Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння Φ'(t) = βΦ(qt) + ζΦ'(qt).
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177121 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 291-313. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177121 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771212021-02-11T01:28:13Z Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння Φ'(t) = βΦ(qt) + ζΦ'(qt). We find new properties of solutions of the differential-functional equation Φ'(t) = βΦ(qt) + ζΦ'(qt). 2013 Article Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 291-313. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177121 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння Φ'(t) = βΦ(qt) + ζΦ'(qt). |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177121 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 291-313. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijodnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijodnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:08:26Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:08:26Z |
| _version_ |
1837726028640813056 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of solutions of the differential-functional equation Φ′(t) = βΦ(qt) + ζΦ′(qt).
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння Φ′(t) =
= βΦ(qt) + ζΦ′(qt).
В данной работе рассматривается уравнение
Φ′(t) = βΦ(qt) + ζΦ′(qt), (1)
где {β, ζ} ⊂ R, 0 < q < 1, частные случаи которого изучались многими математиками.
Так, в [1] исследовалось асимптотическое поведение аналитического решения уравнения
(1) при β = 1 и ζ = 0. Замечание в начале [2] указывает на возможность уточнения
полученной асимптотической формулы, а именно, на возможность вычисления предель-
ной периодической функции в [1] в явном виде (см. второй пример). В [3, 4] разработаны
методы для изучения асимптотических свойств решений широкого класса уравнений, в
частности уравнения (1) при ζ = 0, которые после небольшого обобщения позволят нам
установить некоторые результаты для уравнения (1). В [5] довольно исчерпывающе ис-
следованы асимптотические свойства решений уравнения (1) при ζ = 0. В [6] как част-
ный случай более общего уравнения получено представление решений уравнения (1) в
окрестности точки t = 0. Несмотря на изложенное и на широкие приложения, которые
находят такие уравнения в различных областях науки и техники (см. [7] и приведенную в
ней библиографию), многие вопросы теории дифференциально-функционального урав-
нения (1) изучены мало. Это прежде всего касается асимптотического поведения реше-
ний этого уравнения в окрестности особой точки t = +∞. В силу этого основной целью
данной работы является изучение уравнения (1) при достаточно общих предположениях
относительно коэффициентов β и ζ.
Выполним в уравнении (1) замену Φ(t) = y
(
ln t
ln q−1
)
:
y′(x) = eln q
−1·x+ln |β|+i arg β+ln ln q−1
y(x− 1) +
ζ
q
y′(x− 1), x =
ln t
ln q−1
.
Введем новые обозначения ln q−1
df
= a > 0, ln |β|+ i arg β + ln ln q−1
df
= b ∈ C, ζ
q
df
= c ∈ R:
y′(x) = eax+by(x− 1) + cy′(x− 1). (2)
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3 291
292 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
В [3, 5] вычислена функция
H(x)
df
=
1
2
a
(
x− a−1 log x
)2
+
(
1 + b+
1
2
a− ln a
)
x+
(
−1 + a−1 ln a− a−1b
)
log x−
− 1
2
a−2x−1 log2 x+ a−2(a+ b− ln a)x−1 log x,
в частности в [3] — как решение функционального уравнения
eH(x−1)−H(x)+ax+b
H ′(x)
= 1 +O
(
1
x2
)
, x → +∞.
Выполним в уравнении (2) замену y(x) = eH(x)z(x):
z′(x) = −H ′(x)z(x) + eH(x−1)−H(x)
{
eax+b +H ′(x− 1)c
}
×
× z(x− 1) + eH(x−1)−H(x)cz′(x− 1). (3)
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Для v+ 1 раз непрерывно дифференцируемого решения уравнения (3) име-
ет место оценка∣∣∣z(l)(x)
∣∣∣ ≤ K max
{
sup
x0−1≤s≤x0
|z(s)|, . . . , sup
x0−1≤s≤x0
|z(l)(s)|
}
logl x,
(4)
x ≥ x0 − 1 ≥ T, l = 0, v,
где K, T — некоторые постоянные.
Доказательство. Определим функцию ReH(x)
df
=H1(x) и для краткости обозначим
Re b
df
= b1. Выполним в уравнении (2) замену переменных y(x) = eH1(x)z1(x) и запишем
дифференциальное уравнение для z1(x) в интегральной форме
z1(x) = eH1(x0)−H1(x)
{
z1(x0)− eH1(x0−1)−H1(x0)cz1(x0 − 1)
}
+
+
x∫
x0
eH1(s−1)−H1(x)eas+bz1(s− 1) ds+ eH1(x−1)−H1(x)cz1(x− 1).
Запишем последнее уравнение следующим образом:
z1(x) = eH1(x0)−H1(x)
{
z1(x0)− eH1(x0−1)−H1(x0)cz1(x0 − 1)
}
+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)
eH1(s−1)−H1(s)+as+b1
H ′1(s)
eiIm bz1(s− 1) ds+
+ eH1(x−1)−H1(x)cz1(x− 1). (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 293
Как и H(x), функция H1(x) является решением функционального уравнения
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b1
H ′1(x)
= 1 +O
(
1
x2
)
, x → +∞.
Отсюда получаем
z1(x) = eH1(x0)−H1(x)
{
z1(x0)− eH1(x0−1)−H1(x0)cz1(x0 − 1)
}
+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)
(
1 +O
(
s−2
))
eiIm bz1(s− 1) ds+ eH1(x−1)−H1(x)cz1(x− 1).
Ограничим x0 ≤ x ≤ x0 + 1 и будем считать x0 достаточно большим, тогда
|z1(x)| ≤ eH1(x0)−H1(x)
{
|z1(x0)|+ eH1(x0−1)−H1(x0)|c||z1(x0 − 1)|
}
+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)(1 + Ls−2)|z1(s− 1)| ds+ eH1(x−1)−H1(x)|c||z1(x− 1)| ≤
≤ eH1(x0)−H1(x) sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+ eH1(x0−1)−H1(x)|c| sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s) ds(1 + Lx−20 ) sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+ eH1(x−1)−H1(x)|c|×
× sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)| = eH1(x0−1)−H1(x)|c| sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+ sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+
+
(
1− eH1(x0)−H1(x)
)
Lx−20 sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|+ eH1(x−1)−H1(x)|c| sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)| ≤
≤
(
1 + Lx−20 + 2eH1(x0−1)−H1(x0)|c|
)
sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|,
где L — некоторая константа. Легко показать, что при достаточно большом x0 выполня-
ется неравенство
H1(x0 − 1)−H1(x0) ≤ −
a
2
x0.
