Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений, предложен метод построения таких решений и исследована структура их множества....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177102 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 447-461 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177102 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771022021-02-11T01:27:59Z Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь Єрьоміна, Т.О. Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений, предложен метод построения таких решений и исследована структура их множества. We find conditions for existence of continuous solutions for a class of linear systems of difference-functional equations, propose a method for constructing such solutions, and study the structure of the set of these solutions. 2014 Article Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 447-461 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177102 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных разностно-функциональных уравнений, предложен метод построения таких решений и исследована структура их множества. |
| format |
Article |
| author |
Єрьоміна, Т.О. |
| spellingShingle |
Єрьоміна, Т.О. Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Єрьоміна, Т.О. |
| author_sort |
Єрьоміна, Т.О. |
| title |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_short |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_full |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_fullStr |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| title_sort |
неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177102 |
| citation_txt |
Неперервні розв’язки систем лінійних різницево-функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 4. — С. 447-461 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT êrʹomínato neperervnírozvâzkisistemlíníjnihríznicevofunkcíonalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:03:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:03:59Z |
| _version_ |
1837725741377126400 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ
РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Т. О. Єрьомiна
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03056, Київ, просп. Перемоги, 37
We find conditions for existence of continuous solutions for a class of linear systems of difference-functional
equations, propose a method for constructing such solutions, and study the structure of the set of these
solutions.
Получены условия существования непрерывных решений одного класса систем линейных раз-
ностно-функциональных уравнений, предложен метод построения таких решений и исследова-
на структура их множества.
Системи лiнiйних рiзницево-функцiональних рiвнянь вигляду
y(qt) = Λy(t) +By(t+ 1), (1)
де t ∈ <+ = [0,+∞), Λ та B — дiйснi (n × n)-матрицi, q — деяка дiйсна стала, вивчались
багатьма математиками (див. [1 – 8] та наведену там бiблiографiю), i на сьогоднi ряд пи-
тань теорiї досить добре вивченi. Особливо це стосується питань iснування неперервних
розв’язкiв та структури їх множини [6 – 8]. Продовжуючи цi дослiдження, в данiй робо-
тi розглядаємо аналогiчнi питання у випадку, коли серед власних чисел λi, i = 1, . . . , n,
матрицi Λ є однаковi. Не обмежуючи загальностi припустимо, що Λ = diag (Λ1, . . . ,Λm),
m ≤ n, Λi — (ki × ki)-матрицi вигляду
Λi =
λi ε 0 . . . 0
0 λi ε . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λi
, i = 1, 2, . . . ,m,
m∑
i=1
ki = n, (2)
ε — достатньо мала додатна стала.
Теорема 1. Нехай виконуються такi умови:
1) 0 < λi < 1, i = 1, . . . ,m, q > 1;
2) ∆ =
b
1− (λ∗ + δ)
< 1, де λ∗ = max {λi, i = 1, . . . ,m} , δ = δ(ε) > 0 таке, що δ → 0
при ε → 0, i λ∗ + δ < 1, b = |B| = max1≤i≤n
∑n
j=1 |bij |.
Тодi система рiвнянь (1) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 (T — деяка
достатньо велика додатна стала) розв’язкiв y(t) = y
(
t, ω
(
ln t
ln q
))
, що залежать вiд
довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(τ) = (ω1(τ), . . . , ωn(τ)).
c© Т. О. Єрьомiна, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4 447
448 Т. О. ЄРЬОМIНА
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (1) має неперервнi розв’язки у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (3)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (3) в сис-
тему (1), отримуємо
∞∑
i=0
yi(qt) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) +B
∞∑
i=0
yi(t+ 1).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками
послiдовностi систем рiвнянь
y0(qt) = Λy0(t), (40)
yi(qt) = Λyi(t) +Byi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (4i)
то ряд (3) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (1).
Дослiдження системи рiвнянь (40) зводиться до дослiдження m пiдсистем рiвнянь виг-
ляду
yi0(qt) = Λiy
i
0(t), i = 1, . . . ,m ≤ n, (4i0)
де yi0 =
(
yi1, . . . , y
i
ki
)
, i = 1, . . . ,m.
Використовуючи зображення загального неперервного розв’язку системи (40) i умо-
ву 1, можна показати, що iснує додатна стала M така, що при всiх t ≥ T (T — деяка
достатньо велика додатна стала) виконується оцiнка
y0(t) ≤ Mt
lnα
ln q , (50)
де λ∗ < α < 1.
