A(z + u) = h,
є розв’язком рiвняння (27), тобто
Au = 0,
i навпаки. Тому якщо використати означення множини Ω(x∗,K, ε) (див. (17) i (18)) та озна-
чення функцiонала δ(x∗,K, ε) (див. (19)), то у випадку лiнiйних рiвнянь отримаємо, що для
кожного ε ∈ (0, r(z,K)) (див. (16))
inf
y∈Ω(z,K,ε)
‖A(z + y)− h‖M = inf
y∈Ω(0,K,ε)
‖Ay‖M > 0,
тобто для всiх ε ∈ (0, r(z,K))
δ(z,K, ε) = δ(0,K, ε) > 0.
Звiдси випливає твердження теореми.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ . . . 417
Теорема 5. Якщо
inf
x∈S, ‖x‖M=1
‖Ax‖M > 0, (28)
то кожний розв’язок z ∈ S рiвняння (26) є майже перiодичним.
Доведення. Оскiльки z ∈ S, то R(z) ⊂ K для деякого K ∈ K. Тому на пiдставi (28) та
лiнiйностi оператора A
inf
x∈S, R(x)⊂K, ‖x‖M=ε
‖Ax‖M > 0
для кожного ε ∈ (µ(z,K), r(z,K)], де µ(z,K) = inf
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
, i,
отже,
inf
x∈S, R(x)⊂K, ‖x‖M≥ε
‖Ax‖M > 0
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)]. Завдяки останньому спiввiдношенню нульовий розв’язок 0
рiвняння (27) є сильно вiдокремленим на G × K. Тому на пiдставi теореми 4 розв’язок
z ∈ S рiвняння (26) також є сильно вiдокремленим на G×K.
Отже, за теоремою 3 розв’язок z ∈ S рiвняння (26) є майже перiодичним.
Теорему 5 доведено.
Зауваження 4. Множина майже перiодичних у сенсi означення 3 рiвнянь, до яких за-
стосовнi теореми з пунктiв 5 та 6, не є порожньою. Елементом цiєї множини є, наприклад,
рiвняння
x + Cx = h, (29)
де C : M(Z, E) → M(Z, E) — лiнiйний неперервний оператор, що визначається форму-
лою (11), а h — майже перiодичний елемент простору M(Z, E).
Очевидно, що оператор I + C, де I : M(Z, E) → M(Z, E) — одиничний оператор, є
майже перiодичним у сенсi означення 3 i не є майже перiодичним за Бохнером.
Оскiльки h ∈ S i Cy = 0 для кожного y ∈ S, то рiвняння (29) у просторi S має
єдиний розв’язок x,що збiгається з h i є сильно вiдокремленим (на пiдставi означення 5 та
означення функцiонала ∆ (див. (19))) на кожнiй множинi Z×K, деK — довiльна компакт-
на множина в E, для якої R(h) ⊂ K.
На завершення зазначимо, що наведенi умови iснування майже перiодичних розв’яз-
кiв рiвнянь (15) i (26) є новими навiть у випадку G = Z. На вiдмiну вiд теореми Амерiо в
теоремах 1 i 2 не використовується H-клас рiвняння (15) i банаховий простiр E може бу-
ти нескiнченновимiрним. Аналогiчно в теоремах 3 i 5 також не використовуєтьсяH-клас
рiвняння (26), а оператор A може не бути майже перiодичним за Бохнером.
Також зазначимо, що дослiдженню майже перiодичностi розв’язкiв рiвнянь присвяче-
но багато публiкацiй. Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцi-
альних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у
роботi [11], а для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [9]. У цих робо-
тах суттєво використовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [9] використовується
також вимога вiдокремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
418 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
покращенi Е. Мухамадiєвим [12, 13]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено ро-
боти [14 – 16]. Важливi результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [2],
Амерiо [17] та В. В. Жикову [18]. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не-
лiнiйних рiзницевих та диференцiальних рiвнянь, а також рiвняння (20) без використання
H-класiв цих рiвнянь отримано автором у [5 – 8].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen, I Teil. Funktionen einer Variablen // Math. Ann. —
1927. — 96. — S. 119 – 147. II Teil. Funktionen mehrerer Variablen // Math. Ann. — 1927. — 96. — S. 383 – 409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 742 с.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
5. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дис-
кретним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 3. — С. 416 – 425.
6. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з
неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 1. — С. 118 – 124.
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
у банаховому просторi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 2. — С. 307 – 312.
8. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що не викори-
стовує H-класи цих рiвнянь // Буковин. мат. журн. — 2013. — 1, № 1, 2. — С. 136 – 138.
9. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati //
Ann. mat. pura ed appl. — 1955. — 39. — P. 97 – 119.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 c.
11. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. — 1927. — 51. —
P. 31 – 81.
12. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
13. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460.
14. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116 (158), № 4 (12). — С. 483 – 501.
15. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130 (172), № 1 (5). — C. 86 – 104.
16. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
17. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. — 1960. — 30. — P. 288 – 301.
18. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в слу-
чае произвольного банахова пространства // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — С. 121 – 126.
Одержано 05.11.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 3
|