Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка
Дослiджується асимптотична поведiнка розв’язкiв одного класу нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь третього порядку.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177138 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Н.В. Шарай, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 133-144 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177138 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771382021-02-11T01:28:34Z Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка Шарай, Н.В. Шинкаренко, В.Н. Дослiджується асимптотична поведiнка розв’язкiв одного класу нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь третього порядку. We study asymptotic behavior of solutions for a certain class nonlinear nonautonomous third order differential equations. 2015 Article Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Н.В. Шарай, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 133-144 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177138 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджується асимптотична поведiнка розв’язкiв одного класу нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь третього порядку. |
| format |
Article |
| author |
Шарай, Н.В. Шинкаренко, В.Н. |
| spellingShingle |
Шарай, Н.В. Шинкаренко, В.Н. Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Шарай, Н.В. Шинкаренко, В.Н. |
| author_sort |
Шарай, Н.В. |
| title |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| title_short |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| title_full |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| title_fullStr |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| title_sort |
асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177138 |
| citation_txt |
Асимптотические представления решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Н.В. Шарай, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 133-144 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT šarajnv asimptotičeskiepredstavleniârešenijnelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdka AT šinkarenkovn asimptotičeskiepredstavleniârešenijnelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijtretʹegoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:09:49Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:09:49Z |
| _version_ |
1837726110959271936 |
| fulltext |
УДК 517.9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Украина, 65000, Одесса, ул. Дворянская, 2
We study asymptotic behavior of solutions for a certain class nonlinear nonautonomous third order di-
fferential equations.
Дослiджується асимптотична поведiнка розв’язкiв одного класу нелiнiйних неавтономних дифе-
ренцiальних рiвнянь третього порядку.
Введение. Рассмотрим дифференциальное уравнение
y
′′′
= α0p(t)|y|λL(y), (1.1)
где α0 ∈ {−1; 1}, λ ∈ R, λ 6= 1, p : [a, ω)→ (0,+∞) — непрерывная функция,∞ < a <
< ω ≤ +∞, функция L непрерывна в односторонней окрестности ∆Y0 точки Y0 (Y0 равно
либо нулю, либо ±∞), положительна и является медленно меняющейся при y → Y0.
В работах [3, 4] исследован вопрос о существовании и асимптотическом поведении
при t → ω всех так называемых Pw(λ0)-решений этого уравнения.
Решение y уравнения (1.1), заданное на промежутке [ty, w) ⊂ [a,w), называетсяPw(λ0)-
решением, если оно удовлетворяет следующим условиям:
lim
t→w
y(k)(t) =
{
либо 0,
либо ±∞, k = 0, 1, 2, lim
t→w
[y
′′
(t)]2
y′′′(t)y′(t)
= λ0. (1.2)
Случай λ = 1 не охватывается результатами этих работ, так как методика иссле-
дования уравнения (1.1) предполагала наличие существенной нелинейности. При λ = 1
уравнение (1.1) является асимптотически близким (при y → Y0) к линейному уравнению
y
′′′
= α0p(t)y (1.3)
и поэтому представляет несомненный теоретический интерес.
В настоящей работе рассматривается дифференциальное уравнение
y
′′′
= α0p(t)y| ln |y||σ, (1.4)
где α0 ∈ {−1; 1}, p : [a, ω)→ (0,+∞) — непрерывная функция, σ ∈ R,∞ < a < ω ≤ +∞.
В данном уравнении L(y) = | ln |y||σ является медленно меняющейся функцией как при
y → 0, так и при y → ±∞.
c© Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко, 2015
133 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
134 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
Введем необходимые для дальнейшего обозначения, полагая
πw(t) =
{
t, если w = +∞,
t− w, если w < +∞, IA(t) =
t∫
A
π2w(τ)p(τ)dτ,
где A принадлежит {w; a} и выбирается таким образом, чтобы IA(t) стремился либо к
нулю, либо к +∞ при t → w.