Оскiльки ряди
yi(t) =
∞∑
j=0
ΛjByi−1(q
−(j+1)t+ 1), i = 1, 2, . . . , (6i)
є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (4i), i = 1, 2, . . . , то, взявши до
уваги (50) та умови 1, 2, покажемо, що ряди (6i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0
виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆i, i = 1, 2, . . . . (5i)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 449
Дiйсно, враховуючи (50), згiдно з (61) отримуємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ|j |B|
∣∣∣y0(q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤ ∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j bM
(
1
qj+1
t+ 1
) lnα
ln q
≤
≤ Mb
∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j ≤ Mb
1− (λ∗ + δ)
= M∆.
Отже, оцiнка (5i) має мiсце при i = 1. За iндукцiєю припустимо, що оцiнку (5i) доведено
для деякого i ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для i+ 1. Дiйсно, вiдповiдно до (6i+1) i (5i)
маємо
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ|j |B|
∣∣∣yi(q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤ b
∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j M∆i ≤ Mb∆i
1− (λ∗ + δ)
= M∆i+1.
Отже, оцiнка (5i) виконується при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0. Звiдси випливає, що ряди (6i),
i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≥ T > 0 до деяких неперервних вектор-функцiй
yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких мають мiсце оцiнки (5i). Iз (5i) безпосередньо випливає, що
ряд (3) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ T > 0 до деякої неперервної вектор-функцiї
y(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (1) i задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
1−∆
.
Теорему 1 доведено.
Розглянемо тепер систему неоднорiдних рiвнянь вигляду
y(qt) = Λy(t) +By(t+ 1) + F (t), (7)
де матрицi Λ, B задовольняють умови теореми 1, а F (t) : < → <n. Справедливою є
наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1, 2 теореми 1, всi елементи вектор-функцiї
F (t) є неперервними обмеженими при всiх t ∈ < функцiями i sup
t
|F (t)| = M̃ < +∞. Тодi
система рiвнянь (7) має неперервний обмежений при t ∈ < розв’язок ȳ(t) у виглядi ряду
ȳ(t) =
∞∑
i=0
ȳi(t), (8)
де ȳi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi обмеженi при t ∈ < вектор-функцiї.
Доведення. Пiдставляючи (8) у (7), отримуємо
∞∑
i=0
ȳi(qt) = Λ
∞∑
i=0
ȳi(t) +B
∞∑
i=0
ȳi(t+ 1) + F (t). (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
450 Т. О. ЄРЬОМIНА
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї ȳi(t), i = 0, 1, . . . , задовольня-
ють системи рiвнянь
ȳ0(qt) = Λȳ0(t) + F (t), (100)
ȳi(qt) = Λȳi(t) +Bȳi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (10i)
то ряд (8) є формальним розв’язком системи рiвнянь (7).
Система рiвнянь (100) має формальний розв’язок у виглядi ряду
ȳ0(t) =
∞∑
j=0
ΛjF
(
q−(j+1)t
)
. (110)
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (10i), i = 1, 2, . . . ,можна переконатися, що вони
також мають формальнi розв’язки у виглядi рядiв
ȳi(t) =
∞∑
j=0
ΛjBȳi−1
(
q−(j+1)t+ 1
)
, i = 1, 2, . . . . (11i)
Покажемо, що ряди (11i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних
вектор-функцiй ȳi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|ȳi(t)| ≤ M ′∆i, i = 1, 2, . . . , (12i)
де M ′ — деяка додатна стала. Дiйсно, оскiльки
|ȳ0(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λj |
∣∣∣F (q−(j+1)t
)∣∣∣ ≤ ∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j M̃ ≤ M̃
1− (λ∗ + δ)
= M ′,
то на пiдставi (111) отримуємо
|ȳ1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λj ||B|
∣∣∣ȳ0 (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣ ≤ b
∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j M ′ ≤ M ′b
1− (λ∗ + δ)
= M ′∆.
