Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi одного класу багатовимiрних гiперболоелiптичних рiвнянь є однозначно розв’язною. Отримано також критерiй єдиностi регулярного розв’язку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177133 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 435-451. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177133 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771332021-02-11T01:28:10Z Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Алдашев, С.А. Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi одного класу багатовимiрних гiперболоелiптичних рiвнянь є однозначно розв’язною. Отримано також критерiй єдиностi регулярного розв’язку. We show that the Dirichlet problem in a cylindric domain for one class of multidimensional hyperbolicelliptic equations is uniquely solvable. We also find a criterion for uniqueness of the regular solution. 2013 Article Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 435-451. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177133 517.956 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi одного класу багатовимiрних гiперболоелiптичних рiвнянь є однозначно розв’язною. Отримано також критерiй єдиностi регулярного розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| spellingShingle |
Алдашев, С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_short |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_full |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_fullStr |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_sort |
корректность задачи дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177133 |
| citation_txt |
Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 435-451. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa korrektnostʹzadačidirihlevcilindričeskojoblastidlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloélliptičeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T15:09:28Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:09:28Z |
| _version_ |
1837726086390087680 |
| fulltext |
УДК 517.956
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ
ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С. А. Алдашев
Ин-т прикл. математики и информатики Актюб. гос. ун-та им. К. Жубанова
Казахстан, 030000, Актобе, ул. Бр. Жубановых, 263
e-mail: aldash51@mail.ru
We show that the Dirichlet problem in a cylindric domain for one class of multidimensional hyperbolic-
elliptic equations is uniquely solvable. We also find a criterion for uniqueness of the regular solution.
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi одного класу багатовимiрних гiперболо-
елiптичних рiвнянь є однозначно розв’язною. Отримано також критерiй єдиностi регулярного
розв’язку.
Проблема корректности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в специальных
областях была объектом многих исследований на плоскости [1 – 5] и в пространстве [5,
6]. В данной работе показано, что задача Дирихле в цилиндрической области для одного
класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений однозначно разрешима, а так-
же получен критерий единственности регулярного решения.
1. Постановка задачи и основные результаты. Пусть Ωαβ — цилиндрическая область
евклидова пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) :
|x| = 1}, плоскостями t = α > 0 и t = β < 0, где |x|— длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через Ωα и Ωβ части области Ωαβ, а через Γα и Γβ части поверхности
Γ, лежащие соответственно в полупространствах t > 0 и t < 0; σα —верхнее, а σβ —
нижнее основание области Ωαβ. Пусть, далее, S — общая часть границ областей Ωα, Ωβ,
представляющая множество {t = 0, 0 < |x| < 1} в Em.
В области Ωαβ рассмотрим взаимно сопряженные многомерные смешанные гипербо-
ло-эллиптические уравнения
∆xu− sgn tutt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
∆xv − sgn tvtt −
m∑
i=1
aivxi − bvt + dv = 0,
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2, d(x, t) = c−
∑m
i=1 aixi − bt.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сфериче-
ским r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, 3, . . . ,m− 1.
В качестве многомерной задачи Дирихле рассмотрим следующую задачу.
c© С. А. Алдашев, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 435
436 С. А. АЛДАШЕВ
Задача D. Найти решение уравнения (1) в области Ωαβ при t 6= 0 из класса C(Ωαβ) ∩
∩ C1(Ωαβ) ∩ C2(Ωα ∪ Ωβ), удовлетворяющее краевым условиям
u
∣∣
σα
= ϕ1(r, θ), u
∣∣
Γα
= φ1(t, θ), (2)
u
∣∣
Γβ
= φ2(t, θ), u
∣∣
σβ
= ϕ2(r, θ). (3)
Пусть {Y k
n,m(θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n,
1 ≤ k ≤ kn, (m−2)!n!kn = (n+m−3)!(2n+m−2), θ = (θ1, . . . , θm−1), W l
2(S), l = 0, 1, . . . ,—
пространства Соболева.
Имеют место следующие леммы [7].
Лемма 1. Пусть f(r, θ) принадлежит W l
2(S). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y k
n,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l−m+1, сходятся
абсолютно и равномерно, при этом
fkn(r) =
∫
H
f(r, θ)Y k
n,m(θ) dH,
где H — единичная сфера в Em.
Лемма 2. Для того чтобы f(r, θ) принадлежала W l
2(S), необходимо и достаточно,
чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
|f1
0 (r)| ≤ c1,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l|fkn(r)|2 ≤ c2, c1, c2 = const.
