Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв слабконелiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку другого порядку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177118 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка / С.М. Чуйко, Ан.А. Бойчук, И.А. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 261-269. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177118 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771182021-02-11T01:28:32Z Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка Чуйко, С.М. Бойчук, Ан.А. Бойчук, И.А. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв слабконелiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку другого порядку. We find necessary and sufficient conditions for existence of solution of a weakly nonlinear Noether boundary-value problem for a system of second order ordinary differential equations in the critical case. 2013 Article Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка / С.М. Чуйко, Ан.А. Бойчук, И.А. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 261-269. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177118 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв слабконелiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Бойчук, Ан.А. Бойчук, И.А. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Бойчук, Ан.А. Бойчук, И.А. Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Бойчук, Ан.А. Бойчук, И.А. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| title_short |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| title_full |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| title_fullStr |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| title_sort |
нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177118 |
| citation_txt |
Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае второго порядка / С.М. Чуйко, Ан.А. Бойчук, И.А. Бойчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 261-269. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm nelinejnyeneterovykraevyezadačivkritičeskomslučaevtorogoporâdka AT bojčukana nelinejnyeneterovykraevyezadačivkritičeskomslučaevtorogoporâdka AT bojčukia nelinejnyeneterovykraevyezadačivkritičeskomslučaevtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:04:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:04:57Z |
| _version_ |
1837725802569924608 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА*
С. М. Чуйко
Донбас. гос. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск Донецкой обл., ул. Генерала Батюка, 19
Ан. А. Бойчук
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
И. А. Бойчук
Ин-т электросварки им. Е. О. Патона НАН Украины
Украина, 03680, Киев, ул. Боженко, 11
We find necessary and sufficient conditions for existence of solution of a weakly nonlinear Noether bounda-
ry-value problem for a system of second order ordinary differential equations in the critical case.
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв слабконелiнiйної нетерової крайо-
вої задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку другого по-
рядку.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решения z(t, ε) : z(·, ε) ∈ C1[a, b],
z(t, ·) ∈ C[0, ε0] краевой задачи [1, 2]
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), `z(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), ε). (1)
Решение задачи (1) ищем в малой окрестности решения порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), `z0(·) = α, α ∈ Rm. (2)
Здесь A(t) — (n×n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, `z(·) —линейный ограни-
ченный векторный функционал `z(·) : C[a, b] → Rm. Нелинейности Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε)
нетеровой (m 6= n) задачи (1) предполагаем дважды непрерывно дифференцируемыми
по неизвестной z в малой окрестности порождающего решения и по малому парамет-
ру ε в малой положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию
Z(z, t, ε) непрерывной по независимой переменной t на отрезке [a, b]. Исследован крити-
ческий случай (PQ∗ 6= 0), причем предполагается выполненным условие
PQ∗
d
{α− `K[f(s)](·)} = 0. (3)
∗ Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
Украины (номер государственной регистрации 0109U000381).
c© С. М. Чуйко, Ан. А. Бойчук, И. А. Бойчук, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 261
262 С. М. ЧУЙКО, АН. А. БОЙЧУК, И. А. БОЙЧУК
В этом случае порождающая задача (2) имеет (r = n − n1)-параметрическое семейство
решений z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f(s);α](t), cr ∈ Rr. Здесь X(t) — нормальная (X(a) = In)
фундаментальная матрица однородной части системы (3), Q = `X(·) — (m× n)-матрица,
rankQ = n1, Xr(t) = X(t)PQr , PQr — (n × r)-матрица, составленная из r линейно не-
зависимых столбцов (n × n)-матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q), PQ∗
d
— (r × n)-
матрица, составленная из r линейно независимых строк (n× n)-матрицы-ортопроектора
PQ∗ : Rm → N(Q∗),
G[f(s);α](t) = X(t)Q+{α− `K[f(s)](·)}+K[f(s)](t)
— обобщенный оператор Грина краевой задачи (2),
K[f(s)](t) = X(t)
t∫
a
X−1(s)f(s) ds
— оператор Грина задачи Коши для системы (2), Q+ — псевдообратная матрица по Му-
ру – Пенроузу [1 – 4].