Тогда
sup
x0≤s≤x0+1
|z1(s)| ≤
(
1 + Lx−20 + 2e−
a
2
x0 |c|
)
sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|
или
|z1(x)| ≤
+∞∏
n=0
(
1 + L(T + n)−2 + 2e−
a
2
T |c|e−
a
2
n
)
sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|, x ≥ x0 ≥ T > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
294 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Дифференциальное уравнение для производной z(n)1 (x), v ≥ n ≥ 1, имеет вид
z
(n+1)
1 (x) = −H ′1(x)z
(n)
1 (x) +
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c +
+ neH1(x−1)−H1(x)(H ′1(x− 1)−H ′1(x))c
}
z
(n)
1 (x− 1) + eH1(x−1)−H1(x)×
× cz(n+1)
1 (x− 1)− nH ′′1 (x)z
(n−1)
1 (x) + n
d
dx
(
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b
)
z
(n−1)
1 (x− 1)+
+ n
d
dx
(
eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)
)
cz
(n−1)
1 (x− 1)+
+
n(n− 1)
2
d2
(dx)2
(
eH1(x−1)−H1(x)
)
cz
(n−1)
1 (x− 1)+
+
d̃n
(d̃x)n
(
−H ′1(x)z1(x) +
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c
}
×
× z1(x− 1) + eH1(x−1)−H1(x)cz′1(x− 1)
)
,
где символ
d̃n
(d̃x)n
обозначает сумму
dn
(dx)n
(
−H ′1(x)z1(x) +
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c
}
×
× z1(x− 1) + eH1(x−1)−H1(x)cz′1(x− 1)
)
без слагаемых с производными z(k)1 , k = n− 1, n, n+ 1. Коэффициенты перед производ-
ными z(k)1 , 0 ≤ k ≤ n− 2, в выражении
d̃n
(d̃x)n
(
−H ′1(x)z1(x) +
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c
}
×
× z1(x− 1) + eH1(x−1)−H1(x)cz′1(x− 1)
)
(6)
являются суммами функций
H
(1+k)
1 (x),
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c
}(k)
,
{
eH1(x−1)−H1(x)c
}min{n,k+1}
, n ≥ k ≥ 2.
Отметим, что H(1+l)
1 (x) = O
(
1
xl
)
, l ≥ 2, и
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b
}(k)
= O
(
1
xk−1
)
, k ≥ 1,
x → +∞. Таким образом, все коэффициенты в формуле (6) имеют свойствоO
(
1
x
)
, x →
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 295
→ +∞.Легко показать, чтоH ′′1 (x) = a+O
(
1
x
)
и
d
dx
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b
}
= a+O
(
1
x
)
,
x → +∞. Учитывая все изложенное выше, дифференциальное уравнение для z
(n)
1 (x)
можно записать в виде
z
(n+1)
1 (x) = −H ′1(x)z
(n)
1 (x) +
{
eH1(x−1)−H1(x)+ax+b + eH1(x−1)−H1(x)H ′1(x− 1)c+
+neH1(x−1)−H1(x)(H ′1(x− 1)−H ′1(x))c
}
z
(n)
1 (x− 1) + eH1(x−1)−H1(x)×
× cz(n+1)
1 (x− 1)− na
{
z
(n−1)
1 (x)− z(n−1)1 (x− 1)
}
+
+ fn
(
x, z1(x− 1), z1(x), . . . , z
(n−1)
1 (x− 1), z
(n−1)
1 (x)
)
, (7)
где функция fn является линейной комбинацией своих аргументов z
(j)
1 (x − 1), z
(j)
1 (x),
j = 0, n− 1, с коэффициентами вида O
(
1
x
)
, x → +∞. Из (7) получаем интегральное
уравнение
z
(n)
1 (x) = eH1(x0)−H1(x)
{
z
(n)
1 (x0)− eH1(x0−1)−H1(x0)cz
(n)
1 (x0 − 1)
}
+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)eH1(s−1)−H1(s)+as+bz
(n)
1 (s− 1) ds+ eH1(x−1)−H1(x)cz
(n)
1 (x− 1)+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)neH1(s−1)−H1(s)(H ′1(s− 1)−H ′1(s))cz
(n)
1 (s− 1) ds−
− nae−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)
(
z
(n−1)
1 (s)− z(n−1)1 (s− 1)
)
ds+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)fn(s, z1(s− 1), z1(s), . . . , z
(n−1)
1 (s− 1), z
(n−1)
1 (s)) ds.
Первые две строки этого дифференциального уравнения совпадают с уравнением (5) с
точностью до порядка производной, поэтому для них можно повторить рассуждения по
оценке модуля |z1(x)| на отрезке x0 ≤ x ≤ x0 + 1 при достаточно большом x0:∣∣∣z(n)1 (x)
∣∣∣ ≤ (1 + Lx−20 + 2e−
a
2
x0 |c|
)
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)ne
H1(s−1)−H1(s)
(
1− H ′1(s− 1)
H ′1(s)
)
|c|
∣∣∣z(n)1 (s− 1)
∣∣∣ ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
296 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
+ nae−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)
1
H ′1(s)
∣∣∣z(n−1)1 (s)− z(n−1)1 (s− 1)
∣∣∣ ds+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s)
1
H ′1(s)
∣∣∣fn (s, z1(s− 1), z1(s), . . . , z
(n−1)
1 (s− 1), z
(n−1)
1 (s)
)∣∣∣ ds.
При больших x выполняется неравенство H ′1(x) ≥ a
2
x. Предположим, что
∣∣∣z(l)1 (x)
∣∣∣ ≤ K max
{
sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|, . . . , sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(l)1 (s)
∣∣∣} logl x,
(8)
x ≥ x0 − 1 ≥ T, l = 0, n− 1,
где K ≥ 1, T — некоторые постоянные (T — число, которое можно при необходимости
увеличивать), и обозначим
K max
{
sup
x0−1≤s≤x0
|z1(s)|, . . . , sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n−1)1 (s)
∣∣∣} df
=M.
Отсюда получаем∣∣∣z(n)1 (x)
∣∣∣ ≤ (1 + Lx−20 + 2e−
a
2
x0 |c|
)
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s) ds ne
−a
2
x0 |c| sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+
+ nae−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s) ds
1
a
2 x0
2M logn−1(x0 + 1)+
+ e−H1(x)
x∫
x0
eH1(s)H ′1(s) ds
M
x0
logn−1(x0 + 1) ≤
≤
(
1 + Lx−20 + (2 + n)e−
a
2
x0 |c|
)
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+ (4n+ 1)M
logn−1(x0 + 1)
x0
.