Отже, оцiнка (12i) має мiсце при i = 1. За iндукцiєю припустимо, що оцiнку (12i)
доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для i+ 1. Дiйсно, оскiльки
ȳi+1(t) =
∞∑
j=0
ΛjBȳi
(
q−(j+1)t+ 1
)
, i = 1, 2, . . . ,
то
|ȳi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ|j |B|
∣∣∣ȳi (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣ ≤ b
∞∑
j=0
(λ∗ + δ)j M ′∆i ≤ M ′b∆i
1− (λ∗ + δ)
= M ′∆i+1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 451
Отже, ряди (11i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ < до деяких непе-
рервних функцiй ȳi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (12i). Звiдси випливає,
що ряд (8) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ < до деякої неперервної функцiї ȳ(t), яка
задовольняє умову
|ȳ(t)| ≤ M ′
1−∆
. (13)
Теорему 2 доведено.
Зауваження. Виконавши в (7) замiну змiнних
y(t) = z(t) + ȳ(t),
отримаємо систему рiвнянь (1) вiдносно вектор-функцiї z(t), для якої справджується тео-
рема 1.
Дослiдимо тепер рiвняння (1) у випадку, коли λi > 1, i = 1, . . . ,m, 0 < q < 1, t ≥ T >
> 0.
Теорема 3. Нехай виконуються такi умови:
1) λi > 1, i = 1, . . . ,m, 0 < q < 1;
2) ∆̃ =
b(
λ−1∗ + δ̃
)−1
− 1
< 1, де λ∗ = min{λi, i = 1, . . . ,m}, δ̃ = δ̃(ε) > 0 таке, що
δ̃ → 0 при ε → 0, i λ−1∗ + δ̃ < 1, b = |B| = max1≤i≤n
∑n
j=1 |bij |.
Тодi система рiвнянь (1) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 розв’язкiв
y(t) = y
(
t, ω
(
ln t
ln q
))
, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-
функцiї ω(τ) = (ω1(τ), . . . , ωn(τ)).
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (1) має розв’язки у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (14)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (14) в (1),
отримуємо
∞∑
i=0
yi(qt) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) +B
∞∑
i=0
yi(t+ 1).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi систем рiвнянь
y0(qt) = Λy0(t), (150)
yi(qt) = Λyi(t) +Byi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . , (15i)
то ряд (13) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
452 Т. О. ЄРЬОМIНА
Дослiдження системи рiвнянь (150) зводиться до дослiдженняm пiдсистем рiвнянь виг-
ляду
yi0(qt) = Λiy
i
0(t), i = 1, . . . ,m ≤ n, (15i0)
де yi0 =
(
yi1, . . . , y
i
ki
)
, i = 1, . . . ,m.
Використовуючи зображення загального неперервного розв’язку системи (150) i умо-
ву 1, можна показати, що iснує додатна стала M така, що при всiх t ≥ T > 0 виконується
оцiнка
|y0(t)| ≤ Mt
lnα′
ln q , (160)
де 1 < α′ < λ∗.
Оскiльки ряди
yi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)Byi−1(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . , (17i)
є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (15i), i = 1, 2, . . . , то, взявши до
уваги (160) та умови 1, 2, покажемо, що ряди (17i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних вектор-функцiй yi(t), i = 1, 2, . . ., для яких при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0
виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆i, i = 1, 2, . . . . (16i)
Справдi, враховуючи (160), (171) i
lnα′
ln q
< 0, маємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−1|j+1|B||y0(qjt+ 1)| ≤
∞∑
j=0
(
λ−1∗ + δ̃
)j+1
b
M
(qjt+ 1)
∣∣∣ lnα′ln q
∣∣∣ ≤
≤ Mb
∞∑
j=0
(
λ−1∗ + δ̃
)j+1
≤ Mb
λ−1∗ + δ̃
1−
(
λ−1∗ + δ̃
) =
Mb(
λ−1∗ + δ̃
)−1
− 1
= M∆̃,
тобто оцiнка (16i) справедлива при i = 1. За iндукцiєю припустимо, що оцiнку (16i) до-
ведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i + 1.
Вiдповiдно до (17i+1) i (16i) маємо
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−1|j+1|B||yi(qjt+ 1)| ≤ b
∞∑
j=0
(
λ−1∗ + δ̃
)j+1
M∆̃i ≤
≤ Mb
λ−1∗ + δ̃
1−
(
λ−1∗ + δ̃
)∆̃i =
Mb∆̃i(
λ−1∗ + δ̃
)−1
− 1
= M∆̃i+1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 453
Отже, оцiнка (16i) виконується при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0. Звiдси випливає, що ряди (17i),
i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при t ≥ T > 0 до деяких неперервних вектор-функцiй
yi(t), i = 1, 2, . . . , для яких має мiсце оцiнка (16i). Згiдно з (16i) ряд (14) рiвномiрно збiга-
ється при t ≥ T > 0 до деякої неперервної вектор-функцiї y(t), яка є розв’язком системи
рiвнянь (1) i задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
1− ∆̃
.
