Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi

Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi

Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2013
Автор: Грод, I.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177111
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177111
record_format dspace
spelling irk-123456789-1771112021-02-11T01:28:29Z Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi Грод, I.М. Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z. We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, in a Banach space to have bounded solutions. 2013 Article Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177111 517.938 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве x(n + 1) = F(n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z.
format Article
author Грод, I.М.
spellingShingle Грод, I.М.
Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
Нелінійні коливання
author_facet Грод, I.М.
author_sort Грод, I.М.
title Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
title_short Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
title_full Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
title_fullStr Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
title_full_unstemmed Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
title_sort iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177111
citation_txt Iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в банаховому просторi / I.М. Грод // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 165-172. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT grodim isnuvannâobmeženihrozvâzkivnelinijnihriznicevihrivnânʹvbanahovomuprostori
first_indexed 2025-07-15T15:04:34Z
last_indexed 2025-07-15T15:04:34Z
_version_ 1837725777823531008
fulltext УДК 517.938 IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI I. М. Грод Тернопiл. нац. пед. ун-т Україна, 46027, Тернопiль, вул. М. Кривоноса, 2 e-mail: grod@tnpu.edu.ua We find sufficient conditions for the nonlinear difference equation x(n + 1) = F (n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, in a Banach space to have bounded solutions. Установлены достаточные условия существования ограниченных решений нелинейных раз- ностных уравнений в банаховом пространстве x(n+ 1) = F (n, x(n))x(n) + f(n), n ∈ Z. Вступ. Постановка задачi. Розглянемо простiр обмежених двобiчних послiдовностей еле- ментiв простору E. E — деякий скiнченновимiрний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖E, який позначатимемо l∞ = l∞(Z,E) (Z — множина всiх цiлих чисел). Цей простiр є банаховим з нормою ‖x‖l∞ = sup n∈Z ‖x(n)‖E. Задамо рiзницевий оператор F , що дiє у просторi l∞(Z,E) i визначається рiвнiстю (Fx)n = F (n, x(n))x(n), n ∈ Z, де F (n, x) — функцiя, визначена на Z × E, причому для кожного фiксованого n i x на- буває значень iз простору L(E,E) (L(E,E) — банахiв простiр усiх лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторi E), x ∈ l∞(Z,E), i розглянемо рiвняння x(n+ 1) = (Fx)n + f(n), n ∈ Z. (1) Тут f ∈ l∞(Z,E). У данiй роботi з допомогою теорiї c-неперервних операторiв [1 – 3] вивчається питання iснування у просторi l∞(Z,E) розв’язкiв рiвняння (1). Нагадаємо деякi необхiднi для подальшого викладу означення. Означення 1. Послiдовнiсть xk ∈ l∞, k ∈ N, називається локально