Таким образом, выполняется рекуррентное неравенство
sup
x0≤s≤x0+1
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣ ≤ (1 + Lx−20 + (2 + n)e−
a
2
x0 |c|
)
×
× sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+ (4n+ 1)M
logn−1(x0 + 1)
x0
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 297
Для краткости обозначим supx−1≤s≤x
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣ df= f(x), 1 + Lx−2 + (2 + n)e−
a
2
x|c| df= k(x) и с
учетом того, что x0 ≥ T, запишем следствие из последнего неравенства в новых обозна-
чениях
f(x0 + 1) ≤ k(x0)f(x0) + (4n+ 1)
(
1 +
1
T
)
M
logn−1(x0 + 1)
x0 + 1
.
Теперь, зафиксировав достаточно большое T и использовав предположение (8), мы мо-
жем повторить только что изложенные рассуждения для любого отрезка x0 + m ≤ x ≤
≤ x0 +m+ 1, m ≥ 0, и получить аналогичную оценку
f(x0 +m+ 1) ≤ k(x0 +m)f(x0 +m) + (4n+ 1)
(
1 +
1
T
)
M
logn−1(x0 +m+ 1)
x0 +m+ 1
.
Отсюда следует
f(x0 +m+ 1) ≤
m∏
l=0
k(x0 + l) f(x0) + (4n+ 1)
(
1 +
1
T
)
M
m+1∑
j=1
m∏
l=j
k(x0 + l)
logn−1(x0 + j)
x0 + j
,
где
∏m
l=j k(x0 + l) при j = m+ 1 необходимо считать равным 1. Поскольку произведение
1 ≤
∏+∞
l=0 k(x0 + l) < +∞, последнее неравенство можно продолжить:
f(x0 +m+ 1) ≤
+∞∏
l=0
k(x0 + l)
f(x0) + (4n+ 1)
(
1 +
1
T
)
M
m+1∑
j=1
logn−1(x0 + j)
x0 + j
.
Оценим сумму
m+1∑
j=1
logn−1(x0 + j)
x0 + j
≤
x0+m+1∫
x0
logn−1(s)
s
ds ≤ logn(x0 +m+ 1)
n
.
Тогда
f(x0 +m+ 1) ≤
+∞∏
l=0
k(x0 + l)
{
f(x0) + 5
(
1 +
1
T
)
M logn(x0 +m+ 1)
}
.
Распишем функцию f(x) и константу M согласно их определению и продолжим оценку:
sup
x0+m≤s≤x0+m+1
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣ ≤ +∞∏
l=0
k(x0 + l)
(
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(n)1 (s)
∣∣∣+
+5
(
1 +
1
T
)
K max
{
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(j)1 (s)
∣∣∣∣∣∣∣ j = 0, n− 1
}
logn (x0 +m+ 1)
)
≤
≤
+∞∏
l=0
k(T + l)
(
1 + 5
(
1 +
1
T
)
K logn(x0 +m+ 1)
)
max
{
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(j)1 (s)
∣∣∣∣∣∣∣ j = 0, n
}
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
298 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
≤
+∞∏
l=0
k(T + l)
(
1
logn(T )
+ 5
(
1 +
1
T
)
K
)
×
× logn(x0 +m+ 1) max
{
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(j)1 (s)
∣∣∣∣∣∣∣ j = 0, n
}
.
Таким образом, для x0 +m ≤ x ≤ x0 +m+ 1 получаем неравенство
∣∣∣z(n)1 (x)
∣∣∣ ≤ +∞∏
l=0
k(T + l)
(
1
logn(T )
+ 5
(
1 +
1
T
)
K
)
×
× logn(T + 1)
logn(T )
logn(x) max
{
sup
x0−1≤s≤x0
∣∣∣z(j)1 (s)
∣∣∣∣∣∣∣ j = 0, n
}
.
Поскольку m ≥ 0 произвольно, неравенство (8) доказано для l = n, а следовательно,
и для l = 0, v.
Если z(x) — решение уравнения (3), и поэтому выполняется тождество
y(x) = eH(x)z(x) = eReH(x)eiImH(x)z(x),
где y(x) — решение уравнения (2), то равенство
z1(x) = eiImH(x)z(x) = eiImbx−ia
−1Imb log x+i 1
2
Im(γ2)a−1+ia−2Imbx−1 log xz(x)
позволяет заменить в оценке (8) функцию z1(x) функцией z(x).
Теорема доказана.
Покажем предельную периодичность решений.
Теорема 2. Для v+3 раза непрерывно дифференцируемого решения z(x) уравнения (3)
существует единственная v раз непрерывно дифференцируемая периодическая функ-
ция ψ(r) с периодом 1 такая, что∣∣∣∣∣∣ψ(n)
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− z(n)(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
logn+2 x
x
,
(9)
x ≥ x1 − 1 ≥ T > 0, n = 0, v,
где L, T — некоторые постоянные.
Доказательство. Перепишем уравнение (3):
1
H ′(x)
z′(x) + z(x) = z(x− 1) +
(
eH(x−1)−H(x)+ax+b
H ′(x)
− 1
)
z(x− 1)+
+ eH(x−1)−H(x)H
′(x− 1)
H ′(x)
cz(x− 1) + eH(x−1)−H(x) 1
H ′(x)
cz′(x− 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 299
Применим формулу Тейлора для суммы
z(x) + z′(x)
1
H ′(x)
= z
(
x+
1
H ′(x)
)
− 1
2
z′′
(
x+ θ(x)
1
H ′(x)
)(
1
H ′(x)
)2
, 0 < θ(x) < 1,
и подставим результат в уравнение
z
(
x+
1
H ′(x)
)
− z(x− 1) =
1
2
z′′
(
x+ θ(x)
1
H ′(x)
)(
1
H ′(x)
)2
+
+
(
eH(x−1)−H(x)+ax+b
H ′(x)
− 1
)
z(x− 1)+
+ eH(x−1)−H(x)H
′(x− 1)
H ′(x)
cz(x− 1)+
+ eH(x−1)−H(x) 1
H ′(x)
cz′(x− 1).
Из теоремы 1 и определения функции H(x) следует неравенство
∣∣∣∣z(x+
1
H ′(x)
)
− z(x− 1)
∣∣∣∣ ≤ L1 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, 1, 2
}
log2 x
x2
,
(10)
x ≥ x1 ≥ T > 0,
где L1, T — некоторые постоянные. Снова отметим, что константу T можно при необхо-
димости увеличивать.
Определим функцию r = η(x) = x −
∫ x
T
ds
H ′(s)
с производной
dr
dx
→ 1, x → +∞.