Через ãkin(r, t), akin(r, t), b̃kn(r, t), c̃kn(r, t), d̃kn(r, t), ρkn, ϕ̄
k
1n(r), ϕ̄k2n(r), φk1n(t), φk2n(t) обозна-
чим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций ai(r, θ, t)ρ(θ), ai
xi
r
ρ,
b(r, θ, t)ρ, c(r, θ, t)ρ, d(r, θ, t)ρ, ρ(θ), i = 1, . . . ,m, ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ), φ1(t, θ), φ2(t, θ), причем
ρ(θ) ∈ C∞(H).
Пусть ai(x, t), b(x, t), c(x, t) ∈ W l
2(Ωαβ) ⊂ C(Ωαβ), l ≥ m + 1, i = 1, . . . ,m, c(x, t) ≤ 0
∀(x, t) ∈ Ωβ.
Тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ) принадлежат W p
2 (S), φ1(t, θ) принадлежит W p
2 (Γα),
а φ2(t, θ) — W p
2 (Γβ), p ≥ 3m
2
, и имеет место
sinµs,nα chµs,nβ 6= cosµs,nα shµs,nβ, s = 1, 2, . . . , (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 437
то задача D однозначно разрешима, причем µs,n — положительные нули функций Бес-
селя первого рода Jn+m−2
2
(z), расположенные в порядке возрастания их величины.
Теорема 2. Решение задачи D единственно тогда и только тогда, когда выполня-
ется условие (5).
2. Разрешимость задачи D. В сферических координатах уравнение (1) в области Ωα
имеет вид
L1u ≡ urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu− utt +
m∑
i=1
ai(r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0, (6)
где δ ≡ −
∑m−1
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1 θj
∂
∂θj
)
, g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2,
j > 1.
Известно [7], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n+m−2),
n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных
функций Y k
n,m(θ).
Решение задачи D в области Ωα будем искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y k
n,m(θ), (7)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставив (7) в (6), умножив затем полученное выражение на ρ(θ) 6= 0 и проинтегри-
ровав по единичной сфере H, для ūkn получим [8 – 10]
ρ1
0ū
1
0rr − ρ1
0ū
1
0tt +
(
m− 1
r
ρ1
0 +
m∑
i=1
a1
i0
)
ū1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0+
+
∞∑
n=1
kn∑
k=1
{
ρknū
k
nrr − ρknūkntt +
(
m− 1
r
ρkn +
m∑
i=1
akin
)
ūknr + b̃knū
k
nt +
+
[
c̃kn − λn
ρkn
r2
+
m∑
i=1
(ãkin−1 − nakin)
]
ūkn
}
= 0. (8)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
ρ1
0ū
1
0rr − ρ1
0ū
1
0tt +
m− 1
r
ρ1
0ū
1
0r = 0, (9)
ρk1ū
k
1rr − ρk1ūk1tt +
m− 1
r
ρk1ū
k
1r −
λ1
r2
ρk1ū
k
1 =
= − 1
k1
(
m∑
i=1
a1
i0ū
1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0
)
, n = 1, k = 1, k1, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
438 С. А. АЛДАШЕВ
ρknū
k
nrr − ρknūkntt +
m− 1
r
ρknū
k
nr −
λn
r2
ρknū
k
n = − 1
kn
kn−1∑
k=1
{
m∑
i=1
akin−1ū
k
n−1r + b̃kn−1ū
k
n−1t +
+
[
c̃kn−1 +
m∑
i=1
(ãkin−2 − (n− 1)akin−1)
]
ūkn−1
}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (11)
Просуммировав уравнение (10) от 1 до k1, а уравнение (11) от 1 до kn, а затем сложив
полученные выражения с (9), получим уравнение (8).
Отсюда следует, что если
{
ūkn
}
, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , — решение системы (9) – (11),
то оно является решением уравнения (8).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9) – (11) можно представить в
виде
ūknrr − ūkntt +
m− 1
r
ūknr −
λn
r2
ūkn = f
k
n(r, t), (12)
где f
k
n(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f
1
0(r, t) ≡ 0.
