Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах
Розвинуто варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi про вiльнi коливання рiдини в осесиметричному резервуарi складної геометрiї, що поставлена з позицiй методу спряження. Отримано узагальнений функцiонал, для якого умови спряження на сумiжнiй частинi введених пiдобластей є природними граничн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177137 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 120-132 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177137 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771372021-02-11T01:28:44Z Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах Троценко, Ю.В. Розвинуто варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi про вiльнi коливання рiдини в осесиметричному резервуарi складної геометрiї, що поставлена з позицiй методу спряження. Отримано узагальнений функцiонал, для якого умови спряження на сумiжнiй частинi введених пiдобластей є природними граничними умовами. За допомогою методу Трефтца розв’язання вихiдної задачi зведено до розв’язання алгебраїчної задачi невеликої розмiрностi. Наведено результати розрахункiв, якi демонструють ефективнiсть запропонованого пiдходу. We develop a variation method for solving a spectral problem for free oscillations of fluid in a complex geometry reservoir having an axis symmetry. The problem is formulated as to use the bridging method. We obtain a generalized functional such that the conjugacy conditions on the bordering parts of the introduced domains make natural boundary-value conditions. We use the Trefts method to reduce the initial problem to a problem of solving an algebraic problem the dimension of which is not too large. The calculations performed show effectiveness of the proposed method. 2015 Article Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 120-132 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177137 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розвинуто варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi про вiльнi коливання рiдини в осесиметричному резервуарi складної геометрiї, що поставлена з позицiй методу спряження. Отримано узагальнений функцiонал, для якого умови спряження на сумiжнiй частинi введених пiдобластей є природними граничними умовами. За допомогою методу Трефтца розв’язання вихiдної задачi зведено до розв’язання алгебраїчної задачi невеликої розмiрностi. Наведено результати розрахункiв, якi демонструють ефективнiсть запропонованого пiдходу. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Троценко, Ю.В. Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах Нелінійні коливання |
| author_facet |
Троценко, Ю.В. |
| author_sort |
Троценко, Ю.В. |
| title |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| title_short |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| title_full |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| title_fullStr |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| title_full_unstemmed |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| title_sort |
определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177137 |
| citation_txt |
Определение частот и форм собственных колебаний жидкости в составных резервуарах / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 120-132 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkoûv opredeleniečastotiformsobstvennyhkolebanijžidkostivsostavnyhrezervuarah |
| first_indexed |
2025-07-15T15:09:45Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:09:45Z |
| _version_ |
1837726105112412160 |
| fulltext |
УДК 517.9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ
КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В СОСТАВНЫХ РЕЗЕРВУАРАХ
Ю. В. Троценко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: trots@imath.kiev.ua
We develop a variation method for solving a spectral problem for free oscillations of fluid in a complex
geometry reservoir having an axis symmetry. The problem is formulated as to use the bridging method. We
obtain a generalized functional such that the conjugacy conditions on the bordering parts of the introduced
domains make natural boundary-value conditions. We use the Trefts method to reduce the initial problem
to a problem of solving an algebraic problem the dimension of which is not too large. The calculations
performed show effectiveness of the proposed method.
Розвинуто варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi про вiльнi коливання рiдини в
осесиметричному резервуарi складної геометрiї, що поставлена з позицiй методу спряження.
Отримано узагальнений функцiонал, для якого умови спряження на сумiжнiй частинi введених
пiдобластей є природними граничними умовами. За допомогою методу Трефтца розв’язання
вихiдної задачi зведено до розв’язання алгебраїчної задачi невеликої розмiрностi. Наведено ре-
зультати розрахункiв, якi демонструють ефективнiсть запропонованого пiдходу.
Решение многих задач механики сплошной среды для составных областей зачастую мо-
жет быть существенно упрощено, если область разделить на отдельные подобласти, вво-
дя на поверхностях раздела соответствующие условия сопряжения. Построение прибли-
женных решений задач в такой постановке обусловлено определенными трудностями,
связанными с выполнением условий сопряжения.
Задача о линейных собственных колебаниях идеальной и несжимаемой жидкости в
неподвижном резервуаре относительно потенциала смещений Φ(x, y, z) имеет вид [1]
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y2
+
∂2Φ
∂z2
= 0, (x, y, z) ∈ Q,
(1)(
∂Φ
∂ν
− κΦ
)∣∣∣∣
Σ
= 0,
∂Φ
∂ν
∣∣∣∣
S
= 0,
∫
Σ
ΦdS = 0,
где Σ — невозмущенная свободная поверхность жидкости, S — смачиваемая поверхность
резервуара, Q — область, ограниченная поверхностью Σ ∪ S, ~ν — орт внешней нормали
к поверхностям Σ и S, κ — частотный параметр, который подлежит определению.