Положив r = η(x), x = ξ(r), определим числа r0 = 1+η(x0−1) и x∗ = ξ(r0) такие, что x∗−
−x0 =
∫ x∗
x0−1
ds
H ′(s)
.Поскольку
d
dx
(
1
H ′(x)
)
= O
(
1
x2
)
, x → +∞, это же свойство имеет
и разность x∗ − x0 −
1
H ′(x0)
= O
(
1
x20
)
, x0 → +∞. С помощью последнего замечания,
теоремы 1 (для производной z′(x)) и неравенства (10) оценим при x0 ≥ x1 разность
|z(ξ(r0))− z(ξ(r0 − 1))| = |z(x∗)− z(x0 − 1)| ≤
∣∣∣∣z(x∗)− z(x0 +
1
H ′(x0)
)∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣z(x0 +
1
H ′(x0)
)
− z(x0 − 1)
∣∣∣∣ ≤
≤ L2 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, 1, 2
}
log2(x0 − 1)
(x0 − 1)2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
300 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где L2 — некоторая константа. Из сходимости интеграла
∫ +∞
1
log2 x
x2
dx < +∞ следует
существование предела limn→+∞ z(ξ(r + n))
df
=ψ(r) и оценка
|ψ(r0 − 1)− z(x0 − 1)| ≤ L2 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, 1, 2
} +∞∫
x0−2
log2 s
s2
ds
или
|ψ(η(x))− z(x)| ≤ L2 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, 1, 2
} +∞∫
x−1
log2 s
s2
ds, x ≥ x1 − 1.
Вычислив интеграл в правой части, получим неравенство (9) для n = 0. Функция ψ(r)
периодическая с периодом 1. Если предположить разрыв функции ψ(r) в точке r = v,
то существует последовательность точек vn такая, что 0 < |v − vn| → 0, n → +∞, и
|ψ(v)− ψ(vn)| ≥ ε > 0. Но для больших r выполняется неравенство |ψ(r)− z(ξ(r))| ≤ ε
4
,
следовательно, существует целое число m такое, что
|z(ξ(v+m))−z(ξ(vn+m))| ≥ |ψ(v)−ϕ(vn)|−|ψ(v)−z(ξ(v+m))|−|z(ξ(vn+m))−ψ(vn)| ≥ ε
2
для всех n. Последовательность vn + m → v + m, n → +∞, и последнее неравенство
означает разрыв суперпозиции z(ξ(r)) в точке r = v + m. Полученное противоречие
доказывает непрерывность функции ψ(r).
Дифференциальное уравнение для z(n)(x) полностью совпадает с уравнением (7) для
z
(n)
1 (x), если в последнем заменить функции H1(x) и z1(x) функциями H(x) и z(x) соот-
ветственно. Запишем его в виде
z(n+1)(x)
1
H ′(x)
+ z(n)(x) = z(n)(x− 1) +
{
eH(x−1)−H(x)+ax+b
H ′(x)
− 1+
+eH(x−1)−H(x)H
′(x− 1)
H ′(x)
c+ neH(x−1)−H(x)
(
H ′(x− 1)
H ′(x)
− 1
)
c
}
z(n)(x− 1)+
+ eH(x−1)−H(x) 1
H ′(x)
cz(n+1)(x− 1)− na 1
H ′(x)
{
z(n−1)(x)− z(n−1)
(
x+
1
H ′(x)
)}
−
− na 1
H ′(x)
{
z(n−1)
(
x+
1
H ′(x)
)
− z(n−1)(x− 1)
}
+
+
1
H ′(x)
fn
(
x, z(x− 1), z(x), . . . , z(n−1)(x− 1), z(n−1)(x)
)
. (11)
Снова применим формулу Тейлора к сумме
z(n)(x) + z(n+1)(x)
1
H ′(x)
= z(n)
(
x+
1
H ′(x)
)
− 1
2
z(n+2)
(
x+ θ(x)
1
H ′(x)
)(
1
H ′(x)
)2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 301
0 < θ(x) < 1,
и подставим результат в уравнение
z(n)
(
x+
1
H ′(x)
)
− z(n)(x− 1) =
1
2
z(n+2)
(
x+ θ(x)
1
H ′(x)
)(
1
H ′(x)
)2
+
+
{
eH(x−1)−H(x)+ax+b
H ′(x)
− 1 + eH(x−1)−H(x)H
′(x− 1)
H ′(x)
c+
+ neH(x−1)−H(x)
(
H ′(x− 1)
H ′(x)
− 1
)
c
}
z(n)(x− 1) + eH(x−1)−H(x) 1
H ′(x)
cz(n+1)(x− 1)−
− na 1
H ′(x)
{
z(n−1)(x)− z(n−1)
(
x+
1
H ′(x)
)}
−
− na 1
H ′(x)
{
z(n−1)
(
x+
1
H ′(x)
)
− z(n−1)(x− 1)
}
+
+
1
H ′(x)
fn
(
x, z(x− 1), z(x), . . . , z(n−1)(x− 1), z(n−1)(x)
)
.
Предположим, что∣∣∣∣z(n−1)(x+
1
H ′(x)
)
− z(n−1)(x− 1)
∣∣∣∣ ≤ L3 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 1
}
logn+1 x
x2
,
x ≥ x1 ≥ T > 0,
где L3, T — некоторые постоянные. Тогда из теоремы 1, определения функции H(x) и
последнего тождества получаем∣∣∣∣z(n)(x+
1
H ′(x)
)
− z(n)(x− 1)
∣∣∣∣ ≤ L4 max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
logn+2 x
x2
,
(12)
x ≥ x1 ≥ T > 0,
где L4, T — некоторые постоянные. Следовательно, неравенство (12) выполняется для
всех n = 0, v.
Повторяя изложенные выше рассуждения для случая n = 0, можно показать суще-
ствование непрерывных периодических функций ψn(r) с периодом 1 таких, что∣∣∣∣∣∣ψn
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− z(n)(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
logn+2 x
x
,
x ≥ x1 − 1 ≥ T > 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
302 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где L, T — некоторые постоянные. Из последнего неравенства следуют ограниченность
функций z(n)(x), n = 0, v, и равенство
ρ∫
λ
ψn(r) dr = ψn−1(ρ)− ψn−1(λ)
для любых λ и ρ. Последнее означает, что ψ′n = ψn+1, n = 0, v − 1.
Теорема доказана.
Уточним первую теорему.
Теорема 3. Для v + 3 раза непрерывно дифференцируемого решения z(x) уравнения
(3) имеет место оценка∣∣∣z(n)(x)
∣∣∣ ≤ K max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
, x ≥ x1 − 1 ≥ T, n = 0, v,
где K, T — некоторые постоянные.
