Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
Визначено достатнi умови звiдностi системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями до канонiчної форми, побудовано її загальний розв’язок i розв’язок задачi Кошi....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177112 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 173-190. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177112 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771122021-02-11T01:28:30Z Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Елишевич, М.А. Визначено достатнi умови звiдностi системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями до канонiчної форми, побудовано її загальний розв’язок i розв’язок задачi Кошi. We find sufficient conditions for reducing a system of linear nonhomogeneous first order differential equations with rectangular matrices to a canonical form. We construct the general solution of the system and solve the Cauchy problem. 2013 Article Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 173-190. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177112 517.926.7 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Визначено достатнi умови звiдностi системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями до канонiчної форми, побудовано її загальний розв’язок i розв’язок задачi Кошi. |
| format |
Article |
| author |
Елишевич, М.А. |
| spellingShingle |
Елишевич, М.А. Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Елишевич, М.А. |
| author_sort |
Елишевич, М.А. |
| title |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_short |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_full |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_fullStr |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_full_unstemmed |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_sort |
задача коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177112 |
| citation_txt |
Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 173-190. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT eliševičma zadačakošidlâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami |
| first_indexed |
2025-07-15T15:04:38Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:04:38Z |
| _version_ |
1837725782263201792 |
| fulltext |
УДК 517.926.7
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
М. А. Елишевич
Киев. нац. ун-т стр-ва и архитектуры
Украина, 03680, Киев, 37, Воздухофлотский просп., 31
We find sufficient conditions for reducing a system of linear nonhomogeneous first order differential equati-
ons with rectangular matrices to a canonical form. We construct the general solution of the system and solve
the Cauchy problem.
Визначено достатнi умови звiдностi системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь
першого порядку з прямокутними матрицями до канонiчної форми, побудовано її загальний
розв’язок i розв’язок задачi Кошi.
Постановка задачи. В данной работе для системы
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), t ∈ [a; b], (1)
где A(t), B(t) — прямоугольные матрицы-функции размерности m × n, f(t) — вектор-
функция размерности m, A(t), B(t), f(t) ∈ C∞[a; b] действительные или комплексные,
рассматривается задача определения условий приводимости к канонической форме1,
условий ее разрешимости и разрешимости задачи Коши с начальным условием
x(t0) = x0, t0 ∈ [a; b], (2)
построения ее общего решения и решения задачи Коши.
Случай, когда A(t) и B(t) — квадратные матрицы, рассматривался во многих работах
(см., например, [1 – 4]). В [1, с. 334 – 336] построено общее решение для случая постоянных
матриц A и B, в [2, с. 58 – 120] — общее решение с использованием левого регуляризиру-
ющего оператора, а в [3, с. 91 – 99] — общее решение и решение задачи Коши с исполь-
зованием базовых матриц. В [4, с. 53 – 74] система сведена к центральной канонической
форме, построено общее решение и решение задачи Коши с использованием жордано-
вых наборов векторов матрицы B(t) относительно оператора
L(t) = A(t)−B(t)
d
dt
и сопряженной матрицы B∗(t) относительно оператора
L∗(t) = A∗(t) +
d
dt
B∗(t),
1 Термин взят по аналогии с канонической формой пучка матриц (A− λB) [1, с. 326 – 330].
c© М. А. Елишевич, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 173
174 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
формально сопряженного к L(t). Они используются и в данной работе.
Основные определения.
Определение 1. Элемент ϕ(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] конечную жорда-
нову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p, p ≥ 1,
если существуют векторы ϕ(i)(t), i = 1, p, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ(1)(t) = 0,
B(t)ϕ(i)(t) = L(t)ϕ(i−1)(t), i = 2, p,
L(t)ϕ(p)(t) /∈ ImB(t).
Определение 2. Элемент ϕ̃(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] циклическую жор-
данову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̃, p̃ ≥ 1,
если существуют векторы ϕ̃(i)(t), i = 1, p̃, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ̃(1)(t) = 0,
B(t)ϕ̃(i)(t) = L(t)ϕ̃(i−1)(t), i = 2, p̃,
L(t)ϕ̃(p̃)(t) = 0.
Определение 3. Элемент ϕ̂(1)(t) имеет в точке t ∈ [a; b] вспомогательную цепочку
векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̂, p̂ ≥ 1, если существу-
ют векторы ϕ̂(i)(t), i = 1, p̂, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ̂(i)(t) = L(t)ϕ̂(i−1)(t), i = 2, p̂,
B(t)ϕ̂(1)(t) /∈ ImL(t),
L(t)ϕ̂(p̂)(t) /∈ ImB(t).
Аналогично определим цепочки векторов на отрезке [a; b]. Их свойства исследованы
в [5]. В дальнейшем будем предполагать, что доказываемые утверждения выполняются
на всем отрезке [a; b], если не оговорено иное.
В [4, с. 53 – 74] рассмотрен случай, когда A(t) и B(t) — квадратные матрицы и суще-
ствуют только конечные цепочки. В данной работе рассматривается случай, когда A(t)
и B(t) — прямоугольные матрицы и могут существовать конечные, циклические и вспо-
могательные цепочки, но их количество и длины постоянны при всех t ∈ [a; b].
Полученный результат. Построим жордановы цепочки векторов матрицы B(t) отно-
сительно оператора L(t) и матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) при t ∈ [a; b].