Пусть резервуар имеет форму тела вращения. ОсьOz декартовой системы координат
Oxyz совместим с осью симметрии емкости и направим ее в сторону свободной поверх-
ности Σ. Введем цилиндрическую систему координат Oxrη:
x = r cos η, y = r sin η, z = z. (2)
c© Ю. В. Троценко, 2015
120 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 121
В дальнейшем будем рассматривать антисимметричные колебания жидкости в плос-
кости Oyz, для которых главный вектор гидродинамических сил, действующих на ре-
зервуар, отличен от нуля. С учетом осевой симметрии резервуара представим функцию
Φ(x, y, z) в виде
Φ(x, y, z) = ψ(r, z) sin η. (3)
Тогда для составляющей потенциала смещений ψ(r, z) получим следующую спектраль-
ную задачу в области G меридионального сечения сосуда:
M(ψ) =
∂
∂r
(
r
∂ψ
∂r
)
+
∂
∂z
(
r
∂ψ
∂z
)
− 1
r
ψ = 0, (z, r) ∈ G,
(4)(
∂ψ
∂z
− κψ
)∣∣∣∣
L0
= 0,
∂ψ
∂ν
∣∣∣∣
L
= 0, ψ(0, z) = 0.
Здесь L0 и L — линии пересечения меридионального сечения сосуда с поверхностями Σ и
S соответственно.
Однородная краевая задача (4) с параметром κ в граничном условии эквивалентна
вариационной задаче для функционала [1]:
I =
∫
G
r
[(
∂ψ
∂z
)2
+
(
∂ψ
∂r
)2
+
1
r
ψ2
]
dG− κ
∫
L0
rψ2ds (5)
на классе функций, интегрируемых с квадратом вместе и их первыми производными и
подчиненных последнему граничному условию из (4). Стационарные значения функцио-
нала (5) достигаются на собственных значениях и функциях задачи (4).
На основе вариационной формулировки задачи (4) и метода Трефтца ранее был ре-
шен широкий класс задач по определению частот и форм собственных колебаний
жидкости в осесимметричном резервуаре [1, 2]. Однако для удлиненных вдоль оси Oz
емкостей, у которых радиус свободной поверхности жидкости намного меньше продоль-
ного размера сосуда, сходимость метода Трефтца существенно замедляется, что приво-
дит к необходимости проведения большого числа вычислений. Для рассматриваемого
класса резервуаров решение задачи (4) может быть эффективно построено, если исхо-
дить при этом с позиций задач сопряжения.
Разобьем область G линией γ на две подобласти G(1) и G(2). При этом область G(1)
будет ограничена осью Oz, линиями L0, L
(1) и γ, а область G(2) — соответственно осью
Oz и линиями L(2) и γ. Здесь L(1) и L(2) — линии пересечения меридионального сечения
резервуара со смачиваемыми границами областейG(1) иG(2) соответственно. Обозначим
решения исходной задачи (4) в подобластях G(1) и G(2) через ψ(1) и ψ(2). В дальнейшем
верхний индекс во всех встречающихся функциях будет обозначать область, в которой
эти функции определены. При этом для функций ψ(1) и ψ(2), а также их производных на
смежной линии γ подобластей G(1) и G(2) должны выполняться условия сопряжения
(
ψ(1) = ψ(2)
)∣∣∣
γ
,
(
∂ψ(1)
∂ν(1)
= −∂ψ
(2)
∂ν(2)
)∣∣∣∣∣
γ
, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
122 Ю. В. ТРОЦЕНКО
где ~ν(1) и ~ν(2) — орты внешних нормалей к областям G(1) и G(2) соответственно. Условия
(6) фигурируют наравне с граничными условиями исходной задачи.
Для построения приближенного решения сформулированной задачи сопряжения бу-
дем использовать вариационный метод, который для одномерных задач применялся в
работах [3, 4]. Заменив в функционале (5) интеграл по области G суммой интегралов по
областям G(1) и G(2), представим его в виде
I =
2∑
i=1
∫
G(i)
F (ψ(i))dG(i) − κ
∫
L0
r
(
ψ(1)
)2
ds, (7)
где
F
(
ψ(i)
)
= r
(∂ψ(i)
∂z
)2
+
(
∂ψ(i)
∂r
)2
+
1
r
(
ψ(i)
)2
.