Доказательство. В неравенстве (9) перейдем к аргументу x = ξ(r) ≥ ξ(r1 − 1) =
= x1 − 1 ≥ T, r ≥ r1 − 1, и, считая T достаточно большим (в дальнейшем эту величину
при необходимости можно еще увеличивать), получаем∣∣∣ψ(n)(r)− z(n)(ξ(r))
∣∣∣ ≤ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
. (13)
Оценим с помощью теоремы Лагранжа разность ξ(r1)− ξ(r1 − 1) для всех r1 ≥ η(T ) + 1:
1 < ξ(r1)− x1 + 1 = ξ(r1)− ξ(r1 − 1) = ξ′(r1 − θ(r1)) =
1
η′(ξ(r1 − θ(r1)))
=
= 1 +
1
H ′(ξ(r1 − θ(r1)))− 1
≤ 1 +
1
H ′(x1 − 1)− 1
≤
≤ 1 +
M
x1
, 0 < θ(r1) < 1, (14)
где M — некоторая константа.
Обозначим символом r∗ число r1 − 1 < r∗ < r1 такое, что ξ(r∗) = x1, и оценим
функцию ψ(n)(r) последовательно на отрезках [r1 − 1, r∗] и [r∗, r1]. При r1 − 1 ≤ r ≤ r∗
функция x1 − 1 = ξ(r1 − 1) ≤ ξ(r) ≤ ξ(r∗) = x1, и из (13) получаем∣∣∣ψ(n)(r)
∣∣∣ ≤ |z(n)(ξ(r))|+ ∣∣∣ψ(n)(r)− z(n)(ξ(r))
∣∣∣ ≤ sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(n)(s)∣∣∣+
+ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
≤
≤ (1 + L) max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 303
При r∗ ≤ r ≤ r1, согласно (14), функция x1 = ξ(r∗) ≤ ξ(r) ≤ ξ(r1) ≤ x1 +
M
x1
, и из
теоремы Лагранжа, (4), (13) получаем∣∣∣ψ(n)(r)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣z(n)(x1)∣∣∣+
∣∣∣z(n)(ξ(r))− z(n)(x1)∣∣∣+
∣∣∣ψ(n)(r)− z(n)(ξ(r))
∣∣∣ ≤
≤ sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(n)(s)∣∣∣+
∣∣∣z(n+1) (x1 + θ(ξ(r)) {ξ(r)− x1})
∣∣∣ (ξ(r)− x1)+
+ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
≤ sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(n)(s)∣∣∣+
+K max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 1
}
×
× logn+1 (x1 + θ (ξ(r)) {ξ(r)− x1}) (ξ(r)− x1) +
+ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
≤ sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(n)(s)∣∣∣+
+K max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 1
}
logn+1 (x1 + 1)
M
x1
+
+ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
≤
≤ (1 +K + L) max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
, 0 < θ(ξ(r)) < 1.
Итак, для r1 − 1 ≤ r ≤ r1∣∣∣ψ(n)(r)
∣∣∣ ≤ (1 +K + L) max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
,
а следовательно, и для всех r.
Использовав последнее неравенство и (13), оценим функцию z(n)(x) для x ≥ x1 − 1 ≥
≥ T :
∣∣∣z(n)(x)
∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣ψ(n)
x− x∫
T
ds
H ′(s)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣z(n)(x)− ψ(n)
x− x∫
T
ds
H ′(s)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ (1 +K + 2L) max
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 2
}
, n = 0, v.
Теорема доказана.
Если в доказательстве второй теоремы использовать вместо первой теоремы третью,
то результат можно уточнить.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
304 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Теорема 4. Для v+ 5 раз непрерывно дифференцируемого решения z(x) уравнения (3)
существует единственная v раз непрерывно дифференцируемая периодическая функ-
ция ψ(r) с периодом 1 такая, что∣∣∣∣∣∣ψ(n)
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− z(n)(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤ Lmax
{
sup
x1−1≤s≤x1
∣∣∣z(l)(s)∣∣∣∣∣∣∣ l = 0, n+ 4
}
1
x
,
x ≥ x1 − 1 ≥ T > 0, n = 0, v,
где L, T — некоторые постоянные.
Следующая теорема показывает в некотором смысле точность полученных выше ре-
зультатов.
Теорема 5. Множество предельных периодических функций — решений уравнения (3)
— всюду плотно в пространстве непрерывных периодических функций с периодом 1 и
равномерной нормой.
Доказательство. На отрезке [0,1] непрерывную периодическую функцию χ(x) можно
равномерно приблизить тригонометрическим полиномом ω(x), который в свою очередь,
как целую функцию, можно равномерно приблизить полиномом Эрмита p(x).Сколь угод-
но мало изменяя последний (сдвигая вправо начальный отрезок [Q,Q + 1]), мы можем
построить бесконечно дифференцируемую начальную функцию g(x−Q), которая удов-
летворяет некоторому конечному числу начальных условий «склейки», необходимых для
построения достаточно гладкого решения дифференциального уравнения нейтрального
типа (3) на всей оси. В случае c = 0 эти условия необходимы для построения реше-
ния, определенного на любой фиксированной полуоси. А именно, в последнем случае
(подробнее см. [3]) начальную функцию необходимо продолжить как можно дальше вле-
во от начального отрезка, используя дифференциальное уравнение с запаздыванием как
функциональное, например на отрезок [Q−m,Q−m+ 1], после этого нужно с помощью
конечного числа шагов, двигаясь схожим образом справа налево, построить решение,
определенное на заданной полуоси и на отрезке [Q−m,Q−m+ 1] достаточно близкое к
функции g(x−Q). Это позволит получить нужную близость решения и функции g(x−Q)
вместе с конечным числом производных на отрезке [Q,Q+ 1]. Дальнейшие рассуждения
в обоих случаях аналогичны: близость начальной функции и ее производных к фиксиро-
ванной функции p(x) означает их ограниченность, а следовательно, возможность приме-
нения теоремы 4 на начальном отрезке [Q,Q+ 1].