Определим циклические цепочки матрицыB(t) относительно оператора L(t) единич-
ной длины. Пусть мы построили r̆, r̆ ≥ 0, линейно независимых векторов ϕ̆i(t), i = 1, r̆.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 175
Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто-
ра L∗(t) единичной длины. Пусть мы построили ř, ř ≥ 0, линейно независимых векторов
ψ̆i(t), i = 1, ř.
Определим циклические цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины
больше 1 в порядке возрастания их длин. Выберем вектор ϕ̃
(1)
1 (t) ∈ kerB(t), линейно
независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, имеющий цепочку наименьшей из возможных длин (s̃1 + 1).
Далее выберем вектор ϕ̃
(1)
2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
1 (t),
имеющий цепочку наименьшей из возможных длин (s̃2 + 1), и т. д. Пусть мы построили
r̃, r̃ ≥ 0, цепочек длин (s̃i + 1), i = 1, r̃, 0 < s̃1 ≤ . . . ≤ s̃r̃, состоящих из векторов ϕ̃(j)
i (t),
j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃.
Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто-
ра L∗(t) длины больше 1 в порядке возрастания их длин. Пусть мы построили r̂, r̂ ≥ 0, це-
почек длин (ŝi+1), i = 1, r̂, 0 < ŝ1 ≤ . . . ≤ ŝr̂, состоящих из векторов ψ̃(j)
i (t), j = 1, ŝi + 1,
i = 1, r̂.
Определим конечные цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) в поряд-
ке убывания их длин. Выберем вектор ϕ
(1)
1 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t),
i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
i (t), i = 1, r̃, имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s1. Далее
выберем вектор ϕ(1)
2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
i (t), i = 1, r̃,
ϕ
(1)
1 (t), имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s2 и т. д. Пусть мы построили
r, r ≥ 0, цепочек длин si, i = 1, r, s1 ≥ . . . ≥ sr > 0, состоящих из векторов ϕ(j)
i (t),
j = 1, si, i = 1, r.
Согласно [5] существуют также:
r конечных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин si, i = 1, r,
состоящих из векторов ψ(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r;
r̂ вспомогательных цепочек матрицы B(t) относительно оператора L(t) длин ŝi, i =
= 1, r̂, состоящих из векторов ϕ̂(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
r̃ вспомогательных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин s̃i, i =
= 1, r̃, состоящих из векторов ψ̂(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
ř векторов ϕ̌i(t) /∈ ImB(t)
⋃
ImL(t), i = 1, ř;
r̆ векторов ψ̌i(t) /∈ ImB∗(t)
⋃
ImL∗(t), i = 1, r̆,
таких, что элементы каждого из следующих множеств принадлежат C∞[a; b] и линейно
независимы:
1) ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃, ϕ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi,
i = 1, r̂;
2) ϕ̌i(t), i = 1, ř, L(t)ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃, L(t)ϕ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, B(t)ϕ̂
(1)
i (t),
i = 1, r̂, L(t)ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
3) ψ̆i(t), i = 1, ř, ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi + 1, i = 1, r̂, ψ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i,
i = 1, r̃;
4) ψ̌i(t), i = 1, r̆, L∗(t)ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂, L∗(t)ψ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
B∗(t)ψ̂
(1)
i (t), i = 1, r̃, L∗(t)ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
пары множеств 1 и 4, 2 и 3 соответственно представляют собой биортогональные систе-
мы (
ϕ̆i(t), ψ̌k(t)
)
= δik, i, k = 1, r̆,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
176 М. А. ЕЛИШЕВИЧ(
ϕ̌i(t), ψ̆k(t)
)
= δik, i, k = 1, ř,(
ϕ̃
(j)
i (t), L∗(t)ψ̂
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ̃
(j)
i (t), ψ̂
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,s̃i+1, j, l = 1, s̃i, i, k = 1, r̃,(
ϕ̃
(s̃i+1)
i (t), B∗(t)ψ̂
(1)
k (t)
)
= δik, i, k = 1, r̃,(
ϕ̂
(j)
i (t), L∗(t)ψ̃
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ̂
(j)
i (t), ψ̃
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,ŝi+1, j, l = 1, ŝi, i, k = 1, r̂,(
B(t)ϕ̂
(1)
i (t), ψ̃
(ŝi+1)
k (t)
)
= δik, i, k = 1, r̂,(
ϕ
(j)
i (t), L∗(t)ψ
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ
(j)
i (t), ψ
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,si+1, j, l = 1, si, i, k = 1, r,
все остальные скалярные произведения векторов из соответствующих пар множеств рав-
ны 0.
Обозначим
s =
r∑
i=1
si, s̃ =
r̃∑
i=1
s̃i, ŝ =
r̂∑
i=1
ŝi, α = n− r̆ − r̃ − s̃− s− ŝ = m− ř − r̂ − ŝ− s− s̃.
Дополним элементы множества 1 векторами qi(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, α, до полного
базиса. Выберем их так, чтобы они были ортогональны всем элементам множества 4.
Лемма 1. Векторы L(t)qi(t), i = 1, α, ортогональны всем векторам множества 3.
