Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами
Доказана разрешимость в классическом смысле задачи оптимального управления в классе распределенных управлений для уравнения Пуассона с нелокальными краевыми условиями в круговом секторе....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177125 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами / В.О. Капустян, О.А. Капустян, О.К. Мазур // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 350-358. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177125 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771252021-02-11T01:28:47Z Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами Капустян, В.О. Капустян, О.А. Мазур, О.К. Доказана разрешимость в классическом смысле задачи оптимального управления в классе распределенных управлений для уравнения Пуассона с нелокальными краевыми условиями в круговом секторе. We prove that an optimal control problem for a Poisson equation with nonlocal boundary-value conditions in a circular sector has a classical solution in the class of distributed controls. 2013 Article Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами / В.О. Капустян, О.А. Капустян, О.К. Мазур // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 350-358. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177125 517.9; 519.3 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доказана разрешимость в классическом смысле задачи оптимального управления в классе распределенных управлений для уравнения Пуассона с нелокальными краевыми условиями в круговом секторе. |
| format |
Article |
| author |
Капустян, В.О. Капустян, О.А. Мазур, О.К. |
| spellingShingle |
Капустян, В.О. Капустян, О.А. Мазур, О.К. Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Капустян, В.О. Капустян, О.А. Мазур, О.К. |
| author_sort |
Капустян, В.О. |
| title |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| title_short |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| title_full |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| title_fullStr |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| title_full_unstemmed |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| title_sort |
задача оптимального керування для рiвняння пуассона з нелокальними крайовими умовами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177125 |
| citation_txt |
Задача оптимального керування для рiвняння Пуассона з нелокальними крайовими умовами / В.О. Капустян, О.А. Капустян, О.К. Мазур // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 350-358. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânvo zadačaoptimalʹnogokeruvannâdlârivnânnâpuassonaznelokalʹnimikrajovimiumovami AT kapustânoa zadačaoptimalʹnogokeruvannâdlârivnânnâpuassonaznelokalʹnimikrajovimiumovami AT mazurok zadačaoptimalʹnogokeruvannâdlârivnânnâpuassonaznelokalʹnimikrajovimiumovami |
| first_indexed |
2025-07-15T15:08:49Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:08:49Z |
| _version_ |
1837726047651495936 |
| fulltext |
УДК 517.9; 519.3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ ПУАССОНА
З НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
В. О. Капустян
Нац. техн. ун-т України ”КПI”
Україна, 03056, Київ, просп. Перемоги, 37
e-mail: kapustyanv@ukr.net
О. А. Капустян
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, просп. Акад. Глушкова, 4д
e-mail: olena.kap@gmail.com
О. К. Мазур
Нац. ун-т харчових технологiй
Україна, 01601, Київ 33, вул. Володимирська, 68
We prove that an optimal control problem for a Poisson equation with nonlocal boundary-value conditi-
ons in a circular sector has a classical solution in the class of distributed controls.
Доказана разрешимость в классическом смысле задачи оптимального управления в классе рас-
пределенных управлений для уравнения Пуассона с нелокальными краевыми условиями в круго-
вом секторе.
Вступ. Теорiя лiнiйно-квадратичних задач оптимального керування розподiленими систе-
мами є добре розвиненою [1, 2]. У багатьох випадках початкову задачу можна розще-
пити за допомогою методу Фур’є [3 – 5]. Задача керування елiптичним рiвнянням з нело-
кальними крайовими умовами в круговому секторi [6], що розглядається у цiй статтi, не
допускає нi повного розщеплення, нi застосування L2-теорiї. Її розв’язнiсть у класi роз-
подiлених керувань вдається одержати шляхом використання бiортонормованих систем
функцiй [7] та при подальшому аналiзi розв’язкiв матричних рiвнянь Фредгольма.
Постановка задачi. В круговому секторi Q = {(r, θ)|r ∈ (0, 1), θ ∈ (0, π)} розгляда-
ється задача оптимального керування
∆y :=
1
r
∂
∂r
(
r
∂y
∂r
)
+
1
r2
∂2y
∂θ2
= u(r, θ), (r, θ) ∈ Q,
y(1, θ) = p(θ), p(0) = 0,
(1)
y(r, 0) = 0, r ∈ (0, 1),
∂y
∂θ
(r, 0) =
∂y
∂θ
(r, π), r ∈ (0, 1),
c© В. О. Капустян, О. А. Капустян, О. К. Мазур, 2013
350 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ ПУАССОНА . . . 351
J(y, u) = ‖y(α)‖2D +
1∫
0
‖u(r)‖2D dr → inf, (2)
де p ∈ C1([0, π]) — задана функцiя, α ∈ (0, 1) — фiксоване число, ‖·‖D — норма в L2(0, π),
еквiвалентна стандартнiй, що задається рiвнiстю
‖v‖D =
( ∞∑
n=1
v2
n
)1/2
,
де n ≥ 1, vn =
∫ π
0
v(θ)ψn(θ)dθ, ψ0(θ) =
2
π2
, ψ2n(θ) =
4
π2
(π − θ) sin 2nθ, ψ2n−1(θ) =
=
4
π2
cos 2nθ.