Формализируем изложенную выше схему доказательства. Пусть для некоторого ε >
> 0 выполняются неравенства sup0≤x≤1 |χ(x)−ω(x)| < ε и sup0≤x≤1 |ω(x)−p(x)| < ε, при-
чем близость полинома Эрмита p(x) и тригонометрического полинома ψ(x) достигается
благодаря равенствам p(m)(0) = ω(m)(0) и p(m)(1) = ω(m)(1), m = 0, v, где v — доста-
точно большое целое число. Определим начальный отрезок [Q,Q + 1], на котором мы
будем строить начальную функцию g(x−Q), следующим условием: Q−
∫ Q
T
ds
H ′(s)
= N,
где N — натуральное число. Величину Q мы будем несколько раз увеличивать, сохраняя
справедливыми предыдущие рассуждения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 305
Приравняем g(m)(0) = p(m)(0), m = 0, 5; g(5)(1) = p(5)(1) и запишем условия «склей-
ки», необходимые для начальной функции 5 раз непрерывно дифференцируемого реше-
ния уравнения (3):
g(n+1)(1)
1
H ′(Q+ 1)
+ g(n)(1) = p(n)(0) +
{
eH(Q)−H(Q+1)+aQ+a+b
H ′(Q+ 1)
− 1+
+ eH(Q)−H(Q+1) H ′(Q)
H ′(Q+ 1)
c+ neH(Q)−H(Q+1)
(
H ′(Q)
H ′(Q+ 1)
− 1
)
c
}
p(n)(0)+
+ eH(Q)−H(Q+1) 1
H ′(Q+ 1)
cp(n+1)(0)− na 1
H ′(Q+ 1)
{
g(n−1)(1)− p(n−1)(0)
}
+
+
1
H ′(Q+ 1)
fn
(
Q+ 1, p(0), g(1), . . . , p(n−1)(0), g(n−1)(1)
)
, n = 0, 4.
Поскольку в последнем уравнении g(5)(1) = p(5)(1), мы получаем неоднородную систему
линейных уравнений относительно искомых g(n)(1), n = 0, 4. Запишем ее в векторной
форме
(E + o(1))~g = (E + o(1)) ~p+ ~d,
где E — единичная матрица размера 5 × 5; символом o(1) обозначены матрицы, стре-
мящиеся к нулю при Q → +∞; искомый вектор ~g =
(
g(1), g(1)(1), . . . , g(4)(1)
)T
, вектор
~p =
(
p(0), p(1)(0), . . . , p(4)(0)
)T
, неоднородность ~d → 0, Q → +∞. Понятно, что решение
этой системы ~g → ~p, Q → +∞. Поэтому начальную функцию g(x − Q) можно полу-
чить из полинома p(x − Q), если заменить шесть условий его построения следующими:
p(m)(1) = g(m)(1), m = 0, 4. Поскольку g(x) стремится к p(x) при Q → +∞, g(x) и четыре
его производные ограничены на отрезке [0,1] некоторой константой M равномерно по
Q ≥ Q0, где Q0 — некоторая постоянная.
Из теоремы 4 для начальной функции g(x−Q) и предельной периодической функции
ψ(r) получаем неравенство
∣∣∣∣∣∣ψ
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− g(x−Q)
∣∣∣∣∣∣ ≤ LM
Q
< ε,
а из теоремы 3 — оценку∣∣∣∣∣∣ψ
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− ψ(x−Q+N)
∣∣∣∣∣∣ ≤ KM
x∫
Q
ds
H ′(s)
< ε, Q+ 1 ≥ x ≥ Q > 0,
при достаточно большом Q.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
306 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Окончательно при достаточно большом Q имеем
|χ(x−Q)− ψ(x−Q)| ≤ |χ(x−Q)− ω(x−Q)|+ |ω(x−Q)− p(x−Q)|+
+ |p(x−Q)− g(x−Q)|+
∣∣∣∣∣∣g(x−Q)− ψ
x− x∫
T
ds
H ′(s)
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣ψ
x− x∫
T
ds
H ′(s)
− ψ(x−Q+N)
∣∣∣∣∣∣ < 5ε
для Q+ 1 ≥ x ≥ Q.
Теорема доказана.
Следующий пример показывает, что из равенства нулю предельной периодической
функции не следует равенство нулю решения. Возможно, такое решение единственное.
Пример 1. Для уравнения (1), предварительно заменив t на q−1t и переписав уравнение
с помощью формулы вариации произвольных постоянных в интегральной форме, легко
доказать с помощью отображения сжатия следующий факт. Если
β
ζ
> 0 и
∣∣∣∣qζ
∣∣∣∣ < 1
3
, то
Φ(t) =
∑+∞
k=0Φke
−β
ζ
q−kt
, где Φk =
q−k+1
ζ (q−k − 1)
Φk−1, k ≥ 1, Φ0 произвольно, будет един-
ственным ненулевым ограниченным на отрезке [1,+∞) решением уравнения (1). Это ре-
шение не имеет нулей на интервале (0,+∞).
Во втором примере будет явно вычислена предельная периодическая функция целого
решения и последовательно выведена асимптотическая формула. Для удобства чтения
запишем уравнение (1) в новых обозначениях
f ′(z) = bf(qz) + cf ′(qz), (15)
где {b, c} ⊂ R, 0 < q < 1.
Пример 2. Сначала предположим, что |bc−1q| > 1, и выполним в уравнении (15) заме-
ну переменных f(z) =
∫ +∞
−∞
u(x)ezq
xi
dx:
u(x)qxi = bu(x+ i) + cu(x+ i)q(x+i)i.
Справедливость выполненных преобразований станет понятной позднее. Отсюда полу-
чаем
u(x) = u(x− i) q
(x−i)i
b
1
1 + c
bq q
(x−i)i .
Определим функцию
U(t) =
+∞∏
h=0
1
1 + c
bq q
ht
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 307
которая голоморфна в круге |t| < |bc−1q|, а также удовлетворяет уравнению
U(t) =
1
1 + c
bq t
U(qt), (16)
и выполним замену u(x) = U(q(x−i)i)v(x):
v(x) = v(x− i)q
(x−ik−i)i
b
.
Подставляя в уравнение формулу v(x) = eAx
2+Bx+C , находим
v(x) = e−
1
2
ln q−1x2+(2πn−arg b)x+i{ 1
2
ln q−(k+1) ln q+ln |b|}x, n ∈ Z,
т. е.
f(z) =
+∞∫
−∞
e−
1
2
ln q−1x2+(2πn−arg b)x+i{ln |b|− 1
2
ln q}xU
(
qqxi
)
ezq
xi
dx.
При c = 0 обозначим решение f(z) символом f1(z). В этом случае функция U(t) ≡ 1, а
f1(z) является решением уравнения
f ′1(z) = bf1(qz).
Поскольку функция U(t) голоморфна в круге |t| <
∣∣bc−1q∣∣ , имеет место равенство
U
(
qqxi
)
=
+∞∑
h=0
Ahq
hehxi ln q,
где коэффициентыAh определяются подстановкой в функциональное уравнение (16) ря-
да Тейлора с центром в нуле функции U(t) и равны
Ah =
(
− c
bq
)h h∏
k=1
1
1− qk
, h ≥ 1, A0 = 1.