Теорему 3 доведено.
Розглянемо тепер неоднорiдну систему рiвнянь вигляду (7), для якої виконуються умо-
ви 1, 2 теореми 3, всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними обмеженими при всiх
t ∈ < функцiями i sup
t
|F (t)| = M̃ < +∞.
Аналогiчно тому, як було доведено теорему 2, можна показати, що система рiвнянь
(7) має неперервний обмежений при t ∈ < розв’язок ȳ(t), який можна записати у виглядi
ряду
ȳ(t) =
∞∑
i=0
ȳi(t),
в якому функцiї ȳi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь
ȳ0(qt) = Λȳ0(t) + F (t),
ȳi(qt) = Λȳi(t) +Bȳi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
i визначаються за допомогою спiввiдношень
ȳ0(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)F (qjt),
ȳi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1)Bȳi−1(q
jt+ 1), i = 1, 2, . . . .
Розглянемо тепер однорiдну систему рiвнянь вигляду (1) у припущеннi, що 0 < λi <
< 1 < λj , i = 1, . . . , p, j = p + 1, . . . ,m, 0 ≤ m ≤ n, q > 1. Позначимо y(t) =
= (y1(t), y2(t)), y1(t) = (y1(t), . . . , yp(t)), y
2(t) = (yp+1(t), . . . , ym(t)); B =
(
B11 B12
B21 B22
)
,
Λ = diag (Λ̃1, Λ̃2), Λ̃1 = diag (Λ1, . . . ,Λp), Λ̃2 = diag (Λp+1, . . . ,Λm), m ≤ n, Λi — (ki × ki)-
матрицi вигляду (2),
Λi =
λi ε 0 . . . 0
0 λi ε . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λi
, i = 1, 2, . . . ,m,
m∑
i=1
ki = n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
454 Т. О. ЄРЬОМIНА
ε — достатньо мала додатна стала. Тодi система рiвнянь (1) набере вигляду
y1(qt) = Λ̃1y
1(t) +B11y
1(t+ 1) +B12y
2(t+ 1),
y2(qt) = Λ̃2y
2(t) +B21y
1(t+ 1) +B22y
2(t+ 1).
Для системи (17) справедливою є наступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконуються такi умови:
1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . , p, j = p+ 1, . . . ,m, 0 ≤ m ≤ n, q > 1;
2) θ = max
b1
1− (λ∗ + δ1)
;
b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
< 1, де b1 = |B11|+ |B12|, b2 = |B21|+
+|B22|, λ∗ = max {λi, i = 1, . . . , p} , δ1 = δ1(ε) > 0 таке, що δ1 → 0 при ε → 0, i λ∗+δ1 < 1,
λ∗ = min {λi, i = p+ 1, . . . ,m} , δ2 = δ2(ε) > 0 таке, що δ2 → 0 при ε → 0, i λ∗
−1
+δ2 < 1.
Тодi система рiвнянь (17) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 (T — деяка
достатньо велика додатна стала) розв’язкiв, що залежать вiд p довiльних неперервних
1-перiодичних функцiй ωi(τ), i = 1, . . . ,m.
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (17) має розв’язки у виглядi рядiв
y1(t) =
∞∑
i=0
y1i (t),
(18)
y2(t) =
∞∑
i=0
y2i (t),
де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (18)
у (17), отримуємо
∞∑
i=0
y1i (qt) = Λ̃1
∞∑
i=0
y1i (t) +B11
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) +B12
∞∑
i=0
y2i (t+ 1),
∞∑
i=0
y2i (qt) = Λ̃2
∞∑
i=0
y2i (t) +B21
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) +B22
∞∑
i=0
y2i (t+ 1).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , є розв’яз-
ками послiдовностi систем рiвнянь
y10(qt) = Λ̃1y
1
0(t),
(190)
y20(qt) = Λ̃2y
2
0(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 455
y1i (qt) = Λ̃1y
1
i (t) +B11y
1
i−1(t+ 1) +B12y
2
i−1(t+ 1),
(19i)
y2i (qt) = Λ̃2y
2
i (t) +B21y
1
i−1(t+ 1) +B22y
2
i−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
то ряди (18) будуть формальними розв’язками системи рiвнянь (17).