Метою роботи є встановлення класичної розв’язностi задачi (1), (2), тобто знаходжен-
ня оптимального серед допустимих процесiв {u, y} ∈ C(Q̄) × (C(Q̄)
⋂
C2(Q)). Для засто-
сування спектрального методу використовуються бiортонормованi i повнi в L2(0, π) сис-
теми функцiй Самарського – Iонкiна [7]
Ψ = {ψn}∞n=1 та Φ = {ϕ0(θ) = θ, ϕ2n(θ) = sin 2nθ, ϕ2n−1(θ) = θ cos 2nθ}∞n=1. (3)
Тодi для будь-якого u ∈ L2(Q)
u(r, θ) =
∞∑
n=0
un(r)ϕn(θ), (4)
де un(r) =
∫ π
0
u(r, θ)ψn(θ) dθ. Отже, розв’язок задачi (1) будемо шукати у виглядi
y(r, θ) = y0(r)θ +
∞∑
n=1
(y2n−1(r)θ cos 2nθ + y2n(r) sin 2nθ) , (5)
де функцiї {yk(r)}∞k=0 є розв’язками системи звичайних диференцiальних рiвнянь
d
dr
(
r
dy0
dr
)
= r u0(r), y0(1) = p0, (6)
r
d
dr
(
r
dy2k−1
dr
)
− (2k)2y2k−1 = r2 u2k−1(r), y2k−1(1) = p2k−1, (7)
r
d
dr
(
r
dy2k
dr
)
− (2k)2y2k − 4k y2k−1 = r2 u2k(r), y2k(1) = p2k, (8)
pk =
π∫
0
p(θ)ψk(θ) dθ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
352 В. О. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, О. К. МАЗУР
Таким чином, початкова задача (1), (2) зводиться до наступної: на допустимих парах
{un(r), yn(r)}∞n=0 задачi (6) – (8) мiнiмiзувати критерiй якостi
J(y, u) = y2
0(α) +
1∫
0
u2
0(r) dr +
∞∑
k=1
(y2
2k−1(α) + y2
2k(α)+
+
1∫
0
(u2
2k−1(r) + u2
2k(r)) dr) = J0 +
∞∑
k=1
Jk. (9)
При цьому оптимальний процес {ũn(r), ỹn(r)}∞n=0 повинен бути таким, щоб формула (4)
визначала функцiю з C(Q̄), а формула (5) — функцiю з C(Q̄)
⋂
C2(Q).
Основнi результати. Структура задачi (6) – (9) дозволяє редукувати її до послiдовностi
наступних задач:
на розв’язках (6) мiнiмiзувати функцiонал J0 = J0(u0), (10)
на розв’язках (7), (8) мiнiмiзувати функцiонал Jk = Jk(u2k−1, u2k), k ≥ 1. (11)
При фiксованих {uk(r)}∞k=0 ⊂ C([0, 1]) розв’язки задачi (6) – (8) мають вигляд
y0(r) = p0 −
1∫
r
1
s
s∫
0
ξu0(ξ)dξ
ds = p0 +
1∫
0
G0(r, s)u0(s) ds, (12)
де
G0(r, s) =
s ln r, s ∈ [0, r],
s ln s, s ∈ [r, 1],
y2k−1(r) = p2k−1 r
2k +
1
4k
1∫
0
sGk(r, s)u2k−1(s) ds, (13)
Gk(r, s) =
s2k(r2k − r−2k), s ∈ [0, r],
r2k(s2k − s−2k), s ∈ [r, 1],
y2k(r) = p2k r
2k + p2k−1 r
2k t ln r +
1
4k
1∫
0
sGk(r, s)u2k(s) ds+
+
1
4k
1∫
0
s Ḡk(r, s)u2k−1(s) ds, (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ ПУАССОНА . . . 353
Ḡk(r, s) =
1∫
0
p−1Gk(r, p)Gk(p, s) dp =
=
1
2k
((s
r
)2k
− (rs)2k
)
+ r2ks2k ln(rs)−
(s
r
)2k
ln
(s
r
)
, s ∈ [0, r],
1
2k
((r
s
)2k
− (rs)2k
)
+ r2ks2k ln(rs)−
(r
s
)2k
ln
(r
s
)
, s ∈ [r, 1].