Подставляя этот ряд в интегральную формулу f(z), получаем
f(z) =
+∞∑
h=0
Ahq
1
2
h2+ 1
2
hbh
+∞∫
−∞
e−
1
2
ln q−1x2+(2πn−arg b)x+i{ln |b|− 1
2
ln q}xe(qhz)qxi dx =
=
+∞∑
h=0
Ahq
1
2
h2+ 1
2
hbhf1
(
qhz
)
=
+∞∑
h=0
(−c)hq
1
2
h2− 1
2
h
h∏
k=1
1
1− qk
f1
(
qhz
)
, (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
308 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где
∏0
k=1
1
1− qk
df
= 1. Подстановка формулы (17) в уравнение (15) показывает, что если
функция f1(z) является целым решением уравнения (15) при c = 0, то функция f(z) —
целое решение уравнения (15) при любых b и c.
Вычислим ряд Тейлора функции f1(z) с центром в нуле, подставив его в уравнение
f ′1(z) = bf1(qz):
f1(z) =
+∞∑
n=0
bnq
(n−1)n
2
n!
zn.
Вынесем из этого ряда произвольное слагаемое
f1(z) =
bnq
(n−1)n
2
n!
zn
+∞∑
k=−n
q
1
2
k2bk
(
qn−
1
2 z
n
)k
n!nk
(n+ k)!
.
Определим функцию
θ(t)
df
=
+∞∑
k=−∞
q
1
2
k2bktk
и запишем
f1(z) =
bnq
(n−1)n
2 zn
n!
θ
(
qn−
1
2 z
n
)
+
+∞∑
k=−n
q
1
2
k2bk
(
qn−
1
2 z
n
)k (
n!nk
(n+ k)!
− 1
)
−
−
+∞∑
k=n+1
q
1
2
k2b−k
(
qn−
1
2 z
n
)−k .
Полагаем z ≥ 1 и
q−(n−1)n ≤ z < q−n(n+ 1), n ≥ 1,
т. е.
q
1
2 ≤ qn−
1
2 z
n
< q−
1
2
(
1 +
1
n
)
≤ 2q−
1
2 .
Тогда∣∣∣∣∣∣
+∞∑
k=n+1
q
1
2
k2b−k
(
qn−
1
2 z
n
)−k∣∣∣∣∣∣ ≤
+∞∑
k=n+1
q
1
2
k2 |b|−kq−
1
2
k =
= q
1
2
n2+
(
ln |b|
ln q−1−
1
2
)
n
+∞∑
k=1
qnkq
1
2
k2+
(
ln |b|
ln q−1−
1
2
)
k ≤
≤ q
1
2
n2+
(
ln |b|
ln q−1+
1
2
)
n
+∞∑
k=1
q
1
2
k2+
(
ln |b|
ln q−1−
1
2
)
k → 0, n → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 309
Положим
λk =
n!nk
(n+ k)!
=
{(
1 +
1
n
)(
1 +
2
n
)
. . .
(
1 +
k
n
)}−1
, k > 0,{(
1 +
1
n− 1
)(
1 +
2
n− 2
)
. . .
(
1 +
|k| − 1
n− |k|+ 1
)}−1
, k < 0,
следовательно, в обоих случаях для k = 0 получаем неравенства
0 < λk ≤ 1, |λk − 1| ≤ 1.
Поскольку ex ≥ 1 + x для всех действительных x, то
λk ≥
e−{
1
n
+ 2
n
+...+ k
n} ≥ e−
k2
n ≥ 1− k2
n
≥ 1− k2
n− |k|
, k > 0,
e
−
{
1
n−1
+ 2
n−2
+...+
|k|−1
n−|k|+1
}
≥ e
− (|k|−1)2
n−|k|+1 ≥ 1− k2
n− |k|
, k < 0,
и λ0 = 1.Поэтому для |k| ≤ n
1
3 и достаточно больших z (или n) выполняется неравенство∣∣∣∣ n!nk
(n+ k)!
− 1
∣∣∣∣ ≤ 2n−
1
3 .
Далее∣∣∣∣∣∣
+∞∑
k=−n
q
1
2
k2bk
(
qn−
1
2 z
n
)k (
n!nk
(n+ k)!
− 1
)∣∣∣∣∣∣ ≤
∑
|k|≤n
1
3
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k| ∣∣∣∣ n!nk
(n+ k)!
− 1
∣∣∣∣+
+
∑
|k|>n
1
3
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k| ∣∣∣∣ n!nk
(n+ k)!
− 1
∣∣∣∣ .
Оценим первое слагаемое
∑
|k|≤n
1
3
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k| ∣∣∣∣ n!nk
(n+ k)!
− 1
∣∣∣∣ ≤ 2n−
1
3
+∞∑
k=−∞
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k|
→ 0, n → +∞,
и второе
∑
|k|>n
1
3
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k| ∣∣∣∣ n!nk
(n+ k)!
− 1
∣∣∣∣ ≤ ∑
|k|>n
1
3
q
1
2
k2 |b|k
(
2q−
1
2
)|k|
=
=
+∞∑
l=0
q
1
2
(
n
1
3+τ+l
)2
|b|n
1
3+τ+l
(
2q−
1
2
)n 1
3+τ+l
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
310 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
+
+∞∑
l=0
q
1
2
(
n
1
3+τ+l
)2
|b|−
(
n
1
3+τ+l
) (
2q−
1
2
)n 1
3+τ+l
≤
≤ q
1
2
n
2
3 |b|n
1
3
(
2q−
1
2
)n 1
3+1
max
s∈[0,1]
|b|s
+∞∑
l=0
q
1
2
l2 |b|l
(
2q−
1
2
)l
+
+ q
1
2
n
2
3 |b|−n
1
3
(
2q−
1
2
)n 1
3+1
max
s∈[0,1]
|b|−s
+∞∑
l=0
q
1
2
l2 |b|−l
(
2q−
1
2
)l
→ 0, n → +∞, 0 ≤ τ < 1.
Таким образом, получаем формулу
f1(z) =
bnq
(n−1)n
2 zn
n!
{
θ
(
qn−
1
2 z
n
)
+ o(1)
}
, n → +∞.
Уточним асимптотическое поведение f1(z). Для этого исследуем неравенство
q−(n−1)n ≤ z < q−n(n+ 1),
из которого следует тождество
n =
log z
log q−1
− log n
log q−1
+ 1− d(z)− d(z)
log
(
1 + 1
n
)
log q−1
df
=
log z
log q−1
− log n
log q−1
+ h(z),
где 0 ≤ d(z) < 1. Перепишем это выражение:
n =
log z
log q−1
− 1
log q−1
log
(
log z
log q−1
)
+ h(z)− 1
log q−1
log
(
1 +
− logn
log q−1 + h(z)
n+ logn
log q−1 − h(z)
)
df
=
df
=
log z
log q−1
− 1
log q−1
log
(
log z
log q−1
)
+ v(z).