Далее, из краевого условия (2) в силу (7) будем иметь
ūkn(r, α) = ϕk1n(r), ūkn(1, t) = φk1n(t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (13)
Выполнив в (12), (13) замену v̄kn(r, t) = ūkn(r, t)− φk1n(t), получим
v̄knrr − v̄kntt +
m− 1
r
v̄knr −
λn
r2
v̄kn = fkn(r, t), (14)
v̄kn(r, α) = ϕk1n(r), v̄kn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (15)
fkn(r, t) = f̄kn(r, t) + φk1ntt +
λn
r2
φk1n, ϕk1n(r) = ϕ̄k1n(r)− φk1n(α).
Выполнив замену v̄kn(r, t) = r
1−m
2 vkn(r, t), задачу (14), (15) сведем к следующей задаче:
Lvkn ≡ vknrr − vkntt +
λn
r2
vkn = f̃kn(r, t), (16)
vkn(r, α) = ϕ̃k1n(r), vkn(1, t) = 0, (17)
λn =
[(m− 1)(3−m)− 4λn]
4
, f̃kn(r, t) = r
m−1
2 fkn(r, t), ϕ̃k1n(r) = r
m−1
2 ϕk1n(r).
Решение задачи (16), (17) ищем в виде
vkn(r, t) = vk1n(r, t) + vk2n(r, t), (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 439
где vk1n(r, t) — решение задачи
Lvk1n = f̃kn(r, t), (19)
vk1n(r, α) = 0, vk1n(1, t) = 0, (20)
а vk2n(r, t) — решение задачи
Lvk2n = 0, (21)
vk2n(r, α) = ϕ̃k1n(r), vk2n(1, t) = 0. (22)
Решение указанных выше задач, аналогично [11], рассмотрим в виде
vkn(r, t) =
∞∑
s=1
Rs(r)Ts(t), (23)
при этом пусть
f̃kn(r, t) =
∞∑
s=1
as,n(t)Rs(r), ϕ̃k1n(r) =
∞∑
s=1
bs,nRs(r). (24)
Подставляя (23) в (19), (20), с учетом (24) получаем
Rsrr +
λn
r2
Rs + µRs = 0, 0 < r < 1, (25)
Rs(1) = 0, |Rs(0)| < ∞, (26)
Tstt + µTs = −as,n(t), 0 < t < α, (27)
Ts(α) = 0. (28)
Ограниченным решением задачи (25), (26) является [8]
Rs(r) =
√
rJν(µs,nr), (29)
где ν = n+
m− 2
2
, µ = µ2
s,n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
440 С. А. АЛДАШЕВ
Общее решение уравнения (27) представимо в виде [12]
Ts,n(t) = c1s cosµs,nt+ c2s sinµs,nt+
cosµs,nt
µs,n
t∫
0
as,n(ξ) sinµs,nξ dξ−
− sinµs,nt
µs,n
t∫
0
as,n(ξ) cosµs,nξ dξ, (30)
где c1s, c2s — произвольные постоянные. При выполнении условия (28) будем иметь
c1s cosµs,nα+ c2s sinµs,nα+
cosµs,nα
µs,n
α∫
0
as,n(ξ) sinµs,nξ dξ−
− sinµs,nα
µs,n
α∫
0
as,n(ξ) cosµs,nξ dξ = 0. (31)
Подставляя (29) в (24), получаем
r−
1
2 f̃kn(r, t) =
∞∑
s=1
as,n(t)Jν(µs,nr), 0 < r < 1,
(32)
r−
1
2 ϕ̃k1n(r) =
∞∑
s=1
bs,nJν(µs,nr), 0 < r < 1.
Ряды (32) — разложения в ряды Фурье – Бесселя [13], если
as,n(t) =
2
[Jν+1(µs,n)]2
1∫
0
√
ξf̃kn(ξ, t)Jν(µs,nξ) dξ, (33)
bs,n =
2
[Jν+1(µs,n)]2
1∫
0
√
ξϕ̃k1n(ξ)Jν(µs,nξ) dξ, (34)
µs,n, s = 1, 2, . . . , — положительные нули функций Бесселя Jν(µs,nr).
Из (29), (30) получим решение задачи (19), (20) в виде
vk1n(r, t) =
∞∑
s=1
√
rTs,n(t)Jν(µs,nr), (35)
где as,n(t) определяется из (33).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 441
Далее, подставляя (23) в (21), (22), с учетом (24) имеем
Tstt + µ2
s,nTs = 0, 0 < t < α, (36)
Ts(α) = bs,n. (37)
Общее решение уравнения (36) имеет вид
Ts,n(t) = c′1s cosµs,nt+ c′2s sinµs,nt. (38)
При выполнении условия (37) получим
c′1s cosµs,nα+ c′2s sinµs,nα = bs,n, (39)
где bs,n находится из (34).