Вычислим первую вариацию функционала (7), не накладывая никаких ограничений
на варьируемые функции, кроме условия на оси Oz.
Пусть имеем две произвольные функции ψ(r, z) и ϕ(r, z), которые вместе с их пер-
выми производными являются непрерывными функциями в некоторой областиG вплоть
до ее границы Γ. Введем в рассмотрение следующий интеграл:
K(ψ,ϕ) =
∫
G
r
[
∂ψ
∂r
∂ϕ
∂r
+
∂ψ
∂z
∂ϕ
∂z
]
dG.
Преобразуем его с помощью формулы Грина:
K(ψ,ϕ) =
∫
G
[
∂
∂r
(
r
∂ψ
∂r
ϕ
)
+
∂
∂z
(
r
∂ψ
∂z
ϕ
)]
dG−
∫
G
[
r
∂2ψ
∂r2
+ r
∂2ψ
∂z2
+
∂ψ
∂r
]
ϕdG =
= −
∫
G
[
M(ψ) +
1
r
ψ
]
ϕdG+
∫
Γ
r
∂ψ
∂ν
ϕ ds. (8)
С учетом формулы (8) и принятых обозначений первую вариацию от функционала (7)
можно представить в виде
δI = 2
2∑
k=1
∫
L(k)
∂ψ(k)
∂ν(k)
δψ(k)rds+
∫
γ(k)
∂ψ(k)
∂ν(k)
δψ(k)rds −
−
∫
G(k)
M(ψ(k))δψ(k)dG(k)
+ 2
∫
L0
[
∂ψ(1)
∂ν(1)
− κψ(1)
]
rδψ(1) ds. (9)
Отметим, что интегрирование вдоль линии γ, в силу принятого разбиения области G,
выполняется дважды в противоположных направлениях. Поэтому здесь через γ(k) обо-
значены контуры интегрирования по линии γ со стороны областей G(k) соответственно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 123
Приравнивая (9) к нулю, получаем вариационное уравнение для определения функ-
ций ψ(k)(r, z) и параметра κ. Из этого уравнения в силу произвольного варьирования
функций ψ(k) в областях G(k) и на границах L0 и L(k), k = 1, 2, следует, что в пределах
каждой из введенных подобластей должны выполняться исходные уравнения и соответ-
ствующие граничные условия на контурах L0 и L(k).
Далее, если предположить, что класс допустимых функций подчинен условию
(
ψ(1) − ψ(2)
)∣∣∣
γ
= 0, (10)
то второе условие сопряжения (6) будет естественным граничным условием для функ-
ционала I.
Итак, при использовании метода Ритца для решения вариационного уравнения δI = 0
аппроксимации для функций ψ(k) должны выбираться таким образом, чтобы они обе-
спечивали выполнение условия (10) на контуре γ. В этом случае остальные граничные
условия задачи для рассматриваемого функционала будут естественными граничными
условиями. Построение координатных функций, удовлетворяющих граничному условию
(10), вызывает определенные трудности. В связи с этим возникает проблема построения
такого функционала F1, для которого все условия сопряжения (6) были бы естествен-
ными граничными условиями.
Если рассматривать условие (10) как дополнительное ограничение на задачу нахо-
ждения стационарного значения функционала I(ψ), то можно воспользоваться методом
Лагранжа для построения такого функционала. В соответствии с этим введем в рассмот-
рение новый функционал F1(ψ, α), который имеет вид
F1(ψ, α) = I(ψ) +
∫
γ
α
(
ψ(1) − ψ(2)
)
rds, (11)
где α(s) — неизвестная функция, заданная на контуре γ и подлежащая определению в
дальнейшем. Эта функция называется множителем Лагранжа.
Стационарное значение функционала (11) нужно искать при свободном варьирова-
нии функций ψ(k) и α. Следовательно, введение множителя Лагранжа приводит к увели-
чению числа неизвестных функций рассматриваемой задачи. Во избежание искусствен-
ного повышения числа неизвестных функций исходной задачи найдем явное выражение
для множителя Лагранжа. Тогда, в отличие от работы [5], где искомые функции и мно-
житель Лагранжа находились методом Ритца, после замены функции α(s) в функциона-
ле (11) на установленное ее явное выражение можно получить обобщенный функционал
относительно функций ψ(k). Это позволит существенно упростить алгоритм нахождения
приближенного решения вариационной задачи с помощью метода Ритца.