2. Необходимые условия существования решения. Необходимые условия существо-
вания решения z(t, ε) = z0(t, cr) + x(t, ε) исходной задачи (1) в критическом случае опре-
деляет следующая лемма [1, 2].
Лемма. Пусть краевая задача (1) представляет критический (PQ∗ 6= 0) случай и
выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Предположим также,
что задача (1) имеет решение, обращающееся при ε = 0 в порождающее z0(t, c∗r). Тогда
вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению
F0(cr) = PQ∗
d
{J(z0(·, cr), 0)− `K[Z(z0(s, cr), s, 0)](·)} = 0. (4)
Решение задачи (1) ищем в виде z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), возмущение x(t, ε) опреде-
ляет краевая задача
dx
dt
= A(t)x+ εZ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), `x(·, ε) = εJ(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε). (5)
В малой окрестности точек x = 0 и ε = 0 имеет место следующее разложение:
Z(z0(t, c
∗
r) + x, t, ε) = Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) + dZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) +R1(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε).
Дифференциал dZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) = A1,0(t)x+ εA0,1(t) выражается через производные
A1,0(t) :=
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
, A0,1(z0(t, c
∗
r)) :=
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
.
Аналогично в окрестности точек x = 0 и ε = 0 разлагаем функционал
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, c∗r), 0) + dJ(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 263
Дифференциал dJ(zr(·, c∗0), 0) = `1,0x(·, ε)+ε`0,1(z0(·, c∗r)) выражается через производные
`1,0x(·, ε) :=
∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣z=z0(t,c∗0)
ε=0
и
`0,1(z0(·, c∗0)) :=
∂J(z(·, ε), ε)
∂ε
∣∣∣∣z=z0(t,c∗0)
ε=0
.
Обозначая постоянную (d× r)-матрицу
B0 = PQ∗
d
{`1,0Xr(·)− `K[A1,0(s)Xr(s)](·)},
приходим к операторной системе, равносильной задаче (5):
x(t, ε) = Xr(t)cr + x(1)(t, ε),
B0cr =− PQ∗
d
{`1,0x(1)(·, ε) + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K[A1,0(s)x
(1)(s, ε) + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)](·)}, (6)
x(1)(t, ε) = εG[Z(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)](t).
Краевая задача (1) в критическом случае при условии PB∗
0
= 0, гарантирующем раз-
решимость второго уравнения операторной системы (6), подробно изучена в моногра-
фиях [1, 6]. Здесь PB∗
0
— (d × d)-матрица-ортопроектор: Rd → N(B∗0). В статье [5] ис-
следована периодическая задача, являющаяся частным случаем краевой задачи (1), для
которой условие PB∗
0
= 0 не выполняется. Целью данной статьи является изучение об-
щей нетеровой нелинейной краевой задачи (1) при условии PB∗
0
6= 0.
3. Достаточное условие. Уточним разложения нелинейностей задачи (1)
R1(z0(t, c
∗
r) + x, t, ε) =
1
2
d2Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) +R2(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε).
Второй дифференциал [10]
d2Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) = A2,0(t, x(t, ε))x(t, ε) + 2εA1,1(t)x(t, ε) + ε2A0,2(z0(t, c
∗
r))
выражается посредством (n× n)-матриц [7]
A2,0(t, x) =
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
x
]∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
, A1,1(t) =
∂2Z(z, t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
и n-мерного вектора-столбца
A0,2(z0(t, c
∗
r)) :=
∂2Z(z, t, ε)
∂ε2
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
264 С. М. ЧУЙКО, АН. А. БОЙЧУК, И. А. БОЙЧУК
Аналогично в окрестности точек x = 0 и ε = 0 имеет место разложение [10]
J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) =
1
2
d2J(z0(·, c∗r), 0) + J2(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε).
Второй дифференциал
d2J(z0(·, c∗r), 0) = `2,0(x(·, ε))x(·, ε) + 2ε`1,1x(·, ε) + ε2`0,2(z0(·, c∗r))
представим посредством производных по Фреше
`2,0(x(·, ε))x(·, ε) =
∂
∂z
[∂J(z(·, ε), ε)∂z x(·, ε)]|z=z0(t,c∗r)
ε=0,
,
`1,1x(·, ε) =
∂2J(z(·, ε), ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
,
`0,2(z0(·, c∗r)) =
∂2J(z(·, ε), ε)
∂ε2
∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
.