Из (29), (38) найдем решение задачи (21), (22) в виде
vk2n(r, t) =
∞∑
s=1
√
r
(
c′1s cosµs,nt+ c′2s sinµs,nt
)
Jν(µs,nr). (40)
Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (n = 0), а затем (10), (13)(n = 1) и т. д.,
найдем последовательно все vkn(r, t) из (18), где vk1n(r, t), vk2n(r, t) k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,
определяются из (35), (40).
Итак, в области Ωα имеет место равенство∫
H
ρ(θ)L1u dH = 0. (41)
Пусть f(r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 плотна в L2((0, 1)), ρ(θ) ∈ C∞(H)
плотна в L2(H), а T (t) ∈ V1 плотна в L2((0, α)). Тогда f(r, θ, t) ∈ V, V = V0 ⊗ H ⊗ V1,
плотна в L2(Ωα) [14].
Отсюда и из (41) следует, что ∫
Ωα
f(rθ, t)L1u dΩα = 0
и
L1u = 0 ∀(r, θ, t) ∈ Ωα.
Теперь перейдем в области Ωβ к первой краевой задаче для уравнения
L2u ≡ urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu+ utt +
m∑
i=1
ai(r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0 (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
442 С. А. АЛДАШЕВ
с условием (3).
Решение задачи (42), (3) будем искать в виде (7).
Подставляя (7) в (42), имеем
ρ1
0ū
1
0rr + ρ1
0ū
1
0tt +
(
m− 1
r
ρ1
0 +
m∑
i=1
a1
i0
)
ū1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0+
+
∞∑
n=1
kn∑
k=1
{
ρknū
k
nrr + ρknū
k
ntt +
(
m− 1
r
ρkn +
m∑
i=1
akin
)
ūknr + b̃knū
k
nt +
+
[
c̃kn − λn
ρkn
r2
+
m∑
i=1
(ãkin−1 − nakin)
]
ūkn
}
= 0. (43)
Рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
ρ1
0ū
1
0rr + ρ1
0ū
1
0tt +
m− 1
r
ρ1
0ū
1
0r = 0, (44)
ρk1ū
k
1rr + ρk1ū
k
1tt +
m− 1
r
ρk1ū
k
1r −
λ1
r2
ρk1ū
k
1 =
1
k1
(
m∑
i=1
a1
i0ū
1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0
)
,
(45)
n = 1, k = 1, k1,
ρknū
k
nrr + ρknū
k
ntt +
m− 1
r
ρknū
k
nr −
λn
r2
ρknū
k
n =
1
kn
kn−1∑
k=1
{
m∑
i=1
akin−1ū
k
n−1r + b̃kn−1ū
k
n−1t+
+
[
c̃kn−1 +
m∑
i=1
(ãkin−2 − (n− 1)akin−1)
]
ūkn−1
}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (46)
Просуммировав уравнение (45) от 1 до k1, уравнение (46) от 1 до kn, а затем сложив
полученные выражения с (44), получим уравнение (43).
Отсюда следует, что если
{
ūkn
}
, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,— решение системы (44) – (46),
то оно является решением уравнения (43).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (44) – (46) можно представить в
виде
ūknrr +
m− 1
r
ūknr + ūkntt −
λn
r2
ūkn = gkn(r, t), (47)
где gkn(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом g1
0(r, t) ≡ 0.
Выполнив в (47) замену w̄kn(r, t) = ūkn(r, t)− φ̄k2n(t), получим
w̄knrr +
m− 1
r
w̄knr + w̄kntt −
λn
r2
w̄kn = gkn(r, t), (48)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 443
при этом краевое условие (3) примет вид
w̄kn(r, β) = ϕk2n(r), w̄kn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (49)
gkn(r, t) = ḡkn(r, t)− φk2ntt +
λn
r2
φk2n, ϕk2n(r) = ϕ̄k2n(r)− φk2n(β).
Выполнив замену w̄kn(r, t) = r
1−m
2 wkn(r, t), задачу (48), (49) сведем к следующей задаче:
Lwkn ≡ wknrr + wkntt +
λn
r2
wkn = g̃kn(r, t), (50)
wkn(r, β) = ϕ̃k2n(r), wkn(1, t) = 0, (51)
g̃kn(r, t) = r
m−1
2 gkn(r, t), ϕ̃k2n(r) = r
m−1
2 ϕk2n(r).