В работе [5] для уравнения (1.4) была доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть σ 6= 1.Тогда для существованияPw(λ0)-решений, λ0 ∈ R\
{
0; 1;
1
2
}
,
уравнения (1.4) необходимо, а если
λ0 6=
−(2 + σ)±
√
(2 + σ)2 + 8
4
, λ0 6=
−1±
√
3
2
,
(1.5)
λ0 6=
−(2− σ)±
√
(2− σ)2 + 8
4
,
то и достаточно, чтобы
lim
t→w
p(t)π3w(t)∣∣∣ (1−σ)(1−λ0)2λ0
IA(t)
∣∣∣ σ
σ−1
= α0
|λ0||2λ0 − 1|
|λ0 − 1|3
(1.6)
и было выполнено неравенство
α0λ0(2λ0 − 1)(λ0 − 1)πw(t) > 0. (1.7)
Более того, для каждого такого решения при t → w имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = ν
∣∣∣∣(1− σ)
(λ0 − 1)2
λ0
IA(t)
∣∣∣∣
1
1−σ
(1 + o(1)),
y
′
(t)
y(t)
=
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(1 + o(1)), (1.8)
y
′′
(t)
y′(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πw(t)
(1 + o(1)),
где
ν = sign (α0λ0(1− σ)IA(t)). (1.9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ . . . 135
Замечание 1.1. В силу условия (1.6) и первой из асимптотических формул (1.8)
lim
t→ω
∣∣∣∣(1− σ)(1− λ0)2
λ0
IA(t)
∣∣∣∣
1
1−σ
= +∞. (1.10)
Из теоремы 1.1 при σ = 0, т. е. для линейного дифференциального уравнения (1.3), непо-
средственно вытекает такое следствие.
Следствие 1.1. Для существования Pw(λ0)-решений, λ0 ∈ R\
{
0; 1;
1
2
}
, уравнения
(1.3) необходимо, а если λ0 6=
−1±
√
3
2
, то и достаточно, чтобы выполнялись усло-
вия
α0λ0(2λ0 − 1)(λ0 − 1)πw(t) > 0, lim
t→w
p(t)π3w(t) = α0
|λ0||2λ0 − 1|
|λ0 − 1|3
. (1.11)
Более того, для каждого такого решения при t → w имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = ν
(λ0 − 1)2
λ0
IA(t)(1 + o(1)),
y
′
(t)
y(t)
=
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(1 + o(1)),
y
′′
(t)
y′(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πw(t)
(1 + o(1)),
где ν = sign (α0λ0IA(t)).
Однако эти теоремы не дают точных асимптотических формул для Pw(λ0)-решений.
Целью настоящей работы является установление условий, при которых уравнение
(1.4) имеет решения указанного вида и асимптотические представления (1.8) могут быть
записаны в явном виде.
Основные результаты. Для доказательства основных теорем нам потребуются два
вспомогательных утверждения, вытекающие из работы [2], для системы дифференци-
альных уравнений вида
dzi
dτ
= fi(τ) +
3∑
j=1
pij(τ)zj + gi(τ)Zi(τ, z1, z2, z3), i = 1, 3, (2.1)
где fi, gi : [τ0,+∞) → R, pij : [τ0,+∞) → R, i, j = 1, 3, Zi : [τ0,+∞)×R3
b → R, i = 1, 3, —
непрерывные функции, R3
b = {(z1, z2, z3) ∈ R3 : |zi| ≤ b, b > 0}.
Для этой системы уравнений в силу теоремы 1.1 и замечания из работы [2] имеют
место следующие утверждения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
136 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
Лемма 2.1. Пусть
pii(τ) 6= 0 при τ ≥ τ0,
+∞∫
τ0
|pii(τ)|dτ = +∞, i = 1, 3, (2.2)
и выполняются условия
lim
τ→+∞
fi(τ)
pii(τ)
= 0, lim
τ→+∞
gi(τ)
pii(τ)
= const, i = 1, 3, (2.3)
lim
τ→+∞
p1i(τ)
p11(τ)
= const, i = 2, 3, lim
τ→+∞
p21(τ)
p22(τ)
= 0,
(2.4)
lim
τ→+∞
p23(τ)
p22(τ)
= const, lim
τ→+∞
p3i(τ)
p33(τ)
= 0, i = 1, 2.
Пусть, кроме того,
lim
|z1|+|z2|+|z3|→0
∂Zi(τ, z1, z2, z3)
∂zk
= 0, i, k = 1, 3, (2.5)
равномерно по τ ∈ [τ0,+∞).