збiжною до еле- мента x ∈ l∞ при k → ∞ i позначається xk лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞, якщо ця послiдовнiсть обмежена i lim k→∞ max |n|≤p ‖xk(n)− x(n)‖E = 0 для всiх p ∈ N. c© I. М. Грод, 2013 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 165 166 I. М. ГРОД Означення 2. Оператор називається c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ l∞ i послiдовностi xk ∈ l∞, k ∈ N, для яких xk лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞, випливає, що Fxk лок., l∞−−−−−→ Fx при k → ∞. Клас таких операторiв, очевидно, є досить широким. Основний результат. Припустимо, що рiвняння (1) таке, що: 1) F (n, x) неперервно залежить вiд x ∈ E при n ∈ Z i lim u−v→0 sup n∈Z,‖u‖E≤r,‖v‖E≤r ‖F (n, u)− F (n, v)‖L(E,E) = 0; 2) sup(n,x)∈E×B[0,r] ‖F (n, x)‖L(E,E) < ∞ для всiх r, де B[0, r] = {x ∈ E : ‖x‖E ≤ r}— замкнена куля радiуса r. Уведемо до розгляду допомiжнi оператори D : l∞ → l∞ i Dy : l∞ → l∞, що визнача- ються рiвностями (Dx)(n) = x(n+ 1)− F (n, x(n))x(n), n ∈ Z, (Dyx)(n) = x(n+ 1)− F (n, y(n))x(n), n ∈ Z, де y(n) ∈ E, n ∈ Z, — довiльний фiксований вектор. Зауважимо, що оператор Dy є лiнiйним оператором при кожному фiксованому y ∈ ∈ l∞, а тому завдяки неперервностi F (n, x) на E та скiнченнiй розмiрностi простору E легко показати, що вiн є неперервним i обмеженим на l∞(Z,E). Для оператора (Dyx) вимагатимемо, щоб виконувались умови: 3) для кожного y ∈ l∞ оператор Dy : l∞(Z,E) → l∞(Z,E) має обернений неперервний (Dy) −1 : l∞(Z,E) → l∞(Z,E); 4) supy∈l∞ ‖(Dy) −1‖L(l∞,l∞) < +∞. Сформулюємо основну теорему. Теорема 1. Припустимо, що функцiя F (n, x) така, що виконуються умови 1 – 4. Тодi для кожної функцiї f ∈ l∞(Z,E) рiзницеве рiвняння x = Fx+ f (2) має хоча б один розв’язок x ∈ l∞(Z,E). Допомiжнi твердження. Розглянемо рiвняння x(n+ 1) = F (n, y(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, (3) де y = y(n) — довiльний елемент простору l∞. Оскiльки це рiвняння є лiнiйним, до нього можна застосовувати теорiю, викладену, наприклад, у роботах [1 – 5]. Завдяки припущен- ню 3 єдиний розв’язок x ∈ l∞ рiвняння (3), що вiдповiдає функцiї f ∈ l∞, подається за допомогою оператора (Dy) −1 у виглядi x = (Dy) −1f. (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 167 Далi, вважаючи, що функцiю f ∈ l∞ зафiксовано, розглянемо вiдображення Uf : l∞ → → l∞, яке кожному елементу y ∈ l∞ ставить у вiдповiднiсть елемент (Dy) −1f цього ж простору. Це вiдображення, очевидно, визначається рiвнiстю Ufy = (Dy) −1f, (5) де y ∈ l∞. Зупинимось на деяких властивостях вiдображень Uf при f ∈ l∞. Лема 1. Для оператора Uf при будь-якому y ∈ l∞ має мiсце оцiнка ‖Ufy‖l∞ ≤ d‖f‖l∞ , де d — скiнченне додатне число. Дiйсно, завдяки припущенню 4 можна стверджувати, що iснує деяке скiнченне додат- не число d таке, що d = sup y∈l∞ ‖(Dy) −1‖L(l∞,l∞). Тому з урахуванням рiвностi (5) для всiх y ∈ l∞ та f ∈ l∞ має мiсце спiввiдношення ‖Ufy‖l∞ = ‖(Dy)−1f‖l∞ ≤ ‖(Dy)−1‖L(l∞,l∞)‖f‖l∞ ≤ d‖f‖l∞ , (6) яке i доводить справедливiсть леми 1. Зауваження 1. З леми 1 випливає, що замкнена куля B(0, d‖f‖l∞) (d визначається згiд- но з (6)) iнварiантна по вiдношенню до оператора Uf . Лема 2. Оператор Uf : l∞ → l∞ є неперервним для кожного f ∈ l∞. Доведення. Зафiксуємо довiльнi елементи y = y(n) i z = z(n), n ∈ Z, простору l∞ i розглянемо рiзницевi рiвняння x(n+ 1) = F (n, y(n))x(n) + f(n), n ∈ Z, x(n+ 1) = F (n, z(n))x(n) + f(n), n ∈ Z. Нехай x(y) = xy(n) i x(z) = xz(n), n ∈ Z, — вiдповiднi розв’язки цих рiвнянь, тобто xy(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xy(n) + f(n), n ∈ Z, (7) xz(n+ 1) ≡ F (n, z(n))xz(n) + f(n), n ∈ Z. Тодi xy = (Dy) −1f = Ufy (8) i xz = (Dz) −1f = Ufz. (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 168 I. М. ГРОД Запишемо (7) у виглядi xz(n+ 1)− F (n, y(n))xz(n) ≡ [F (n, z(n))− F (n, y(n))]xz(n) + f(n), n ∈ Z. Звiдси, ввiвши позначення (Bz,yw)(n) = [F (n, z(n))− F (n, y(n))]w(n), отримаємо xz = (Dy) −1(By,zxz + f) = (Dy) −1f + (Dy) −1(By,zxz) = (Dy) −1f + (Dy) −1(By,z(Dz) −1f). Отже, на пiдставi (8) та (9) маємо Ufz − Ufy = (Dy) −1(By,zUfz). (10) Далi розглянемо довiльну послiдовнiсть (yk)k≥1 елементiв yk ∈ l∞, k ≥ 1, для якої lim k→∞ ‖yk − y‖l∞ = 0. (11) Використовуючи рiвнiсть (10), записуємо Ufyk − Ufy = (Dy) −1(Byk,yUfyk) (12) для всiх k ≥ 1. Враховуючи (11), припущення 4 та рiвнiсть (5), можемо стверджувати, що iснує стала a > 0 така, що sup k≥0 ‖Ufyk‖l∞ ≤ a. (13) Оскiльки ‖Byk,yUfyk‖l∞ = sup n∈Z ‖[F (n, yk(n))− F (n, y(n))](Ufyk)(n)‖E ≤ ≤ sup n∈Z ‖F (n, yk(n))− F (n, y(n)))‖L(E,E)‖Ufyk‖l∞ ≤ ≤ a sup n∈Z ‖F (n, yk(n))− F (n, y(n))‖L(E,E), n ≥ 1, операторна функцiя F (n, x) задовольняє умову 1, а банахiв простiр E скiнченновимiрний, то завдяки (11) lim k→∞ sup n∈Z ‖F (n, yk(n))− F (n, y(n))‖L(E,E) = 0 або lim k→∞ ‖Byk,y Ufyk‖l∞ = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 169 Тодi на пiдставi умови 3 lim k→∞ ‖(Dy) −1(Byk,yUfyk‖l∞ = 0. Звiдси з урахуванням (12) отримуємо lim k→∞ ‖Ufyk − Ufy‖l∞ = 0. (14) Отже, якщо виконується спiввiдношення (11), то має мiсце також рiвнiсть (13). Це забезпечує неперервнiсть вiдображення Uf : l∞ → l∞ у точцi y ∈ l∞. А оскiльки точку y ∈ l∞ було вибрано довiльно, Uf є неперервним на l∞ для кожного f ∈ l∞. Лему 2 доведено. Лема 3. Вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞ є c-цiлком неперервним. Доведення. Нагадаємо [2], що в даному випадку оператор (Dy) −1 : l∞ → l∞ є c-непе- рервним. Розглянемо довiльнi y ∈ l∞ i послiдовнiсть yk ∈ l∞, k ∈ N, для яких yk лок., l∞−−−−−→ y при k → ∞. (15) Нехай xy ∈ l∞ i xyk ∈ l∞, k ∈ N, — такi функцiї, що xy(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xy(n) + f(n), n ∈ Z, (16) i xyk(n+ 1) ≡ F (n, yk(n))xyk(n) + f(n), n ∈ Z. (17) Запишемо друге iз цих спiввiдношень у виглядi xyk(n+ 1) ≡ F (n, y(n))xyk(n) + [F (n, yk(n))− F (n, y(n))]xyk(n) + f(n), n ∈ Z. (18) Згiдно з припущеннями 3 та 4, враховуючи (15), (16), отримуємо xy = (Dy) −1f i xyk = (Dy) −1(f +Byk,yxyk), k ≥ 1. Далi, на пiдставi леми 1 робимо висновок, що послiдовнiсть (x(yk))k≥1 є обмеженою. Тому завдяки (14), неперервностi F (n, x) на E по x при кожному n ∈ Z та скiнченнiй розмiрнос- тi простору E маємо Byk,yxyk лок., l∞−−−−−→ 0 при k → ∞, або f +Byk,yxyk лок., l∞−−−−−→ f при k → ∞. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 170 I. М. ГРОД Звiдси з урахуванням c-неперервностi оператора (Dy) −1 : l∞ → l∞ маємо xyk лок., l∞−−−−−→ xy при k → ∞. (19) Оскiльки на пiдставi (5) xy = Ufy = (Dy) −1f (20) i xyk = Ufyk = (Dyk) −1f, r ≥ 1, (21) то Ufyk лок., l∞−−−−−→ Ufy при k → ∞, що забезпечує c-неперервнiсть оператора Uf . Бiльше того, оскiльки простiр E скiнчен- новимiрний, то на пiдставi c-неперервностi вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞, можемо стверджувати, що вiн є c-цiлком неперервним. Це випливає з того, що множина {(PrUfy) : ‖y‖l∞ ≤ 1} є передкомпактною в E для кожного r ∈ Z (Pr — проектор: Pry = yr). Лему 3 доведено. Доведення теореми. Завдяки (5) i (6) зрозумiло, що кожна нерухома точка вiдображен- ня Uf : l∞ → l∞ є обмеженим розв’язком рiвняння (1). Крiм цього, на основi доведених лем можна стверджувати, що вiдображення Uf : l∞ → l∞, f ∈ l∞, є c-цiлком неперерв- ним. Залишилося показати, що у випадку виконання умов теореми для кожного f ∈ l∞ множина нерухомих точок вiдображення Uf : l∞ → l∞ не є порожньою. Для того щоб це показати, введемо до розгляду послiдовнiсть операторiв Uf k : l∞ → → l∞ подiбно до того, як це зроблено в роботi [8]: (Uf k)n =  (Uf )n, якщо n ∈ [−k, k] ⋂ Z, 0, якщо n ∈ Z \ [−k, k], k ∈ N. (22) Тут f ∈ l∞ є довiльним, фiксованим. Далi, на пiдставi зауваження 1 можемо стверджува- ти, що кожний з операторiв послiдовностi вiдображає кулю B(0, d‖f‖l∞) саму в себе. Крiм цього, заданi вiдображення є цiлком неперервними. Це випливає з того, що сам оператор Uf є c-цiлком неперервним. Тому згiдно з теоремою Шаудера про нерухому точку [9] для кожного k ∈ N iснує така точка ck ∈ B(0, d‖f‖l∞), що Uf kck = ck. (23) Оскiльки множини {cn,k, k ∈ N}, n ∈ Z, передкомпактнi i sup k∈N,n∈Z ‖cn,k‖E ≤ r, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 171 то iснує строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел kl, l ≥ 1, така, що послiдов- нiсть ckl лок., l∞−→ c при l → ∞, (24) де c — деяка точка з кулi B(0, d‖f‖l∞). Враховуючи c-неперервнiсть оператора i (23), можна показати, що Uf klc− Ufc лок., l∞−→ 0 при l → ∞ i Uf klc− Uf klckl лок., l∞−→ 0 при l → ∞. Тому, враховуючи (23) i (24), отримуємо Ufc = c. Теорему доведено. Як приклад системи, для якої виконуються всi вимоги теореми 1, можна розглянути систему рiвнянь x(n+ 1) = b(y(n))x(n) + f1(n), y(n+ 1) = (−3 + sin(x(n) + n)y(n) + f2(n), n ∈ Z, де b(x) =  1 2 , якщо x ≤ 2, 1− 1 x , якщо 2 < x ≤ 3, 2 3 , якщо x > 3. 1. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274. 2. Слюсарчук В. Ю. Узагальнення теореми Мухамадiєва про оборотнiсть функцiональних операторiв у просторi обмежених функцiй // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 3. — С. 398 – 412. 3. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-дифферен- циальных и дискретных уравнений // Укр. мат. журн. — 1987. — 39, № 5. — С. 660 – 662. 4. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системи дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т математики НАН УССР, 1990. — 308 с. 5. Слюсарчук В. Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. мат. журн. — 1983. — 35, № 1. — С. 109 – 115. 6. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных опера- торов // Докл. АН. Математика. — 1993. — 333, № 3. — С. 282 – 284. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 172 I. М. ГРОД 7. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1990. — 168 с. 8. Грод I. М. Достатнi умови iснування обмежених розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 2. — С. 165 – 173. 9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1997. — 232 с. Одержано 19.06.12, пiсля доопрацювання — 15.10.12 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2

Схожі ресурси