Лема 1. Для будь-якого k ≥ 0 формули (12) – (14) визначають розв’язки
yk ∈ C([0, 1]) ∩ C2(0, 1)
задачi (6) – (8).
Доведення. Оскiльки yk — розв’язки задачi (6) – (8), то достатньо показати, що yk ∈
∈ C([0, 1]) ∀k ≥ 0. Позначимо Π = [0, 1] × [0, 1]. Тодi G0 ∈ C(Π), maxΠ |G0(r, s)| = e−1,
отже, y0 ∈ C([0, 1]).
Для k ≥ 1 Gk ∈ C(Π \ {0, 0}), maxΠ |Gk(r, s)| ≤ 1, отже, y2k−1 ∈ C([0, 1]). Оскiльки
xk lnx ∈ C([0, 1]), maxx∈[0,1] |xk lnx| = e−1 k−1, то для Ḡk ∈ C(Π \ {0, 0}) маємо
max
Π
|Ḡk(r, s)| ≤
1
k
,
отже, y2k ∈ C([0, 1]).
Лему доведено.
Теорема 1. Задачi (10), (11) мають єдиний розв’язок {ũk}∞k=0, причому ũk ∈ C([0, 1])
для будь-якого k ≥ 0.
Доведення. З формул (12) – (14) випливає, що функцiонали J0 : L2(0, 1) 7→ R, Jk :
L2(0, 1) × L2(0, 1) 7→ R є строго опуклими, неперервними i коерцитивними. Це, згiдно з
[1], означає, що задачi (10), (11) мають єдиний розв’язок у просторах L2(0, 1) та L2(0, 1)×
×L2(0, 1) вiдповiдно.
Прирiвнюючи до нуля похiднi Фреше вiд J0, Jk, одержуємо наступнi iнтегральнi рiв-
няння Фредгольма:
u0(s) = −
1∫
0
G0(α, s)G0(α, p)u0(p) dp− p0G0(α, s), (15)
u2k−1(s) = −1
2
1
(4k)2
1∫
0
[(
sGk(α, s)pGk(α, p) + s Ḡk(α, s)p Ḡk(α, p)
)
u2k−1(p) +
+ 2s Ḡk(α, s)pGk(α, p)u2k(p)
]
dp− p2kα
2k 1
4k
sGk(α, s)−
−
(
p2kα
2k + p2k−1α
2k lnα
) 1
4k
s Ḡk(α, s), (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
354 В. О. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, О. К. МАЗУР
u2k(s) = −1
2
1
(4k)2
1∫
0
[2sGk(α, s)p Ḡk(α, p)u2k−1(p) + sGk(α, s)p Ḡk(α, p)u2k(p)] dp−
−
(
p2kα
2k + p2k−1α
2k lnα
) 1
4k
sGk(α, s). (17)
Оскiльки max(p,s)∈
∏ |G0(α, p)G0(α, s)| ≤ e−2 < 1, то рiвняння (15) має єдиний розв’язок
ũ0 ∈ C([0, 1]).
Розглянемо матрицю Ak(p, s) i вектор-функцiю fk(s) вигляду
Ak(p, s) =
sGk(α, s)pGk(α, p) + s Ḡk(α, s)p Ḡk(α, p) 2s Ḡk(α, s)pGk(α, p)
2sGk(α, s)p Ḡk(α, p) sGk(α, s)p Ḡk(α, p)
,
fk(s) =
−p2kα
2k 1
4k
sGk(α, s)−
(
p2kα
2k + p2k−1α
2k lnα
) 1
4k
s Ḡk(α, s)
−
(
p2kα
2k + p2k−1α
2k lnα
) 1
4k
sGk(α, s)
.
Тодi з рiвнянь (16), (17) маємо, що вектор zk(s) =
(
u2k−1(s)
u2k(s)
)
задовольняє рiвняння
zk(s) = −1
2
1
(4k)2
1∫
0
Ak(p, s)zk(p) dp+ fk(s). (18)
На пiдставi оцiнок з леми 1 маємо
max∏ ‖Ak(p, s)‖ ≤ 4, max
s∈[0,1]
‖fk(s)‖ ≤
α2k−1
2k
(|p2k|+ |p2k−1|).
Тодi для будь-якого k ≥ 1 рiвняння (18) має єдиний розв’язок z̃k(s) =
(
ũ2k−1(s)
ũ2k(s)
)
∈
∈ C([0, 1]), i при цьому для будь-якого r ∈ [0, 1]
|ũ2k−1(r)| ≤ α2k−1
k
(|p2k−1|+ |p2k|
)
, |ũ2k(r)| ≤
α2k−1
k
(|p2k−1|+ |p2k|). (19)
Теорему доведено.