Доказательство. Согласно [4, с. 54, 55] для векторов x(t), y(t) ∈ C∞[a; b] равенство
(L(t)x(t), y(t)) = (x(t), L∗(t)y(t))
выполняется тогда и только тогда, когда
(B(t)x(t), y(t)) = const. (3)
Имеют место равенства(
B(t)qi(t), ψ̆k(t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ̆k(t)
)
= 0, i = 1, α, k = 1, ř,
(
B(t)qi(t), ψ̃
(1)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ̃
(1)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, k = 1, r̂,(
B(t)qi(t), ψ̃
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ̃
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ̃
(j−1)
k (t)
)
= 0,
i = 1, α, j = 2, ŝk + 1, k = 1, r̂,(
B(t)qi(t), ψ
(1)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ
(1)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, k = 1, r,(
B(t)qi(t), ψ
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ
(j−1)
k (t)
)
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 177
i = 1, α, j = 2, sk, k = 1, r,(
B(t)qi(t), ψ̂
(1)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ̂
(1)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, k = 1, r̃,
(
B(t)qi(t), ψ̂
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), B
∗(t)ψ̂
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ̂
(j−1)
k (t)
)
= 0,
i = 1, α, j = 2, s̃k, k = 1, r̃,
условие (3) выполняется для всех входящих в них пар векторов, отсюда(
L(t)qi(t), ψ̆k(t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ̆k(t)
)
= 0, i = 1, α, k = 1, ř,
(
L(t)qi(t), ψ̃
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ̃
(j)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, j = 1, ŝk + 1, k = 1, r̂,
(
L(t)qi(t), ψ
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ
(j)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, j = 1, sk, k = 1, r,
(
L(t)qi(t), ψ̂
(j)
k (t)
)
=
(
qi(t), L
∗(t)ψ̂
(j)
k (t)
)
= 0, i = 1, α, j = 1, s̃k, k = 1, r̃.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Векторы B(t)qi(t), i = 1, α, L(t)ϕ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, L(t)ϕ̃
(j)
i (t), j =
= 1, s̃i, i = 1, r̃, B(t)ϕ̂
(1)
i (t), i = 1, r̂, L(t)ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂, ϕ̌i(t), i = 1, ř, линейно
независимы.
Доказательство. Пусть при некотором t ∈ [a; b] имеет место равенство
α∑
i=1
c0iB(t)qi(t) +
r∑
i=1
si∑
j=1
cijL(t)ϕ
(j)
i (t) +
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=1
c̃ijL(t)ϕ̃
(j)
i (t)+
+
r̂∑
i=1
ĉi0B(t)ϕ̂
(1)
i (t) +
r̂∑
i=1
ŝi∑
j=1
ĉijL(t)ϕ̂
(j)
i (t) +
ř∑
i=1
čiϕ̌i(t) = 0,
где скалярные постоянные c0i, i = 1, α, cij , j = 1, si, i = 1, r, c̃ij , j = 1, s̃i, i = 1, r̃, ĉij ,
j = 0, ŝi, i = 1, r̂, či, i = 1, ř, не все равны нулю. С учетом равенств из определений 1 – 3
представим его в виде
B(t)
α∑
i=1
c0iqi(t) +
r∑
i=1
si∑
j=2
ci,j−1ϕ
(j)
i (t) +
r̃∑
i=1
s̃i+1∑
j=2
c̃i,j−1ϕ̃
(j)
i (t) +
r̂∑
i=1
ŝi∑
j=1
ĉi,j−1ϕ̂
(j)
i (t)
=
= −
r∑
i=1
cisiL(t)ϕ
(si)
i (t)−
r̂∑
i=1
ĉiŝiL(t)ϕ̂
(ŝi)
i (t)−
ř∑
i=1
čiϕ̌i(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
178 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
векторы в правой его части линейно независимы и не являются элементами ImB(t),
отсюда cisi = 0, i = 1, r, ciŝi = 0, i = 1, r̂, či = 0, i = 1, ř. Следовательно,
α∑
i=1
c0iqi(t) +
r∑
i=1
si∑
j=2
ci,j−1ϕ
(j)
i (t) +
r̃∑
i=1
s̃i+1∑
j=2
c̃i,j−1ϕ̃
(j)
i (t) +
r̂∑
i=1
ŝi∑
j=1
ĉi,j−1ϕ̂
(j)
i (t) ∈ kerB(t).
Но все входящие сюда векторы линейно независимы с векторами ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
i (t),
i = 1, r̃, ϕ
(1)
i (t), i = 1, r, являющимися базисом kerB(t), отсюда c0i = 0, i = 1, α, cij = 0,
j = 1, si − 1, i = 1, r, c̃ij = 0, j = 1, s̃i, i = 1, r̃, ĉij = 0, j = 0, ŝi − 1, i = 1, r̂.
Лемма 2 доказана.
Дополним элементы множества 3 векторами pi(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, α, до полного
базиса. Выберем их так, чтобы они были ортогональны всем элементам множества 2 и
выполнялись равенства
(B(t)qi(t), pj(t)) = δij , i, j = 1, α.
Это возможно согласно лемме 2.
Замечание 1. Элементы каждого из следующих множеств линейно независимы:
5) qi(t), i = 1, α, ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃, ϕ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
6) B(t)qi(t), i = 1, α, ϕ̌i(t), i = 1, ř, L(t)ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃, L(t)ϕ
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r, B(t)ϕ̂
(1)
i (t), i = 1, r̂, L(t)ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
7) pi(t), i = 1, α, ψ̆i(t), i = 1, ř, ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi + 1, i = 1, r̂, ψ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
8)B∗(t)pi(t), i = 1, α, ψ̌i(t), i = 1, r̆, L∗(t)ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂, L∗(t)ψ
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r, B∗(t)ψ̂
(1)
i (t), i = 1, r̃, L∗(t)ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃.
Доказательство аналогично доказательству леммы 2.