Побудова неперервних обмежених при t ≤ T розв’язкiв систем рiвнянь (190) зводи-
ться до побудови таких розв’язкiв систем рiвнянь вигляду
y10(qt) = Λ̃1y
1
0(t), i = 1, . . . , p,
(19
′
0)y20(t) = 0,
де y10 =
(
y11, . . . , y
1
k1
)
, i = 1, . . . , p.
Використовуючи зображення загального неперервного розв’язку систем (19′0) i умо-
ву 1, можна показати, що iснує додатна стала M̃ така, що при всiх t ≥ T для довiльного
неперервного обмеженого розв’язку (T — деяка достатньо велика додатна стала) вико-
нуються спiввiдношення
|y10(t)| ≤ M̃t
lnα
ln q ,
|y20(t)| = 0, (200)
i = 1, . . . , p, j = p+ 1, . . . ,m,
де λ∗ < α < 1.
Оскiльки ряди
y1i (t) =
∞∑
j=0
Λ̃j
1
(
B11y
1
i−1(q
−(j+1)t+ 1) +B12y
2
i−1(q
−(j+1)t+ 1)
)
,
(21i)
y2i (t) = −
∞∑
j=0
Λ̃
−(j+1)
2
(
B21y
1
i−1(q
jt+ 1) +B22y
2
i−1(q
jt+ 1)
)
, i = 1, 2, . . . .
є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (20i), i = 1, 2, . . . , то, взявши до
уваги (200) та умови 1 2, покажемо, що ряди (21i) i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних вектор-функцiй y1i (t), y2i (t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
∣∣y1i (t)
∣∣ ≤ M̃θi, i = 1, 2, . . . ,
(22i)∣∣y2i (t)
∣∣ ≤ M̃θi, i = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
456 Т. О. ЄРЬОМIНА
Дiйсно, враховуючи (200), згiдно з (211) отримуємо
∣∣y11(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
|Λ̃1|j
∣∣∣B11y
1
0(q−(j+1)t+ 1) +B12y
2
0(q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j
(
|B11|
∣∣∣y10 (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣+ |B12|
∣∣∣y20 (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣) ≤
≤
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j
(
|B11|M̃(q−(j+1)t+ 1)
lnα
ln q
)
≤ M̃
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j |B11| ≤
≤ M̃b1
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j ≤ M̃b1
1− (λ∗ + δ1)
≤ M̃θ,
∣∣y21(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃−12
∣∣∣j+1 ∣∣B21y
1
0(qjt+ 1) +B22y
2
0(qjt+ 1)
∣∣ ≤
≤
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1 (
|B21|M̃(qjt+ 1)
lnα
ln q
)
≤ M̃
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
|B21| ≤
≤ M̃b2
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
≤ M̃b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
≤ M̃θ.
Отже, оцiнки (22i) мають мiсце при i = 1. За iндукцiєю припустимо, що оцiнки (22i)
доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо їх справедливiсть для i+ 1. Дiйсно, вiдповiдно до
(21i+1) i (22i) маємо
∣∣y1i+1(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
|Λ̃1|j
∣∣∣B11y
1
i (q−(j+1)t+ 1) +B12y
2
i (q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤
≤ M̃θi
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j (|B11|+ |B12|) ≤
≤ M̃θib1
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j ≤ M̃θi
b1
1− (λ∗ + δ1)
= M̃θi+1,
|y2i+1(t)| ≤
∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃−12
∣∣∣j+1 ∣∣B21y
1
i (qjt+ 1) +B22y
2
i (qjt+ 1)
∣∣ ≤
≤ M̃θi
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
(|B21|+ |B22|) ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 457
≤ M̃θi
b2
(
λ∗
−1
+ δ2
)
1−
(
λ∗
−1
+ δ2
) ≤ M̃θi
b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
= M̃θi+1, i = 1, 2, . . . .
Отже, оцiнки (22i) виконуються при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0. Звiдси безпосередньо
випливає, що ряди (18) рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деякої неперервної
вектор-функцiї y(t) = (y1(t), y2(t)), яка є розв’язком системи рiвнянь (17) i задовольняє
умову
|y(t)| ≤ M̃
1− θ
.
Теорему 4 доведено.