Тогда система дифференциальных уравнений (2.1) имеет хотя бы одно решение
(zi)
3
i=1 : [τ1,+∞) → R3
b , τ1 ∈ [τ0,+∞), стремящееся к нулю при τ → +∞.
Лемма 2.2. Пусть при i 6= 1 выполняются условия (2.2), (2.3). Пусть, кроме того,
lim
τ→+∞
p2i(τ)
p22(τ)
= 0, i = 1, 3, lim
τ→+∞
p3i(τ)
p33(τ)
= 0, i = 1, 2,
(2.6)
+∞∫
τ0
|p1k(τ)|dτ < ∞, k = 1, 3,
+∞∫
τ0
|f1(τ)|dτ < ∞,
+∞∫
τ0
|g1(τ)|dτ < ∞
и выполняются условия (2.5). Тогда система дифференциальных уравнений (2.1) имеет
хотя бы одно решение (zi)
3
i=1 : [τ1,+∞) → R3
b , τ1 ∈ [τ0,+∞), стремящееся к нулю при
τ → +∞.
Используя эти леммы, для уравнения (1.4) докажем справедливость следующих утвер-
ждений.
Теорема 2.1. Пусть σ(1 − σ) 6= 0 и выполняются условия (1.6). Пусть, кроме того,
λ0 6= −1±
√
3 и функции
h1(t) =
p(t)π3ω(t)∣∣∣ (1−σ)(1−λ0)2λ0
IA(t)
∣∣∣ σ
σ−1
− α0|λ0||2λ0 − 1|
|λ0 − 1|3
,
h2(t) =
∣∣∣∣(1− σ)
(λ0 − 1)2
λ0
IA(t)
∣∣∣∣
1
σ−1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ . . . 137
таковы, что
lim
t→ω
h1(t)
h2(t)
= 0. (2.7)
Тогда дифференциальное уравнение (1.4) имеет Pw(λ0)-решение, допускающее при t →
→ w асимптотические представления
y(t) = (±1 + o(1))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
,
y
′
(t) =
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(±1 + o(1))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
, (2.8)
y
′′
(t) =
λ0(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)2π2w(t)
(±1 + o(1))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
.
Доказательство. Выбрав число c ∈ {−1, 1}, уравнение (1.4) с помощью преобразова-
ний
y(t) = (c+ v1(τ))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
,
y
′
(t) =
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(c+ v2(τ))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
, (2.9)
y
′′
(t) =
λ0(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)2π2w(t)
(c+ v3(τ))e
ν|(1−σ) (λ0−1)2
λ0
IA(t)|
1
1−σ
,
где
τ = β ln |πw(t)|, β =
{
1 при w = +∞,
−1 при w < +∞,
сведем к системе дифференциальных уравнений вида
v
′
1 =
β(2λ0 − 1)
λ0 − 1
[−cδ1(τ) + v2 − (1 + δ1(τ))v1] ,
v
′
2 =
β
λ0 − 1
(λ0(c+ v3)− (c+ v2)(λ0 + (2λ0 − 1))δ1(τ)) , (2.10)
v
′
3 =
β
λ0 − 1
(R(τ, v1)(c+ v1)− (c+ v3)(1 + (2λ0 − 1)δ1(τ))) ,
в которой
δ1(τ) =
α0(λ0 − 1)3
λ0(2λ0 − 1)
h1(t), δ2(τ) = νh2(t),
R(τ, v1) = (1 + δ1(τ))
∣∣∣1 + δ2(τ) ln
∣∣∣1 +
v1
c
∣∣∣∣∣∣σ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
138 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
Здесь τ(t) = β ln |πω(t)| → +∞ при t → ω и τ ′(t) =
β
πω(t)
> 0 при t ∈ [a, ω). Согласно
(1.6), (1.10) и (2.7)
lim
τ→+∞
δ1(τ) =
α0(λ0 − 1)3
λ0(2λ0 − 1)
lim
t→ω
h1(t) = 0,
(2.11)
lim
τ→+∞
δ2(τ) = ν lim
t→ω
h2(t) = 0, lim
t→ω
δ1(t)
δ2(t)
= 0.