Вычислим первую вариацию функционала (11) и приравняем ее к нулю. С учетом
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
124 Ю. В. ТРОЦЕНКО
выражения (9) будем иметь
δF1 =
2∑
k=1
∫
L(k)
∂ψ(k)
∂ν(k)
δψ(k)rds−
∫
G(k)
M(ψ(k))δψ(k)dG(k)
+
+
∫
L0
(
∂ψ(1)
∂ν(1)
− κψ(1)
)
δψ(1)rds+
∫
γ
(
∂ψ(1)
∂ν(1)
+
α
2
)
δψ(1)rds+
+
∫
γ
(
∂ψ(2)
∂ν(2)
− α
2
)
δψ(2)rds+
1
2
∫
γ
δα
(
ψ(1) − ψ(2)
)
rds = 0. (12)
Здесь было учтено, что при изменении направления пути интегрирования на противопо-
ложный криволинейный интеграл первого рода не меняется.
Из свободного варьирования функций ψ(k) на границе γ из вариационного уравнения
(12) вытекают соотношения
α
2
= − ∂ψ(1)
∂ν(1)
∣∣∣∣∣
γ
,
α
2
=
∂ψ(2)
∂ν(2)
∣∣∣∣∣
γ
. (13)
Складывая эти два равенства, получаем выражение для множителя Лагранжа:
α =
(
∂ψ(2)
∂ν(2)
− ∂ψ(1)
∂ν(1)
)∣∣∣∣∣
γ
. (14)
С учетом этого соотношения обобщенный функционал F (ψ(1), ψ(2)) имеет вид
F (ψ(1), ψ(2)) = I(ψ(1), ψ(2)) +
∫
γ
(
ψ(1) − ψ(2)
)(∂ψ(2)
∂ν(2)
− ∂ψ(1)
∂ν(1)
)
rds. (15)
Применяя стандартные приемы вариационного исчисления, убеждаемся, что уравне-
ниями Эйлера для функционала (15) будут уравнения (4). При этом краевые условия за-
дачи и условия сопряжения (6) для него являются естественными граничными условиями,
так как они автоматически выполняются для функций ψ(k), доставляющих функционалу
F стационарное значение. Это является важным фактором при решении задач сопряже-
ния вариационным методом.
Полученные результаты позволяют теперь перейти к построению приближенного
решения исходной задачи на основе метода Ритца. В связи с этим представим искомые
функции в виде следующих отрезков обобщенных рядов:
ψ(1)(r, z) =
m0∑
j=1
ajW
(1)
j , ψ(2)(r, z) =
n0∑
j=1
bjW
(2)
j , (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 125
где aj , bj — произвольные постоянные,
{
W
(1)
j
}∞
j=1
и
{
W
(2)
j
}∞
j=1
— системы базисных
функций для областей G(1) и G(2), которые удовлетворяют условию M
(
W
(k)
j
)
= 0, k =
= 1, 2.
Требование, чтобы системы базисных функций удовлетворяли исходному уравнению,
позволяет избавиться от вычисления двойных интегралов по области G(k) при нахожде-
нии коэффициентов алгебраической системы уравнений относительно постоянных aj и
bj .
Коэффициенты разложений (16) определяются из условий стационарности функцио-
нала (15):
∂F
∂ai
= 0,
∂F
∂bi
= 0. (17)
В итоге решение исходной задачи сводится к решению обобщенной алгебраической за-
дачи собственных значений
(A− κB) ~X = 0,
(18)
~XT = {a1, a2, . . . , am0 , b1, b2, . . . , bn0}.