При условии PB∗
0
6= 0 второе уравнение операторной системы (6) разрешимо в случае
PB∗
0
PQ∗
d
{
`1,0x
(1)(·, ε) + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) −
− `K
[
A1,0(s)x
(1)(s, ε) + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
= 0,
при этом решение cr = c
(0)
r +c
(1)
r второго уравнения операторной системы (6) определяют
два вектора
c(0)r =−B+
0 PQ∗
d
{
`1,0x
(1)(·, ε) + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) −
− `K
[
A1,0(s)x
(1)(s, ε) + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
, c(1)r ∈ N(B0).
Обозначим матрицу
G1(t) = G [A1,0(s)Xr(s); `1,0Xr(·)] (t).
Частное решение задачи (5) представимо в виде
x(1)(t, ε) = εG [Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)] (t) + x(2)(t, ε),
где
x(2)(t, ε) = εG1(t)PB0c
(0)
r + x(3)(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 265
x(3)(t, ε) = εG
{
A1,0(s)[Xr(s)c
(0)
r + x(1)(s, ε)] + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r)+
+ x(s, ε), s, ε); `1,0[Xr(·)c(0)r + x(1)(·, ε)] + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0)+
+ J2(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
}
(t).
Обозначим (d× r)-мерную матрицу
B1 = PB∗
0
PQ∗
d
{`1,0G1(·) + `1,1Xr(·) + `2,0{G[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](·)}Xr(·) −
− `K{A1,0(s)G1(s) +A1,1(s)Xr(s)+
+ A2,0{s,G[Z(z0(τ, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](s)}Xr(s) (·)}PB0 .
Предположим, что для любого вектора ξ ∈ Rr имеет место равенство
PB∗
0
PQ∗
d
{`2,0(Xr(·)PB0ξ)Xr(·)− `K[A2,0(s,Xr(s)PB0ξ)Xr(s)](·)}PB0 = 0. (7)
Для нахождения вектора c(1)r ∈ N(B0) приходим к уравнению
εB1c
(1)
r = −PB∗
0
PQ∗
d
{
`1,0[εG[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](·) + x(3)(·, ε)]+
+ ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + ε`2,0G[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](·)Xr(·)c(0)r +
+
1
2
`2,0[x
(1)(·, ε)]x(1)(·, ε) + ε`1,1[Xr(·)c(0)r + x(1)(·, ε)] +
ε2
2
`0,2[z0(·, c∗r)]+
+ J2(z(·, ε), ε)− `K
{
A1,0(s)[εG[Z(z0(τ, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](s) + x(3)(·, ε)]+
+ εA0,1(s) +A2,0(s)G[Z(z0(τ, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](s)Xr(s)c
(0)
r +
+A2,0[x
(1)(s, ε)]x(1)(s, ε) + εA1,1(s)[Xr(s)c
(0)
r + x(1)(s, ε)]+
+
ε2
2
A0,2(z0(t, c
∗
r)) +R2(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)
}
(·)
}
. (8)
Уравнение (8) разрешимо при условии PB∗
1
PB∗
0
= 0, где PB∗
1
: Rd → N(B∗1) — матрица-
ортопроектор. Таким образом, в случае
PB∗
0
6= 0, PB∗
1
PB∗
0
= 0 (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
266 С. М. ЧУЙКО, АН. А. БОЙЧУК, И. А. БОЙЧУК
краевая задача (5) имеет по меньшей мере одно решение, определяемое операторной
системой
x(t, ε) = Xr(t)(c
(0)
r + c(1)r ) + x(1)(t, ε), (10)
x(1)(t, ε) = εG[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](t) + x(2)(t, ε),
x(2)(t, ε) = εG1(t)c
(1)
r + x(3)(t, ε), G1(t) = G[A1(s)Xr(s); `1Xr(·)](t),
x(3)(t, ε) = εG
{
A1,0(s)[Xr(s)c
(0)
r + x(1)(s, ε)] + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε);