Кроме того,
δ′2(τ) =
β(2λ0 − 1)
1− λ0
(1 + δ1(τ))δ22(τ),
откуда
δ2(τ) =
β(λ0 − 1)
(2λ0 − 1)τ
(1 + o(1)) при τ → +∞. (2.12)
Выберем теперь с учетом условия (2.11) число τ0 > max{1, β ln |πω(a)|} таким образом,
чтобы выполнялось неравенство |δ2(τ)| ≤ 1
2
при τ ≥ τ0, и рассмотрим систему (2.10) на
множестве Ω = [τ0,+∞)×R3
b , где R3
b =
{
(v1, v2, v3) ∈ R3 : |vi| ≤
1
2
}
.
На этом множестве правые части системы непрерывны и после выделения во втором
и третьем уравнениях линейной части ее можно записать в виде
v′ =
β
λ0 − 1
(q(τ) + (A+B(τ))v + V (τ, v)) , (2.13)
где
A =
−(2λ0 − 1) 2λ0 − 1 0
0 −λ0 λ0
1 0 −1
, V =
0
0
V1
, q(τ) = c
−(2λ0 − 1)δ1
(2λ0 − 1)δ1
λ0δ1
,
B(τ) =
−(2λ0 − 1)δ1 0 0
0 −(2λ0 − 1)δ1 0
δ3 0 −(2λ0 − 1)δ1
,
V1(τ, v) = (1 + δ1(τ))
(
(c+ v1)
((
1 + δ2(τ) ln
(
1 +
v1
c
))σ
− 1
)
− σδ2(τ)v1
)
,
δ3(τ) = δ1(τ) + σδ2(τ)(1 + δ1(τ)).
Для функции V1(τ, v), которая входит в нелинейное слагаемое этой системы, имеем
∂V1(τ, v)
∂v1
= (1 + δ1(τ))
{[(
1 + δ2(τ) ln
(
1 +
v1
c
))σ
− 1
]
+
+ σδ2(τ)
[(
1 + δ2(τ) ln
(
1 +
v1
c
))σ−1
− 1
]}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ . . . 139
Отсюда ясно, что
1
δ2
∂V1(τ, v)
∂v1
→ 0 при v1 → 0 равномерно по τ ∈ [τ0,+∞). (2.14)
Положим η1 =
√
λ20 − 8λ0 + 4, η2 = η1(3λ0 − 1) + 5λ20 − 7λ0 + 2, η3 = 4λ20 + λ0 − 2 и
применим к системе (2.13) дополнительное преобразование
v =
2− 3λ0 + η1
2
2− 3λ0 − η1
2
1
λ0(λ0 + η1)
2(1− 2λ0)
λ0(λ0 − η1)
2(1− 2λ0)
1
1 1 1
z3
z2
z1
, (2.15)
матрицей преобразования которого являются собственные векторы матрицыA, соответ-
ствующие собственным значениям
λ1 =
−3λ0 + η1
2
, λ2 =
−3λ0 − η1
2
, λ3 = 0.
В результате получим систему дифференциальных уравнений (2.1), в которой
f1(τ) =
βc
2(λ0 − 1)
(
7λ20 + λ0(η1 − 5) + 1− η1 +
η2(1− λ0)
1− 2λ0
)
δ1(τ),
f2(τ) =
βc(2λ0 − 1)
η1η3(λ0 − 1)
(
7λ20 − λ0(η1 + 3) + η1 −
η2(1− λ0)
1− 2λ0
)
δ1(τ),
f3(τ) =
2βc(1− 2λ0)(λ0 − 1)
η3
δ3(τ),
gi(τ) =
βη2
(λ0 − 1)η1η2
δ2(τ), i = 1, 2, 3,
p11(τ) =
β(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)η3
(λ0δ3(τ)− 0, 5η3δ1(τ)) ,
p12(τ) =
β(2λ0 − 1)λ0(2− 3λ0 − η1)
(λ0 − 1)η3
δ3(τ),
p13(τ) =
β(2λ0 − 1)λ0(2− 3λ0 + η1)
(λ0 − 1)η3
δ3(τ),
p21(τ) =
β(2λ0 − 1)2
2(λ0 − 1)η1η3
δ1(τ),
p22(τ) =
β
λ0 − 1
(
−3λ0 + η1
2
− (2λ0 − 1)(λ20 + η1(3λ0 − 1)
η1η3
δ1(τ)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
140 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
p23(τ) =
βλ0(2λ0 − 1)(η1 + 4− λ0)
(λ0 − 1)η1η3
δ1(τ),
p31(τ) =
β
2(λ0 − 1)η1η3
(η2δ3(τ) + 2(2λ0 − 1)(1− λ0)δ1(τ)) ,
p32(τ) =
βη2
(λ0 − 1)η1η3
((2− 3λ0 − η1)δ3(τ) + 2(2λ0 − 1)δ1(τ)) ,
p33(τ) =
β
(λ0 − 1)η1η3
(
(−3λ0 + η1)η1η3
2
+ η2(δ3(τ)(η1 + 2− 3λ0) + 2(2λ0 − 1)δ1(τ))
)
,
Z1(τ, z1, z2, z3) =
2λ0(2λ0 − 1)η1
η2
V1
(
τ, z1 + 2−3λ0−η1
2 z2 + 2−3λ0+η1
2 z3
)
δ2(τ)
,
Z2(τ, z1, z2, z3) = −
V1
(
τ, z1 + 2−3λ0−η1
2 z2 + 2−3λ0+η1
2 z3
)
δ2(τ)
,
Z3(τ, z1, z2, z3) =
V1
(
τ, z1 + 2−3λ0−η1
2 z2 + 2−3λ0+η1
2 z3
)
δ2(τ)
.