З оцiнок (19) випливає, що ряд
∑∞
n=0 ũn(r)ϕn(θ) збiгається рiвномiрно на Q̄ i за фор-
мулою (4) визначає функцiю ũ(r, θ) ∈ C(Q̄).
Теорема 2. Ряд
ỹ0(r)θ +
∞∑
n=1
(ỹ2n−1(r)θ cos 2nθ + ỹ2n(r) sin 2nθ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ ПУАССОНА . . . 355
де {ỹn}∞n=0 — розв’язки системи (6) – (8) з керуваннями {ũn}∞n=1, за формулою (5) визна-
чає функцiю ỹ(r, θ) ∈ C(Q̄)
⋂
C2(Q).
Доведення. За формулами (12) – (14) шуканий ряд має вигляд
p0 θ + θ
1∫
0
G0(r, s)u0(s) ds+
∞∑
n=1
(
p2n−1 r
2n θ cos 2nθ +
(
p2n r
2n + p2n−1 r
2n ln r
)
sin 2nθ
)
+
+
∞∑
n=1
θ cos 2nθ
1
4n
1∫
0
sGn(r, s)ũ2n−1(s) ds+
+
∞∑
n=1
sin 2nθ
1
4n
1∫
0
sGn(r, s)ũ2n(s) ds+
1
4n
1∫
0
sḠn(r, s)ũ2n−1(s) ds
. (20)
Функцiї r2n sin 2nθ i r2n(ln r sin 2nθ + θ cos 2nθ) є гармонiчними, p ∈ C1([0, π]), p(0) = 0,
отже, згiдно з [6], перший ряд у (20) є функцiєю з класу C(Q̄)
⋂
C2(Q).
З леми 1 та оцiнок (19) за ознакою Вейєрштрасса маємо, що ỹ ∈ C(Q̄).
Залишилося дослiдити рiвномiрну на [a, b] × [c, d] ⊂ (0, 1) × (0, π) збiжнiсть рядiв з
похiдних по r, θ першого та другого порядку вiд функцiй
Bn(r, θ) =
1
4n
1∫
0
sGn(r, s)ũ2n−1(s) ds θ cos 2nθ = bn(r) θ cos 2nθ,
Cn(r, θ) =
1
4n
1∫
0
sGn(r, s)ũ2n(s) ds sin 2nθ = cn(r) sin 2nθ,
Dn(r, θ) =
1
4n
1∫
0
sḠn(r, s)ũ2n−1(s) ds sin 2nθ = dn(r) sin 2nθ.
З оцiнок (19) одержимо, що ряди з похiдних
∂
∂θ
,
∂2
∂θ2
збiгаються на Q̄ рiвномiрно за
ознакою Вейєрштрасса.
Для будь-яких r ∈ [a, b], n > 1
bn(r) =
1
4n
(r2n − r−2n)
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+ r2n
1∫
r
(s2n+1 − s1−2n)ũ2n−1(s) ds
,
(21)
b′n(r) =
1
2
(r2n−1 + r−2n−1)
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
1
2
r2n−1
1∫
r
(s2n+1 − s1−2n)ũ2n−1(s) ds
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
356 В. О. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, О. К. МАЗУР
(доданки, якi не мiстять iнтегралiв, взаємно знищуються),
b′′n(r) =
1
2
(
(2n− 1)r2n−2 + (−2n− 1)r−2n−2
) r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
2
(2n− 1)r2n−2
1∫
r
(s2n+1 − s1−2n)ũ2n−1(s) ds+ ũ2n−1(r). (22)
Оскiльки
∫ r
0
s2n+1 ds =
r2n+1
2n+ 2
,
1∫
r
(s2n+1 − s1−2n) ds = − n
1− n2
− r2n+2
2n+ 2
+
r2−2n
2− 2n
,
то iснує C1 > 0 таке, що
|b′n(r)| ≤ C1
n
α2n−1
n
(|p2n−1|+ |p2n|),
а отже, ряди
∑∞
n=2
∂
∂r
Bn(r, θ),
∑∞
n=2
∂
∂r
Cn(r, θ),
∑∞
n=2
∂2
∂r∂θ
Bn(r, θ),
∑∞
n=2
∂2
∂r∂θ
Cn(r, θ)
збiгаються рiвномiрно на [a, b]× [c, d].