Аналогiчно тому, як було доведено теорему 4, можна показати, що система рiвнянь
(17) має сiм’ю неперервних обмежених при t ≥ T > 0 розв’язкiв, що залежать вiд m − p
довiльних неперервних 1-перiодичних функцiй, для випадку, коли виконуються такi умо-
ви:
3) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . , p, j = p+ 1, . . . ,m, 0 ≤ m ≤ n, 0 < q < 1;
4) θ = max
b1
1− (λ∗ + δ1)
;
b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
< 1, де b1 = |B11|+ |B12|, b2 = |B21|+
+|B22|,
λ∗ = max {λi, i = 1, . . . , p} , δ1 = δ1(ε) > 0 таке, що δ1 → 0 при ε → 0, i λ∗ + δ1 < 1,
λ∗ = min {λi, i = p+ 1, . . . ,m} , δ2 = δ2(ε) > 0 таке, що δ2 → 0 при ε → 0, i λ∗
−1
+δ2 <
< 1.
Розглянемо тепер систему неоднорiдних рiвнянь вигляду
y1(qt) = Λ̃1y
1(t) +B11y
1(t+ 1) +B12y
2(t+ 1) + F 1(t),
(23)
y2(qt) = Λ̃2y
2(t) +B21y
1(t+ 1) +B22y
2(t+ 1) + F 2(t),
де F (t) : R → Rn, F (t) = (F 1(t), F 2(t)), F 1(t) = (F1(t), . . . , Fp(t)), F
2(t) = (Fp+1(t), . . .
. . . , Fm(t)).
Теорема 5. Нехай виконуються такi умови:
1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . , p, j = p+ 1, . . . ,m, 0 ≤ m ≤ n, q > 0;
2) θ = max
b1
1− (λ∗ + δ1)
;
b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
< 1, де b1 = |B11|+ |B12|, b2 = |B21|+
+|B22|,
λ∗ = max {λi, i = 1, . . . , p} , δ1 = δ1(ε) > 0 таке, що δ1 → 0 при ε → 0, i λ∗ + δ1 <
< 1;
λ∗ = min {λi, i = p+ 1, . . . ,m} , δ2 = δ2(ε) > 0 таке, що δ2 → 0 при ε → 0, i λ∗
−1
+δ2 <
< 1;
3) всi елементи вектор-функцiї F (t) є неперервними обмеженими при всiх t ∈ Rфунк-
цiями.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
458 Т. О. ЄРЬОМIНА
Тодi система рiвнянь (23) має неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок y(t) =
= (y1(t), y2(t)).
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (23) має розв’язки у виглядi рядiв
y1(t) =
∞∑
i=0
y1i (t),
(24)
y2(t) =
∞∑
i=0
y2i (t),
де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (24)
в (23), отримуємо
∞∑
i=0
y1i (qt) = Λ̃1
∞∑
i=0
y1i (t) +B11
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) +B12
∞∑
i=0
y2i (t+ 1) + F 1(t),
∞∑
i=0
y2i (qt) = Λ̃2
∞∑
i=0
y2i (t) +B21
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) +B22
∞∑
i=0
y2i (t+ 1) + F 2(t).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , задо-
вольняють системи рiвнянь
y10(qt) = Λ̃1y
1
0(t) + F 1(t),
(250)y20(qt) = Λ̃2y
2
0(t) + F 2(t),
y1i (qt) = Λ̃1y
1
i (t) +B11y
1
i−1(t+ 1) +B12y
2
i−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
(25i)y2i (qt) = Λ̃2y
2
i (t) +B21y
1
i−1(t+ 1) +B22y
2
i−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . ,
то ряди (24) будуть формальними розв’язками системи рiвнянь (23).
Взявши до уваги умови теореми, можна переконатися, що ряди
y10(t) =
∞∑
j=0
Λ̃j
1F
1
(
q−(j+1)t
)
,
y20(t) = −
∞∑
j=0
Λ̃
−(j+1)j
2 F 2(qjt)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 459
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, задовольняють послiдовнiсть систем рiвнянь (250) i ви-
конуються оцiнки
∣∣y10(t)
∣∣ ≤ M̃1
1− (λ∗ + δ1)
≤ M̂,
(260)∣∣y20(t)
∣∣ ≤ M̃2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
≤ M̂,
де M̃1 = sup
t
|F 1(t)|, M̃2 = sup
t
|F 2(t)|, M̂ = max
M̃1
1− (λ∗ + δ1)
,
M̃2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
.