Формирование элементов αij и βij матрицA иB будем осуществлять на основе вариа-
ционного уравнения δF = 0 c использованием выражения (9). При вычислении ∂F/∂ai в
вариации для функционала F полагаем δψ(1) = W
(1)
i , δψ(2) = 0. При нахождении ∂F/∂bi
полагаем δψ(1) = 0, δψ(2) = W
(2)
i . В результате получим следующие выражения для эле-
ментов αij и ненулевых элементов βij :
αi,j = 2
∫
Γ(1)
W
(1)
i
∂W
(1)
j
∂ν(1)
rds−
∫
γ
(
W
(1)
i
∂W
(1)
j
∂ν(1)
+W
(1)
j
∂W
(1)
i
∂ν(1)
)
rds, i, j = 1, 2, . . . ,m0,
αi,j+m0 =
∫
γ
(
W
(1)
i
∂W
(2)
j
∂ν(2)
+W
(2)
j
∂W
(1)
i
∂ν(1)
)
rds, i = 1, 2, . . . ,m0, j = 1, 2, . . . , n0,
αi+m0,j =
∫
γ
(
W
(2)
i
∂W
(1)
j
∂ν(1)
+W
(1)
j
∂W
(2)
i
∂ν(2)
)
rds, i, j = 1, 2, . . . , n0, (19)
αi+m0,j+m0 = 2
∫
Γ(2)
W
(2)
i
∂W
(2)
j
∂ν(2)
rds−
∫
γ
(
W
(2)
i
∂W
(2)
j
∂ν(2)
+W
(2)
j
∂W
(2)
i
∂ν(2)
)
rds, i, j = 1, 2, . . . , n0,
βi,j = 2
∫
L0
W
(1)
i W
(1)
j rds, i, j = 1, 2, . . . ,m0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
126 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Напомним, что Γ(k), k = 1, 2, — границы областей G(k) (Γ(1) = L(1) ∪ L0 ∪ γ, Γ(2) =
= L(2) ∪ γ). Симметричность матрицы A вытекает из симметричности оператора исход-
ной задачи. Элементы матриц A и B с высокой степенью точности могут быть вычисле-
ны с помощью квадратурных формул Гаусса.
Выражения для коэффициентов матрицы A в некоторых случаях могут быть сущест-
венно упрощены за счет рационального выбора систем базисных функций для аппрок-
симации решений ψ(1) и ψ(2) в областях G(1) и G(2) соответственно.
В качестве примера рассмотрим составной сосуд, который имеет форму прямого кру-
гового цилиндра единичного радиуса с произвольным осесимметричным днищем. Мери-
диональное сечение такого сосуда представлено на рисунке.
Для сосудов, у которых радиус свободной поверхности жидкости значительно меньше
их продольного размера, сходимость последовательных приближений метода Трефтца,
полученных на основе функционала (5), существенно замедляется, что приводит к поте-
ре устойчивости вычислительного процесса до достижения предельных значений реше-
ний спектральной задачи (4) [1, 2]. Для такого класса резервуаров решение задачи (4)
может быть эффективно построено, если исходить при этом с позиций предложенного
алгоритма.
Разобьем область G прямой линией γ, которая перпендикулярна оси Oz, на две под-
области G(1) и G(2). В этом случае область G(1) будет иметь форму прямоугольника еди-
ничной ширины и высоты h1. Применяя метод разделения переменных, координатные
функции для подобласти G(1) целесообразно выбрать в виде
W
(1)
i = {ζi cosh[ζi(z − h1)] + κ sinh[ζi(z − h1)]} J1(ζir), (20)
где J1(x) — функция Бесселя первого рода и первого порядка; ζi — i -й корень уравнения
J ′1(x) = 0.
Представленная система координатных функций
{
W
(1)
i
}∞
i=1
заведомо удовлетворяет
исходному уравнению в областиG(1) и граничным условиям для функцииψ(1) на контурах
L0 и L1. Кроме того, эти функции ортогональны между собой с весом r.
Для подобласти G(2) в качестве координатных функций выберем собственные функ-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 127
ции следующей однородной граничной задачи с параметром в граничном условии:
M(W
(2)
i ) = 0,
(21)
∂W
(2)
i
∂ν(2)
∣∣∣∣∣
L(2)
= 0,
(
∂W
(2)
i
∂ν(2)
− ωiW (2)
i
)∣∣∣∣∣
γ
= 0, i = 1, 2, . . . .
Граничная задача (21) определяет свободные колебания жидкости в сосуде, имеющем
форму днища рассматриваемого резервуара. Все собственные значения ωi задачи (21)
действительны и положительны и имеют единственную предельную точку, расположен-
ную на бесконечности. В свою очередь, совокупность собственных функций обладает
свойством полноты на линии γ и удовлетворяет условиям ортогональности [1]
∫
γ
W (2)
n W (2)
m rds = 0,
∫
γ
∂W
(2)
n
∂z
∂W
(2)
m
∂z
rds = 0, n 6= m. (22)
Приближенное решение задачи (21) можно представить в виде
W
(2)
i =
K0∑
k=1
X
(i)
k Vk(z, r), (23)
где X
(i)
k — неопределенные постоянные, а {Vk}∞k=1 — система линейно независимых
частных решений исходного уравнения в сферической системе координат. В переменных
r и z эти функции имеют вид [1]
V1 = r, V2 = zr, V3 = z2r − 1
4
r3. (24)
Дальнейшее вычисление функций Vk и их первых частных производных основано на
использовании рекуррентных формул [1]
Vk+1 =
[
(2k + 1)zVk − (k − 1)(z2 + r2)Vk−1
]
k + 2
,
∂Vk
∂z
= (k − 1)Vk−1, r
∂Vk
∂r
= kVk − (k − 1)zVk−1.