З тих же оцiнок |b′′n(r)| ≤ C2
α2n−1
n
(|p2n−1|+|p2n|) i, таким чином, ряди
∑∞
n=2
∂2
∂r2
Bn(r, θ),∑∞
n=2
∂2
∂r2
Cn(r, θ) збiгаються рiвномiрно на [a, b]× [c, d].
Для функцiї dn(r) маємо
dn(r) =
1
8n2
r−2n
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds− 1
8n2
r2n
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
4n
r2n
r∫
0
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
1
4n
r2n ln r
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds−
− r−2n
4n
r∫
0
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
r−2n ln r
4n
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
8n2
r2n
1∫
r
s−2n+1ũ2n−1(s) ds− 1
8n2
r2n
1∫
r
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
4n
r2n
1∫
r
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
1
4n
r2n ln r
1∫
r
s2n+1ũ2n−1(s) ds−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ РIВНЯННЯ ПУАССОНА . . . 357
− 1
4n
r2n ln s
1∫
r
s−2n+1ũ2n−1(s) ds+
1
4n
r2n
1∫
r
s−2n+1 ln rũ2n−1(s) ds,
d′n(r) = − 1
4n
r−2n−1
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds− 1
4n
r2n−1
r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
2
r2n−1
r∫
0
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
1
4n
(
2nr2n−1 ln r + r2n−1
) r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
2
r−2n−1
r∫
0
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
+
1
4n
(
−2nr−2n−1 ln r + r−2n−1
) r∫
0
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
4n
r2n−1
1∫
r
s−2n+1ũ2n−1(s) ds− 1
4n
r2n−1
1∫
r
s2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
2
r2n−1
1∫
r
s2n+1 ln sũ2n−1(s) ds+
1
4n
(
2nr2n−1 ln r + r2n−1
) 1∫
r
s2n+1ũ2n−1(s) ds−
− 1
4n
(
2nr2n−1 ln r + r2n−1
) 1∫
r
s−2n+1ũ2n−1(s) ds+
+
1
2
r2n−1
1∫
r
s−2n+1 ln sũ2n−1(s) ds ∀r ∈ [a, b].
Оскiльки
r∫
0
s2n+1 ln s ds =
1
2n+ 2
r2n+2 ln r − r2n+2
(2n+ 2)2
,
то iснує C3 > 0 таке, що
|d′n(r)| ≤ C3
n
α2n−1
n
(|p2n−1|+ |p2n|),
отже, ряди
∑∞
n=2
∂
∂r
Dn(r, θ),
∑∞
n=2
∂2
∂r∂θ
Dn(r, θ) збiгаються рiвномiрно на [a, b]× [c, d].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
358 В. О. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, О. К. МАЗУР
Легко бачити, що iснує C4 > 0 таке, що
|d′′n(r)| ≤ C4
α2n−1
n
(|p2n−1|+ |p2n|),
отже, ряд
∑∞
n=2
∂2
∂r2
Dn(r, θ) збiгається рiвномiрно на [a, b]× [c, d].
Таким чином, ỹ ∈ C(Q̄)
⋂
C2(Q), i теорему доведено.
Зауваження. Якщо u(r, θ) ∈ C(Q̄) i з деякою константою C > 0 ∀n ≥ 1 : |un(r)| ≤
≤ C
n2
, то керування u є допустимим у задачi (1), (2), тобто вiдповiдна функцiя y(r, θ) з (5)
визначає класичний розв’язок (1).
Висновки. У роботi доведено розв’язнiсть задачi оптимального керування на класич-
них розв’язках елiптичної крайової задачi в круговому секторi з рiвнiстю потокiв на ра-
дiусах та рiвнiстю нулю розв’язку на одному з радiусiв у класi розподiлених керувань для
квадратичного критерiю якостi.
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производ-
ными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
2. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. —
463 c.
3. Белозеров В. Е., Капустян В. Е. Геометрические методы модального управления. — Киев: Наук. дум-
ка, 1999. — 259 с.
4. Капустян В. Е. Оптимальная стабилизация ограниченным сосредоточенным управлением решений
параболической краевой задачи // Проблемы управления и информатики. — 1999. — № 6. — С. 58 – 67.
5. Капустян Е. А., Наконечный А. Г. Синтез оптимального ограниченного управления для параболиче-
ской краевой задачи с быстро осциллирующими коэффициентами // Проблемы управления и инфор-
матики. — 1999. — № 6. — С. 44 – 57.
6. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков
на части границы и сопряженной к ней системе // Дифференц. уравнения. — 2010. — 46, № 5. — С. 718 –
725.
7. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым
условием // Дифференц. уравнения. — 1977. — 13, № 2. — С. 294 – 304.
Одержано 22.04.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
|