`1,0[Xr(·)c(0)r + x(1)(·, ε)] + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + J2(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
}
(t),
c(0)r = −B+
0 PQ∗
d
{
`1,0x
(1)(·, ε) + ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) −
− `K[A1,0(s)x
(1)(s, ε) + εA0,1(s) +R1(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)](·)
}
,
εc(1)r (ε) = −B+
1 PQ∗
d
{
`1,0[εG[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](·) + x(3)(·, ε)]+
+ ε`0,1(z0(·, c∗r), 0) + ε`2,0G[Z(z0(s, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](·)Xr(·)c(0)r +
+
1
2
`2,0[x
(1)(·, ε)]x(1)(·, ε) + ε`1,1[Xr(·)c(0)r + x(1)(·, ε)] +
ε2
2
`0,2[z0(·, c∗r)]+
+ J2(z(·, ε), ε)− `K
{
A1,0(s)[εG[Z(z0(τ, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](s) + x(3)(·, ε)]+
+ εA0,1(s) +A2,0(s)G[Z(z0(τ, c
∗
r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)](s)Xr(s)c
(0)
r +
+A2,0[x
(1)(s, ε)]x(1)(s, ε) + εA1,1(s)[Xr(s)c
(0)
r + x(1)(s, ε)] +
ε2
2
A0,2(z0(t, c
∗
r))+
+R2(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)
}
(·)
}
.
Для построения приближенного решения операторной системы (10) в случае (9) и
F1(c
∗
r) = 0 применим метод простых итераций [1, 5].
Теорема. Пусть для краевой задачи (1) имеет место критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Тогда для каждого
корня c∗r ∈ Rr уравнения (4) при условиях (7), (9) задача (5) имеет по меньшей мере
одно решение, определяемое операторной системой (10), при ε = 0 обращающееся в
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 267
нулевое x(t, 0) ≡ 0. При этом задача (1) имеет по меньшей мере одно решение z(t, ε) :
z(·, ε) ∈ C1[a, b], z(t, ·) ∈ C[0, ε0], при ε = 0 обращающееся в порождающее решение
z0(t, c
∗
r).
В частном случае, когда PB0PB1 = 0, решение задачи (1) единственно. Здесь
PB0 : Rr → N(B0), PB1 : Rr → N(B1)
— (r × r)-матрицы-ортопроекторы. Наличие производных
A2(s) 6= 0, A3(s) 6= 0, `2(z0(·, c∗r), 0) 6= 0, `3(z0(·, c∗r), 0) 6= 0
отличает доказанную теорему от соответствующих теорем [2, c. 193; 3, c. 42]. Условие (7)
ослабляет аналогичные требования (3.34) из [3] и (6.58) из [2]. Кроме того, в отличие от
статьи [9] нами рассмотрен наиболее общий случай нелинейностей краевой задачи (1),
для которых
A2,0(t, x(t, ε))x(t, ε) 6= 0, `2,0(x(·, ε))x(·, ε) 6= 0.
Длина отрезка [0, ε∗], на котором применим метод простых итераций, может быть оцене-
на как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова [2, 5, 6], так и непосредственно
из условия сжимаемости оператора, определяемого системой (9), аналогично [8].
Пример. Условия доказанной теоремы выполняются для 2π-периодической задачи
для уравнения типа Дюффинга
y′′ + y = ε
(
y3
3
− y
)
+ ε2 sin t. (11)
Согласно принятым обозначениям, приходим к задаче о нахождении 2π-периодического
решения
z(t, ε) = col
(
z(a)(t, ε), z(b)(t, ε)
)
, z(a)(t, ε), z(b)(t, ε) ∈ C1[0, 2π], C[0, ε0],
дифференциального уравнения (1), в котором
A =
[
0 1
−1 0
]
, f(t) =
[
0
0
]
, Z(z, t, ε) =
1
3
[
0
(z(a))3 − 3z(a) + 3ε sin t
]
.
