Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі

Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Слюсарчук, В.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2015
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177136
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177136
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771362021-02-11T01:28:33Z Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі Слюсарчук, В.Ю. Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений. We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of almost periodic differenсе equations with discrete argument in metric space without using the H-classes of these equations. 2015 Article Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177136 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти периодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используются H-классы этих уравнений.
format	Article
author	Слюсарчук, В.Ю.
spellingShingle	Слюсарчук, В.Ю. Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі Нелінійні коливання
author_facet	Слюсарчук, В.Ю.
author_sort	Слюсарчук, В.Ю.
title	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
title_short	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
title_full	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
title_fullStr	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
title_full_unstemmed	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
title_sort	майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177136
citation_txt	Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 112-119 — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT slûsarčukvû majžeperíodičnítaperíodičnírozvâzkiríznicevihrívnânʹumetričnomuprostorí
first_indexed	2025-07-15T15:09:40Z
last_indexed	2025-07-15T15:09:40Z
_version_	1837726099120848896
fulltext	УДК 517.929 МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРI В. Ю. Слюсарчук Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11 e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com We obtain conditions for existence of almost periodic and periodic solutions of almost periodic differenсе equations with discrete argument in metric space without using theH-classes of these equations. Получены условия существования почти периодических и периодических решений почти пе- риодических разностных уравнений с дискретным аргументом в метрическом пространстве, в которых не используютсяH-классы этих уравнений. 1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай M — метричний простiр iз метрикою ρM , Z — множина всiх цiлих чисел i N — множина всiх натуральних чисел. Зафiксуємо довiльний елемент a ∈ M . Позначимо через M метричний простiр усiх вiдображень x : Z → M , для кожного з яких sup n∈Z ρM (x(n), a) < ∞, з метрикою ρM(x1,x2) = sup n∈Z ρM (x1(n),x2(n)). У просторi M визначимо оператор зсуву Sm, m ∈ Z, за допомогою формули (Smx)(n) = x(n+m), n ∈ Z. (1) Означення 1. Елемент y ∈ M називається майже перiодичним (за Бохнером) (див. [1, 2]), якщо замикання множини {Smy : m ∈ Z} у просторi M є компактною пiдмно- жиною цього простору. Множина B майже перiодичних елементiв простору M є пiдпростором цього просто- ру з метрикою ρM. Нехай B[a, r] — замкнена куля у просторi M iз центром у точцi a ∈ M та радiусом r, тобто множина {x ∈ M : ρM(x,a) ≤ r}. Означення 2. Оператор H : M → M називається майже перiодичним, якщо для кожних a ∈ M, r > 0 i послiдовностi (mk)k≥1 натуральних чисел iснує така пiдпослi- довнiсть (mkl)l≥1, що lim l1→∞ l2→∞ sup x∈B[a,r] ρM ( Sml1 HS−ml1 x, Sml2 HS−ml2 x ) = 0. c© В. Ю. Слюсарчук, 2015 112 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 113 Це означення у випадку лiнiйного майже перiодичного оператора H рiвносильне оз- наченню, що використовувалось Е. Мухамадiєвим при дослiдженнi оборотностi лiнiйних функцiональних операторiв у просторi обмежених на осi функцiй [3, 4]. Нехай K — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ M i R(x) — мно- жина значень вiдображення x, тобто множина {x(n) : n ∈ Z}. Для компактної множи- ни K ⊂ K позначимо через DK множину всiх елементiв x ∈ M, для кожного з яких R(x) ⊂ K. У подальшому ми будемо використовувати наступне означення майже перiодичного оператора. Означення 3. Оператор H : M → M називається майже перiодичним, якщо для кожних множини K ∈ K i послiдовностi (mk)k>1 цiлих чисел iснує така пiдпослiдов- нiсть (mkl)l>1, що lim l1→∞ l2→∞ sup x∈DK ρM ( Sml1 HS−ml1 x, Sml2 HS−ml2 x ) = 0. Зазначимо, що майже перiодичний за означенням 3 оператор H може не бути майже перiодичним за означенням 2 (вiдповiдний приклад наведено в пунктi 2). Однак майже перiодичний за означенням 2 оператор H є майже перiодичним i за означенням 3. Розглянемо майже перiодичний у сенсi означення 3 рiзницевий оператор F : M → M, що визначається за допомогою формули (Fx)(n) = F (n,x(n),x(n+m1), . . . ,x(n+mk)), n ∈ Z, де x ∈ M, k ∈ N, m1, . . . ,mk ∈ Z i F : Z × Mk+1 → M — вiдображення, для якого множина F (Z×M1×. . .×Mk+1) є обмеженою для всiх обмежених множинM1, . . . ,Mk+1 ⊂ ⊂ M. Оператору F поставимо у вiдповiднiсть рiзницеве рiвняння Fx = h, (2) де h ∈ B. Метою статтi є встановлення умов, при виконаннi яких обмеженi розв’язки рiвняння (2) є майже перiодичними. При дослiдженнi рiвняння (2) будемо використовувати один функцiонал, визначений на множинi розв’язкiв цього рiвняння, множини значень яких є пiдмножинами компактних множин. 2. Приклад майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодич- ним за означенням 2. Нехай метричний простiр M є таким, що iснують елемент y = y(n) простору M i число µ > 0, для яких: 1) y(n) = y(1) для всiх n < 1; 2) ρM (y(n1),y(n2)) ≥ µ, якщо n1, n2 ∈ N i n1 6= n2. Таким простором є кожний нескiнченновимiрний банаховий простiр, якщо метрику ρ визначити за допомогою рiвностi (див. [5, c. 203]) ρ(x, y) = ‖x− y‖. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 114 В. Ю. СЛЮСАРЧУК Розглянемо множину S усiх елементiв x ∈ M, замикання множин значень яких є компактними пiдмножинами простору M. Зафiксуємо довiльний елемент b просторуM i розглянемо елемент b = b(n) простору M, для якого b(n) = b для всiх n ∈ Z. Визначимо оператор G : M → M за допомогою рiвностi Gx = { b, якщо x ∈ S, y, якщо x ∈ M \S. Очевидно, що для кожної компактної множини K ⊂ M {SmGS−mx : m ∈ Z,x ∈ DK} = {SmGS−mx : m ∈ Z,x ∈ S} = {b}. Тому оператор G : M → M є майже перiодичним у сенсi означення 3. Однак цей опера- тор не є майже перiодичним у сенсi означення 2. Справдi, зафiксуємо довiльний елемент z ∈ M \S. Очевидно, що SmGS−mz = Smy (3) для кожного m ∈ Z. Тому ρM(Sm1y, Sm2y) = sup n∈Z ρM (y(n+m1),y(n+m2)) = lim n→+∞ ρM (y(n+m1),y(n+m2)) ≥ µ, якщо m1 6= m2. Отже, якщо m1 6= m2 i {Smz : m ∈ Z} ⊂ B[b, r] (r — деяке додатне число), то sup x∈B[b,r] ρM (Sm1HS−m1x, Sm2HS−m2x) ≥ µ > 0. Звiдси, iз спiввiдношення (3) та означення 2 випливає, що оператор G не є майже перiо- дичним у сенсi означення 2. 3. Функцiонал δ. Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору M. Визначимо дiаметр множини Λ рiвнiстю diam Λ = sup{ρM (x, y) : x, y ∈ Λ}. Зафiксуємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N(F,K) множину всiх роз- в’язкiв рiвняння (2), для кожного з яких R(x) ⊂ K. Вважатимемо, що N(F,K) 6= ∅. Розглянемо елемент x∗ ∈ N(F,K), для якого diamR(x∗) 6= 0, i додатне число r(x∗,K) = sup { ρM (x, y) : x ∈ R(x∗), y ∈ K } . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 115 Зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину всiх елементiв y ∈ M, для кожного з яких R(y) ⊂ K i ρM(y,x∗) ≥ ε. Розглянемо функцiонал δ(x∗,K, ε) = inf y∈Ω(x∗,K,ε) ρM(Fy,Fx∗). (4) Цей функцiонал будемо використовувати для дослiдження рiвняння (2). 