В силу условий (2.11) и (2.12)
p11(τ) =
βσ(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)η3
δ2(τ)[1 + o(1)] =
σ
η3
1
τ
[1 + o(1)],
p22(τ) =
β(−3λ0 − η1)
2(λ0 − 1)
[1 + o(1)], p33(τ) =
β(−3λ0 + η1)
2(λ0 − 1)
[1 + o(1)],
поэтому при некотором большом τ0 выполняются условия (2.2). Не ограничивая общнос-
ти, будем считать, что значение τ0 совпадает с уже выбранным ранее. Далее, с учетом
(2.11) имеем
lim
τ→+∞
fi(τ)
pii(τ)
= 0, i = 1, 2, 3, lim
τ→+∞
p2i(τ)
p22(τ)
= 0, i = 1, 3,
lim
τ→+∞
p3i(τ)
p33(τ)
= 0, i = 1, 2, lim
τ→+∞
p12(τ)
p11(τ)
= η1 + 2− 3λ0,
lim
τ→+∞
p13(τ)
p11(τ)
= −η1 + 2− 3λ0,
lim
τ→+∞
gi(τ)
pii(τ)
= 0, i = 2, 3, lim
τ→+∞
g1(τ)
p11(τ)
=
η2
η1σ
.
Следовательно, выполнены условия (2.3) и (2.4). Кроме того, в силу (2.14) выполня-
ются и условия (2.5). Значит, согласно лемме 2.1 полученная система вида (2.1) имеет хотя
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ . . . 141
бы одно решение, стремящееся к нулю при τ → +∞. Каждому из них в силу замен пе-
ременных (2.15) и (2.9) соответствует решение y(t) дифференциального уравнения (1.4),
допускающее при t → w асимптотические соотношения (2.8).
Теорема 2.1 доказана.
Теорема 2.2. Пусть λ0 ∈ R\
{
0, 1,−1,
1
2
}
, выполняются условия (1.11) и функция
h(t) = p(t)π3ω(t)− α0λ0(2λ0 − 1)
λ0 − 1
(2.16)
такова, что
ω∫
a
∣∣∣∣ h(t)
πω(t)
∣∣∣∣ dt < +∞. (2.17)
Тогда для любого вещественного c 6= 0 уравнение (1.3) имеет Pw(λ0)-решение, дoпуска-
ющее при t → ω асимптотические представления
y(t) = (c+ o(1)) e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)],
y
′
(t) =
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(c+ o(1)) e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)], (2.18)
y
′′
(t) =
λ0(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)2π2w(t)
(c+ o(1)) e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)].