Отсюда, полагая 0 6= b = eβ, β = b1 − log a, x =
log z
log q−1
, a = log q−1 и применяя формулу
Стирлинга для гамма-функции, получаем
log
(
bnq
1
2
n(n−1)zn
n!
)
= log
(
enβq
1
2
n(n−1)zn
Γ(n+ 1)
)
=
1
2
a
(
x− a−1 log x
)2
+
+
(
1 + b1 +
1
2
a− log a
)
x+
(
−1 + a−1 log a− a−1b1
)
log x−
− ln
(√
2π
)
+ βv(z) +
log q
2
v2(z)− log q
2
v(z) + o(1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 311
Исследуем аргумент функции θ в асимптотической формуле решения f1(z):
log
(
qn−
1
2 z
n
)
= log
1 +
1
log q−1 log
(
log z
log q−1
)
− v(z)
log z
log q−1 − 1
log q−1 log
(
log z
log q−1
)
+ v(z)
+
(
v(z)− 1
2
)
log q,
т. е.
qn−
1
2 z
n
= (1 + o(1))qv(z)−
1
2 .
Следовательно,
f1(z) = e
1
2
a(x−a−1 log x)
2
+(1+b1+ 1
2
a−log a)x+(−1+a−1 log a−a−1b1) log x+o(1) 1√
2π
×
×
{
eβv(z)+
log q
2
v2(z)− log q
2
v(z)θ
(
qv(z)−
1
2
)
+ o(1)
}
.
С другой стороны, согласно [3, 5] или теореме 4 имеем
f1(z) = eH(x)
{
ψ
(
x− a−1 log x+ a−2
log x
x
)
+O
(
1
x
)}
=
= e
1
2
a(x−a−1 log x)
2
+(1+b1+ 1
2
a−ln a)x+(−1+a−1 ln a−a−1b1) log x+o(1) {ψ (−v(z)) + o(1)} .
Приравнивая обе формулы решения f1(z), получаем
1√
2π
eβv(z)+
log q
2
v2(z)− log q
2
v(z)θ
(
qv(z)−
1
2
)
+ o(1) = ψ(−v(z)) + o(1).
Для произвольной точки u ∈ (0, 1) строим последовательность zn → +∞, n → +∞,
такую, что v(zn) ≡ u. Подставляя zn в последнее равенство и устремляя n → +∞, в
пределе имеем
1√
2π
eβu+
log q
2
u2− log q
2
uθ
(
qu−
1
2
)
= ψ(−u).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
312 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Положим f1(z) = e
H
(
ln z
ln q−1
)
g
(
ln z
ln q−1
)
, z ≥ z0 > 0, и вернемся к формуле (17):
f(z) = f1(z) +
∑
h>0, qhz≥z0
(−c)hq
1
2
h2− 1
2
h
h∏
k=1
1
1− qk
f1
(
qhz
)
+
+
∑
h>0, qhz<z0
(−c)hq
1
2
h2− 1
2
h
h∏
k=1
1
1− qk
f1
(
qhz
)
=
= e
H
(
ln z
ln q−1
)g
(
ln z
ln q−1
)
+
∑
h>0, qhz≥z0
(−c)hq
1
2
h2− 1
2
h ×
×
h∏
k=1
1
1− qk
e
H
(
ln(qhz)
ln q−1
)
−H
(
ln z
ln q−1
)
g
(
ln
(
qhz
)
ln q−1
)
+
+e
−H
(
ln z
ln q−1
) ∑
h>0, qhz<z0
(−c)hq
1
2
h2− 1
2
h
h∏
k=1
1
1− qk
f1
(
qhz
) .
Поскольку функции g(u) и f1(u) ограничены на отрезках [z0,+∞) и [0, z0) соответствен-
но, то окончательно получаем
f(z) = eH(x)
{
ψ
(
x− a−1 log x+ a−2
log x
x
)
+O
(
1
x
)}
.
Порядок n ≥ 0 первой производной решения f(z), которая не равна нулю в точке z = 0,
совпадает с номером первого ненулевого слагаемого в ряде Тейлора функции f(z) с цент-
ром в нуле. Этот степенной ряд вычисляется подстановкой в уравнение (15). Значение
f (n)(0) дает формула (17). Разделив на него последнее равенство, получим асимптотиче-
скую формулу нормированного целого решения.
Если коэффициенты b и c положительные, то для решения g(z) уравнения (15) можно
выбрать константы l и L такие, что g(z)− lf(z) ≥ 0, g′(z)− lf ′(z) ≥ 0 и Lf(z)− g(z) ≥ 0,
Lf ′(z) − g′(z) ≥ 0 на отрезке qm ≤ z ≤ qm−1. Для решений g(z) − lf(z) и Lf(z) − g(z)
эти неравенства сохранятся на полуоси z ≥ qm, и L ≥ g(z)/f(z)
df
=h(z) ≥ l. Обозначим
символом ψg предельную периодическую функцию решения g(z). Тогда
g(z) = f(z)h(z) = eH(x)
{
ψ
(
x− a−1 log x+ a−2
log x
x
)
h(z) +O
(
1
x
)}
=
= eH(x)
{
ψg
(
x− a−1 log x+ a−2
log x
x
)
+O
(
1
x
)}
,
откуда, учитывая неравенство ψ > 0, получаем
h(z) =
ψg
(
x− a−1 log x+ a−2 log xx
)
ψ
(
x− a−1 log x+ a−2 log xx
) +O
(
1
x
)
,
т. е. lψ(u) ≤ ψg(u) ≤ Lψ(u) для всех u.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 313
1. Mahler K. On a special functional equation // J. London Math. Soc. — 1940. — 15. — P. 115 – 123.
2. de Bruijn N. G. On Mahler’s partition problem // Proc. Kon. ned. akad. wetensch. — 1948. — 51. — P. 659 –
669.
3. de Bruijn N. G. The asymptotically periodic behavior of the solutions of some linear functional equations //
Amer. J. Math. — 1949. — 71, № 2. — P. 313 – 330.
4. de Bruijn N. G. On some linear functional equations // Publ. Math. PlaceCity Debrecen. — 1950. — 1. —
P. 129 – 134.
5. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x − 1), I, II // Proc. Ned. akad.
wetensch. A.=Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
7. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
P. 267.
Получено 18.03.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
|