Решение задачи (50), (51) ищем в виде
wkn(r, t) = wk1n(r, t) + wk2n(r, t), (52)
где wk1n(r, t) — решение задачи
Lwk1n = g̃kn(r, t), (53)
wk1n(r, β) = 0, wk1n(1, t) = 0, (54)
а wk2n(r, t) — решение задачи
Lwk2n = 0, (55)
wk2n(r, β) = ϕ̃k2n(r), wk2n(1, t) = 0. (56)
Решение указанных выше задач рассмотрим в виде
wkn(r, t) =
∞∑
s=1
Rs(r)Vs(t), (23′)
при этом пусть
g̃kn(r, t) =
∞∑
s=1
ds,nRs(r), ϕ̃k2n(r) =
∞∑
s=1
es,nRs(r). (57)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
444 С. А. АЛДАШЕВ
Подставляя (23′) в (53), (54), с учетом (57) получаем задачу (25), (26), решение которой
имеет вид (29), и задачу
Vstt − µVs = ds,n(t), β < t < 0, (58)
Vs(β) = 0. (59)
Общее решение уравнения (58) представимо в виде [12]
Vs,n(t) = c1s chµs,nt+ c2s shµs,nt+
chµs,nt
µs,n
0∫
t
ds,n(ξ) shµs,nξ dξ−
− shµs,nt
µs,n
0∫
t
ds,n(ξ) chµs,nξ dξ. (60)
Подчинив это решение условию (59), будем иметь
c1s chµs,nβ + c2s shµs,nβ +
chµs,nβ
µs,n
0∫
β
ds,n(ξ) shµs,nξ dξ−
− shµs,nβ
µs,n
0∫
β
ds,n(ξ) chµs,nξ dξ = 0. (61)
Подставляя (29) в (57), получаем ряды
r−
1
2 g̃kn(r, t) =
∞∑
s=1
ds,n(t)Jν(µs,nr), r−
1
2 ϕ̃k2n(r) =
∞∑
s=1
es,nJν(µs,nr), 0 < r < 1,
которые являются рядами Фурье – Бесселя, если
ds,n(t) =
2
[Jν+1(µs,n)]2
1∫
0
√
ξg̃kn(ξ, t)Jν(µs,nξ) dξ,
(62)
es,n =
2
[Jν+1(µs,n)]2
1∫
0
√
ξϕ̃k2n(ξ)Jν(µs,nξ)dξ.
Из (29), (60) получим решение задачи (53), (54) в виде
wk1n(r, t) =
∞∑
s=1
√
rVs,n(t)Jν(µs,nr), (63)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 445
где ds,n(t) определяются из (62).
Далее, подставляя (23′) в (55), (56), с учетом (57) имеем
Vstt − µ2
sVs = 0, β < t < 0, (64)
Vs(β) = es,n. (65)
Общее решение уравнения (65) имеет вид
Vs,n(t) = c′1s chµs,nt+ c′2s shµs,nt. (66)
Тогда при выполнении условия (66) получим
c′1s chµs,nβ + c′2s shµs,nβ = es,n, (67)
где es,n находится из (62).
Из (29), (66) найдем решение задачи (55), (56) в виде
wk2n(r, t) =
∞∑
s=1
√
r
(
c′1s chµs,nt+ c′2s shµs,nt
)
Jν(µs,nr). (68)
Для определения неизвестных коэффициентов c1s, c2s и c′1s, c
′
2s из (30), (61) и (39), (67)
получим системы алгебрических уравнений
µs,n (c1s cosµs,nα+ c2s sinµs,nα) = (sinµs,nα)
α∫
0
as,n(ξ) cosµs,nξ dξ−
− (cosµs,nα)
α∫
0
as,n(ξ) sinµs,nξ dξ,
µs,n (c1s chµs,nβ + c2s shµs,nβ) = (shµs,nβ)
0∫
β
ds,n(ξ) chµs,nξ dξ−
− (chµs,nβ)
0∫
β
ds,n(ξ) shµs,nξ dξ,
c′1s cosµs,nα+ c′2s sinµs,nα = bs,n,
c′1s chµs,nβ + c′2s shµs,nβ = es,n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
446 С. А. АЛДАШЕВ
которые имеют единственные решения, если выполняется условие (5).