Доказательство. Выбрав произвольным образом вещественное число c 6= 0, уравне-
ние (1.3) с помощью преобразования
y(t) =
(
c+ z1 +
2− 3λ0 − η1
2
z2 +
2− 3λ0 + η1
2
z3
)
e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)],
y
′
(t) =
2λ0 − 1
(λ0 − 1)πw(t)
(
c+ z1 +
λ0(λ0 − η1)
2(1− 2λ0)
z2 +
λ0(λ0 + η1)
2(1− 2λ0)
z3
)
e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)], (2.19)
y
′′
(t) =
λ0(2λ0 − 1)
(λ0 − 1)2π2w(t)
(c+ z1 + z2 + z3) e
[α0
(λ0−1)2
λ0
IA(t)],
где
τ = β ln |πw(t)|, β =
{
1 при w = +∞,
−1 при w < +∞,
сведем к системе дифференциальных уравнений вида
z
′
i = fi(τ) +
3∑
k=1
pik(τ)zk, i = 1, 2, 3, (2.20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
142 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
в которой
f1(τ) =
βc(η2 + η1(3λ0 − 1))δ(τ)
(λ0 − 1)(2λ0 − 1)η1η3
, f2(τ) =
βc(−η2 + η1(3λ0 − 1))δ(τ)
(λ0 − 1)(2λ0 − 1)η1η3
, f3(τ) =
βcδ(τ)
1− λ0
,
p11(τ) =
βδ(τ)
2η1η3(λ0 − 1)
(
η3
2
(η1 − λ0)(η1 + 2− 3λ0)− λ0(η1 + λ0)(η1 + 3λ0)−
− 2(η2 + η1(3λ0 − 1))
)
,
p12(τ) =
βδ(τ)
2η1η3(λ0 − 1)
(
η3
2
(η1 − λ0)(−η1 + 2− 3λ0)− λ0(η1 + 3λ0)(−η1 + λ0)−
− 2(η2 + η1(3λ0 − 1))
)
,
p13(τ) =
βδ(τ)
2η1η3(λ0 − 1)
(η3(η1 − λ0) + 2(2λ0 − 1)(3λ0 + η1)− 2(η2 + η1(3λ0 − 1))) ,
p21(τ) =
βδ(τ)
2(2λ0 − 1)(λ0 − 1)
(
2− 3λ0 + η1
2η1
− λ0(2λ0 − 1)(−3λ0 + η1)(η1 + λ0)−
− η1(3λ0 − 1) + η1
)
,
p22(τ) =
β
λ0 − 1
(
−3λ0 + η1
2
+
δ(τ)
2(1− 2λ0)
(
2− 3λ0 − η1
2η1
−
− λ0(2λ0 − 1)(−3λ0 + η1)(η1 + λ0)
η1η3
+ η2 − η1(3λ0 − 1)
))
,
p23(τ) =
βλ0(2λ0 − 1)(η1 + 4− λ0)
(λ0 − 1)η1η3
δ1(τ),
p31(τ) =
λ0δ(τ)
η3
(η1 + 2− 3λ0), p32(τ) =
βλ0δ(τ)
(λ0 − 1)η1
(−η1 + 2− 3λ0),
p33(τ) =
β
λ0 − 1
(
−3λ0 + η1
2
+
2(1− 2λ0)(1 + λ0)δ(τ)
η3
)
.
В силу условий (1.11)
lim
τ→+∞
δ(τ) = lim
t→ω
α0(λ0 − 1)3
λ0
h(t) =
(α0(λ0 − 1)3
λ0
lim
t→ω
h(t) = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ . . . 143
lim
τ→+∞
p22(τ) =
β(3λ0 + η1)
2(λ0 − 1)
6= 0, lim
τ→+∞
p33(τ) =
β(−3λ0 + η1)
2(λ0 − 1)
6= 0,
(2.21)
lim
τ→+∞
p2i(τ)
p22(τ)
= 0, i = 1, 3, lim
τ→+∞
p3i(τ)
p33(τ)
= 0, i = 1, 2,
lim
τ→+∞
f2(τ)
p22(τ)
= 0, lim
τ→+∞
f3(τ)
p33(τ)
= 0.
Отсюда, в частности, следует, что существует число τ0 > max{1, β ln |πω(a)|}, для которо-
го при i = 2, 3 выполняются условия (2.2) и (2.3). Кроме того, с учетом (2.17) имеем
+∞∫
τ0
|δ(τ)|dτ =
∣∣∣∣α0(λ0 − 1)3
λ0
∣∣∣∣
ω∫
t0
∣∣∣∣ h(t)
πω(t)
∣∣∣∣ dt < +∞, (2.22)
где τ0 = β ln |πω(t0)|}.