Постоянные X(i)
k находятся из условий стационарности функционала (5). В результа-
те определение векторов ~X(i) =
{
X
(i)
1 , X
(i)
2 , . . . , X
(i)
K0
}
сводится к решению однородной
алгебраической системы
(Ã− ωiB̃) ~X(i) = 0, (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
128 Ю. В. ТРОЦЕНКО
в которой элементы aij и bij матриц Ã и B̃ вычисляются по формулам
αi,j =
∫
L(2)∪γ
Vi
∂Vj
∂ν(2)
rds, bi,j =
∫
γ
ViVjrds.
Система базисных функций {Vk}∞k=1 в большинстве случаев обеспечивает нахождение
с достаточно высокой точностью только первых трех-четырех собственных функций и
собственных значений задачи (21). Определения произвольного конечного числа функ-
ций W
(2)
i (z, r) можно достичь за счет расширения класса допустимых функций такими
функциями, которые учитывали бы свойство локализации высших собственных функ-
ций в окрестности границы γ области G(2) и их большую изменяемость при удалении от
этой границы внутрь области G(2). В связи с этим, следуя работе [6], получаем новую
систему базисных функций
{
Ṽk
}∞
k=1
, которая имеет следующую структуру:
{
Ṽk
}N0
k=1
= {V1, V2, . . . , VK0 , VK0+1, VK0+2, . . . , VK0+i} ,
(26)
N0 = K0 + p− p0 + 1,
где первые K0 координатных функций вычислялись по формулам (24), тогда как после-
дующие базисные функции имеют вид
{VK0+i}p−p0+1
i=1 =
cosh[ζqi(z + h2)]
ζqiJ1(ζqi) sinh(ζqih2)
J1(ζqir),
qi = p0 + i− 1, i = 1, 2, . . . .
Здесь p — количество рассчитываемых собственных функций задачи (21), h2 — высо-
та днища сосуда, p0 — параметр, который характеризует количество рассчитываемых
собственных функций по координатным функциям {Vk}K0
k=1 . Так, если по этому бази-
су с достаточной степенью точности находятся первые m собственных функций задачи
(21), то в формулах (26) следует положить p0 = m + 1. Таким образом, при p = 10 и
p0 = 5 к системе координатных функций {Vk}K0
k=1 следует добавить шесть базисных функ-
ций {VK0+i}6i=1.
Предполагая, что функции W (2)
i найдены, перейдем к построению решений рассмат-
риваемой задачи, представив функции ψ(1)(z, r) и ψ(2)(z, r) в виде
ψ(1)(z, r) =
m0∑
j=1
ajW
(1)
j , ψ(2)(z, r) =
m0∑
j=1
bjW
(2)
j . (27)
При выбранных координатных функциях алгебраическая система (18) расщепляется
на две системы относительно векторов-столбцов ~a={a1, a2, . . . , am0} и~b={b1, b2, . . . , bm0}:
C~a = 0, CT~b = 0. (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 129
При этом коэффициенты ci,j несимметричной матрицы C имеют вид
ci,j =
∫
γ
(
W
(1)
j
∂W
(2)
i
∂ν(2)
+W
(2)
i
∂W
(1)
j
∂ν(1)
)
rds, i, j = 1, 2, . . . ,m0.
С учетом выражения (20) элементы ci,j можно представить следующим образом:
ci,j = (ζj coshζjh1 − κ sinhζjh1)ωidi,j −
(
κζj coshζjh1 − ζ2
j sinhζjh1
)
di,j ,
di,j =
1∫
0
(
W
(2)
i J1(ζjr)
)
z=0
rdr.
Из условия существования нетривиальных решений уравнений (28) получаем харак-
теристическое уравнение для определения параметра κ:
detC = 0. (29)
Компоненты векторов ~a и ~b определяются из уравнений (28) с точностью до произволь-
ных постоянных множителей. С учетом этого связь между коэффициентами ai и bi будет
осуществляться по формулам
bi =
∑m0
j=1 aj(ζj coshζjh1 − κ sinhζjh1)di,j∑K0
j=1
∑K0
k=1X
(i)
k X
(i)
j βk,j
, i = 1, 2, . . . ,m0.
Таким образом, решение исходной задачи в данном случае свелось к решению одно-
родной алгебраической системы C~a = 0 порядка m0.
