Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі
Получены условие разрешимости, а также общий вид решения нетеровых краевых задач для линейных динамических систем на временной шкале с импульсным воздействием. Рассмотрен численный пример....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177132 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі / О.П. Страх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177132 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771322021-02-11T01:28:50Z Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі Страх, О.П. Получены условие разрешимости, а также общий вид решения нетеровых краевых задач для линейных динамических систем на временной шкале с импульсным воздействием. Рассмотрен численный пример. We obtain a solvability condition and a general form of a solution for a Noether problem for linear impulsive dynamic systems on a time scale. A numeric example is also considered. 2013 Article Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі / О.П. Страх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177132 517.938 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условие разрешимости, а также общий вид решения нетеровых краевых задач для линейных динамических систем на временной шкале с импульсным воздействием. Рассмотрен численный пример. |
| format |
Article |
| author |
Страх, О.П. |
| spellingShingle |
Страх, О.П. Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі Нелінійні коливання |
| author_facet |
Страх, О.П. |
| author_sort |
Страх, О.П. |
| title |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| title_short |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| title_full |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| title_fullStr |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| title_full_unstemmed |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| title_sort |
лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177132 |
| citation_txt |
Лінійні нетерові крайові задачі для імпульсних динамічних систем на часовій шкалі / О.П. Страх // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 426-432. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT strahop líníjníneterovíkrajovízadačídlâímpulʹsnihdinamíčnihsistemnačasovíjškalí |
| first_indexed |
2025-07-15T15:09:20Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:09:20Z |
| _version_ |
1837726078333878272 |
| fulltext |
УДК 517.938
ЛIНIЙНI НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI
ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
НА ЧАСОВIЙ ШКАЛI
О. П. Страх
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 4е
We obtain a solvability condition and a general form of a solution for a Noether problem for linear impulsi-
ve dynamic systems on a time scale. A numeric example is also considered.
Получены условие разрешимости, а также общий вид решения нетеровых краевых задач для
линейных динамических систем на временной шкале с импульсным воздействием. Рассмотрен
численный пример.
Нехай Rn — простiр n-вимiрних вектор-функцiй x = col (x1, x2, . . . , xn) з нормою ‖·‖ i T ⊂
⊂ R (непорожня замкнена пiдмножина множини дiйсних чисел) — задана часова шкала.
Крiм того, для будь-якого t0 ∈ T позначимо T(t0) := [t0;∞)T = [t0;∞) ∩ T i T+ := T(0) =
= [0;∞)T. Тодi простiр BCrd(T(t0), Rn) :=
{
f ∈ Crd(T(t0),Rn) : supt∈T(t0)
‖f(t)‖ < +∞
}
rd-неперервних [1, c. 22] i обмежених на T(t0) функцiй є банаховим простором з нормою
‖f‖ := supt∈T(t0)
‖f(t)‖. Розглянемо лiнiйну однорiдну динамiчну систему вигляду
x∆ = A(t)x, (1)
де x(t) ∈ C1
rd(T(t0);Rn) — n-вимiрний вектор-стовпчик rd-неперервних, ∆-диференцiйов-
них функцiй, A(t) ∈ R(T(t0);Mn(R)) — регресивна [1, c. 190] (n × n)-вимiрна матриця,
компоненти якої є rd-неперервними функцiями. Розглянемо також вiдповiдну їй неодно-
рiдну динамiчну систему вигляду
x∆ = A(t)x+ f(t), t ∈ T(t0), (2)
де f(t) ∈ Crd(T(t0);Rn) — rd-неперервна вектор-функцiя.
Вiдомо [1, c. 195], що для довiльної функцiї f(t) дана динамiчна система (2) має
n-параметричну сiм’ю розв’язкiв вигляду
x(t) = eA(t, t0)c+ F (t), c ∈ Rn, (3)
де F (t) =
∫ t
t0
eA(t, σ(s))f(s) ∆s, eA(t, t0) — (n × n)-вимiрна матричнозначна функцiя, яка
називається матричною експонентою [1, c. 192] i є аналогом фундаментальної матрицi
однорiдної системи (1), нормованої в точцi t0 ∈ T(t0).
c© О. П. Страх, 2013
426 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЛIНIЙНI НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ . . . 427
Розглянемо тепер однорiдну лiнiйну iмпульсну динамiчну систему на часовiй шкалi:
x∆ = A(t)x, t ∈ T+, t 6= tk,
(4)
x(tk + 0) = x(tk − 0) +Bkx(tk), k = 1, 2, . . . ,
де x(t) ∈ C1
rd(T(t0) \ {tk};Rn), Bk ∈ Mn(R) ∀k ∈ N, A(t) ∈ R(T+;Mn(R)), точки tk є
такими, що 0 ≤ t0 < t1 < t2 < . . . < tk < . . . i limk→∞ tk = ∞, x(tk ± 0) = limt→tk±0 x(t)
(якщо tk є розсiяною справа, то x(tk + 0) = x(t), а якщо є розсiяною злiва, то x(tk − 0) =
= x(t)). Далi припускаємо, що всi точки iмпульсу tk — справа щiльнi точки.