Система (2.20) является частным случаем системы (2.1), где gi(τ)≡ 0 иZi(τ, z1, z2, z3)≡
≡ 0, i = 1, 2, 3. Поэтому в силу (2.21) и (2.22) для нее выполнены все условия леммы 2.2.
Согласно этой лемме система (2.20) имеет хотя бы одно решение (z1, z2, z3) : [τ1,+∞) →
→ R3(τ1 ≥ τ0), стремящееся к нулю при τ → +∞, которому в силу замен (2.19) соответ-
ствует решение y(t) дифференциального уравнения (1.3), удовлетворяющее при t → ω
асимптотическим представлениям (2.18).
Теорема 2.2 доказана.
Следствие 2.1. Пусть
lim
t→ω
p(t)π3ω(t) = c0 и
ω∫
a
∣∣∣∣p(t)π3ω(t)− c0
πω(t)
∣∣∣∣ dt < +∞. (2.23)
Тогда если
−16
36
<
c0
α0
<
1
3
(2.24)
и (
32
(
α0
c0
)3
+36
(
α0
c0
)2
−2
α0
c0
+6
)2
−
(
32
(
α0
c0
)3
−2
(
α0
c0
)2
+24
α0
c0
)2(
1+
36c0
16α0
)
< 0,
(2.25)
то дифференциальное уравнение (1.3) имеет фундаментальную систему решений yi, i =
= 1, 2, 3, допускающих при t → ω асимптотические представления
yi(t) = (1 + o(1))e
[α0
(λi−1)2
λi
IA(t)],
y
′
i(t) =
2λi − 1
(λi − 1)πw(t)
(1 + o(1))e
[αi
(λi−1)2
λi
IA(t)], (2.26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
144 Н. В. ШАРАЙ, В. Н. ШИНКАРЕНКО
y
′′
i (t) =
λi(2λi − 1)
(λi − 1)2π2w(t)
(1 + o(1))e
[α0
(λi−1)2
λi
IA(t)],
где λi, i = 1, 2, 3, — корни алгебраического уравнения
λ3 − λ2
(
3 + 2
α0
c0
)
+ λ
(
3 +
α0
c0
)
− 1 = 0. (2.27)
Доказательство. Поскольку выполнены неравенства (2.24) и (2.25), алгебраическое
уравнение (2.27) имеет различные вещественные корни λ1, λ2, λ3, причем λi 6=
{
0, 1,−1,
1
2
}
при i = 1, 2, 3. Для этих корней в силу (2.23) имеем
c0 =
α0(2λi − 1)
(λi − 1)3
, i = 1, 2, 3.
В силу условий (2.24) и (2.25) следует, что для уравнения (1.3) выполняются условия (2.23)
и (2.16) при замене в них λ0 любым из полученных значений λi, i = 1, 2, 3. Поэтому со-
гласно теореме 2.2 уравнение (1.3) имеет три решения yi, i = 1, 2, 3, допускающие при
t → ω асимптотические представления (2.26). Эти решения в силу того, что λ1 6= λ2 6=
6= λ3, образуют, очевидно, фундаментальную систему решений.
Данные следствия дополняют известные результаты (см., например, монографию [1])
об асимптотических свойствах решений линейных дифференциальных уравнений (1.3).
Заключение. В настоящей работе исследован вопрос о существовании Pw(λ0)-реше-
ний дифференциальных уравнений (1.4) в случае, когда λ0 ∈ R\
{
0, 1,−1,
1
2
}
. При этом
уточняются асимптотические формулы, полученные для данных уравнений в работе [5].
Асимптотические формулы при t → ω для линейного уравнения дополняют известные
результаты из монографии [1] (§ 6).
1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 с.
2. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем ква-
зилинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 4. — С. 433 –
444.
3. Стехун А. А. Асимптотические представления исчезающих в окрестности особой точки решений не-
линейных дифференциальных уравнений третьего порядка// Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i ме-
ханiка. — 2008. — 13. — С. 95 – 111.
4. Стехун А. О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв одного класу звичайних диференцiальних рiвнянь
третього порядку // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 2. — С. 246 – 260.
5. Шарай Н. В. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений тре-
тьего порядка, близких к линейным // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2010. — 15,
вип. 18. — С. 88 – 101.
Получено 15.04.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
|