Следовательно, сначала решив задачу (44), (49) (n = 0), а затем (45), (49)(n = 1) и т. д.,
найдем последовательно все wkn(r, t) из (52), где wk1n(r, t), wk2n(r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,
определяются из (63), (68).
Итак, в области Ωβ имеет место равенство∫
H
ρ(θ)L2u dH = 0. (69)
Пусть f(r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 плотна в L2((0, 1)), ρ(θ) ∈ C∞(H)
плотна в L2(H), а T (t) ∈ V1 плотна в L2((β, 0)). Тогда f(r, θ, t) ∈ V, V = V0 ⊗ H ⊗ V1,
плотна в L2(Ωβ).
Отсюда и из (69) следует, что ∫
Ωβ
f(r, θ, t)L2udΩβ = 0
и
L2u = 0 ∀(r, θ, t) ∈ Ωβ.
Таким образом, решением задачи D в областях Ωα и Ωβ являются функции
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
{
φk1n(t) + r
1−m
2
[
vk1n(r, t) + vk2n(r, t)
]}
Y k
n,m(θ), t > 0,
(70)
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
{
φk2n(t) + r
1−m
2
[
wk1n(r, t) + wk2n(r, t)
]}
Y k
n,m(θ), t < 0,
где vk1n(r, t), vk2n(r, t) определяются из (35), (40), а wk1n(r, t), wk2n(r, t) — из (63), (68).
Учитывая следующие свойства нулей функций Бесселя [13]:
10) если µν,1, µν,2, . . . — положительные нули функций Jν(z), упорядоченные по воз-
растанию значений, то
0 < µν,1 < µν+1, 1 < µν,2 < µν+1, 2 < µν,3 < . . . , ν > −1;
20) пусть µν , µ′ν , µ
′′
ν — наименьшие положительные нули функций Jν(z), J ′ν(z), J ′′ν (z)
соответственно, тогда√
ν(ν + 2) < µν <
√
2(ν + 1)(ν + 3), ν > 0,
√
ν(ν + 2) < µ′ν <
√
2ν(ν + 1), ν > 0,√
ν(ν − 1) < µ′′ν <
√
(ν2 − 1), ν > 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 447
формулы [13, 11]
sin z = z
(
1− z
∞∑
n=1
(4n2 − 1)−1[Jn(nz)]2
)
,
Jν(z) =
√
2
πz
cos
(
z − π
2
ν − π
4
)
+ 0
(
1
z3/2
)
, ν ≥ 0,
2J ′ν(z) = Jν−1(z)− Jν+1(z)
и применяя признак Даламбера, доказываем, что ряды (35), (40), (63), (68) и продиффе-
ренцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.
Далее, используя оценки [13, 7]
|Jν(z)| ≤ 1
Γ(1 + ν)
(z
2
)ν
, (71)
|kn| ≤ c1n
m−2,
∣∣∣∣∣ ∂q∂θqj Y k
n,m(θ)
∣∣∣∣∣ ≤ c2n
m
2
−1+q, j = 1,m− 1, q = 0, 1, . . . ,
Γ(z) — гамма-функция, а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1)
и на заданные функции ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ), φ1(t, θ), φ2(t, θ), аналогично [8 – 10] показыва-
ем, что полученное решение в виде ряда (70) и дважды продифференцированные ряды
сходятся абсолютно и равномерно. Это означает, что решение (70) принадлежит классу
C(Ω̄αβ) ∩ C1(Ωαβ) ∩ C2(Ωα ∪ Ωβ).
Разрешимость задачи D доказана.