Замечание 2. Пары множеств 5 и 8, 6 и 7 соответственно представляют собой биорто-
гональные системы. Доказательство аналогично доказательству леммы 1.
Перейдем непосредственно к системе (1).
Теорема 1. Пусть A(t), B(t), f(t) ∈ C∞[a; b], при всех t ∈ [a; b] существуют жордано-
вы цепочки векторов:
матрицы B(t) относительно оператора L(t) :
r, r ≥ 0, конечных длин si, si > 0, i = 1, r;
r̃, r̃ ≥ 0, циклических длин (s̃i + 1), s̃i > 0, i = 1, r̃;
r̆, r̆ ≥ 0, циклических длины 1;
матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) :
r̂, r̂ ≥ 0, циклических длин (ŝi + 1), ŝi > 0, i = 1, r̂;
ř, ř ≥ 0, циклических длины 1.
Тогда существуют неособенные при всех t ∈ [a; b] квадратные матрицы P (t), Q(t) ∈
∈ C∞[a; b] порядков m и n соответственно такие, что умножением слева на P (t) и
заменой
x(t) = Q(t)y(t) (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 179
система (1) сводится к канонической форме[
diag
[
Eα, J, J̃ , Ĵ
]
0m−ř,r̆
0ř,n−r̆ 0řr̆
]
dy
dt
=
[
diag
[
M(t), Es, K̃, K̂
]
0m−ř,r̆
0ř,n−r̆ 0řr̆
]
y + g(t), (5)
где 0ij — нулевой прямоугольный блок размерности i × j, J = diag [J1, . . . , Jr], J̃ =
= diag [J̃1, . . . , J̃r̃], K̃ = diag [K̃1, . . . , K̃r̃], Ĵ = diag [Ĵ1, . . . , Ĵr̂], K̂ = diag [K̂1, . . . , K̂r̂],
Ji = Isi , i = 1, r, — нильпотентный блок Жордана размерности si, J̃i = [Es̃i , 0s̃i1],
K̃i = [0s̃i1, Es̃i ], i = 1, r̃, Ĵi = [Eŝi , 0ŝi1]T , K̂i = [0ŝi1, Eŝi ]
T , i = 1, r̂, M(t) ∈ C∞[a; b] —
квадратная матрица-функция порядка α, g(t) ∈ C∞[a; b] — вектор-функция размер-
ности m.
Доказательство. Матрицы P (t) и Q(t) построим следующим образом:
Q(t) =
[
Q0(t),Φ(t), Φ̃(t), Φ̂(t), Φ̆(t)
]
, (6)
P (t) =
[
P0(t),Ψ(t), Ψ̂(t), Ψ̃(t), Ψ̆(t)
]∗
, (7)
где
Q0(t) = [q1(t), . . . , qα(t)] , (8)
Φ(t) = [Φ1(t), . . . ,Φr(t)] , Φi(t) =
[
ϕ
(1)
i (t), . . . , ϕ
(si)
i (t)
]
, i = 1, r, (9)
Φ̃(t) =
[
Φ̃1,s̃1+1(t), . . . , Φ̃r̃,s̃r̃+1(t)
]
,
(10)
Φ̃ij(t) =
[
ϕ̃
(j)
i (t), . . . , ϕ̃
(1)
i (t)
]
, j = s̃i, s̃i + 1, i = 1, r̃,
Φ̂(t) =
[
Φ̂1(t), . . . , Φ̂r̂(t)
]
, Φ̂i(t) =
[
ϕ̂
(1)
i (t), . . . , ϕ̂
(ŝi)
i (t)
]
, i = 1, r̂, (11)
Φ̆ (t) = [ϕ̆1(t), . . . , ϕ̆r̆(t)] , (12)
P0(t) = [p1(t), . . . , pα(t)] , (13)
Ψ(t) = [Ψ1(t), . . . ,Ψr(t)], Ψi(t) =
[
ψ
(si)
i (t), . . . , ψ
(1)
i (t)
]
, i = 1, r, (14)
Ψ̃(t) =
[
Ψ̃1,ŝ1+1(t), . . . , Ψ̃r̂,ŝr̂+1(t)
]
,
(15)
Ψ̃ij(t) =
[
ψ̃
(j)
i (t), . . . , ψ̃
(1)
i (t)
]
, j = ŝi, ŝi + 1, i = 1, r̂,
Ψ̂(t) =
[
Ψ̂1(t), . . . , Ψ̂r̃(t)
]
, Ψ̂i(t) =
[
ψ̂
(1)
i (t), . . . , ψ̂
(s̃i)
i (t)
]
, i = 1, r̃, (16)
Ψ̆(t) =
[
ψ̆1(t), . . . , ψ̆ř(t)
]
. (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
180 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Выполнив в (1) замену (4), умножив слева на матрицу P (t) и обозначив
M(t) = P ∗0 (t)L(t)Q0(t), (18)
g(t) = P (t)f(t),
при этом P (t), Q(t) неособенные согласно замечанию 1, P (t), Q(t),M(t), g(t) ∈ C∞[a; b], с
учетом замечания 2, (6) – (17) получим (5).
Теорема 1 доказана.