4. Основний результат. За допомогою розглянутого функцiонала δ отримаємо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння (2), в яких на вiдмiну вiд вiдомої тео- реми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див. [6, 7]) не використовуються H-клас рiвняння (2) та вiдокремленiсть розв’язкiв рiвнянь H-класу цього рiвняння. Теорема 1. Нехай K ∈ K. Якщо для розв’язку x∗ ∈ N(F,K) рiзницевого рiвняння (2) diamR(x∗) 6= 0 i виконується спiввiдношення δ(x∗,K, ε) > 0 (5) для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним. Зауваження 1. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) = 0, є ста- лим i, отже, майже перiодичним. Доведення. Припустимо, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) не є елементом про- стору B. Тодi iснує послiдовнiсть ( Smpx ∗) p≥1 , для якої кожна пiдпослiдовнiсть ( Skpx ∗) p≥1 буде розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 натуральних чисел i числа γ ∈ (0, diamR(x∗)) ρM(Skprx ∗, Skqrx ∗) ≥ γ, r ≥ 1. Тому ρM(x∗, S−kprSkqrx ∗) ≥ γ, r ≥ 1, i, отже, S−kprSkqrx ∗ ∈ Ω(x∗,K, γ), r ≥ 1. (6) Не обмежуючи загальностi доведення можна на пiдставi включення h ∈ B вважати, що lim r→∞ ρM ( S−kprh, S−kqrh ) = 0. (7) Зазначимо, що diamR(x∗)) ≤ r(x∗,K)). Не зменшуючи загальностi можна вважати, що послiдовнiсть (SkpFS−kpx)p≥1 збiгається рiвномiрно на DK . Тому lim p,q→∞ sup x∈DK ρM(SkpFS−kpx, SkqFS−kqx) = 0. (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 116 В. Ю. СЛЮСАРЧУК Покажемо, що δ(x∗,K, γ) = 0. (9) Очевидно, що завдяки (4) i (8) δ(x∗,K, γ) = inf y∈Ω(x∗,K,γ) ρM(Fy,Fx∗) ≤ ρM(FS−kprSkqrx ∗,Fx∗), r ≥ 1. (10) Оскiльки ρM(FS−kprSkqrx ∗,Fx∗) = = ρM ( S−kpr ( SkprFS−kpr ) Skqrx ∗, S−kqr ( SkqrFS−kqr ) Skqrx ∗) ≤ ≤ ρM ( S−kpr ( SkprFS−kpr ) Skqrx ∗, S−kpr ( SkqrFS−kqr ) Skqrx ∗)+ + ρM ( S−kpr ( SkqrFS−kqr ) Skqrx ∗, S−kqr ( SkqrFS−kqr ) Skqrx ∗) = = ρM (( SkprFS−kpr ) Skqrx ∗, ( SkqrFS−kqr ) Skqrx ∗)+ + ρM ( S−kprSkqrh, S−kqrSkqrh ) ≤ ≤ sup x∈DK ρM ( SkprFS−kprx, SkqrFS−kqrx ) + + ρM ( S−kprh, S−kqrh ) , r ≥ 1, то на пiдставi (7), (8) i (10) справджується рiвнiсть (9). Це суперечить (5). Отже, припущен- ня, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) не є елементом простору B, є хибним. Теорему 1 доведено. 5. Умови перiодичностi розв’язкiв рiвняння (2). Дослiдимо рiвняння (2) у випадку, коли множина значень розв’язку цього рiвняння є скiнченною, а отже, i компактною множи- ною. Теорема 2. НехайK — довiльна скiнченна пiдмножина просторуM.Якщо для розв’яз- ку x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) 6= 0, виконується спiввiдношення δ(x∗,K, ε) > 0 (11) для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є перiодичним. Зауваження 2. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2), для якого diamR(x∗) = 0, є ста- лим i, отже, перiодичним. Доведення. Розглянемо число µ = inf x,y∈K, x6=y ρM (x, y), що завдяки умовам теореми є додатним. Оскiльки за теоремою 1 розв’язок x∗ рiвняння (2) є майже перiодичним, то ρM(Smx ∗,x∗) < µ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 117 для деякого числа m ∈ Z \ {0}. Тому Smx ∗ = x∗, що означає перiодичнiсть розв’язку x∗. Теорему 2 доведено. Зауваження 3. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (2) з нескiнченною множиною зна- чень, що задовольняє умови теореми 1, не може бути перiодичним. 6. Додатковi зауваження. Функцiонали, аналогiчнi до функцiонала δ, вперше були за- стосованi автором у статтях [8 –12] при дослiдженнi нелiнiйних майже перiодичних рiв- нянь x(t+ 1) = f(t, x(t)), t ∈ R, (12) dx(t) dt = f(t, x(t)), t ∈ R, (13) f(t, x(t)) = 0, t ∈ R, (14) i G(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆m)) = 0, t ∈ R, (15) вiдповiдно. Тут f : R × E → E i G : R × Em+1 → E — неперервнi оператори, R — множина всiх дiйсних чисел, E — банаховий простiр i ∆1, . . . ,∆m — довiльнi дiйснi числа. Аналогiчний функцiонал при дослiдженнi нелiнiйного рiзницевого рiвняння x(n+ 1) = g(n, x(n)), n ∈ Z, (16) та не розв’язаного вiдносно похiдної нелiнiйного диференцiального рiвняння F ( t, x(t), dx(t) dt ) = 0, t ∈ R, (17) використовувався вiдповiдно у [13] i [14]. Наведенi в пунктах 4 i 5 умови iснування майже перiодичних i перiодичних розв’язкiв рiвняння (2), що використовують функцiонал