Для iмпульсної динамiчної системи (4) ми розглядаємо матрицю iмпульсних перехо-
дiв (у випадку T = R ця матриця називається матрицею Кошi [3]) SA(t, s), 0 ≤ s < t,
асоцiйовану з послiдовнiстю {Bk, tk}∞k=1:
SA(t, s) =
eA(t, s), якщо tk−1 ≤ s ≤ t ≤ tk;
eA(t, tk + 0)(I +Bk)eA(tk, s), якщо tk−1 ≤ s ≤ tk < t < tk+1;
eA(t, tk + 0)
∏
s<tj≤t [(I +Bj) ×
× eA(tj , tj−1 + 0)] (I +Bi)eA(ti, s), якщо ti−1 ≤ s < ti < . . . < tk < t < tk+1.
Згiдно з результатами з [2] справедливою є наступна теорема.
Теорема 1. Якщо A(t) ∈ R(T+;Mn(R)) i Bk ∈ Mn(R) ∀k ∈ N, то для будь-яких t0 ∈
∈ T+ i c ∈ Rn система (4) має n-параметричну сiм’ю розв’язкiв
x(t) = SA(t, t0)c, t ≥ t0,
де SA(t, t0) — фундаментальна матриця для системи (4), нормована в точцi t0.
З даної теореми отримуємо наступний наслiдок [2].
Наслiдок 1. Якщо A(t) ∈ R(T+;Mn(R)) i Bk ∈ Mn(R) ∀k ∈ N, то матриця SA(t, s),
0 ≤ s < t, є єдиним розв’язком матричної задачi Кошi
Y ∆ = A(t)Y, t ∈ T(s), t 6= tk,
Y (tk + 0) = (I +Bk)Y (tk), k = 1, 2, . . . , (5)
Y (s+ 0) = I, s ≥ 0.
Крiм цього, матриця SA(t, s) має наступнi властивостi:
1) SA(tk + 0, s) = (I +Bk)SA(tk, s), s ≤ tk, k = 1, 2, . . . ;
2) SA(t, tk + 0) = SA(t, tk)(I +Bk)−1, tk ≤ t, k = 1, 2, . . . ;
3) SA(t, tk + 0)SA(tk + 0, s) = SA(t, s), 0 ≤ s ≤ tk ≤ t, k = 1, 2, . . . .
Позначимо через XA(t), t ∈ T+, єдиний розв’язок задачi (5) з початковою умовою
Y (0) = I , тобто XA(t) := SA(t, 0), t ∈ T+. Тодi якщо A(t) ∈ R(T+;Mn(R)) i Bk ∈ Mn(R)
∀k ∈ N, то також мають мiсце [2] наступнi властивостi матрицi SA(t, s), 0 ≤ s < t:
1) SA(t, s) = XA(t)X−1
A (s), 0 ≤ s ≤ t;
2) SA(t, t) = I, t ≥ 0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
428 О. П. СТРАХ
3) SA(t, s) = S−1
A (s, t), 0 ≤ s ≤ t;
4) SA(σ(t), s) = [I + µ(t)A(t)]SA(t, s), 0 ≤ s ≤ t;
5) SA(t, s)SA(s, r) = SA(t, r), 0 ≤ r ≤ s ≤ t.
Нехай l∞(Rn) — простiр усiх послiдовностей a := {ak}∞k=1, ak ∈ Rn, k = 1, 2, . . . , та-
ких, що supk≥1 ‖ak‖ < ∞. Тодi простiр l∞(Rn) є банаховим з нормою ‖a‖ := supk≥1 ‖ak‖.
Згiдно з [2] має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Якщо A(t) ∈ R(T+;Mn(R)), Bk ∈ Mn(R) ∀k ∈ N, a := {ak}∞k=1 ∈ l∞(Rn)
i f(t) ∈ Crd(T+;Rn), то для будь-яких t0 ∈ T+ i c ∈ Rn неоднорiдна лiнiйна iмпульсна
динамiчна система
x∆ = A(t)x+ f(t), t ∈ Tt0 , t 6= tk,
x(tk + 0) = x(tk) +Bkx(tk) + ak, k = 1, 2, . . . ,
має n-параметричну сiм’ю розв’язкiв вигляду
x(t) = SA(t, t0)c+
t∫
t0
SA(t, σ(s))f(s) ∆s+
∑
t0<tj<t
SA(t, tj + 0)aj , t ≥ t0.