Векторы y(t), g(t) представим в следующем виде:
y(t) = col [y0(t), y1(t), . . . , yr(t), ỹ1(t), . . . , ỹr̃(t), ŷ1(t), . . . , ŷr̂(t), y̆1(t), . . . , y̆r̆(t)] ,
(19)
g(t) = col [g0(t), g1(t), . . . , gr(t), ĝ1(t), . . . , ĝr̃(t), g̃1(t), . . . , g̃r̂(t), ğ1(t), . . . , ğř(t)] ,
где составляющие y(t) векторы имеют размерности y0(t) — α, yi(t) — si, i = 1, r, ỹi(t) −
−(s̃i + 1), i = 1, r̃, ŷi(t) — ŝi, i = 1, r̂, y̆i(t) — 1, i = 1, r̆ (скалярные функции),
g0(t) = P ∗0 (t)f(t), (20)
gi(t) = Ψ∗i (t)f(t), i = 1, r, (21)
g̃i(t) = Ψ̃∗i,ŝi+1(t)f(t), i = 1, r̂, (22)
ĝi(t) = Ψ̂∗i (t)f(t), i = 1, r̃, (23)
ği(t) = ψ̆∗i (t)f(t), i = 1, ř. (24)
Тогда система (5) распадается на следующие независимые системы:
dy0
dt
= M(t)y0 + g0(t), (25)
Ji
dyi
dt
= yi + gi(t), i = 1, r, (26)
J̃i
dỹi
dt
= K̃iỹi + ĝi(t), i = 1, r̃, (27)
Ĵi
dŷi
dt
= K̂iŷi + g̃i(t), i = 1, r̂, (28)
0 = ği(t), i = 1, ř. (29)
Лемма 3. Столбцы матрицы
Xα(t) = Q0(t)X(t), (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 181
где X(t) — фундаментальная матрица системы
dx
dt
= M(t)x, (31)
являются линейно независимыми решениями системы
B(t)
dx
dt
= A(t)x. (32)
Доказательство. Их линейная независимость следует из (8), (30), замечания 1 и не-
вырожденности матрицы X(t). Из (18), (30), (31) следует
A(t)Xα(t)−B(t)
d
dt
Xα(t) = [L(t)Q0(t)]X(t)−B(t)Q0(t)
d
dt
X(t) =
= [L(t)Q0(t)]X(t)−B(t)Q0(t)M(t)X(t) =
= [L(t)Q0(t)]X(t)−B(t)Q0(t)P ∗0 (t)[L(t)Q0(t)]X(t).
Умножив полученное выражение слева на матрицу P (t), с учетом (7), (13) – (17), леммы 1,
замечания 2 получим, что оно равно 0.
Лемма 3 доказана.
Замечание 3. Столбцы матрицы
Yα(t) = P0(t)
[
X−1(t)
]∗
(33)
являются линейно независимыми решениями сопряженной к (32) системы
d
dt
[B∗(t)y] = −A∗(t)y. (34)
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.
Лемма 4. Имеет место равенство
Y ∗α (t)B(t)Xα(t) = Eα.
Доказательство. Из замечания 2, (8), (13), (30), (33) следует
Y ∗α (t)B(t)Xα(t) = X−1(t)P ∗0 (t)B(t)Q0(t)X(t) = Eα.
Лемма 4 доказана.
Следствие 1. Если в множествах 5 – 8 векторы qi(t), B(t)qi(t), pi(t), B
∗(t)pi(t), i = 1, α,
заменить столбцами матриц Xα(t), B(t)Xα(t), Yα(t), B∗(t)Yα(t) соответственно, то
линейная независимость и биортогональность их элементов сохранятся.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
182 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Теорема 2. Если выполняются условия теоремы 1, то для разрешимости системы
(1) необходимо и достаточно выполнения условий
ŝi∑
k=0
dk
dtk
(f(t), ψ̃
(ŝi−k+1)
i (t)) = 0, i = 1, r̂, (35)
(f(t), ψ̆i(t)) = 0, i = 1, ř. (36)
Ее общее решение имеет вид
x(t) = Xα(t)c+
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ) dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
k=0
Iksi
dk
dtk
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃is̃i(t)
s̃i−1∑
k=0
(
ITs̃i
)k dk
dtk
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
k=0
Ikŝi
dk
dtk
[
Ψ̃∗iŝi(t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
k=0
[
dk
dtk
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−k+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t), x(t) ∈ C∞[a; b], (37)
где c — произвольный постоянный вектор размерности α, β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃,
β̆i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, — произвольные скалярные функции.
Доказательство. Общее решение системы (25) имеет вид [1, с. 412; 2, с. 59, 60]
y0(t) = X(t)c+
t∫
a
X(t)X−1(τ)g0(τ) dτ. (38)
Системы (26) имеют единственные решения [4, с. 61, 62]
yi(t) = −
si−1∑
k=0
Iksi
dk
dtk
gi(t), i = 1, r. (39)
Представим векторы ỹi(t), i = 1, r̃, в виде
ỹi(t) =
[
β̃i(t)
ui(t) + vi(t)
]
, i = 1, r̃, (40)
где ui(t), vi(t), i = 1, r̃, — векторы размерности s̃i. Тогда системы (27) можно заменить
следующими эквивалентными системами:
ITs̃i
dui
dt
= ui + ĝi(t), ITs̃i
dvi
dt
= vi −
dβ̃i(t)
dt
0s̃i−1,1
, i = 1, r̃,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 183
которые при фиксированном наборе β̃i(t), i = 1, r̃, имеют единственные решения
ui(t) = −
s̃i−1∑
k=0
(
ITs̃i
)k dk
dtk
ĝi(t), vi(t) = col
[
d
dt
β̃i(t), . . . ,
ds̃i
dts̃i
β̃i(t)
]
, i = 1, r̃. (41)
Представим векторы g̃i(t), i = 1, r̂, в виде
g̃i(t) =
[
g̃i1(t)
g̃i2(t)
]
, i = 1, r̂,
где g̃i1(t), i = 1, r̂,— скалярные функции, g̃i2(t), i = 1, r̂,— векторы размерности ŝi. Тогда
системы (28) можно заменить следующими эквивалентными уравнениями и системами:
dŷi1
dt
= g̃i1 (t) , Iŝi
dŷi
dt
= ŷi + g̃i2(t), i = 1, r̂,
где ŷi1(t), i = 1, r̂, — скалярные функции, первые координаты векторов ŷi(t), i = 1, r̂.