Приведем некоторые результаты расчетов частот и форм собственных колебаний
жидкости по предлагаемому алгоритму для случая, когда днищем сосуда является по-
лусфера единичного радиуса. Пусть ϑ — угол между осью Oz и радиусом-вектором кон-
тура окружности, hc — расстояние от центра сферы до свободной поверхности жидко-
сти, r0 — радиус свободной поверхности жидкости. Тогда, выбирая начало системы Oxyz
на свободной поверхности жидкости, элементы αi,j и βi,j матриц Ã и B̃ алгебраической
системы (25) можно представить в виде
αi,j =
r0∫
0
[
∂Vi
∂z
Vj
]
z=0
rdr +
π∫
ϑ0
[
rVj
(
∂Vi
∂z
cosϑ+
∂Vi
∂r
sinϑ
)]
z=cosϑ−hc
r=sinϑ
dϑ,
(30)
βi,j =
r0∫
0
[ViVj ]z=0 rdr, ϑ0 =
π
2
− arctan
hc
r0
, r0 =
√
1− h2
c .
В табл. 1 приведена сходимость частот κi, i = 1, 2, . . . , 5, в зависимости от порядка m0
алгебраической системы (28) при h1 = 0.5 и K0 = 24.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
130 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Таблица 1
m0 κ1 κ2 κ3 κ4 κ5
1 1.7935458 — — — —
2 1.7936587 5.3311629 — — —
3 1.7936712 5.3311647 8.5363099 — —
4 1.7936740 5.3311651 8.5363099 11.706005 —
5 1.7936749 5.3311652 8.5363099 11.706005 14.863589
6 1.7936753 5.3311653 8.5363099 11.706005 14.863589
7 1.7936755 5.3311653 8.5363099 11.706005 14.863589
8 1.7936756 5.3311653 8.5363099 11.706005 14.863589
9 1.7936757 5.3311653 8.5363099 11.706005 14.863589
10 1.7936757 5.3311653 8.5363099 11.706005 14.863589
Данные табл. 1 свидетельствуют о том, что для определения первых пяти собствен-
ных частот колебаний жидкости с высокой степенью точности в разложениях для функ-
ций ψ(1) и ψ(2) необходимо удерживать по пять членов. Изменение высоты жидкости в
цилиндрической части сосуда несущественно влияет на скорость сходимости последова-
тельных приближений задачи.
Следует отметить, что элементы ci,j при i 6= j матрицы C алгебраической системы
(28) по модулю на два порядка меньше диагональных членов ci,i. В связи с этим если
при решении трансцендентного уравнения (18) пренебречь недиагональными членами
матрицы C, то для i-й формы колебаний жидкости можно установить приближенную
формулу для частотного параметра κi:
κi =
ζi(ωi + ζi tanh ζih1)
ζi + ωi tanh ζih1
. (31)
Эта формула совпадает с соответствующей формулой из монографии [1], которая была
получена при использовании приближенных условий сопряжения на смежной линии под-
областейG(1) иG(2).Соответствующие значения параметров κi, вычисленные по форму-
ле (31), совпадают в рассматриваемом случае с данными табл. 1 вплоть до четырех-пяти
значащих цифр.
В табл. 2 для h1 = 0.5, K0 = 24 приведены значения функций ψ(1)(z, r) и ψ(2)(z, r), а
также их производных в направлении оси Oz, которые вычислены на линии сопряжения
γ при разных значениях координаты r и порядка m0 алгебраической системы (28).
Результаты расчетов показывают, что предложенный метод решения исходной зада-
чи обеспечивает (в отличие от работы [1]) поточечную сходимость для решений и их
производных в направлении оси Oz на смежной границе подобластей G(1) и G(2).
Таким образом, предложенный в настоящей работе обобщенный функционал для ре-
шения задачи сопряжения обеспечивает выполнение с высокой степенью точности усло-
вий сопряжения в каждой точке прямой γ. Полученные результаты могут быть исполь-
зованы при исследовании нелинейных колебаний жидкости в составных резервуарах [7].