Розглянемо тепер наступну задачу, що складається з лiнiйної неоднорiдної iмпульсної
динамiчної системи та крайової умови:
z∆ = A(t)z + f(t), t ∈ [a; b]T+ , t 6= tk, tk ∈ (a; b)T+ ,
z(tk + 0) = z(tk) +Bkz(tk) + ak, k = 1, 2, . . . , p, (6)
lz = α, α ∈ Rm,
де z(t) ∈ C1
rd([a; b]T+ \ {tk};Rn), 0 ≤ a < b, A(t) ∈ R([a; b]T+ ;Mn(R)), Bk ∈ Mn(R)
k = 1, p, {ak}pk=1 ∈ lp(Rn), f(t) ∈ Crd([a; b]T+ \ {tk};Rn), l — лiнiйний векторний функ-
цiонал l : Rn → Rm. Використовуючи вiдомi результати [4], можна показати, що дана
задача є нетеровою, та знайти необхiднi й достатнi умови її розв’язностi. Для цього, як i
у випадку T = R [4, с. 196], знаходимо (n × m)-вимiрну матрицю Q = lSA(·, a) та буду-
ємо ортопроектори на ядро i коядро цiєї матрицi: PQ : Rn → N(Q), PQ∗ : Rm → N(Q∗)
вiдповiдно. Тодi згiдно з [5] умова розв’язностi крайової задачi (6) матиме вигляд
PQ∗
d
(α− lF ) = 0d, (7)
де PQ∗
d
— (d×m)-вимiрна матриця, що складається з d лiнiйно незалежних рядкiв матрицi
PQ∗ , F (t) =
∫ t
a
SA(t, σ(s))f(s) ∆s +
∑
a<tj<t SA(t, tj + 0)aj . Якщо умова (7) виконується,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЛIНIЙНI НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ . . . 429
то крайова задача (6) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
z(t; cr) = SA(t, a)PQrcr + SA(t, a)Q+
α− l
·∫
a
SA(·, σ(s))f(s) ∆s−
− l
∑
a<tj<·
SA(·, tj + 0)aj
+ F (t), cr ∈ Rr,
де PQr — (n×r)-вимiрна матриця, що складається з r лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi
PQ, Q
+ — (m×n)-вимiрна матриця, що є єдиною псевдооберненою за Муром – Пенроузом
[4] до матрицi Q. Таким чином, має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. ЯкщоA(t) ∈ R([a; b]T+ ;Mn(R)), Bk ∈ Mn(R) k = 1, p,то неоднорiдна кра-
йова задача (6) є розв’язною тодi й тiльки тодi, коли неоднорiдностi
f(t) ∈ Crd([a; b]T+/{tk};Rn), {ak}pk=1 ∈ lp(Rn) та α ∈ Rm задовольняють умову (7).
У цьому випадку задача (6) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв ви-
гляду
z(t; cr) = SA(t, a)PQrcr +G
f
ak
α
(t), cr ∈ Rr,
де
G
f
ak
α
(t) := F (t) + SA(t, a)Q+
α− l
·∫
a
SA(·, σ(s))f(s) ∆s− l
∑
a<tj<·
SA(·, tj + 0)aj
— узагальнений оператор Грiна неоднорiдної крайової задачi (6).
З даної теореми отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Якщо A(t) ∈ C([a; b]R+ ;Mn(R)), Bk ∈ Mn(R), k = 1, p, то неоднорiдна
крайова задача
ż = A(t)z + f(t), t ∈ [a; b]R+ , t 6= tk, tk ∈ (a; b)R+ ,
z(tk + 0) = z(tk) +Bkz(tk) + ak, k = 1, 2, . . . , p, (8)
lz = α, α ∈ Rm,
є розв’язною тодi й тiльки тодi, коли неоднорiдностi f(t) ∈ C([a; b]R+/{tk};Rn), {ak}pk=1 ∈
∈ lp(Rn) та α ∈ Rm задовольняють умову
PQ∗
d
α− l ·∫
a
X(·)X−1(s)f(s) ds− l
∑
a<tj<·
X(·)X−1(tj + 0)aj
= 0d,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
430 О. П. СТРАХ
де X(t) — фундаментальна матриця вiдповiдної однорiдної iмпульсної диференцiальної
системи
ż = A(t)z,
z(tk + 0) = z(tk) +Bkz(tk), k = 1, 2, . . . , p.
У цьому випадку задача (8) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
вигляду
z(t; cr) = X(t)PQrcr +X(t)Q+
α− l
·∫
a
X(·)X−1(s)f(s) ds− l
∑
a<tj<·
X(·)X−1(tj + 0)aj
+
+
t∫
a
X(t)X−1(s)f(s) ds+
∑
a<tj<t
X(t)X−1(tj + 0)aj , cr ∈ Rr.