Отсюда
ŷi(t) = −
ŝi−1∑
k=0
Ikŝi
dk
dtk
g̃i2(t), i = 1, r̂, (42)
−eT1
ŝi∑
k=1
Ikŝi
dk
dtk
g̃i2(t) = g̃i1(t), i = 1, r̂, (43)
где e1 — первый столбец матрицы Eŝi , — условия разрешимости систем (28) и, соот-
ветственно, (1). Равенства (43) представляют собой условия разрешимости систем (28) и,
соответственно, (1).
Равенства (29) не содержат координат вектора y (t), они являются условиями разре-
шимости системы (1).
Координаты y̆i(t), i = 1, r̆, в системы (25) – (29) не входят, поэтому положим
y̆i(t) = β̆i(t), i = 1, r̆. (44)
Подставив (19) – (24), (30), (33), (38) – (42), (44) в (4), (29), (43), получим (35) – (37). При
этом x(t) ∈ C∞[a; b].
Теорема 2 доказана.
Следствие 2. Система (32) разрешима. Ее общее решение имеет вид
x(t) = Xα(t)c+
r̃∑
i=1
s̃i∑
k=0
[
dk
dtk
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−k+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t).
Следствие 3. Система (34) разрешима. Ее общее решение имеет вид
y(t) = Yα(t)c+
r̂∑
i=1
ŝi∑
k=0
[
dk
dtk
β̂i(t)
]
ψ̃
(ŝi−k+1)
i (t) +
ř∑
i=1
β̌i(t)ψ̆i(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
184 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
где β̂i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̂, β̌i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, ř, — произвольные скалярные функ-
ции.
Рассмотрим задачу Коши (1), (2).
Теорема 3. Если выполняются условия теоремы 2, то для разрешимости задачи
Коши (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы вектор x0 удовлетворял условиям
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
A(t)x0 + f(t), ψ
(j−k)
i (t)
)
t=t0
= 0, j = 1, si, i = 1, r, (45)
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
A(t)x0 + f(t), ψ̃
(j−k)
i (t)
)
t=t0
= 0, j = 1, ŝi, i = 1, r̂. (46)
Ее решения имеют вид
x(t) = Xα(t)Y ∗α (t0)B(t0)x0 +
t∫
t0
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ) dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
k=0
Iksi
dk
dtk
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃is̃i(t)
s̃i−1∑
k=0
(
ITs̃i
)k dk
dtk
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
k=0
Ikŝi
dk
dtk
[
Ψ̃∗iŝi(t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
k=0
[
dk
dtk
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−k+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t), x (t) ∈ C∞[a; b], (47)
где β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃, β̆i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, — скалярные функции такие, что
β̃i(t0) = (x0, B
∗(t0)ψ̂
(1)
i (t0)), i = 1, r̃, (48)
dj
dtj
β̃i(t)t=t0 =
[(
x0, L
∗(t)ψ̂
(j)
i (t)
)
+
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
f(t), ψ̂
(k+1)
i (t)
)]
t=t0
, j = 1, s̃i, i = 1, r̃, (49)
β̆i(t0) = (x0, ψ̌i(t0)), i = 1, r̆. (50)
Доказательство. Подставив (37) в (2), при a = t0 получим
x(t0) = Xα(t0)c−
r∑
i=1
Φi(t0)
si−1∑
k=0
Iksi
dk
dtk
[Ψ∗i (t)f(t)]t=t0 −
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 185
−
r̃∑
i=1
Φ̃is̃i(t0)
s̃i−1∑
k=0
(
ITs̃i
)k dk
dtk
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
t=t0
−
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t0)
ŝi−1∑
k=0
Ikŝi
dk
dtk
[
Ψ̃∗iŝi(t)f(t)
]
t=t0
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
k=0
[
dk
dtk
β̃i(t)
]
t=t0
ϕ̃
(s̃i−k+1)
i (t0) +
r̆∑
i=1
β̆i(t0)ϕ̆i(t0). (51)
Согласно следствию 1 матрица
R(t) =
[
B∗(t)Yα(t), L∗(t)Ψ(t), B∗(t)ψ̂
(1)
1 (t), L∗(t)Ψ̂1(t), . . . , B∗(t)ψ̂
(1)
r̃ (t),
L∗(t)Ψ̂r̃(t), L
∗(t)Ψ̃1ŝ1(t), . . . , L∗(t)Ψ̃r̂ŝr̂(t), ψ̌1(t), . . . , ψ̌r̆(t)
]∗
неособенная. Умножив (51) слева на матрицу R(t0), согласно следствию 1 получим
Y ∗(t0)B(t0)x0 = c, (52)
(
x0, L
∗(t)ψ
(j)
i (t)
)
t=t0
=−
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
f(t), ψ
(j−k)
i (t)
)
t=t0
, j = 1, si, i = 1, r, (53)
(
x0, B
∗(t0)ψ̂
(j)
1 (t0)
)
= β̃i(t0), i = 1, r̃, (54)
(
x0, L
∗(t)ψ̂
(j)
i (t)
)
t=t0
=
[
dj
dtj
β̃i(t)−
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
f(t), ψ̂
(j−k)
i (t)
)]
t=t0
, j = 1, s̃i, i = 1, r̃, (55)
(
x0, L
∗(t)ψ̃
(j)
i (t)
)
t=t0
=−
j−1∑
k=0
dk
dtk
(
f(t), ψ̃
(j−k)
i (t)
)
t=t0
, j = 1, ŝi, i = 1, r̂, (56)
(
x0, ψ̌i(t0)
)
= β̆i(t0), i = 1, r̆. (57)
Из (53) следует (45) [4, с. 69, 70], из (54) — (48), из (55) — (49), из (56) — (46), из (57) —
(50). Подставив (52) в (37), при a = t0 получим (47). При этом x(t) ∈ C∞[a; b].