Оскiльки ряди
y1i (t) =
∞∑
j=0
Λ̃j
1
(
B11y
1
i−1(q
−(j+1)t+ 1) +B12y
2
i−1(q
−(j+1)t+ 1)
)
,
(27i)
y2i (t) = −
∞∑
j=0
Λ̃
−(j+1)
2
(
B21y
1
i−1(q
jt+ 1) +B22y
2
i−1(q
jt+ 1)
)
, i = 1, 2, . . . ,
є формальними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (26i), i = 1, 2, . . . , то, взявши до
уваги (260) та умови 1, 2, покажемо, що ряди (27i) i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються
до деяких неперервних вектор-функцiй y1i (t), y2i (t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються
оцiнки
∣∣y1i (t)
∣∣ ≤ M̂θi,
(28i)
∣∣y2i (t)
∣∣ ≤ M̂θi, i = 1, 2, . . . .
Дiйсно, враховуючи (260), згiдно з (271) отримуємо
∣∣y11(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃1
∣∣∣j |B11y
1
0(q−(j+1)t+ 1) +B12y
2
0(q−(j+1)t+ 1)| ≤
≤
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j
(
|B11|
∣∣∣y10 (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣+ |B12|
∣∣∣y20 (q−(j+1)t+ 1
)∣∣∣) ≤
≤
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j M̂(|B11|+ |B12|) ≤ M̂b1
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j ≤ M̂b1
1− (λ∗ + δ1)
≤ M̂θ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
460 Т. О. ЄРЬОМIНА
∣∣y21(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃−12
∣∣∣j+1 ∣∣B21y
1
0(qjt+ 1) +B22y
2
0(qjt+ 1)
∣∣ ≤
≤
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
M̂(|B21|+ |B22|) ≤
≤ M̂b2
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
≤ M̂b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
≤ M̂θ.
Отже, оцiнки (28i) мають мiсце при i = 1. За iндукцiєю припустимо, що оцiнки (28i)
доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо їх справедливiсть для i+ 1. Дiйсно, вiдповiдно до
(27i+1) i (28i) маємо
∣∣y1i+1(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃1
∣∣∣j ∣∣∣B11y
1
i (q−(j+1)t+ 1) +B12y
2
i (q−(j+1)t+ 1)
∣∣∣ ≤
≤ M̂θi
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j (|B11|+ |B12|) ≤
≤ M̂θib1
∞∑
j=0
(λ∗ + δ1)
j ≤ M̂θi
b1
1− (λ∗ + δ1)
= M̂θi+1,
∣∣y2i+1(t)
∣∣ ≤ ∞∑
j=0
∣∣∣Λ̃−12
∣∣∣j+1 ∣∣B21y
1
i (qjt+ 1) +B22y
2
i (qjt+ 1)
∣∣ ≤
≤ M̂θi
∞∑
j=0
(
λ∗
−1
+ δ2
)j+1
(|B21|+ |B22|) ≤
≤ M̂θi
b2
(
λ∗
−1
+ δ2
)
1−
(
λ∗
−1
+ δ2
) ≤ M̂θi
b2(
λ∗
−1
+ δ2
)−1
− 1
= M̂θi+1, i = 1, 2, . . . .
Отже, оцiнки (28i) виконуються при всiх i ≥ 1, t ≥ T > 0. Звiдси безпосередньо ви-
пливає, що ряди (24) рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥ T > 0 до деякої неперервної
вектор-функцiї y(t) = (y1(t), y2(t)), яка є розв’язком системи рiвнянь (22) i задовольняє
умову
|y(t)| ≤ M̂
1− θ
.
Теорему 5 доведено.
1. Agarwal R. P. Difference equations and inequalities, theory, methods and applications. — Second Ed. —
2000. — 972 р.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 461
2. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. —
P. 243 – 284.
3. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1933. — 61. —
P. 1 – 38.
4. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1972. —
248 с.
5. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука,
1986. — 128 с.
6. Пелюх Г. П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Докл.
АН. — 2006. — 407, № 5. — С. 600 – 603.
7. Пелюх Г. П., Сивак О. А. Про структуру множини неперервних розв’язкiв функцiонально-рiзницевих
рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 1. — С. 75 – 95.
8. Сивак О. А. Структура множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих
рiвнянь // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України „КПI”. — 2011. — № 4. — С. 81 – 87.
Одержано 12.06.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 4
|