δ, є новими. На вiдмiну вiд згадуваної теоре- ми Амерiо в теоремi 1 не використовуютьсяH-клас рiвняння (2) та умова вiдокремлення розв’язкiв рiвняньH-класу цього рiвняння. Дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [15], а для не- лiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [6]. У цих роботах суттєво викори- стовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [6] використовується також вимога вiдо- кремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були покращенi Е. Муха- мадiєвим [3, 4]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [16 – 18]. Важливi ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 118 В. Ю. СЛЮСАРЧУК результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [2], Амерiо [19] та В. В. Жи- кову [20]. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь (12) – (17) без використанняH-класiв цих рiвнянь отримано автором у [8 – 14]. Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь (вимога iснуван- ня таких розв’язкiв у теоремах 1 i 2 є суттєвою) отримано у [21 – 24]. 1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. — 1927. — 96, I Teil. — S. 119 – 147; II Teil. — S. 383 – 409. 2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с. 3. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274. 4. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460. 5. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. — Київ: Вища шк., 1974. — 456 с. 6. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann. mat. pura ed appl. — 1955. — 39. — P. 97 – 119. 7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c. 8. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 1. — С. 118 – 124. 9. Slyusarchuk V. Yu. Conditions of almost periodicity for bounded solutions of nonlinear difference equations with continuous argument // J. Math. Sci. — 2014. — 197, № 1. — P. 122 – 128. 10. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 2. — С. 307 – 312. 11. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що не викори- стовує H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. — 2013. — 1, № 1 – 2. — С. 136 – 138. 12. Слюсарчук В. Ю. Дослiдження майже перiодичних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом, що не використовує H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. — 2013. — 1, № 3 – 4. — С. 137 – 143. 13. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дис- кретним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 3. — С. 416 – 425. 14. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної нелiнiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 3. — С. 384 – 393. 15. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. — 1927. — 51. — P. 31 – 81. 16. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. – 1981. — 116(158), № 4(12). — С. 483 – 501. 17. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. — 1986. — 130(172), № 1(5). — C. 86 – 104. 18. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально- дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267. 19. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. — 1960. — 30. — P. 288 – 301. 20. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в слу- чае произвольного банахова пространства // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — С. 121 – 126. 21. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2009. — Вип. 454. — С. 88 – 94. 22. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 368 – 378. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 119 23. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 112 – 126. 24. Slyusarchuk V. Yu. Method of locally linear approximation of nonlinear difference operators by weakly regular operators // J. Math. Sci. — 2012. — 187, № 4. — P. 494 – 510. Одержано 10.03.14, пiсля доопрацювання — 25.09.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1

Майже періодичні та періодичні розв'язки різницевих рівнянь у метричному просторі

Репозитарії

Схожі ресурси