Теорема 3 доказана.
Пример. Пусть в (1), (2) m = n = 2,
B(t) =
[
1 0
0 0
]
, A(t) =
[
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
]
, f(t) =
[
f1(t)
f2(t)
]
, x0 =
[
x01
x02
]
,
aij(t) ∈ C∞[a; b], i, j = 1, 2, fi(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, 2, — действительные скалярные функ-
ции, x0i, i = 1, 2, — действительные числа. Рассмотрим следующие случаи [5]:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
186 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
1) a22(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r = 1, s1 = 1, r̆ = ř = r̃ = r̂ = 0, α = 1,
Φ(t) = Φ1(t) = ϕ
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, Ψ(t) = Ψ1(t) = ψ
(1)
1 (t) =
[
0
a−1
22 (t)
]
,
Q0(t) = q1(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
, P0(t) = p1(t) =
[
1
−a12(t)a−1
22 (t)
]
,
Q(t) = [Q0(t),Φ1(t)] =
[
1 0
−a21(t)a−1
22 (t) 1
]
,
P (t) = [P0(t),Ψ1(t)]∗ =
[
1 −a12(t)a−1
22 (t)
0 a−1
22 (t)
]
,
M(t) = m11(t) = a11(t)− a12(t)a21(t)a−1
22 (t).
Система (5) принимает вид
[
1 0
0 0
]
dy
dt
=
[
m11(t) 0
0 1
]
y +
f1(t)− a12(t)a−1
22 (t)f2(t)
a−1
22 (t)f2(t)
.
Общее решение (37) системы (1) имеет вид
x(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z) dz
c+
+
t∫
a
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z) dz
exp
− τ∫
a
m11(z) dz
×
×
[
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (t)f2(t)
]
.
Условие (45) разрешимости задачи Коши (1), (2) имеет вид
[a21(t0)x01 + a22(t0)x02 + f2(t0)]a−1
22 (t0) = 0,
откуда
x02 = −a21(t0)a−1
22 (t0)x01 − a−1
22 (t0)f2(t0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 187
При его выполнении ее решение (47) таково:
x(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
t0
m11(z) dz
x01+
+
t∫
t0
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
[ ∫ t
t0
m11(z) dz
]
exp
− τ∫
t0
m11(z) dz
×
× [f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)] dτ −
[
0
a−1
22 (t)f2(t)
]
.
2) a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b].Имеем r = 1, s1 = 2, r̆ = ř = r̃ = r̂ = 0,
α = 0,
ϕ
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ϕ
(2)
1 (t) =
[
a12(t)
a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
]
,
ψ
(1)
1 (t) =
[
0
a−1
12 (t)a−1
21 (t)
]
, ψ
(2)
1 (t) =
[
a−1
12 (t)
0
]
,
Q(t) = Φ(t) = Φ1(t) =
[
0 a12(t)
1 a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
]
,
P (t) = Ψ∗(t) = Ψ∗1(t) =
a−1
12 (t) 0
0 a−1
12 (t)a−1
21 (t)
.
Система (5) принимает вид
[
0 1
0 0
]
dy
dt
=
[
1 0
0 1
]
y +
a−1
12 (t)f1(t)
a−1
12 (t)a−1
21 (t)f2(t)
.
Общее решение (37) системы (1) имеет вид
x(t) =
−a−1
21 (t)f2(t)
a−1
12 (t)
{
a11(t)a−1
21 (t)f2(t)− f1(t)− d
dt
[a−1
21 (t)f2(t)]
}
.
Оно является решением (47) задачи Коши (1), (2) при выполнении условий (45) ее разре-
шимости:
[a21(t0)x01 + f2(t0)]a−1
12 (t0)a−1
21 (t0) = 0,
[a11(t0)x01 + a12(t0)x02 + f1(t0)] a−1
12 (t0) +
d
dt
{
[a21(t)x01 + f2(t)]a−1
12 (t)a−1
21 (t)
}
t=t0
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
188 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
откуда
x01 = −a−1
21 (t0)f2(t0),
x02 = a−1
12 (t0)
{
a11(t0)a−1
21 (t0)f2(t0)− f1(t0)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]
t=t0
}
.