Нормальная (X(0) = I2) фундаментальная матрица
X(t) =
(
cos t sin t
− sin t cos t
)
определяет матрицу Q и ее ортопроекторы
Q =
(
0 0
0 0
)
, PQ =
(
1 0
0 1
)
, PQ∗ =
(
1 0
0 1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
268 С. М. ЧУЙКО, АН. А. БОЙЧУК, И. А. БОЙЧУК
Уравнение для порождающих амплитуд 2π-периодической задачи для для уравнения типа
Дюффинга
F (c0) =
π
4
−c(b)r
[(
c
(a)
r
)2
+
(
c
(b)
r
)2
− 4
]
c
(a)
r
[(
c
(a)
r
)2
+
(
c
(b)
r
)2
− 4
]
= 0
имеет бесконечное множество решений. Положим
(c(a)r )∗ = 0, (c(b)r )∗ = 2,
при этом
A1,0(t) =
(
0 0(
z
(a)
0 (t, c∗r)
)2
− 1 0
)
, A0,1(z0(t, c
∗
r)) =
(
0
sin t
)
.
Таким образом, имеет место неравенство PB∗
0
PQ∗
d
= PB∗
0
6= 0, в котором
B0 =
(
0 −2π
0 0
)
, B+
0 =
(
0 0
− 1
2π
0
)
, PB0 =
(
1 0
0 0
)
, PB∗
0
=
(
0 0
0 1
)
.
Далее вычисляем матрицу
G1(t) =
(
− cos t+ cos 3t 0
sin t− 3 sin 3t 0
)
и находим производные
A2,0(t, ξ) =
(
0 0
2z
(a)
0 (t, c∗0)ξ
(a) 0
)
, A1,1(t) =
(
0 0
0 0
)
, A0,2(z0(t, c
∗
0)) =
(
0
0
)
.
Поскольку для любого вектора ξ ∈ Rr выполнено условие (7)
PB∗
0
PQ∗
d
{`2,0(Xr(·)PB0ξ)Xr(·)− `K[A2,0(s,Xr(s)PB0ξ)Xr(s)](·)}PB0 = 0
и имеют место равенства PB∗
1
PB∗
0
PQ∗
d
= 0 и PB0PB1 = 0, согласно доказанной теореме
уравнение типа Дюффинга (11) в достаточно малой окрестности порождающего реше-
ния z0(t, c∗r) имеет единственное 2π-периодическое решение. Здесь матрица
B1 =
(
0 0
−π
4
0
)
и ее ортопроекторы
PB1 =
(
0 0
0 1
)
, PB∗
1
=
[
1 0
0 0
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 269
Таким образом, нами получено приближение к решению 2π-периодической задачи для
уравнения типа Дюффинга (11)
z(a)(t, ε) ≈ 2 sin t+
−11ε
24
sin t+
ε
12
sin 3t+
ε2
2 304
(−493 sin t− 156 sin 3t+ 8 sin 5t) +
+
ε3
110 592
(−12 971 sin t+ 534 sin 3t− 520 sin 5t+ 16 sin 7t) ,
при этом
z(b)(t, ε) = [z(a)(t, ε)]′.
Точность найденного приближения к решению периодической задачи для уравнения типа
Дюффинга (11) характеризует невязка
∆(ε) :=
∥∥∥∥dz(t, ε)dt
−A(t)z(t, ε)− εZ(z(t, ε), t, ε)
∥∥∥∥
C[0;2π]
.
В частности,
∆(0, 1) ≈ 9, 68 229× 10−6, ∆(0, 01) ≈ 1, 21 730× 10−9.
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — xiv + 317 p.
2. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
4. Boichuk A., Langerova M., Skorikova J. Solutions of linear impulsive differential systems bounded on the
entire rial axis // Adv. Difference Equat. — 2010. — 2010. — Article ID 494379. — 10 p.
5. Лыкова О. Б., Бойчук А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических
случаях // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 1. — С. 62 – 69.
6. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
7. Чуйко С. М. Слабонелинейная краевая задача в особом критическом случае // Укр. мат. журн. —
2009. — 61, № 4. — С. 548 – 562.
8. Чуйко А. С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи //
Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 2. — С. 278 – 288.
9. Чуйко С. М. Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае // Нелiнiйнi коливання. —
2010. — 13, № 1. — C. 115 – 132.
10. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
Получено 02.01.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
|