3. Единственность задачи D. Сначала построим решения задач Дирихле в области Ωα
для уравнения
L∗1v ≡ ∆xv − vtt −
m∑
i=1
aivxi − bvt + dv = 0, (6∗)
с условиями
v
∣∣
σα∪Γα
= 0, v
∣∣
S
= τ̄kn(r)Y k
n,m(θ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (72)
а также в области Ωβ для уравнения
L∗2w ≡ ∆xw + wtt −
m∑
i=1
aiwxi − bwt + dw = 0 (42∗)
с условиями
w
∣∣
σβ∪Γβ
= 0, w
∣∣
S
= τ̄kn(r)Y k
n,m(θ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (73)
где τ̄kn(r) ∈ V, V — множество функций из класса C1([0, 1]) ∩ C2((0, 1)). Решение задачи
(6∗), (72) будем искать в виде (7), где функции v̄kn(r, t) будут определены ниже. Тогда, как и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
448 С. А. АЛДАШЕВ
в п. 2, функции ῡkn удовлетворяют системам уравнений (9) – (11), где ãkin, a
k
in, b̃
k
n заменены
соответственно на −ãkin, −akin, −b̃kn, а c̃kn — на d̃kn, i = 1, . . . ,m, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Далее, из краевого условия (72) в силу (7) получим
v̄kn(r, α) = v̄kn(1, t) = 0, v̄kn(r, 0) = τ̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (74)
Как отмечено ранее, каждое уравнение системы (9) – (11) представимо в виде (12).
Задачу (12), (74) сведем к задаче
Lvkn ≡ vknrr − vkntt +
λ̄n
r2
vkn = fkn(r, t),
vkn(r, α) = vkn(1, t) = 0, vkn(r, 0) = τkn(r),
vkn(r, t) = r
m−1
2 v̄kn(r, t), fkn(r, t) = r
m−1
2 f̄kn(r, t), τkn(r) = r
m−1
2 τ̄kn(r),
решение которой имеет вид
υkn(r, t) =
∞∑
s=1
√
rTs,n(t)Jν(µs,nr),
Ts,n(t) = τs,n cosµs,nt+
−τs,n ctgµs,nα−
ctgµs,nα
µs,n
α∫
0
as,n(ξ) sinµs,nξ dξ +
+
1
µs,n
α∫
0
as,n(ξ) cosµs,nξ dξ
sinµs,nt+
cosµs,nt
µs,n
t∫
0
as,n(ξ) sinµs,nξ dξ−
− sinµs,nt
µs,n
t∫
0
as,n(ξ) cosµs,nξ dξ,
где τs,n = 2[Jν+1(µs,n)]−2
∫ 1
0
√
ξτkn(ξ)Jν(µs,nξ) dξ, sinµs,nα 6= 0, s = 1, 2, . . . .
Таким образом, решение задачи (6∗), (72) построено в виде ряда
v(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
∞∑
s=1
r
2−m
2 Ts,n(t)Jn+(m−2)/2(µs,nr)Y
k
n,m(θ)
и в силу оценок (71) принадлежит классу C1(Ω̄α) ∩ C2(Ωα).
Аналогичным образом строится решение задачи (42∗), (74) в виде
w(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
∞∑
s=1
r
2−m
2 Vs,n(t)Jn+(m−2)/2(µs,nr)Y
k
n,m(θ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 449
где
Vs,n(t) = τs,n chµs,nt+
−τs,n cthµs,nβ −
cthµs,nβ
µs,n
0∫
β
ds,n(ξ) shµs,nξ dξ +
+
1
µs,n
0∫
β
ds,n(ξ) chµs,nξ dξ
shµs,nt+
chµs,nt
µs,n
0∫
t
ds,n(ξ) shµs,nξ dξ−
− shµs,nt
µs,n
0∫
t
ds,n(ξ) chµs,nξ dξ, s = 1, 2, . . . .
Из определения сопряженных операторов [15] Lj , L∗j , j = 1, 2, имеем
vL1u− uL∗1v = −vP1(u) + uP1(v)− uvQ1, wL2u− uL∗2w = −wP2(u) + uP2(w)− uωQ2,
где
P1(u) =
m∑
i=1
uxi cos
(
N⊥1 , xi
)
−ut cos
(
N⊥1 , t
)
, P2(w) =
m∑
i=1
wxi cos
(
N⊥2 , xi
)
+wt cos
(
N⊥2 , t
)
,
Q1 =
m∑
i=1
ai cos
(
N⊥1 , xi
)
− b cos
(
N⊥1 , t
)
, Q2 =
m∑
i=1
ai cos
(
N⊥2 , xi
)
− b cos
(
N⊥2 , t
)
,
а N⊥1 , N
⊥
2 — внутренние нормали к границам ∂Ωα, ∂Ωβ.