3) a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̃ = 1, s̃1 = 1, ř = 1, r̆ = r = r̂ =
= 0, α = 0,
ϕ̃
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ϕ̃
(2)
1 (t) =
[
a12(t)
a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
]
,
Ψ̆(t) = ψ̆1(t) =
[
0
1
]
, Ψ̂(t) = Ψ̂1(t) = ψ̂
(1)
1 (t) =
[
a−1
12 (t)
0
]
, ϕ̌1 (t) =
[
0
1
]
,
Q(t) = Φ̃(t) = Φ̃12(t) =
[
a12(t) 0
a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t) 1
]
,
P (t) =
[
Ψ̂(t), Ψ̆(t)
]∗
=
[
a−1
12 (t) 0
0 1
]
.
Система (5) принимает вид[
1 0
0 0
]
dy
dt
=
[
0 1
0 0
]
y +
[
a−1
12 (t)f1(t)
f2(t)
]
.
Условие (36) разрешимости системы (1) таково:
f2(t) ≡ 0.
При его выполнении ее общее решение (37) имеет вид
x(t) =
a12(t)β̃1(t)
a−1
12 (t)β̃1(t)
d
dt
a12(t)− a11(t)β̃1(t)− a−1
12 (t)f1(t) +
d
dt
β̃1(t)
.
Решениями (47) задачи Коши (1), (2) являются те из полученных выше решений системы
(1), для которых выполняются условия (48), (49):
β̃1(t0) = a−1
12 (t0)x01,
d
dt
β̃1(t)t=t0 = a11(t0)a−1
12 (t0)x01 + x02 − a−2
12 (t0)x01
d
dt
a12(t)t=t0 + a−1
12 (t0)f1(t0).
4) a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̆ = 1, r̂ = 1, ŝ1 = 1, r̃ = r = ř =
= 0, α = 0,
Φ̆(t) = ϕ̆1(t) =
[
0
1
]
, ψ̃
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ψ̃
(2)
1 (t) =
[
a21(t)
−a11(t)− a−1
21 (t)
d
dt
a21(t)
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 189
Φ̂(t) = Φ̂1(t) = ϕ̂
(1)
1 (t) =
[
a−1
21 (t)
0
]
, ψ̌1 (t) =
[
0
1
]
,
Q(t) =
[
Φ̂(t), Φ̆(t)
]
=
[
a−1
21 (t) 0
0 1
]
,
P (t) = Ψ̃∗(t) = Ψ̃∗12(t) =
[
a21(t) −a11(t)− a−1
21 (t)
d
dt
a21(t)
0 1
]
.
Система (5) принимает вид
[
1 0
0 0
]
dy
dt
=
[
0 0
1 0
]
y +
a21(t)f1(t)− a11(t)f2(t)− a−1
21 (t)f2(t)
d
dt
a21(t)
f2 (t)
.
Условие (35) разрешимости системы (1) таково:
a21(t)f1(t)− a11(t)f2(t)− a−1
21 (t)f2(t)
d
dt
a21(t) +
d
dt
f2(t) ≡ 0.
При его выполнении ее общее решение (37) имеет вид
x(t) =
[
−a−1
21 (t)f2(t)
β̆1(t)
]
.
Условие (46) разрешимости задачи Коши (1), (2) имеет вид
a21(t0)x01 + f2(t0) = 0,
откуда
x01 = −a−1
21 (t0)f2(t0).
При выполнении этого условия ее решениями (47) являются те из полученных выше ре-
шений системы (1), для которых выполняется условие (50):
β̆1(t0) = x02.
5) a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̆ = 1, ř = 1, r̃ = r = r̂ = 0,
α = 1,
Φ̆(t) = ϕ̆1(t) =
[
0
1
]
, Ψ̆(t) = ψ̆1(t) =
[
0
1
]
, ϕ̌1(t) =
[
0
1
]
, ψ̌1(t) =
[
0
1
]
,
Q0(t) = q1(t) =
[
1
0
]
, P0(t) = p1(t) =
[
1
0
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
190 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Q(t) =
[
Q0(t), Φ̆(t)
]
=
[
1 0
0 1
]
, P (t) =
[
P0(t), Ψ̆(t)
]∗
=
[
1 0
0 1
]
, M(t) = a11(t).
Система (5) принимает вид[
1 0
0 0
]
dy
dt
=
[
a11(t) 0
0 0
]
y +
[
f1(t)
f2(t)
]
.
Условие (36) разрешимости системы (1) таково:
f2(t) ≡ 0.
При его выполнении ее общее решение (37) имеет вид
x(t) =
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z) dz
c+
t∫
a
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z) dz
×
× exp
− τ∫
a
a11(z) dz
f1(τ) dτ +
[
0
β̆1(t)
]
.
Решения (47) задачи Коши (1), (2) имеют вид
x(t) =
[
1
0
]
exp
t∫
t0
a11(z) dz
x01 +
t∫
t0
[
1
0
]
exp
t∫
t0
a11(z) dz
×
× exp
− τ∫
t0
a11(z) dz
f1(τ) dτ +
[
0
β̆1 (t)
]
,
для них должно выполняться условие (50):
β̆1(t0) = x02.
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 2004. — 576 с.
2. Чистяков В. Ф., Щеглова А. А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. — Но-
восибирск: Наука, 2003. — 319 с.
3. Бояринцев Ю. Е., Орлова И. В. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы. — Новоси-
бирск: Наука, 2006. — 123 с.
4. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 295 с.
5. Елишевич М. А. Некоторые свойства жордановых наборов векторов матрицы относительно операто-
ра, содержащего дифференцирование // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2012. — № 2 (108). —
С. 119 – 134.
Получено 26.05.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
|