Таким чином, отриманий наслiдок узгоджується з вiдомими результатами в [4].
Приклад 1. Розглянемо крайову задачу
z∆ = z + f(t), t ∈ [0; 2] ∪ {3} ∪ [4; 6], t 6= tk, tk ∈ {1; 5},
z(tk + 0) = z(tk) +Bkz(tk) + ak, k = 1, 2, (9)
lz = M1z(0)−M2z(6) = α, α ∈ R2,
де z(t) ∈ C1
rd([0; 1) ∪ (1; 2] ∪ {3} ∪ [4; 5) ∪ (5; 6];R2), Bk =
(
βk 0
0 −βk
)
, βk 6= ±1, ak =
=
(
δk
δk
)
∀k ∈ {1; 2}, f(t) ∈ Crd([0; 1)∪(1; 2]∪{3}∪[4; 5)∪(5; 6];R2), M1 =
(
4e4 + 1 0
0 4e4
)
,
M2 = I2 =
(
1 0
0 1
)
.
Знайдемо фундаментальну матрицюX(t) := eA(t, a) = eI2(t, 0) вiдповiдної однорiдної
системи z∆ = z та фундаментальну матрицю SI2(t, 0) вiдповiдної однорiдної iмпульсної
системи
z∆ = z, t ∈ [0; 2] ∪ {3} ∪ [4; 6], t 6= tk, tk ∈ {1; 5},
z(tk + 0) = z(tk) +Bkz(tk), k = 1, 2.
Маємо
X(t) =
etI2, t ∈ [0; 2],
2e2I2, t = 3,
4e−2etI2, t ∈ [4; 6],
eI2(t, s) =
{
et−sI2, t, s ∈ [0; 2] ∪ [4; 6],
2t−sI2, t = s = 3,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
ЛIНIЙНI НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ . . . 431
i для будь-яких t, s : 1 ≤ s ≤ t < 5 матриця SI2(t, s) = eI2(t, s). Тодi знайдемо матрицю
Q = lSA(·, a) = lSI2(·, 0) = lX(·). Отримаємо
Q =
(
4e4 + 1 0
0 4e4
)
−
(
4e4 0
0 4e4
)
=
(
1 0
0 0
)
.
Очевидно, щоQ+ = Q =
(
1 0
0 0
)
(легко перевiрити безпосередньо за формулоюQ+ =
= limε→0
(
Q∗(QQ∗ + εI2)−1
)
), PQ = PQ∗ =
(
0 0
0 1
)
, PQr =
(
0
1
)
, PQ∗
d
= (1 0) , d =
= r = 1. Тодi умова розв’язностi крайової задачi (9) набирає вигляду
(0 1)
α+
6∫
0
SI2(6, σ(s))f(s) ∆s+
∑
0<tk<6
SI2(6, tk + 0)ak
= 0. (10)
Нехай f(t) =
(
f1(t)
f2(t)
)
, α =
(
α1
α2
)
i βk =
1
2
∀k ∈ {1; 2}, а за властивiстю 2 наслiдку 1
SI2(6, tk + 0) = SI2(6, tk)(I +Bk)−1. Тодi умова (10) еквiвалентна умовi
α2 + e6
2∫
0
e−sf2(s) ds+ 8f2(2) + 4f2(3) + e6
6∫
4
e−sf2(s) ds+ 2e5δ1 + 2eδ2 = 0, (11)
i якщо неоднорiдностi α2, f2(t) та δ1,2 задовольняють умову (11), то за теоремою 3 для
будь-якого c ∈ R крайова задача (9) має однопараметричну сiм’ю розв’язкiв вигляду
z(t; c) = SI2(t, 0)
α1 + e6
2∫
0
e−sf1(s) ds+ 8f1(2) + 4f1(3)
c
+
+
e6
6∫
4
e−sf1(s) ds+
2
3
e5δ1 +
2
3
e−1δ2
0
+
+
t∫
0
SI2(t, σ(s))f(s) ∆s+
∑
0<tk<t
SI2(t, tk)
( 2
3
δk
2δk
)
.
1. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales. An introduction with applications. — Boston,
MA: Birkhäuser Boston Inc., 2001.
2. Lupulescu V., Zada A. Linear impulsive dynamic systems on time scales // Electron. J. Qual. Theory Different.
Equat. — 2010. — № 11. — P. 1 – 30.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
432 О. П. СТРАХ
3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht, The Netherlands: Koninklijke Brill NV, 2004.
5. Boichuk A., Bohner M. Fredholm boundary-value problems for perturbed systems of dynamic equations on
time scales // Math. Nachr. (to appear).
Одержано 29.04.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 3
|