В заключение приведем решение исходной задачи с позиций предложенного вариаци-
онного метода для случая, когда сосуд имеет форму прямого кругового цилиндра единич-
ного радиуса. Для этого сосуда однородная краевая задача (4) имеет точное решение,
которое можно представить в виде
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ . . . 131
Таблица 2
r ψ1 ψ2
∂ψ1
∂z
∂ψ2
∂z
m0 = 10
0.20 0.13981 0.13979 0.22952 0.22950
0.40 0.26635 0.26634 0.43425 0.43424
0.60 0.36772 0.36772 0.59060 0.59059
0.80 0.43450 0.43451 0.67903 0.67904
1.00 0.45940 0.45958 0.68411 0.68433
m0 = 15
0.20 0.13981 0.13980 0.22969 0.22968
0.40 0.26634 0.26634 0.43456 0.43456
0.60 0.36772 0.36772 0.59065 0.59065
0.80 0.43451 0.43451 0.67895 0.67895
1.00 0.45944 0.45953 0.68225 0.68234
ψi(z, r) = ci cosh[ζi(z + h2)]J1(ζir), κi = ζi tanh[ζi(h1 + h2)], (32)
где ci — произвольные постоянные, h2 — высота прямоугольной области G(2).
Систему базисных функций W (1)
i (z, r) для области G(1) выберем в форме (20), тогда
как для области G(2) базисные функции W (2)
i (z, r) выберем в следующем виде:
W
(2)
i =
ζi
cosh[ζi(h1 + h2)]
cosh[ζi(z + h2)]J1(ζir). (33)
Каждая из этих функций удовлетворяет исходному уравнению и граничному условию
∂W
(2)
i
∂ν(2)
∣∣∣∣∣
L(2)
= 0.
В силу ортогональности базисных функцийW (1)
i иW (2)
i и их производных в направле-
нии оси Oz на линии γ, алгебраическая система (28) в данном случае сведется к
алгебраической системе относительно коэффициентов ai c диагональной матрицей ко-
эффициентов. Собственные функции и собственные значения спектральной задачи (4)
для этой алгебраической системы примут вид
ψ
(1)
i = ai{ζi cosh[ζi(z − h1)] + κi sinh[ζi(z − h1)]}J1(ζir),
ψ
(2)
i = ai
ζi
cosh[ζi(h1 + h2)]
cosh[ζi(z + h2)]J1(ζir), (34)
κi = ζi tanh[ζi(h1 + h2)], i = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
132 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Сравнивая выражения (34) и (32), приходим к выводу, что в рассматриваемом случае
обобщенная вариационная формулировка задачи сопряжения приводит к решению, ко-
торое совпадает с точным решением исходной задачи.
Заключение. С позиций метода декомпозиции предложен приближенный метод ре-
шения двумерной спектральной задачи о свободных колебаниях идеальной жидкости в
емкостях сложной геометрии.
Метод базируется на формулировке обобщенного функционала, для которого усло-
вия сопряжения на смежной границе искусственно введенных подобластей относятся к
числу его естественных граничных условий. Это позволяет независимо выбирать систе-
мы базисных функций в этих областях, что во многих случаях упрощает получение при-
ближенного решения в исходной области.
На конкретном примере показана эффективность предложенного подхода решения
рассматриваемой задачи путем сравнения полученных результатов с существующими
приближенными и точными решениями исходной задачи. Численная реализация предло-
женного алгоритма указывает на тот факт, что в рамках этого подхода последователь-
ные приближения метода Трефтца имеют сходимость в равномерной метрике на смеж-
ной линии искусственно введенных подобластей как для самих решений, так и для первых
производных по продольной координате.
1. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединен-
ных масс жидкости в подвижных полостях. — Киев: Наук. думка, 1969. — 250 c.
2. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными
жидкостью. — М.: Машиностроение, 1968. — 532 c.
3. Троценко В. А. Троценко Ю. В. Применение метода Ритца к расчету свободных поперечных колеба-
ний составного стержня // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2011. — 8, № 2. — C. 244 – 257.
4. Троценко Ю. В. Колебания упругих конструкций, содержащих подвесные резервуары с жидкостью //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2011. — 8, № 2. — C. 258 – 275.
5. Комаренко О. Н., Троценко В. А. Варiацiйний метод розв’язування задач трансмiсiї з головною умо-
вою спряження // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 2. — C. 762 – 775.
6. Троценко В. А., Богун Р. И. Колебания жидкости в осесимметричном резервуаре с мембраной на сво-
бодной поверхности // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2008. — 5, № 2. — C. 304 – 333.
7. Lukovsky I., Ovchynnykov D., Timokha A. Asymptotic nonlinear multimodal modeling of liquid sloshing in
an upright circular cylindrical tank. Pt 1: Modal equations // Nonlinear Oscillations. — 2012. — 14, № 4. —
P. 512 – 525
Получено 05.03.13,
после доработки — 06.06.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
|