Далее, используя формулу Грина в областях Ωα и Ωβ, получаем∫
Ωα
(vL1u− uL∗1v) dΩα =
∫
∂Ωα
[(
v
∂u
∂N1
− u ∂v
∂N1
)
M1 + uvQ1
]
ds,
(75)∫
Ωβ
(wL2u− uL∗2w) dΩβ =
∫
∂Ωβ
[(
w
∂u
∂N2
− u ∂w
∂N2
)
M2 + uwQ2
]
ds,
∂
∂N1
=
m∑
i=1
cos
(
N⊥1 , xi
) ∂
∂xi
− cos
(
N⊥1 , t
) ∂
∂t
,
∂
∂N2
=
m∑
i=1
cos
(
N⊥2 , xi
) ∂
∂xi
+ cos
(
N⊥2 , t
) ∂
∂t
,
Mj =
m∑
i=1
cos2
(
N⊥j , xi
)
+ cos2
(
N⊥j , t
)
, j = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
450 С. А. АЛДАШЕВ
Из (75), принимая во внимание однородные граничные условия (2), (3), а также условия
(72), (73), имеем ∫
S
(vut − uvt + buv) ds =
∫
S
(wut + uwt + buw)ds = 0
или ∫
S
u(vt + wt) ds = 0. (76)
Поскольку линейная оболочка системы функций {
√
rJν(µsr)Y
k
n,m(θ)} плотна в L2(S)
[14] и T ′s(0) 6= −V ′s (0), из (76) заключаем, что u(x, 0) = 0 ∀x ∈ S. Следовательно, по
принципу Хопфа [15] u = 0 в Ω̄β.
Отсюда ut(x, 0) = 0 ∀x ∈ S.
В силу единственности решения задачи Коши в области Ωα [16]: L1u = 0, u(x, 0) =
= ut(x, 0) = 0 ∀x ∈ S следует, что u = 0 в Ω̄α.
Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 следует,
что решение задачи D единственно.
Пусть теперь условие (5) не выполняется хотя бы для одного s = l.
Тогда, если решение однородной задачи, соответствующей задаче D, будем искать в
виде (7), придем к краевым задачам
Lvkn = f̃kn(r, t),
vkn(r, α) = 0, vkn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ;
Lwkn = g̃kn(r, t),
wkn(r, β) = 0, wkn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
В силу (30), (60) их решениями являются функции
vkn(r, t) =
√
r
cosµl,nt+ sinµl,nt+
cosµl,nt
µl,n
t∫
0
al,n(ξ) sinµl,nξ dξ −
−
sinµl,nt
µl,n
t∫
0
al,n(ξ) cosµl,nξ dξ
Jn+m−2
2
(µl,nr),
wkn(r, t) =
√
r
chµl,nt+ shµl,nt+
chµl,nt
µl,n
0∫
t
dl,n(ξ) shµl,nξ dξ −
−
shµl,nt
µl,n
0∫
t
dl,n(ξ) chµl,nξ dξ
Jn+m−2
2
(µl,nr).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 451
Следовательно, нетривиальные решения однородной задачи D записываются в виде
ряда
u(r, θ, t) =
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n−pr
1−m
2 vkn(r, t)Y k
n,m(θ), t > 0,
u(r, θ, t) =
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n−pr
1−m
2 ωkn(r, t)Y k
n,m(θ), t < 0.
Из оценок (71) следует, что u ∈ C(Ω̄αβ) ∩ C1(Ωαβ) ∩ C2(Ωα ∪ Ωβ), если p >
3m
2
.
Теорема 2 доказана.
1. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. —
1957. — 112, № 3. — С. 386 – 389.
2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных обла-
стях // Докл. АН СССР. — 1958. — 122, № 2. — C. 167 – 170.
3. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе // Докл. РАН. — 1993. —
332, № 6. — С. 696 – 698; 333, № 1. — С. 16 – 18.
4. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл.
РАН. — 2007. — 413, № 1. — С. 23 – 26.
5. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. — М.: Наука, 2006. —
287 с.
6. Хачев М. М. Задача Дирихле для линейных уравнений смешанного типа в канонических областях:
Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Минск, 1999. — 42 с.
7. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: Физматгиз,
1962. — 254 с.
8. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Диф-
ференц. уравнения. — 1998. — 34, № 1. — С. 64 – 68.
9. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. — Алма-
ты: Гылым, 1994. — 170 с.
10. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. — Орал: ЗКАТУ, 2007. —
139 с.
11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 659 с.
12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1965. — 703 с.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 2 т. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.
14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1976. — 543 с.
15. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1981.
16. Смирнов М.М. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981. — Т. 4. — 550 с.
Получено 03.04.12,
после доработки — 04.09.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|